Newtoni seadused on klassikalise mehaanika põhialuseks. Neist lähtuvalt saab kehale mõjuvate jõudude kaudu arvutada keha liikumise.

Transcript

1 KOOLIÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). DÜNAAMIKA. Newtoni seadused. Newtoni seadused on klassikalise mehaanika põhialuseks. Neist lähtuvalt saab kehale mõjuvate jõudude kaudu avutada keha liikumise. Newtoni I seadus Iga vaba keha on kas paigal või liigub ühtlaselt ja sigjooneliselt. Vaba keha all mõistame keha, millele ühtegi jõudu ei mõju või millele mõjuvad jõud tasakaalustavad üksteist. Newtoni I seadus tähendab, et me vaatame keha liikumist inetsiaalsest taustsüsteemist. Rangelt võttes on inetsiaalsüsteemiks mistahes kinnistähega seotud taustsüsteem, paljudel juhtudel võime ka maapinnaga seotud taustsüsteemi lugeda inetsiaalsüsteemiks. Iga inetsiaalsüsteemi suhtes ühtlaselt liikuv taustsüsteem on samuti inetsiaalsüsteem. Newtoni II seadus Kehale mõjuv jõud määab keha kiienduse. Valemina = ma, kus m on vaadeldava keha mass. Juhul kui kehale mõjub samaaegselt mitu einevat jõudu, määab keha kiienduse kehale mõjuv kogujõud. Nüüd on Newtoni II seadus kujul = ma, k kus kehale mõjuv kogujõud k on võdne kõikide kehale mõjuvate jõudude vektosummaga k = + + L+ n.

2 Newtoni II seadust nimetatakse ka dünaamika, täpsemalt küll klassikalise mehaanika põhiseaduseks, sest see võimaldab kehale mõjuvate jõudude kaudu leida tema liikumise. Keha tajektooi leidmiseks peame lisaks kehale mõjuvatele jõududele teadma veel algtingimusi keha asukohta ja kiiust mingil ajahetkel. Newtoni III seadus Newtoni III seadus kahe keha jaoks =, kus on esimese keha poolt teisele kehale mõjuv jõud ja vastavalt teise keha poolt esimesele kehale mõjuv jõud. Mitme keha koal kehtib analoogiline seos mistahes kahe keha jaoks. Newtoni III seadust nimetatakse ka mõju ja vastasmõju seaduseks. Näidisülesanne. Leida jõud, mis on vajalik kehale massiga 400 g kiienduse, m/s andmiseks. m = 400 g = 0,4 kg a =, m/s =? Teeme illusteeiva joonise. Lähtume Newtoni II seadusest = m a, mis võimaldab keha massi ja kiienduse kaudu avutada kehale mõjuva jõu. Asendades massi ja kiienduse väätused, saame = ( 0,4,) N = 0, 48 N. Vastus: kehale massiga 400 g kiienduse, m / s andmiseks on vaja jõudu 0,48 N. NB! Siin ülesandes oli tegemist Newtoni II seaduse lihtsaima akendusega. Keha kiiendus on alati kehale mõjuva jõu suunaline. Viimane jäeldub Newtoni teise seaduse vektokujust = m a. Kuna sama seos kehtib ka jõu ja kiienduse väätuste jaoks: = ma, siis me ülesande lahendamisel lähtusime Newtoni II seaduse skalaakujust.

3 Näidisülesanne. Kehale massiga 5 kg mõjub jõud 30 N. Leida keha kiiendus. m = 5 kg = 30 N a =? Teeme selgitava joonise Lahenduses lähtume = m a, Newtoni II seadusest millest kiiendus avaldub jägmiselt a=. m Asendades andmed, saame 30 a= ( ) m/s = 6 m/s. 5 Vastus: keha kiiendus on 6 m/s (suunatud kehale mõjuva jõu suunas). Näidisülesanne 3. Kehale massiga 500 g, mis liigub kiiusega 3 m/s, hakkab mõjuma konstantne liikumissihiline jõud N. Leida keha kiius ja tema poolt läbitud teepikkus 5 sekundi päast peale jõu mõjumise algust. m = 500 g = 0,5 kg v 0 = 3 m/s = N t = 5 s v =? s =? Teema selgitava joonise. Kuna kehale mõjub liikumissihiline jõud, siis jätkab keha liikumist samas suunas. Hetke, mil kehale hakkab mõjuma jõud, võtame alghetkeks ja sellest hetkest hakkame lugema aega. Konstantse jõu mõjul hakkab keha liikuma ühtlaselt kiienevalt, mistõttu keha liikumise (kiiuse ja läbitud teepikkuse) avutamiseks kasutame ühtlaselt muutuva liikumise valemeid a t v = v0 + a t, s= v0 t+. Avutusteks vajamineva kiienduse aga leiame Newtoni II seadusest 3

4 = m a a=. m Asendades siit kiienduse, saame t t v= v0 +, s= v0t+, m m mis peale andmete asendamist ja lihtsaid avutusi annab 5 5 v = (3+ ) m/s = 3 m/s, s= (3 5+ ) m = 65 m. 0,5 0,5 Vastus: 5 sekundit peale jõu mõjumise algust on keha kiius 3 m/s ja keha on läbinud 65 m. Antud ülesanne on näiteks selle kohta, et kiiendusega liikumisel mõjub kehale mingi jõud ja see jõud annabki kehale kiienduse.. Kehadele mõjuvaid jõudusid Mehaanikas on peamisteks jõududeks askusjõud, elastsusjõud ja hõõdejõud. Raskusjõud P= m g, kus g on askuskiiendus ja m on vaadeldava keha mass. Maa pinnal on askusjõud tingitud peamiselt Maa ja keha vahelisest gavitatsioonijõust. Elastsusjõud = k x, kus k on jäikus, x defomatsiooni suuus ja mäk näitab seda, et elastsusjõud on alati defomatsiooniga vastassuunaline (suunatud tasakaaluasendi x = 0 poole). Hõõdejõud Ühe keha libisemisel teise keha pinnal mõjub kehale liikumissuunale vastupidine hõõdejõud 4

5 h = µ N, kus µ on hõõdetegu (liughõõdetegu), mille väätus sõltub kokkupuutuvatest pindadest ja N on libiseva keha kokkupuutepinnaga isti olev jõukomponent (jõu nomaalkomponent). Tavaliselt me eeldame, et kokkupuutuvad pinnad on piisavalt siledad ja kokkupuutepind on tasapinnaline. Lisaks liughõõdele äägitakse ka seisuhõõdejõust. Juhul kui keha on teise keha pinnal paigal ja me püüame teda välise jõu toimel liikuma panna, siis väikese jõu koal keha tavaliselt liikuma ei hakka, seda takistab pindade vaheline hõõdejõud, nn seisuhõõdejõud. Maksimaalset seisuhõõdejõudu iseloomustatakse analoogilise valemiga m = µ s N, kus suuust µ s nimetatakse seisuhõõdeteguiks. Samade pindade koal on seisuhõõdetegu alati suuem liughõõdeteguist. Kesktõmbejõud Ringjoonelisel liikumisel mõjub ingi tsentisse suunatud kesktõmbejõud v = m, kus v joonkiius ja ingi aadius. Kiiendust kesktõmbekiienduseks. a v / = nimetatakse Kesktõmbejõud ei kujuta endast ealdi jõuliiki, vaid annab jõu, mida tuleb akendada ingjoont (või ingjoone kaat) mööda liikuvale kehale, et see saaks püsida ingjoonelisel tajektooil. Auto liikumisel teekuvis tekitab selle ehvide ja tee vaheline seisuhõõdejõud. Näidisülesanne 4. Kui suu on inimesele massiga 70 kg mõjuv askusjõud Maa pinnal? m= 70 kg g = 9,8 m/s P =? Kehale mõjuv askusjõud avaldub valemiga P= m g. Avutamine annab tulemuseks P = ( 70 9,8) N = 690 N. Vastus: kehale massiga 70 kg mõjub askusjõud 690 N. 5

6 Näidisülesanne 5. Vedu venitamiseks 6 cm võa tuleb akendada jõudu 48 N. Kui suu on sellise vedu jäikus? Kui suut jõudu on vaja vedu venitamiseks 4 cm võa? x = 6 cm = 0,06 m = 48 N x = 4 cm = 0,04 m k =? =? elastsusjõu suunda. Vedu venitamisel mõjub vedus välisele jõule vastassuunaline elastsusjõud = k x, kus k on vedu jäikus ja x defomatsiooni suuus. Miinusmäk näitab Kuna defomatsiooni suuus ja jõud on antud, saame leida vedu jäikuse = k x k = x (miinusmägi võime avutamisel äa jätta, sest see on seotud ainult jõu suunaga). Avutamine annab tulemuseks 48 k = ( ) N/m = 800 N/m. 0,06 Jõu vedu venitamiseks 4 cm võa saame, kasutades äsja leitud jäikuse avaldist, avutada valemist = k x = (800 0,04) N = 3 N. (Teine võimalus on lähtuda jõudude suhtest / = x /x.) Vastus: vedu jäikus on 800 N/m, vedu venitamiseks 4 cm võa on vaja jõudu 3 N. Näidisülesanne 6. Auto pidudusteekond kiiuselt 90 km/h on asfaldil 36 m. Kui suu on autole pidudamisel mõjuv jõud? Auto mass koos juhiga on 400 kg. v 0 = 90 km/h = 5 m/s s = 36 m m= 400 kg =? Teeme joonise. 6

7 Autole pidudamisel mõjuva jõu saame avutada Newtoni II seadusest = m a. Eeldades, et auto pidudamisel on liikumine ühtlaselt aeglustuv, tuleb meil avutada auto piduduskiiendus, teades algkiiust ja pidudusteekonda. Lähtudes ühtlaselt aeglustuva liikumise valemitest, võime kijutada v0 a= (= 8,7 m/s ), s mis peale asendamist annab jõu avutamiseks valemi mv0 =. s Asendades algandmed, saame jõu väätuseks = ( ) N = 00 N =, kn. 36 Vastus: autole pidudamisel mõjuv jõud on, kn. Nagu näha, on pidudamisel mõjuv jõud küllalt suu. See on tingitud asjaolust, et tänapäeva autodel on väga hea piduid, mis tagavad suue piduduskiienduse (antud juhul a = 8,7 m/s ). Kommentaa: ABS piduid. Kõik tänapäeva autod vaustatakse blokeeumisvastaste, nn ABS piduitega, mis tagavad vajadusel autode pidudamise auto ehvide ja tee seisuhõõde piiil. Sel juhul on maksimaalne jõud, millega autot saab pidudada m = µ sn, kus µ s on auto ehvide ja tee seisuhõõdetegu. Hoisontaalsel teel sõites N = P= mg, mis annab auto maksimaalseks piduduskiienduseks a = µ s g (ühelt poolt m = ma, teiselt poolt m = µ smg ). Kui näiteks heade teeolude koal on ehvide (eeldame, et ka ehvid on head) ja asfaldi vaheline seisuhõõdetegu µ s =0,9, siis saame maksimaalseks piduduskiienduseks 8,8 m/s. Milles on ABS piduite eelis? Eelis on selles, et nad vajadusel (jäsul pidudamisel) tagavad maksimaalse piduduskiienduse ja väldivad ataste blokeeumist. Juhul kui jäsul pidudamisel attad blokeeuks ja auto hakkaks teel lohisema, siis piduduskiiendus oluliselt väheneb ja pidudusteekond pikeneb. Põhjus on selles, et lohisemisel määab piduduskiienduse liugehõõdejõud h = µ N, liugehõõdetegu on aga alati seisuhõõdeteguist oluliselt väiksem. Juhul kui hoisontaalsel teel sõites on seisuhõõdetegu µ s =0,9, siis vastav liugehõõdetegu on µ = 0,8, mis teeb piduduskiienduseks 7,8 m/s. Eiti kadinaalne vahe on jäisel pinnal sõitmisel, kus hõõdeteguid on vastavalt µ s =0, ja µ = 0,. Nüüd einevad piduduskiiendused kaks koda, mis tähendab, et pidudusteekond pikeneb bokeeunud ataste koal kaks koda. 7

8 Näidisülesanne 7. Kui suu on 50 cm pikkuse nööi otsas hoisontaaltasandis tiilevale kuulikesele mõjuv kesktõmbejõud, kui kuulikese mass on 50 g ja kuulike teeb täistiiu sekundiga? m = 50 g = 0,05 kg = 50 cm = 0,50 m T = s =? Teeme joonise, mis kujutab kuulikese tiilemist nööi otsas.. Kuulikesele mõjuv kesktõmbejõud avutatakse valemiga v = m. Mass ja aadius on antud, puudu on kuulikese joonkiius. Selle saame lihtsalt avutada, kuna kuulike teeb ühe täistiiu aja T jooksul (seda nimetatakse ka kuulikese tiilemispeioodiks) ja selle ajaga läbitud teepikkus on võdne ingjoone pikkusega s= π. Kuulikese joonkiius π v=. T Asendades kiiuse, saame kesktõmbejõu avutamiseks valemi m4π =. T Avutamine annab tulemuseks 0,05 4 π 0,5 = ( ) N = N Vastus: kuulikesele mõjuv kesktõmbejõud on N. Selle tekitab kuulikese tiilemisel kuulikest hoidva niidi tõmme. Näidisülesanne 8. Hoisontaalse pööleva ketta ääel on klotsike. Kui suu peaks olema klotsikese kiius, et ta kettalt maha libiseks, kui ketta aadius on 50 cm ja seisuhõõdetegu ketta ning klotsi vahel on 0,5? Kui suu on sel juhul ketta pöölemissagedus? = 50 cm = 0,50 m µ s = 0,5 g = 9,8 m/s v =? f =? Teeme joonise. 8

9 Vaatame juhtu kui klotsike on ketta ääel ja pööleb koos kettaga. Kui ketta ääepunkti kiius (nn joonkiius) on v, on selle kesktõmbekiiendus (suunaga ketta keskpunkti) v a=. Kuna ketta ääel olev klotsike liigub sama kiiusega, peab vastavalt Newtoni II seadusele mõjuma klotsikesele ketta keskpunkti suunatud kesktõmbejõud mv = ma=. Kust selline jõud tekib? Ainuke jõud, mis klotsikese liikumist saab mõjutada, on antud juhul ketta ja klotsikese vaheline hõõdejõud, mille maksimaalne väätus on = µ P= m g. h s µ s Jäelikult sõltub klotsikese püsimine kettal hõõdejõu suuusest. Juhul kui kesktõmbejõud on väiksem või võdne maksimaalse seisuhõõdejõuga, saab klotsike püsida kettal h, kui aga kesktõmbejõud on hõõdejõust suuem > ), ei saa klotsike enam kettal püsida. ( h Leiame klotsikese piikiiuse, millest suuematel kiiustel libiseb klotsike kettalt maha. See vastab jõudude võdsusele =, mis pikemalt välja kijutades annab h mv v =µ mg ehk = s µ s g. Siit avaldub kiius jägmiselt v= µ g. s Avutamine annab kiiuseks v = ( 0,50 0,5 9,8 ) m/s =,6 m/s. Leiame sellele kiiusele vastava ketta pöölemissageduse. Kui klotsike on veel ketta ääel, on ääepunkti joonkiius samuti v. Ühe täistiiu tegemiseks kuluv aeg ehk pöölemispeiood T avutatakse jägmiselt: ääepunkt läbib ühe täitiiu jooksul teepikkuse s = π, seega T π =. v Pöölemissagedus on võdne pöölemispeioodi pöödväätusega 9

10 f v = =. T π Avutamine annab pöölemissageduseks,6 f = ( ) p/s = 0,5 p/s. π 0,5 Vastus: klotsike ei saa enam kettal püsida kui tema joonkiius on suuem kui,6 m/s, st ketta pöölemissagedus on suuem kui 0,5 pööet sekundis..3 Newtoni seaduste lihtsamaid akendusi Selleks, et illusteeida Newtoni II seaduse lihtsamaid akendusi, vaatame mõningaid huvipakkuvaid eijuhte. Vaba langemine Vabaks lastud keha liikumine. Maa pinna lähedal vabaks lastud keha langeb vabalt askuskiiendusega g. See asjaolu jäeldub sellest, et kehale mõjub peale lahtilaskmist Maa keskmesse suunatud askusjõud P = m g. Võeldes seda Newtoni II seadusega = ma ja avestades, et antud juhul = P, saamegi tulemuseks a = g, mis tähendab, et keha kiiendus on võdne askuskiiendusega (ja suunatud alati vetikaalselt alla). Kui keha langeb kõguselt h, on kõgus ja langemise aeg t seotud vastavalt ühtlaselt muutuva liikumise valemite jägi jägmiselt (kehal algkiius puudus) g t h=, maapinnale langemisel on keha kiius 0

11 v= g t. (vaata sellekohast näidisülesannet 3 eelmisest peatükist kinemaatika) Hoisontaalselt visatud keha liikumine. Visates keha hoisontaalselt algkiiusega v 0, jääb keha vetikaalsihiline liikumine samasuguseks, nagu me eelnevas vaatasime. Hoisontaalsuunas aga jätkab keha ühtlast liikumist talle antud kiiusega v 0, sest hoisontaalsihis kehale ühtegi jõudu ei mõju (jõud oli suunatud vetikaalselt alla) ja Newtoni II seadusest jäeldub, et hoisontaalsuunaline kiiendus on võdne nulliga. Kui aga kiiendus on võdne nulliga, liigub keha ühtlaselt. Vaadates nüüd keha mingil ajahetkel t, saame öelda, et hoisontaalsuunas on keha läbinud teepikkuse s h = v 0 t ja sama aja jooksul langenud allapoole teepikkuse g t h= võa. Kiiuse avutamist vaatasime eelmises peatükis (näidisülesanne 5). Olgu veel lisatud, et vaba langemisega seotud ülesannetes me jätsime hõõdejõu, mis antud juhul kujutab endast õhutakistust, avestamata. Sõltuvalt keha kiiusest mõjub eaalsetele kehadele õhus liikumisel alati õhutakistus, mis sõltuvalt kiiusest on väikestel kiiustel võdeline kiiusega, suutel kiiustel aga võdeline kiiuse uuduga. Õhutakistuse avestamine teeb ülesande väga keeuliseks, mistõttu seda vaadatakse ainult üldfüüsika kususes. Väikeste kiiuste ja kõguste koal on õhutakistus väike ja selle võib jätta avestamata. Lõpetuseks mainime veel seda, et analoogiline autluskäik sobib ka sel juhul kui keha visatakse hoisondi suhtes mingi nuga α all algkiiusega v 0. Jällegi liigub keha hoisontaalsuunas ühtlase kiiusega ja vetikaalsuunas ühtlaselt muutuvalt (kiiendus võdub askuskiiendusega). Keha liikumise avutamiseks tuleb keha kiius lahutada hoisontaalsihiliseks ja vetikaalsihiliseks komponendiks: v = v0 cosα, vv v0 sinα. h = Hoisontaalsihiline kiius v h liikumisel ei muutu, vetikaalsihiline kiius aga muutub, kusjuues v v on vetikaalsihilise liikumise algkiius.

12 Liikumine kahe samasihilise jõu mõjul Kaks vastassuunalist jõudu. Vaatame Newtoni II seaduse akendamist juhul kui kehale mõjub kaks vastassuunalist jõudu ja. Sel juhul on kogujõud k = +. (Vektosummas on jõud alati plussmägiga, st vektoid alati liidetakse). Newtoni II seadus on aga kujul = m a +. Keha kiiendus on alati kogujõu (jõudude summa) suunas. Kui me teame jõudude väätusi, on ilmne, et keha liigub suuema jõu suunas. Jõudude väätused aga alati teada ei ole ja need tuleb lahenduse käigus leida. Sel juhul käitutakse jägmiselt, oletatakse, et kiiendus on ühe jõu, näiteks suunas (vaata joonist) ja kijutatakse sellele vastavalt välja Newtoni II seaduse skalaakuju. Selle saamiseks loetakse kiienduse suund positiivseks, mis tähendab, et nii kiiendus kui ka kõik kiiendusega samasuunalised vektoid võetakse avaldisse plussmägiga, vastassuunalised aga miinusmägiga (matemaatika seisukohalt on tegemist vektoite pojektsioonidega vektoite sihilisele koodinaatteljele, kus kiienduse suund on võetud positiivseks suunaks). Antud näite koal saaksime = m a. Kui nüüd edasise lahendamise käigus osutub, et kiienduse väätus tuleb positiivne, on meie oletus õige ja kiiendus on tõepoolest meie poolt valitud suunas. Teisalt tähendab see ka seda, et >, s.t. jõu väätus on suuem kui jõu väätus. Lahenduse käigus võib ka selguda, et kiiendus tuleb negatiivne (täpsemalt väljendades, kiienduse pojektsioon tuleb negatiivne). Sel juhul on kiienduse tegelik suund joonisel kujutatuga vastupidine. Viimane omakoda tähendab, et vaadeldaval juhul on jõud suuem kui. Seetõttu võime juhul, kui meil alguses jõudude väätused teada ei ole, mäkida kiienduse suuna suvaliselt, hilisem lahenduskäik annab kiienduse tegeliku suuna. Näidisülesanne 9. Auto massiga 3 t liigub paigalt ja saavutab liikudes ühtlaselt kiienevalt 5 sekundi päast kiiuse 0 m/s. Kui suu on mootoi veojõud, kui autole mõjub liikumisel konstantne takistusjõud 000 N.

13 m = 3 t = 3000 kg t = 5 s v = 0 m/s = 000 N t v =? Lahendame ülesande, lähtudes Newtoni seaduse üldkujust. Kõigepealt teeme joonise Nagu näha, mõjutab auto liikumist kaks jõudu, mootoi veojõud v, mis on auto liikumise sihiline ja takistusjõud t, mis on liikumisele vastassuunaline. Takistusjõud t ei ole siin mitte hõõdejõud tavamõistes, vaid auto liikumist takistav jõud, millesse annab oma panuse tuuletakistus kui ka hõõdumine auto ataste laagites, samuti veeehõõe, tingituna ataste veeemisest, jt liikumist takistavad jõud. Lähtume Newtoni II seaduse üldisest vektokujust = m a, k mille kohaselt autole mõjuv kogujõud on mootoi veojõu ja takistusjõu vektosumma k = +. Seega v + = ma. v t t Kijutame selle välja skalaakujul. Avestades, et autole mõjuvad jõud on samasihilised kuid eisuunalised ja võttes kiienduse suuna positiivseks, saame v t = ma (Et takistusjõud on kiiendusega vastassuunaline, tuleb ta võtta miinusmägiga). Kui auto saavutab paigalseisust aja t jooksul kiiuse v, on tema kiiendus v a=. t Asendades kiienduse, saame mv v t =, t millest mootoi veojõud avaldub kujul 3

14 mv v = t +. t Avutamine annab v = ( 000+ ) N = 7000 N. 5 Vastus: mootoi veojõud on 7000 N. Nagu lahenduskäigust selgus, läheb autol mootoi veojõud takistusjõu ületamiseks ja autole kiienduse andmiseks. Näidisülesanne 0. Hoisontaalsel pinnal lebab isttahukas massiga 5 kg. Kui suue kiiendusega hakkab isttahukas liikuma kui teda tõmmata hoisontaalsihilise jõuga 50 N? Risttahuka ja hoisontaalpinna vaheline hõõdetegu on 0,8. m= 5 kg T = 50 N µ = 0,8 g = 9,8 m/s Teeme joonise, millel on kujutatud isttahukale mõjuvad jõud. Nüüd jõudusid ohkem kui kaks. Kehale (isttahukale) mõjub tõmbejõud T, keha liikumisel mõjub veel liikumist takistav hõõdejõud h ja liikumistasandiga isti olev askusjõud P. a =? Jälle saab akendada eespool toodud kahe jõu ülesannet, sest keha libisemisel hoisontaalpinnal määavad liikumise liikumissihilised jõud. Kehale mõjub küll vetikaalsihiline askusjõud, kuid see on vastavalt Newtoni III seadusele tasakaalustatud pinna toeeaktsiooniga (hoisontaalpinna poolt isttahukale mõjuva jõuga, mida me joonisele ei kandnud). Seetõttu mingit vetikaalsihilist liikumist ei ole. Küll aga annab askusjõud keha libisemisel mõjuva ja liikumist takistava hõõdejõu. Hõõdejõud avaldub teatavasti kujul h = µ N, kus µ on pindadevaheline hõõdetegu ja N pinnaga isti olev õhumisjõud (nn. nomaaljõud). Kuna antud juhul on selleks askusjõud ( = P ), siis avaldub hõõdejõud kujul h = µ P= µ m g. Nagu öeldud, on keha tegelik liikumine määatud kahe jõuga ja liikumisvõand tuleb endiselt kujul T + = m a, h kus T on kehale liikumise sihis mõjuv tõmbejõud. 4 N

15 Ülesande edasine lahendamine on sama, mis eelnevas näites. Kijutame eelmise võandi välja skalaakujul. Avestades, et kehale mõjuvad jõud on samasihilised ja võttes kiienduse suuna positiivseks, saame T = h ma. Asendame hõõdejõu T µ m g = ma ja avaldame kiienduse T a = µ g. m Avutamine annab tulemuseks 50 a = ( 0,8 9,8) m/s =, m/s. 5 Vastus: isttahukas hakkab liikuma kiiendusega,3 m/s. NB! Hõõdejõuga ülesannetes peab olema lahendamisel ettevaatlik, sest juhul kui tõmbejõud on väike, ei hakka keha üldse liikuma ja me ei saa liugehõõdejõust sel juhul ääkida. Seetõttu tasub ka hõõdejõud libisemisel välja avutada (eelmises ülesandes h = 39, N) ja siis hinnata, kas antud tõmbejõu koal saab keha üldse liikuma hakata. T < h koal see ilmselt võimalik ei ole. Näidisülesanne. Keha massiga 5 kg ipub venimatu niidi otsas. Kui suu on tõmbejõud niidis keha liikumisel üles kiiendusega m/s? m= 5 kg a = m/s g = 9,8 m/s T =? T + P= m a. Teeme joonise, millel on kujutatud kehale mõjuvad jõud: niiti mööda üles suunatud niidi tõmbejõud T ja alla suunatud keha askusjõud P. Jälle on tegemist kahe samasihilise jõuga. Keha liikumise üldvõand on endine Liikumisülesande lahendamiseks tuleb see kijutada skalaakujule, avestades keha kiienduse suunda. Meie ülesandes liigub keha etteantud kiiendusega üles. Lugedes kiienduse suuna (alt-üles) positiivseks, saame võandi T P= m a ehk T m g = m a, 5

16 millest niidi tõmme avaldub kujul T = m( g+ a). Avutamine annab tulemuseks T = ( 5 (9,8+ ) ) N = 54 N. Kiiendusega üles liikumisel on niidi tõmme alati suuem keha askusjõust. See on ka ausaadav, sest tuleb ju tasakaalustada allapoole suunatud askusjõudu ja alles seda ületava tõmbejõu saab keha hakata liikuma kiiendusega üles. Juhul kui niidi tõmme on askusjõuga võdne, on keha kogukiiendus võdne nulliga. Keha võib olla paigal või liikuda ühtlase kiiusega kas üles või alla. Vastus: niidi tõmbejõud on 54 N. Näidisülesanne. Keha massiga 5 kg ipub venimatu niidi otsas. Kui suu on tõmbejõud niidis keha liikumisel alla kiiendusega m/s? m= 5 kg a = m/s g = 9,8 m/s T =? T + P= m a. Teeme joonise, millel on kujutatud kehale mõjuvad jõud: niiti mööda üles suunatud niidi tõmbejõud T ja alla suunatud keha askusjõud P. Jälle on tegemist kahe samasihilise jõuga. Keha liikumise üldvõand on endine Liikumisülesande lahendamiseks tuleb see kijutada skalaakujule, avestades keha kiienduse suunda. Meie ülesandes liigub keha etteantud kiiendusega üles. Lugedes kiienduse suuna (ülalt-alla) positiivseks, saame võandi P T = ma ehk mg T = ma. millest niidi tõmme avaldub kujul T = m( g a). Avutamine annab tulemuseks T = ( 5 (9,8 )) N = 39 N. Vastus: niidi tõmbejõud on 39 N. 6

17 NB! Siin toodud autluskäik kehtib kiienduste jaoks, mis ahuldavad tingimust a g. Eijuhul a = g on niidi tõmme võdne nulliga ja keha langeb vabalt askuskiiendusega g (sellist olekut nimetatakse kaaluta olekuks). Keha kaal Iga keha iseloomustab tema mass. Lisaks sellele äägitakse veel keha kaalust. Keha kaal on definitsiooni kohaselt jõud, mis on võdne selle keha poolt alusele või toele mõjuva jõuga. Sellest definitsioonist lähtudes on selge, et keha kaal pole kindel fikseeitud suuus, vaid sõltub tema liikumisolekust. Kaal võib omada väga einevaid väätusi ja olla isegi võdne nulliga. Sel juhul äägitakse kaaluta olekust. Eelmises kahes näites me tegelesime sisuliselt keha kaalu avutamisega, sest keha mõjutab niiti niidi tõmbega võdse kuid vastassuunalise jõuga, mis definitsiooni kohaselt ongi keha kaal. Nägime, et keha liikumisel allapoole keha kaal on väiksem kehale mõjuvast askusjõust, liikumisel ülespoole aga sellest suuem. Eijuhul kui keha langeb allapoole vaba langemise kiiendusega (askuskiiendusega) on niidi tõmme võdne nulliga ja sel juhul äägitakse kaaluta olekust. Juhul kui keha liigub üles või alla ühtlase kiiusega (kiiendus on võdne nulliga), on niidi tõmme võdne kehale mõjuva askusjõuga ja keha kaal samuti võdne temale mõjuva askusjõuga.. Analoogiline on olukod keha kaaluga liikuvas liftis, mis sõltub nii lifti kiiendusest kui liikumise suunast. Nüüd mõjub liftis olevale kehale askusjõud ja niidi tõmbejõu asemel lifti põanda poolt kehale mõjuv ülespoole suunatud jõud (keha omakoda mõjutab lifti põandat sama suue, kuid vastassuunalise jõuga, mis on antud juhul keha kaaluks). Kõvalolev joonis kujutab lifti liikumist kiiendusega a ülespoole. Lifti liikumine on tingitud lifti tossi poolt mõjuvast tõmbejõust T, mis tingib liftis olevale kehale (ka liftis sõitvas inimesele) põanda poolt mõjuva jõu T. Analoogiliselt niidi otsas ippuva kehaga saame tulemuseks T = m( g+ ). a Lifti liikumisel kiiendusega a allapoole saaksime tulemuseks T = m( g ). a Nagu öeldud, on keha kaal võdne jõuga, millega keha mõjutab lifti põandat, seega jõuga T, mida me joonise selguse huvides joonisele ei kandnud. Kaalu 7

18 väätuse saame aga avutada ülaltoodud valemitest. Eijuhul kui keha liigub ühtlaselt (a = 0) on kaal võdne kehale mõjuva askusjõuga, üldjuhul aga mitte. NB! Tasub teada, et vanemates õpikutes mõisteti kaalu all kehale mõjuvat askusjõudu ja sama võib leida ka mitmes kaasaegses õpikus. Seetõttu tasub iga aamatu koal selgeks teha, kuidas selle autoid kaalu käsitlevad. Näidisülesanne 3. Üle liikumatu ploki asetatud paela otstele on kinnitatud koomused massiga kg ja kg. Millise kiiendusega hakkavad koomused liikuma? Ploki mass, hõõdumine plokis ja paela mass jätta avestamata. m = kg m kg = g = 9,8 m / s a =? Anname kaks lahendust, millest esimene on üldine ja võimaldab lahendada ka teisi plokiülesandeid, teine aga lähtub lihtsatest füüsikalistest kaalutlustest. Esimese lahenduse koal kasutame juba tuntud kahe vastassuunalise jõu valemeid, teise lahenduse koal aga lähtume üldisest füüsikalisest ettekujutusest ploki liikumisel. Teeme joonise, millel on kujutatud kehadele mõjuvad jõud. Igale kehale mõjub tema askusjõud (suunatud allapoole) ja paela tõmbejõud (suunatud üles). Lahendus. Kehale massiga m mõjub allapoole suunatud askusjõud P = m g ja ülespoole suunatud paela tõmbejõud T. Teisele kehale massiga m mõjub analoogiliselt allapoole suunatud askusjõud P = m g ja ülespoole suunatud paela tõmme T (kuna paela tõmme on paelas igal pool ühesugune, on ka mõlemale kehale mõjuva tõmbejõu väätused ühesugused). Kui kehad poleks paelaga seotud, liiguks nad mõlemad askusjõu mõjul allapoole. Nüüd pole see aga võimalik, sest kui üks keha liigub allapoole, peab teine keha liikuma samapalju üles, ja vastupidi. Kumb keha liigub üles, kumb alla, sõltub sellest, kummale kehale mõjuv jõud (antud juhul askujõud) on suuem. Antud juhul m > m, mistõttu ka P > P. Seega liigub keha massiga m kiiendusega a allapoole ja keha massiga m sama kiiendusega üles. Kijutame nüüd välja mõlema keha liikumisvõandid. Vastavalt Newtoni II seadusele m a = P + T m a = P + T. Võttes kiienduse suuna positiivseks, saame nendest m a P T m a= T P =. 8

19 Kiienduse leidmiseks tuleb võanditest elimineeida niidi tõmme T. Selleks liidame ülemiste võandite vastavad pooled. Tulemuseks saame m a m a= P P +. Asendades P = m g ja P = m g ning võttes kiiendused sulgude ette ( m + m ) a= ( m m ) g saame kiienduse m m a= g. m + m Asendades avandmed, saame koomuste kiienduseks a = + = ( 9,8) m / s 3,3 m / s. Vastus: koomused hakkavad liikuma kiiendusega 3,3 m / s. Seejuues liigub suuema massiga koomus alla ja väiksema massiga koomus üles (meie oletus kehade liikumise kohta oli õige, kuna kiienduse väätus tuli positiivne). Lahendus. Kui meid huvitab ainult kiiendus, nagu antud ülesandes nõutakse, siis saab selle leida lihtsamalt, avestades, et kiiendus on avutatav kogujõu ja massi suhtest. Kehadele mõjuvad nende askusjõud, mis püüavad panna kehi liikuma ei suundades, seetõttu on nende kogujõud võdne jõudude vahega, kusjuues suuemast jõust tuleb lahutada väiksem k = P P = m m ) g. ( Kuna kiiendusega a hakkavad liikuma mõlemad kehad, on kogumass, mis liigub, võdne nende masside summaga m k = m + m. Kogujõu ja kogumassi suhtest saamegi kiienduse k m m a= = g. m m + m k Nagu näha, saime sama valemi, mis esimese lahenduse koal. Avutamine annab loomulikult sama tulemuse a= 3,3 m / s. 9

20 Vastus: koomused hakkavad liikuma kiiendusega 3,3 m / s. Jõu lahutamine komponentideks Newtoni II seaduse üldkuju võimaldas seda seadust akendada juhul kui kehale mõjub mitu jõudu koaga. Keha liikumise määab kogujõud ehk kehale mõjuvate jõudude kogusumma. Osutub, et vahel on vaja toimida ka vastupidi ja lahutada kehale mõjuv jõud kaheks komponendiks, mille vektosumma on võdne etteantud jõuga ja vaadata ealdi liikumisi lahutamisel saadud komponentjõudude sihis. Vaatame jõu lahutamist komponentideks veidi lähemalt, sest sellega tuleb füüsikas tihti kokku puutuda. Mingi jõu lahutamisel kaheks komponendiks tuleb meil leida sellised kaks vektoit, mille vektosumma on võdne selle sama jõuvektoiga = +. Sellist lahutamist saab teha lõpmata mitmel viisil ja sõltub sellest, milliseid komponentvektoeid me otsime. Tõepoolest, kuna kahe vektoi summa on võdne vektoiga, mis on ehitatud nendest vektoitest ehitatud ööpküliku diagonaalile, siis on selge, selliseid ööpkülikuid, mis on sama diagonaaliga, on lõpmata palju. Vektoi lahutamisel komponentideks tulebki toimida nii, et joonestada ööpkülik, mille diagonaal oleks lahutatava vektoi sihiline ja pikkus võdne selle vektoi mooduliga. Rööpküliku külgedele ehitatud vektoid ongi otsitavad komponentvektoid. üüsikalise pobleemi koal ei toimita vektoi lahutamisel komponentideks juhuslikult, vaid lähtutakse ülesande füüsikalisest sisust. Sel juhul antakse komponentvektoite suunad ette ja sel juhul on tulemus ühene. Oletame, et me oleme kehale mõjuva jõu lahutanud kaheks komponendiks. Kijutades mõlema komponendi jaoks Newtoni II seaduse kujul = m a ja m a =, ja kus a ja a on jõukomponentide sihilised kiiendused, on Newtoni II seadus = ma kehtiv, kusjuues keha tegelik kiiendus on võdne nn komponentkiienduste summaga a = a + a. Seega lubab matemaatika meil alati vajadusel vaadata keha 0

21 liikumisi mingites etteantud suundades, lahutades jõu vastavalt komponentideks. See, millisel viisil komponentideks lahutamist teha, sõltub tihti sellest kuidas vaadeldav keha liikuda saab. Näidisülesanne 4. Kui suue kiiendusega libiseb keha mööda kaldpinda alla, kui kaldpinna kaldenuk on 0 0? Hõõdumist kaldpinna ja keha vahel ei avestata. Vaatame keha kaldpinnal ja 0 α = 0 selgitame, millised jõud g = 9,8 m/s keha liikumist mõjutavad. Kehale mõjub askusjõud P a =?, kuid kuna keha asetseb kaldpinnal, siis ta vetikaalselt allapoole liikuda ei saa, keha saab liikuda ainult kaldpinda mööda alla. Keha ilmselt mõjutab ka kaldpinda, õhudes sellele pinna istsihis mingi kindla jõuga, mis sõltub kaldpinna kaldest. Kuna keha kaldpinnaga isti olevas sihis liikuda ei saa, siis mõjub kaldpinna poolt kehale istsihilist jõudu tasakaalustav jõud. Toodud autelust ilmneb, et keha liikumist mööda kaldpinda alla mõjutab kaldpinna sihiline jõud, tema õhumist kaldpinnale aga pinnaga isti olev jõud. See tähendab, et antud ülesandes tuleb kehale mõjuv askusjõud lahutada kaheks teineteisega isti olevaks komponendiks. Olgu keha mass m (mass pole meil küll antud, aga seda läheb meil jõu leidmisel esialgu vaja), siis keha askusjõud P = mg. Lahutame selle kaheks istsihiliseks komponendiks. Jooniselt on näha, et kui kaldpinna kaldenuk on teada, avalduvad komponentjõud jägmiselt = P sinα, = P cosα. Nagu öeldud, on jõud tasakaalustatud pinna poolt mõjuva nn toeeaktsiooniga, keha liikumise aga tingib kaldpinna sihiline jõud. See jõud määab äa keha kiienduse. Newtoni II seadusest ma = ehk skalaakujul ma= saame ma= Psinα mg sinα,

22 mis peale massi taandumist annab keha kiienduseks libisemisel mööda kaldpinda a= g sinα. Avutamine annab tulemuseks a = 0 = ( 9,8 sin 0 ) m / s 3,4 m / s. Vastus: keha libiseb mööda kaldpinda alla kiiendusega 3,4 m/s. Näidisülesanne 5. Millise kiiendusega liigub keha mööda kaldpinda alla, kui kaldpinna kõgus on m, pikkus m ja hõõdetegu keha ning kaldpinna vahel on 0,? h= m s = m µ = 0, g = 9,8 m/s a =? Teeme joonise. Kehale mõjuva askusjõu lahutame samamoodi kaheks komponendiks, nagu eelmises ülesandes: = P sinα, = P cosα. Einevus on nüüd selles, et kaldpinna kaldenuga asemel on antud kaldpinna kõgus ja pikkus. Nendest saab samuti leida kaldpinna kaldenuga siinuse ja koosinuse h s h sinα =, cosα =, s s lähtudes sellest, et meil on tegemist täisnukse kolmnugaga, mille hüpotenuus on s, kaatetid h ja s h. Hõõdejõu olemasolu koal mõjutab keha liikumist kaks jõudu, jõud ja liikumist takistav hõõdejõud h = µ N, kus N on hõõduvate pindade nomaali sihis mõjuv jõud. Kuna antud juhul N =, siis hõõdejõud h = k = kp cosα. Kuna hõõdejõud on alati liikumisele vastassuunaline, siis võime vastavalt Newtoni II seadusele kijutada ma= = = Psinα kp cosα = mg(sinα k cos ). k h α

23 Peale massi taandamist, saame kiienduse avutamise valemi a= g(sinα k cosα), mis siinuse ja koosinuse avaldist avestades annab h a= g ( k s s h s ) g s ( h k s h ) Avutamine annab 9,8 a= ( ( 0, )) m/s = 4, m/s. Vastus: keha liigub mööda kaldpinda alla kiiendusega 4, m/s. Siin ülesandes sõltub keha liikumine hõõdejõu suuusest ja seda tasuks ülesande lahendamisel analüüsida. Kui < h siis keha ei saa liikuma hakata. Antud ülesanne on ka näide selle kohta, kus ülesande füüsikaline sisu on lihtne (tuleb selgitada liikumapanev jõud ja liikumist takistav jõud), kuid lahendamine nõuab head matemaatika oskust., Näidisülesanne 6. Tammi ingtee aadius on 50 m. Tamm liigub sellel teeosal kiiusega 8 km/h. Kui suu peaks olema tee pofiili kalle, et tamm ei avaldaks ööbastele külgsuvet? = 50 m v = 8 km/h = 5 m/s g = 9,8 m/s α =? Teeme joonise tammile mõjuvatest jõududest Kui tamm sõidab ingteel (kuvis), siis ta liigub sõltuvalt kiiusest teatava kesktõmbekiiendusega a = v / ja selle peab tekitama ingi keskpunkti poole suunatud kesktõmbejõud v = m. Kui me tahame, et tamm ei avaldaks kuvis liikumisel ööbastele suvet, on ainukeseks tammile mõjuvaks jõuks tema askusjõud. See peab tagama kuvis liikumiseks vajaliku kesktõmbejõu. Lahutame askusjõu kaheks komponendiks selliselt, et üks oleks suunatud kuvi tsentisse ja teine isti kaldteega. Nagu jooniselt on näha, avaldub kuvi tsentisse suunatud jõukomponent askusjõu kaudu jägmiselt 3

24 = P tanα mg tanα. Juhul kui see jõukomponent tekitab kuvis liikumiseks vajaliku kesktõmbejõu, saame v mg tan α = m, millest omakoda saab avaldada tan α = v g Avutamine annab,5 tanα = = 0, ,8 tan α (ja tangensi väätusest nuga α) Nüüd on nuga leidmiseks kaks võimalust, kalkulaatoilt saame nuga väätuseks nugakaadides 0 α =,9. Kui me annaks vastuse adiaanides, saaks kasutada asjaolu, et väikeste nukade koal tan α =α, millest α = 0,05 ad. Vastus: selleks, et tamm ei avaldaks kiiusega 8 km/h liikudes ööbastele külgsuvet, peab tee pofiili kalle olema,9 0 (0,05 ad). Kuna teine jõukomponent on antud juhul kaldteega isti, ei avalda tammi attad ööbastele külgsuvet. Kommentaa. Analoogiline olukod on ka autoga kuvis liikumisel. Kuvis liikumiseks peab tekkima vajalik kesktõmbejõud. Selleks ehitatakse teekuvid kaldu (nö pofileeitakse). Kuna auto ei liigu ööbastel, siis sõltub auto liikumine kuvis oluliselt tee kaldest, samuti tee ja ehvide vahelisest hõõdejõust. Sõltuvalt teekaldest saame ülaltoodud valemist leida kiiuse, mille koal autole kuvis liikumisel külgsuvet ei avaldata v= g tanα. Seda kiiust võib lugeda ohutuks kiiuseks kuvi läbimisel. Kui aga auto kiius on suuem, on suuem ka kesktõmbejõud ja vajalik täiendav kesktõmbejõud saab tekkida tee ja ehvide vahelisest hõõdejõust. Siin on aga loomulik pii, sest kui hõõdejõust enam ei piisa, libiseb auto lihtsalt teelt välja. Lisaks selle võib auto paiskuda ka külili, sest autole mõjuvad jõud on akendatud einevalt, hõõdejõud mõjub teekatte ja ataste vahel, askusjõud ja kesktõmbejõud on aga akendatud masskeskmesse, mistõttu autole akendatud jõumomendid ei ole tasakaalus. Ülalöeldu on ka põhjuseks, miks teekuvid ehitatakse alati kaldega sissepoole. Kuvi kalle on enamasti avutatud selliselt, et seda saaks auto lubatud sõidukiiusega ohutult läbida. Kui kuvi ees kiiust piiavat mäki ei ole, siis tasuks avestada meil lubatud piikiiusega 90 km/h. Suuematel kiiustel ja ka libedaga muutub kuvi läbimine iskantseks. 4

25 .3 Hamoonilised võnkumised Võnkumised kujutavad endast peioodilisi liikumisi, kus keha oma liikumisel teatud ajavahemiku jäel läbib samu punkte. Liikumine on uumis piiatud ja toimub teatud ääepunktide vahel, läbides nn tasakaaluasendit ja kodudes peioodiliselt. Üks lihtsamaid peioodilisi liikumisi on siinuseline liikumine, kus keha kõvalekalle oma tasakaaluasendist avaldub kas siinuse või koosinuse kaudu. Siinuselisi võnkumisi nimetatakse hamooniliseks võnkumiseks. Kijeldades hamooniliselt võnkuva keha liikumist x-teljel, avalduks keha kõvalekalle jägmiselt x = Acos( ω t+ α), kus A on võnkumiste amplituud (maksimaalne kõvalekalle tasakaaluasendist) ja ω võnkumiste ingsagedus. Suuust ω t + α nimetatakse võnkumiste faasiks ja suuust α võnkumiste algfaasiks (faasi väätus ajahetkel t = 0). Hamoonilised võnkumised tekivad siis kui kehale mõjub elastsusjõud = k x. Võnkumiste ingsagedus on äa määatud jõutegui k ja võnkuma keha massi m kaudu jägmiselt k ω =. m Võnkepeiood T, mis annab aja, mille jooksul võnkumine kodub, on seotud ingsagedusega jägmiselt T π m = = π. ω k Ringsagedus on seotud võnkumiste sagedusega f (täisvõngete avuga ajaühikus) valemiga ω f =. π 5

26 Võnkepeiood (ühele täisvõnkele kuluv aeg) T ja võnkesagedus on teineteise pöödväätused T =. f NB! Reaalsetes süsteemides tekivad hamoonilised võnkumised enamasti suhteliselt väikestel hälvetel tasakaaluasendist, sest ainult väikestel hälvetel on jõud võdeline hälbega. Suuematel hälvetel lineaasus kaob. Seetõttu on paktilistes akendustes vaja alati teada, millistel hälvetel võime kehale mõjuvad jõudu lugeda elastsusjõuks. Isegi vedude koal, kus jõud on võdeline hälbega ka suhteliselt suute hälvete koal, on olemas oma elastsuspii, millest alates vedu venib välja ja tema algolek ei taastu. Vedu otsa iputatud keha võnkumine. Riputades vedu otsa kuulikese massiga m tekivad kuulikese väljaviimisel tasakaaluasendist hamoonilised võnkumised. Kuna kuulikesele mõjub ühelt poolt vedu elastsusjõud = k x ja teiselt poolt askusjõud P= m g, siis tekib uus tasakaaluasend x 0, kus need kaks jõudu on tasakaalus. Jõudude võdsusest k x0 = m g saame võnkepeioodi avutada vedu pikenemise x 0 ja askuskiienduse g kaudu jägmiselt T m x0 = π = π. k g Matemaatilise pendli võnkumine. Matemaatiliseks pendliks loetakse idealiseeitud süsteemi, mis kujutab endast venimatu ja kaalutu niidi otsa iputatud punktmassi. Viies pendli välja vetikaalsest tasakaaluasendist, tekivad väikestel hälvetel hamoonilised võnkumised, mille peiood avaldub pendli pikkuse l ja askuskiienduse g kaudu jägmiselt T l = π. g Võnkumised on veel küllalt heas lähenduses vaadatavad hamoonilistena isegi siis, kui niidi maksimaalne kõvalekalle on Suuematel hälvetel on pendli võnkumine peioodiline, aga ei avaldu enam hamoonilistel võnkumistel kehtiva lihtsa seosega. Näidisülesanne 7. Vedu otsa iputatud kuulikese mõjul pikeneb vedu 6 cm võa. Kui suu on sellise vedupendli võnkepeiood? 6

27 x = 6 cm 0, 06 m 0 = g = 9,8 m/s T =? Teeme joonise. Vasakul on vedu vabas olekus. Kuulikese iputamisel pikeneb vedu x 0 võa. Tekib tasakaaluasend, kus kuulikese askusjõud on tasakaalustatud vedu elastsusjõuga m g = k. x 0 Siit saame leida vedu elastsusjõu koefitsiendi (vedu jäikuse) m g k =. x 0 Kuulikese väljaviimisel tekkinud uuest tasakaaluasendist hakkavad vedu elastsusjõu mõjul toimuma hamoonilised võnkumised, mille ingsagedus avutatakse valemist k g ω = =. m x 0 Viimases võduses me avestasime vaem saadud elastsusjõu koefitsiendi avaldist. Võnkepeioodi saame leida valemist T π x = = 0 π. ω g Avutamine annab tulemuseks 0,06 T = ( π ) s= 0, 49 s. 9,8 Vastus: saadud vedupendli võnkepeiood on 0,49 s. Näidisülesanne 8. Kui pikk peaks olema kellapendli pikkus, et pendli võnkepeiood oleks sekund? Eeldame, et kellapendlit võib vaadata matemaatilise pendlina. T = s g = 9,8 m/s l =? 7

28 Teeme joonise, mis kujutab matemaatilise pendli võnkumist. Matemaatilise pendli võnkepeiood avutatakse valemiga T l = π. g Kuna meil võnkepeiood on antud, tuleb avutada pendli pikkus. Selleks võtame peioodi valemi uutu T l = 4π, g millest pendli pikkus T g l=. 4π Avutamine annab pendli pikkuseks 9,8 l = ( ) m = 0,5 m. 4 π Vastus: kellapendli pikkus peab olema 0,5 m (5 cm)..4 Mitteinetsiaalne taustsüsteem NB! Võib esimesel lugemisel vahele jätta. Seni me eeldasime, et taustsüsteem, milles me liikumisi vaatame on inetsiaalne. Teisisõnu me eeldasime, et alati kehtib Newtoni I seadus: vaba keha on kas 8

29 paigal või liigub ühtlaselt ja sigjooneliselt. Inetsiaalses taustsüsteemis kehtib kehade liikumisel Newtoni II seadus kujul = ma. k Siit jäeldub tõepoolest, et kui kehale jõudusid ei mõju (tegemist on vaba kehaga) või on kehale mõjuv kogujõud võdne nulliga, on ka keha kiiendus võdne nulliga ja keha liigub ühtlaselt ning sigjooneliselt (eijuhul võib olla ka paigal). Inetsiaalsed taustsüteemid ei ole aga ainukesed. Lisaks inetsiaalsetele taustsüsteemidele on olemas mitteinetsiaalsed taustsüsteemid. Need on taustsüsteemid, mis liiguvad mistahes intsiaalsüsteemi suhtes kiiendusega. Siget teed mööda ühtlase kiiusega liikuvat autobussi võime lugeda inetsiaalsüsteemiks. Kui aga autobuss väljub peatusest, siis ta teatud teelõigil liigub kiiendusega ja sel juhul on autobussiga seotud taustsüsteem juba mitteintsiaalne. Sama on pidudamise ajal peatusesse jõudmisel. Mitteinetsiaalses taustsüsteemis Newtoni seadus ülaltoodud kujul ei kehti, sest lisaks kehadele mõjuvatele tavajõududele tekivad mitteinetsiaalses süsteemis nn inetsijõud, mis võivad olla üsna keeukad ja sõltuvad otseselt mitteinetsiaalse taustsüsteemi kiiendusest. Lihtsa kujuga on inetijõud siis kui mitteinetsiaalne süsteem liigub inetsiaalse taustsüsteemi suhtes liikumissihilise kiiendusega a 0 (näiteks autobuss kiiendamisel või pidudamisel). Sel juhul mõjub selles süsteemis igale paigalseisvale kehale inetsijõud = ma 0. i Sellest valemist on näha, et inetsijõud on alati võdeline keha massiga ja suunatud süsteemi kiiendusele vastupidises suunas. Illusteeime seda jägmiste lihtsate joonistega. Vasakpoolsel joonisel alustab auto liikumist ja liigub seetõttu liikumissuunalise kiiendusega a 0. Kõikidele autos olevatele kehadele mõjub kiiendusele vastassuunaline inetsijõud (antud juhul ka liikumisele vastassuunaline). Auto pidudamisel on aga vastupidi (paempoolne joonis), auto kiiendus on liikumisele vastassuunaline, inetsijõud on aga suunatud auto liikumise suunas. Mõlemad jõud on tänapäeva ohtlikus liikluses üsna olulised. Nimelt, auto väga jäsul pidudumisel (näiteks autode kokkupõkel) võib inetsijõud paisata inimese 9

30 esiistmelt vastu auto esipaneeli ja klaasi, tekitades eluohtlikke vigastusi. Selliste vigastuste äahoidmiseks ongi kasutusel tuvavööd ja õhkpadjad, mis sellist liikumist takistavad. Tagant otsasõidul on aga inetsijõu mõjul liikumine vastassuunaline, mistõttu autos istuja pea paiskub tahapoole ja võib tekkida kaelaluu mud. Viimase äahoidmiseks on autoistmetel kaelatoed. Enamasti me loeme Maa pinnaga seotud taustsüsteemi inetsiaalseks. Tegelikult see üsna heas lähenduses nii ongi, kuid täpsemal analüüsil on vaja avestada Maa pinnaga seotud taustsüsteemi mitteinetsiaalsust, mis on tingitud Maa ööpäevasest pöölemisest oma telje ümbe. Maa pinna punktid liiguvad seetõttu kiiendusega ja tingivadki vastava taustsüsteemi mitteinetsiaalsuse. See mitteinetsiaalsus on küll väga väike (ekvaatoil asetseva maapinna punkti kesktõmbekiiendus on ainult 0,03 m/s ), kuid annab mitmeid otseseid füüsikalisi efekte, nagu näiteks see, et vabal langemisel ei lange kehad angelt vetikaalselt, vaid kalduvad veidi kõvale. Samal põhjusel ei ole ka askusjõud ainuüksi kehale Maa poolt mõjuv gavitatsioonijõud, sellesse annab väikese panuse ka Maa pöölemisest tingitud inetsijõud..7 Gavitatsioon Newtoni gavitatsiooniseadus Kahe punktmassi vahel mõjub tõmbejõud (gavitatsioonijõud), mis avaldub kujul mm = G, kus m ja m on kehade massid, kehadevaheline kaugus ja G gavitatsioonikonstant. Sama kujuga gavitatsiooniseadus kehtib ka siis kui üks või mõlemad kehad on keakujulised ja sfääilise massijaotusega. Sel juhul on kaugus keade keskpunktide vahel. Näidisülesanne 9. Kui suu on Maa ja Kuu vaheline gavitatsioonijõud? M = 5, kg m = 7,35 0 kg = 3, m G = 6, (N m 3 )/kg =? 30 Teeme joonise. kujutab joonisel Maa poolt Kuule mõjuvat gavitatsioonijõudu. Kuu mõjutab omakoda Maad sellega võdse, kuid vastassuunalise jõuga.

31 Maa massi M, Kuu massi m, Maa ja Kuu vahelise keskmise kauguse ja gavitatsioonikonstandi võtsime tabelist. Maa ja Kuu on mõlemad sfääilise massijaotusega, mistõttu nendevahelise gavitatsioonijõu leidmiseks saab kasutada Newtoni gavitatsiooniseadust tavalisel kujul M m = G, ainult kauguseks tuleb võtta Maa ja Kuu keskpunktide vaheline kaugus. Kõik andmed on meil olemas, tuleb ainult avutada tulemus 4 6,67 0 5,96 0 7,35 0 = ( ) 8 N = 0 0 N. (3,84 0 ) Vastus: Maa ja Kuu vaheline gavitatsioonijõud on 0 0 N. See jõud on tavamõistes ülisuu ja tingitud sellest, et vaatamata Maa ja Kuu vahelisele ülisuuele kaugusele on ka mõlema taevakeha massid ülisuued. Tavakehade omavaheline gavitatsioonijõud on eeglina üliväike ja me seda oma eaalelus ei tunneta. Nii on näiteks kahe kg kuulikese vaheline gavitatsioonijõud kui kuulikestevaheline kaugus on m üliväike: 6, kg. Gavitatsioonijõud on avestatav siis kui ühe keha mass on ülisuu, näiteks Maa ja maapinnal asetseva keha vaheline gavitatsioonijõud. Näidisülesanne 0. Kui suu on Maa ja maapinnal asetseva kg keha vaheline gavitatsioonijõud? M = 5, kg m = kg R = 6, m G = 6, (N m 3 )/kg =? 3 Teeme joonise. Joonisel on kujutatud maapinnal

32 olevale kehale Maa poolt mõjuv gavitatsioonijõud (maapinnal olev keha mõjutab Maad sama suue, kuid vastassuunalise jõuga). Kuna Maa on sfääilise massijaotusega, saame kasutada Newtoni gavitatsiooniseadust tavalisel kujul M m = G, R ainult, et seekod tuleb kehadevaheliseks kauguseks võtta Maa aadius. Kõik andmed on meil olemas, tuleb ainult avutada tulemus 4 6,67 0 5,96 0 = ( ) 6 N = 9,8 N. (6,37 0 ) Vastus: Maa ja Maa pinnal asetseva kg keha vahel mõjuv gavitatsioonijõud on 9,8 N. kg kehale mõjuv askusjõud on teatavasti P = ( 9,8) N = 9,8 N. Miks see nii on selgitame jägmises näidisülesandes. Näidisülesanne. Leida askuskiiendus Maa pinnal kui see on tingitud ainult Maa ja Maa pinnal asetseva keha vahelisest gavitatsioonijõust. M = 5, kg R = 6, m G = 6, (N m 3 )/kg g =? M m = G, R Maa on ja Maa pinnal asetseva keha vaheline gavitatsioonijõud on avutatav Newtoni gavitatsiooniseadust (vt eelmist joonist) kus M on Maa mass, m Maa pinnal oleva keha mass ja R Maa aadius. Maa pinna lähedal vabaks lastud kehad hakkavad Maa ja keha vahelise gavitatsioonijõu tõttu langema suunaga Maa keskpunkti poole. Seda nimetatakse vabaks langemiseks. Newtoni II seaduse kohaselt annab kehale mõjuv jõud kiienduse g (antud juhul vaba langemise kiienduse) = mg. Kuna jõuks on gavitatsioonijõud, siis M m = G = m g, R millest askuskiiendus 3

33 M g = G. R Avutamine annab tulemuseks 4 6,67 0 5,96 0 g = ( ) 6 m/s = 9,8 m/s. (6,37 0 ) Vastus: askuskiiendus, tingituna Maa ja Maa pinnal asetseva keha vahelisest gavitatsioonijõust, on 9,8 m/s. Kommentaa. Siin avutatud tulemus 9,8 m/s langeb väga hästi kokku meie poolt tavaavutustes kasutava askuskiienduse väätusega. Sellest võib jääda mulje, et askuskiiendus ongi tingitud ainult Maa ja Maa pinnal asetseva keha vahelisest gavitatsioonijõust. Osutub, et see päis nii ei ole. Raskuskiiendust mõjutab üsna vähesel määal ka Maa ööpäevasest pöölemisest tingitud mitteinetsiaalsus, mistõttu näiteks ekvaatoil on askuskiiendus väiksem kui poolustel (einevus on võdne meie poolt avutatud ekvaatoil asetseva maapinna punkti kesktõmbekiiendusega 0,03 m/s ). Nagu juba öeldud, võib paljudel juhtudel lugeda Maa pinnaga seotud taustsüsteemi inetsiaalseks, sest Maa pöölemisest tingitud mitteinetsiaalsus on küllalt väike. Täpsematel mõõtmistel tuleb aga mitteinetsiaalsust avestatada. 33

34 NB! Valemid, mis on vaja kindlasti meeles pidada. Newtoni II seadus Kehale mõjuv jõud määab keha kiienduse. Valemina = ma, kus m on vaadeldava keha mass. Juhul kui kehale mõjub samaaegselt mitu einevat jõudu, määab keha kiienduse kehale mõjuv kogujõud = ma. k Kehale mõjuv kogujõud k on võdne kõikide kehale mõjuvate jõudude vektosummaga k = + + L+ n. Raskusjõud P= m g, kus g on askuskiiendus ja m on vaadeldava keha mass. Elastsusjõud = k x, kus k on jäikus, x defomatsiooni suuus. Hõõdejõud Ühe keha libisemisel teise keha pinnal mõjub liikumissuunale vastupidine hõõdejõud h = µ N, kus µ on hõõdetegu (liugehõõdetegu) N on keha kokkupuutepinnaga isti olev jõukomponent (jõu nomaalkomponent). 34

35 Kesktõmbejõud Ringjoonelisel liikumisel mõjub kehale ingi tsentisse suunatud kesktõmbejõud v = m, kus v joonkiius ja ingi aadius. Kiiendust kesktõmbekiienduseks. a = v / nimetatakse 35

36 Ülesandeid iseseisvaks lahendamiseks. Kehale massiga 5 kg mõjub konstantne jõud 35 N. Milline on keha kiiendus? (,3 m/s ). Kaks keha liiguvad võdsete jõudude mõjul esimene kiiendusega m/s, teine 4 m/s. Esimese keha mass on 6 kg. Kui suu on teise keha mass? (,5 kg).3 Auto massiga 400 kg, alustades sõitu, saavutab s möödudes kiiuse 3 m/s. Eeldades, et auto liikumine oli ühtlaselt kiienev, leida autole mõjuv kiiendav jõud. (6,4 kn).4 Auto massiga t liigub kiiusega m/s. 8 s möödudes on auto kiiuseks 30 m/s. Kui suu on autot kiiendav jõud? (4,5 kn).5 Reaktiivlennuk kogumassiga 5 t peab õhkutõusmiseks saavutama kiiuse 6 km/h. Kui suu peab olema lennukile mõjuv tõmbejõud, et tõusta õhku km pikkusel stadiajal? (Õhutakistust lennukile ei avestata.) (0 kn).6 Naela lüüakse puusse haamiga, mille mass on,5 kg. Haame tabab naela pead kiiusega 6 m/s, löök kestab 0,00 s. Kui suu on naelale mõjuv keskmine jõud? Kui palju liigub nael ühe haamilöögiga puusse? (9 kn, 3 mm).7 Auto massiga 500 kg liigub esimesed 8 sekundit kiiendusega m/s ja jägmised 0 s kiiendusega m/s. Leida autole esimese 8 s jooksul mõjuv jõud, teise 0 s jooksul mõjuv jõud ja auto poolt 8 s jooksul läbitud teepikkus kui auto alustab sõitu paigalseisust. (3 kn,,5 kn, 74 m).8 Leida jõud, mis on vajalik kehale massiga 50 kg kiienduse 4, m/s andmiseks, kui a) keha liigub hoisontaalselt maapinnaga?, b) keha liigub vetikaalselt üles? (0 N, 700 N).9 Tõstuki mass on 800 kg. Millise kiiendusega ja mis suunas liigub tõstuk, kui tõstukit hoidvale tossile mõjub jõud: a) kn?, b) 6 kn? (5,3 m/s üles.,3 m/s alla).0 Teastaat peab vastu koomusele 4400 N. Millise suuima kiiendusega võib tõsta taadi otsa kinnitatud koomust massiga 400 kg, et taat ei katkeks? (, m/s ). Puust klots massiga kg asetseb hoisontaalsel puust pinnal. Kui suut hoisontaalse jõudu on vaja akendada, et panna klots liikuma? Kui suu peaks olema liikuvale klotsile mõjuv jõud, et klots liiguks ühtlase kiiusega? Pindadevaheline seisuhõõdetegu on 0,35, liugehõõdetegu 0,0. (3,4 N,,0 N). Autoehvi ja kiilasjää vaheline hõõdetegu on 0,05. Kas auto saab hakata hoisontaalsel kiilasjääga kaetud teel liikuma kiiendusega a) 0,4 m/s ; b) 0,7 m/s? (a) saab, b) ei saa).3 5 cm pikkuse niidi otsa kinnitatud kuulike massiga 75 g tiileb hoisontaalselt sagedusega p/s. Leida niidi tõmme. (3,0 N).4 Teekuvil kallutas jalgattu end 0 0 võa vetikaalsihist. Millise kiiusega ta sõitis kui kuvi kõveusaadius on 60 m? (0 m/s) 36