ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ - ΕΙΚΟΝΑΣ ΚΑΙ ΑΣΑΦΗΣ ΛΟΓΙΚΗ (fuzzy logic) ΔΠΜΣ ΗΕΠ /64
Albert Einstein Lecture to Prussian Academy 9 ΔΠΜΣ ΗΕΠ /64
ΔΠΜΣ ΗΕΠ 3/64
ΔΠΜΣ ΗΕΠ 4/64
Α. Γενικά Ασαφή σύνολα Fuzzy set Crisp set Βαθός συετοχής 0.7 0.3 0 8 55 φωτεινότητα φ00 Βαθός συετοχής 0 8 55 φωτεινότητα ΔΠΜΣ ΗΕΠ 5/64
Fig.. Representation of ofcolours as asfuzzy subsets. ΔΠΜΣ ΗΕΠ 6/64
(αντι)παράδειγα ΔΠΜΣ ΗΕΠ 7/64
ΔΠΜΣ ΗΕΠ 8/64
τελικά.. ευχάριστα Ένα ασαφές σύνολο ορίζεται ε την συνάρτηση συετοχής f(τ) για ία εταβλητή Τ 0 5 30 35 Τ ΔΠΜΣ ΗΕΠ 9/64
Μπορεί ένα στοιχείο να ανήκει σε δύο σύνολα??? ευχάριστα ζεστά 0 0 5 0 5 30 35 Τ ΔΠΜΣ ΗΕΠ 0/64
Συναρτήσεις συετοχής Χαρακτηριστικές ορφές ασαφών συνόλων Τριγωνική Τραπεζοειδής 0 0 ΔΠΜΣ ΗΕΠ /64
(συν.) άλλες ορφές f (x;a,c ) - f (x;a,c ) ΔΠΜΣ ΗΕΠ /64
Β. Πως παριστάνονται τα ασαφή σύνολα A ~ N Α(x) Α(x ) Α(xN) + +... + x x xn i Α (x x i i ) Ασαφές Σύνολο ε ένα στοιχείο ονοάζεται singleton 0 0 x είναι ο βαθός συετοχής membership function (το σύβολο + δεν σηαίνει άθροισα) ΔΠΜΣ ΗΕΠ 3/64
Γ. Πράξεις στα ασαφή σύνολα (Zadeh) Ενωση Α Β(x) Α(x) Β(x) max{ Α (x), Β (x)} Τοή Α Β(x) Α(x) Β(x) min{ Α (x), Β (x)} Συπλήρωα Α ( x) Α (x) Οι πράξεις αυτές πορούν να ορισθούν και ε άλλους τρόπους. πχ. Α Β Α Β (x) (x) Α Α (x) (x) (x) + Β Β (x) Α (x) (x) Β ΔΠΜΣ ΗΕΠ 4/64
Τοή,ένωση, συπλήρωα - γραφικά ΔΠΜΣ ΗΕΠ 5/64
Ασαφείς κανόνες IF-THEN rules Είναι ένας τρόπος επεξεργασίας Αποτελείται από ένα σύνολο συνθηκών (υποθέσεων) στην είσοδο(antecedent) και ία συνθήκη (δράση-απόφαση ) στην έξοδο (consequent). H εύρεση των κανόνων συνδέεται ε εθόδους οαδοποίησης (clustering) IF (x,a ) THEN (y,b ) IF (x,a ) AND (x,a ) THEN (y,b ) IF (x,a ) AND (x,a ) THEN (y,b 3 )......... συνήθως: AND minimum, x x OR maximum ΔΠΜΣ ΗΕΠ 6/64
Συνεπαγωγή (inference) Eιναι η διαδικασία που δίνει αριθητικές τιές στους ασαφείς κανόνες Οι τεχνικές συνεπαγωγής περιλαβάνουν και την συνολική εκτίηση των κανόνων στην έξοδο Οι πλέον γνωστές τεχνικές είναι:. max-min (Mamdani) διακριτές τιές. max-product (Correlation product)- διακριτές τιές 3. max-min (Mamdani) ασαφές σύνολο 4. max-product (Correlation product)- ασαφές σύνολο 5. Sugeno ΔΠΜΣ ΗΕΠ 7/64
. max-min (Mamdani)-διακριτές τιές Α Α Β Α Α Β Input (i) Input (j) y ΔΠΜΣ ΗΕΠ 8/64
. max-product (Correlation product)- διακριτές τιές Α Α Β Α Α Β Input (i) Input (j) y* ΔΠΜΣ ΗΕΠ 9/64
3. max-min (Mamdani)-ασαφή σύνολα Α Input (i) Input (j) Α Β Input (i) Α Input (j) Α Β y* ΔΠΜΣ ΗΕΠ 0/64
4. max-product (Correlation product)- ασαφή σύνολα Α Input (i) Input (j) Α Β Input (i) Α Α Input (j) Β y* ΔΠΜΣ ΗΕΠ /64
5. «Sugeno» συνεπαγωγή Α Α w z Α Α w Input (i) Input (j) z y*σw i z i Παρατήρηση: Στη έθοδο Sugeno ΔΕΝ απαιτείται διαδικασία αποσαφήνισης (defuzzification) ΔΠΜΣ ΗΕΠ /64
max-min (Mamdani) συνεπαγωγή - παράδειγα ΔΠΜΣ ΗΕΠ 3/64
max-min - ο παράδειγα ΔΠΜΣ ΗΕΠ 4/64
συνεπαγωγή Sugeno -παράδειγα ΔΠΜΣ ΗΕΠ 5/64
Αποσαφήνιση (defuzzyfication) Α. Μaximum (z*) (z) για κάθε z z* z B. Κέντρο βάρους (Centroid) z (z) z dz (z) dz Γ. Μέση τιή-των εγίστων (συνήθως σε συετρικά σύνολα) z (z) z (z) z* z z ΔΠΜΣ ΗΕΠ 6/64
Αποσαφήνιση - Παράδειγα 0.4 0. 0 0 4 6 0.6 0.4 0. 0 0 4 6 8 0.5 0 4 6 8 0 0.8 0.6 «άθροιση» 0.4 0. 0 0 4 6 8 Κέντρο βάρους (Centroid) z (z) z dz (z) dz 3.6 4 z 3 (0.3z)zdz + (0.3)zdz + zdz +... 0 3.6 3.6 4 z 3 (0.3z)dz + (0.3)dz + dz +... 0 3.6 4.9 Μέση τιή- (Weighted average) (0.3.5) + (0.5 5) + ( 6.5) z 0.3 + 0.5 + 5.4 ΔΠΜΣ ΗΕΠ 7/64
Καθορισός των παραέτρων (tuning) Οι παράετροι συνήθως είναι αυτές που καθορίζουν την ορφή στα«ασαφή» σύνολα εισόδου - εξόδου Οι έθοδοι που χρησιοποιούνται βασίζονται στις γνωστές τεχνικές όπως: α) Νευρωνικά δίκτυα β) Γενετικοί αλγόριθοι γ) Βάθωση δ) ANFIS matlab(adaptive Neuro-fuzzy Inference System). ΔΠΜΣ ΗΕΠ 8/64
Ασαφές σύστηα - ΣΥΝΟΨΗ Ασαφοποίηση Fuzzification Συνεπαγωγή Inference Αποσαφήνιση Defuzzification ΔΠΜΣ ΗΕΠ 9/64
ΔΠΜΣ ΗΕΠ 30/64
Β Fuzzy γεωετρία Πως θα βρούε περίετρο και εβαδό?? εβαδό ΔΠΜΣ ΗΕΠ 3/64
περίετρος συπαγότητα ΔΠΜΣ ΗΕΠ 3/64
Β Μέτρηση της ασάφειας σε εικόνα Η ασάφεια είναι 0 εάν όλατα i είναι 0 ή (π.χ. binary image). Η έγιστη τιή βρίσκεται όταν όλα τα i 0.5 ΔΠΜΣ ΗΕΠ 33/64
Κατωφλιοποίηση ε ελαχιστοποίηση της ασάφειας Το βέλτιστο κατώφλιο βρίσκεται ε ετακίνηση της S-function και έτρηση της «ασάφειας» ΔΠΜΣ ΗΕΠ 34/64
αρχική εικόνα εχιστοποίηση ασάφειας ΔΠΜΣ ΗΕΠ 35/64
Β3. Fuzzy Οαδοποίηση Αλγόριθος Fuzzy C-Means (fcm) v X k U k n σηεία, c κέντρα U ik ητιήσυετοχής του X k στο κέντρο V i ο βήα: U k U ik c i U ik υπολογισός των U ik c d i ik d ik όπου : γιά k,,.. n 0 < U d ik X n k i ik X k < n v ΔΠΜΣ ΗΕΠ 36/64
Fuzzy C-Means (fcm) v X k ο βήα: υπολογισός των κέντρων V i U k U k V i n k n U k m ik U X m ik k i K c J m υπολογισός του «κόστους» n c k i U m ik X k X i v ΔΠΜΣ ΗΕΠ 37/64
Πίνακας διαερισού Partition matrix Παράδειγα (3 σηεία κέντρα) U ik 0.9 0.58 0.3 0.09 0.4 0.87 Σύγκλιση τερατισός του αλγορίθου fcm J(n+)-J(n) ε ή {Uik(n + )} {Uik(n)} ε ΔΠΜΣ ΗΕΠ 38/64
Πίνακας διαερισού και ασάφεια U ik 0.9 0.58 0.3 0.09 0.4 0.87 U ik 0.9 0.80 0.0 0.09 0.0 U ik 0.0 0 0 ik * U T ik.84 0.4386 0.4386 0.944 U ik * U T ik.468 0.49 0.49.048 U ik * U T ik 0 0 trace/3 0.7076 Trace/30.8387 Τrace/3 ΔΠΜΣ ΗΕΠ 39/64
x x x x 3 4 {,3} {3,} Παράδειγα fcm n4,c {.5,3.} {.3,.8} 4 3 0 0 3 4 ο βήα:υπολογισός των U ik Θέτουε αυθαίρετα {U (0) ik } 0 Αρχικοί υπολογισοί 0 0 0 ο βήα: υπολογισός των κέντρων V i V U X 3 X + 3 Χ + UX U + U X3 + 3 + U + U 3 3 X3 + U + U 4 4 X 4 X + X + X3 + + +.5 +.3 3 + 3. +.8 {, } {.6,3} 3 3 U Χ + UX U + U + U + U X3 + U + U X X 3 4 4 4 V 3 4 {3,} ΔΠΜΣ ΗΕΠ 40/64
Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ΔΠΜΣ ΗΕΠ Σ. Φωτόπουλος ΠΑΝ. ΠΑΤΡΩΝ 4/64 Παράδειγα fcm fcm (συνέχεια) η επανάληψη -ο βήα:υπολογισός των U ik η επανάληψη -ο βήα:υπολογισός των U ik η επανάληψη 0.0 ) ( 3) (3 d.65 3) (.6) (3 d.47 ) (.8 3) (.3 d 0. 3) (.8.6) (.3 d.66 ) (3. 3) (.5 d 0.3 3) (3..6) (.5 d.8 ) (3 3) ( d 0.6 3) (3.6) ( d 4 4 3 3 + + + + + + + + 0 0.65 d d d d 0.993.47 0. d d d d 0.986.66 0.3 d d d d 0.99.8 0.6 d d d d 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 + + + + + + + + 0 0.007 0.04 0.009 0.993 0.986 0.99 } {U () ik... 0.007... 0.04... 0.009... 4 3 Οοίως:
η επανάληψη οβήα: υπολογισός των κέντρων V i η επανάληψη (συνέχεια) UΧ + UX + U3X3 + U4X4 0.99 X + 0.986 X + 0.993 X3... U + U + U + U 0.99 + 0.986 + 0.993 V 3 4 {.6,3} UΧ + UX + U3X3 + U4X4 0.009 X + 0.009 X + 0.007 X3 + X4... U + U + U + U 0.009 + 0.009 + 0.007 + V 3 4 {3,} Έλεγχος σύγκλισης () (0) () (0) {Uik Uik } max ικ ik i,k 0.034 Εάν η τιή αυτή είναι ικανοποιητική σταατά η διαδικασία. Διαφορετικά προχωρούε σε η επανάληψη ΔΠΜΣ ΗΕΠ 4/64
B4 Βελτίωση του Contrast Από την εργασία S.K.Pal and R.A. King 98 Μία εικόνα που παριστάνεται ε την ορφή πίνακα: IMAGE g(n,n ) x x x M x 3 N x x x 3 M x N L L L L L x x x x n n 3n M N n L L L L L x x x x N N 3N M N N ΔΠΜΣ ΗΕΠ 43/64
Ασαφοποίηση : gray levels X 3 N /x /x /x M /x 3 N 3 N /x /x /x M /x 3 N L L L L L n n 3n Nn /x /x /x M /x n n 3n Nn L L L L L N N 3N NN /x /x /x M /x N N 3N NN 0.5600 0.5900 0.4500 0.5800 0.5700 0.5700 0.4800 0.5600 0.4700 0.5900 0.4500 0.5900 0.5900 0.5500 0.4000 0.4600 0.4700 0.4300 0.400 0.4300 0.4500 0.5400 0.5500 0.5700 0.400 ΔΠΜΣ ΗΕΠ 44/64
Τροποποίηση της συνάρτησης συετοχής αύξηση του contrast τελεστής INT Η επίδραση του τελεστή INT σε ένα σύνολο Α θα δώσει ένα άλλο σύνολο Α' ε λιγότερη ασάφεια. Ο INT πορεί να οριστεί ως εξής: [ ( x) ], ( ( x) ) ( x) [ ], 0 0.5 ( x) ( x) 0.5 ' mn mn ΔΠΜΣ ΗΕΠ 45/64
Αποσαφήνιση : Gray levels x n n x max F d ( (G)) F e ΔΠΜΣ ΗΕΠ 46/64
Συνοψη της διαδικασίας του τελεστού ΙΝΤ. ασαφοποίηση n n ( ) Fe x x max F d n n G( xn n ). εφαρογή του τελεστού ΙΝΤ εάν ( ) 0.5 εάν > > 0.5 3. αντίστροφη διεργασία x n n x max F d ( ( G)) F e SET F d, F e, α F d F e α IN G() T r () G - ( ) OUT ΔΠΜΣ ΗΕΠ 47/64
CONTRAST ENHANCEMENT ε τον τελεστή INT (ο παράδειγα) α β γ δ ε (α) Η αρχική εικόνα, (β) το αποτέλεσα από το histogram equalization, το αποτέλεσα του αλγορίθου για (γ) F e, F d 55, r, (δ) F e, F d 5, r και (ε) F e, F d 49.5, r. ΔΠΜΣ ΗΕΠ 48/64
B5. Βελτίωση του contrast ε κανόνες Τροποιείται το ιστόγραα ως εξής:. Ασαφοποίηση των τιών των pixels. Συνεπαγωγή (πχ. IF σκοτεινό THEN g min κλπ) 3. Αποσαφήνιση (Sugeno) σκοτεινό g g min + σκοτεινό γκρίζο + g γκρίζο mid + + φωτεινό φωτεινό g max Tizhoosh 997 σκοτεινό γκρίζο φωτεινό g min g mid g max 0 8 55 φωτεινότητα g 0 8 55 φωτεινότητα g ΔΠΜΣ ΗΕΠ 49/64
Β6. Rule-based fuzzy edge detection Russo, F., Ramponi, G. (994): Edge extraction by FIRE operators ΔΠΜΣ ΗΕΠ 50/64
B7. Basic Edge Extractor ηέξοδος: P q y Τα ασαφή σύνολα: D(difference), E (equal), L (low) και H (high) Οι κανόνες st rule D D D E E o o o THEN H D D nd rulee o o D E o THEN H 3rd rule o D E D o E o o THEN H E 4th ruleo o D o o D E THEN H Else rule THEN L ΔΠΜΣ ΗΕΠ 5/64
Χάρτης ακών Ακές ετά από κατωφλιοποίηση ΔΠΜΣ ΗΕΠ 5/64
B8. Φιλτράρισα ε ασαφή λογική Από τις εργασίες: F. Russo και G. Ramponi Μετρούενο Μέγεθος: διαφορές του κεντρικού pixel g mn από τα γειτονικά του g ij. x ij g ij -g mn Ηέξοδοςy mn αποτελεί ία «διόρθωση» τηςαρχικήςτιήςτουpixel g mn : g mn g mn +y mn ΔΠΜΣ ΗΕΠ 53/64
Ασαφή σύνολα εισόδου:mn,mp εξόδου:sν, SP και Ζ. MN MP SN ZE SP -L+ L- -L+ L- Συνεπαγωγή: IF x m-,n- is MP.. AND x m+,n+ is MP THEN y mn is SP IF x m-,n- is MN.. AND x m+,n+ is MN THEN y mn is SN ELSE y mn is ZE ΔΠΜΣ ΗΕΠ 54/64
os κανόνας P P P P P P P P THEN SP Σε διάγραα: ος κανόνας N N N N N N N N THEN SN Else THEN Z ΔΠΜΣ ΗΕΠ 55/64
B8. Οι ασαφείς κανόνες αναφέρονται σε παραέτρους (αυρόασπρη εικόνα) α)οντέλο σήατος x(i,j)s(i,j)+n(i,j) β)επιθυητό φιλτράρισα: οάδα : οογενής περιοχή +Uniform θόρυβος οάδα : οογενής περιοχή + Normal θόρυβος οάδα 3: οογενής περιοχή + Exp. Θόρυβος midpoint filter mean filter median filter οάδα 4:ακή (λεπτοέρεια) + Uniform or Gaussianθόρυβος identity filter οάδα 5:ακή (λεπτοέρεια) + Impulsive θόρυβος median filter γ) παράετροι : K(i,j)σ (i,j)/( σ n + σ (i,j)) Q α (i,j) I(i,j) x(i,j)-median(i,j) / σ n local statistics tail behavior impulse detection ΔΠΜΣ ΗΕΠ 56/64
δ) Ασαφή σύνολα ε)κανόνες If K is small and Q a is small then x(i,j) οαδα If K is small and Q a is medium then x(i,j) οαδα If K is small and Q a is Large then x(i,j) οαδα3 If K is Large and I is small then x(i,j) οαδα4 If K is large and I is Large then Εξοδος του φίλτρου: y(i, j) 5 k k k x(i,j) οαδα5 (i, j) ω k k (i, j) (i, j) ΔΠΜΣ ΗΕΠ 57/64
B.9 Εγχρωη εικόνα - φιλτράρισα παράετροι: α) απόκλιση v( X) β) Δυναικό, "άθροισα δυναικού" i P( ) K Nh i h Διαχωρισός σε 3 οάδες (classes) n (X i X) Ασαφή σύνολα (fuzzy sets). N N g( X) N X - X -p X K( X) ( π ) / exp -X p N N i P( X i ) ( ) first class v(x), g(x) large. second class v(x) large,g(x) small. third class v(x) small ΔΠΜΣ ΗΕΠ 58/64
Κανόνες Rule:IF (v,large) AND (g, Large) THEN (Class) Rule:IF (v,large) AND (g, Small) THEN (Class) Rule3:IF (v,small) THEN (Class3) min( L (v), L (g)) min( L (v), S (g)) 3 S (v) first class second class third class pixel is selected as the filter output (VMF) /3 of the total number is averaged all the pixels are selected and averaged. X Vector Μedian N/3 points Averager N points Averager Defuzzification output(x) 3 m m 3 m (X) y m m (X) (X) g(x) v(x) Fuzzy Inference output(x) Το fuzzy φίλτρο σε διάγραα βαθίδων ΔΠΜΣ ΗΕΠ 59/64
(α) (β) α)εικόνα ε θόρυβο: gaussian (0,6) and impulsive (%) β)η έξοδοςτουπροτεινοένου fuzzy filter ΔΠΜΣ ΗΕΠ 60/64
Ερωτήσεις εργασίες. Nα βρεθούν παραλλαγές του fcm (απότοδιαδίκτυο web of science). Να υλοποιηθεί ο τελεστής ΙΝΤ 3. Να υλοποιηθεί η διαδικασία Rule based contrast enhancement και να συγκριθεί ε κλασσικές εθόδου 4. Να εκτελεσθεί ένα βήα του αλγορίθου fcm γιατοσύνολοτωνσηείων: x(,) ψ(,), z(3,3) ω(3,4) ΔΠΜΣ ΗΕΠ 6/64
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Matlab: http://www.mathworks.com/access/helpdesk_r3/help/pdf_doc/fuzzy/fuzzy_tb.pdf Zadeh,L.A.,"Fuzzy sets" Information and Control, Vol. 8, pp. 338-353, 965 Zadeh,L.A.,"Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision processes" IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Vol.3, No., pp.8-44, Jan 973 Dubois D. and Prade H., "Fuzzy sets and Systems, theory and applications" Academic, New York, 980 Bezdec, J., " Pattern recognition with fuzzy abjective function algorithms" Plenum Press, New York, 98 Terano T., Asai K., and Sugeno M., "Fuzzy system theory and its applications" Academic Press, San Diego, CA, 99 B.Kosko "Neural Networks and Fuzzy systems" Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs,NJ,99 F.Russo "Nonlinear Fuzzy Filters: An overview" Proc. ECCTD96, Trieste, Sept 0-3, 996 Τ. Ross " Fuzzy Logic with Engineering Applications" Mc Graw Hill, Inc., 995 http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/fuzzy/index.html ΔΠΜΣ ΗΕΠ 6/64
Lofti Zadeh Fuzzy Sets in Info &control,vol.8 (965) pp 9-44 Kaufmann, Arnold and Gupta, Madan M., Introduction to Fuzzy Arithmetic: Theory and Applications, New York: Van Nostrand Reinhold Company Ltd., 985. 350 pp. Klir, George J. and Folger, Tina A., Fuzzy Sets, Uncertainty, and Information, Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 988. 355 pp. Kosko, Bart A., Neural Networks and Fuzzy Systems, Prentice-Hall, 990. Mamdani, E.H. and Gaines, B.R., Fuzzy Reasoning and its Applications, New York: Academic Press, 98. 380 pp. Negoita, Constantin Virgil, Fuzzy Systems, Cybernetics and Systems Series, Abacus Press, 98. 0 pp. Sugeno, Michio, Industrial Applications of Fuzzy Control, New York: North- Holland, 985. 70 pp. Togai, M., Reasoning with Uncertainty for Rule-based Expert Systems, John Wiley & Sons, in progress. Zimmermann, Hans J., Fuzzy Set Theory and its Applications, Boston MA: Kluwer-Nijhoff Publishing, 985. 360 pp L.Zadeh, FuzzyLogicComputing with words IEEE Trans on Fuzzy Systems, Vol4, No.,996 (pp03-) ΔΠΜΣ ΗΕΠ 63/64
TOOLBOXES ΔΠΜΣ ΗΕΠ 64/64