III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1.Ισοτικός περιορισμός.περιορισμένη στασιμότητα 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 6.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή 7. Χαρακτηρισμός πλαισιωμένων συμμετρικών πινάκων 8.Συνθήκες για περιορισμένα τοπικά ακρότατα 9.Περισσότερες μεταβλητές και περισσότεροι περιορισμοί ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 10.Ορίζουσες 11.Περιορισμένα Διαφορικά. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ισοτικός περιορισμός: ma/ min{f( ) g( ) = D} Στο προηγούμενο κεφάλαιο ασχοληθήκαμε με τα ακρότατα συναρτήσεων σε ολόκληρες περιοχές του πεδίου ορισμού. Εδώ θα ασχοληθούμε με τα ακρότατα μιας συνάρτησης f() μόνο στα σημεία μιας καμπύλης που βρίσκεται στην περιοχή του πεδίου ορισμού D. Η καμπύλη περιγράφεται με μια εξίσωση: g() = η οποία καλείται εξίσωση περιορισμού. Η ίδια η συνάρτηση g() καλείται συνάρτηση περιορισμού. Η f() που αποτελεί το κριτήριο βελτιστοποίησης καλείται αντικειμενική συνάρτηση. Τέτοια ακρότατα τα ονομάζουμε περιορισμένα ακρότατα. Για διάκριση τα ακρότατα όπως προηγουμένως σε ολόκληρη περιοχή χωρίς ισοτικούς περιορισμούς ονομάζονται και ελεύθερα ακρότατα. Τα περιορισμένα ακρότατα διακρίνονται πάλι σε εσωτερικά που βρίσκονται στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού D και σε συνοριακά που βρίσκονται στο σύνορο. Θα δώσουμε συνθήκες μόνο για τα εσωτερικά. Παρατήρηση. Στην απλούστερη περίπτωση λύνουμε αν μπορούμε την εξίσωση του περιορισμού ως προς την μια μεταβλητή την οποία και αντικαθιστούμε στη αντικειμενική συνάρτηση η οποία τώρα θα είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής. Δηλαδή το πρόβλημα περιορισμένης βελτιστοποίησης με δύο μεταβλητές και έναν ισοτικό περιορισμό είναι ισοδύναμο με πρόβλημα ελεύθερης βελτιστοποίησης με μια μεταβλητή.. Περιορισμένη στασιμότητα Διαπιστώνουμε γεωμετρικά ότι σένα εσωτερικό περιορισμένο ακρότατο η καμπύλη του περιορισμού θα πρέπει να εφάπτεται της αντίστοιχης ισοσταθμικής της συνάρτησης έτσι ώστε η καμπύλη του περιορισμού να βρίσκεται καθ' ολοκληρίαν στην αντίστοιχη κάτω σταθμική αν πρόκειται για ma πάνω σταθμική αν πρόκειται για min όπως στο παρακάτω σχήμα. Συμπεραίνουμε ότι: Αναγκαίες συνθήκες 1ης τάξης για περιορισμένο εσωτερικό ακρότατο f g = & g= f g Δηλαδή το περιορισμένο εσωτερικό ακρότατο θα είναι σημείο της καμπύλης περιορισμού στο οποίο η αντικειμενική συνάρτηση και η συνάρτηση του περιορισμού ορίζουν τον ίδιο ρυθμό υποκατάστασης.. Η παραπάνω συνθήκη εξισώσεων με αγνώστους {} καλείται συνθήκη δεσμευμένης ή περιορισμένης στασιμότητας και οι λύσεις της δεσμευμένες ή περιορισμένες στάσιμες. Για διάκριση αν δεν υπάρχουν ισοτικοί περιορισμοί όπως στο προηγούμενο κεφάλαιο οι αντίστοιχες συνθήκες ονομάζονται συνθήκες ελεύθερης στασιμότητας. Έτσι το περιορισμένο ακρότατο θα ανήκει στη καμπύλη του περιορισμού και θα είναι ένα από τα παρακάτω: Περιορισμένο στάσιμο. Στο σύνορο αν η καμπύλη συναντάει το σύνορο του πεδίου ορισμού. Στο άπειρο αν η καμπύλη δεν είναι φραγμένη. ma{f g= } min{f g= } Παράδειγμα. min{f = + 4 + 1 g= + = 1} min Λύση1. Βρίσκουμε τα περιορισμένα στάσιμα: f f / f = g / g (4 4) /( ) = 1 = 1 = / 3 g = + = 1 + = 1 = 1/ 3 Δεν έχουμε σύνορο οπότε το ελάχιστο είτε θα είναι στο παραπάνω περιορισμένο στάσιμο είτε στο άπειρο. Από το γράφημα παραπλεύρως διαπιστώνουμε ότι η ευθεία του περιορισμού βρίσκεται στην πάνω σταθμική της αντικειμενικής συνάρτησης και επομένως το σημείο είναι ολικό ελάχιστο. Παρατηρούμε ότι η αντικειμενική συνάρτηση είναι τετραγωνική θετικά ορισμένη με ελάχιστο στο σημείο: (0 = 1 0 = 1). f f f g= f f g= f 1

Λύση. Εναλλακτικά μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα με αντικατάσταση της μιας μεταβλητής από τον περιορισμό: g= + = 1 = 1 f = + 1 4 (1 ) + 1= 3 4 ( ) Βρήκαμε κυρτή συνάρτηση μιας μεταβλητής με ολικό ελάχιστο στο στάσιμο που βρήκαμε και προηγουμένως: f = 6 4 = 0 = / 3 = 1 = 1/ 3 Παράδειγμα. ma/ min{f = + g= + = 5 D : 0 0} f / f = g / g = 0 /1= / ( = = 1) g= + = 5 ( = = 1) 1. Αποδεκτή μόνο η θετική λύση: (1 = 1 = 1) με f 1 = 1 + 1 = 5 Το παραπάνω είναι εσωτερικό στάσιμο και επομένως υποψήφιο.. Η καμπύλη είναι φραγμένη και έχει συνοριακά υποψήφια σημεία στους θετικούς ημιάξονες ως εξής:. { = 0 + = 5} = 0 = ± 5. Αποδεκτό το θετικό : ( = 0 = 5) με f = + = 5 3. { = 0 + = 5} = 0 = ± 5. Αποδεκτό το θετικό :(3 = 5 3 = 0) με f 3 = 3 + 3 = 5 Βρήκαμε τρία υποψήφια σημεία με τιμές: f = 5 f = 5 f = 5 1 3 Έχουμε μέγιστη τιμή f 1 = 5 στο περιορισμένο στάσιμο και ελάχιστη τιμή f = 5 στο σύνορο με = 0. Λύση. Εναλλακτικά μπορούμε να αντικαταστήσουμε την μια μεταβλητή από τον περιορισμό:: 1/ g= + = 5 = (5 ) 0 με 0 5 οπότε λύνουμε το πρόβλημα ελεύθερης βελτιστοποίησης μιας μεταβλητής σε διάστημα: ma/ min{f = + 1 0 5} Παρατήρηση. Γραφικά το ακρότατο βρίσκεται στην τομή της καμπύλης του περιορισμού και μιας ισοσταθμικής της αντικειμενικής συνάρτησης με τη μεγαλύτερη ή μικρότερη τιμή για μέγιστο ή ελάχιστο αντίστοιχα. Στο παραπάνω παράδειγμα το μέγιστο είναι εσωτερικό οπότε εφάπτονται ενώ το ελάχιστο είναι συνοριακό και δεν εφάπτονται. 3. Πολλαπλασιαστής Lagrange Η συνθήκη περιορισμένης στασιμότητας γράφεται και στις παρακάτω ισοδύναμες μορφές: f g f f f f = ή = fg fg = 0 ή = f g g g g g Ο κοινός λόγος στην τρίτη μορφή καλείται πολλαπλασιαστής Lagrange της λύσης και έχει ιδιαίτερη σημασία στις εφαρμογές. Μάλιστα παριστάνοντας τον με λ μπορούμε να γράψουμε τη συνθήκη περιορισμένης στασιμότητας στη μορφή: f f f = λg = = λ g g f = λg με λύση: (λ) g= g= Τώρα έχουμε 3 εξισώσεις με 3 αγνώστους δηλαδή μαζί με τη λύση βρίσκουμε και την τιμή του λ. Οι εξισώσεις σαυτή την μορφή ονομάζονται και εξισώσεις Lagrange. Μπορούμε να βρούμε πρώτα τη λύση () από τις εξισώσεις περιορισμένης στασιμότητας και να υπολογίσουμε το λ εκ των υστέρων ή να λύσουμε το παραπάνω σύστημα τριών εξισώσεων οπότε βρίσκουμε το λ ως μέρος της λύσης. Παράδειγμα. min{f = + 4 + 1 g= + = 1} Βρήκαμε παραπάνω το ακρότατο ως το περιορισμένο στάσιμο: { = / 3 = 1/ 3}. Μπορούμε να υπολογίσουμε τον πολ/τή Lagrange από τη συνθήκη: λ = f / g = 4 4 = 4 / 3 ή λ = f / g = = 4 / 3 τα δύο πρέπει να είναι ίσα. min ma f

Εναλλακτικά μπορούμε να το βρούμε ως μέρος της λύσης των εξισώσεων Lagrange: f = λg 4 4 = λ = λ / 4+ 1 = / 3 = 1/ 3 f = λg = λ = λ / + 1 g= + = 1 λ / 4+ 1+ λ / + 1= 1 λ = 4 / 3 Παρατήρηση. Συνήθως λύνουμε τις δύο πρώτες εκφράζοντας τα {} ως συναρτήσεις του λ και στη συνέχεια αντικαθιστούμε στην τρίτη που είναι και η εξίσωση του περιορισμού οπότε υπολογίζουμε πρώτα το λ. Μετά πάμε πίσω και υπολογίζουμε τα {} 4. Συνάρτηση Lagrange του προβλήματος περιορισμένου ακρότατου καλείται η παρακάτω συνάρτηση των τριών μεταβλητών {λ} : ma/ min{f( ) g( ) = D} L( λ) = f( ) + λ[ g( )] Οι συνθήκες περιορισμένης στασιμότητας στη μορφή των εξισώσεων Lagrange διατυπώνονται τώρα και ως συνθήκες (ελεύθερης) στασιμότητας της συνάρτησης Lagrange L = f λg = 0 L = f λg = 0 εξισώσεις Lagrange L = g = 0 λ Έτσι το ακρότατο θα ανήκει σε μια από τις παρακάτω τρεις κατηγορίες: 1. Λύση Lagrange. Συνοριακό 3. Στο άπειρο 5. Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange Αν σένα πρόβλημα περιορισμένου ακρότατου η τιμή του περιορισμού δεν είναι συγκεκριμένη αλλά εμφανίζεται ως παράμετρος τότε η λύση και ειδικότερα η ακρότατη τιμή θα εκφράζονται ως συναρτήσεις αυτής της παραμέτρου: ma/ min{f() g() = } { () ()λ ()} f () = f( () ()) Σαυτή την περίπτωση: Ο πολλαπλασιαστής Lagrange ισούται με την παράγωγο της ακρότατης τιμής f περιορισμού : ως προς την τιμή του f () = λ () Στις εφαρμογές καλείται και σκιώδης ή εσωτερική αξία του περιορισμού με την έννοια ότι αν η τιμή του περιορισμού αυξηθεί κατά μια μονάδα τότε η αντίστοιχη ακρότατη τιμή θα μεταβληθεί κατά λ οριακά. Παράδειγμα. Θα επαληθεύσουμε την ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange: min{f = α + β g= = 0 0} με α > 0β > 0 > 0. f = λg β /α α = λ = f = λg β = λ = α /β g = = λ = αβ / Παραγωγίζοντας ως προς βρίσκουμε: β α f = α + β = αβ α β 1/ f = αβ f = αβ / = λ () Όπως και για τα ελεύθερα στάσιμα ο αναλυτικός χαρακτηρισμός ενός περιορισμένου στάσιμου ως ακρότατου γίνεται με τη χρήση παραγώγων ης τάξης όπως θα εξετάσουμε στη συνέχεια. Πρώτα εξετάζουμε ένα ειδικότερο πρόβλημα περιορισμένου ακρότατου που αφορά τις τετραγωνικές μορφές. 6. Περιορισμένη τετραγωνική μορφή καλείται μια τετραγωνική μορφή περιορισμένη στα σημεία μιας ευθείας που διέρχεται από το (00). Θα την παριστάνουμε με: Q ɶ : {Q = α + β + γ E = p+ q = 0}. 3

Για διάκριση οι τετραγωνικές μορφές χωρίς περιορισμούς που εξετάσαμε σε προηγούμενο κεφάλαιο καλούνται και ελεύθερες τετραγωνικές μορφές. Όπως και στις ελεύθερες θα εξετάσουμε το πρόσημό της αλλά τώρα μόνο στα σημεία της ευθείας του περιορισμού εκτός του μηδενικού σημείου όπου η τιμή της είναι μηδενική: Q(00) = 0 τετραγωνική μορφή είναι ισοδύναμη με την ελεύθερη τετραγωνική μορφή μιας μεταβλητής: p p p αq βpq+ γp = Qɶ = α β + γ = q q q q Ο όρος στον αριθμητή παριστάνεται με το αρνητικό της παρακάτω πλαισιωμένης συμμετρικής ορίζουσας: 0 p q Δɶ Δ = p α β = αq + βpq γp Qɶ = ɶ q q β γ Συμπεραίνουμε ότι τo πρόσημο της περιορισμένης τετραγωνικής μορφής είναι το αντίθετο της παραπάνω ορίζουσας και διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1α. Δɶ < 0 Qɶ > 0 : θετικά ορισμένη τιμές θετικές γνήσια. 1β. Δɶ 0 Qɶ 0 : θετικά ημιορισμένη τιμές θετικές ή μηδενικές. α. Δɶ > 0 Qɶ < 0 : αρνητικά ορισμένη τιμές αρνητικές γνήσια. β. Δɶ 0 Qɶ 0 : αρνητικά ημιορισμένη τιμές αρνητικές ή μηδενικές. Παρατήρηση. Όπως διαπιστώσαμε η παραπάνω περιορισμένη τετραγωνική μορφή είναι ισοδύναμη με ελεύθερη τετραγωνική μορφή μιας μεταβλητής και έτσι δεν εμφανίζεται η περίπτωση 3 της αοριστίας με τιμές και θετικές και αρνητικές γνήσια. Εμφανίζεται σε περιορισμένες τετραγωνικές μορφές περισσοτέρων μεταβλητών. Παρατήρηση. Αν η αρχική ελεύθερη τετραγωνική μορφή είναι ορισμένη θετικά ή αρνητικά τότε βέβαια το ίδιο θα ισχύει και για την περιορισμένη. Η διαφοροποίηση εμφανίζεται όταν η ελεύθερη είναι αόριστη. Παράδειγμα. Q ɶ : {Q = E = + = 0} 0 1 1 Δɶ = 1 0 1/ = 1( 1/ ) + 1(1/ ) = 1> 0 1 1/ 0 Η αρχική ελεύθερη μορφή: Q = είναι αόριστη ενώ η περιορισμένη είναι αρνητικά ορισμένη δηλαδή έχει παντού στον περιορισμό γνήσια αρνητικό πρόσημο διότι η ευθεία του περιορισμού βρίσκεται στα τεταρτημόρια και 3 όπου οι τιμές της είναι αρνητικές. Εξάλλου αντικαθιστώντας από τον περιορισμό βρίσκουμε: = Qɶ = = ( ) = < 0 για 0 7. Χαρακτηρισμός πλαισιωμένων συμμετρικών πινάκων Θεωρούμε την παρακάτω αντιστοιχία μεταξύ περιορισμένων τετραγωνικών μορφών δύο μεταβλητών και πλαισιωμένων συμμετρικών πινάκων και μεταφέρουμε τον χαρακτηρισμό των περιορισμένων τετραγωνικών μορφών στους πλαισιωμένους συμμετρικούς πίνακες: 0 p q Q ɶ : {Q = α + β + γ E = p + q = 0} Sɶ = p α β όπου Δɶ = Sɶ = αq + βpq γp q β γ είναι η πλαισιωμένη συμμετρική ορίζουσα. Έτσι ο πλαισιωμένος συμμετρικός πίνακας χαρακτηρίζεται ως: 1α. Θετικά ορισμένος. Sɶ > 0 Qɶ > 0 : Δɶ < 0 1β. Θετικά ημιορισμένος Sɶ 0 Qɶ 0 : Δɶ 0 α. Αρνητικά ορισμένος. Sɶ < 0 Qɶ < 0 : Δɶ > 0 β. Αρνητικά ημιορισμένος.. Sɶ 0 Qɶ 0 : Δɶ 0 4

Όπως αναφέραμε και προηγουμένως η περίπτωση 3 της αοριστίας εμφανίζεται σε πλαισιωμένους συμμετρικούς πίνακες μεγαλύτερης διάστασης. 8. Συνθήκες για περιορισμένα τοπικά ακρότατα. Θεωρούμε το πρόβλημα χαρακτηρισμού των περιορισμένων στάσιμων. Το απλούστερο τέτοιο πρόβλημα αφορά την παραπάνω περιορισμένη τετραγωνική μορφή. Το μηδενικό σημείο είναι περιορισμένο στάσιμο με μηδενική τιμή της συνάρτησης οπότε ο χαρακτηρισμός του ως ακρότατου αφορά τα πρόσημα των τιμών της τετραγωνικής μορφής στα μη μηδενικά σημεία του περιορισμού όπως εξετάσαμε παραπάνω. Για τον χαρακτηρισμό στη γενική περίπτωση θεωρούμε ένα πρόβλημα περιορισμένης βελτιστοποίησης με την αντίστοιχη συνάρτηση Lagrange: ma/ min{f( ) g( ) = } L( λ) = f( ) + λ[ g( )] και ορίζουμε τον πλαισιωμένo εσσιανό πίνακα Lagrange και την αντίστοιχη πλαισιωμένη εσσιανή ορίζουσα Lagrange του προβλήματος: 0 g g 0 g g Hɶ L =g L L Δɶ L = Hɶ L = g L L = Lg + L gg Lg g L L g L L Αναγκαίες και ικανές συνθήκες για τοπικό περιορισμένο ακρότατο. Ένα εσωτερικό περιορισμένο ακρότατο είναι καταρχήν περιορισμένο στάσιμο δηλαδή ικανοποιούνται οι εξισώσεις Lagrange. Επιπλέον: 1. Αν είναι ελάχιστο (τοπικό ή ολικό) τότε o πλαισιωμένoς πίνακας Lagrange είναι θετικά ημιορισμένος: Hɶ 0 Δɶ = L g + L g g L g 0 L L Αντίστροφα είναι γνήσιο περιορισμένο τοπικό ελάχιστο αν είναι θετικά ορισμένος: Hɶ > 0 Δɶ = L g + L g g L g < 0 L L. Αν είναι μέγιστο (τοπικό ή ολικό) τότε ο πλαισιωμένος πίνακας Lagrange είναι αρνητικά ημιορισμένος Hɶ 0 Δɶ = L g + L g g L g 0 L L Αντίστροφα είναι γνήσιο περιορισμένο τοπικό μέγιστο αν είναι αρνητικά ορισμένος Hɶ < 0 Δɶ = L g + L g g L g > 0 L L Παράδειγμα. min{f = 4 + g= = α 0 0} με α > 0 Με L = 4+ + λ(α ) οι εξισώσεις Lagrange μας δίνουν: f = λg α / 4 = λ = f = λg 1= λ = α αποδεκτή μόνο η θετική λύση g = α = λ = / α Υπολογίζουμε την πλαισιωμένη εσσιανή ορίζουσα Lagrange στο παραπάνω σημείο:: g= {g = g = } L = λ L = 0 L = λ Δɶ L = Lg + L gg Lg = λ < 0 L = 1 λ L = λ L = 0 Είναι γνήσια αρνητική οπότε ο πλαισιωμένος εσσιανός πίνακας Lagrange είναι θετικά ορισμένος και το σημείο είναι γνήσιο τοπικό περιορισμένο ελάχιστο: ( = α / = αλ = / α) f = 4 + = 4 α Στην πραγματικότητα είναι ολικό περιορισμένο ελάχιστο διότι ο περιορισμός βρίσκεται εξολοκλήρου στην πάνω σταθμική περιοχή της αντικειμενικής συνάρτησης όπως φαίνεται στο παραπάνω γράφημα και όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε με αντικατάσταση από τον περιορισμό. f 5

Παράδειγμα. ma{g= f = 4 + = β 0 0} με β > 0 Θα παραστήσουμε την συνάρτηση Lagrange με: M= + μ[β 4 ] όπου μ είναι τώρα ο πολλαπλασιαστής. Οι εξισώσεις Lagrange μας δίνουν: Μ = 4μ= 0 = β / 8 Μ = μ= 0 = β / Μ μ β / 8 λ = β 4 = 0 = Υπολογίζουμε την πλαισιωμένη εσσιανή ορίζουσα Lagrange στο παραπάνω σημείο: Μ = 4μ Μ = 0Μ = 1 f = 4 + {f = 4 f = 1} Μ = μ Μ = 1Μ = 0 Δɶ = Μ f + M f f M f = 0 1 + 1 4 1 0 = 8 > 0 Μ Είναι γνήσια θετική οπότε ο πλαισιωμένος εσσιανός πίνακας Lagrange είναι αρνητικά ορισμένος και επομένως το σημείο είναι γνήσιο περιορισμένο τοπικό μέγιστο: ( = β / 8 = β / μ = β / 8) g = = β / 16 Στην πραγματικότητα είναι περιορισμένο ολικό μέγιστο όπως διαπιστώνουμε με αντικατάσταση ή και γραφικά διότι ο περιορισμός βρίσκεται εξολοκλήρου στην κάτω σταθμική περιοχή της αντικειμενικής συνάρτησης. Παρατήρηση. Για τα προηγούμενα δύο προβλήματα λέμε ότι είναι συμμετρικά μεταξύ τους με την έννοια ότι η αντικειμενική συνάρτηση του ενός συμπίπτει με την συνάρτηση περιορισμού του άλλου. Παρατήρηση. Εναλλακτικά ο πλαισιωμένος εσσιανός πίνακας Lagrange μπορεί να παρασταθεί με οιαδήποτε από τις παρακάτω μορφές. Έχουν όλες την ίδια ορίζουσα. 0 g g L L g 0 g g L L g Hɶ L =g L L ή L L g ή g L L ή L L g g L L g g 0 g L L g g 0 Επίσης μπορεί να παρασταθεί και ως ο παρακάτω εσσιανός πίνακας της συνάρτησης Lagrange: Lλλ Lλ L λ L L L λ Hɶ L =Lλ L L ή L L Lλ Lλ L L Lλ Lλ L λλ 9. Περισσότερες μεταβλητές και περιορισμοί Η θεωρία των περιορισμένων στάσιμων γενικεύεται σε περισσότερες μεταβλητές και περισσότερους περιορισμούς χρησιμοποιώντας την διατύπωση μέσω της συνάρτησης Lagrange. Παρατηρούμε σχετικά ότι ένα πρόβλημα περιορισμένης βελτιστοποίησης με n μεταβλητές μπορεί να έχει μέχρι n 1περιορισμούς. Π.χ. με n= 3 μεταβλητές μπορεί να έχουμε 1 ή περιορισμούς. Περιορισμένα ακρότατα με 3 μεταβλητές και 1 περιορισμό: ma/ min{f(z) g(z) = D} Αντικαθιστώντας την μια μεταβλητή από τον περιορισμό βρίσκουμε ότι είναι ισοδύναμο με πρόβλημα ελεύθερης βελτιστοποίησης με μεταβλητές. Η συνάρτηση Lagrange θα έχει την μορφή: L(zλ) = f(z) + λ[ g(z)] Η λύση θα ικανοποιεί τις συνθήκες περιορισμένης στασιμότητας στη μορφή των εξισώσεων Lagrange: L = 0 f = λg L = 0 f = λg { z λ} f Lz = 0 fz = λgz Lλ = 0 g= g 6

Αν η τιμή του περιορισμού εμφανίζεται ως παράμετρος τότε η λύση και ειδικότερα η ακρότατη τιμή f θα εκφράζονται ως συναρτήσεις αυτής της παραμέτρου. Σαυτή την περίπτωση ο πολλαπλασιαστής Lagrange ισούται με την παράγωγο της ακρότατης τιμής f ως προς την τιμή του περιορισμού : f () = λ () Περιορισμένα ακρότατα με 3 μεταβλητές και περιορισμούς. ma/ min{f( z) g( z) = h( z) = e D} Αντικαθιστώντας τις δύο μεταβλητές από τους περιορισμούς βρίσκουμε ότι είναι ισοδύναμο με πρόβλημα ελεύθερης βελτιστοποίησης με 1 μεταβλητή. Η συνάρτηση Lagrange θα έχει τώρα πολλαπλασιαστές έναν για τον κάθε περιορισμό: L( z λμ) = f( z) + λ[ g( z)] + μ[e h( z)] Η λύση θα ικανοποιεί τις συνθήκες περιορισμένης στασιμότητας στη μορφή των εξισώσεων Lagrange: L = 0 f = λg + μh L = 0 f = λg + μh Lz = 0 fz = λgz + μh z { z λμ} f Lλ = 0 g= Lμ = 0 h = e Τώρα έχουμε δύο πολλαπλασιαστές Lagrange: {λμ} έναν για τον κάθε περιορισμό οπότε η λύση και ειδικότερα η ακρότατη τιμή f θα εξαρτώνται από τις τιμές των παραμέτρων {e}. Σαυτή την περίπτωση οι πολλαπλασιαστές Lagrange θα ισούνται με τις μερικές παραγώγους της ακρότατης τιμής f ως προς αυτές τις παραμέτρους που είναι οι τιμές των αντίστοιχων περιορισμών: f (e) = λ (e) f (e) = μ (e) e Παράδειγμα. Στον χώρο Οz θα βρούμε το σημείο του επιπέδου + z = σε ελάχιστη απόσταση από την αρχή του συστήματος:(000) λύνοντας το πρόβλημα: = + + = + = min{f z g z } {z} Λύση. Οι εξισώσεις Lagrange: { = λ = λ z = λ + z = } μας δίνουν: { = / 6 = / 3z = / 6λ = / 3} με f = και d= f = / 6 6 Από την γεωμετρία διαπιστώνουμε ότι υπάρχει ελάχιστη απόσταση που θα είναι υποχρεωτικά η παραπάνω. Παρατήρηση. Για ευκολία αντί της απόστασης: d= + + z ελαχιστοποιήσαμε τη συνάρτηση: f = d. Οι δύο συναρτήσεις έχουν ελάχιστο στο ίδιο σημείο διότι η μία είναι αύξων μετασχηματισμός της άλλης αλλά βέβαια έχουν διαφορετική ελάχιστη τιμή και διαφορετικό πολλαπλασιαστής Lagrange. Ο πολλαπλασιαστής για την συνάρτηση της απόστασης d μπορεί να υπολογιστεί εκ των υστέρων από οιαδήποτε των παρακάτω σχέσεων: d d dz μ= = = Θα έχουμε μ= d () = ± 1/ 6 g g g z Τα περιορισμένα στάσιμα που βρίσκουμε λύνοντας τις εξισώσεις Lagrange μπορούν να χαρακτηριστούν χρησιμοποιώντας τον αντίστοιχο πλαισιωμένο εσσιανό πίνακα Lagrange της παρακάτω μορφής για έναν και δύο περιορισμούς αντίστοιχα: 7

0 0 g g g z 0 g g gz 0 0 h h hz g L L Lz Hɶ L = g L L L και Hɶ g L h L L L = z z g h L L L z gz Lz Lz L zz gz hz Lz Lz L zz Ο χαρακτηρισμός τους παρουσιάζεται στα πλαίσια της γενικότερης θεωρίας των πλαισιωμένων συμμετρικών πινάκων στην Γραμμική Άλγεβρα. Οι πίνακες εκφράζονται και με τους Εσσιανούς πίνακες των αντίστοιχων συναρτήσεων Lagrange: L(λz) L(λμz) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 10. Ορίζουσα Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα A αντιστοιχούμε κατά τρόπο μοναδικό έναν αριθμό A ο οποίος καλείται ορίζουσα (determinant) του A. Οι ορίζουσες υπολογίζονται επαγωγικά ως προς την διάσταση αρχίζοντας με την ορίζουσα διάστασης : α1 α αβ 1 βα 1 β β = 1 Για να υπολογίσουμε μια ορίζουσα διάστασης n ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα. 1. Σε κάθε στοιχείο της ορίζουσας αντιστοιχούμε ένα πρόσημο. Τα πρόσημα εναλλάσσονται αρχίζοντας με θετικό πρόσημο για το πρώτο στοιχείο πάνω αριστερά όπως φαίνεται παρακάτω.. Σε κάθε στοιχείο της ορίζουσας αντιστοιχούμε την ορίζουσα διάστασης n 1που προκύπτει από την αρχική αν της αφαιρέσουμε τη γραμμή και τη στήλη του συγκεκριμένου στοιχείου. 3. Για να υπολογίσουμε την αρχική ορίζουσα επιλέγουμε μια οιαδήποτε γραμμή ή στήλη της και προσθέτουμε τους n όρους που προκύπτουν αν πάρουμε κάθε στοιχείο της με το αντίστοιχο πρόσημο που ορίστηκε στο 1 και το πολλαπλασιάσουμε με την αντίστοιχη ορίζουσα διάστασης n 1 που ορίστηκε στο. Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο ανεξάρτητα της γραμμής ή στήλης που θα χρησιμοποιήσουμε και είναι η ζητούμενη ορίζουσα. Παράδειγμα. Θεωρούμε μια ορίζουσα διάστασης n = 3 και βρίσκουμε πρώτα τα πρόσημα: α α α + + 1 3 A= β β β + 1 3 γ γ γ 1 3 + + Το ανάπτυγμα ως προς την 1η γραμμή μας δίνει: β β3 β1 β3 β1 β A = α1 α + α3 γ γ γ γ γ γ 3 1 3 1 Αρκεί τώρα να αντικαταστήσουμε για τις ορίζουσες διάστασης από τον παραπάνω τύπο. Το ίδιο αποτέλεσμα θα βρούμε αν πάρουμε το ανάπτυγμα ως προς την η γραμμή: α α α α α α A = β + β β 3 1 3 1 1 3 γ γ3 γ1 γ3 γ1 γ Για συγκεκριμένες ορίζουσες συνήθως αναπτύσσουμε ως προς μια γραμμή ή στήλη που έχει πολλά μηδενικά. Π.χ. αναπτύσσοντας την παρακάτω ορίζουσα ως προς την τρίτη στήλη βρίσκουμε: 1 1 1 3 1 1 1 3 = 1 + 0 = 1(4 + 3) (8 + 1) + 0 = 5 1 4 1 4 1 3 1 4 0 Αναπτύσσοντας την ίδια ορίζουσα ως προς την τρίτη γραμμή βρίσκουμε το ίδιο αποτέλεσμα: 8

1 1 1 1 1 1 1 3 = 1 4 + 0 = 1( + 3) 4(4 + 1) + 0 = 5 3 1 1 3 1 4 0 Οι ορίζουσες έχουν τις παρακάτω ιδιότητες: 1. Η ορίζουσα ενός διαγώνιου πίνακα ισούται με το γινόμενο των στοιχείων στη διαγώνιο. Η εναλλαγή δύο γραμμών (στηλών) αλλάζει το πρόσημο της ορίζουσας 3. Ο πολλαπλασιασμός μιας γραμμής (στήλης) με αριθμό πολλαπλασιάζει την ορίζουσα με τον ίδιο αριθμό. Επομένως αν πολλαπλασιάσουμε όλα τα στοιχεία ενός τετραγωνικού πίνακα διάστασης n με έναν αριθμό λ τότε n η ορίζουσά του πολλαπλασιάζεται με λ. 11. Περιορισμένα διαφορικά Θεωρούμε τον χαρακτηρισμό των περιορισμένων στάσιμων στο πρόβλημα περιορισμένης βελτιστοποίησης με την αντίστοιχη συνάρτηση Lagrange: ma/ min{f( ) g( ) = } L( λ) = f( ) + λ[ g( )] Για την απόδειξη αρκεί να θεωρήσουμε τη σύνθεση της f( ) με την συνάρτηση = () που ορίζεται πλεγμένα από την εξίσωση του περιορισμού: g( ) = και να βρούμε τη δεύτερη παράγωγο χρησιμοποιώντας τους αντίστοιχους κανόνες αλυσωτής και πλεγμένης πρώτης και δεύτερης παραγώγου. Εναλλακτικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα διαφορικά που τώρα θα είναι περιορισμένα διότι λόγω του περιορισμού οι μεταβλητές () δεν είναι ανεξάρτητες. Το ακρότατο χαρακτηρίζεται από το πρόσημο της μεταβολής Δf για μικρές μετατοπίσεις που ικανοποιούν τον περιορισμό g=. Σύμφωνα με τη σχετική θεωρία τα περιορισμένα διαφορικά της f() είναι: df = f d + f d d f = f d + f dd + f d + f d + f d όπου λόγω του περιορισμού τα διαφορικά των {} θα ικανοποιούν τις εξισώσεις: dg= g d + f d = 0 d g= g d + g dd + g d + g d + g d = 0 Θεωρούμε τώρα τα παραπάνω σένα εσωτερικό ακρότατο οπότε θα ισχύουν οι εξισώσεις Lagrange. Πολλαπλασιάζουμε τις εξισώσεις των διαφορικών της g με τον πολλαπλασιαστή Lagrange λ και αφαιρούμε από τα αντίστοιχα διαφορικά της f : df = (f λg )d + (f λg )d d f = (f λg )d + (f λg )dd + (f λg )d + (f λg )d + (f λg )d Λόγω των εξισώσεων Lagrange οι δύο όροι του πρώτου διαφορικού και οι δύο τελευταίοι του δεύτερου μηδενίζονται και βρίσκουμε: df = 0 d f = (f λg )d + (f λg )dd + (f λg )d = L d + L dd + L d Εφόσον το πρώτο περιορισμένο διαφορικό είναι μηδενικό το πρόσημο της μεταβολής θα δίνεται από το πρόσημο του δεύτερου περιορισμένου διαφορικού που είναι μια περιορισμένη τετραγωνική μορφή διότι τα {dd} ικανοποιούν την εξίσωση του περιορισμού: dg= g d + g d = 0 Συμπεραίνουμε ότι το πρόσημό της χαρακτηρίζεται από τον αντίστοιχο πλαισιωμένο Εσσιανό πίνακα της συνάρτησης Lagrange. 9

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1. Να βρεθεί η απόσταση του σημείου (4) από τις καμπύλες: Ασκήσεις + = 1 + = 1 + 4 = 8. Να λυθούν τα παρακάτω προβλήματα στη θετική περιοχή { 0 0}. Σε κάθε περίπτωση να επαληθευτεί η ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange και να βρεθεί το γράφημα της τροχιάς των βέλτιστων τιμών των μεταβλητών επιλογής ως προς την παράμετρο. ma{u = C = + } ma{u = ln( ) C = + } 1 1/ 1/ 4 ma{q = C = + } ma{u = C = + } 1/ 1/ 4 min{c = + Q = q} min{u = + U= u} ma{q = + C= + = } ma{q = ( + ) C = + = } 3. Να διαπιστωθεί ότι μεταξύ όλων των ορθογωνίων παραλληλογράμμων με την ίδια περίμετρο το τετράγωνο έχει μέγιστο εμβαδό. 4. Να βρεθούν τα στάσιμα σημεία της συνάρτησης: f( z) = + + 3z + + 3z με τον περιορισμό + + z = 1. 5. Να διαπιστωθεί αναλυτικά και γραφικά ότι στα παρακάτω προβλήματα βελτιστοποίησης στη θετική περιοχή: { 0 0} το ακρότατο είναι συνοριακό. min{c = + Q = + q} ma{u = + C = + } 6. Στον τρισδιάστατο χώρο να βρεθούν: α) Η απόσταση του σημείου (440.5) από την επιφάνεια z = +. β) Η απόσταση του μηδενικού σημείου: (000) από την ευθεία με εξισώσεις: { + + z = 15 + 3z = 5} 7. Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω περιορισμένες τετραγωνικές μορφές ως προς το πρόσημο. Σε κάθε περίπτωση να βρεθεί και ο αντίστοιχος πλαισιωμένος συμμετρικός πίνακας. {Q = + E = v+ w = 0} {Q = E = + = 0} {Q = E = v + w = 0} {Q = + + z + 4z+ 4z E = + + z = 0} {Q = + z + 4z + 4z E = + + z = 0} {Q = 4z + 4z E = + + z = 0} {Q = + 4z E = + = 0 F = + z = 0} 8. Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω πλαισιωμένοι συμμετρικοί πίνακες ως προς το πρόσημό τους χρησιμοποιώντας την αντίστοιχη περιορισμένη τετραγωνική μορφή. 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 9. Να χαρακτηριστούν τα στάσιμα σημεία της συνάρτησης: + με τον περιορισμό: + = 3 10. Να λυθούν τα παρακάτω προβλήματα στη θετική περιοχή { 0 0}. Σε κάθε περίπτωση να γίνει ο χαρακτηρισμός των περιορισμένων στάσιμων χρησιμοποιώντας τον πλαισιωμένο εσσιανό πίνακα Lagrange. ma{u = C = + } ma{u = ln( ) C = + } 1 1/ 1/ 4 ma{q = C = + } ma{u = C = + } 1 1 min{c = + U = u } 1/ 1/ 4 min{c = + Q = q} min{u = + U= u} min{c = + U = ln( ) u } ma{q = + C = + = } ma{q = ( + ) C = + = } 10

min{c = + Q = + = q} 1/ min{c = ( + ) Q = + = q} 11. Να διαπιστωθεί ότι μεταξύ όλων των ορθογωνίων παραλληλογράμμων με την ίδια περίμετρο το τετράγωνο έχει μέγιστο εμβαδό. 1. Να βρεθούν και να χαρακτηριστούν τα περιορισμένα στάσιμα της συνάρτησης: f( z) = + + 3z + + 3z με τον περιορισμό + + z = 1 χρησιμοποιώντας αντικατάσταση από τον περιορισμό 11