Λύσεις θεμάτων πανελληνίων εξετάσεων. Στο μάθημα: «Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής» Γ Λυκείου Γενικής Παιδείας. Δευτέρα, 20 Μαΐου 2013

Transcript

1 Λύσεις θεμάτων πανελληνίων εξετάσεων Στο μάθημα: «Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής» Γ Λυκείου Γενικής Παιδείας Δευτέρα, 0 Μαΐου 0 Θέμα Α: Α. Θεωρία, σελ. 8 Σχολικό Βιβλίο (απόδειξη) Α. Θεωρία, σελ. Σχολικό Βιβλίο (Ορισμός) Α. Θεωρία, σελ. 87 Σχολικό Βιβλίο (Ορισμός) α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ Θέμα Β: Β. P( ) lim (Πολλαπλασιάσαμε με την συζυγή παράσταση) x x( x x ) P( ) f '() αφού f '( x) ln x, x 0 Β. Έχουμε: Καραγιάννης Ιωάννης-Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Δωδεκανήσου

2 A P ', A' ( ) P( A') P( A') Ακόμα έχουμε: P( A') P( A) P( A) P( A) Όμως A P P( A) P( A) Άρα P( A') Β. A', P( A') P( ) P( ) 5 P( ) Τώρα έχουμε από τον αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας: P( ) P( ) 5 P( ) 5 P( ) ( ) 0 Για τα άλλα ζητούμενα έχουμε: Αφού τα ενδεχόμενα A B, B A είναι ασυμβίβαστα θα έχουμε: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Δωδεκανήσου

3 P(( A B) ( B A))) P( A) P( A B) P( B) P( A B) P( A) P( A B) P( B)( I ) P( A) P( ) P( ) 7 P( B) P( ) P( ) A B P( A B) P( ) 7 P(( A B) ( B A))) Ακόμα: ', ', A', A' ' P( A' ') P( ) Θέμα Γ [50, 50 c) [50 c,50 c) Γ Οι κλάσεις είναι [50 c,50 c) [50 c,50 c) Αφού η κεντρική τιμή της τέτερατης κλάσης είναι 85 θα έχουμε: 50 c 50 c 00 7c 70 c 0 85 Γ. Από τα δεδομένα προκύπτει ότι: f f. Επειδή υποθέτουμε ότι οι παρατηρήσεις κατανέμονται ομοιόμορφα στις κλάσεις και επειδή,από τον ορισμό η διάμεσος είναι η τιμή για την οποία το 50% των παρατηρήσεων εναι μικρότερες από αυτή και το 50% των παρατηρήσεων μεγαλύτερες από αυτήν και αφού η διάμεσος είναι 75 θα βρίσκεται στο μέσο της τρίτης κλάσης και άρα θα έχουμε: f f 0,5 f 0, Άρα και f 0, Ακόμα έχουμε f f 0, () και αφού η μέση τιμή είναι 7 θα έχουμε : Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Δωδεκανήσου

4 55 f 65 f 75 f 85 f 7 55 f 65 f 5 f f 5() Από το σύσημα των () και () προκύπτει ότι Άρα ο πίνακας συμπληρωμένος είναι: f f 0,. 0, Κλάσεις Κεντρικές τιμές Σχετικές συχνότητες [50,60) 55 0, [60,70) 65 0, [70,80) 75 0, [80,90) 85 0, Γ. Η μέση τιμή των παρατηρησεων που είναι μικρότερες του 80 είναι : x f x f x f 00 x (Ο τύπος αυτός προκύπτει εύκολα από τις σχ. συχνότητες) f f f Γ. Το ποσοστό του,5% αντιστοιχεί στο κάτω άκρο του διαστήματος της κανονκής κατανομής x s 7 () και το ποσοστό 6% αντιστοιχεί στο πάνω άκρο του διαστήματος της κανονικής κατανομής x s 68 (). Από την λύση του προηγούμενου συστήματος προκύπτει ότι: s x 70 Ο συντελεστής μεταβολής είναι Θέμα Δ C. V s και άρα το δείγμα είναι ομοιογενές. x 70 0 Δ.Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και είναι f '( x) ln x, x 0 Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(, f ()) είναι: y x f '() y x f () y x k Το εμβαδόν Ε που σχηματίζει η (ε) με τους άξονες είναι ( ) E ( ) Και άρα Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Δωδεκανήσου

5 και αφού κ ακέραιος κ= Δ. α) Η μέση τιμή των τεταγμένων των παρατηρήσεων είναι: x x... x x x 0 β) 50 i 50 i i x Αφού οι 5 παρατηρήσεις δεν μεταβλήθηκαν θα έχουμε ότι: i x Δ.Επειδή για x η f είναι γν. άυξουσα θα έχουμε ότι f ( a) f ( ) f ( ) f ( ). Ακόμα f '( ) 0. Επειδή η f είναι γν. αυξουσα για x και γν. φθίνουσα για 0 x θα έχει ελάχιστο στο x0 το f ( ) και άρα f ( x) f ( ) 0. Έτσι οι παρατηρήσεις διαταγμένες κατά φθίνουσα σειρά είναι : f '( ) f ( a) f ( ) f ( ) f ( ) και άρα το εύρος θα είναι: R f ( ) f '( ) Η μέση τιμή είναι των παρατηήσεων αυτών είναι: f ( a) f ( ) f ( ) f '( ) f ( ) a ln a ln ln Δ. Για να σχηματίζει η εφαπτομένη με τον άξονα χ χ οξεία γωνία θα πρέπει f '( t) 0ln t 0t άρα A t, t,... t0 Τώρα έχουμε (για το Β) f ( t) f '( t) t ( t ) ln t 0 t (0,) (, ) B t, t,... t 9 N( A) 0 α) P( A) N( ) 0 N( A B) 9 β) P( B) N( ) 0 (αφού τα κοινά τους στοιχεία 9, από το t έως το t 9 ) Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Δωδεκανήσου 5