αλλά και µε τυρβώδεις διαδικασίες όπως u ω, ( u u ).

ΡΟΗ 24 4η Επιστηµονική Συνάντηση Μηχανικής Ρευστών ΕΜΠ, Αθήνα 26 Νοεµβρίου 24 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ HELICITY ΤΥΡΒΩ ΟΥΣ ΠΕ ΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΤΡΟΒΙΛΟΥ Α. Ρωµαίος,.. Παπαηλιού, Θ. Πανίδης Εργαστήριο Τεχνικής Θερµοδυναµικής, Τµήµα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών, Πανεπιστήµιο Πατρών, 2654 Πάτρα-Ρίο Τηλέφωνο: 26-99725, e-mail: romeos@mech.upatras.gr Περίληψη Στην παρούσα εργασία έγινε προσπάθεια να διερευνηθεί ο ρόλος και η σηµασία της helicity στα τυρβώδη φαινόµενα. Η έννοια της helicityέχει εισαχθεί στη µελέτη φαινοµένων µαγνητορευστοδυναµικής και ροών µεγάλης κλίµακας και η πιθανή σηµασία της στην περιγραφή της τύρβης έχει πρόσφατα αναγνωρισθεί από τον Moatt. Το ροϊκό πεδίο που εξετάζουµε είναι το τυρβώδες πεδίο δύο οµόρροπα περιστρεφόµενων στροβίλων που δηµιουργείται πίσω από δύο ηµι-πτέρυγες (NACA 3) µε ίσες και αντίθετες γωνίες προσβολής, τοποθετηµένες σε υποηχητική αεροσήραγγα ανοιχτού κυκλώµατος. Οι πειραµατικές µετρήσεις έγιναν µε τη µέθοδο της ανεµοµετρίας θερµού νήµατος και τη χρήση αισθητήρα πολλαπλών νηµάτων (2-wire) που σχεδιάστηκε και κατασκευάστηκε στο εργαστήριο Τεχνικής Θερµοδυναµικής. Το πλεονέκτηµα του συγκεκριµένου αισθητήρα είναι η δυνατότητα του να µετρά ταυτόχρονα το τυρβώδες πεδίο ταχύτητας και στροβιλότητας. Η παρουσίαση επικεντρώνεται στη στατιστική περιγραφή του πεδίου της helicity και στην εκτίµησή των δυνατοτήτων της για τον καθορισµό της τοπολογίας αλλά και της εξέλιξης των τυρβωδών ροών. Η ανάλυση του µέσου πεδίου αλλά και των κατανοµών πυκνότητας πιθανότητας (pd, joint pd) έδειξε τη σηµαντική συσχέτιση της helicity µε το dissipation αλλά και µε τυρβώδεις διαδικασίες όπως u ω, ( u u ). 2 i i Εισαγωγή Ερευνητικές µελέτες σε τυρβώδη φαινόµενα, έχουν καταδείξει το σηµαντικό ρόλο τον οποίο παίζουν οι περιδινούµενες µεγάλης κλίµακας συνεκτικές δοµές, στη δυναµική εξέλιξη των τυρβωδών ροών. Είναι πολύ σηµαντικό να µπορέσουµε να κατανοήσουµε τη φύση των δοµών αυτών και να προσδιορίσουµε ποιοτικά όσο και ποσοτικά τη συµπεριφορά τους. Οι Levich, Levich & Tsinober (984), συνέδεσαν την helicity µε την τοπολογία της τυρβώδους ροής. Η helicity ορίζεται ως το ολοκλήρωµα σε έναν όγκο ελέγχου, του εσωτερικού γινοµένου των διανυσµάτων της ταχύτητας και της στροβιλότητας. H = u ω dv Εξίσου σηµαντική είναι και η τοπική τιµή της helicity u ω, λόγω της χωρικής µεταβολής της στις τυρβώδεις ροές. Η αναλογία µεταξύ των εξισώσεων Euler για ασυµπίεστη άτριβη ροή και των µαγνητοστατικών εξισώσεων οδήγησε τον Moatt (969, 985) στην υπόθεση ότι η τύρβη µπορεί να περιγραφεί µε βάση τις εξισώσεις Euler, των οποίων οι µόνιµες λύσεις αποτελούν σηµεία αναφοράς γύρω από τα οποία εξελίσσονται οι µη µόνιµες λύσεις. Επιπλέον, υπέθεσε ότι οι περιοχές των µόνιµων λύσεων των εξισώσεων αυτών χαρακτηρίζονται από υψηλές τιµές helicity και χαµηλές τιµές dissipation, προσδιορίζοντας έτσι τις συνεκτικές δοµές. Βασιζόµενοι στην υπόθεση αυτή του Moatt, πολλοί ερευνητές προσπάθησαν να ερµηνεύσουν τη σχέση της helicity µε τα φαινόµενα µεταφοράς ενέργειας, και να κατανοήσουν την επίδρασή της στις δοµές της τύρβης. V 39

Στο συµπέρασµα ότι η helicity επιδρά κατασταλτικά στην παραγωγή της τύρβης και τη διαδικασία µεταφοράς της στις µικρότερες κλίµακες (cascade), κατέληξε ο Kraichnan(973) καθώς και οι Andre & Lesieur(977). Οι Levich & Tsinober (983), υποστήριξαν ότι η οργανωµένη κίνηση µεγάλων συνεκτικών δοµών είναι καθολική παγκόσµια και εσωτερική ιδιότητα των τυρβωδών ροών ακόµη και των ισότροπων ή των οµογενών και όχι απαραίτητα το αποτέλεσµα κάποιων ασταθειών. Επιπλέον, πιθανολογούν ότι σε πλήρως ανεπτυγµένες τυρβώδεις ροές, όλες οι τρισδιάστατες οργανωµένες συνεκτικές κινήσεις πρέπει να είναι ελικοειδής. Οι συνεκτικές αυτές κινήσεις, έχουν σχεδόν σταθερές τιµές µη µηδενικής helicity κατά τη διάρκεια της ζωής τους. Στηριζόµενοι στην υπόθεση του Moatt, διατύπωσαν την άποψη ότι η ύπαρξη ελικοειδών δοµών σε τρισδιάστατες τυρβώδεις ροές µπορούν να ερµηνεύσουν τις συνεκτικές δοµές καθώς και τα φαινόµενα διαλειπτότητας (intermittency). Εισήγαγαν την έννοια της ιεραρχίας των ελικοειδών διακυµάνσεων (διακυµάνσεων της helicity) τις οποίες θεωρούν υπεύθυνες για τον καθορισµό της αλληλουχίας των κλιµάκων των δοµών (ractals) στην τύρβη, προβλέποντας τον κατασταλτικό ρόλο που παίζουν στη µεταφορά της ενέργειας προς τις µικρότερες κλίµακες. Υποστηρίζοντας τα παραπάνω, οδηγούνται στο συµπέρασµα ότι η helicity είναι σηµαντική και παγκόσµια ιδιότητα των τρισδιάστατων συνεκτικών δοµών σε τυρβώδεις αλλά και µεταβατικές ροές. Ο Pelz et.al. (985, 986), εφαρµόζοντας την διανυσµατική ταυτότητα για την ταχύτητα και τη στροβιλότητα και χρησιµοποιώντας την εξίσωση των Navier Stokes για ασυµπίεστη ροή 2 2 2 2 u ρ u u u ω + u ω = u ω, u ω = + + 2 ν u t p 2 υπέθεσε ότι στις περιοχές που η helicity είναι σηµαντική, η επίδραση στην εξέλιξη της ροής του µη γραµµικού όρου u ω (διάνυσµα Lamb) της εξίσωσης µειώνεται. Ο µη γραµµικός όρος u ω είναι ανάλογος της δύναµης Coriolis και οι µεγάλες τιµές του είναι άµεσα συνδεδεµένες µε τον υψηλό ρυθµό µεταφοράς ενέργειας από τις µεγαλύτερες προς τις µικρότερες κλίµακες της ροής. Το γεγονός ότι η ελικοειδής συµπεριφορά περιοχών ρευστού ανακόπτει την µετατροπή και καταστροφή της ενέργειας, µας οδηγεί στο να συµπεράνουµε ότι η ελικοειδής αυτή συµπεριφορά είναι αιτία της διατήρησης των συνεκτικών δοµών. Αυτό υποδηλώνει ότι ένα τυρβώδες πεδίο τείνει να αναπτυχθεί προς την κατεύθυνση στην οποία δηµιουργεί ελικοειδείς δοµές. Ο Hussain (986) σε µεταβατική ροή, παρατήρησε περιοχές στις οποίες συνυπάρχουν υψηλές τιµές της helicity και του dissipation σε αντιδιαστολή µε περιοχές στα άκρα των κατανοµών του, όπου τα αποτελέσµατά του υποστηρίζουν την υπόθεση του Moatt. Με βάση αυτά τα αποτελέσµατα ισχυρίζεται ότι σε πλήρως αναπτυγµένες τυρβώδεις ροές αναµένονται υψηλές τιµές του dissipation να εµφανίζονται µέσα στις συνεκτικές δοµές οι οποίες δεν είναι αποκλειστικά ελικοειδείς. Πειραµατικές µετρήσεις της helicity, σε τυρβώδη ροή πίσω από πλέγµα, έγιναν για πρώτη φορά από τους Kit & Tsinober (987), χρησιµοποιώντας µέθοδο ανεµοµετρίας θερµού νήµατος και αισθητήρα πολλαπλών νηµάτων (9-wire). Τα αποτελέσµατά τους επιβεβαιώνουν σε µεγάλο βαθµό αυτά του Pelz, καθώς διαπίστωσαν ότι τα πεδία της ταχύτητας και της στροβιλότητας έχουν την τάση να γίνουν παράλληλα, ένδειξη της αλληλεπίδρασης µεταξύ των µεγάλων και µικρών δοµών στην τύρβη. Χαρακτηριστικές επίσης είναι και οι φασµατικές κατανοµές τους, οι οποίες και ενισχύουν την υπόθεση ότι το πεδίο ταχύτητας καθορίζεται από τις µεγάλες δοµές ενώ αντίθετα το πεδίο στροβιλότητας κυρίως από τις µικρές. Οι Wallace, Balint και Ong (992), χρησιµοποιώντας µέθοδο ανεµοµετρίας θερµού νήµατος και αισθητήρα αντίστοιχο των Kit & Tsinober, µέτρησαν ταυτόχρονα το πεδίο ταχύτητας και στροβιλότητας τυρβώδους ροής πίσω από πλέγµα καθώς και ροής σε στρώµα µείξης. Τα αποτελέσµατά τους δεν ενισχύουν καθόλου αυτά των Kit & Tsinober ενώ είναι παρόµοια µε τα υπολογιστικά αποτελέσµατα (DNS) των Rogers & Moin (987). Στις τυρβώδεις ροές που µελέτησαν, δεν διέκριναν σηµαντική συσχέτιση µεταξύ helicity και dissipation αλλά ούτε και την τάση του πεδίου να αναπτυχθεί προς την κατεύθυνση στην 4

οποία δηµιουργεί ελικοειδείς δοµές δηλαδή την τάση των διανυσµάτων της ταχύτητας και στροβιλότητας να γίνουν παράλληλα. Οι Borue & Orszag (997) µελετώντας τρισδιάστατη οµογενή ισότροπη τύρβη, µε υψηλό αριθµό Reynolds, θεωρούν ότι η helicity δεν παίζει σηµαντικό ρόλο στo µηχανισµό µεταφοράς ενέργειας (energy cascade) από τις µεγάλες προς τις µικρές δοµές, αφού η ύπαρξή της κυριαρχεί στις µεγάλες δοµές και γίνεται αµελητέα στις µικρές. Ωστόσο, είναι απαραίτητη η περαιτέρω διερεύνηση της φύσης της helicity και της επίδρασής της στις τυρβώδεις ροές, καθώς οι πειραµατικές µελέτες είναι πολύ περιορισµένες κυρίως λόγω της δυσκολίας ταυτόχρονης µέτρησης των διανυσµάτων της ταχύτητας και της στροβιλότητας. Στατιστική περιγραφή της helicity Χρησιµοποιώντας τη εξίσωση του Moatt για την helicity, µπορούµε να ορίσουµε την helicity density ( H ), u H = ω () και κατά συνέπεια τη relative helicity density h, u ω h = = cosθ (2) u ω Οι µεταβλητές u, ω εκφράζουν τα διανύσµατα της ταχύτητας και της στροβιλότητας του πεδίου αντίστοιχα. Η στροβιλότητα ( ω ) σχετίζεται µε το πεδίο της ταχύτητας µέσω της σχέσης ω = curl u = u. Η relative helicity density είναι µία αδιάστατη µορφή του H που προκύπτει από την ανάλυση του εσωτερικού γινοµένου u ω και εκφράζει το συνηµίτονο και κατά συνέπεια τη γωνία (θ ) των διανυσµάτων της ταχύτητας και της στροβιλότητας. Οι µεταβλητές H και h είναι τοπικές µεταβλητές του πεδίου, οι τιµές των οποίων εξαρτώνται και από τη σχετική θέση του διανύσµατος της ταχύτητας στο χώρο. Για το λόγο αυτό δεν µπορούµε να ορίσουµε την h ως µία αναλλοίωτη µεταβλητή (Galilean invariance) του πεδίου και εποµένως έχει ιδιαίτερη σηµασία να καθορίζουµε ποια ταχύτητα χρησιµοποιούµε κάθε φορά στον ορισµό. Ο Pelz διαπίστωσε ότι χρησιµοποιώντας τις στιγµιαίες τιµές των διανυσµάτων, για να προσδιορίσει τη relative helicity density, υπάρχει µεγαλύτερη πιθανότητα τα πεδία της ταχύτητας και της στροβιλότητας να είναι παράλληλα. Αντίστοιχα, µπορούµε να ορίσουµε τις ποσότητες H m = U Ω (3), H = u' ω' (4), καθώς και τις U Ω u' ω' h m = (5), h U Ω = (6), u' ω' όπου U, Ω, u', ω' είναι οι µέσες και οι διακυµαινόµενες τιµές των πεδίων της ταχύτητας και της στροβιλότητας αντίστοιχα. Οι εκφράσεις των H και h στις εξισώσεις (4), (6) αποτελούν αναλλοίωτες µεταβλητές του πεδίου. Σύµφωνα µε τους Hunt & Husain (99) και για µια τυρβώδη ροή συνεκτικών δοµών µεγάλης κλίµακας, µπορούµε να διαχωρίσουµε το συνεκτικό πεδίο της ταχύτητας και στροβιλότητας ( uc, ω c ), από το µη συνεκτικό στοχαστικό πεδίο των µικρών δοµών ( urc, ω rc ). Εφόσον u = u c + urc και u = u + ur, τότε το µέσο πεδίο των u, ω θα καθορίζεται από το πεδίο των uc, ωc, ενώ στο στοχαστικό πεδίο ur, ωr υπάρχει συνεισφορά από το συνεκτικό αλλά και το µη συνεκτικό πεδίο της ροής. 4

Κατά συνέπεια, ορίζεται η στοχαστική helicity συνεκτικών δοµών hrc = u rc ωrc. hr = u r ωr και η στοχαστική helicity των Πειραµατική διάταξη & ιαδικασίες µέτρησης Η πειραµατική µελέτη έγινε στην υποηχητική αεροσήραγγα ανοιχτού κυκλώµατος του εργαστηρίου Τεχνικής Θερµοδυναµικής. Ο θάλαµος δοκιµών έχει διαστάσεις διατοµής 3cm X 5cm και µήκος 3cm. Το επίπεδο της µετρούµενης τύρβης στην ελεύθερη ροή της αεροσήραγγας ήταν αρκετά χαµηλό της τάξης του.2%. Χρησιµοποιήθηκε διάταξη ηµιπτερύγων (split wing) τοποθετηµένη στην είσοδο του τµήµατος δοκιµών για την παραγωγή ζεύγους οµόρροπα περιστρεφόµενων στροβίλων (Σχ.a). Οι ηµιπτέρυγες έχουν προφίλ αεροτοµής NACA 3 µε µήκος χορδής c= cm, είναι τοποθετηµένες στο ύψος του άξονα του θαλάµου δοκιµών κατά µήκος της µεγαλύτερης διάστασής του και σχηµατίζουν γωνίες προσβολής µε τη ροή α = ±8. Οι ηµιπτέρυγες συνδέονται κατά τον άξονα τους µε τµήµα κυλίνδρου διαµέτρου d = cm µε διάκενο µεταξύ τους l =. c = cm. Οι µετρήσεις διεξήχθησαν σε αριθµό Reynolds, βασισµένο στο µήκος της χορδής c και ίσο µε Re =.3 5. Για την ταυτόχρονη µέτρηση των τρισδιάστατων πεδίων ταχύτητας-στροβιλότητας εφαρµόσθηκε τεχνική ανεµοµετρίας θερµού νήµατος µε χρήση αισθητήρα πολλαπλών νηµάτων (2-wire) που σχεδιάστηκε και κατασκευάσθηκε στο εργαστήριο Τεχνικής Θερµοδυναµικής, και αποτελεί βελτιωµένη µορφή αυτού που αναπτύχθηκε από τους Dracos and Lemonis (995), Lemonis (995) (Σχ.b). Το σήµα από τον αισθητήρα µεταφέρεται σε σύστηµα συλλογής και αποθήκευσης δεδοµένων (data acquisition system) ικανό για ταυτόχρονη δειγµατοληψία από όλους τους αισθητήρες µε κατάλληλο ρυθµό. Σχ.: a) ιάταξη των πτερύγων b) Αισθητήρας πολλαπλών νηµάτων (2-wire sensor) Ανάλυση αποτελεσµάτων Οι πειραµατικές µετρήσεις που αναφέρονται, αντιστοιχούν στη θέση x/c=.3, πίσω από το άκρο των δύο πτερύγων, όπου x είναι η διαµήκης απόσταση από το άκρο της πτέρυγας και c το µήκος της χορδής της. Στο σχ.2 φαίνεται η τοπολογία των παραγόµενων στροβίλων µε βάση τις ισοϋψείς κατανοµές της διαµήκους συνιστώσας (κατά τον άξονα x) της µέσης ταχύτητας. Το επίπεδο της τύρβης στα όρια του πλέγµατος µέτρησης είναι της τάξης του.2%, ενώ ο αριθµός Reynolds είναι Re = 33 βασισµένος στην ταχύτητα της ελεύθερης ροής της αεροσήραγγας ( U 2 m / s ) και της χορδής των πτερύγων ( c = cm ). Παρόλο που οι δύο στρόβιλοι βρίσκονται σε προχωρηµένο στάδιο αλληλεπίδρασης, είναι ακόµη διακριτά τα επιµέρους χαρακτηριστικά τους. Με βάση την στατιστική ανάλυση του πεδίου, διακρίνουµε τρεις βασικές περιοχές. Την περιοχή του πυρήνα (σηµεία H, I, J), την εξωτερική περιοχή (σηµεία C, D, E, F, G, K, L, M) καθώς και την περιοχή κοντά στην ελεύθερη ροή της αεροσήραγγας (σηµεία A, B, N). Η δυνατότητα της ταυτόχρονης µέτρησης των στιγµιαίων τιµών των τριών συνιστωσών της ταχύτητας αλλά και των πρώτων παραγώγων αυτής, µας επιτρέπει να εξετάσουµε την επίδραση της helicity στο ροϊκό πεδίο. 42

A B C D E F G H I J K L M N Σχ.2: Ισοϋψείς κατανοµές της διαµήκους συνιστώσας της µέσης ταχύτητας, U(m/s) Στο σχήµα 3, παρουσιάζεται µε τη µορφή ισοϋψών κατανοµών το dissipation και η relative helicity density ( cos θ ). ιακρίνει κανείς εύκολα ότι στις περιοχές που η helicity γίνεται σχεδόν µηδέν (η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων ταχύτητας στροβιλότητας είναι περίπου 9 ο ) το dissipation παρουσιάζει µέγιστο χωρίς να υπάρχουν σηµαντικές περιοχές επικάλυψης. Ο σαφής προσανατολισµός των πεδίων της ταχύτητας και στροβιλότητας όπως αυτός εκφράζεται από τη συγκεκριµένη ροή, φαίνεται να ενισχύει περισσότερο την υπόθεση των Kit & Tsinober και Pelz. u ε = ν x i j u u i j + x j xi u ω h = u ω Σχ.3: Ισοϋψείς κατανοµές του dissipation και της helicity στη θέση x/c=.3 Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν και οι µη κανονικοποιηµένες κατανοµές πυκνότητας πιθανότητας (pd) των h και h όπως φαίνεται στα σχήµατα 4, 5, 6 και 7 και συζητάτε στα επόµενα. ' ' u ω u ω ' h = = cosθ και h = = cosθ ' ' u ω u ω ' Οι µεταβλητές u, ω, u ', ω είναι αντίστοιχα οι στιγµιαίες και διακυµαινόµενες τιµές των µεγεθών αυτών. 43

-.4 -.2..2.4.6.8 35 3 (Α) 2 8 35 3 (E) 4 2 25 6 25 P(h) 2 5 5 4 2 8 P(h) 2 5 5 8-5 6 -. -.5..5. -. -.5..5. 6 -. -.5..5. P(h) P(h) P(h) 3 25 2 5 5 -. -.5..5. 8 6 4 2 -. -.5..5. 7 6 5 4 (B) (C) (D) 4 3 2 9 8 7 -. -.5..5. -. -.5..5. 6 4 2 P(h) P(h) P(h) 35 3 25 2 5 5 -. -.5..5. 2 -. -.5..5. 2 (F) (G) (H) 3 2 9 8 7 6 -. -.5..5. 3 2 9 8 7 -. -.5..5. 4 2 3 2 8 8 6 -. -.5..5. -. -.5..5. -. -.5..5. 6 -. -.5..5. Σχ.4:Κατανοµές PDF των h και h στα σηµεία A, B, C, D Σχ.5:Κατανοµές PDF των h και h στα σηµεία E, F, G, H Όλες οι κατανοµές των pd s που περιγράφονται, αντιστοιχούν στα σηµεία Α-Ν και στις περιοχές του σχήµατος. Στα παραπάνω σχήµατα (Σχ.4, Σχ.5), φαίνεται σαφέστατα η επίδραση του πεδίου των στροβίλων στη µορφή των κατανοµών. Πολύ κοντά στην ελεύθερη ροή της αεροσήραγγας (σηµείο A), παρατηρούµε την τάση των διανυσµάτων της ταχύτητας και στροβιλότητας να ευθυγραµµιστούν, καθώς η γωνία µεταξύ τους είναι αρκετά µικρή (µέγιστες θετικές τιµές h.83 ). Αντίστοιχα η κατανοµή των διακυµαινόµενων τιµών παρουσιάζει συµµετρία που δηλώνει την τάση των διανυσµάτων προς µία ισοπίθανη κατάσταση µε µια µικρή προτίµηση προς τις µεγάλες αρνητικές και θετικές τιµές helicity. Καθώς επιδρά το πεδίο των στροβίλων (σηµείο B), παρατηρούµε τη σηµαντική αύξηση της λοξότητας και κύρτωσης των κατανοµών των pds, δηµιουργώντας µία µικρή διάχυση των τιµών της h στην αρχή, η οποία γίνεται πιο έντονη όταν πλησιάζουµε προς το εσωτερικό των στροβίλων. Η αρχική κανονική κατανοµή των pds της helicity καταστρέφεται και δηµιουργείται µια περιοχή γύρω από τον πυρήνα µε υψηλές τιµές κύρτωσης και αρνητικής λοξότητας. Οι υψηλές αυτές τιµές δεν διατηρούνται και στην περιοχή του πυρήνα καθώς οι κατανοµές αποκτούν σχεδόν κατοπτρική συµµετρία. Στα σχήµατα 5 και 6 είναι σαφές ότι η πιθανότητα να βρούµε γωνίες µεταξύ των διανυσµάτων κοντά στο µηδέν έχει αυξηθεί σηµαντικά. Συνεχίζοντας στα σηµεία L, M και N (Σχήµα 7) βλέπουµε την συσσώρευση της πιθανότητας προς τις µέγιστες θετικές τιµές της helicity όπως ήταν και αναµενόµενο βέβαια. Αυτό που πρέπει να παρατηρήσουµε ιδιαίτερα, είναι η συµπεριφορά των κατανοµών των διακυµαινόµενων τιµών της helicity (h ). Καθώς επιδρά το πεδίο των στροβίλων διακρίνουµε την ασυµµετρία του pd, σε σχέση µε το συµµετρικό στο σηµείο A, µε σαφή προσανατολισµό προς τις αρνητικές τιµές της helicity. Αντίθετα, από το σηµείο H και µετά (Σχ.5) αλλάζει η πιθανότητα να έχουµε περισσότερες αρνητικές τιµές µε προτίµηση προς τις µεγάλες θετικές. Από την κατανοµή του pd στο σηµείο G παρατηρούµε την ίση πιθανότητα τιµών της helicity από το - έως το. Αυτό ίσως και να ενισχύει την υπόθεσή µας για τη δηµιουργία ζώνης ισότροπης τύρβης µεταξύ του πυρήνα και της εξωτερικής περιοχής των στροβίλων. Οι ασυµµετρίες που παρουσιάζονται στις κατανοµές των pd φαίνεται να είναι χαρακτηριστικό της ανισοτροπίας της συγκεκριµένης ροής, υποστηρίζοντας έτσι την άποψη των Kit & Tsinober, έναντι της άποψης των Wallace, Rogers & Moin που υποστηρίζουν ότι οφείλονται κυρίως σε σφάλµατα των µετρήσεων. Στη µέχρι τώρα έρευνα σχετικά µε την επίδραση της helicity στις τυρβώδεις ροές, διατυπώθηκαν πολλές απόψεις αναφορικά µε το ρόλο της στη δηµιουργία και διατήρηση των 44

τυρβωδών συνεκτικών δοµών καθώς και στους µηχανισµούς µεταφοράς ενέργειας από τις µεγαλύτερες προς της µικρότερες κλίµακες της τύρβης. Η στατιστική ανάλυση µε τη βοήθεια των κοινών κατανοµών πυκνότητας πιθανότητας (joint pd) δείχνει την επίδραση της helicity σε τυρβώδεις διαδικασίες όπως u ω, ( u u ). 2 i i Το σχήµα 8 δείχνει µη κανονικοποιηµένες κοινές κατανοµές στα σηµεία F, H, I και Μ των µεγεθών dissipation-helicity, u ω -helicity, dissipation- u ω και ( u u ) - u ω. 2 i i 8 6 (I) 6 4 7 6 5 (L) 2 8 6 4 2 4 4 P(h) P(h) P(h) 2 8 6 -. -.5..5. 6 4 2 8 6 -. -.5..5. 25 2 (J) (K) 8 6 -. -.5..5. 2 8 6 4 2 8 6 -. -.5..5. 8 6 4 P(h) P(h) P(h) 3 2 2 8 6 -. -.5..5. -. -.5..5. 6 4 6 2 4 8 2 6 4 8 2 6 4-2 -. -.5..5. -. -.5..5. 8 7 6 5 4 (M) (N) 2 8 35 3 25 2 5 2 3 5 2 5 -. -.5..5. 8 6 -. -.5..5. -.5.6.7.8.9. 5 -. -.5..5. Σχ.6: Κατανοµές PDF των h και h στα σηµεία I, J, K Σχ.7: Κατανοµές PDF των h και h στα σηµεία L, M, N dissipation 5. 4. 3. 2... -. -.5..5. 3. 2.. (a). -. -.5..5. 8 7 6 5 4 3 2 9 8 7 6 5 4 3 2 36 34 32 3 28 26 24 22 2 8 6 4 2 8 6 4 2 h 3. 2... -. -.5..5. 6. 4. 2.. -. -.5..5. 6 55 5 45 4 35 3 25 2 5 5 3 27 24 2 8 5 2 9 6 3 5 ω u 4. (b) 3. 2... -. -.5..5. 3. 2... -. -.5..5. 5 3. 45 4 3 4 2 35 2. 3 9 8 25 7 2 6 5. 5 4 3 2 5. -. -.5..5. 26 5. 3 24 27 22 4. 24 2 2 8 8 6 3. 4 5 2 2 2. 9 8 6 6. 3 4 5 2. -. -.5..5. h dissipation 5. 4. 3. 2... 3. 2. (c) -2.. 2. 4. 28 26 3. 24 22 2 8 6 2. 4 2 8. 6 4 2. 75 6. 7 65 6 55 5 4. 45 4 -... 2. 3. 9 85 8 75 7 65 6 55 5 45 4 35 3 25 2 5 5 45 4 35 3 25 4. 3. 2.. ( u u ) 2 i i... 2. 3. 4. 2.5 2..5 (d) 3 28 26 24 22 2 8 6 4 2 8 6 4 2 65 6 55 5 45 4 35 2.5 2..5..5... 2. 3. 5. 4. 3. 65 6 55 5 45 4 35 3 25 2 5 5 45 4 35 3 25 2.. -... 2. 3. 35 3 25 2 5 5 2. u ω. -2.. 2. 4. 2 5 5..5... 2. 3. 3 25 2 5 5 2.. u ω... 2. 3. 4. 5. 5 6 5 25 45

Σχ.8: Μη κανονικοποιηµένες κοινές κατανοµές στα σηµεία F, H, I, Ν 6 4 ε - h 6 4 u ω - h 2 2 z (mm) -2-2 -4-4 -6 2 3 4 5 6 7-6 2 3 4 5 6 7 6 4 ε - u ω 6 4 [ u i u i ] - u ω 2 2 2 z (mm) -2-2 -4-4 -6-6 2 25 3 35 4 45 5 55 6 3 35 4 45 5 55 6 Magnitude Σχ.9: Κατανοµές στατιστικής εξάρτησης των µεγεθών στα σηµεία F, H, I, Ν Οι κοινές κατανοµές πυκνότητας πιθανότητας πέρα από την πληρέστερη απεικόνιση, µας δίνουν τη δυνατότητα να υπολογίσουµε τη στατιστική συσχέτιση αλλά και εξάρτηση των µεγεθών µας. Οι κατανοµές του σχήµατος 9 περιγράφουν τη στατιστική εξάρτηση όπως αυτή προκύπτει από την επεξεργασία της κοινής πυκνότητας πιθανότητάς. Αν B( u, v) είναι η κοινή πιθανότητα δύο µεταβλητών u, v τότε η ανεξάρτητη κατανοµή κάθε µιας προκύπτει ως + B u ( u) = B( u, v) dv, B v ( v) = B( u, v) du ύο µεταβλητές είναι στατιστικά ανεξάρτητες όταν + B( u, v) = B ( u) B ( v) (7) Στο παραπάνω σχήµα το µέγεθος των κατανοµών εκφράζει το ποσοστό των τιµών που αποκλίνουν από την ισότητα της εξίσωσης (7). Συνδυάζοντας τα σχήµατα 8 και 9, αξίζει να επισηµάνουµε τη εξέλιξη της κατανοµής της εξάρτησης του dissipation µε την helicity καθώς πλησιάζουµε στον πυρήνα των στροβίλων, ενισχύοντας το συµπέρασµα που προκύπτει από τη σύγκριση των ισοϋψών κατανοµών των µέσων τιµών τους. Αντίστοιχη επίσης συµπεριφορά παρουσιάζει και η συσχέτιση της helicity µε το µη γραµµικό όρο u ω των εξισώσεων Navier-Stokes. u v Βιβλιογραφία. Andre J. C. and Lesieur M. (977), Inluence o helicity on the evolution o isotropic turbulence at high Reynolds number, J. Fluid Mech. 8, 87. 2. Borue V. and Orszag S. A. (997), Spectra in helical three-dimensional homogeneous isotropic turbulence, Phys. Review E 55, 6 3. Dracos T., Lemonis G. (995), A new calibration and data reduction method or turbulence measurement by multihotwire probes, Expts. in Fluids 8, 39 4. Hunt J. C. R and Hussain F. (99), A note on velocity, vorticity and helicity o inviscid luid elements, J. Fluid Mech. 229, 569 5. Hussain A. K. M. F. (986), Coherent structures in turbulence, J. Fluid Mech. 73, 33. 46

6. Kit E., Tsinober A., Balint J.-L., Wallace J. M. and Levich E. (987), An experimental study o helicity related properties o a turbulent low past a grid, Phys. Fluids 3, 3323. 7. Kraichnan R. H. (973), Helical turbulence and absolute equilibrium, J. Fluid Mech. 59, 745. 8. Lemonis G. C. (995), An experimental study o the vector ields o velocity and vorticity in turbulent lows, PhD Thesis, Swiss Federal Institute o Technology, Zurich 9. Levich E., Levich B., Tsinober A. (984), Helical structures, ractal dimensions and renormalization group approach in homogeneous turbulence, Turbulence and Chaotic Phenomena in Fluids, Elsevier Science Publishers B.V. (North-Holland).. Levich E. and Tsinober A. (983), On the role o helical structures in threedimensional turbulent low, Phys. Lett. A 99, 32.. Moatt H.K. (969), The degree o knottedness o tangled lines J. Fluid Mech. 35, 7. 2. Moatt H.K. (985), Magnetostatic equilibria and analogous Euler lows o arbitrarily complex topology. Part, J. Fluid Mech. 59,359. 3. Pelz R. B., Yakhot V., Orszag S. A., Shtilman L., and Levich E. (985), Velocityvorticity patterns in turbulent low, Phys. Rev. Lett. 54, 255. 4. Pelz R. B., Shtilman L. and Tsinober A. (986), The helical nature o unorced turbulent lows, Phys. Fluids 29, 356. 5. Rogers M. M. and Moin P. (987), Helicity luctuations in incompressible turbulent lows, Phys. Fluids 3, 2662. 6. Wallace J. M., Balint J.-L. and Ong L. (992), An experimental study o helicity density in turbulent lows, Phys. Fluids A 4, 9. 7. Παπαηλιού.., Ρωµαίος Α., Χαλασοχώρης., Πανίδης Θ., Λεµονής Γ. (22), Αλληλεπίδραση των πεδίων ταχύτητας στροβιλότητας ζεύγους οµόστροφων στροβίλων, ΡΟΗ 22-Πάτρα 2-3 Οκτωβρίου 22, 3 η Συνάντηση, Ερευνητικές ραστηριότητες στα Φαινόµενα Ροής Ρευστών στην Ελλάδα. 47