ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΜΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ (0-6-005) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% ) ) Έστω μια τυχαία μεταβλητή Χ και ένα δείγμα x, x,, x n. Θεωρούμε την τιμή k = n i= ( x && x) i.να διευκρινιστεί τι σχέση έχει η τιμή αυτή με την Var(X). Είναι η k n αμερόληπτη εκτιμήτρια της Var(X); Αν όχι, να βρεθεί διεξοδικά μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της Var(X). (0%) ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΙΟΥΝΙΟΥ 005 - -
) Έστω μια τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας ομοιόμορφη στο διάστημα [α,β]. Θεωρούμε το δείγμα x, x,, x n. Να εκτιμηθούν τα α και β και με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοεπιφάνειας και με τη μέθοδο των ροπών και να συγκριθούν τα αποτελέσματα. (0%) ΛΥΣΗ: Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας ομοιόμορφη στο διάστημα [α,β] οπότε: f(x) = c, a x β 0, αλλού Μέθοδος της μέγιστης πιθανοεπιφάνειας: + β β f( x) dx= cdx= cx = c( β α) = c= α α β α f ( x, α, β ) = c f ( x, α, β) = c.......... f ( x, α, β ) = c ν = = = = L( α, β) f( x, α, β)* f( x, α, β)*...* f( x, α, β) c* c* c*...* c c β α ln L( α, β) = ln = ln = ln ln ( β α) β α β α ( α β) ( β α) ln L, = ln ( α β) ( β α) ln L, ln = 0 = = = 0 a α β α β α ( α β) ( β α) ln L, ln = 0 = = = 0 β β β α α β ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΙΟΥΝΙΟΥ 005 - -
Μέθοδος των ροπών: Ex = X() Ex = X () β β β β x β α α + β Ex = xf( xdx ) = x dx= xdx= = = () β α β α β α β α α α α α β β β Ex xf( xdx ) x dx xdx β x β α = = = = = = β α β α β α β α α α α α β α β + αβ + α β + αβ + α = = ( β α) ( 4) Από τις σχέσεις () και () έχουμε: α + β = X α + β = X β = X α(5) Από τις σχέσεις () και (4) έχουμε: β + αβ + α = X β + αβ + α = X 6 Από το σύστημα των εξισώσεων (5) και (6) προκύπτει: ^ α = X X X ^ β = X + X X ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΙΟΥΝΙΟΥ 005 - -
) α) Να αναπτυχθεί διεξοδικά τι είναι περίοδος επιστροφής ενός σεισμού. (0,) c β) Θεωρούμε τη συνάρτηση πιθανότητας f( x) =. Να βρεθεί η συνάρτηση + x κατανομής της καθώς και η συνάρτηση πιθανότητας της Y =. X Τι παρατηρείτε; (0%) γ) Μοιάζει η f ( x ) με την κανονική κατανομή; Να δοθεί παράδειγμα υπολογισμού πιθανότητας. (0,) ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΙΟΥΝΙΟΥ 005-4-
4) Θεωρούμε ότι σε μια πλάκα αναπτύσσονται διάφορες ροπές, που μπορούν να θεωρηθούν τυχαίες μεταβλητές. Να αναπτυχθεί ένα πιθανοθεωρητικό μοντέλο που να δίνει την ασφάλεια της πλάκας. (5%) ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΙΟΥΝΙΟΥ 005-5-
ΟΜΑΔΑ Β ( 60% ) ) Δίνεται η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας f ( xy, ) = kxy που ορίζεται σε ένα τετράγωνο του επιπέδου xy με τις πλευρές του παράλληλες με τους άξονες x, y. α) Να εξεταστεί αν οι τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ είναι ανεξάρτητες. β) Να υπολογισθούν οι συναρτήσεις f ( xy), f ( yx XY Y ) X γ) Να διερευνηθεί (διαισθητικά) και όχι με αυστηρά μαθηματικά σε ποιους τόπους οι παραπάνω μεταβλητές Χ και Υ είναι ανεξάρτητες. α) Πρέπει: ΛΥΣΗ: + + x+ a y+ a f x, y dxdy = k x dx y dy = x y 4 4 + + ( x a) x ( y a) y k 4 = k = 4 4 ( x + a) x ( y + a) y y+ a y+ a ( y + a) y 4x 4 4 y y x + a x f ( x) = f( x, y) dy = kx y dy = kx = x x + a f ( y) = f( x, y) dx=... = y y x ( y ) + a y Παρατηρούμε ότι f ( x, y) = f ( x) f ( y) οι τ.μ. Χ και Y είναι ανεξάρτητες. xy x y β) Επειδή οι τ.μ. X και Y είναι ανεξάρτητες ισχύει: f ( xy) = f( x και f ( yx) = f( y xy x ) yx y ) γ) Οι τ.μ. Χ και Υ είναι ανεξάρτητες σε ορθογώνιους τόπους με πλευρές παράλληλες στους άξονες Οx, Οy διότι σε αυτή την περίπτωση έχουμε σταθερή τιμή του x κατά μήκος της πλευράς //Οy και αντίστοιχα σταθερή τιμή του y κατά μήκος της πλευράς //Οx. ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΙΟΥΝΙΟΥ 005-6-
) Ένα τετρακινητήριο αεροπλάνο έχει του ίδιου τύπου κινητήρες με ένα δικινητήριο. Την πιθανότητα ένας τέτοιος κινητήρας να μην υποστεί βλάβη σε μια πτήση την θεωρούμε p. Μια πτήση θεωρείται ασφαλής αν λειτουργούν τουλάχιστον το 50% των κινητήρων του αεροπλάνου. Να βρεθεί η τιμή του p για την οποία μπορούμε το τετρακινητήριο αεροπλάνο να το θεωρήσουμε πιο ασφαλές από το δικινητήριο. Τετρακινητήριο: ΛΥΣΗ: Ρ 4 = Ρ ( τουλάχιστον 50% των κινητήρων λειτουργούν) = 4! 4! 4! = p q + p q+ ( 4) p = p q + p q+ p!!!! 4! 4 4 4 4 4 = 4 4 = pq + pq+ p = p p + p p + p = 6 4 6 4 = 6p p + 6p + 4p 4p + p = p 8p + 6p 4 4 4 4 Δικινητήριο: Ρ = Ρ ( τουλάχιστον 50% των κινητήρων λειτουργούν) =!! pq p pq p!!!0! = + = + = = pq + p = p p + p = = p p + p = p p Πρέπει: P > P p p + p > p p p p + p p> 4 4 4 8 6 8 7 0 p p 8p + 7p > 0 p p p 5p+ > 0 p( p )( p ) p > 0 p > 0 p> Για να είναι το τετρακινητήριο αεροπλάνο πιο ασφαλές από το δικινητήριο πρέπει p >. ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΙΟΥΝΙΟΥ 005-7-
) α) Η αντοχή των δοκιμίων από μια ορισμένη παρτίδα έχει τυπική απόκλιση kg/cm. Ποιο είναι το μέγεθος του δείγματος που θα πρέπει να εξετασθεί, εάν είναι απαραίτητο να εκτιμηθεί η μέση αντοχή με 95% διάστημα εμπιστοσύνης (a,b), ώστε b a 5 ; β) Η αντοχή Α ενός ασανσέρ είναι τυχαία μεταβλητή Α ~ Ν(700,0). Αν το βάρος ενός ατόμου Β είναι τυχαία μεταβλητή Β ~ Ν(80,5), ποιος πρέπει να είναι ο μέγιστος αριθμός των ατόμων που μπορούν να μπαίνουν μαζί, ώστε η ασφάλεια να είναι 98%; γ) Για να εκτιμήσουμε την αντοχή ενός φορτίου μπετόν σχηματίζουμε τρία ίδια δοκίμια και μετράμε τις αντοχές τους, έστω α, α, α. Για την εκτίμηση της αντοχής του φορτίου ορίζουμε τους παρακάτω τέσσερεις εκτιμητές: T = ( a+ a + 7 a), T = ( a + a + a), T = (6 a 5 ) + a a, T4 = ( a + a ) + a. 0 9 7 Ποιος από αυτούς θα μας δώσει την καλύτερη εκτίμηση της αντοχής του φορτίου; α) Επιλέγω a= 0,95 a= 0,05 Υπολογίζω την ποσότητα: 0,05 ( 0,975),96 K a / =Φ =Φ = ΛΥΣΗ: σ = Kg / cm Οπότε έχω: σ σ A = X K 0,96 a/, X + Ka/ n n A = X, 96, X, 96 0,96 + n n,5,5 A = X, X 0,96 + n n Το μήκος του διαστήματος είναι: *,5 L= b a = 5 47,04 5 n n n 9, 408 n 89 ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΙΟΥΝΙΟΥ 005-8-
β) Έστω ν ο μέγιστος αριθμός των ατόμων τα οποία μπορούν να μπουν στο ασανσέρ ώστε αυτό να αντέξει. Άρα αν Γ το συνολικό βάρος: Γ~ Ν ( 80 ν,5 ν ) μ = B = μ = νμ = 80ν Γ i i= i= Γ Βi Γ i= i= ν σ = σ = σ = νσ = ν5 σ = 5 Θεωρώ: Ζ = Α Γ Άρα: Ζ~ Ν( 700 80 ν,0 5 ν ) Θέλουμε: P( Z ) P Z > 0 0,98 < 0 0,98 0 700 + 80ν P( Z < 0) 0,0 Φ 0,0 0 5 ν 80ν 700, 05 68,5 80ν 0, 75 0 5 ν ν Για ν = 68,5 49,5 Για ν = 68,5 6,5 Για ν = 68,5 86,74 Για ν = 4 68,5 58,50 Για ν = 5 68,5,4 Για ν = 6 68,5 404,68 Για ν = 7 68,5 478,64 Για ν = 8 68,5 55,0 Για ν = 9 68,5 67,75 Για ν = 0 68,5 70,76, απορρίπτεται ν = 9 άτομα μπορούν να μπουν στο ασανσέρ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΙΟΥΝΙΟΥ 005-9-
γ) Μπορούμε να διαπιστώσουμε αμέσως ότι οι μόνες αμερόληπτες εκτιμήτριες της αντοχής Α είναι οι: T = ( a+ a + 7 a) και T4 = ( a ) + a + a 0 σ σ σ Var T 7 54 Var( T ) = + + = σ ( ) 0 0 0 00 4 σ σ σ Var T4 Var( T ) = + + = σ ( ) Από τις σχέσεις ( ) και ( ) προκύπτει ότι Var ( T ) Var ( T ) < 4 η T4 = ( a+ a + a ) είναι η καλύτερη εκτίμηση της αντοχής του φορτίου ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΙΟΥΝΙΟΥ 005-0-