Pooljuhtde tsoonteoora Kvantstatsta lassud Ms mõned materjald on väga head eletrjuhd (metalld, ud mõned on solaatord? On ju n metalldel u a solaatortel väga õrge eletronde thedus (0 cm -3. Vastus petub vantmehhaanas nng vantstatstas. nrco Ferm Nobel prze n Physcs, 938 for dscovery of neutron rradaton and slow neutrons Paul A. M. Drac Nobel prze n Physcs, 933 for dscovery of new forms of atomc radaton (postrons and the Drac equaton Klassalne nng vantstatsta Osaesed, mllede oleute rjeldamses asutame Schrödnger võrrandt, alluvad vantstatstale. Osaeste jaotumne energate vahel pooljuhs Band Structure juhtvustsoon t mngt süsteem rjeldada, peame teadma õg osaeste jaotumst oleute vahel. valentstsoon 3 -ruum puntd! ρ( 4
letronde jaotumne lubatud oleute vahel Oleute thedus energaühu ohta ja ühruumala ohta ρ( Keelutsoon Fermond ja bosond Kvantfüüsas on õ osaesed jaotatud ahte rühma: fermond ja bosond vastavalt nende spnndele, ms võvad olla as poolarvud võ ss täsarvud. Täsarvulse spnnga osaesed on bosond ja poolarvulse spnnga osaesed on fermond. letrond, prootond, neutrond- fermond Footond, mesond bosond valentstsoon juhtvustsoon Fermond alluvad Paul eeluprntsble, s.t. ühte oleusse e saa uuluda as dentset fermon. (Nätes e saa ühel energatasemel olla as ühesuguse spnnga eletron Bosonte jaos Paul eeluprntsp e eht! Mtu nest lubatud oleutest on tädetud? Mllne on tõenäosus, et mng ole on tädetud? 5 6 N vant- u a tavalse lassalse statsta põhülesanne on: ndlas teha suure arvu osaeste jaotumne võmale oleute vahel süsteem termlses tasaaalus. t seda jaotusfuntsoon leda tuleb slmas pdada ahte nõuet: Jaotus peab olema sellne, et süsteem vaba energa oles mnmaalne; Jaotus peab arvestama osaeste l (fermond ja bosond. FU-TS n Termodünaama II seaduse ohaselt on entroopa süsteem orrastatuse mõõt nng ta pub asvama! n t F oles mnmaalne, peas U olema mnmaalne ja S masmaalne! smene nõue (termodünaamlne! : FU-TS ( F- vaba energa U- osaeste süsteem oguenerga S- süsteem entroopa T- absoluutne temperatuur olgu mnmaalne!! n ntroopa avaldub: S B lnw ( us W on oguarv võmalest vsdest, udas osaes õde oleute vahel saas jaotada, B - Bolzmann onstant 7 8
Tene nõue on see, et me peame arvestama, as mel on tegemst erstamatute vantosaestega (fermond ja bosond võ erstatavate lassalste osaestega. Vastavalt sellele on mel 3 võmalu jaotusfuntsoon: Küsmused, ms tuleb lahendada: Mtu lauda? (Mllne on oleute (ohtade thedus? Ku palju laudu on tädetud? (Mllne on tõenäosus, et teatud laud on tädetud? q Ferm-Drac jaotus fermondele q Bose-nsten jaotus bosontele q Maxwell-Boltzmann jaotus lassalstele osaestele 9 0 Ferm-Drac jaotusfuntsoon letrond pooljuhs alluvad Paul prntsble Olgu mel süsteem 3 energatasemega ev, ev ja 3 3eV, ja olgu mel eletron nng süsteem oguenerga olgu 4eV. Mllsed on võmalud eletronde pagutused? Ja mllne pagutus on õge tõenäolsem? W(,0, 4 W(0,,0 ev ev 3eV 4 5 juhul on (,0, pagutus realseerunud Ferm-Drac jaotusfuntsoon n Olgu mel süsteem lubatud energatasemetega e, e, e3, nng vastava õduvusega g, g, g3,. n Olgu mel N osaest, ms võvad need oleud täta. n Põhüsmuses on ss W ledmne, s.t. ou lugeda võmalud vsd, udas osaesed nende oleute vahel jaotuda võs. Vaatame üldsemalt edas! 3
Ferm-Drac jaotusfuntsoon n Olgu mel jaotus, us N osaest on oleus e, N osaest oleus e jne. n t selle jaotuse jaos arvutada W peame õgepealt ledma, mtut mood saab Nosaest jaotada g oleu vahel energaga e: Ferm-Drac jaotusfuntsoon n osae võb paneda g mood n osae võb paneda (g-/ mood, sest una osae on juba hõvanud ühe g oleutest, ss osae saab hõvata ülejäänud g- oleut vad järgdes Paul prntsp. Lsas on osaesed ja tenetesest erstamatud ja seetõttu väheneb võmale pagutuste arv orda. 3 4 Ferm-Drac jaotusfuntsoon n Osae 3 võb pagutuda järelult (g-/3 mood.. n Osae N võb pagutuda (g-n/n mood. Ferm-Drac jaotusfuntsoon n Koguarv N osaesele e oleutes on ss g( g ( g...( g N g! P N! N!( g N! n Samamood on oguarv N osaesele e oleutes: 5 g( g ( g...( g N g! P N! N!( g N! 6 4
Ferm-Drac jaotusfuntsoon Ferm-Drac jaotusfuntsoon St saame ogu jaotuse pagutuste arvus W: g! W N!( g N! (3 n smene nõue ol, et vaba energa peab olema mnmaalne, seega g! δf 0 δ ( U TS δ{( Nε BT ln } 0 N!( g N! (4 S B lnw 7 8 Ferm-Drac jaotusfuntsoon Ferm-Drac jaotusfuntsoon n Peame slmas, et n Ss võrrand (4 omandab uju ln g! N!( g N! {lng! ln N! ln( g N!} (5 { ε δn T[ ln N ln( g N ] δn } 0 B (7 ln x! x ln x x (6 Kuna osaeste oguarv on fseertud, ss N N δn 0 (8 9 0 5
6 Ferm-Drac jaotusfuntsoon n Korrutame võrrandt (8 onstandga A nng lsame tulemuse võrrandsse (7, saame (9 exp( ln( 0 ]} ln( ln [ {( T A g N T A N N g N N g N T A B B B ε ε δ ε Ferm-Drac jaotusfuntsoon Oleu hõvamse tõenäosus f (eh jaotusfuntsoon energale e on ss exp( ( (, ( T A g N T f B ε ε ε ε (0 Konstant A nmetatase Ferm energas, s.t F, seega exp(, ( T T f B ε F ε ε Ferm-Drac jaotusfuntsoon Ferm-Drac jaotusfuntsoon 3 Bose-nsten jaotusfuntsoon exp(, ( T A T f B ε ε ( Bosonte jaos saame samamood NB! Mär on sn - 4
Klassalne Maxwell-Boltzman jaotusfuntsoon rnevate jaotusfuntsoonde võrdlus Klassalste osaeste jaos on jaotusfuntsoon ujul: ε f ( ε, T C exp( T B ( Üldselt võb lassalst jaotusfuntsoon asutada ss, u osaeste de Brogle lanepus on palju väsem u osaeste vahelne augus λ << d. 5 Ku >> F ss võb asutada a Boltzmann jaotust! 6 Mda jaotusfuntsoon nätab? P FD Oleute thedus Oleute thedust defneertase: v G c Üldselt tüh juhtvustsoon ΔN( ρ (. (3 Δ ΔV Täs valentstsoon Psavalt õrgel temperatuuurl võvad eletrond sattuda a juhtvustsoon s.t. oleute arv energavahemu Δ ja ruumala ΔV ohta Vaatleme oleute theduse ledmst õgepealt vabade eletronde jaos, s.t. oluorras, us rstall mõjuga võb mtte arvestada! 7 8 7
Vaba eletron juht n Tuletame meelde vantmehhaana ursusest mõned loengud tagas... - ruum Klassalse vaba eletron oleud Defneertud oordnaatde (x,y,z ja mpulsga (p x, p y, p z Vaba eletron vantoleud Määratud lanevetorga võ a (p x, p y, p z ( x, y, z. z y x y p z p y p x x 9 letron ole on defneertud puntga - ruums e. mpulsruums z 30 Vaba eletron oleud / m e Ühedmensonaalne juht Olgu mel ühedmensonaalne vantau lausega L. Teatavast energatasemed sellses augus avalduvad: n π n ml Plu n ja (n taseme vahel on Δ (n π ml n 0 u L asvab. Vaba eletron energa sõltuvus lanearvust ψ ( x x x Ae Δ Δ Δ Vaba eletron lanefuntsoon ( oordnaad juht Tasalane!! - eletron lanevetor 3 Ühedmensonaalne vantau. Ku augu laus asvab, ss energatasemete vahelne augus väheneb nng suureneb vajadus oleute theduse funtsoon järele. 3 8
Kudas leda oleute theduse funtsoon? Lhtsam on arvutada oleute arvu momend vahemu dp x ja oordnaad vahemu dx jaos. Joonstades osaese oleud oordnaatdes (p x x saame ga oleu jaos punt. Klassalses füüsas võvad puntd olla lõpmatult lähedal tenetesele nng oleute thedus võb samut olla lõpmatult suur. Kvantfüüsas pole see võmal tänu määramatuse prntsble ΔxΔp x > h. Ss võme joonstada ruudustu, us gas ruudus saab olla vad üs ole. Ss oleute arv ruudus on p x ND ( dp xdx h (4 p x Kuna vaba eletron jaos: Vastavalt võrrandle (4 saame px m dpx ( m m / ND( ( h Seega D oleute theduse funtsoons saame: / d ddx x Δp x Δx x h m / ρ D ( ( (5 Δx Δp x ~ h 33 34 Oleute thedus D juhul p y p x N D dp xdp ydxdy πpdpdxdy ( h h s.t. p-ruums (D asuva h pndala Oleute thedus D juhul p pdp Kuna d pdp md m m N D πmddxdy ( h (6 -D oleute theduse funtsoon: ρ ( D πm h (7 35 36 9
Oleute thedus 3D juhul Oleute oguarv ruums dp x dxdp y dydp z dz on N 3D dp xdp ( s.t. dv p 4πp dp y N 3D ( 8π dp zdxdydz 4πp 3 h dpdxdydz 3 h m3/ / ddv h 3 (8 Oleute thedus 3D juhul Ss 3D juhul avaldub oleute theduse funtsoon: ρ ( 3D 8π m h 3/ 3 / (9 37 38 Oleute theduse funtsoon ätumne energast -D juhul (c, -D juhul (b and 3-D juhul (a. Juhtvustsoon ja valentstsoon oleute thedused pooljuhs juhtvustsoon t leda oleute arvu mngs energa vahemus tules ntegreerda: valentstsoon ρ( d (0 39 40 0
letrond metalldes nne pooljuhtde juurde asumst vaatleme eletrone metalldes. Vaba eletrongaas. Metalldes on valentseletrond nõrgalt seotud aatomtega nng seetõttu võb eletrone ästleda u vabu eletrone. Metalldes võb eletrone vaadelda u vabu osaes eh vaba eletrongaas. Metall aatom Krstall moodustumne Metall rstall 4 4 Vaba eletrongaas. Vaba eletrongaas. letrond metalls on oondunud ast ruumalaga V. Me eeldame, et selles ruums eletrondel pole omavahelst ulonlst vastasmõju nng ned e mõjuta a aatomte postvsed oond. Vabu eletrone metall uupsentmeetrs on umbes 0. N suure arvu eletronde rjeldamses vajame statstat ja una eletrond on fermond, ss vajame Ferm-Drac jaotusfuntsoon f (, T exp[( / T ] F B Vaba eletron lähendus 43 44
Väe õrvalepõge... Ferm jaotusfuntsoon uurdes näeme, et ernevatel temperatuurdel mõjutab ta eletronde jaotust oleute vahel vad üsna tsas pronnas F lähedal letrondega tädetud oleute thedus: ρ ( ρ( f ( täs ( f ( exp[( / T] f ( F BT 7 % e f ( F 3BT 5 % 3 e f ( F 5BT % 5 e F B 45 Ferm energa: Ferm energatase on tähts suurus, mlle me võme üsna lhtsalt leda. Ku vabade eletronde arv metalls on N, ss N V ρ( f ( d V ρ( d exp[( F / BT ] 0 Ku B T<< F eh T<< F / B, ss f( võb asendada lhtsa astmega. Metalldes on F tavalselt mõn ev ja F / B ~ 0000 K! Seega tngmus B T<< F ehtb seg metall sulamstemperatuurl. Ss asutades astet saame F F 8π N V ρ( d V 3 h 0 0 0 3 8π m d V 3 3 h m 3 3/ F ( (3 46 Ss võrrandst (3 saame avaldada Ferm energataseme väärtuse: m us nn/v on eletronde thedus. [ 3π n] / 3 F (4 letron oleud rstalls letron oleute arvutamses rstalldes tules üldjuhul lähtuda Schrödnger võrrandst. Probleem on selles, et eletrone on rstalls lga palju ja seetõttu on ülmalt rase ga eletron jaos võrrandt lahendada. Metallde puhul vältsme seda lugedes eletrond vabades. See on aga lga suur lhtsustus. Kndlast peasme arvestama postvsete oonde mõju eletrondele. Õnnes on rstalld peroodlse strutuurga. Peroodlsus lhtsustab paljus eletronde oleute määramst rstalldes. Krstallde tsoonteoora ästlemses on võmalust: a vaadelda soleertud aatomte energatasemed, u aatomd haavad tenetesele lähenema, b vaadelda eletrone peroodlses aatomte potentsaals. 47 48
Isoleertud aatomte mudel. Olgu mel soleertud Na aatomt nng mõlemal nest on sama energaga 3s eletron. Ku need aatomd tuua tenetesele lähemale, ss nende oleute lanefuntsoond attuvad nng ltuvad. Selle tulemusena 3s energatasemed lõhenevad nagu võb näha alumsel joonsel: Ms energatasemed lõhenevad? Kahe soleertud aatom lanefuntsoond on ψ ja ψ Ltunud lanefuntsoond võvad olla ψ -ψ ja ψ ψ. s.t. nagu lanete nterferents! letron oleus ψ ψ omab olulst tõenäosust sattumas ahe aatom vahele ja seega atab nagu aatomed ou lta mstõttu selles oleus on tal väsem energa. ψ -ψ oleus on aga eletron ledmse tõenäosus aatomte vahel 0 ja seega on selles oleus a energa õrgem. N teb energatasemete lõhenemne. (a letronde lanefuntsoond soleertud aatomtel (b, (c Kas võmalu lanefuntsoonde lneaarset ombnatsoon aatomte lähenemsel. 49 50 Kahe aatom juurest suure arvu aatomten: Ku aatom asemel on aatomed väga palju, ss põhmõttelselt teb samasugune plt. Aatomte arvu suurenemsel väheneb lõhenenud energatasemete vahelne augus. Ku N0, ss võme rääda juba pdevast jaotusest, s.t. 0 energataset jaotuvad vahemus Δ - s.o. tsoon! aatomt 6 aatomt 0 aatomt nergeetlsed tsoond Na rstalls Na rstalls tsoon, ms teb 3s oleutest, utsutase 3s tsoons. Üldjuhul on rstalls nmtu tsoon, umtu energataset on aatoms. Tsoonde vahel moodustuvad eelatud alad (eelutsoond, us puuduvad lubatud oleud eletrondele. N aatomst oosneva Na rstall tsoond. Igas tsoons on N energataset. s, s ja p tsoond on õ tädetud eletrondega, usjuures ga tsoon võb ssaldada (ln eletron. Seega s ja s tsoond ssaldavad umb N eletron ja p tsoon ssaldab 6N eletron. Kuna ga Na aatom omab vad ühe 3s eleton, ss on rstalls vad N 3s eletron nng 3s tsoon on vad poolenst tädetud. 3p tsoon on aga täelut tüh. 5 5 3
Tsoonde moodustumne räns. Metallde, deletrute nng pooljuhtde tsoond Metalld: Nagu nägme, omas Na pooleld tädetud tsoon. Joonsel on see oluord nädatud. letrväljas võvad eletrond saada lsaenergat nng väga ergelt täta Ferm tasemest õrgemal olevad lubatud tsoon tühje tasemed. Seetõttu juhvad metalld eletrt väga häst! 53 54 Deletrud. Deletrute tsoond on as täelut tädetud eletrondega võ ss täelult tühjad. Vaatleme õrgemat tädetud tsoon (valentstsoon ja madalamat tätmata tsoon (juhtvustsoon. Ferm energatase asub nende tsoonde vahel eelutsoons. Keelutsoon laus (~0 ev on deletrutel palju suurem u soojuslumse neetlne energa toatemperatuurl ( B T0.05 ev ja seetõttu e suuda eletrond juhtvustsoon jõuda. Pooljuhd. Ka pooljuhtde tsoond on as täelult tädetud võ ss täelult tühjad, ud eelutsoon laus nes materjaldes on palju väsem (~ ev u deletrutes. Seetõttu pooljuhtde juhtvus temperatuurga asvab, una soojuslumse neetlne energa on psav eletronde vmses valentstsoonst juhtvustsoon. Deletr omab täelult tädetud valentstsoon ja täelult tühja juhtvustsoon. 55 56 4
Deletrud, metalld, pooljuhd Kudas leda pooljuh tsoonplt? n Pooljuht on rstall. n Krstalls mõjutavad eletrone rstallvõre aatomd. n Vaba eletrongaas mudel e eht! 57 58 Peroodlse potentsaal mudel Üldjuhul oles mel vaja teada eletron energat pooljuhs. Selles tules lahendada Schrödnger võrrand rstall jaos: ĤΨ Ψ - rstall oguenerga Ψ rstall lanefuntsoon, ms sõltub õg eletronde oordnaatdest r nng õg aatomte oordnaatdest R Ψ Ψ r... r, R... R ( n n Ĥ - Hamlton operaator, ms ssaldab: a letronde neetlst energat W e : m Δ Δ x y m eletron mass eletron ndes z - Laplace operaator 59 60 5
b aatomte neetlst energat W AK : d aatomte (tuumade omavahelst potentsaalset energat V AP : α M α Δ α M α aatomte mass V AP ( R... R N c eletronde omavahelse mõju potentsaalset e. Coulomb energat W ep : j e 4πεε r 0 j e eletronde ja aatomtuumade vahelst potentsaalset energat U: U r... r, R... R ( n N 6 6 { W Krstall jaos saame ss võrrand: W W V U Ψ Ψ ek AK ep AP } Lhtsustused: Adabaatlne e. Born-Oppenhemer lähendus: M>>m eletron fseertud tuumade oluorras Valentseletronde lähendus: Krstalldes on aatomteeletronde ontsentratsoon ~0 3 cm -3 Samapalju ss a sõltumatud muutujad! VÕIMATU LAHNDADA! Vaadeldase vad valentseletrone- ülejäänud jäetase tuumadele 3 Üheeletronlne lähendus: vaadelda ga eletron paarsvastasmõju vad õg teste eletronde tetatud üldse välja mõju antud eletronle Vaja lhtsustus à 63 64 6
Lhtsustatud Schrödnger võrrand eletronle rstalls: { Δ V ( r} Ψ( r Ψ( r m Peroodlse potentsaal mudel letronde ätumse realstlumas rjeldamses tuleb ndlast arvesse võtta nende vastasmõju rstallstrutuurga. Krstalldes on mel tegemst postvsete oondega, ms on pagutatud orrapärase võrena. Ku eletron lgub võres, ss tema Coulomb vastasmõju võre oondega põhjustab PRIOODILISLT vareeruva potentsaal U(r. V(x eletron potentsaalne energa rstalls x Krstall orrapärane -> V(r peroodlne funtsoon letronde omavahelne mõju puudub! letron potentsaalse energa sõltuvus augusest postvsest oonst Krstallvõres eletronle mõjuv peroodlne potentsaal. 65 66 Krstall potentsaal omab ndlat SÜMMTRIAT Ühedmensonaalsel juhul võreonstand a jaos ss V ( x na V ( x, n,,3, Ka eletron ledmse tõenäosus omab samasugust sümmeetrat: P ( x na P( x Ka eletron lanefuntsoon jaos ehtb sümmeetra: P( x na P( x ψ ( x na ψ ( x na ψ ( x ψ ( x seega : ψ ( x na λψ ( x Sn λ on nn. faasordaja ujul e θ ja n, et λλ 3 letron ledmse tõenäosus puntdes, ja 3 on SAMA SUUR! ψ ( x na ψ ( x na λψ ( x λψ ( x λ λψ ( x ψ ( x seega ψ ( x na ψ ( x na ψ ( x ψ ( x P( x na P( x 67 68 7
Võb nädata, et faastegur avaldub lhtsalt u x na λ e x on eletron lanearv rstalls. Ss saame See on tuntud u BLOCH teoreem! Bloch teoreem võb estada a alternatvsel ujul: x x ψ ( x u ( x e, u ( x na u ( x na ψ ( x na e x ψ ( x Bloch funtsoond Lähtume Bloch teoreemst: Bloch funtsoond rstalls x x ψ ( x u ( x e, u ( x na u ( x Selles võrrands on u (x on rstallvõrega sama peroodlsusega. Lanefuntsoon võrrands on väga sarnane vaba eletron lanefuntsoonga, ms avaldus ujul: y(x ψ ( x x x Ae Lanevõrrand! Seega Schrödnger võrrandt on tänu peroodlsele potentsaalle võmal lahendada! x 69 70 Bloch teoreem nätab seega, et eletron lanefuntsoon rstalls ujutab endast samasugust tasalanet nagu vaba eletron puhulg, ud see lane on MODULRITUD rstall peroodlse potentsaalga. x x ψ ( x u ( x e, u ( x na u ( x Teoreemst järeldub, et perfetses defetdeta peroodlses rstalls on lanefuntsoon tasalane, ms levb lõpmatult- s.t. e mng hajumst võ ustumst! Selles, et eletron hajus, on vaja võresse tetada mng ebaorrapärasus! See HÄIRIB rstall sümmeetrat nng eletron oleud pole ss enam deaalsed Bloch oleud. Härtus võb tulla mtmetest põhjustest: a Bloch funtsoon eletronle rstall peroodlse potentsaal jaos. Lsandaatom rstallstrutuurs Puntdefet, nätes vaants! Puntdefet, nätes võrevahelne aatom Soojusl võnumne 7 7 8
Selles, et mõsta, udas Bloch teoreem abl saab leda pooljuh tsoonplt, asutatase sagel nn. peaaegu vaba eletron mudelt. Teatavast teb rstalls lanete DIFRAKTSIOON. Dfratsoon rjeldab BRAGGI valem: d snθ nλ, n,,3, d Peaaegu vaba eletron mudel dsnq q q q q dsnq I II Lanete dfratsoon rstallvõres Peaaegu vaba eletron mudels eeldatase, et eletron-võre vastasmõju avaldub eelõge läb eletron dfratsoon võrel. Ühedmensonaalse juhu jaos määrab ga võre punt ühe tasand, mstõttu nur Bragg valems on pdevalt 90º Lane I Lane II d snθ nλ, n,,3, a Lanete dfratsoon ühedmensonaalsel juhul. Lane I levmsel teb alat tugev peegeldus, u Bragg tngmus on tädetud. Ss teb peegeldunud lane II, ms lgub vastupdses suunas. Lane I ja lane II vahel teb INTRFRNTS! 73 74 Ühedmensonaalsel juhul saame ss Bragg tngmuse ujul: a nλ, n,,3, Sellele vastab eletron lanearvu jaos tngmus: x π π n n ±, ±, ± 3, λ a Need tngmused nätavad, et dfratsoon muutub olulses, u eletron lanepus on võre onstandga ühes suurusjärgus. Vaatleme nüüd esmest (n dfratsoon tngmust, u x π ± a salgse lane ja peegeldunud lane nterferents tetab sesva lane gruprusega 0! Sesva lane jaos saame lanefuntsoon ltes vastassuunas luvat lanet: y(x λ > a x y(x λ a x 75 ψ xx ± ( x ψ I ( x ± ψ II ( x e ± πx ψ ( x cos a πx ψ ( x sn a e xx NB! (uler valemd e cosϕ ϕ e snϕ ϕ e e ϕ ϕ 76 9
Mõlemad lanefuntsoon omponendd annavad a ernevad tõenäosused: P π ψ ( x ψ ( x 4cos a ( x x P ( x π ψ ( x ψ ( x 4sn x a P annab tõenäosuse masmum oonde läheduses nng seetõttu on selles oleus eletronl madalam (negatvsem potentsaal u P - P nergeetlsed tsoond elnevast nägme, et ohtades, us teb tugev dfratsoon, essteerb ernevat lanefuntsoon, ms omaorda annavad ernevad energad eletronle. Vaba eletron mudels ol eletron energa pdev funtsoon, ms ands -oordnaads parabool h /m Peaaegu vaba eletron mudels saame dfratsoon ohtades ernevat energat. Nendes ohtades (nπ/a tevad eelatud energad eletronle- eelutsoon. - NRGY GAP P - 77 π/a π/a VABA LKTRON π/a π/a π/a PAAGU VABA LKTRON π/a 78 Keelutsoons puuduvad eletronle lubatud energatasemed. Keelutsoon laus sõltub rstallvõre potentsaal tugevusest. Oleu n eelutsoon laus on ss just ahe sesva lane potentsaalsete energate vahe: Δ V V V Kusjuures V - ja V avalduvad: Samamood tevad eelutsoond ga dfratsoontngmuse jaos: π π x n n ±, ±, ± 3, λ a Vastavad eelutsoond on ss: us V Δ n V V V n a n cos(πnx / a V ( x dx. a 0 a cos(πx / a V ( x V± ± dx ± V a 0 a cos( / ( us πx a V x V dx. a 0 79 80 0
Lsas peaaegu vaba eletron mudelle essteerb veel a tes võmale ästlus, mllede abl on võmal pooljuhtde tsoonde temst seletada. Tsoonpld ( estamne Ühes sellses on nätes KRONIG-PNNY mudel, us eletron vaadeldase luvana tugevas peroodlses nelnurses rstallpotentsaals justu vantauude süsteems. III Ka see mudel annab üsna sarnase tulemuse, s.t. teatud - ruum puntdes tevad eelutsoond. V o d I II V 0 b a x Krstallpotentsaal modeleermne Krong-Penney mudels. Peroodlne tsoon Vähendatud tsoon Laendatud tsoon Tänu peroodlsusele võb tsoonplt estada mtut mood. Levnum estusvs on nn. vähendatud tsoon, us ( õver tuuase vad esmese Brlloun tsoon jaos. 8 8 letronde dünaama tsoondes letron rus letronde gruprus rstalls: v g dω d Me teame a, et lanepaetl, ms on seotud eletronga, on vantseertud energatasemed: hν h πν ω π Kombneerdes ned ahte võrrandt saame tähtsa valem, ms seob pooljuh tsoon omadused nng eletron ruse: nne u me püüame leda eletron rust tsoons, raendame saadud valemt vabale eletronle, mllel essteerb energa sõltuvus ujul: m Ss saame lneaarse sõltuvuse eletron lanearvu ja ruse vahel: v g d d m m v g v g dω d d d ħ m 83 84
letrondele rstall tsoondes on dspersoonõver testsugune ja seetõttu peas a ruse sõltuvus lanearvust tulema testsugune. Üldselt võb rstall energa dspersoon lähendada funtsoonga: w ( w cos( a Ss saame eletron grupruses tsoons: v g d d a w sn(a us W on vastava tsoon laus. W -π/a v π/a letron ruse sõltuvus lanearvust tsoons. 0 (Γ-punt läheduses on ruse sõltuvus sarnane vaba eletron lneaarsele sõltuvusele rus muutub nulls tsoon äärtes, us ±π/a ug eletron energa pole seal sugug null. -π/a π/a 85 86 Krstall mpulss Vaatleme nüüd, ms juhtub eletronga, u talle mõjub mng välne jõud, ms võb olla as eletr- võ magnetväljast tngtud. Newton tene seadus eletronle on ss: d p ( t F sum ( t dt Selles võrrands on F sum eletronle mõjuv KOGUJÕUD, mlle võb estada ahe omponend summana: F sum( t Fv ( t Fs ( t F v on eletronle mõjuv välne jõud, mda on erge välja arvutada. F s on eletronle mõjub rstallpoolne ssemne jõud, mda on aga võmatu välja arvutada. Seega me peasme ledma eletronle mng lumsvõrrand, ms I NÕUAKS rstall ssemste jõudude väljaarvutamst! Raendame rstallle välse eletrvälja ms haab eletrone rendama. Lühese ajamomend dt joosul välse välja poolt tehtud töö eletronle on ss: letron grupruse jaos saame ss: d F dx F v dt ev dt v d dt v g ev g v g d d d dt dt d e v dt g d g 87 88
Selle võrrand edasne lhtsustamne annab: d dt e Antud võrrand parem pool ujutab endast välst jõudu, ms eletronle mõjub. Ss võme rjutada üldsemalt: d F v dt Ku me loeme suurust ħ eletron mpulss rstalls, ss saadud võrrand ujutab endast Newton test seadust fetvne mass Krstall mpuls asutuselevõtt ol üs lhtsustus, mda sa asutada tsoonteoora lhtsamas estamses. Samasugune lhtsustus on a eletron FKTIIVN MASS. letron efetvne mass m erneb vaba eletron massst m o rnevates rstalldes on eletronl ernev efetvne mass ja seda tänu just rstall ssemstele jõududele, ms eletronle mõjuvad. Seetõttu utsutase suurust ħ sagel rstall mpulss. ħ pole tegel mpulss, ud ta ssaldab rstall ssemste jõudude mõju eletronle. Krstall mpuls mõste asutuselevõtt teeb eletron ästlemse rstalls lhtsamas. MTALL Na Al N Cu Ag Pt m/m o. 0.97 8.0 0.99 3 89 90 fetvse mass ledmses lähtume rstall mpulsst nng püüame rjutada Newton II seaduse: a m F dv g dt m F F- välne jõud See on üldselt looglne, una rstall mpulss ssaldab ju rstall ssems jõude nng nmood seome need a efetvse massga. Teatavast eletronde gruprus avaldus: n Ss efetvse mass jaos saame avaldse: ( sõltuvus Ss edas saame: v g dω d d d m d d v g ( sõltuvus m ( sõltuvus a dv g dt! d $ # & d " d % dt m F, sest dp d F dt dt 9 negatvne efetvne mass augud 9 3
Järeldused efetvsest massst. letron efetvse mass sõltuvus pooljuhtde eelutsoon lausest. Väeste väärtuste orral on efetvne mass sõltumatu -st nng seega tsoon põhja lähedal ätuvad eletrond nagu vabad eletrond, mllede mass on lhtsalt m! Samasugune on oluord a tsoon äärtel, us π/a. Mda suurem on eletron efetvne mass, seda väem on ( õverus, s.t. seda lamedam on ( õver. ( õvera pöördepuntdes, us d /d 0 muutub efetvne mass lõpmatus. Seega võb nn. efetvse mass mudelt asutada vad eletrondele, ms asuvad tsoon põhjas võ äärtes. Mda õrgemal energal asub lubatud tsoon, seda suurem on tema laus. Mda laem on tsoon, seda väsem on sellele tsoonle vastav efetvne mass. Seetõttu a m h >m e. letron efetvne mass sõltub üldjuhul a pooljuh eelutsoon lausest. Peab meeles pdama, et efetvne mass on pooljuh tsoon lahutamatu osa ja seetõttu sõltub ta a tsoon ruumlsest ujust. Seega võb ta olla ersugune a ühe tsoon pres sõltuvalt -vetor suunast. 93 94 3D tsoonplt Sen oleme pooljuhtde tsoondest räädes vältnud rstallde olmemõõtmelsust. Mõnngate pooljuhtde tsoonpldd - ruum omab aga tegelult 3 mõõdet, s.t. mel on x, y ja z 3D tsoonseem pole aga võmal udag normaalselt ujutada. Seetõttu estatase pooljuhtde tsoonseeme ag D ujul, ud rstall sümmeetrast lähtudes teatud ndlates -vetor suundades. ssteervad teatud olulsed -ruum puntd, ms on toodud järgnevas tabels: PUNKT Γ X L K W KOORDINAAT 0,0,0,0,0 ½,½,½, ¾,¾,0 ½,,0 Koordnaadd on toodud π/a ühutes 95 96 4
Nagu eelnevalt joonselt ol näha, on õge olulsemas punts tsoonplds punt Γ oordnaatdega (0;0;0. Ku punts Γ asuvad n valentstsoon masmum u a juhtvustsoon mnmum, ss on tegemst otsese pooljuhga (drect band semconductor. Ku juhtvustsoon mnmum e asu Γ punts, ss on tegemst audse pooljuhga (ndrect band semconductor. Γ punts võb masmum omada mtu valentstsoon, mllede jaos on a ernevad auude efetvsed massd. rstatase ergete auude valentstsoon, rasete auude valentstsoon nng spn-orbtaalset valentstsoon. Ka eletronl võvad olla ernevad efetvsed massd sõltuvalt -vetor suunast ruums. 97 98 Pea õde otseste pooljuhtde juhtvustsoon ohta punt 0 lähedal ehtb võrrand: Mõnngate pooljuhtde omadus toatemperatuurl. D ja I tähstavad drect ja ndrect pooljuhte. ( C m e us c on juhtvustsoon mnmumle vastav energa. Samasugune paraboolne sõltuvus ehtb a auudele: Rased augud : ( v m Kerged augud : ( v m Spn - orbtaalne tsoon : hh lh ( v Δ m soh 99 00 5