Εξίσωση Laplace Θεωρήματα Μοναδικότητας

Εξίσωση Laplace Θεωρήματα Μοναδικότητας

Δομή Διάλεξης Εξίσωση Laplace πλεονεκτήματα μεθόδου επίλυσης της για εύρεση ηλεκτρικού δυναμικού Ιδιότητες λύσεων εξίσωσης Laplace σε 1, 2 και 3 διαστάσεις Θεώρημα μοναδικότητας με συνοριακές συνθήκες δυναμικού Θεώρημα μοναδικότητας με συνοριακές συνθήκες φορτίων Σύνοψη

Μέθοδοι υπολογισμού ηλεκτρικού πεδίου Αρχή υπέρθεσης: Αρχή υπέρθεσης με χρήση δυναμικού: Προβλήματα μεθόδων: 1. Περίπλοκα ολοκληρώματα 2. Δυσκολία ενσωμάτωσης συνοριακών συνθηκών με ισοδυναμικές επιφάνειες (προβλήματα με αγωγούς) Εναλλακτική μέθοδος: Επίλυση εξίσωσης Laplace ή Poisson

Laplace σε 1 διάσταση Γενική λύση: Συνοριaκές συνθήκες για προσδιορισμό σταθερών m, b: x=1 -> V=4 x=5 -> V=0 m=-1 b=5

Ιδιότητες λύσης Γενική λύση: Ειδική λύση Ακρότατα μόνο στα όρια 2 διαστάσεις: Διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους

Λύση Laplace σε 2-διαστάσεις 2 διαστάσεις: Διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους Ιδιότητες λύσης εξίσωσης Laplace: Ιδιότητα 1: Η τιμή της λύσης στο σημείο (x,y) ισούται με την μέση τιμή της λύσης σε κύκλο αυθαίρετης ακτίνας R γύρω από το σημείο: Ιδιότητα 2: Δεν υπάρχουν τοπικά μέγιστα ή ελάχιστα στη λύση (ελάχιστο εμβαδό επιφάνειας). Προκύπτει από την ιδιότητα 1.

Λύση Laplace σε 3-διαστάσεις 3 διαστάσεις: Διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους Ιδιότητες λύσης εξίσωσης Laplace: Ιδιότητα 1: Η τιμή της λύσης στο σημείο (x,y,z) ισούται με την μέση τιμή της λύσης σφαίρα αυθαίρετης ακτίνας R γύρω από το σημείο: Γενίκευση σχήματος σε 3 διαστάσεις (x,y,z) Ιδιότητα 2: Δεν υπάρχουν τοπικά μέγιστα ή ελάχιστα στη λύση (ελάχιστο εμβαδό επιφάνειας δεδομένων οριακών συνθηκών). Προκύπτει από την ιδιότητα 1.

Απόδειξη Ιδιότητας 2 Εύρεση μέσου όρου δυναμικού επιφάνειας σφαίρας λόγω εξωτερικού φορτίου Δυναμικό σε τυχαίο σημείο της σφαίρας: Μέση τιμή δυναμικού: Άρα η μέση τιμή του δυναμικού επί της επιφάνειας της τυχαίας σφαίρας ισούται με την τιμή του δυναμικού στο κέντρο της σφαίρας!

Απόδειξη Ιδιότητας 2 Εύρεση μέσου όρου δυναμικού επιφάνειας σφαίρας λόγω εξωτερικού φορτίου Δυναμικό σε τυχαίο σημείο της σφαίρας: Μέση τιμή δυναμικού: Άρα η μέση τιμή του δυναμικού επί της επιφάνειας της τυχαίας σφαίρας ισούται με την τιμή του δυναμικού στο κέντρο της σφαίρας! Από αρχή υπέρθεσης η ιδιότητα αυτή της λύσης Laplace γενικεύεται για διάταξη n φορτίων και για συνεχείς κατανομές.

1 ο Θεώρημα Μοναδικότητας Η λύση της εξίσωσης Laplace σε δεδομένο όγκο V στο χώρο ορίζεται μονοσήμαντα αν καθοριστεί η τιμή του δυναμικού στην επιφάνεια S που είναι το σύνορο του όγκου V. Απόδειξη με αναγωγή σε άτοπο: Έστω ότι υπήρχαν δύο διαφορετικές λύσεις που αντιστοιχούν στις ίδιες συνοριακές συνθήκες: Θα δείξουμε ότι η διαφορά τους είναι ίση με μηδέν: Η V 3 μηδενίζεται στη συνοριακή επιφάνεια όπου είναι ίσες οι V 1, V 2. Ακρότατες τιμές της λύσης Υπάρχουν μόνο στη συνοριακή επιφάνεια όπου V 3 =0. Άρα V 3 =0 παντού στο χώρο.

Πόρισμα: Δυναμικό εντός αγώγιμου φλοιού Η λύση της εξίσωσης Laplace σε δεδομένο όγκο στο χώρο ορίζεται μονοσήμαντα αν καθοριστεί η τιμή του δυναμικού στην επιφάνεια S που είναι το σύνορο του όγκου. Το δυναμικό στο όριο είναι σταθερό (αγωγός). Έστω V 0. Η συναρτήση V=V 0 ικανοποιεί την εξίσωση Laplace καθώς και τις οριακές συνθήκες Άρα είναι μοναδική λύση της εξίσωσης Laplace.

Γενίκευση 1 ου θεωρήματος για ύπαρξη φορτίων στο χώρο (ρ 0) Παρόμοια απόδειξη αλλά ισχύει η εξίσωση Poisson (αντί για Laplace): Η V 3 μηδενίζεται στη συνοριακή επιφάνεια όπου είναι ίσες οι V 1, V 2. Ακρότατες τιμές της λύσης Υπάρχουν μόνο στη συνοριακή επιφάνεια όπου V 3 =0. Άρα V 3 =0 παντού στο χώρο. Άρα οι δύο λύσεις και στην περίπτωση που έχουμε φορτία είναι ίσες. Άρα υπάρχει μια μοναδική λύση που ικανοποιεί την εξίσωση Poisson με δεδομένες συνοριακές συνθήκες. Προσοχή: Η V 3 ικανοποιεί την εξίσωση Laplace και όχι Poisson. Γι αυτό δεν υπάρχουν ακρότατα στο εσωτερικό του ορίου.

2 ο Θεώρημα Μοναδικότητας Η λύση της εξίσωσης Poisson σε δεδομένο όγκο στο χώρο που μπορεί να περιέχει πυκνότητα φορτίου ρ και που περιβάλλεται από αγωγούς, καθορίζεται μονοσήμαντα αν καθοριστεί το φορτίο (και όχι απαραίτητα το δυναμικό όπως στο 1 ο θεώρημα) σε κάθε αγωγό. Απόδειξη με αναγωγή σε άτοπο: Έστω ότι υπήρχαν δύο διαφορετικές λύσεις που ικανοποιούν τις ίδιες συνθήκες (ίσο φορτίο αγωγών στο όριο). Από νόμο Gauss (διαφορικό): Θα δείξουμε ότι η διαφορά τους είναι ίση με μηδέν. Εφαρμόζουμε νόμο Gauss (ολοκληρωτικό) στο όριο κάθε αγωγού Αγώγιμος φλοιός ή άπειρο.

2 ο Θεώρημα Μοναδικότητας Η λύση της εξίσωσης Poisson σε δεδομένο όγκο στο χώρο που μπορεί να περιέχει πυκνότητα φορτίου ρ και που περιβάλλεται από αγωγούς, καθορίζεται μονοσήμαντα αν καθοριστεί η το φορτίο (και όχι απαραίτητα το δυναμικό όπως στο 1 ο θεώρημα) σε κάθε αγωγό. Ορίζουμε την διαφορά των δύο ηλεκτρικών πεδίων που αντιστοιχούν στα δυο δυναμικά-λύσεις: Αφού είναι λύσεις και ικανοποιούν και τις ίδιες παραπάνω συνοριακές συνθήκες έχουμε: =0

Εφαρμογή 2 ου Θεωρήματος Να βρεθεί η κατανομή φορτίου όταν συνδεθούν τα παρακάτω φορτία με αγωγούς: Προφανής λύση εξίσωσης Laplace συμβατή με συνοριακές συνθήκες φορτίων: Ομογενές μηδενικό φορτίο στους αγωγούς, μηδενικό ηλεκτρικό πεδίο στην έξω περιοχή. Λόγω 2 ου θεωρήματος μοναδικότητας αυτή είναι και η μοναδική λύση (τα φορτία δεν παραμένουν στις θέσεις τους παρά την πολύ ισχυρή δύναμη Coulomb).

Προτεινόμενες ασκήσεις Από Griffiths: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4

Σύνοψη Οι λύσεις της εξίσωσης Laplace εμφανίζουν ακρότατα μόνο στα όρια της περιοχής του χώρου όπου ισχύουν. Σε κάθε σημείο η λύση ισούται με τον μέσο όρο της λύσης σε οποιαδήποτε σφαιρική περιοχή με κέντρο το σημείο. 1 ο θεώρημα μοναδικότητας: Η λύση της εξίσωσης Laplace σε δεδομένο όγκο στο χώρο ορίζεται μονοσήμαντα αν καθοριστεί η τιμή του δυναμικού στην επιφάνεια S που είναι το σύνορο του όγκου. 2 ο θεώρημα μοναδικότητας: Η λύση της εξίσωσης Poisson σε δεδομένο όγκο V στο χώρο που μπορεί να περιέχει πυκνότητα φορτίου ρ και που περιβάλλεται από αγωγούς, καθορίζεται μονοσήμαντα αν καθοριστεί η το φορτίο (και όχι απαραίτητα το δυναμικό όπως στο 1 ο θεώρημα) σε κάθε αγωγό.