Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ),

Transcript

1 Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 Μαθηματικά Προσανατολισμού /6/8 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της, ισχύει ότι: Για κάθε έχουμε: Επομένως ισχύει ότι: Δηλαδή: οπότε η f είναι συνεχής στο f () f ( ) f ( ) lim f () f ( ) f () f ( ) ( ) f () f ( ) lim[f () f ( )] lim ( ) f () f ( ) lim lim( ) f ( ) lim[f () f ( )] lim f () f ( ), Α α Ο ισχυρισμός «κάθε συνάρτηση f: που είναι είναι και γνησίως μονότονη» είναι ΨΕΥΔΗΣ β Για παράδειγμα η συνάρτηση:, f (), είναι στο, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη Σελίδα /6

2 Α Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β] Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε: Α4 β f (t)dt G(β) G(α) α α) ΛΑΘΟΣ Η συνάρτηση f () ημ με έχει άπειρες θέσεις ολικού μεγίστου β) ΛΑΘΟΣ Για παράδειγμα η συνάρτηση f (), αν και είναι γνησίως αύξουσα γ) ΣΩΣΤΟ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ ΘΕΜΑ Β f () 4, {} στο, εντούτοις έχει παράγωγο f (), η οποία δεν είναι θετική σε όλο το, αφού f () Ισχύει όμως f () για κάθε Β Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στα διαστήματα του πεδίου ορισμού της, ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: Έχουμε: f () 4 για κάθε, f () Το πρόσημο της παράστασης ( 8) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Σελίδα /6

3 Επομένως είναι: f () 8 ( 8) ή f () 8 ( 8) Το πρόσημο της f () και η μονοτονία της f () συγκεντρώνονται συνοπτικά στον παρακάτω πίνακα: Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (, ] και (, ) ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [, ) f ( ) 4 4 ( ) 4 Στο η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f ( ) Β Η συνάρτηση f () 8 είναι παραγωγίσιμη για κάθε, ως πράξεις παραγωγίσι- μων συναρτήσεων με: f () 8 4 για κάθε (, ) (, ) 6 4 Επομένως η f είναι κοίλη σε καθένα από τα διαστήματα (, ) και (, ) και δεν έχει σημεία καμπής Το πρόσημο της f () και η κυρτότητα της f () συγκεντρώνονται συνοπτικά στον παρακάτω πίνακα: Σελίδα /6

4 Β D f (, ) (, ) Για κατακόρυφες ασύμπτωτες Είναι: lim f () lim 4, άρα η είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f Για πλάγιες - οριζόντιες ασύμπτωτες Είναι: άρα η ευθεία ε : y 4 lim f () lim, είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο Β4 Είναι: άρα η 4 4 f () 4 4,6 C f τέμνει τον άξονα στο σημείο με τετμημένη 4 Με βάση τα προηγούμενα συμπεράσματα, η ζητούμενη γραφική παράσταση της συνά ρ- τησης φ είναι αυτή που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Σελίδα 4/6

5 ΘΕΜΑ Γ Γ Το αρχικό σύρμα έχει μήκος 8 m Κόβεται σε δύο τμήματα από τα οποία το ένα έχει μήκος m, οπότε το άλλο τμήμα θα έχει μήκος 8 m Πρέπει: και 8 και 8 8 Το τετράγωνο που κατασκευάζεται έχει πλευρά α, οπότε το εμβαδόν του είναι: 4 E () α 4 6 Αν ρ είναι η ακτίνα του κύκλου που κατασκευάζεται με το σύρμα μήκους 8, τότε: L πρ 8 πρ ρ 8, π οπότε το εμβαδόν του είναι: 8 (8 ) Ε 64 6 () πρ π π π 4π 4π Το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων είναι: E() E 64 6 () E () 6 4π Ε() π π (π 4) Ε(), (, 8) 6π Γ Η συνάρτηση E() είναι παραγωγίσιμη στο (, 8) ως πολυωνυμική με: (π 4) 64 (π 4) E () 6π 8π Σελίδα 5/6

6 Το πρόσημο και ο μηδενισμός της Ε () εξαρτώνται μόνο από τον αριθμητή του κλάσματος Είναι: E () (π 4) (π 4) π 4 E () (π 4) (π 4) π 4 E () (π 4) (π 4) π 4 Το πρόσημο της E () και η μονοτονία της E() συγκεντρώνονται συνοπτικά στον παρακάτω πίνακα: 48 (π 4) (π 4) 56 π 4 π 4 (π 4) π 4 Ε π 4 6π 6π (π 4) 4 π 4 π 4 π 4 6π 56π 6 6π(π 4) π π 4 π 4 6π Η συνάρτηση Ε() είναι γνησίως φθίνουσα στο, π 4,8 π 4 Στο π 4 η Ε() παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το Για η πλευρά του τετραγώνου είναι: π 4 και η διάμετρος του κύκλου είναι: α π π 4 Σελίδα 6/6 και γνησίως αύξουσα στο Ε 6 π 4 π 4 8π 8 δ ρ 8 π 4 π 4 8π 8 π π π π(π 4) π 4,

7 δηλαδή ισχύει αδ 8 π 4 Επομένως όταν η πλευρά του τετραγώνου ισούται με τη διάμετρο του κύκλου, τότε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ελαχιστοποιείται Γ Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση Ε() 5 έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα (, 8) (π 4) lim E() lim 5 6π 6π π Ε 6 π 4 π (π 4) (π 4) lim E() lim 6π 6π 64π π 4 6π 6π Η Ε() είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο Δ, π 4, οπότε: Το 5 E(Δ ) 6 6 E(Δ ) Ε, lim Ε(), π 4 π 4 π, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα, π 4 η E() είναι γνησίως φθίνουσα στο, π 4 Σελίδα 7/6 τέτοιο, ώστε E( ) Όμως, άρα και, άρα το είναι μοναδικό Η Ε() είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο Δ, 8, οπότε: π 4 6 E(Δ ) Ε, lim Ε(), 4 π 4 8 π 4 Το 5 E(Δ ), άρα η εξίσωση E() 5 είναι αδύνατη στο διάστημα,8 π 4 Τελικά η εξίσωση E() 5 έχει μοναδική λύση, η οποία μάλιστα ανήκει στο διάστημα, π 4

8 ΘΕΜΑ Δ f () e α, με πεδίο ορισμού f A και α Δ Η f () είναι παραγωγίσιμη στο ως πράξεις και συνθέσεις των συναρτήσεων e, α, e, α που είναι παραγωγίσιμες στο Για κάθε έχουμε: α f () e Η f () είναι παραγωγίσιμη στο ως πράξεις και συνθέσεις των συναρτήσεων που είναι παραγωγίσιμες στο α e, α, e, Έτσι για κάθε έχουμε: α f () e α α f () (e ) e α α α f () (e ) e α α α f () (e ) e α Το πρόσημο της f () και η κυρτότητα της f () συγκεντρώνονται συνοπτικά στον παρακάτω πίνακα: f(α) e α e α α αα Συνεπώς η f είναι κυρτή στο (,α], κοίλη στο [α, ) και παρουσιάζει (μοναδικό) σημείο καμπής στο α το Σα, α Σελίδα 8/6

9 Δ Θα δείξουμε ότι η f () έχει ακριβώς δύο ρίζες στο γύρω από τις οποίες αλλάζει πρόσημο με κατάλληλο τρόπο Ισχύει:, αφού α αα f(α) e α e α α ( α) Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο α, το f(α) α Επομένως ισχύει: με την ισότητα να ισχύει μόνο για Υπολογίζω το όριο f () α για κάθε α, διότι: Α lim f () α lim (e ) lim ( ) και αu α u lim e lim e u u Υπολογίζω το όριο: ( ) ( ) α α B lim f () lim (e ) lim e e α Υπολογίζω το όριο Β lim lim, διότι: α DLH α e e lim e αu α lim e u u u και οι συναρτήσεις Συνολικά: Β ( ) ( ) α, e είναι παραγωγίσιμες στο Σελίδα 9/6

10 Η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο A (, α], οπότε: f (A ) f (α), lim f () [f (α), Α) [ α, ) Εφόσον το f (A ) υπάρχει (, α) τέτοιο, ώστε f ( ) Το είναι μοναδικό καθώς η f () είναι γνησίως φθίνουσα στο (,α) Επίσης: f () f ( ) f (), με ενώ με α είναι f () f ( ) f () Η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο A [α, ), οπότε: f (A ) f (α), lim f () [f (α), Β) [ α, ) Εφόσον το f (A ) υπάρχει (α, ) τέτοιο, ώστε f ( ) Το είναι μοναδικό καθώς η f () είναι γνησίως αύξουσα στο (α, ) Επίσης: f () f ( ) f (), με ενώ με α είναι f () f ( ) f () Όλα τα παραπάνω συνοψίζονται στον εξής πίνακα: Έτσι: η παραγωγίσιμη συνάρτηση f () είναι γνησίως αύξουσα στο (, ], γνησίως φθίνουσα στο [, ] και γνησίως αύξουσα στο [, ] Η f παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο και στο τοπικό ελάχιστο Σελίδα /6

11 Σχόλιο Στον πίνακα μεταβολών της f () είναι η πρώτη φορά που ο μαθητής προβληματίζεται (λίγο) για την τοποθέτηση του στο (,α) σε σχέση με το Σε αυτήν τη φάση δεν έχει κάποια ιδιαίτερη σημασία, ενώ στο Δ είναι ένα γεγονός καθοριστικό Δ «Να δείξετε ότι η εξίσωση f () f () είναι αδύνατη στο (α, )» Η πρώτη πολύ γρήγορη σκέψη των περισσοτέρων είναι εξαιτίας της μονοτονίας που έχει η f () στο (α, ), κάτι που την καθιστά Το συμπέρασμα μοιάζει εύκολο: το οποίο είναι άτοπο, καθώς (α, ) f () f (), Αυτή η σκέψη αποδεικνύει πως η εξίσωση f () f () είναι αδύνατη στο (α, ) για τον αριθμό, κάτι που είναι αυτονόητο, καθώς (α, ) Όμως αυτό δεν εξασφαλίζει ότι κανείς αριθμός (α, ) δεν μπορεί να δώσει την τιμή f () f (), ακριβώς γιατί το (α, ) Ο συλλογισμός θα ήταν ασφαλής αν το βρισκόταν σε περιβάλλον κοινής μονοτονίας με τα (α, ) Έτσι μια παρατήρηση στο προηγούμενο πινακάκι δίνει την ιδέα ότι θα «βόλευε» να ήταν το στο (, ), όπου η f () είναι συνολικά γνησίως φθίνουσα Είναι η στιγμή που πρέπει να ερευνηθεί η θέση του σε σχέση με το και η αφορμή για αρκετές ιδέες ώστε να καλυφθούν οι απαιτήσεις του ερωτήματος η ιδέα Έστω ότι, τότε με f () γνησίως φθίνουσα στο (,α] έχουμε: α α f () f ( ) f () e e α α e e e α α, το οποίο είναι άτοπο Σελίδα /6

12 Επομένως είναι, άρα α, με την f () να είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το [, ] Η f () είναι στο (, ) άρα: f () f (), με το (, α) και όχι στο (α, ) Άρα η εξίσωση f () f () στο (α, ) δεν έχει λύση καθώς στο ευρύτερο διάστημα (, ) η λύση είναι μοναδική Παρόμοια σκέψη επίσης είναι η εξής: Η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο [, ], οπότε: α f ( ) f (α) f () f ( ), από όπου προκύπτει ότι f () f ( ), f (α) η ιδέα f () f (), συνεπώς δεν υπάρχει (α, ) ώστε από τους μαθητές που αντιλήφθηκαν πως η μονοτονία της f στο (α, ) δεν επαρκεί: Έστω ότι υπάρχει (α, ) τέτοιο, ώστε f ( ) f () Τότε η f πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [, ], άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, ) τέτοιο, ώστε f(ξ) Όμως πριν το (α, ) (α, ) η f () μηδενίζει μόνο στο που είναι η θέση του τοπικού μεγίστου της f Έτσι για να είναι ξ πρέπει υποχρεωτικά, καθώς αν α ξ δεν μπορεί η f () να μηδενίσει σε ξ (, ) Το συμπέρασμα απορρίπτεται με τον ίδιο τρόπο, όπως στην η ιδέα Άρα δεν υπάρχει κανένα (α, ) τέτοιο, ώστε f ( ) f () Επομένως η εξίσωση: είναι αδύνατη στο (α, ) f () f () Σελίδα /6

13 η ιδέα Η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο Δ [α, ], άρα f(δ) [f ( ), f (α)] Για να δείξουμε ότι f () f (Δ) αρκεί να επιχειρήσουμε να δείξουμε ότι f () f (α) Αυτό ισοδυναμεί με το να δείξουμε ότι: α α e α e α, με α Θεωρούμε συνάρτηση g() e, Θα δείξουμε ότι g() για κάθε Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο συναρτήσεων με: ως σύνθεση και πράξεις παραγωγίσιμων g () e Παρατηρούμε ότι g () Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο συναρτήσεων με: ως σύνθεση και πράξεις παραγωγίσιμων για κάθε g () e Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα και, άρα το είναι μοναδική ρίζα της g Τότε: για g () g () g () για g () g () g () Το πρόσημο της g () και η μονοτονία της g() συγκεντρώνονται συνοπτικά στον παρακάτω πίνακα: g() e e Σελίδα /6

14 Η συνάρτηση g παρουσιάζει στο ολικό ελάχιστο το g() Επομένως είναι: με την ισότητα να ισχύει μόνο για Άρα για κάθε είναι g() g() g() g() για κάθε Δ4 Αν α τότε f () e, με: και f () e e 4, δηλαδή f () Η f παρουσιάζει στο σημείο καμπής το Σ(, ) Η μελέτη της συνάρτησης στο [, ] με σκοπό την εύρεση κάποιας ανισότητας δείχνει δύσκολη h() (e ) Εδώ ο μαθητής αντιλαμβάνεται πως πρέπει να το επιχειρήσει τμηματικά και μάλιστα στρέφει την προσοχή του στην f () με σκοπό μετά κάπως να «κολλήσει» τη Η μελέτη της κυρτότητας στο [, ] κερδίζει έδαφος, έναντι της μονοτονίας της f () στο [, ] Έτσι: Σελίδα 4/6

15 f (), f ( ) Η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο Σ(, ) είναι η ε : y f() f ()( ) y ( ) y 4 ε : y Σε ολόκληρο το [, ), άρα και στο [, ] η f είναι κυρτή, άρα ισχύει: με την ισότητα να ισχύει μόνο για f () για κάθε [, ], Επίσης για κάθε [, ], άρα: με την ισότητα να ισχύει μόνο για f () ( ) για κάθε [, ], Οι συναρτήσεις f () και ( ) είναι συνεχείς στο [, ], άρα: f () d ( ) d () Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα I ( ) d I ( ) d Θέτουμε u, άρα: d du d du d udu u για : u για : u u, άρα Τότε: u u u I ( ) d I (u )u udu Σελίδα 5/6

16 4 I 4 (u )u du I 4 (u u )du 5 u u 8 I 4 I 4 I 4 I Τότε από την () ισοδύναμα έχουμε: f () d 5 επιμέλεια λύσεων: Γιάννης Ανδρεάδης Ηλίας Ντεϊρμεντζίδης Ελένη Χατζηαποστόλου Αναστασία Χατζημιχαήλ Σελίδα 6/6