Colegul Teh de Couţ Nole Vslesu Krpe Bău CURS DE MATEMATICĂ rezu CLASA A II-A
Crs Măgresu - Rezu - Cls - Cuprs Iegrl edeă Prvele ue uţ Iegrl edeă ue uţ Prvele uţlor oue sple Prve uzule Meode de lul l egrlelor Eerţ propuse Iegrl deă 9 Iegrl ue uţ oue Forul lu Lez-Newo Propreăţ le egrle dee Meode de lul l egrlelor dee Eerţ propuse Aplţ le egrle dee Ar ue supreţe ple Voluul uu orp de roţe Eerţ propuse Grupur Leg de opozţe pe o ulţe Grupur Morse de grupur Eerţu rezolv Eerţ propuse Iele s orpur Iele Corpur Eerţ propuse 6 Iele de poloe 6 6 For lgeră uu polo u oeeţ opleş 6 Operţ u poloe 6 Teore îpărţr u res Îpărţre poloelor She lu Horer 6 Dvzle poloelor Teore lu Bézou 6 Rădăle poloelor Relțle lu Vèe 66 Rezolvre euțlor lgere u oeeț î Z, Q, R, C
Crs Măgresu - Rezu - Cls -
Crs Măgresu - Rezu - Cls - INTEGRALA NEDEFINITĂ Prvele ue uț Iegrl edeă ue uț Dețe: Fe : I R, ude I ese u ervl su o reuue ă dsjuă de ervle Se spue ă de prve pe I dă F : I R sel îâ F ese dervlă pe I; Teoreă: F, I F se ueşe prv lu Fe : I R Dă F, F : I R su două prve le uţe, u ele deră prr-o osă, dă esă o osă R sel îâ F F C, I Os Fd dă o prvă F ue uţ u ore prvă F lu re or F F, osă de o e de prve Os Ore uţe ouă deă pe u ervl de prve Deţe Fe : I R o uţe re de prve Mulţe uuror prvelor lu se ueşe egrl edeă uţe ş se oeză pr solul d Operţ de lulre prvelor ue uţ se ueşe egrre Aes ese operţ versă dervăr Solul os propus peru pr dă de Lez, î 67 d {F : I R / F prvă lu } Teore de lre: Dă,g : I R su uţ re d prve ş R,, u uţle g, d de seee prve ş u lo relţle:g g,,, C Prvele uțlor oue sple Prve uzule d C, R E 6 d 6 C d C E d C d C E d d C C C d C E d C l e d e C l 6 d l C 7 d g C s d g C os 9 s d os C os d s C d rg C E d rg C d l C E d l C d l C E d l C d l C d rs C E d l 9 C 9 E d rs C 6 6 gd l os C 7 gd l s C
Crs Măgresu - Rezu - Cls - d C E d C 9 d C E d 6 C 6 d C E d C d l C E 7 7d 7 l 7 C d l C E 9 9d 9 l 9 C d rs C E d rs C Aplţ: I Să se luleze prvele urăorelor uţ: d ; --d; d ; d d ; 6 d ; 7 d ; d 9 e d ; d ; e d ; d ; d 9d ; d ; 6* d ; 7* d ; * d s os s os II Să se re ă urăorele uţ u d prve:, < : R R, : R R, : R R, [] [] pre îregă d,,],, : R R, s,, III Să se deere, uere rele sel îâ F să e prv ue uţ * F l, > e, * F,, > IV Să se vere dă urăorele uţ d prve ş î z rv să se deere o prvă, <, : R R, : R R, e,, >, [,, :[, R, :[-, R,,, [, 9
Crs Măgresu - Rezu - Cls - Meode de lul l egrlelor A Forul de egrre pr părţ Teore: Dă, g:r R su uţ dervle u dervele oue, u uţle g, g, g d prve ş re lo relţ: g d g - gd Eerț rezolve: s d? Peru pl orul de egrre pr părț, e reue produsele g ș g, de reue să găs g ' uț g Dă g s, e operț versă dervăr, dă egră: g s d os u pue os De ee î lo de s vo pue pe -os Vo ve şdr: s d os ' d os ' os d os os d os s C g ' g ' l d? Peru lul egrl e reue produsele g ș g Dă g, găs g egrâd: g ' g d Vo ve : g l d l d l d l l ' d ' g ' ' l l l d d C l C l d? A u ese vor de produsul două uţ de s-r păre ă u poe plă orul egrăr pr părţ Ş ouş dă sre l, pue o g dă e reue g u g d Vo oţe: ' ' l d l d l d l l ' d l d l d C l g ' g ' g l d l 'l d l l d l d l l d l C Os: L egrlele re oţ uţ logră u se ulă l e e v se sru elelle uţ g s e d? Noâd s ș g e, oțe g e d e u pue os Aşdr : s e d ' s e g ' ' d s e s ' e d s e os e d * g ' g Au îsă peru lul os e d vo pl îă o dă egrre pr părţ puâd lo lu g o pe e lel e îvâr î jurul oz Pr urre: os e d os e ' d os e os ' e d e os s e d e os s e d ** g ' g ' g ş u e opr peru ă d pese egrl de l re ple ţl Îloud egrl oţuă î ** î relţ * oţe s e d e s e os s e d s e d s e d e s e os C, dă s e d e s os C ş de e s os s e d C ' ' e d e d e e d e e d e [ e 6 e e e C e C g g ' ' g e d] Os: L egrlele ude pre uţ epoeţlă, se v sre es g 7 s d? Î lo de s vo sre u produs: s s ş, dă oă u g s, u g s d os Pue sre: ' s d s s d s os d s os s ' os d s os os os d * g ' g Au îsă peru lul os os d u vo pl îă o dă egrre pr părţ u eţ p ă lel e îvâr î jurul oz ţe o de orul s os, de ude rezulă os -s Pr urre ' g g
Crs Măgresu - Rezu - Cls - os d s d d s d os s d ş u e opr peru ă d răş pese egrl de l re ple ţl Îloud egrl oţuă eror î pr relţe * oţe s d s os s d s d s d s os C, dă s d s os C ş de s os s d C ' s d os d os os d os s C 9 ' os d s d s s d s os s C olosd rezulul găs l e ' d g d g gd g g C l os l os os Os: L egrlele re oţ uţ polole ş uţ rgooere u se v ul l uţle polole dor l uţle rgooere re se vor sre g d d d d Oţe I d d d ' d d ' d I g ' I ' d d Î ur lululu, d d ou pese I : I I I C I C Pe de lă pre I d d l C Puâd lollă ele două d d d d l C egrle oţe Teă * : Folosd proedeul de sus lulţ: d I ; d ; d Eerț propuse: Să se luleze egrlele: l d ; d l ; ll d ; l d se plă eod de or sl d 6 e d ; 7 e d ; e d ; 9 e d ; e d, e s d ; e os d ; e s d ; e os d ; os d ; 6 os d ; 7 s d s d ; 9 s d ; os d ; d rs d ; rs s d ; I ; B Forul shăr de vrlă su Meod susuțe Teoreă: Fe I, J ervle d R ş ϕ: I J, : J R uț u propreățle: ϕ ese dervlă pe I; de prve Fe F o prvă s Au uţ oϕϕ de prve, r uţ F o ϕ ese o prvă lu oϕϕ dă: ϕ ϕ' d F ϕ C Să se luleze egrlele: d d C C ude dd d d 9 9 d d C C ude - dd d ½ d 9 9 9 d d d C C 7 7 d d C C, ude d d d 7 7 7 d 7 C C, ude, d d l 7 l 7 I 6
e 6 d e Noă: e e e d d d d l C l e C e Crs Măgresu - Rezu - Cls - 7 d Noă: su d d d d De d d C C 6, d > 6 7d 6 7 l 6 7 C deoree su, d < 9 l l l l z d d d zdz, deoree d d, l z d dz d C l l d d rs C rs C, pue o u Jusț eglățle: ' d C ; 7 e d C ; e d C ; d l 7 7 C d C ; 6 d C 6 l ; 7 d rg C ; 6 9 6 s d os C ; 9 6 os 7 d s 7 C ; g 7 d l os 7 C 6 d g6 C ; d C os 6 9 ; d l 7 C ; d rs C 9 7 Eerț propuse: 6 e d ; d ; e d ; d ; d 6 l d ; 7 d ; d ; 9 d ; l d Iegrre uțlor rgooere Clulul egrlelor rgooere se poe e e olosd orul egrăr pr părţ, e eod susuţe Î es ul z se po e susuţle: Dă uţ ese pră î s, u os Dă uţ ese pră î os, u s Dă uţ ese pră î rpor u ele vrle, u g Dă o uţe u se îdreză î zurle,,, u se ulzeză susuţle uversle: s,os ude g Se po olos ş le orule rgooere: s s os, os os s, os Să se luleze: s os d Noă s os d d os s os d d C C os s d Noă os -s dd os s d os s os d os s d d C os C os s d s s d s os d d C os C rs d Noă rs rs rs rs ' d d d d C C s d ; 6 os d ; 7 s d ; s os os d ; 9 s ; s ; d os d s os d 7
Crs Măgresu - Rezu - Cls - Iegrre uțlor rțole Deţe: O uţe :I R, I ervl, se ueşe rţolă dă R,,, I g g ude,g su uţ polole Dă grd grd g, u se eeueză îpărţre lu l g gqr, grd r<grd g ş de g r q g R Peru R se e srere suă de uț rțole sple C d 7 l 7 ; C d 6 6 7 Meod susuțe * d d C d ' d d d ' 6 6 6 6 6 6 6 C rg 6 6 < >,, d d d 6 C C d d l l 7 C rg d d ; C d 7 6 l 7 6 6 Meod susuțe 9* d d d B A l C d d d d 7 7 l 7 l 7 l l Să se luleze: d ; d ; d ; d ; d ; 6 d ; 7 d ; d 9 d ; d 6 Noă d d C C d d l 6 l 6 d ; d Noă dd C rg C rg d d d Noă - dd d d d d 9 C 9 9 C 9 d Noă - C C d d d d 9 9 9 9 9 Iegrț olosd desopuere î rţ rţole sple: d ; d 7
Crs Măgresu - Rezu - Cls - INTEGRALA DEFINITĂ Iegrl ue uţ oue Forul lu Lez-Newo Dețe: Fe : [, ] R, o uţe re de prve pe [, ] ş F o prvă lu Nu egrl deǎ de l o l lu, epres F F ş oǎ d F F F orul lu Lez-Newo 7 Eeplu: d Re ă: Ore uţe ouǎ de prve Oservţ: Vrl de egrre u joă u rol deţ egrle d d u du d F F F F F d d F d F F F [ ] ese o prvă lu re se uleză î Propreăţ le egrle dee y dy Propree de lre: Fe uţle, g : [ ; ] R oue pe [ ; ] ş e R Au ve: g d d g d ș d E rezolv: d d d 6 6 E propuse: Să se deere: d; d; d d; e e d ; d Propree de pozve: Dǎ : [, ] R, ese o uţe pozvă ş ouǎ, u d Propree de oooe: Dă, g : [, ] R su uţ oue u propree: g, [, ] d g d Propree de dve l ervl: Fe [, ] R u d d d : ş, Propree de ede:,, sel îâ d, u Dǎ resrţle lu su oue pe [,] ş [,], 9
Crs Măgresu - Rezu - Cls - Meode de lul l egrlelor dee A Iegrre pr părţ Teoreă:Dă g : [, ] R Aplţe:,, su uţ dervle u derve oue, u ' ' g d g g d orul de egrre pr părţ e d e e d e e e e e e e g e g e B Shre de vrlă Teoreă Fe u :[, ] I, : I R, I ervl R uţ u propreăţle: ouă pe I ș u ese dervlă, u derv ouă pe [, ], u u d orul de shre de vrlă u π Aplțe: s os d π u:, [,], u s u os, u ouă Clulă ole le pee de egrre: π u, u π :[,] R, De : s os d u d u π u ' d d u Eerț propuse: I Să se luleze, olosd eod de egrre pr părţ: e d ; d ; l d ; d d l ; e l d e e II Să se luleze, olosd eod de shre de vrlă: 6 d ; d 6 ; d ; d d ; e d III Se osderă :, R, s os d,, Clulţ,, ; Clulţ IV Se osderă uţle,g : [,] R, V Arăţ ă: e e e d e e ; e e e l ş gl, [,] Arăţ ă d g d l d d; ; e, R e
Crs Măgresu - Rezu - Cls - APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE Ar ue supreţe ple Teoreă: Dă [, ] R r, y R : ese uţe ouă, pozvă, [, ], {, y } Γ ese sugrul lu, u ulţe Γ re re ş r Γ d Oservţ: Dă, grul lu ese su desupr e O r Γ Dă, grul lu ese su su O r Γ d Suprț plă delă de grele uțlor ș g pe [, ]: Dă g : [, ] R g, [, ], u ulţe Γ, g {, y R, y g } re re ş r Γ g [ g ] Voluul uu orp de roțe, su uţ oue sel îâ, d Fe uţ : [ ], R < o uţe ou ş pozvă Corpul oţu pr rore sugrulu uţe î jurul e O se ueşe orpul de roţe deer de uţ ş se oeză u C ş R y z, C, y, z Teoreă: Fe o uţe ouă ş pozvă : [, ] R < ş C orpul de roţe deer de uţ Au C re volu ş V Eerț propuse: C π d :[, ] R, ; : [,] I Să se luleze r sugrulu urăorelor uţ: R, : [,] R, e ; [ ] :, R, ; :[,] R, II Se osderă uţ : R R, e Să se luleze r supreţe ple deere de grul uţe, O ş drepele ş III Se osderă uţ : [,] R, - Să se luleze r supreţe ple uprse îre grul uţe, O ş drepele de euţ s IV Să se luleze r ulţ A, gî zurle: 7, g, [,] ;, g, [,] ; e, g e, [,] V Se osderă uţ : R R, e Să se deere voluul orpulu oţu pr roţ, î jurul e O grulu uţe g: [, ] R, g
Crs Măgresu - Rezu - Cls - GRUPURI Leg de opozţe pe o ulţe De: o plţe ϕ : M M M,, y ϕ, y se ueşe lege de opozţe eră pe ulţe M Noţ: oţe dvă ϕ, y y suă oţe ulplvă ϕ, y y produs Tl leg Eeplu: Peru M {,,, } u operţ de îulţre, l leg ră î elul urăor: Pre slă De: Fe o ulţe M ş ϕ : M M M o lege de opozţe pe M O suulţe S M se ueşe pre slă lu M î rpor u lege de opozţe ϕ, dă, y M, ϕ, y M Propreăţ: Fe M ş : M M M o lege de opozţe pe M Couve:, y M, y y Eeplu: ϕ : R R R, ϕ, y y y y y ϕy, Asove:, y, z M, y z y z Coreeplu: sădere pe Z ese lege de opozţe esovă, deoree 7 9 7 9 Eleeul euru: e M î M, e e Eleeele serzle: Eleeul M se ueşe serzl î rpor u lege dă M î e Grupur De: Fe G o ulţe evdă ş : G G G o lege de opozţe pe G Perehe G, se ueşe grup dă lege de opozţe: ese sovă:, y, z M, y z y z de elee euru: e M î M, e e de âe u elee serzl peru orre elee l ulţ G: M, M î e Dă lege de opozţe ese ş ouvă:, y M, y y, u grupul se ueşe ouv su el Eerţu rezolv: Să se re ă ulţe relor rele de or, deeră u grup ulplv ţă de îulţre relor Rezolvre: Cu ' ', operţ ese pese o deă Î geerl e u ese ouvă, ' ' ' ' ' deoree Operţ ese sovă îulţre relor Noâd eleeul euru u, reue să y z ve, de ude es ese Eleeul ser l re y z ese Morse de grupur Fe G, ş G, două grupur De : Fuţ : G G se ueşe ors de grupur dă y y,, y G De : Fuţ : G G se ueşe zoors de grupur dă ese ors de grupur ş ese uţe jevă De : Grupurle G, ş G, se ues grupur zoore ş se sre G G dă îre ele esă el puţ u zoors de grupur Eeplu: : R, R *,,, u uăr rel, pozv ş ese ors de grupur Î prulr e Jusre:, y R, ve: y y y y Eleeele eure î ele două grupur su ş, ş ve Î R, eleeul ser l lu ese, r î R *, eleeul re serul ese hr zoors de grupur, deoree văzu ă ese ors ş, î plus, ese jev De R, R *, Eerţu rezolv y Se osderă ulţe G, ş o lege de opozţe : G G G,, y y Să se re ă: y G, ese grup el G, R*,, ude R, ese grupul ulplv l uerelor rele sr pozve
Crs Măgresu - Rezu - Cls - Peru,, să se deere:, N * or Rezolvre: y y z yz y z sove: * y * z * z y y y z yz y y y z yz y z yz z y y y z y z yz * y * z y z yz yz y z yz * yz y z y z yz y z yz yz yz D ş rezulă ă lege ese sovă Couve: * y y y y * lege ese ouvă y y Eleeul euru: e * e e e e e deoree e ' Eleeele sere: * - ' D ele pru odţ rezulă ă G, * ese grup el Idţe : :,,, - Se găseşe Eerţ propuse: Pre slă Deosrţ ă ulţe H {,,,, } Z ese slă ţă de lege de opozţe : Z Z Z dă de y - y Grupur ş orse de grupur: Fe pe GR\{} lege de opozţe : y y y 6 Ese sovă lege de opozţe? Are elee euru? Dă d, re ese? Deerţ serul eleeulu 6 d Ce sruură lgeră oreză G,? e Verţ dă : G R, ese zoors de l G, l R,, ude ese îulţre r rele Pe R dees lege pr y yy Epres y y ese egl u: ; ; ; d 6 Egle y z y z re lo: dor peru yz;, y, z R; dor peru y; d dor peru z Eleeul euru l leg ese: ; ; ; d d Gs serul eleeulu de lege e Mule UR, ulţe eleeelor serzle d R î rp u ese Su solulor eue ese: ; ; ; d g Deer Pe ulţe uerelor rele de lege O pr y y y,, y R Să se vere ă y y,, y R Să se re ă y z y z,, y, z R Să se deere eleeul euru l leg d Să se re ă ulţe R\{-} ese pre slă leg e Să se găsesă două uere, Q Z peru re Z Să se găsesă ulţe { R / } g Să se re ă < h Cre su serele eleeelor, respev î rpor u O? Rezolvă euţle: ; ; C A 77 j Deosreză pr eod duţe ee ă, de or * N ş R
Crs Măgresu - Rezu - Cls - Iele INELE ŞI CORPURI DeţeFe A o ulţe evdă ş legle de opozţe : A A A ş T: A A A Trpleul A,, T se ueşe el dă se veră: A Aoele grupulu, de A, -grup ouv: - ese sovă; - ese ouvă; - de elee euru; - oe eleeele lu A su serzle ţă de A: Aoele oodulu, de A, T -ood: - T ese sovă; - T de elee euru A: Aoele dsruvăţ: T y z T y T z,, y, z A; y T z T z y T z,, y, z A Dă lege de opozţe T ese ouvă, u A,, T se ueşe el ouv Eleeele serzle d oodul A, T se ues eleeele versle le elulu su uăţ le elulu ş se oeză u UA Perehe UA, T ese grup, u grupul uăţlor elulu A Eeple: Z,,, Q,,, R,,, C,,, su ele ouve; M Z,,, M Q,,, M R,,, M C,,,, su ele eouve; : Z,, ese el ouv, u elul lselor de resur odulo-, ude { ˆ,ˆ, ˆ,, } ulţe lselor de resur odulo- N * Eleeul pˆ ese versl ţă de p, UZ pˆ Z / p, Z \ ˆ { } Dă ese r pr, UZ { } Eerţul : Deerţ eleeele versle î elele Z ş Z Rezolvre: Sgurele eleee versle su ele pre u, de: UZ { ˆ } Nuerele pre u su,, 7 ş 9, şdr UZ { ˆ, ˆ, 7ˆ, 9ˆ } Z ese Eerţul : Pe ulţe Z se dees legle de opozţe ş pr: y y y y y Rezolvre: A: -, y, z Z, y z y z y z y z y z -, y Z, y y y y - e Z, î ve e e, Z e, de ude e, de e ese eleeul euru l leg - Z, Z î e e su, dă, de A: -, y, z Z, y z yz y z yz y z yz y z yz y z yz y z y z y y z yz z yz z y y z yz y z yz y z D ş y z y z - e Z î să ve: e e, Z, 6 e e e 6 e 6, peru Ver ş peru : e 6 De e 6 ese eleeul euru l leg A:, y, z Z, y z y z y z y z y z y y z z y z y z D ş y z y z Alog deosră ă y z z y z,, y, z Z De rpleul Z,, ese el ouv
Corpur Crs Măgresu - Rezu - Cls - Deţe Fe A o ulţe evdă ş legle de opozţe : A A A ş T: A A A Ielul A,, T se ueşe orp dă ore elee l său, u eepţ eleeulu euru d A,, ese versl î rpor u lege de opozţe T Dă T ese ouvă, orpul se ueşe orp ouv Eeplul : Pe ulţe R se dees legle de opozţe ş pr: y y y y y 6 Rezolvre: Veră oele elulu ş, î plus, sude e eleee su versle î rpor u lege A: -, y, z R, y z y z y z y z y z -, y R, y y y y - e R, î ve e e, R e, de ude e, de e - R, R, î e e su, dă, de ude A: -, y, z R, y z yz y z 6 yz y z 6 yz y z yz y z yz y z 9 y z y y z yz z yz 6z y y z yz y z yz y z 9 D ş y z y z -, y R, y y y 6 y y 6 y - e R î să ve: e e, R, e e e 6 e 6 e', peru Proă ş peru : e 6 6 6 De e ese eleeul euru l leg - R, R î 6 ', peru A:, y, z R, y z y z y z y z y z y y 6 z z 6 y z y z D ş y z y z Alog deosră ă y z z y z,, y, z R De rpleul R,, ese orp ouv Eeplul : ˆ y ˆ Să se rezolve î Z sseul: ˆ ˆ y ˆ Rezolvre: Se duă euţle ˆ ˆ ˆ ˆ Eerţ propuse: Deerţ eleeele versle î elele Z 6, Z ş Z y De sseul re soluţ, ˆ ˆ d vre p lure
Crs Măgresu - Rezu - Cls - 6 INELE DE POLINOAME 6 For lgeră uu polo u oeeţ opleş U polo se sre î oră lgeră:, ude ese edeer poloulu,,,, C se ues oeeţ poloulu, r dă spue ă poloul re grdul Pr C[] vo îţelege ulţe poloelor u oeeţ opleş Eeple: Poloul ese u polo d C[] ş re grdul Poloul re grdul ; Poloul re grdul ; Poloul os, ude C, re grdul Să se deere î rpor u prerul ople grdul poloulu Rezolvre: Ese lr ă peru grdul lu ese Rezolvâd euţ vo l Peru poloul deve: 7 Peru poloul deve: 7 Î oluze: Dă {,} grd ; dă grd ; dă grd 6 Operț u poloe De pe ulţe C[] două operţ lgere: dure ş îulţre Clulţ g dă ş Rezolvre: Clulţ g dă ş Rezolvre: De: Fe,u uţ pololă soă poloulu ese F:R R, F Dețe: Fe u polo ş u uăr ople Au uărul se ueşe vlore poloulu î Eeplu: Fe poloul Vlore lu î ese 6 Teore îpărţr u res Îpărțre poloelor She lu Horer Fd de două poloe u oeeţ opleş, g C[], u g, u esă două poloe u oeeţ opleş q ş r sel îâ g q r, u grd r < grd g Poloul se ueşe deîpărţ, g îpărţor, q â, r r res Os:, g C[], g, q, r C[], Î plus, poloele q ş r su ue q g r, u grd r < grd g Eeplu: Fd de poloele ş, să se deere âul ş resul îpărţr lu l g Rezolvre: Eeplu: Fe poloele ş g Să deeră âul ş resul îpărţr lu l g 6 q 9 r De âul ese q, r resul r Forul îpărţr u res se sre,î es z sel: 6
Crs Măgresu - Rezu - Cls - Teore resulu: Resul îpărţr uu polo pr oul ese egl u vlore Os: Aesă eoreă e juă să găs resul îpărţr uu polo orere pr oul ără e îpărţre Eeple: Resul îpărţr poloulu pr ese Să se deere prerul rel şd ă resul îpărţr poloulu pr ese Rezolvre: Pue odţ - Oţe de ude rezulă Oservţe: Teore resulu u e spue despre âul îpărţr lu pr oul Aes luru se rezolvă pr proedeul u she lu Horer Aes osă î lăure uu el d re vo âul ş resul îpărţr SCHEMA LUI HORNER Eeple: Ulzâd she lu Horer, să se deere âul ş resul îpărţr poloulu pr oul r De âul ş resul îpărţr su q ş r Folosd she lu Horer lţ âul ş resul îpărţr poloulu l Rezolvre: - - 7 7 7 D ul le elulu e rezulă: ş r 6 Dvzle poloelor Teore lu Bézou D eore îpărțr u res:, g C[], g, q, r C[], q g r, u grd r < grd g Dețe: Spue ă se dvde pr g su ese dvzl pr g g r, su, lel spus, dă esă u polo h C[], sel îâ g h su g dvde poloul g / Eeple Poloul - se dvde pr poloul g deoree esă poloul h - sel îâ, dă Eerțu rezolv: Să se deere prerul rel sel îâ poloul - să se dvdă pr poloul g Rezolvre: Vo pue odţ resul îpărţr poloulu l g să e Cu poloul g ese de pul,, vo lul resul pe z Teoree resulu, dă r - D euţ rezulă - u Teore lu Bézou: D u poloul ese dvzl pr - Eerţ propuse Auşore Să se luleze g dă : ş g Să se luleze g dă : ş g Fe d poloul, să se luleze, -,, Să se deere âul ş resul îpărţr poloulu l g dă: ş g ; 6 ş g Folosd she lu Horer ă se deere âul ş resul îpărţr poloulu l g dă: ş g ; 7
Crs Măgresu - Rezu - Cls - ş g ; ş g 6 Să se deere prerul rel sel îâ poloul îpărţ l să de resul 7 Să se re ă poloul se dvde l Să se deere prerul, sel îâ poloul să se dvdă l Bvel edu 9 Să se luleze g dă : ş Să se luleze g, dă : ş Î rpor u prerul ople să se deere grdul poloul : Să se deere poloele de grdul l dole, sel îâ -; -; Să se le u polo de grdul III sel îâ îpărţ l dă resul ş îpărţ l dă resul 7 Să se le u polo de grd sel îâ îpărţ l să de resul ş îpărţ l să de resul Să se deere prer ş sel îâ poloul îpărţ l să de resul ş îpărţ l să de resul 6Să se deere,, sel îâ poloul Cdle să se dvdă pr 7 Să se găsesă poloele de grdul II re ss odţ Fe poloul Să se deere vlore esu peru 6 Rădăle poloelor Relțle lu Vèe Deţe: Fe u polo eul u oeeţ opleş U uăr ople, C se ueşe rădăă poloulu dă Eeple Nuărul ese rădăă peru poloul peru ă Nuărul ese rădăă peru poloul peru ă Oservţe: Peru l rădăle uu polo se rezolvă euţ Spre eeplu, peru l rădăle poloulu vo rezolv euţ ş găs rădăle poloulu Teore lu Bézou se poe ulze ș su or: Fe u polo eul Nuărul ese rădăă poloulu dă ş u dă dvde Eeplu Poloul vâd rădăle se v dvde â pr â ş pr Deţe: Fe u polo eul ş o rădăă lu Nuărul url u propreăţle ă dvde pe ş u dvde pe se ueşe ordul de ulple l rădă Dă, u rădă se ueşe rădăă splă, dă, u se ueşe rădăă ulplă de ordul Oservţe: Dă rădă se ueşe rădăă dulă r dă se ueşe rădăă rplă Eeple: / u dvde ese rădăă de ord de ulple răd splă Desopuâd î or redul vo oţe:, ude: rădăă de ord de ulple ;,-,- rădă de ord de ulple
Crs Măgresu - Rezu - Cls - Poloul se poe sre ş de se dvde pr ee e îseă ă re rădăă dulă pe, dr se dvde ş pr su dă vreţ pr ş de v ve rădăă rplă pe Alel spus pr rezolvre euţe oţe rădăle ş Teore de desopuere î or redulpr: Fe u polo eul Dă,,, r su rădă le lu vâd ordele de ulple u poloul dvde pe Os: Sgur or redulpr î C[] su poloele de grdul I Eeplu: Să se re ă poloul se dvde pr Rezolvre: Cu se sre de vâd rădăle ş vo ră ă ş poloul re ese două rădă ş, de ude rezulă ă ş - su rădă le lu Au d eore rezulă ă dvde pe dă dvde pe Coseţ : Ore polo de grd re rădă u epăr dse; o rădăă se repeă de u uăr de or egl u ordul său de ulple Coseţ : Fe u polo u, Dă su rădăle lu, u Oservţe: Aesă orulă îâl-o l roul de grdul II: Relţ îre rădă ş oeeţ orulele lu Vèe Fe u polo de grd Dă su rădăle lu, u: Ivers, dă uerele oplee ss relţle de sus, u ele su rădăle poloulu Oservţe: Peru poloul de grdul III,, u rădăle, relţle lu Vèe su: Eeplu Să se deere rădăle poloulu,, şd ă produsul două rădă ese egl u Alţ î ese odţ ş prerul Rezolvre: Relţle lu Vèe î es z su: 9
Crs Măgresu - Rezu - Cls - Șd ă, d vo ve ă Cu ese rădăă lu rezulă ă - dă Peru l elelle două rădă ve două eode: Meod I relţle lu Vèe Îlou î pr relţe, vo ve sseul le ăru soluţ vor Meod II Horer Cu - ese rădăă lu rezulă ă dvde pe Cu she lu Horer lă âul îpărţr lu l ş poloul se v sre desopus Rezolvâd euţ Oservţe Peru poloul de grdul IV, peru relţle lu Vèe:, ese ul să uoşe urăore srere Deerre ue euţ dă se uos rădăle e Cuosâd rădăle le ue euţ pue or esă euţe l el l euţ de grdul II, lulâd î prell suele d relţle lu Vèe ş îloud î euţ: Eeplu: Forţ euţ e re rădăle, ş Rezolvre: ş îloud î orul dă oţe euţ Eerţ propuse A uşore Să se re ă poloul se dvde l Să se deere prerul, sel îâ poloul să se dvdă l Să se deere rădăle poloulu şd ă re rădă Să se deere euţ de grdul el şd ă re rădăă dulă pe ş rădă sple ş Fe poloul Să se deere rădăle poloulu şd ă 6 Să se deere ordul de ulple l rădă peru poloul B vel edu 7 Să se deere,, sel îâ poloul să se dvdă l Să se deere prer ş şd ă poloul re rădăă dulă
Crs Măgresu - Rezu - Cls - 9 Să se deere ordul de ulple l rădălor ş peru poloul Să se deere sel îâ su două rădă le euţe să e eglă u Să se deere sel o rădăă euţe să e dulul le rădă Să se rezolve euţ şd ă rădăle sle su î progrese reă Să se rezolve euţ şd ă su prelor două rădă ese eglă u opusul ede ree elorlle două 66 Rezolvre euțlor lgere u oeeț î Z, Q, R, C Teore udelă lgere: Ore euţe lgeră de grd re su egl u ş u oeeţ opleş re el puţ o rădăă opleă Cose: Ore polo de grd re rd Teore lu Ael-Ru: Eu lger geerl de grd re de pru u poe rezolv pr rdl Z[ ] Q[ ] R[ ] C[ ] A Mulţe poloelor u oeeţ îreg Fe Z[ ] ş euţ p, p, q Z, u p / ş q / Dă, u p q Teoreă: Dă de o rădăă de or Eeplu: p Fe de soluţ p /, q / De { ± ; ± ; ± } q Îpărţd suesv poloul l poslele rd, oţe: ; ; ± R Q Teoreă: Fe Q[ ] Au dă Eeplu: 6 ese rădăă, B Mulţe poloelor u oeeţ rţol ese rădăă peru, u Q, Q, R Q, u ese rădăă peru ş ş u eeş ulple, ± C Mulţe poloelor u oeeţ rel Fe R[ ] ş euţ C ese rădăă peru, u Teoreă: Dă elş ord de ulple R ese rădăă peru, r ş u Prolee rezolve Să se deere ş ş po să se rezolve euţ Dă şd ă de rădă
Crs Măgresu - Rezu - Cls - De Dă { } q ± ; ;, Să se re ă poloul d, u,,, N d ese dvzl pr d d d d Dă d Fe Fe S, ude ese rădăă lu Au: S ; S ; S ; S d 6 De R: Resul îpărţr lu l ese: ; ; 7 7 ; 9 d r Q Fe o rădăă euţe 7 7 r De resul îpărţr lu l ese 7 7 R: Fe euţ, * R d preru Mulţe vlorlor lu peru re ese: ; ; ; ; ; ; ; d { } \ ; *, R
Crs Măgresu - Rezu - Cls - De ; ; R: 6 Vlore eprese: E 6,ude,, su rădăle euţe 6 ; ; 6; d ese: R: 6 E 6 6 6 6 6 6 6 6 6 99,,, rădăle euţe 7 Fe 99 Au su vlore: S ; S 99 ; S ; d S Dă,,, 99 su rădă, u ere d ele veră euţ: 99 99 99 99 99 99 99 99 99 99 99 99 R: 99 99 S 99 99 re 99 Prolee propuse, Fe u rădăle y ese: ; 7; 9; d y g g g ese: g u rădăle y, ş ; ; 7; d Să se deere R, şd ă euţ re rădăle î progrese reă Poloul Q[ ] ; ; ; d re grdul ş Se osderă uţ R R 9; 6; 6; d, y Au su rădălor lu ese: :, 9 Su ese :