ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΤΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΜΕ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ το ορθώς διανοείσθαι δια το ορθώς κοινωνείν Ιωάννη Γ. Καλογεράκη e-mail miltoskal@tellas.gr Εισήγηση στην ηµερίδα που οργάνωσε ο Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών κ.. Μπουνάκης στο Ηράκλειο στις 15-10- 2009. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία αυτή αποτελείται από δύο µέρη. Το πρώτο είναι παιδαγωγικό και αφορά ορισµένες προτάσεις για την καλύτερη επικοινωνία του καθηγητή µε τους µαθητές στην τάξη. ίνεται έµφαση στα χαρακτηριστικά της προσωπικότητας του καθηγητή και σε τεχνικές επικοινωνίας στο διδακτικό επίπεδο. Το δεύτερο είναι µαθηµατικό και σχετίζεται µε τη µαθηµατική ηµιδιάλεκτο που χρησιµοποιούµε για τη µετάδοση των µαθηµατικών ιδεών. Σκιαγραφούνται ορισµένα χαρακτηριστικά της ηµιδιαλέκτου, δίνονται παραδείγµατα µε ασκήσεις και προτείνονται ορισµένες διδακτικές τεχνικές. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η επικοινωνία, δηλαδή η ανταλλαγή νοηµάτων µεταξύ των ανθρώπων, ως έννοια, έχει την καταγωγή της στην αρχαία Ελλάδα. Αργότερα, ο όρος επικοινωνία στη Χριστιανική Ορθοδοξία προσέλαβε µια βαθιά ψυχική και πνευµατική διάσταση. Το γεγονός της επικοινωνίας θεωρήθηκε ως άθληµα ατοµικής υπέρβασης. Σήµερα υποστηρίζεται από τους ερευνητές ότι η επιτυχία στην τάξη βρίσκεται πέρα από την επιθυµία µας να διδάξουµε και τη σωστή προετοιµασία της διδασκαλίας. Αν και τα δύο είναι πολύ σηµαντικά από µόνα τους, δεν κάνουν µία καλή διδασκαλία. Το πραγµατικό κλειδί της επιτυχηµένης διδασκαλίας είναι η ικανότητα του καθηγητή να επικοινωνεί µε τους µαθητές. Αν θεωρήσουµε ότι υπάρχει ουσιώδης διαφορά µεταξύ του γνωρίζω και του διδάσκω, η διαφορά αυτή είναι η επικοινωνία στην τάξη. Ορισµένοι µάλιστα ερευνητές θεωρούν ότι επικοινωνία είναι το βαθύτερο νόηµα της διδασκαλίας. Η σπουδαιότητα της επικοινωνίας απορρέει και από το γεγονός ότι σχετίζεται µε την παιδαγωγική επιρροή. ηλαδή, την ικανότητα του δασκάλου να συν-κινεί τους µαθητές, ώστε να τον αποδέχονται και να αισθάνονται όµορφα και άνετα κατά τη διδασκαλία Ο τρόπος που ο καθηγητής επικοινωνεί µε τους µαθητές σε µεγάλη έκταση ορίζει τον τύπο και την επιρροή του στους µαθητές. Όµοια το µέτρο της επιρροής διαµορφώνει την ποιότητα της επικοινωνίας. Είναι ένα ατοµικό δυναµικό χαρακτηριστικό του καθηγητή που επιφέρει ένα θετικό αποτέλεσµα στη µάθηση και τη συµπεριφορά των µαθητών. Όταν απουσιάζει η επικοινωνία στην τάξη, εξασθενεί η θέση του καθηγητή, η επιρροή του στους µαθητές είναι µειωµένη και το επιστηµονικό και παιδαγωγικό µήνυµα της διδασκαλίας επιδίδεται λειψό.
Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 2 2. ΕΙ Η ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Η ικανότητα της επικοινωνίας είναι κυρίως έµφυτη, απαιτεί ένα ταλέντο, µια φυσική αµεσότητα, µια ευχάριστη παρουσία, ένα διακριτικό χαµόγελο, την τέχνη του αυτοσχεδιασµού, το χαρακτηριστικό της πνευµατικότητας, την κοινή αίσθηση των πραγµάτων, καταστάσεις οι οποίες δεν αποκτώνται εύκολα µε µαθησιακές διαδικασίες. Παράλληλα εξαρτάται και από τα τεχνολογικά µέσα κάθε εποχής αφού αποτελούν τους αγωγούς των µηνυµάτων. Ωστόσο, υπάρχουν πολλά περιθώρια για τη βελτίωση της επικοινωνίας. Θα θεωρήσουµε δύο κατηγορίες επικοινωνίας, την παιδαγωγική- διδακτική επικοινωνία και την µαθηµατική επικοινωνία. Οι κατηγορίες αυτές δεν είναι σύνολα ξένα µεταξύ τους. Παράλληλα, θα αναφέρουµε ορισµένες προτάσεις, ενισχυτικές για κάθε είδος επικοινωνίας. 3. ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ 3. 1. Η προσωπική επικοινωνία Η διδασκαλία είναι η Τέχνη της δηµιουργίας πνευµατικών προκλήσεων. Αυτή επικεντρώνεται γύρω την προσωπικότητα του καθηγητή και υποστηρίζεται από τη σχέση τους µε τους µαθητές. Στην Τέχνη αυτή σηµαντικό ρόλο έχει η προσωπική επικοινωνία. Μπορούµε να βελτιώσουµε αυτού του είδους την επικοινωνία µε τις παρακάτω προτάσεις: Η πραγµατοποίηση της επικοινωνίας προϋποθέτει, πρώτα από όλα, την παρεµβολή της ατοµικής και υποκειµενικής πρόθεσης για επικοινωνία. ιαφορετικά δεν συντρέχει κανένας λόγος προσποιητής επικοινωνίας. Πρέπει να θέλουµε να σκεφτούµε και να συζητήσουµε µε τους µαθητές µαθηµατικά ή γενικότερα θέµατα. Η επικοινωνία προϋποθέτει την ειλικρίνεια. Με τους µαθητές πρέπει να είµαστε απόλυτα ειλικρινείς. Χωρίς αυτή, βαθύτερη επικοινωνία δεν υπάρχει. Αντίθετα η ειρωνεία και ο σαρκασµός, αποτελούν φίλτρα απόσβεσης της επικοινωνίας. Εκτός από την ειλικρίνεια προϋπόθεση επικοινωνίας είναι ο αµοιβαίος θαυµασµός µεταξύ διδάσκοντος και διδασκοµένου, ο οποίος πρέπει πολύ διακριτικά να εκδηλώνεται. Η στάση µας στην τάξη πρέπει να είναι ευγενική, δυναµική και αποτελεσµατική. Μόνο τότε στέλνουµε το βασικό µήνυµα επικοινωνίας, ότι αυτό που διδάσκουµε µας ενδιαφέρει προσωπικά. Συνεπώς, µπορούµε να επεκτείνουµε την επικοινωνία και µέσα στο αντικείµενο που διδάσκουµε. Ως δάσκαλοι πρέπει να είµαστε ενθουσιώδεις, ιδιαίτερα στην τυπική διδασκαλία. Να έχουµε διάθεση να αναγνωρίσουµε την οµορφιά του αντικειµένου που διδάσκουµε ακόµη και όταν το έχουµε διδάξει εκατοντάδες φορές. Για παράδειγµα, όταν διδάσκουµε την παραγώγιση του γινοµένου συναρτήσεων να έχουµε την αίσθηση ότι το διδάσκουµε για πρώτη φορά. Ως δάσκαλοι πρέπει να εµπνέουµε και να έχουµε διάθεση προσφοράς και βοήθειας. Να είµαστε όµως προσεκτικοί να µην περάσουµε κάποια όρια και γίνουµε υπερβολικά φιλικοί, γιατί θα αντιµετωπίσουµε προβλήµατα πειθαρχίας και µοιραία, κάποια στιγµή, τη µείωση της επικοινωνίας. Είναι αναγκαίο οι µαθητές να γνωρίζουν ότι ενδιαφερόµαστε και φροντίζουµε για αυτούς ως άτοµα. Όσο περισσότερη προσοχή απαιτούµε αυτοί να δίνουν σε
Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 3 εµάς, ανάλογη προσοχή πρέπει να δίνουµε και εµείς σε αυτούς. Τότε δηµιουργούµε τις προϋποθέσεις για µια βαθύτερη επικοινωνία. Να ερευνούµε τον τόνο τη χροιά και την ένταση της φωνής µας, όταν διδάσκουµε ή οµιλούµε προσωπικά στους µαθητές. Πολλοί έµπειροι καθηγητές αποµακρύνουν τους µαθητές µε τον τόνο της φωνής τους. Ακόµη, µερικοί χρησιµοποιούν στην τάξη, αλλά και στην καθηµερινή ζωή, αυτό που ονοµάζεται διδασκαλικός τόνος. Είναι µια ευγενική διάθεση, η οποία όµως δε θα πρέπει να φθάνει σε υπερβολές. Ο τόνος και η χροιά της φωνής πρέπει να απεικονίζει τη θέση, ότι θεωρούµε τους µαθητές ίσους µε µας. Για το λόγο αυτό πρέπει να τους µιλούµε, και ιδιαίτερα στους µαθητές του Λυκείου, µε την ίδια γλώσσα που µιλούµε σε ενήλικες. Η γλώσσα είναι όργανο και µέσο επικοινωνίας. Με το Λόγο γίνεται Πράξη του οµιλείν και του γράφειν. Ως θετικοί επιστήµονες είναι ανάγκη συνεχώς να βελτιώνουµε τη δοµή της γλώσσας και να αναπτύσσουµε τη συνοµιλιακή µας ικανότητα. Κυρίως, δεν πρέπει να συρρικνώνουµε τον κώδικα της γλωσσικής µας επικοινωνίας σε ερµητικά στερεότυπα της επαγγελµατικής µας εξειδίκευσης. ιότι τότε λειτουργούµε σε στεγανά µονότροπης επικοινωνίας κλειστού κύκλου οπαδών, που συνήθως είναι οι πολύ καλοί µαθητές. Όλα αυτά είναι σηµαντικά αλλά και το πιο σηµαντικό είναι η συνεχής ανάπτυξη της εγραµµατοσύνης. Με τον όρο αυτό εννοούµε τη γενικότερη µόρφωση των καθηγητών των Μαθηµατικών. Με την εγραµµατοσύνη ο καθηγητής βρίσκει τον τρόπο να κοινωνεί και να κοινοποιεί τον µαθηµατικό Λόγο. Η διάθεση µας απέναντι στο πρόβληµα της παιδείας και η στάση µας απέναντι στη διδασκαλία είναι αντανάκλαση του προσωπικού µας πολιτισµού. Ισχύει η αριστοτελική συνεπαγωγή: το ορθώς διανοείσθαι δια το ορθώς κοινωνείν. (Ηθικά, Νικοµάχεια 5,1122Β) 3.2. Η επικοινωνία στο διδακτικό επίπεδο Είναι γνωστό ότι η µάθηση πραγµατοποιείται στην τάξη όταν µε την διδασκαλία παρουσιάζουµε τις µαθηµατικές έννοιες. Αυτό όµως στη σηµερινή εποχή δεν αρκεί, χρειάζονται και ορισµένες απλές επικοινωνιακές τεχνικές που διευκολύνουν τη µετάδοση του διδακτικού µηνύµατος. Μερικές από αυτές µπορεί να είναι οι παρακάτω: Να διαθέτουµε ένα σχεδιάγραµµα των θέσεών των µαθητών ήδη από τις πρώτες µέρες. Να µάθουµε σε σύντοµο χρονικό διάστηµα τα ονόµατα τους και να διαθέσουµε χρόνο να τους γνωρίσουµε. Για να ακούµε µε κατανόηση τις ερωτήσεις τους και να απαντούµε στις απορίες σε προσωπικό επίπεδο. Η ανωνυµία είναι εµπόδιο για την επικοινωνία. Να κρατήσουµε ορισµένες απλές θετικής φύσης πληροφορίες για τους µαθητές όπως αθλητικές απασχολήσεις, καλλιτεχνικές δραστηριότητες, άλλες συνήθειες οι οποίες µπορεί να γίνουν αιτίες συζήτησης τις ελεύθερες ώρες. Όταν οι µαθητές αισθάνονται ότι τους γνωρίζουµε ως άτοµα και τους αναγνωρίζουµε ως αξίες µας δίνουν τη δυνατότητα να βελτιώσουµε τον πολιτισµό της τάξης και να διαθέσουµε χρόνο για κοινή πνευµατική δουλειά.
Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 4 Να εφαρµόζουµε µεθόδους διδασκαλίας, οι οποίες να µην είναι διαλέξεις σε ακροατήριο του οποίου τα µέλη χάνουν την ατοµικότητα, αλλά να στηρίζονται στον διάλογο, που δίνει πολλές ευκαιρίες όταν διαθέτουµε δεξιοτεχνία, για µία εσωτερική προσωπική επικοινωνία µε τους µαθητές. Αυτό ενισχύεται όταν κάνουµε τη διδασκαλία µας ελκυστική και συµβατή µε ορισµένα κίνητρα που συσχετίζονται µε τις ανάγκες και τα ενδιαφέροντα των µαθητών. Να συµµετέχουµε στην οργάνωση των σχολικών εκδηλώσεων και ιδιαίτερα των θεατρικών παραστάσεων και των εκπαιδευτικών εκδροµών. Οι εκδηλώσεις αυτές µας δίνουν µοναδικές ευκαιρίες επικοινωνίας, όταν βέβαια τηρούνται ορισµένες αυτονόητες προδιαγραφές. Στις περιπτώσεις αυτές και στις συζητήσεις να εστιάζουµε πάντα την προσοχή µας στα θετικά χαρακτηριστικά και τα προτερήµατα των µαθητών. Να χρησιµοποιούµε την τεχνολογία, για να συντάσσουµε τα γραπτά κείµενα µας, διαγωνίσµατα, σχέδια µαθήµατος, φύλλα εργασίας, επαναληπτικές ασκήσεις- διότι τότε το µήνυµα που στέλνουµε στους µαθητές είναι καλύτερα οργανωµένο και συνεπώς πιο κατανοητό. Να αναπτύξουµε σύγχρονα µέσα επικοινωνίας στο σχολείο, όπως είναι οι ιστοσελίδες και η ηλεκτρονική επικοινωνία. Προσέχοντας πάντα αυτά τα µέσα να µας ενώνουν και όχι να µας αποξενώνουν. Να διαθέτουµε πλούσιες πηγές διδακτικού υλικού και να εµπλουτίζουµε τη διδασκαλία, ώστε να την κάνουµε περισσότερο επικοινωνιακή, κατανοητή και ελκυστική. Κάθε χρόνο η τάξη που διδάσκουµε είναι διαφορετική. Για τον λόγο αυτό είναι ανάγκη να διαθέτουµε πλούσιο και ηλεκτρονικά οργανωµένο µαθηµατικό υλικό. Να επιχειρούµε να βλέπουµε το γνωστικό αντικείµενο που διδάσκουµε, όπως το βλέπουν οι µαθητές. ηλαδή να φανταστούµε πως ο δέκτης λαµβάνει το µήνυµα και συνεπώς να βρίσκουµε τρόπους να βελτιώνουµε την αποστολή του. Για το σκοπό αυτό το υλικό που χρησιµοποιούµε πρέπει να απεικονίζει τις ικανότητες του µέσου µαθητή. Αν το διδακτικό υλικό είναι υπερβολικά δύσκολο και αυτό επαναλαµβάνεται συνεχώς οι µαθητές δεν µπορούν να το συνδέσουν µε προϋπάρχουσες γνώσεις και αργά αλλά σταθερά µειώνουµε την επικοινωνία. εν είναι σωστό να αγνοούµε τους αδύνατους, τους σιωπηλούς και τους συνεσταλµένους µαθητές. Κάποιοι από αυτούς πηγαίνουν χρόνια στο σχολείο χωρίς ποτέ κανείς να τους παρατηρήσει Πρέπει να βρίσκουµε χρόνο να συζητούµε µαζί τους. Να τους υποβάλλουµε ενισχυτικές ερωτήσεις κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας και να τους δίνουµε ευκαιρίες για συµµετοχή στα δρώµενα της τάξης. Σε καµία περίπτωση τους µαθητές αυτούς δε θα πρέπει να τους θεωρούµε ως, λίθους ους απεδοκίµασαν οι οικοδοµούντες. Η αξιολόγηση είναι ένα καλό παιδαγωγικό εργαλείο όταν γίνεται µε σωστό τρόπο. ιαφορετικά ενδέχεται να αλλοιώσει το ψυχολογικό κλίµα στην τάξη και να µειώσει την επικοινωνία. Στην αξιολόγηση λέξεις κλειδιά είναι, να είµαστε αντικειµενικοί, διακριτικά επιεικείς και δίκαιοι.
Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 5 4. Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ Σε κάθε επιστήµη η επιτυχής επικοινωνία των ιδεών είναι το ίδιο σηµαντική όπως είναι και οι ίδιες οι ιδέες. Ως µαθηµατική επικοινωνία θεωρούµε τα µέσα και τον τρόπο που διαδίδονται οι µαθηµατικές έννοιες και διευκρινίζονται θέµατα κατανόησης. Με την µαθηµατική επικοινωνία οι ιδέες γίνονται αντικείµενα της σκέψης, ραφινάρονται, συζητούνται, τροποποιούνται και αποκτούν µονιµότητα. Βασική προϋπόθεση για αυτό είναι η σωστή χρήση της γλώσσας και των συµβόλων της µαθηµατικής σύµβασης, όπως και τη γνώση ορισµένων τεχνικών επικοινωνίας. 4.1. Η µαθηµατική γλώσσα Ο µαθηµατικός Λόγος, γραπτός ή προφορικός, είναι η ικανότητα του ανθρώπου να αναφέρει τη νοηµατική µορφοποίηση της µαθηµατικής πραγµατικότητας, να τη σηµαίνει µε λεκτικές εικόνες, να την κοινωνεί και να την κοινοποιεί. Για τη µορφοποίηση αυτή δηµιουργήθηκε ειδικό λεξιλόγιο, ειδικά σύµβολα και ειδική σύνταξη και χρήση της καθηµερινής γλώσσας. ηµιουργήθηκε η µαθηµατική γλώσσα. Για την ακρίβεια δηµιουργήθηκε µία επαγγελµατική γλώσσα, µία ηµιδιάλεκτος, που ονοµάζεται διεθνώς µαθηµατική γλώσσα. Θα εξετάσουµε περιληπτικά ορισµένα χαρακτηριστικά της µαθηµατικής γλώσσας. Η µαθηµατική γλώσσα είναι γλώσσα συµβολική. Ένα µέρος από το λεξιλόγιο της είναι σύµβολα. Οι συµβολικές γλώσσες είναι ένας δρόµος που µαθαίνουµε και επικοινωνούµε. Τα µαθηµατικά σύµβολα, τα σηµεία, και οι συνδυασµοί συµβόλων µεταφέρουν τα χαρακτηριστικά των όρων που αντιπροσωπεύουν και συµβάλλουν στην κατανόηση των µαθηµατικών εννοιών. Παράδειγµα, το σύµβολο δεν δηλώνει µόνο τη διαδικασία για να βρούµε την τετραγωνική ρίζα, αλλά και ορισµένες συµβάσεις για την υπόριζο ποσότητα. Η έννοια ενός συµβόλου, σε µία µαθηµατική πρόταση, είναι µονοσήµαντα ορισµένη, αλλά ένα σύµβολο µπορεί να αντιπροσωπεύει πολλές και διαφορετικές έννοιες. Παράδειγµα, το διατεταγµένο ζεύγος (α, β) µπορεί να είναι οι συντεταγµένες ενός σηµείου στο καρτεσιανό επίπεδο, να είναι ανοικτό διάστηµα στο σύνολο R, να είναι οι συντεταγµένες διανύσµατος στο επίπεδο, ή να δηλώνει τον Μ. Κ. δύο ακεραίων. Ποικίλες έννοιες έχουν και τα σύµβολα πλην (-) και ίσον (=) τα οποία δεν έχουµε ορίσει. Οι διαδικασίες που εκτελούνται µε τα σύµβολα (οµώνυµα κλάσµατα, απλοποίηση, σχήµα Horner, παραγώγιση, ολοκλήρωση, ) σταδιακά µε την εξάσκηση γίνονται ικανότητες. Σε αυτές τις περιπτώσεις υπάρχει κίνδυνος το περιεχόµενο των συµβόλων να ξεχαστεί, να κυριαρχήσει η φόρµα της διαδικασίας και να χαθεί η αίσθηση των λέξεων. ηλαδή, στις συµβολικές γλώσσες είναι υπαρκτός ο κίνδυνος της µηχανικής µάθησης. Αυτόν τον κίνδυνο περιορίζουν οι καλές διδακτικές τεχνικές. Η µαθηµατική γλώσσα, αν και δεν χρησιµοποιείται στην καθηµερινή ζωή, είναι φωνητική γλώσσα. ηλαδή, χρησιµοποιούµε διάφορους ήχους για να δηλώσουµε όρους και σύµβολα, όπως παράγωγος, συζυγής, διάνυσµα Η φωνητική γλώσσα είναι ένας δρόµος για να µεταφέρουµε ένα σύνολο εννοιών σε γραπτό κείµενο. Ένα από τα πλεονεκτήµατα της είναι, ότι µας επιτρέπει να βελτιώνουµε τις
Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 6 προφορικές και γραπτές εκφράσεις και να αυξάνουµε την επιτυχία της επικοινωνιακής πληροφορίας. Όταν γράφουµε µία άσκηση πρέπει να προφέρουµε τις προτάσεις, να τις ακούµε και στη συνέχεια να δίνουµε το κείµενο στην τάξη. Όµοια, όταν διδάσκουµε δεν αρκεί µόνο να γράφουµε τις σχέσεις, αλλά να εξηγούµε προφορικά τα διαδοχικά βήµατα. Οι µαθητές πρέπει να ακούνε και να προφέρουν και οι ίδιοι τα µαθηµατικά κείµενα, για να µαθαίνουν να τα διαβάζουν και να καταγράφονται στη µνήµη τους. Όλοι έχουµε παρατηρήσει τη δυσκολία που έχουν οι µαθητές στη Γ Γυµνασίου να διατυπώσουν το θεώρηµα του Θαλή. Οι διάφορες λέξεις και όροι των Μαθηµατικών έχουν διαφορετικό νόηµα στην οµιλούµενη γλώσσα. Για παράδειγµα, διαιρώ σηµαίνει χωρίζω, κόβω σε κοµµάτια, στα Μαθηµατικά είναι το ίδιο µε το πολλαπλασιάζω, µε τον αντίστροφο ενός αριθµού διαφορετικού από το µηδέν. Το πολλαπλασιάζω στην καθηµερινή οµιλία σηµαίνει αυξάνω, στα Μαθηµατικά σηµαίνει οτιδήποτε, αυξάνω, µειώνω, παραµένω το ίδιο. Οι µαθητές έρχονται στην τάξη µε την καταγραφή των λέξεων της καθηµερινής γλώσσας και αυτό είναι ένα εµπόδιο στη διδασκαλία. Ακόµη, οι µαθητές ακόµη και όταν διατυπώνουν και καταλαβαίνουν ένα ορισµό δεν τον χρησιµοποιούν πάντα µε σωστό τρόπο. Αυτό είναι ιδιαίτερα έντονο στην Α. Λυκείου στη λύση ασκήσεων Γεωµετρίας. Οι µαθηµατικές προτάσεις έχουν ξεχωριστή γλωσσική σύνταξη, γραµµατική και συντακτικό, τα οποία είναι στοιχεία για την κατανόηση τους. 3 3 2 2 3 Για παράδειγµα, στην ταυτότητα: ( a+ β ) = α + 3α β + 3αβ + β, η παράσταση 3 ( α+ β ) είναι το υποκείµενο, το = είναι το µεταβατικό ρήµα που µεταφέρει την ενέργεια του υποκειµένου και το αντικείµενο είναι η παράσταση 3 2 2 3 α + 3α β + 3αβ + β. Στη µαθηµατική γλώσσα τα περισσότερα σύµβολα ( <, >,,,,, ) λειτουργούν ως ρήµατα, δηλαδή, µεταφέρουν την ενέργεια του υποκειµένου, η οποία είναι η µαθηµατική σχέση. Σε µία µαθηµατική πρόταση ορισµένες λέξεις δεν µπορούµε να τις εντάξουµε στα γνωστά µέρη του λόγου, ακόµη και αν παρεµβάλλουµε την κλάση των αριθµητικών που ανήκουν στα επίθετα. Ο λόγος που έχει ενδιαφέρον για τη διδασκαλία, η µαθηµατική γραµµατική, είναι ότι οι µαθηµατικές προτάσεις πρέπει να είναι ακριβείς. ιαφορετικά δεν έχουν νόηµα. Αν τα µέρη που τις συνιστούν δεν έχουν ακρίβεια και απλότητα, τότε αναπαράγουν και πολλαπλασιάζουν ασάφειες και καθιστούν τις προτάσεις µη αναγνωρίσιµες. Για τον λόγο αυτό επιβάλλεται να χρησιµοποιούµε στις ασκήσεις τις κατάλληλες λέξεις και το σωστό συντακτικό (syntax variables). Ορισµένες µαθηµατικές προτάσεις είναι πεπλεγµένες, έχουν πολυσύνθετη δοµή και δεν είναι εύκολα προσβάσιµες και κατανοητές. ηλαδή, δεν µπορούµε να αποκρυπτογραφήσουµε την εννοιολογική δοµή (content variables) και να αρχίσουµε µία απόδειξη. Αυτό συµβαίνει διότι το µαθηµατικό φαινόµενο είναι περίπλοκο και δεν µοιάζει µε απλό αντικείµενο της καθηµερινής ζωής. Μία αιτία είναι ότι οι µαθηµατικοί όροι που συνθέτουν το µαθηµατικό φαινόµενο έχουν επηρεαστεί από πολλούς παράγοντες στην ιστορική τους πορεία. Ας πάρουµε ένα απλό παράδειγµα, τι ονοµάζουµε πραγµατική συνάρτηση µε σύνολο ορισµού το Α; Το βιβλίο αναφέρει: Συνάρτηση είναι µία διαδικασία f, µε την οποία κάθε στοιχείο x A αντιστοιχίζεται σε ένα µόνο πραγµατικό αριθµό ψ. Αν και ο ορισµός είναι σωστός, δεν περιγράφει πλήρως το αντικείµενο, περισσότερο το αντικείµενο ορίζει τον ορισµό. Για παράδειγµα, υπονοείται αλλά
Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 7 δεν αναφέρεται το κύριο χαρακτηριστικό των συναρτήσεων.ότι τα στοιχεία αυτά είναι µεταβλητές ποσότητες. Ίσως για τους µαθητές να ήταν πιο κατανοητός ο ορισµός αν παρουσιαζόταν ως σύνολο διατεταγµένων ζευγών. Η στατικότητα του ορισµού οδηγεί τους µαθητές να εννοούν τη συνάρτηση ως µία οντότητα, ως ένα πράγµα που έχει ιδιότητες και όχι ως µία διαδικασία. Όµως, όταν εµφανίζεται στις ασκήσεις δεν λειτουργεί ως οντότητα, δηλαδή δεν συµπεριφέρεται ως ουσιαστικό της ελληνικής γλώσσας, περισσότερο µοιάζει µε πρόθεση. Μία άλλη δυσκολία έχει να κάνει µε το σύµβολο f ( x ) που ισχύει για το όνοµα της συνάρτησης µε ανεξάρτητη µεταβλητή το x και για την τιµή της συνάρτησης στο x. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα η εφαρµογή του Θ. Μ. Τ. σε ένα διάστηµα της µορφής [0, x], µε x> 0 να δηµιουργεί επιστηµονικά εµπόδια και να µην γίνεται κατανοητό αν το f ( x ) είναι ο τύπος της συνάρτησης ή τιµή της f στο x. ηλαδή, δεν πρέπει µόνο οι µαθητές να αναγνωρίσουν πως µεταβάλλεται η f, αλλά και τι µεταβάλλεται. Ας δούµε ένα παράδειγµα: ίνεται ότι η συνάρτηση f είναι ορισµένη και παραγωγίσιµη στο (, + ) και ισχύει ο µέσος ρυθµός µεταβολής της f σε κάθε διάστηµα [α, β] είναι ίσος µε τη µέση τιµή των ρυθµών µεταβολής στα άκρα του διαστήµατος. Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο Α(0, 0). Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης. Οι πληροφορίες παρατίθενται µε ένα λεκτικό τρόπο και θα πρέπει οι µαθητές να τις απεικονίσουν σε µία ισότητα αφού εκλέξουν κατάλληλο διάστηµα. Για τους µαθητές είναι διανοητικό άλµα η εκλογή του διαστήµατος, της µορφής [ a, x ] Το επόµενο βήµα είναι η κατάστρωση στο διάστηµα αυτό της ισότητας f ( x) f ( a) f ( x) + f ( a) =. x a 2 Στη συνέχεια η διαδικασία της λύσης ανεξαρτητοποιείται πλήρως από το νόηµα και το περιεχόµενο της εκφώνησης. Πίσω από τα µαθηµατικά σύµβολα χάνεται η αίσθηση των λέξεων και κυριαρχεί η φόρµα των διαδικασιών. Αυτές είναι η 3 απαλοιφή των παρονοµαστών, η διαίρεση των όρων µε το ( x a), η δηµιουργία παραγώγων στα δύο µέρη και η εφαρµογή του γνωστού πορίσµατος του Θ.Μ.Τ για να βρούµε τελικά ένα δευτεροβάθµιο τριώνυµο. Ωστόσο δεν γίνεται κατανοητό πως το f ( x ) από τιµή στο χ µετασχηµατίστηκε σε τύπο. Ένα άλλο χαρακτηριστικό της µαθηµατικής γλώσσας είναι ότι στις ασκήσεις και τα προβλήµατα δεν έχει ως κύρια λειτουργία την κατανόηση της εκφώνησης. Η δοµή µίας µαθηµατικής πρότασης δεν είναι ένα αντικείµενο για να το καταλάβουµε. Είναι περισσότερο µία πηγή πληροφοριών, ένα κείµενο που περιέχει µικρογραφίες σχέσεων που πρέπει να εκµεταλλευτούµε για να δοµήσουµε µία απόδειξη. Ένα παράδειγµα: ίνεται ότι η συνάρτηση f είναι πολυώνυµο τρίτου βαθµού. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο του επιπέδου στο οποίο τέµνονται οι γραφικές παραστάσεις των f και f. Η δυσκολία δεν είναι η κατανόηση της άσκησης. Αυτή είναι απλή υπόθεση για τους µαθητές που γνωρίζουν τη θεωρία. Η δυσκολία έγκειται στην εκµετάλλευση
Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 8 των συντοµογραφιών που περιέχονται στην εκφώνηση, όπως ότι είναι πολυώνυµο τρίτου βαθµού και τέµνονται και τέλος η κατάλληλη ερµηνεία του συνόλου τιµών. Αυτά σηµαίνουν ότι η απόδειξη µίας µαθηµατικής πρότασης προϋποθέτει από τους µαθητές να έχουν ένα δραστήριο ρόλο. Να δρουν πάνω στο κείµενο να βγάζουν συµπεράσµατα, να αναγνωρίζουν τα εστιακά σηµεία, να ερµηνεύουν τα σύµβολα και κυρίως να αποκρυπτογραφούν τις έννοιες. Για το λόγο αυτό πρέπει να διδάσκουµε τους µαθητές να διαβάζουν, να καταλαβαίνουν και να ερµηνεύουν τα Μαθηµατικά. Αυτές τις επισηµάνσεις, δεν τις συναντάµε στην καθηµερινή γλώσσα και επιβεβαιώνουν, ότι η µαθηµατική και η καθηµερινή γλώσσα έχουν αποκλίνουσες λειτουργίες. Αυτό δηµιουργεί δυσκολίες στη διδασκαλία και είναι ένα σοβαρό εµπόδιο στη µάθηση. Όπως, σε κάθε γλώσσα έτσι και στη µαθηµατική η αποτελεσµατική επικοινωνία εξαρτάται και από τις λογικές συνδέσεις των προτάσεων. Ακόµη, και στο πιο απλό µαθηµατικό πρόβληµα απαιτείται το λιγότερο ένα µικρό ποσό τυπικής λογικής. Για τον λόγο αυτό είναι σηµαντικό να αναπτύξουµε και να µεταφέρουµε στους µαθητές την αίσθηση της τυπικής λογικής. Κυρίως την αίσθηση των λογικών συνδέσεων των προτάσεων που µας επιτρέπει µε λογικά βήµατα να φθάνουµε από την υπόθεση στο συµπέρασµα, και την αίσθηση των επιπτώσεων, που επιβεβαιώνει ότι κάθε επόµενη πρόταση είναι συνέπεια από µία προηγούµενη. Είναι φανερό ότι αυτά δεν ισχύουν πάντα στον καθηµερινό λόγο. Η µαθηµατική γλώσσα διαφοροποιεί τα Μαθηµατικά από τις άλλες επιστήµες και την Τέχνη. Η µαθηµατική αλήθεια που αναδεικνύεται µε τον µαθηµατικό λόγο, είναι η σχέση αιτίας αποτελέσµατος, µεταξύ της γλωσσικής φόρµας και της µαθηµατικής πραγµατικότητας. Ως µαθηµατικοί αποδεικνύουµε θεωρήµατα τα οποία δεν είναι µία πραγµατεία περί του τίποτα, αλλά µία αναφορά σε µία πραγµατικότητα αλήθειας καθ εαυτής, προσιτής στη φαντασία και στη νόηση. Η αλήθεια αυτή δεν αξιολογείται σε σχέση µε την πραγµατικότητα του κόσµου, αλλά σε σχέση µε την εσωτερική συνάφεια της διαδικασίας. ηλαδή, µε την εγκυρότητα της απόδειξης η οποία είναι πλήρως αποσυνδεδεµένη από την εµπειρία της κατ ευθεία παρατήρησης. εν εξαρτάται από καµία παρατήρηση η πρόταση: Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης, f ( x) = x+ e x, όταν x + έχει πλάγια ασύµπτωτη την y= x. Ξέρουµε µε βεβαιότητα ότι αυτό συµβαίνει, διότι µε τη βοήθεια της µαθηµατικής γλώσσας έχουµε επινοήσει µία διαδικασία απόδειξης. ηλαδή, τι γίνεται; Όσο το x τείνει στο + τόσο το y τείνει στο x. Αυτό συµβαίνει µόνο στα Μαθηµατικά και τη Μεταφυσική και είναι η µεγάλη διαφορά των Μαθηµατικών από τις άλλες επιστήµες. Ως µαθηµατικοί αποκαλύπτουµε θεωρήµατα και αποδεικνύουµε ασκήσεις όπως ο γλύπτης αποκαλύπτει τη µορφή µέσα στο µάρµαρο. Αλλά σε αντίθεση µε τον γλύπτη η εργασία µας είναι εξαναγκασµένη από τις αυστηρές απαιτήσεις της γλωσσικής σύνταξης και την κολεγιακή φύση του αντικειµένου µας. Τα Μαθηµατικά είναι διδάξιµα. Όσο και αν φαίνεται παράδοξο τα Μαθηµατικά είναι διδάξιµα διότι είναι αφηρηµένα. Αν και πολλοί, µεταξύ των οποίων και οι µαθητές, ισχυρίζονται, το αντίθετο. Αυτή είναι η βαθιά διαφορά των Μαθηµατικών από την Τέχνη.
Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 9 4.2. Η επικοινωνία στα Μαθηµατικά. Όπως αναφέραµε η γλώσσα που χρησιµοποιούµε στη µαθηµατική διδασκαλία λειτουργεί διαφορετικά από τη συνηθισµένη. Η µαθηµατική γλώσσα δεν είναι σχεδιασµένη να προάγει µία ενδοπροσωπική επικοινωνία, περισσότερο εξασφαλίζει µία αποτελεσµατική, καλά οργανωµένη εικόνα της µαθηµατικής γνώσης, και υποστηρίζει προφορικές και γραπτές επεξηγήσεις εννοιών. Είναι γνωστό ότι έχουµε να διδάξουµε ένα µεγάλο ποσό πεπλεγµένων πληροφοριών σε ένα µικρό διάστηµα του χρόνου, στο πλαίσιο αυτό πρέπει οργανωθούµε για να βρούµε τον καλύτερο και αποτελεσµατικότερο τρόπο, για να κοινωνούµε τον µαθηµατικό λόγο. Έχοντας υπόψη µας ότι οι µαθητές έρχονται στην τάξη µε τις προδιαγραφές της καθηµερινής γλώσσας. Η πρόκληση της µαθηµατικής διδασκαλίας δεν είναι να αποδεικνύουµε όλο και δυσκολότερες ασκήσεις, αλλά να βρίσκουµε εύκολους δρόµους να παρουσιάζουµε µέσω της µαθηµατικής γλώσσας τις έννοιες. Γινόµαστε κύριοι της διδασκαλίας όταν µπορούµε µέσω της γλώσσας να εξερευνήσουµε και να απλοποιήσουµε τις έννοιες. Σε ένα πρακτικό γλωσσικό επίπεδο, αυτού του είδους η επικοινωνία µπορεί να βελτιωθεί µε τις παρακάτω παρεµβάσεις. Όπου δεν χρειάζονται, να µη χρησιµοποιούµε επίθετα πριν τα ουσιαστικά. ιότι, τα ουσιαστικά χάνουν τη δύναµη και την ακρίβεια τους. Παράδειγµα, το µικρό τρίγωνο, η πλάγια διαγώνια. Είναι περισσότερο περιγραφικά τα επιρρήµατα µε τις µετοχές γνησίως φθίνουσα συνάρτηση Να αποφεύγουµε τη χρήση του παθητικού αόριστου µε εκφράσεις της µορφής. Να δειχθεί ότι (Είναι κατάλοιπο της καθαρεύουσας που οι µαθητές δεν διδάχτηκαν) Είναι προτιµότερες οι εκφράσεις µε ενεστώτα Να αποδείξετε ότι Να χρησιµοποιούµε την οριζόντια γραφή στις εκφωνήσεις των θεωρηµάτων και των ασκήσεων και την κατακόρυφη γραφή για τις αποδείξεις και τις εξηγήσεις. Οι λέξεις και οι προτάσεις να είναι πλήρεις, χωρίς συγκοπές. Ο περιεκτικός µαθηµατικός λόγος είναι απόρροια προσεκτικής απλοποίησης των προτάσεων, αλλά χωρίς κενές λέξεις και χωρίς επίπεδες φράσεις. Για παράδειγµα, δεν πρέπει να γράφουµε: Με σκοπό να βρούµε τη σωστή λύση αυτού του συστήµατος εµείς µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις δύο εναλλακτικές µεθόδους. Το σωστό είναι: Για να λύσουµε το σύστηµα θα χρησιµοποιήσουµε µία από τις δύο µεθόδους. Ένα συνηθισµένο σφάλµα είναι το ελλειπτικό µαθηµατικό γράψιµο δηλαδή η γραφή µε σύµβολα χωρίς λέξεις. Κάθε γραφή ακόµη και η µαθηµατική πρέπει να αποτελείται και από πλήρεις προτάσεις και λέξεις. ιαφορετικά παρεµβάλουµε τεχνικά εµπόδια στην επικοινωνία, που είναι η υπερβολική χρήση των συµβόλων. εν πρέπει να αρχίζουµε µία πρόταση µε ένα σύµβολο, αλλά µε λέξεις. Για 2 2 παράδειγµα: ax + β x+ γ = 0 έχει πραγµατικές ρίζες αν β 4αγ 0. Η σωστή έκφραση είναι: Η εξίσωση ax 2 + β x+ γ = 0 έχει πραγµατικές ρίζες αν 2 β 4αγ 0. Ορισµένες µαθηµατικές συµβάσεις δηµιουργούν σύγχυση στους µαθητές, όπως είναι η χρήση της αλυσίδας ανισοτήτων. Ένα λανθασµένο παράδειγµα είναι το
Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 10 εξής. ίνεται ότι, x (, 2) (4, ) συχνά οι µαθητές το γράφουν 2> x> 4. Ορισµένες ανισότητες περιέχουν κρυµµένους τους συνδέσµους και, ή και πρέπει να δικαιολογούµε αναλυτικά µε ποιο σύνδεσµο συνδέονται. Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στη διάζευξη ή η οποία στην καθηµερινή οµιλία είναι σχεδόν πάντοτε αποκλειστική, όπως φαίνεται στο παράδειγµα: καφέ ή πορτοκαλάδα; Εννοούµε ένα από τα δύο, όχι και τα δύο. Στα Μαθηµατικά είναι περισσότερο εγκλειστική όπως φαίνεται στην ένωση A B συνόλων Α, Β και την άσκηση. ίνεται ότι οι α, β είναι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί και ισχύει 2a β 9. Να αποδείξετε ότι α 12 ή β > 15. Οι µαθητές δυσκολεύονται στην διατύπωση της άρνηση του συµπεράσµατος διότι δεν κατανοούν πλήρως τη διάζευξη. Συχνά δηµιουργείται στους µαθητές σύγχυση στους παρακάτω όρους, εξίσωση, σχέση, έκφραση, συνάρτηση. Εξίσωση, είναι µία πρόταση που δηλώνει ότι δύο πράγµατα είναι ίσα. Σχέση, είναι ένα σύνολο διατεταγµένων ζευγών ( x, y ). Έκφραση, είναι ένας µαθηµατικός συµβολισµός στον οποίο δεν υπάρχει ρήµα, για 2 παράδειγµα ax + β x+ γ. Συνάρτηση, είναι µία σύνθεση µεταβλητών ποσοτήτων. Στο Γυµνάσιο παρατηρούµε ότι στο Λύκειο έχουµε ότι ή θεωρούµε ότι δεν παρατηρούµε στο Λύκειο. Στις µαθηµατικές προτάσεις να χρησιµοποιούµε το εµείς που έχει µία παγκοσµιότητα και όχι το εγώ που προσδιορίζει ατοµικότητα. Για να ενισχύσουµε την αίσθηση των επιπτώσεων να εναλλάσσουµε µέσα στο κείµενο τις βασικές φράσεις της µαθηµατικής σύνταξης. Άρα, Συνεπώς, συνεπάγεται. Από την υπόθεση έχουµε Από την σχέση αυτή έπεται, Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε ταυτόχρονα είναι φιλικές εκφράσεις και αποφεύγουµε τη µονοτονία. Για την ενίσχυση της διαύγειας να µην χρησιµοποιούµε λανθασµένες λέξεις και διφορούµενες εκφράσεις, που µετατρέπουν µία πρόταση σε προτασιακό τύπο. ιακόπτουν τη συνέχεια της σκέψης και υπονοµεύουν το κύρος µας. Παράδειγµα: η συνάρτηση f ( x) = x είναι παραγωγίσιµη. Μπορεί να είναι µπορεί και να µην είναι. 4.3 ιδακτικές τεχνικές Ορισµένες διδακτικές τεχνικές συµβάλουν στην καλύτερη παρουσίαση της µαθηµατικής γνώσης. Μερικές από αυτές µπορεί να είναι: 1. Να διδάσκουµε τις µαθηµατικές ιδέες µέσα σε ένα ευρύτερο µαθηµατικό περιβάλλον. Ως καθηγητές µπορούµε να κερδίσουµε πολλά σε θέµατα µεταβίβασης των εννοιών αναπτύσσοντας τις µαθηµατικές ιδέες σε ένα ευρύτερο µαθηµατικό περιβάλλον στο οποίο µπορούµε να συζητήσουµε γενικότερες ερωτήσεις του τύπου. Ποιοι τρόποι υπάρχουν για να εκφράσουµε γενικά την έννοια της απόστασης; Ποιες µορφές της τριγωνικής ανισότητας γνωρίζετε;
Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 11 Εάν υψώσουµε στο τετράγωνο ένα µιγαδικό αριθµό του Gauss το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος είναι κάθετες πλευρές Πυθαγόρειων τριάδων. Είναι σύµπτωση αυτό; Να περιγράψετε το εµβαδόν του κύκλου ως εµβαδόν τριγώνου. Από ποιο γενικότερο τύπο προέρχονται οι τύποι του τριγώνου, του παραλληλογράµµου, του ορθογωνίου, του τετραγώνου; Το ευρύτερο περιβάλλον µας δίνει ευκαιρίες για ουσιαστικότερη εµβάθυνση στις έννοιες µέσα από τη διαλογική συζήτηση. Επίσης ενισχύει το επιστηµονικό µας κύρος. 2. Να διδάσκουµε τις µαθηµατικές ιδέες µέσα σε ένα ευρύτερο διδακτικό περιβάλλον. Οι µαθηµατικοί όροι και οι µαθηµατική σύνταξη κοµίζουν νοηµατικό περιεχόµενο. Στους ορισµούς των όρων όταν είναι δυνατόν να αναφέρουµε και να σχολιάζουµε κατά την διδασκαλία τέσσερα πράγµατα Το σηµαίνον (το όνοµα), το σηµαινόµενο (το νόηµα), τον φυσικό αντιπρόσωπο (π.χ. ένα ευθύγραµµο τµήµα) και το σύµβολο π. χ. µ α ή ΑΜ για τη διάµεσος ενός τριγώνου. Οι αποδείξεις είναι πολύ σηµαντικές αλλά η µάθηση των µαθητών δεν κατοχυρώνεται µόνο µε την παρουσίαση µίας απόδειξης. Κάποια πράγµατα είναι αναγκαία για να γίνει µία εποικοδοµητική συζήτηση. Όπως, γιατί χρειάζεται µία απόδειξη (Αρχή του ικανοποιητικού λόγου), η αιτιολογία του είδους της απόδειξης που χρησιµοποιήσαµε, (υπάρχουν στα βιβλία ενοχλητικές αποδείξεις στις οποίες δεν προσδιορίζεται ακριβώς το είδος) και ο σχολιασµός των συνδέσεων των εννοιών που υπάρχουν µέσα στην απόδειξη. Υπάρχουν θεωρήµατα µε ισχυρές συνδέσεις και άλλα µε ασθενείς. (στα τελευταία ανήκει το Θ.Θ.Ο.Λ.) Κυρίως να αντιλαµβάνονται τι σηµαίνει ένα θεώρηµα. ιαφορετικά το παιδαγωγικό µήνυµα της απόδειξης παραµένει στην επιφάνεια. 3. Να εφαρµόζουµε τεχνικές προσέγγισης ορισµένων δύσκολων εννοιών όπως είναι η διδασκαλία κατά αναλογία κατά την οποία µία δύσκολη έννοια µπορεί να διδαχτεί µέσω µίας άλλης προϋπάρχουσας έννοιας για να γίνει προσιτή και κατανοητή στους µαθητές (Νέο κρασί σε παλιά µπουκάλια). Γενικότερα, η αναλογία είναι ένας µηχανισµός της ανθρώπινης επικοινωνίας. Ορισµένα παραδείγµατα µπορεί να είναι: Την έννοια της πιθανότητας στην κανονική κατανοµή τη διδάσκουµε, µε τα ποσοστά των παρατηρήσεων που πέφτουν σε ένα διάστηµα. Τους µετασχηµατισµούς στο µιγαδικό επίπεδο (Mobius, κ.λ.π.) τους διδάσκουµε ως γεωµετρικούς τόπους. Τις πεπλεγµένες συναρτήσεις ως σύνθετες συναρτήσεις. Αρκετές διαφορικές εξισώσεις, ως συνέπειες του ΘΜΤ ή της συνάρτησης ολοκλήρωµα µε µεταβλητό άνω άκρο. 4. Να αναπτύσσουµε συνεχώς την ερευνητική διάθεση. Η µαθηµατική παιδαγωγική, αντίθετα µε την µαθηµατική επιστήµη δεν είναι ακριβής. Λίγα πράγµατα είναι απόλυτα στην παιδαγωγική, αλλά για ένα πρέπει να είµαστε απολύτως βέβαιοι. Ο καλύτερος δάσκαλος είναι εκείνος που έχει µία ερευνητική διάθεση για τα Μαθηµατικά. εν εννοούµε να βρίσκουµε νέα πράγµατα. Πάρα πολλά θέµατα στα όρια των απαιτήσεων του Λυκείου µας δίνουν αχανή πεδία
Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 12 ερευνών. Οι µέθοδοι των ερευνών αυτών είναι ευρείες και προσιτές στην ύλη που διδάσκουµε. Για παράδειγµα, στην Ανάλυση να εργαστούµε στις συναρτήσεις που πληρούν την συνθήκη Lipschitz (λύνουµε στη διδασκαλία παρεµφερείς ασκήσεις). Στους µιγαδικούς αριθµούς να εργαστούµε στους µετασχηµατισµούς Joukowski (υπάρχει άσκηση στο σχολικό βιβλίο). Εργαζόµενοι ατοµικά σε ένα δύσκολο πρόβληµα για κάποια χρονική περίοδο παίρνουµε µία νέα αίσθηση των δυσκολιών, της δηµιουργίας, της φύσης και της τόλµής που απαιτεί το αντικείµενο µας. εν εκλαµβάνουµε τα Μαθηµατικά ως ένα συµπαγές σώµα γνώσεων και βρίσκουµε ιδέες να οργανώσουµε την τάξη µας σε ερευνητικό και επικοινωνιακό επίπεδο και όχι σε χαµηλής προσδοκίας ασκήσεις. Σε ένα µέρος του υλικού αυτού µπορούν να εργαστούν και οι µαθητές χωρίς να περάσουµε το κατώφλι και χωρίς να φθάσουµε στην οροφή. 5. ΕΠΙΜΥΘΙΟΝ Ας επανέλθουµε στο τοπίο της επικοινωνίας. Όταν αναπτύξουµε την επικοινωνιακή ικανότητα και επιµελούµεθα τον προφορικό και γραπτό µας λόγο, η τάξη αποκτά σταδιακά µια οικεία οικογενειακή ατµόσφαιρα. Οι µαθητές είναι πρόθυµοι να συµµετέχουν στο µάθηµα και εµείς αισθανόµαστε ένα µοναδικό, απροσδιόριστο αίσθηµα ευχαρίστησης, που απορρέει από τη µεταβίβαση των γνώσεων. Οι µαθητές µπορεί να ξεχάσουν τα θεωρήµατα που τους διδάξαµε, να µην αναφέρουν ποτέ..να υπολογιστεί το ορισµένο ολοκλήρωµα από µέχρι αλλά ποτέ δε θα ξεχάσουν αν η διδασκαλία µας ήταν κατανοητή και πως αισθανόταν όταν κάναµε το µάθηµα. Η µνήµη είναι πολλές φορές πιο σηµαντική από τη γνώση. Γιατί η µνήµη θα συντηρεί την εκτίµηση που θα µας συνδέει µε τους µαθητές και την αγάπη που θα τους συνδέει µε τα Μαθηµατικά. Αυτή θα ενισχύει την έφεσή τους για την ουσιαστική µόρφωση και θα επιδρά θετικά στο µέλλον τους. Οι οργανωµένες αναµνήσεις που προέρχονται από την επικοινωνία αποτελούν τη βάση της ηθικής. 6. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Παπαγεωργίου Χ. Η οικοδόµηση της γνώσης µε την ευεργετική συµµετοχή του µαθητή στη διδασκαλία της µάθησης. Εκδόσεις Αναγέννηση Αθήνα 1996. 2. Πυργιωτάκης Ι.Εισαγωγή στην Παιδαγωγική Επιστήµη Ελληνικά. Γράµµατα. 3. Μπαµπινιώτη Γεωργίου, Ετυµολογικό Λεξικό της Νέας Ελληνικής Γλώσσας, Κέντρο Λεξικολογίας. Αθήνα, 2010. 4. Καραγεώργος ηµήτριος, Το Πρόβληµα και η Επίλυση του, Εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα. 5. Ubaldo Nicola, Εικονογραφηµένος Άτλας Της Φιλοσοφίας, Εκδόσεις Ενάλιος, Αθήνα 2005. 6. Vygotskys Educational Theory in cultural context, Cambridge University Press, 2003. 7. Edward B. Fiske, Smart Schools Smart Kids. Publishers by Simon and Schuster. 8. Boyer, C. Proportion, Equation, Function, three steps in the development of a concept, Scripta mathematica,12,p.5-13.
Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 13 9. Pimm David, Speaking Mathematically, Communication in Mathematics Classrooms, Routledge, London 1990. 10. Sternberg Robert, The Nature of Mathematical Thinking, Lawrence Erlbaum Associates, Publishers, 1996. 11. Guershon Harel, The concept of Function, MAA Notes Volume 25, 1992. 12. B. Baumslag, Fundamentals of teaching, Mathematics at University Level, Imperial College Press 2000. 13. Robert Fraga, Calculus Problems for a New Century, MAA Notes Number 28. 14. The American Heritage Dictionary of the English Language, Houghton Mifflin, Boston,2000.-