ΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΜΑΪΟΤ 06 ΣΑΞΖ : Β ΖΜ/ ΝΗΑ : 9 05 06 ΜΑΘΖΜΑ : Μαζεκαηηθά Καηεύζπλζεο Θέμα Α ( Α =0, Α = 5 ) ) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ i. Αλ ηόηε ii. iii. Οη επζείεο x x, y y είλαη θάζεηεο iv. o o Ζ επζεία κε εμίζσζε Αx + Βy + Γ = 0 είλαη θάζεηε ζην δηάλπζκα = (Α,Β) v. Ζ εμίζσζε ( x xo) ( y yo) παξηζηάλεη θύθιν κε αθηίλα ξ γηα θάζε πξαγκαηηθή ηηκή ηνπ ξ ) Έζησ, v δύν δηαλύζκαηα ηνπ επηπέδνπ κε 0 Να απνδείμεηε όηη v v Θέμα Β ( Β =, Β = 8, Β3 = 5 ) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα (,), (3, ) ^ ) Να βξείηε ηα,,,, ) Να δείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο. 3) Να βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ. Θέμα Γ ( Γ =, Γ = 6, Γ3 = 5) Γίλεηαη ε εμίζσζε x y ( ) x y 0 () όπνπ ι. ) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι ε εμίζσζε () παξηζηάλεη θύθιν θαη λα βξείηε ζπλαξηήζεη ηνπ ι, ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα. ) Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ () γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι. 3) Να δείμεηε όηη ε επζεία κε εμίζσζε x y 0 είλαη θνηλή εθαπηνκέλε όισλ ησλ θύθισλ πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ () γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι.
Θέμα Γ ( Γ = 5, Γ = 8, Γ3 = 5, Γ = 7 ) Γίλνληαη ηα ζεκεία Ο(0,0), Α(α,0) θαη Β (, ) όπνπ α, β ζηαζεξνί ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί. θαη κεηαβιεηό ζεκείν Μ ( x,0) κε 0 x. ) Να κεηαθέξεηε ηα παξαπάλσ ζεκεία ζε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ θαη λα δείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΟΑΒ είλαη ηζνζθειέο ) Αλ d ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Μ από ηελ πιεπξά ΟΒ θαη d ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Μ από ηελ πιεπξά ΒΑ, λα δείμεηε όηη ην άζξνηζκα d dείλαη ζηαζεξό (δειαδή αλεμάξηεην ηνπ x ) 3) Να δείμεηε όηη dd (O B) αλ θαη κόλν αλ ην ηξίγσλν ΟΑΒ είλαη νξζνγώλην. ) Αλ Γ, Γ νη πξνβνιέο ηνπ Μ ζηηο πιεπξέο ΟΒ, ΑΒ αληίζηνηρα, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Γ θαη Γ αλήθνπλ ζε θύθιν κε δηάκεηξν ηελ ΜΒ γηα θάζε ηηκή ηνπ x θαη λα βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ πνπ δηέξρνληαη από ηα ζεκεία Μ, Γ, Β, Γ. Παρατηρήσεις. Να απαληήζεηε ζε όια ηα ζέκαηα.. Κάζε επηζηεκνληθά ηεθκεξησκέλε ιύζε ζα ζεσξείηαη ζσζηή. Καλή επιτστία. Ο Γηεπζπληήο Οη Καζεγεηέο Αεξάθεο Α. Λέηηαο Η. Κώηζνπ Α.
Απαντήσεις Θέμα Α ), Λ,,, Λ ) Θεσξία Θέμα Β ) (,), (3, ) 5, 3 ( ) 0, 3 ( ) 6 5, ^ 5 5 5 ^,, 5 5 0 5 5 5 ) (3, ) (,) (, ) 3) ( ) 0 δειαδή ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην θαη αθνύ έρεη κηα γσλία 5 ν είλαη θαη ηζνζθειέο. 5 ( ) det(, ) 3 3 Θέμα Γ ) Α = -(ι+), Β = -ι, Γ = ι+ ( ( )) ( ) ( ) 8 8 8 Γηα λα παξηζηάλεη θύθιν ζα πξέπεη 0 8 0 0 Σν θέληξν είλαη ην Κ(, ) δειαδή Κ ( ι+, ι ) θαη αθηίλα 8 ) Αλαδεηνύκε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ( ι+, ι ) κε 0 Θέηνπκε x = ι+ θαη y = ι νπόηε x = y + ή y = x - Δπεηδή όκσο 0 έρνπκε όηη ( xy, ) (,0) πλεπώο ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ θέληξσλ Κ είλαη ε επζεία κε εμίζσζε y = x - ρσξίο ην ζεκείν (,0). 3) Αξθεί λα δείμνπκε όηη d(k,ε) = ξ. Δίλαη d(, )
Θέμα Γ ) Τπνινγίδνπκε ηηο πιεπξέο ηνπ ηξηγώλνπ (ΟΑ) = α ( ) ( 0) ( 0) ( ) ( ) ( 0) ( ) πλεπώο ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο κε θνξπθή ην Β. 0 ) πληειεζηήο δηεύζπλζεο ηεο ΟΒείλαη 0 θαη ε εμίζσζε ΟΒ : y 0 ( x 0) y x y x x y 0 x d d( M, OB) πληειεζηήο δηεύζπλζεο ηεο ΑΒείλαη είλαη 0 θαη ε εμίζσζε ηεο ΑΒ
y 0 ( x ) y x y x x y 0 x d d( M, B) x x x x d d Όκσο 0 x, 0 νπόηε x 0 x x θαη 0 x 0 x x 0 x x θαη επνκέλσο d x x x x d δειαδή ζηαζεξό. Σημείωση Απηό πνπ απνδείμακε ζηελ νπζία είλαη κηα γλσζηή πξόηαζε ηεο Δπθιείδεηαο Γεσκεηξίαο : Το άθροισμα τφν αποστάσεφν κάθε σημείοσ της βάσης ισοσκελούς τριγώνοσ από τις ίσες πλεσρές τοσ είναι σταθερό (και μάλιστα ίσο με το ύυος ποσ αντιστοιτεί σε μία από τις ίσες πλεσρές). Ζ απόδεημε κπνξεί λα γίλεη θαη κε ρξήζε Δπθιείδεηα Γεσκεηξίαο σο εμήο : Ζ αξρηθή ηδέα είλαη όηη αθνύ ζέινπκε ην άζξνηζκα λα είλαη ζηαζεξό γηα νπνηαδήπνηε ζέζε ηνπ Μ, ην άζξνηζκα απηό ζα είλαη ην ίδην θαη αλ ην Μ ηαπηηζηεί κε ην Ο ή ην Α. Έηζη θαηαιαβαίλνπκε όηη ην ζηαζεξό άζξνηζκα ζα πξέπεη λα ηζνύηαη κε ην ύςνο πνπ αληηζηνηρεί ζε κία από ηηο ίζεο πιεπξέο. Θα δείμνπκε ινηπόλ όηη γηα ηελ ηπραία ζέζε ηνπ Μ ηζρύεη όηη ΜΓ+ΜΓ=ΟΔ. Φέξλνπκε νπόηε ΜΓ=ΕΔ αθνύ ην ηεηξάπιεπξν ΜΕΔΓ είλαη νξζνγώλην. Δπίζεο ηα ηξίγσλα ΟΜΓ, ΟΜΕ είλαη ίζα δηόηη είλαη νξζνγώληα κε ΟΜ θνηλή θαη ˆ ˆ δηόηη ˆ ˆ από ην ηζνζθειέο θαη ˆ ˆ σο εληόο εθηόο θαη επί ηα απηά. πλεπώο ΟΕ = ΜΓ. Σειηθά ΜΓ + ΜΓ = ΟΕ + ΕΔ = ΟΔ. 3) Δίλαη
d d ( ) ( ) 0 0 Όκσο ηόηε ( ) ( ) δειαδή θαη επνκέλσο ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο. Σημείωση Αλ έρνπκε θαηαιάβεη όηη ην ζηαζεξό άζξνηζκα είλαη ίζν κε ην ύςνο ΟΔ θαη δεδνκέλνπ όηη αλ ην Δ δελ ηαπηίδεηαη κε ην Β, ηόηε ην ΟΔ ζα είλαη κηθξόηεξν από ην ΟΒ ( αθνύ ΟΒ ππνηείλνπζα ζην νξζνγώλην ΟΔΒ) ζπκπεξαίλνπκε όηη γηα λα ζπκβεί ΟΔ =ΟΒ ζα πξέπεη ην Δ λα ηαπηίδεηαη κε ην Β δειαδή ην ηξίγσλν λα είλαη νξζνγώλην ζην Β. ) Ο θύθινο κε εμίζσζε ηελ ΜΒ έρεη θέληξν ην κέζν Κ ηνπ ΜΒ κε ζπληεηαγκέλεο x Κ(, ) δειαδή Κ( x, ) θαη αθηίλα ξ = (ΜΚ) = x x ( x ) (0 ) ( ) πλεπώο αξθεί λα δείμνπκε όηη (ΚΓ)=(ΚΓ)= ( x ) Θα πξνζδηνξίζνπκε ηηο ζπλ/λεοηνπ Γ σο ην ζεκείν ηνκήο ησλ ΟΒ θαη ΜΓ ΜΓ : x y 0 ( x x ) y x xy 0 x Οη ζπλ/λεο ηνπ Γ είλαη νη ιύζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο y x x x Λύλνληαο ην ζύζηεκα βξίζθνπκε x, y
x x x ( ) ( ) ( ) x ( x ) x ( x ) x x 6 ( ) 3 x ( x ) x x x 6 ( ) 3 x ( x ) x x x 6 ( ) 3 ( x ) x x ( x ) x ( ) 6 ( ) 6 ( ) ( x ) x x x 8 x 6 6 6 x x 6 ( x ) 6 Με αλάινγν ηξόπν βξίζθνπκε όηη θαη (ΚΓ)=ξ Σημείωση Σν ηεηξάπιεπξν ΜΓΒΓ είλαη εγγξάςηκν αθνύ νη απέλαληη γσλίεο Γ, Γ είλαη παξαπιεξσκαηηθέο θαη επνκέλσο ηα ζεκεία Μ,Γ,Γ,Β είλαη νκνθπθιηθά αλεμάξηεηα από ηε ζέζε ησλ Μ,Γ,Γ. Δπίζεο αθνύ γηα λα είλαη κηα εγγεγξακκέλε γσλία νξζή ζα πξέπεη λα βαίλεη ζε εκηθύθιην ζπκπεξαίλνπκε όηη ε ΜΒ ζα είλαη δηάκεηξνο θαη επνκέλσο ην θέληξν ην κέζν Κ ηνπ ΜΒ. Σν θέληξν Κ( x, ) έρεη ζηαζεξή ηεηαγκέλε ίζε κε πνπ ζεκαίλεη όηη θηλείηαη ζηε ζηαζεξή επζεία y. Δπεηδή όκσο 0 x έρνπκε x 3 3 0 x 0 x x 3 x πλεπώο ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ Κ είλαη ην επηζύγξακκν ηκήκα κε άθξα ηα 3 (, ), (, ) δειαδή ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΟΒ θαη ΑΒ ζεκεία αληίζηνηρα.