ΡΟΠΗ ΟΡΜΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ 1. Η πιαηθόξκα ελόο pickup (είλαη θπιηλδξηθόο δίζθνο κάδαο 1,5 Kg θαη δηακέηξνπ 32 cm) πεξηζηξέθεηαη ζηηο 33 ζηξνθέο αλά ιεπηό. Να ππνινγηζηνύλ α) ε ζηξνθνξκή L ηεο πιαηθόξκαο, β) ε ξνπή ηξηβήο πνπ επηβξαδύλεη ηελ πιαηθόξκα όηαλ ρξεηάδεηαη 20 sec γηα λα ζηακαηήζεη από ηε ζηηγκή πνπ ζα ην θιείζνπκε (off). Υπνζέζηε όηη ε ξνπή ηξηβήο είλαη ζηαζεξή. α) Γηα έλα ζηεξεό ην νπνίν πεξηζηξέθεηαη γύξω από ζηαζεξό άμνλα ζπκκεηξίαο, ηζρύεη όηη ε δηεύζπλζε ηεο ζηξνθνξκήο L είλαη απηή ηνπ ζρήκαηνο. Αλ ε γωληαθή ηαρύηεηα είλαη ω ηζρύεη, L=Iω (1) Η ξνπή αδξάλεηαο δίζθνπ ωο πξνο άμνλα θάζεην ζε απηόλ πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ είλαη: I = 1/2MR 2 I = ½(1,5 Kg)(32X10-2 /2 m) 2 = 1,92X10-2 Kgm 2 Η γωληαθή ηαρύηεηα ω είλαη: ω = 2π/Τ = 2π/(60/33) = 3,46 rad s -1 Οπόηε από ηελ (1) έρνπκε όηη L = (1,92X10-2 Kgm 2 )(3,46 s -1 ) β) Γηα ηελ ξνπή η ηζρύεη L = 6,64X10-2 Kg m 2 s -1 η = Ιa (a ε γωληαθή επηηάρπλζε) (2) Γηα ηελ γωληαθή επηηάρπλζε εδώ ηζρύεη όηη a = Γω/Γt = (ω ηει ω αξρ )/Γt = (0 3,46 rad/s0/20 s a = 1,73 rad/s 2 Οπόηε από ηελ (2), η = (1,92X10-2 Kgm 2 )( 1,73 rad/s 2 ) η = 3,32Φ10-2 Kgm 2 s -2 2. Μηα ζηαγόλα λεξνύ κάδαο m έρεη ηαρύηεηα u θαη πέθηεη ζε έλα θηεξό κηαο θηεξωηήο πνπ πεξηζηξέθεηαη κε γωληαθή ηαρύηεηα ω ν γύξω από έλαλ νξηδόληην άμνλα πεξηζηξνθήο θαη έρεη ξνπή αδξάλεηαο Ι ωο πξνο απηόλ. Δθαξκόδνληαο ζεκειηώδε λόκν δηαηήξεζεο ηεο νξκήο γηα όιν ην ζύζηεκα,
ππνινγίζηε ηε γωληαθή ηαρύηεηα ηεο θηεξωηήο αθνύ θηππήζεη ε ζηαγόλα ζην θηεξό ζε απόζηαζε r από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο (θαη κείλεη πάλω ζηε θηεξωηή). Η ζηαγόλα έρεη ηαρύηεηα u ζηαζεξή θαη επνκέλωο επηηάρπλζε κεδέλ. Άξα από ηνλ 2 ν Ν. Newton έρνπκε όηη F = mα F = 0, δει. δελ εμαζθείηαη θακηά εμωηεξηθή δύλακε ζηε θηεξωηή. Άξα δελ εμαζθείηαη ξνπή ζην ζύζηεκα (F = 0 ηα = 0) Δπνκέλωο, η = dl/dt = 0 L = ζηαζεξή L πξηλ = L κεηά (1) Γηα ηελ ζηαγόλα ηζρύεη: L ζη = rmu Γηα ηελ θηεξωηή ηζρύεη: L θη = Ιω Οπόηε από ηελ (1) έρνπκε, rmu + Ιω ν = rmu + Ιω (2) Δθόζνλ όκωο ε ζηαγόλα κέλεη πάλω ζηε θηεξωηή ζα έρεη ηαρύηεηα, u = ωr Οπόηε ε (2) γίλεηαη rmu + Ιω ν = rmωr + Ιω ω = (Ιω ν + rmu)/ι + mr 2 ) Παξαηήξεζε Έζηω όηη ε εθαπηώκελε ηαρύηεηα ηεο θηεξωηήο (u θη = ω ν r) είλαη ίζε κε ηελ ηαρύηεηα u ηεο ζηαγόλαο, δει. u = ω ν r. Τόηε ζα ηζρύεη ω = (Ιω ν + rm ω ν r)/ι + mr 2 ) = ω ν (Ι + mr 2 )/ Ι + mr 2 = ω ν Γειαδή δελ ζα άιιαδε ε γωληαθή ηαρύηεηα ηεο θηεξωηήο!! 3. Υπνζέζηε όηη ν Ήιηνο καο είλαη έλα αζηαζέο άζηξν πνπ θαηαξξέεη θάπνηα ζηηγκή θαη ζρεκαηίδεη έλα άζηξν λεηξνλίωλ. Τν άζηξν απηό είλαη πνιύ ππθλό. Τα άηνκα έρνπλ ζπκπηεζηεί ζε αθηίλα 10-5 ηεο αξρηθήο αθηίλαο. Αλ ν ρξόλνο πεξηζηξνθήο ηνπ Ήιηνπ γύξω από ηνλ άμνλα ηνπ είλαη 25 εκέξεο πξηλ θαηαξξεύζεη, ππνινγίζηε πόζν ρξόλν ρξεηάδεηαη γηα κηα πεξηζηξνθή κεηά ηε θαηάξξεπζε. Υπνζέζηε όηη ν Ήιηνο είλαη ζθαίξα. Σην ζύζηεκα δελ εμαζθνύληαη εμωηεξηθέο ξνπέο. Άξα, η = dl/dt = 0 L = ζηαζεξή L πξηλ = L κεηά (Ιω) πξηλ = (Ιω) κεηά (1)
Η ξνπή αδξάλεηαο ζθαίξαο γηα άμνλα πεξηζηξνθήο πνπ πεξλά από ην θέληξν ηεο είλαη: I = 2/5(MR 2 ) νπόηε από ηελ (1) έρνπκε όηη: 2/5(MR πξηλ 2 )ω πξηλ = 2/5(MR κεηά 2 )ω κεηά ω κεηά = ω πξηλ (R πξηλ /R κεηά ) 2 = = 1/25(ζηξνθέο/εκέξα)(10 5 ) 2 ω κεηά = 4Φ10 8 ζηξνθέο/εκέξα. 4. Μία ζπκπαγήο ζθαίξα αθηίλαο R=10cm μεθηλάεη από ηελ εξεκία από ηελ θνξπθή θεθιηκέλνπ επηπέδνπ κήθνπο s=10m, ρωξίο λα νιηζζαίλεη. Η ζθαίξα θηάλεη ζην θάηω άθξν ηνπ θεθιηκέλνπ κεηά από ρξόλν t=2sec. Να βξεζεί ε γωλία θιίζεο ηνπ θεθιηκέλνπ επηπέδνπ. Γίλεηαη όηη ε ξνπή αδξάλεηαο ηεο ζθαίξαο είλαη Ι=(2mR 2 ) / 5.
5. Αβαξέο λήκα είλαη ηπιηγκέλν γύξω από αθίλεην ζπκπαγή θύιηλδξν αθηίλαο R θαη κάδαο m, κε ην έλα ηνπ άθξν ζηεξεωκέλν. Αθήλνπκε ηνλ θύιηλδξν λα πέζεη θαηαθόξπθα κέρξηο όηνπ ην θέληξν κάδαο ηνπ δηαλύζεη απόζηαζε h. Γείμηε όηη: α) ην κέηξν ηεο επηηάρπλζεο ηνπ θέληξνπ κάδαο είλαη 2g/3, β) Η ηάζε ηνπ λήκαηνο είλαη mg/3, γ) Η ηαρύηεηα όηαλ απηό έρεη δηαλύζεη απόζηαζε h είλαη (4gh/3) 1/2. Γίλεηαη όηη ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ θπιίλδξνπ είλαη I=(mR 2 )/2
6. Μία ξάβδνο κάδαο Μ θαη κήθνπο L πεξηζηξέθεηαη ζε έλα θάζεην επίπεδν γύξω από ην θέληξν ηεο Ο. Σωκάηηα κε κάδεο m 1 θαη m 2 είλαη πξνζαξηεκέλα ζηηο άθξεο ηεο ξάβδνπ. α) Υπνινγίζηε ην κέηξν ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ ζπζηήκαηνο όηαλ ε γωληαθή ζπρλόηεηα είλαη ω. β) Υπνινγίζηε ην κέηξν ηεο γωληαθήο επηηάρπλζεο ηνπ ζπζηήκαηνο όηαλ ε ξάβδνο ζρεκαηίδεη γωλία ζ κε ηελ νξηδόληηα. γ) Βξείηε ηηο ζέζεηο ηεο ξάβδνπ γηα ηηο νπνίεο ε γωληαθή επηηάρπλζε γίλεηαη κεδέλ θαη κέγηζηε. Ι ξαβ =(ΜL 2 )/12