4 Ekuazioak eta sistemak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Bigarren mailako ekuazio osoak eta osatugabeak ebazten. Ekuazio bikarratuak eta bigarren mailako batera murriztu daitezkeen beste batzuk ebazten. Ekuazio linealen sistemak ebazten, metodo desberdinak erabilita. Bigarren mailako ekuazioen sistemak ebazten. Aljebraren hizkuntza problemak ebazteko aplikatzen. Hasi baino lehen. 1.Bigarren mailako ekuazioak..orria 58. mailako ekuazio osoak. mailako ekuazio ez-osoak. mailako ekuazio baten emaitzak Ekuazio bikarratuak Ecuaciones racionales.ekuazio linealen sistemak...orria 61 Sistema baten ebazpena Sistema bateragarriak eta bateraezinak Ebatzi sistemak ordezkapen-metodoa erabiliz Ebatzi sistemak berdinketa-metodoa erabiliz Ebatzi sistemak laburketa-metodoa erabiliz 3.Bigarren mailako sistemak...orria 63 Mota honetakoak: ax+byc x yd Mota honetakoak: a 0 x +b 0 y c 0 a 1 x+b 1 yc 1 4.Aplikazio praktikoak...orria 64 Problemen ebazpenak Praktikatzeko ariketak Gehiago jakiteko Lapurpena Autoebaluazioa Tutoreari bidaltzeko jarduerak MATEMATIKA B 55
56 MATEMATIKA B
Hasi baino lehen Eguneroko bizitzan topatzen ditugun problema praktiko askori aurre egiteko, ekuazio edo ekuazio-sistema bat ebatzi behar izaten dugu. Halakoetan, "aljebraren hizkuntza" erabili behar izaten dugu, izan ere hizkuntza aljebraikoa baliagarri gertatzen baitzaigu ohiko hizkuntzan helarazteko zailak diren erlazioak zehaztasunez adierazteko. Magoak proposatzen duen jolasa lagun bati egiten saiatu, pentsatutako zenbakia asmatzeko nahikoa da zure emaitzari 1000 kendu eta zati 100 egitea, ekuazio bat planteatzen baduzu egiaztatu ahal izango duzu: Pentsa ezazu zenbaki bat x Bikoiztu x Gehitu 5 unitate x+5 Biderkatu bider 5 5 (x+5) Batu 75 unitate 5 (x+5)+75 Biderkatu dena bider 10 10 [5 (x+5)+75] 10 [5 (x+5)+75]emaitza 10 (10x+5+75) emaitza 10 (10x+100) emaitza 100x+1000emaitza x(emaitza-1000)/100 Pentsa ezazu zenbaki bat, bikoiztu, gehitu 5 unitate, biderkatu bider 5, batu 75 unitate eta Biderkatu dena bider 10. Orain emaitza esan eta zure zenbakia asmatuko dut Aljebrar ekin erraza MATEMATIKA B 57
1. Bigarren mailako ekuazioak. mailako ekuazioak honelakoak dira: ax + bx + c 0 Ebazteko ondoko formula erabiliko dugu: Ebatzi: x - x - 8 0 x b ± b a 4ac Ekuazio hauek bi ebazpen izan ditzakete, ebazpen bakarra edo ebazpenik ez, b -4ac-ren arabera, honi diskriminatzailea deitzen zaio. b -4ac > 0 b -4ac 0 b -4ac < 0 Bi ebazpen daude. Ebazpen bikoitza dago: x-b/a Ez dago ebazpenik. ( ) ± ( ) 4 1 ( 8) x 1 ± 4 + 3 ± 36 ± 6 Bi ebazpen lortuko ditugu: x4 x- Ekuazio ez-osoak b, c edo biak 0 direnean. mailako ekuazio ez-osoa da. Kasu hauetan formula aplikatzea ez da beharrezkoa eta jarraian azaltzen den moduan egitea errazagoa da: b0 baldin bada ax + c 0 ax -c x -c/a x ± c a Nola lortzen da formula? ax +bx+c0 c beste aldera pasa: ax +bx -c 4a-gatik biderkatu: 4a x +4abx-4ac b gehitu: 4a x +4abx+b b -4ac Karratu perfektua dugu: (ax+b) b -4ac Erroa atera: x bakandu: ax + b ± b ± x 4ac Ebatzi: x - 6x 0 b b a 4ac x(x - 6) 0 Ebazpenak: x0 x3 c0 baldin bada ax + bx 0 x faktore komuna aterata : x(ax+b)0 x0, x-b/a dira bi ebazpenak. Ebatzi: -x / + 0 x 4 Ebazpenak: x x- 58 MATEMATIKA B
Askatu: x 4-5x +40 x t t -5t+40 5 ± t 5 16 5 ± 3 4 1 Ekuazio bikarratuak ax 4 +bx +c0 motako ekuazioak bikarratuak dira. Hauek ebazteko nahikoa da x t egitea eta. mailako ekuazioa lortuko dugu: at +bt+c0, non t 4 x t 1 x 4 x ± 4 ± 1 x ± 1 ± 1 t b ± b 4ac a x ± x ± t1 t Askatu: x 4 1 x Izendatzaileak kenduko ditugu : x(1-x)-4(1-x) Eragiketa egin : x-x -4-4x Ebatzi : x -5x+60 5 ± 5 4 5 ± 1 3 x Ebazpenak egiaztatu: x3 x Biak baliodunak dira Jarraian. mailako ekuazio bihurtzen diren ekuazio batzuk ikusiko ditugu. Ebatzitako ariketetan adibide gehiago ikus ditzakezu. Arrazionalak Ekuazio hauetan ezezaguna izendatzailean azaltzen da. Hauek ebazteko ondoko prozesua jarraitu behar da: lehenik izendatzaileak kendu, eragiketa egin eta gelditzen den ekuazioa ebatzi. Komeni da lortutako ebazpenek izendatzailea ezeztatzen ez dutela egiaztatzea, hala gertatuko balitz ez litzatekeelako baliagarria izango. Askatu: x 1 + x 7 Erroa alde batera utzi: x 1 7 x Karratua egin: ( x 1) (7 x) x-149-14x+x Ebatzi: x -15x+500 15 ± 5 00 15 ± 5 10 x 5 Ebazpenak egiaztatu: x10 ez da balioduna x5 da ebazpena Ekuazio irrazionalak Ekuazio hauetan ezezaguna erroaren barruan azaltzen da. Hauek ebazteko erroa albo batera uzten da eta bi aldeak karratu egiten dira. Eragiketak eginez. mailako ekuazio batera iritsiko gara eta ebatzi egingo dugu. Karratua egitean ebazpen "arraroak" gertatzen direnez jatorrizko ekuazioak egiaztatu behar dira. MATEMATIKA B 59
1. Ebatzi ekuazioak: Ariketen emaitzak a) x 1 ± 144 18 + 1x + 3 0 x b) 9x 6 ± 36 36 + 6x + 1 0 x 18. Ebatzi ekuazioak: 1 ± 16 1 ± 4 6 ± 0 6 1 18 18 3 8 4 a) x + 5x 0 x(x+5)0 x0, x-5/ b) x 3 0 x 16 x ± 4 3. m-ren balioa kalkulatu x +mx+90 ekuazioak ebazpen bikoitza izan dezan. Δb -4ac diskriminatzaileak 0 izan behar du, m 4 90 m 36 eta m±6 m6 baldin bada, x +6x+90 eta ebazpena x-3; m-6 baldin bada, x -6x+90 eta ebazpena x3 4. Ebatzi ekuazioak: a) x 4-5x + 144 0 t 5t + 144 0 x 5 ± 65 576 5 ± 49 5 ± 7 16 x ± 4 t t 9 x ± 3 1. b) x 4 + 9x 16 0 t + 9t 16 0 x t 9 ± 81 + 648 9 ± 79 9 ± 7 18 Sin sol. t 9 x ± 3 5. Ebatzi ekuazioak: 9 x 3 a) + (9-x)(1-x)+3(1+3x)-(1+3x)(1-x) 1 + 3x 1 x 9-9x-x+x +3+9x-+x-6x+6x 5x 3 ± 9 + 80 3 ± 89 3 ± 17 3x 14 0 x 10 10 10 7 /5 Ekuazioan ordezkatuz bi ebazpenek balio dute 1 x 8 b) 1 (x-)(1-x)-8 5(x+1)5(x+1)(x-) 5(x + 1) x x--x +x-40x-405x +5x-10x-10 6x 3 ± 104 768 3 ± 56 3 ± 16 4 + 3x + 3 0 x 1 1 1 4 / 3 Ekuazioan ordezkatuz bi ebazpenek balio dute 6. Ebatzi ekuazioak: a) x + 1 5x + 1 0 x + 1 5x + 1 ( x + 1) ( 5x + 1) x +x+15x+1 x -3x0 x(x-3)0 x0, x3 Ekuazioan ordezkatuz bi ebazpenek balio dute b) 3 x + 4 + x 4 3x + 4 4 x ( 3x + 4) (4 x) 3x+416-16x+4x 4x -19x+10 19 ± 361 19 19 ± 169 19 ± 13 4 x 8 8 8 3 / 4 x3/4 ebazpenak bakarrik balio du 60 MATEMATIKA B
Adierazi: x-y1 y0,5x-0,5 Balioak ematen x 0 1 ditugu: y -0,5 0. Ekuazio-sistemak Ekuazio linealen sistema aldi berean betetzen diren lehen mailako ekuazioen multzoa da. a1x + b ax + b 1 y c y c 1 a 1, b 1, a, b, c 1, c zenbaki errealak dira Sistemaren ebazpena zenbaki bikote bat da (x,y) sistemaren bi ekuazioak egiaztatzen dituena. Ebazpen berdina duten bi sistema baliokideak dira. Ebazpena duten sistemak bateragarriak dira eta ez dutenak bateraezinak Bi ezezagunen ekuazio linealen sistema batean, ekuazio bakoitzak planoan zuzen bat irudikatzen du. Sistema bat eztabaidatzea, zuzen horiek planoan nola kokatzen diren aztertzea da. Honelakoak izan daitezke: Ebakitzaileak, sistemak ebazpen bakarra dauka, Bateragarri zehaztua deitzen da. Baterakideak, sistemak ebazpen infinituak ditu, Bateragarri zehaztugabea da. Paraleloak, sistemak 3x + ez 4y du 7 Askatu: ebazpenik, Bateraezina deitzen da. x y 1 ORDEZKAPEN METODOA ERABILIZ x bakandu. ekuazioan eta lehenengoan ordezkatu: x1+y 3(1+y)+4y-7 3+6y+4y-7 10y-10 y-1 x1+ (-1)-1 BERDINKETA METODOA ERABILIZ x bakandu bi ekuazioetan 4y 7 eta berdindu: 1 + y 3-4y-73(1+y) -4y-6y3+7-10y10 y-1 x-1 LABURKETA bidez 3x+4y-7 rekin biderkatzen dugu x 4y Batuz: 5x -5 Hortaz: x-1 Eta ordezkatuz: y-1 Ekuazio sistema bat ebazteko ondoko hiru metodoetako edozein erabiliko dugu: Ordezkatze-metodoa Ekuazioetako batean ezezagun bat bakandu eta lortutako adierazpena beste ekuazioak ordezkatu behar da, eta ezezagun bakarra duen lehen mailako ekuazio bat lortzen da; hau aurkitu ondoren bestea kalkulatu. Berdintze-metodoa Bi ekuazioetan ezezagun berdina bakandu behar da eta lortutako adierazpenak berdindu. Berriz ere ezezagun bakarra duen lehen mailako ekuazioa lortuko dugu. Laburtze-metodoa Bi ezezagunetako bat ezabatu behar dugu bi ekuazioak batuz. Horretarako bietako ekuazio bat edo biak biderkatu egingo ditugu x edo y-ren koefizienteak berdinak eta aurkako zeinukoak izan daitezen. MATEMATIKA B 61
Ariketen emaitzak 7. Dagozkien zuzenak adierazi eta ondoko sistemak eztabaidatu: + y 3 y 3 3x 3y 3 a) b) c) x y 1 x y 1 x y 1 Bateragarri determinatua Bateraezin Bateragarri indeterminatua 8. Ebatzi ordezpen metodoa erabiliz: x + 4y 5 3x + 5y 45 a) b) 10x 5y 5 4x y 43 1.go ekuazioan x bakandu. ekuazioan y bakandu x-5-4y.ean ordezkatu y-4x+43 1.goan ordezkatu -10(-5-4y)-5y5 50+40y-5y5 3x+5(-4x+43)45 3x-0x+1545 35y-45 y-7-17x-170 x10 x-5-4 (-7)3 y-4 10+433 9. Ebatzi berdinketa-metodoa erabiliz: 4x + y 0 y 0 + 4x 3x 4y 31 x (31 + 4y) / 3 a) b) 6x 9y 0 y 6x / 9 5x 9y 11 x (11 + 9y) / 5 6x 31 + 4y 11 + 9y 0 + 4x 180+36x6x 9 3 5 5(31+4y)-3(11+9y) 30x-180 x-6 155+0y-33-7y 47y-188 y-4 y-36/9-4 x(11-36)/5-5 10. Ebatzi laburketa-metodoa erabiliz: 5x 10y 5 5x + 3y 1 a) b) 8x + y 4 7x + 8y 37 Ebatzi: 5x 10y5-7 -gatik biderkatu -35x-1y-147 5 -gatik biderkatu 40x+10y0 5 -gatik biderkatu 35x+40y 185 Batuz: 45x 45 Batuz: 19y 38 x1 y- y x3 x y 3 5 15 7x 7y 8 izendatzaileak kenduz eta. ekuazioa sinplifikatuz, sistema baliokide bakarra bihurtzen da. LABURKETA METODOA ERABILIZ 5x-3y -3y+3y-1 x 10 x5 y1 5x 3y x y 4 6 MATEMATIKA B
4x + y 1 x y 3 1.go ekuazioan y1+4x.ean ordezkatuz x(1+4x)3 4x +x-30 1 ± 1 + 48 1 ± 7 x 8 8 x3/4 y4 x-1 y-3 3x + y 4 x + y. ekuazioan: y-x 1.goan ordezkatzen da 3x +(-x) 4 3x +4-4x+x 4 4x -4x0 x(4x-4)0 Sistema hauetan ekuazio bat edo biak ez dira linealak. Hauek ebazteko. mailako ekuazioak ebazteko erabiltzen ditugun metodoak eta sistema linealak aplikatuko ditugu. Ikus ditzagun adibide batzuk. Mota: a Mota: a ax + by c x y c 1 1 x + b1y c x + b y c Mota honetako sistemak ebazteko x edo y bakanduko ditugu ekuazio batean eta bestean ordezkatuko dugu.murriztu egiten da eta geratzen den ekuazioa ebazten da. Amaitzeko bakandutako ekuazioan aurkitutako balioak ordezkatuko ditugu beste ezezaguna kalkulatzeko. 1 Ariketen emaitzak 11. Ebatzi: y 1 + 3y 30 a) b) x y 0 x y 4 1.go ekuazioan: xy-1. ekuazioan: x4/y. ekuazioan: (y-1)y0 1.go ekuazioan: 48/y+3y30 y -y-00 3y -30y+480 y -10y+160 1 ± 1 + 80 1 ± 9 5 x 4 10 ± 100 64 10 ± 6 8 y y 4 x 5 x 3 x 1 1. Ebatzi: x + y 41 a) x + y 1 x y 7 b) x + 3y 1. ekuazioan: x-y-1. ekuazioan: x(-1-3y)/ ( 1 3y) 1.go ekuazioan: (-y-1) +y 41 1.go ekuazioan: 4 y +y+1+y 41 y 7 y +y-400 1+9y +6y-8y 8 y +6y-70 y ± 4 + 30 ± 18 4 x 5 6 ± 36 + 108 6 ± 1 3 x 5 y 4 4 5 x 4 9 x 13 MATEMATIKA B 63
4. Problemen ebazpenak Problema bat ekuazio baten edo ekuazio-sistema baten bidez ebazteko, hizkuntza aljebraikora itzuli behar dira enuntziatuaren baldintzak eta gero ekuazioa edo planteatutako sistema ebatzi. A continuación puedes ver algunos ejemplos: Bilera batean partaide bakoitzak beste guztiak agurtzen ditu, trukatzen diren agur kopurua 8 bada, zenbat pertsonek hartzen dute parte bileran? x laguntzaile kopurua x(x 1) 8 x x56 x x 560 1 ± 1 + 4 1 ± 15 x Ondokoa lortuko dugu x-14/-7 eta x16/8 Ebazpen negatiboak ez du balio pertsona kopuruaz ari garelako, beraz, 8 pertsona joango dira. Bi pertsonak topo egiten dute eta bakoitzak kapital zehatz bat du. Batak besteari esaten dio: Daukazunetik 3 unitate ematen badizkidazu, nik dudanari gehituz biok berdina izango dugu ;; eta besteak eratzuten dio: Zuk duzunetik 6 unitate ematen badizkiot eta geratzen zaizunaren bikoitza izando du. Zenbat du bakoitzak? A-k badauka x + 3 y 3 y 6 B- b (x 6) y + 6 x y 18 Ebatzi laburketa-metodoa erabiliz: x + y 6 x y 18 x 4 y6+x30 Lursail angeluzuzen bat hesiz inguratu nahi da, alde batean eureka dagoela. Lursailaren azalera 000 m -koa bada eta hesitu beharreko hiru aldeek 140 m neurtzen badute, zein dira lursailaren neurriak?. Dimensiones: x (ancho), y (largo) + y 140 x y 000 1.ekuazioan: y140-x Sustituyendo en la ª: x (140-x)000 Resolvemos la ecuación: x - 140x + 0000 x50 y40 x0 y100 Problemak ebazteko 1º) Enuntziatua ulertu. º) Ezezagunak identifikatu. 3º) Hizkuntza aljebraikoa itzuli. 4º) Ekuazioa edo sistema ebatzi. 5º) Egiaztatu ebazpenak. Laguntzaile kopurua: x Bakoitzak beste guztiak agurtzen ditu: x-1 A B eta B A agurrak berdinak dira, beraz, agur kopurua: x: zabalera y: luzera x (x-1)/ Egiaztapena: 8 pertsona, bakoitzak beste 7ak agurtzen ditu; 8 756 eta erdia 8. A pertsona: B pertsona: A-k badaukax B- badaukay x y B-k ematen dio 3 A-ren Hesitu behar den perimetroa: x+y140 m Azalera (oinarria x altuera): x y000 m Egiaztapena: x50 y40 x y50 40000 x0 y100 x y0 100000 y A-k B-ri 6 ematen dizkio x+3 x 6 y 3 y+6 Biak berdin A-k dio: x+3 y 3 B-k dio: y+6 (x-6) Egiaztapena: B-k ematen dio 3 A-ren B bikoitza A A-k B-ri 6 ematen dizkio A: x4 4+37 4 618 B: y30 30 37 30+636 B bikoitza Biak berdin A x x 64 MATEMATIKA B
Praktikatzeko Ekuazioak eta sistemak 1. Ebatzi ekuazioak: a) -6x 7x + 155-8x b) 3x + 8x + 14-5x c) (x-6)(x-10)60 d) (x+10)(x-9)-78. Ebatzi ekuazioak: a) x 4 4x + 144 0 b) x 4 + 14x 7 0 c) x 4 81 0 d) (x 8)(x 1) 8 3. Ebatzi ekuazioak: 9 4 a) + 5 x 3x 5 + x b) + x 4 3x 6x + 6 c) 3 x 1 7x + 5 3 + x x + d) + 5 3x + 1 x + 1 4. Ebatzi ekuazioak: a) 9x x 9 b) 3 + 6x 4x c) x x 5 5. Ebatzi ekuazioak: a) c) y 3 5 4 5 4x y 1 y 8 + 3 3 7x + 3y 34 6. Ebatzi ekuazioak: a) 6y 15 x y 9 x 3y c) x + y 1 b) d) b) y 3 4 8 8 8x + 5y 33 y 4 9 9 5x 7y 0 + y 18 x y 40 x + y 65 d) x + y 3 7. Bi zenbaki osoren biderkadura 19 da eta kendura 4. Zeintzuk dira zenbakiok?. 8. Segidan dauden bi zenbaki naturalen karratuak batu eta 34 bada, zeintzuk dira zenbakiok?. 9. 3 izendatzailea duen zatiki bat bere alderantzizkoarekin batu eta 109/30 bada, zein da zatikia?. 10. Zenbaki baten karratua gehi 6 zenbaki berbera bider 5 bada, zein da zenbakia?. 11. Bilatu ondoko baldintza betetzen duen zenbaki positibo bat: zenbaki hori ber 4 eta bider 6 gehi zenbaki hori ber eta bider 7 eginez 14 izan dadila. 1. Juanen adina orain dela 9 urte hemendik 11 urtera izango duen adinaren erro karratua zen. Zehaztu orain duen adina. 13. Zatiki positibo baten zenbatzailea 4 da. Izendatzaileari 9 unitate gehituz zatikiaren balioa unitate bat gutxiago da. Zein da jatorrizko izendatzailea? 14. Bi iturrik ura aldi berean isurtzen badute eta biltegi bat betetzeko ordu behar badituzte, zenbat denbora behar du bakoitzak bere aldetik, batek besteak baino 3 ordu gehiago behar baditu? ARRASTOA: Iturri batek biltegia betetzeko x ordu behar baditu ordubetean biltegiaren 1/x beteko du. 15. Aurkitu m x mx+110 polinomioak ebazpen bikoitza izan dezan. 16. Bi zenbakiren batura 400 da eta handiena txikiena baino 4 aldiz handiagoa da, zeintzuk dira zenbakiok?. 17. Palomak 7 ordaindu zituen kontzertu baterako 4 sarreren eta antzerkirako 8 sarreren truke, Luisak 47 ordaindu zituen kontzerturako 9 sarreren eta antzerkirako 3 sarreren truke. Zenbat balio du ikuskizun bakoitzera joateko sarrerak? MATEMATIKA B 65
18. Bi zenbakiren batura 41 eta kendura 99. Zeintzuk dira zenbakiok?. 8. Lauki zuzen baten aldeen luzerak kalkulatu ondokoa jakinik: diagonalak 58 cm neurtzen ditu eta alde luzeak motza baino cm gehiago neurtzen du. 19. Bi zenbakiren batura 400 da eta handiena txikiena baino 4 aldiz handiagoa da, zeintzuk dira zenbakiok?. 0. Pedro 335 ditu 5 -ko eta 10 -ko billeteetan; guztira 5 billete baldin baditu, zenbat ditu bakoitzeko?. 1. Hotel batean 67 logela daude, logela bikoitzak eta banakakoak batuta. Guztira 9 ohe baldin badaude, mota bakoitzeko zenbat logela ditu?.. 1 /litroko ardoa eta 3 /litroko ardoa nahastu nahi dira 1, /litroko ardoa lortzeko. Prezio bakoitzeko zenbat litro jarri beharko ditugu nahasketaren 000 litro lortzeko?. 3. Biltegi batean bi motako lanparak daude, A motakoek bonbilla erabiltzen dituzte eta B motakoek 7. Biltegian guztira 5 lanpara eta 160 bonbilla baldin badaude, mota bakoitzeko zenbat lanpara daude?. 4. Jolas-parke batean norian ibiltzeak 1 balio du eta errusiar mendian ibiltzeak 4. Ana 13 aldiz ibili bada eta 16. gastatu baditu, zenbat aldiz ibili da bakoitzean?. 9. Bi zenbaki naturalen batura 13 da eta zenbaki horien karratuena 109, aurkitu zenbakiok. 30. Bi zenbaki osoen kendura 6 da eta biderkadura 47. Zeintzuk dira zenbakiok?. 31. Bi pertsonen adinaren batura 18 urte da eta biderkadura 77. Zenbat urte ditu bakoitzak?. 3. Kalkulatu 48 cm-ko perimetroa duen triangelu angeluzuzen baten aldeak, katetoen batura 8 cm dela jakinik. 33. Zenbaki baten bi zifren biderkadura 14 da eta batekoen zifraren eta hamarrekoen zifraren bikoitzaren arteko batura 16. Aurkitu zenbakia. 34. Bi karratuen azaleraren batura 100 cm bada eta perimetroen batura 56, zenbat neurtzen duten aldeek. 35. Triangelu isoszele baten alde berdinek 13 cm neurtzen dute eta altuera oinarria baino cm luzeagoa da. Kalkulatu azalera. 5. Ukuilu batean 77 ardi eta oilo daude, eta guztira 74 hanka zenbatzen ditugu. Zenbat ardi eta zenbat oilo daude? 6. Aurkitu bi zifra dituen zenbaki bat ondokoa jakinik: bi zenbakien batura 7 da eta zenbaki horren eta elkarren artean aldatu ondoren gelditzen den zenbakiaren kendura 7 da. ARRASTOA: x hamarrekoen zifra baldin bada eta y batekoen zifra, zenbakia 10x+y da, eta elkarren artean aldatzerakoan gelditzen den zenbakia 10y+x da 7. Bi zenbaki naturalen batura 4 da eta biderkadura 135, zeintzuk dira zenbakiok?. Zenbakien edo kopuruen erlazio abstraktuen inguruko problemak ebazteko problema hori ingelesetik edo beste hizkuntzaren batetik hizkuntza aljebraikora itzultzea baino gauza hoberik ez dago Newton (Aritmetica Universalis) 66 MATEMATIKA B
Gehiago jakiteko Aljebraren "asmatzailea" Mohamed ibn-musa Al-Khwarizmi, gutxi gorabehera 780-850 urteen artean bizi izan zen eta Bagdadeko Jakinduriaren Etxean lan egin zuen. Bere lanetatik bost liburu heldu dira guganaino, haien artean "al-mujtasar fi hisab al-jabr wa'l muqabala", ezagutzen den aljebrari buruzko lehen tratatua. Al-Khwarizmik sei mota desberdinetan sailkatzen ditu ekuazioak eta kasu bakoitza modu desberdinean ebazten du, metodo geometrikoak erabiliz, grafikoan ikus dezakezun bezalakoa. Ekuazioen sailkapena Al- Jwarizmi-ren arabera x +8x33 gauzagauzaren karratua ax bx gauzazenbakiaren karratua ax c gauzazenbakia ax b gauza+gauzazenbakia ax +bxc gauza+zenbakiagauzaren karratua ax +cbx gauzagauza+zenbakiaren karratua ax bx+c x (x+4) 49 33+16 x +8x33 x +4 x33 x + 4x+1633+16 (x+4) 49 x+47 x+4-7 x3 x-11 Zergatik x? Arabiarrek "shay" (gauza) deitzen zioten ezezagunari. Lehen itzulpena latinera Espainian egin zen (Roberto de Chester, Toledo, 1145), eta arabieraren hitzak Erdi Aroko x-aren antza duenez, x deitu zioten eta hortxe darrai. Italian "cosa" bezala itzuli zuten, laburduran co deitu zioten eta ekuazioak ebazten zituztenei "cosista" deitzen zieten. MATEMATIKA B 67
Gogora ezazu garrantzitsuena Bigarren mailako ekuazioak Osoak: ax +bx+c0 Ebazpen bikoitza Bi ebazpen Ebazpenik Ondoko formula erabiliz ebazten dira: x b ± b a 4ac Osatugabeak: ax +c0 Bakandu: x ± c a Osatugabeak: ax +bx0 Diskriminatzailearen zeinuaren arabera: Δb -4ac ekuazioak bi ebazpen izango ditu, bakarra edo ebazpen errealik ez du izango. Bi ebazpen: x0, x-b/a Ekuazio linealen sistemak a1x + b1y c1 ax + by c Bi ezezagun dituen bi ekuazio linealeko sistema batean ekuazio bakoitzak bere adierazpena du planoko zuzen batean. Ebakidura-puntua (x,y) baldin badago sistemaren ebazpena da. Sistema bat ebazteko ondoko metodoak erabiliko ditugu: Ordezkapen-metodoa: Ekuazio batean ezezagun bat bakandu eta bestean ordezkatzen da. Berdinketa-metodoa: Bi ekuazioetan ezezagun berdina bakandu eta lortutako adierazpenak berdintzen dira. Laburketa-metodoa: Ekuazio bat edo biak zenbaki egokiagatik biderkatu eta biak batzerakoan ezezagun bat ezabatu egingo da.. mailako ekuazio-sistema Sistema hauetan ekuazioetako bat edo biak bigarren mailakoak dira ezezagun batean edo bietan. Normalean lehen mailako ekuazioan ezezagun bat askatuz eta bestean bigarren mailako ekuazioa sortzen duena ordezkatuz ebazten dira. Sistema baliokideek ebazpen berbera dute. Sistema bat bateragarria izango da ebazpen baldin badu, eta bateraezina ebazpenik ez badu. Problemak ebazteko Enuntziatua ulertu. Ezezagunak identifikatu. Hizkuntza aljebraikora itzuli. Ekuazioa edo sistema ebatzi. Egiaztatu ebazpenak. MATEMÁTICAS B 68
Autoebaluazioa 1. Ebatzi ekuazioa: 3x + 15x 0. Ebatzi ekuazioa: x 4 37x + 360. 3. Ebatzi ekuazioa: (x 3) 1 6(8 x). 4. Ebatzi ekuazioa: x x + 4 x 4 + 4 x + 4 10 3 5. Ebatzi ondoko sistema: y + 9 6 6x y 164 6. Ebatzi ondoko sistema: 4 x 0 x y x y 3 7. Aurkitu segidan dauden bi zenbaki natural zenbaki horien karratuen batura 1105 izanik. 8. 13 ditugu -ko eta 50 zantimoko txanponetan, guztira 14 txanpon baldin badaude, zenbat dira mota bakoitzekoak? 9. 70 m -kose lursail bat hesiz inguratzeko, 11 m hesi erabili dira. Kalkula itzazu lursailaren neurriak. 10. Aurkitu. mailako ekuazio bat erroen batura 7 eta biderkadura 1 izanik. MATEMATIKA B 69
Praktikatzeko ariketen ebazpenak 1. a) x5, x-31/6 b) x-, x-7/3 c) x16, x0 d) x1, x1. a) x ± 1 b) x± c) x±3 d) x0, x±3 3. a) x5, x- b) x19/9, x0 c) x1, x-4/7 d) x0, x-9/11 4. a) x9 b) x-1/8, x-1/ c) x3, x9/4 Ez da balioduna 5. a) x7 y8 b) x1 y5 c) x4 y d) x4 y0 6. a) x-3 y3; x-9/ y b) x-5 y-8; x-4 y-10 c) x-5 y3; x-1 y1 d) x-4 y7; x7 y-4 7. 1 eta 16 edo -16 eta -1 8. 18 edo 19 9. 3/10 10. 3 y 11. Izendatzailea 3 da 1. 14 urte 13. 4 (Ebazpen negatiboak ez du balio) 14. Iturri batek 3 h eta besteak h 15. eta - 16. 30 eta 80 17. Antzerkiak: 5, kontzertuak: 18 18. 170 eta 71 19. 80 eta 30 0. 10 -ko 15 eta 5 -ko 37 1. 5 bikoitz eta 4 banakako. 1 ko 1800 litro eta 3 ko 00 litro 3. A motako 3 eta B motako 4. Norian 1 aldiz eta errusiar mendian behin 5. 17 oilo eta 60 ardi 6. 5 zenbakia 7. 9 eta 15 8. 40 eta 4 9. 10 eta 3 30. 13, 19 eta -13,-19 31. 11 eta 7 3. Katetoek 1 eta 16, hipotenusak 0 33. 7 34. 1 eta 8 35. altuera1, oinarria10; azalera 60 Autoebaluazioebazpenak 1. x0, x-5. x ± 6, x ± 1 3. x8 ; x15 4. x ± 8 5. x30 y8 6. x6 y9 x y1 7. 3 eta 4 8. -ko 4 eta 0,50 -ko 10 9. 36 m x 0 m 10. x 7x + 10 Ebazpenak 3 eta 4 Jarduerak tutoriari bidali, ahaztu gabe MATEMÁTICAS B 70