όπου ω θετική σταθερά. Να εξετάσετε το ίδιο πρόβληµα µε ζη τούµενο µια συνάρτηση g(t), ώστε η χορδή να δέχεται εγκάρσιο κύµα µε κυµατοσυνάρηση:

Δίνεται ιδανική χορδή η οποία είναι τεντωµένη και ζητείται να προσδιοριστεί, εάν υπάρχει, µια συνάρτηση f(x) / - <x<+ ώστε η χορδή να δέχεται εγκάρσιο κύµα µε κυµατο συνάρτηση της µορφής: y(x, t) = f(x)ηµ ( ωt), - <x<+, t 0 (α) όπου ω θετική σταθερά. Να εξετάσετε το ίδιο πρόβληµα µε ζη τούµενο µια συνάρτηση g(t), ώστε η χορδή να δέχεται εγκάρσιο κύµα µε κυµατοσυνάρηση: y(x, t) = g(t)ηµ ( kx), - <x<+, t 0 (β) όπου k θετική σταθερά. ΛYΣH: Ένα εγκάρσιο κύµα που περιγράφεται από κυµατοσυνάρτηση της µορ φής (α) µπορεί να σχηµατίζεται κατά µήκος µιας τεντωµένης ιδανικής χορδής αν η κυµατοσυνάρτηση επαληθευει την κλασσική κυµατική εξίσωση: y t = y v, - x +, t 0 (1) x

όπου v η ταχύτητα διαδόσεως µιας εγκάρσιας διαταραχής στην χορδή. Παραγω γίζοντας την (α) δύο φορές ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: y t = ωf(x)συν ( ωt) y t = -ω f(x)ηµ ( ωt) () Παραγωγίζοντας εξάλλου την (α) δύο φορές ως προς την χωρική µεταβλητή x παίρνουµε: y x = df(x) ηµ ωt dx ( ) y x = d f(x) ηµ ( ωt) (3) dx Για να επαληθεύει η (α) την κυµατική εξίσωση (1) πρέπει: -ω f(x)ηµ ωt ( ) = v d f(x) dx ηµ ( ωt) d f(x) dx + ω f(x) = 0 (4) v Η (4) είναι µια γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και έχει λύση της µορφής: f(x) = Aηµ ω v x + ϕ, - x + (5) όπου Α, φ σταθερές ολοκληρώσεως που οι τιµές τους καθορίζονται από τις αρχι κές συνθήκες κίνησης της χορδής. Από την προηγούµενη ανάλυση προκύπτει ότι κατά µήκος τεντωµένης ιδανικής χορδής είναι επιτρεπτός ο σχηµατισµός κύµατος µε κυµατοσυνάρτηση: y(x,t) = Aηµ ω v x + ϕ ηµ ( ωt), - x +, t 0 (6)

Aν εργασθούµε µε τον ίδιο τρόπο µπορούµε να βρούµε µια συνάρτηση g(t), ώστε η κυµατοσυνάρτηση (β) να περιγράφει κύµα που είναι δυνατός ο σχηµατισµός του στην τεντωµένη ιδανική χορδή. Η συνάρτηση αυτή έχει την µορφή: g(t) = Bηµ ( kvt + θ), t 0 (7) όπου B, θ σταθερές ολοκληρώσεως που οι τιµές τους πάλι καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες κίνησης της χορδής. Ο αναγνώστης είναι εύκολο να αποδεί ξει ότι η συνάρτηση g(t) είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης: d g(t) dt + k v g(t) = 0 (8) Άρα κατά µήκος τεντωµένης ιδανικής χορδής είναι δυνατός ο σχηµατισµός κύµατος που περιγράφεται από κυµατοσυνάρτηση της µορφής: y(x,t) = Bηµ ( kvt + θ) ηµ ( kx), - x +, t 0 (9) P.M. fysikos Κατά µήκος ιδανικής χορδής διαδίδεται αρµο νικό κύµα του οποίου το στιγµιότυπο την χρονική στιγµή t=0 είναι η µαύρη συνηµιτονοειδής γραµµή του σχήµατος (1). i) Nα σχεδιάσετε την καµπύλη κατανοµής της κλίσεως των ση µείων της χορδής την χρονική στιγµή t=0. ii) Nα εξετάσετε εάν η χορδή µπορεί να δεχθεί κύµα που περιγ ράφεται από κυµατοσυνάρτηση της µορφής:

y(x,t) = Ae bt ηµ ( ωt-kx), - <x<+, t 0 (α) όπου Α, b, ω, k θετικές σταθερές. ΛYΣH: i) Aς δεχθούµε ότι η κυµατοσυνάρτηση που περιγράφει το αρµονικό κύµα που διαδίδεται κατά µήκος της ιδανικής χορδής έχει την µορφή: y(x,t) = Aηµ(ωt-kx + ϕ) (1) όπου το πλάτος Α του κύµατος, η κυκλική του συχνότητα ω, ο κυµαταριθµός του k και η αρχική φάση ταλάντωσης φ της αρχής Ο µέτρησης της χωρικής του µεταβλητής x θα προσδιορισθούν µε βάση τα µεγέθη y 0, v και α που αναγρά φονται στο στιγµιότυπο του κύµατος την χρονική στιγµή t=0. Παραγωγίζοντας Σχήµα 1 την σχέση (1) ως προς την χωρική µεταβλητή x παίρνουµε την κλίση y/ x στα σηµεία της χορδής κατά µια οποιαδήποτε χρονική στιγµή t, δηλαδή θα έχουµε: y(x,t)/ x = -kaσυν(ωt-kx + ϕ) ()

Η σχέση (1) για τα σηµεία x=0 και x=α την χρονική στιγµή t=0 δίνει: y 0 = Aηµϕ 0= Aηµ(-kα + ϕ) (3) Εξάλλου από το στιγµιότυπο του κύµατος την στιγµή t=0 προκύπτει ότι η κλί ση της χορδής στο σηµείο x=0 την στιγµή αυτή είναι µηδενική, οπότε από την () προκύπτει η σχέση: 0 = -kaσυνϕ ϕ = π / Έτσι από την πρώτη εκ των σχέσεων (3) προκύπτει Α=y 0 και από την δεύτερη: 0= Aηµ(-kα + π / ) π / -kα = ρπ kα = π / -ρπ όπου ρ ακέραιος. Όµως ο κυµαταριθµός k είναι θετικός, οπότε θα ισχύει: π / -ρπ > 0 ρ < 1 / που σηµαίνει ότι ρ=0 και εποµένως k=π/α. Τέλος η κυκλική συχνότητα του αρµονικού κύµατος είναι ω=vk=vπ/α. Η σχέση () την χρονική στιγµή t=0 γρά φεται: y(x, 0) x = - πy 0 α συν(π/-πx/α) y(x, 0) x = - πy 0 α ηµ πx α, - <x<+ (4) µατος () και δηλώνει πως κατανέµονται οι κλίσεις στα σηµεία της χορδής την

χρονική στιγµή t=0. Παρατηρούµε ότι στα σηµεία που η χορδή παρουσιάζει ακρότατα (µέγιστη ή ελάχιστη αποµάκρυνση) η κλίση τους είναι µηδενική. ii) Για να δέχεται η ιδανική χορδή κύµα που περιγράφεται από κυµατοσυνάρ τηση της µορφής (α), πρέπει η συνάρτηση αυτή να επαληθεύει την κλασσική κυµατική εξίσωση: y t = y v, - <x<+, t 0 (4) x Παραγωγίζοντας την (α) δύο φορές ως προς τον χρόνο t έχουµε: y t =-bae bt ηµ ωt-kx ( ) + Αωe bt συν ωt-kx ( ) y t =b Ae bt ηµ ωt-kx ( ) -bωae bt συν ωt-kx ( ) - -bαωe bt συν ( ωt-kx) -Αω e bt ηµ ( ωt-kx) (5) Παραγωγίζοντας ακόµα την (α) δύο φορές ως προς την χωρική µεταβλητή x παίρνουµε: y x =-kae bt συν ( ωt-kx) y x =-k Ae bt ηµ ( ωt-kx) (6) Συνδυάζοντας την (4) µε την (5) και (6) προκύπτει: b ηµ ( ωt-kx) -bωσυν ( ωt-kx) -ω ηµ ( ωt-kx) =-k v ηµ ( ωt-kx)

b ηµ ( ωt-kx) -bωσυν ( ωt-kx) -ω ηµ ( ωt-kx) =-ω ηµ ( ωt-kx) bηµ ( ωt-kx) -ωσυν ( ωt-kx) = 0 bηµ ( ωt-kx) = ωσυν ( ωt-kx) (7) H (7) πρέπει να ισχύει για κάθε t 0 και x (-, + ) και αυτό δεν συµβαίνει για το ζευγάρι (x=0, t=0), παρά µόνο όταν ω=0. Άρα η ιδάνική χορδή δεν µπορεί να δεχθεί κύµα που περιγράφεται µε την κυµατοσυνάρτηση (α). To συµπέρασµα αυτό ήταν αναµενόµενο, διότι µια ιδανική χορδή µπορεί να δεχτεί κύµατα που δεν µεταβάλλουν την ενέργεια ταλαντώσεώς της, ένω το κύµα που αντιστοιχεί στην κυµατοσυνάρτηση (α) είναι ένα αποσβενύµενο κύµα, που θεωρείται ένα γενικευµένο κύµα. P.M. fysikos Μια ελαφριά χορδή µε σταθερά άκρα εκτείνεται από το σηµείο x=0 µέχρι το σηµείο x=l και τείνεται µε σταθερή τάση F. Η χορδή παρουσιάζει ανοµοιογένεια µάζας και συγκεκριµένα η γραµµική της πυκνότητα µ µεταβάλλεται γραµµικά από το σηµείο x=0 µέχρι το σηµείο x=l σύµφωνα µε την σχέση: µ=µ 0 + αx 0 x L όπου µ 0, α θετικές σταθέρες ποσότητες. i) Εάν η χορδή εκτελεί εγκάρσιες ταλαντώσεις µικρού πλάτους, να βρεθεί η κυµατική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση της χορδής ii) Να υπολογιστεί ο χρόνος που χρειάζεται ένας εγκάρσιος παλµός για να ταξιδέψει από το ένα άκρο της χορδής στο άλλο.

ΛΥΣΗ: i) Στο 1ο παράδειγµα αποδείχθηκε ότι η γενικευµένη κυµατική εξί σωση που περιγράφει ένα µονοδιάστατο κύµα που διαδίδεται κατά µήκος µιας τεντωµένης χορδής µε µικρές παραµορφώσεις, έχει την µορφή: µ(x) y t = x F(x) y x + f(x,t) (1) όπου µ(x), F(x) oι συναρτήσεις µεταβολής της γραµµικής πυκνότητας και της τάσεως αντιστοίχως της χορδής και f(x,t) η εγκάρσια εξωτερική δύναµη ανά µονάδα µήκους, που ενδεχοµένως δέχεται η χορδή από το περιβάλλον της. Στην περίπτωσή µας η ταση της χορδής είναι σταθερή και ίση µε F, η συνάρτη ση f(x,t) είναι µηδενική και τέλος ισχύει µ(x)=µ 0 +αx µε 0 x L. Με τις δεσµεύ σεις αυτές η (1) γράφεται: ( µ 0 + αx) y t = x F y x ( µ + αx 0 ) y t =F y x y t = F µ 0 + αx y x, 0 x L () H () αποτελεί µια µη οµογενή διαφορική εξίσωση µε µερικές παραγώγους η λύ ση της οποίας απαιτεί ειδικές γνώσεις της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων. ii) Η φασική ταχύτητα του εγκάρσιου παλµού που δηµιουργείται στο ένα άκο της χορδής µεταβάλλεται µε την απόσταση x από το άκρο αυτό σύµφωνα µε την σχέση: v(x) = F µ(x) = F µ 0 + αx, 0 x L (3) Όµως εξ ορισµού η φασική ταχύτητα του παλµου δίνεται και από την σχέση:

v(x) = dx dt (3) F µ 0 + αx = dx dt dt F = µ 0 + αx dx (4) Ολοκληρώνοντας την (4) µε όρια ολοκληρώσεως για την µεταβλητή x το µηδέν και L υπολογίζουµε τον χρόνο t * που χρειάζεται ο παλµός να διανύσει το µήκος L της χορδής, µέσω της σχέσεως: L ( ) 1 dx t * F = µ 0 + αx t * F = 1 α 0 L ( µ 0 + αx) 1 d ( µ 0 + αx) 0 t * = 3α ( F µ + αx 0 ) 3/ L 0 = 3α F µ + αl 0 ( ) 3/ -(µ 0 ) 3/ t * = (µ 0 )3/ 3α F µ 0 + αl µ 0 3/ -1 (5) P.M. fysikos Mια τεντωµένη χορδή µεγάλου µήκους, είναι βυ θισµένη σε παχύρευστο υγρό, το οποίο εξασκεί σε κάθε στοιχείο της δύναµη τριβής, η οποία είναι αντίρροπη της εγκάρσιας ταχύτητας ταλάντωσης του στοιχείου και η αλγεβρική της τιµή ικανοποιεί την σχέση: F τ =-α ( y/ t)dx όπου dx το µήκος του θεωρούµενου στοιχείου και α θετικός συντε λεστής αναλογίας χαρακτηριστικός του υγρού.

i) Nα βρείτε την διαφορική εξίσωση που περιγράφει την ταλάντωση της χορδής, όταν αυτή διεγερθεί. ii) Nα δείξετε ότι η χορδή δεν µπορεί να δεχθεί αρµονικό κύµα µε κυ µατοσυνάρτηση y(x,t) = Ae i(kx ωt), µπορεί όµως να δεχθεί ένα γενικευ µένο κύµα που περιγράφεται από κυµατοσυνάρτηση της µορφής: y(x,t) = Ae λx e i(κx ωt) και ονοµάζεται αποσβενύµενο κύµα. iii) Nα υπολογίσετε τους συντελεστές λ, k στην περίπτωση που η θετι κή σταθερά α είναι πολύ µικρή, ώστε να αγνοηθούν όροι που εξαρτών ται από το α ή και από ανώτερες δυνάµεις του α. ΛYΣH: i) Θεωρούµε ένα στοιχειώδες τµήµα της χορδής το οποίο σε κατάσταση ηρεµίας έχει µήκος dx και βρίσκεται µεταξύ των θέσεων x και x+dx. (σχ. 3). Mε την προϋπόθεση ότι η εγκάρσια ταλάντωση της χορδής οδηγεί σε µικρές παρα µορφώσεις αυτής από την θέση ισορροπίας, µπορούµε να δεχθούµε ότι σε καθέ σηµείο της η κλίση y/ x είναι πολύ µικρή, δηλαδή ισχύει y/ x<<1. Εάν ds είναι το µήκος του θεωρούµενου τµηµατος της χορδής όταν αυτή βρίσκεται σε κατάσταση παραµορφώσεως θα έχουµε την σχέση: ds = dx + dy = dx 1 + (dy/dx) ds = dx 1 + ( y/ x) dx δηλαδή οι µικρές παραµορφώσεις της χορδής ελάχιστα µεταβάλλουν το µήκος της. Εξάλλου στό εδάφιο (6) του Α! Μέρους της ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ αποδειχθηκε ότι η συνισταµένη την δυνάµεων έλξεως που δέχεται το εξεταζόµενο στοιχειώδες τµήµα της χορδής από τα εκατέρωθέν αυτού τµήµατα της χορδής έχει την διεύθυνση του άξονα y και η αλγεβρική της τιµή Σ(F y ) ικανοποιεί την σχέση:

Σ(F y )= Fdx y x (1) όπου F το σταθερό µέτρο της τάσεως της χορδής και y η αποµάκρυνση του στοιχειώδους τµήµατος από την θέση ισορροπίας του, κατά την χρονική στιγµή που εξετάζουµε την χορδή. Όµως το τµήµα αυτό δέχεται και δύναµη τριβής F τ, της οποίας η αλγεβρική τιµή είναι: F τ = -α y t dx () Σχήµα Eφαρµόζοντας για το τµήµα αυτό της χορδής τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, παίρνουµε την σχέση: Σ(F y )+F τ =dm a y (1) F y ( ) x dx-α y t dx=µdx y t µ y t +α y t =F y x y t + α y µ t = F µ y x

y y y +b t t =v x (3) όπου τέθηκε b=α/µ, ενώ το πηλίκο F/µ αποτελεί το τετράγωνο της ταχύτητας διαδόσεως v του κύµατος στην χορδή. H σχέση (3) αποτελεί την ζητούµενη δια φορική εξίσωση, όταν η χορδή εκτελεί µικρές ταλαντώσεις εντός του παχύρευ στου υγρού και θεωρείται µια γενικευµένη κυµατική εξίσωση σε σχέση µε την κλασσική κυµατική εξίσωση. ii) Aς δεχθούµε ότι η χορδή µπορεί να δεχθεί αρµονικό κύµα µε κυµατοσυνάρ τηση y(x,t) = Ae i(kx ωt) (4) Παραγωγίζοντας την (4) δύο φορές ως προς τον χρόνο t και ως προς την χωρι κή µεταβλητή x παίρνουµε τις σχέσεις: y ωt) =-Aiωei(kx, t y t =-Aω i(kx ωt) e, y x =-Ak i(kx ωt) e και αντικαθιστώντας στην κυµατική εξίσωση (3) παίρνουµε: -Aω e i(kx ωt) -Abiωe i(kx ωt) =-Av k i(kx ωt) e ω + biω =v k ω -v k = -biω (4) Tετραγωνίζοντας την (4) έχουµε: ( ω -v k ) = -b ω (5)

H σχέση (5) στο συνολό των πραγµατικών αριθµών είναι αδύνατη, διότι το πρώ το µέλος της είναι θετικός αριθµός και το δεύτερο µέλος της αρνητικός, που σηµαίνει ότι η (4) δεν αποτελεί λύση της κυµατικής εξίσωσης (3) ή ισοδύναµα η θεωρούµενη χορδή δεν µπορεί να δεχθεί αρµονικό κύµα. Όµως η (5) µπορεί να γίνει αποδεκτή αν δεχθούµε ότι ο κυµαταριθµός k είναι µιγαδικός αριθµός της µορφής k=k+iλ και τότε η σχέση (4) µπορεί να ικα νοποιηθεί µετασχηµατιζόµενη ως εξής: ω -v ( K + iλ ) = -biω ω -v ( K -λ + iκλ ) = -biω ω -v ( K -λ ) -iκλv = -biω K -λ =ω /v Κλ = bω/v K -λ =ω /v Κλ = αω/µv K -λ =ω /v Κλ = αω/f (6) Aπό τις σχέσεις (6) οι ποσότητες Κ, λ θεωρούνται γνωστές και τότε η λύση της κυµατικής εξίσωσης (3) παίρνει την µορφή: y(x,t) = Ae i[(k+iλ )x ωt] y(x,t) = Ae λx e i(kx ωt) (7) H (7) περιγράφει ένα γενικευµένο κύµα, που ονοµάζεται αποσβενύµενο κύ µα, µπορεί δε να γραφεί και µε την τριγωνοµετρική µορφή: y(x,t) = Ae λx συν(kx-ωt) (8) iii) Aν µεταξύ των σχέσεων (6) απαλέιψουµε το Κ, εύκολα βρίσκουµε:

α ω 4λ F -λ = ω v (9) Στην περίπτωση που ο συντελεστής α είναι πολύ µικρός ο όρος α ω /4λ F στην σχέση (9) µπορεί να παραλειφθεί και τότε προκύπτει λ = ± ω /v, µε δεκτό το θετικό προσηµο, διότι στην αντίθετη περίπτωση οι δονήσεις της χορδής θα ήσαν πολύ µεγάλες συµφωνα µε την κυµατοσυνάρτηση (8). Έτσι τελικώς για τα Κ και λ θα έχουµε: λ =ω/v Κ = αv/f (10) και η κυµατοσυνάρτηση (8) παίρνει την τελική της µορφή: y(x,t) = Ae ω x/v συν (αv/f)x-ωt) P.M. fysikos Mια τεντωµένη χορδή µήκους L µε σταθερά άκρα, είναι βυθισµένη σε υγρό, το οποίο εξασκεί σε κάθε στοιχείο της δύνα µη τριβής, η οποία είναι αντίρροπη της ταχύτητας ταλάντωσης του στοιχείου. Όταν η χορδή διεγείρεται εκτελεεί εντός του υγρού εγκάρ σια ταλάντωση εκατέρωθεν της θέσεως ισορροπίας της η οποία ακο λουθει την κυµατική εξίσωση: y t y y +b t =v x, 0 x L, t 0 (α) όπου v η ταχύτητα διαδόσεως εγκάρσιου κύµατος κατά µήκος της χορδής και b συντελεστής αναλογίας χαρακτηριστικός του υγρού µε 0<b<πv/L. Εάν ο συντελεστής b είναι αρκετά µικρός, ώστε οι όροι

στους οποίους εµφανίζεται στην η ή και µεγαλύτερη δύναµη να παραλείπονται, να βρείτε την κυµατοσυνάρτηση που περιγράφει την ταλάντωση της χορδής, δοκιµάζοντας µια λύση, της µορφής: y(x,t) = f(t)e ikx όπου η σταθερά k και η συνάρτηση f(t) απαιτούν προσδιορισµό. ΛYΣH: Aς επιχειρήσουµε να προσδιορίσουµε µια συνάρτηση f(t), ώστε όταν η χορδή διεγείρεται αρµονικά µε κυκλική συχνότητα ω, η (α) να δέχεται λύση της µορφής: y(t,x) = f(t)e ikx (1) Παραγωγίζοντας την (4) δύο φορές ως προς την µεταβλητή x, έχουµε: y x =f(t) d(eikx ) dx =ikf(t)eikx y x =-k f(t)e ikx () Παραγωγίζοντας την (α) ως προς τον χρόνο t δύο φορές έχουµε: y t = df(t) dt eikx y t = d f(t) dt e ikx (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (α), (), (3) παίρνουµε την σχέση: d f(t) dt e ikx + b df(t) dt eikx =-k v f(t)e ikx

d f(t) + b df(t) dt dt +k v f(t)=0 d f(t) dt + b df(t) dt +ω f(t)=0 (4) µε ω = k v. H (4) αποτελεί µια γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές, της οποίας η χαρακτηριστική εξίσωση έχει την µορ φή: q + bq + ω = 0 (5) οι δε ρίζες της q 1, q υπολογίζονται από τις σχέσεις: q 1 = - b + 1 b -4ω q = - b - 1 b -4ω (6) Επειδή το άκρο x=l της χορδής παραµένει συνεχώς ακίνητο στην διάρκεια της δόνησής της, θα ισχύει: συνkl = 0 kl = n + 1 π kv = n + 1 πv L ω = n + 1 πv L n=0, 1,,... (7) Eξάλλου µε βάση την (7) για την διακρίνουσα Δ της (5) θα έχουµε: Δ = b -4ω = b -4 n + 1 πv L (8) Όµως υπάρχει για το πρόβληµα ο περιορισµός:

b < vπ L b < 4 vπ L < 4 n + 1 vπ L (7) b < 4ω b -4ω < 0 Δ < 0 δηλαδή οι ρίζες της (5) είναι µιγαδικές και επειδή o συντελεστής b είναι αρκετά µικρός, ώστε το τετράγωνό του να θεωρείται ασήµαντο ως προς την ποσότητα 4ω, οι σχέσεις (6) µε ικανοποιητική προσέγγιση γράφονται: q 1 - b + -4ω q - b - -4ω = - b + iω = - b + iω (9) Με βάση τα παραπάνω η λύση της διαφορικής εξίσωσης (4) έχει την εκθετική µορφή: f(t)= C 1 e q 1 t + C e q t = e bt/ ( C 1 e iωt + C e iωt ) (10) ή την τριγωνοµετρική µορφή: f(t)= e bt/ ( C 1 συνωt + C ηµωt) (11) όπου οι σταθερές C 1, C θα προσδιορισθούν µε βάση τις αρχικές συνθήκες κίνη σης της χορδής που ορίζουν οι συναρτήσεις θέσεως και ταχύτητας: y(x, 0) = F(x) y(x,0) = G(x) 0 x L

των σηµείων της την στιγµή t=0. Eίναι προφανές ότι µια µερική λύση της κυµα τικής εξίσωσης (α) της χορδής θα έχει την µορφή: y(x,t)= e bt/ ( C 1 συνωt + C ηµωt) συνkx, και k = ω = ( n+1/) ( π/l), n = 0, 1,,... ( n+1/) ( vπ/l), n = 0, 1,,... Σε κάθε επιτρεπτή τιµή του n αντιστοιχεί και ένας ορισµένος τροπός ταλάντω σης της χορδής, δηλαδή προκύπτει επί της χορδής ένα µε µικρή απόσβεση γινικευµένο κύµα συγκεκριµένης κυκλικής συχνότητας ω και συγκεκριµένου κυµαταριθµού k. Παρατήρηση: Eάν o συντελεστής b έχει αρκετά µεγάλη τιµή είναι δυνατόν η διακρίνουσα Δ της χαρακτηριστικής εξίσωσης (6) να είναι θετική, οπότε οι ρίζες της θα είναι πραγµατικές και θα έχουν την µορφή: q 1 = - b + Δ = - b + b -4ω q = - b + Δ = - b - b -4ω και η λύση της διαφορικής εξίσωσης (4) θα είναι: f(t)= C 1 e q 1 t + C e q t = e bt/ C 1 e t b -4ω / + C e -t b -4ω / (10) η οποία εκφράζει µια µη χρονικά περιοδική κίνηση της χορδής, δηλαδή ότι αν

στην περίπτωση αυτή η χορδή διεγερθεί θα δεχθεί ένα γενικευµένο απεριοδικό κύµα που πολύ γρήγορα θα αποσβεσθεί (κύµα µε ισχυρή απόσβεση). Τέλος εάν o συντελεστής b έχει τιµή που µηδενίζει την διακρίνουσα Δ, τότε οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης (6) θα είναι ίσες µε b/ και η λύση της διαφορικής εξίσωσης (4) θα έχει την µορφή: f(t) = e bt/ ( C 1 + tc ) (11) δηλαδή επί της χορδής θα προκύψει ένα γενικευµένο κύµα µε κρίσιµη απόσβε ση. P.M. fysikos