4. Interpolarea funcţiilor

Transcript

1 Iterpolre ucţlor 7 Iterpolre ucţlor Fe : [] R ş e pucte dstcte d tervlul [] umte odur Prolem terpolăr ucţe î odurle costă î determre ue ucţ g : [] R dtro clsă de ucţ cuoscută cu proprette g Pusă su cestă ormă geerlă prolem pote să u ă soluţe su să ă o tte de soluţ Ce m utlztă clsă de ucţ de terpolre este cls polomelor dtortă uşurţe cu cre se tegreză ş se derveză Iterpolre ucţlor preztă o mportţă deosetă petru czul câd ucţ u este detă prtro relţe ltcă c prtru tlou de vlor ce repreztă de eemplu rezulttele ue epereţe Cr ş tuc câd ucţ este dtă prtro relţe ltcă dr cestă relţe este complctă se pote lege terpolre î locul clcululu drect Polomul de terpolre l lu Lgrge Teorem Fe : [] R ş odur d tervlul [] Atuc estă u polom uc P de grdul cre terpoleză ucţ î odurle P Acest polom se umeşte polomul de terpolre l lu Lgrge Demostrţe Căutăm u polom P su orm următore: P L L L ude L sut polome de grdul ce urmeză să e determte Deorece dorm c P vom pue codţle:

2 8 zele Alze Numerce dcã L δ dcã Deorece L petru rezultă că L dmte rădăcle Aşdr L Cum L rezultă Î cocluze vem P L ude L Evdet polomul re grdul ş re proprette P Fe Q u lt polom de grdul cu proprette Q RP Q Deorece grdr ş R detc ul dec că P Q ş e rezultă că R este polom Eemplu Fe odurle ş ş Atuc P Eectuâd clculele oţem P 8 Î coture vom ot erore î ecre puct cu E;P Evdet E; Itroducem de semee otţ: U Teorem Dcă C [] tuc petru orce [] estă ξ stel îcât ξ E ; U!

3 Iterpolre ucţlor 9 Demostrţe Cosderăm ucţ ulră E ; [ ] g t t P t U t t U Oservăm că g se uleză î pucte dstcte D teorem lu Rolle rezultă că estă ξ stel îcât g ξ Cum E ; g t t! U rezultă ξ E ; U! Corolr Dcă estă > stel îcât petru orce [] tuc: E ; U [ ]! Eemplu Fe ucţ l ş odurle ; ; 7; 8 Evluăm erore î puctul U IV [ ; 8] Rezultă E ; 9 cest umăr d dor u mort l eror Dcă olosm următorele vlor î odur X ş clculăm polomul lu Lgrge oţem: P 997 Pe de ltă prte l8 Rezultă că E; 8 cee ce cormă rmţ de m sus Oservţ Dcă Q este u polom de grd cel mult tuc E; orcre [] Armţ rezultă d Teorem deorece î cest cz

4 zele Alze Numerce Oservţ Eg;E;Eg; Îtrdevăr dcă P este polomul de terpolre petru ş g P este g polomul de terpolre petru g tuc P P este polomul de terpolre petru g ş dec g E g; g P P E ; E g; Î coture vom presupue că odurle sut ecdstte dec că ude Cosderăm de semee scmre de vrlă t 7 Îlocud ş 7 î oţem: ~ t L t L t Folosd otţ: t t t t t t 8 oţem: t t L t C!! t! t Oţem stel epres polomulu lu Lgrge petru odur ecdstte t P t C! t 9 Erore deve: t E t ξt! Î coture cosderăm u şr de dvzu { } le tervlulu [] cu lm : < < < Notăm cu P polomul lu Lgrge cre terpoleză ucţ î odurle Dcă este mre P cocde cu îtru umăr mre de odur dec e şteptăm c erore E ;P să e mcă evetul c lm E ;

5 Iterpolre ucţlor Augem stel l următore îtrere: Î ce codţ şrul de polome { P } coverge puctul evetul uorm l ucţ pe tervlul []? Î ul 9 S N erste rătt că petru ucţ [] dcă legem odurle ecdstte tuc lm P dcă {} Sr pute crede că cest lucru se dtoreză ptulu că ucţ modul u este dervlă î orge Următorul eemplu dt de C Ruge î 9 rtă că estă ucţ det dervle petru cre {P } u coverge l Fe [ - ] Evdet C [] Fe odurle ecdstte Se pote răt că lm P dcă c ş lm P dcă >c ude c este o rădăcă ecuţe: lllrctg Î ul 9 S N erste rătt că petru orce sstem de odur { } d tervlul [] dt dte estă o ucţe cotuă : [] R stel îcât şrul polomelor lu Lgrge {P } cre terpoleză ucţ î ceste odur u coverge uorm l pe [] Estă totuş ş stuţ câd covergeţ re loc Se pote demostr următore teoremă: Teorem Dcă C R ş se dezvoltă î sere Tlor pe R tuc petru orce sstem de odur dstcte ş ecdstte { } d [] şrul polomelor { P } cre terpoleză ucţ î ceste odur coverge uorm l pe [] Se pue îtrere dcă terpolre cu polome Lgrge este utlă î prctcă d momet ce ş cum m văzut î geerl şrul polomelor de terpolre { P } u coverge l Răspusul este că terpolre Lgrge este utlă Se costtă î prctcă ptul că petru u puct α [] erore α P α scde pâă l u puct pe măsură ce creşte ş dec petru reltv mc P α promeză cceptl vlore α Petru vlor mr le lu terpolre Lgrge u este recomdtă D cele prezette pâă cum rezultă că şrul polomelor de terpolre socte ue ucţ cotue u coverge uorm î mod ecesr l cestă

6 zele Alze Numerce ucţe Se pue îtrere dcă o ucţe cotuă pote promtă uorm cu polome Răspusul ost dt de K Weerstrss î ul 88 Teorem Fe : [] R cotuă Atuc petru orce ε > estă u polom Q ε stel îcât Qε sup{ Qε ; [ ] } < ε Evdet dcă luăm ε rezultă că estă u şr de polome {Q } cre coverge uorm pe [] l ucţ D teorem lu Weerstrss rezultă că polomele lgerce pe [] sut î rport cu ucţle cotue pe [] î ceeş relţe c umerele rţole Q ţă de umerele rele R Teorem lu Weerstrss este etrem de mporttă î lz mtemtcă î geerl ş î lz umercă î specl Dtre umerosele demostrţ dte ceste teoreme ce m cuoscută este demostrţ dtă de S N erste î ul 9 erste rătt cum se pote costru şrul de polome cre promeză ucţ ş ume: k k k k C [ ] k Acest şr de polome cre se umesc polome erste u u proprette pe [] Trecere de l [] l [] se ce cu uşurţă prtro scmre de vrlă Evdet polomele erste u sut polome de terpolre D păcte covergeţ şrulu { } către este destul de îcetă ş d cestă cuză î prctcă polomele erste u se olosesc l promre drectă ucţlor Teorem lu Weerstrss este mporttă pr mplcţle sle teoretce dr ş prctce ş cum vom vede de eemplu l tegrre umercă Iterpolre tertvă etod Atke Î cest prgr vom ot polomul lu Lgrge cre terpoleză ucţ î odurle cu P ; Evdet P ; Teorem Are loc următore relţe de recureţă: P ; P ; P ; Demostrţe Fe

7 Iterpolre ucţlor Q P P ; ; Oservăm că petru orce vem Q Î coture vem: ; P Q ; P Q Aşdr Q este u polom de grdul cre terpoleză ucţ î odurle D uctte polomulu de terpolre l lu Lgrge rezultă că QP etod Atke este e lustrtă de următorul tel: α α P α; α P α; P α; α P α; P α; P α; O α P α; P α; P α; K P α; Algortmul de terpolre tertvă metod Atke Petru : eecută : d : α ; sârşt petru ; Petru : eecută Petru : eecută : d d sârşt petru sârşt petru

8 zele Alze Numerce Polome Ceîşev Polomele Ceîşev sut dete pe tervlul [] pr relţ: T cosrccos Deorece T T cos[rccos] cos[rccos]cosrccos rezultă următore relţe de recureţă: T T T Cum T ş T d rezultă T T T 8 8 T etc Oservăm că T Dcă T tuc rccosk de ude rezultă k cosk k - Aşdr polomul T re rădăc rele dstcte dte de ormul Pe de ltă prte vem s rccos T Dcă T tuc rccosk ş dec k k cos k sut zerourle dervte T Se oservă că rădăcle dervte T sepră rădăcle polomulu T Îtrdevăr k < k < k de ude rezultă k cosk > k cos k > k cosk Costtăm de semee că k k T k cos rccos cos cos k

9 Iterpolre ucţlor Cum T [] rezultă că k k sut pucte de etrem locl petru T Pe de ltă prte vem T ş T Aşdr T re pucte de etrem locl ş îş scmă semul de or pe tervlul [] Prezetăm î coture telul de vrţe petru polomele T ş T T T T T Următorul rezultt dtort lu Ceâşev pue î evdeţă o proprette remrclă zerourlor polomelor Ceîşev Teorem Fe k k k zerourle polomulu Ceîşev T Atuc orcre r pucte dstcte z d tervlul [] vem sup sup z z z [ ] [ ] Demostrţe Deorece T rezultă că treue s rătăm că sup T sup z z z z [ ] [ ] [ ] z z stel îcât ude Presupuem pr surd că estă [ ] sup q < sup T [ ] [ ] z q z z z Fe r T q [ ]

10 zele Alze Numerce Evdet r este u polom de grd cel mult Oservăm c r re celş sem cu T î cele pucte de etrem le polomulu T Îtrdevăr e k u semee puct Presupuem că T k Dcă r k tuc q k r k cee ce cotrzce relţ Dcă T k ş presupuem că r k > tuc q k r k > cee ce cotrzce relţ Aşdr r îş scmă semul de or dec r re rădăc Acest lucru u este posl decât dcă r [] Rezultă tuc că T q cee ce cotrzce relţ Revem cum l evlure eror î terpolre Lgrge Fe odur î [] ş C [] Dcă P este polomul lu Lgrge cre terpoleză ucţ î odurle tuc ξ P! 7 vez Cptolul Teorem D 7 rezultă că P sup P sup! Aşdr erore P v mmă dcă sup v mmă Pe de ltă prte d Teorem rezultă că cest lucru se îtâmplă dcă legem odurle cos dcă sut zerourle polomulu Ceîşev T D cele de m sus rezultă că re loc următore teoremă: Teorem Fe * P polomul lu Lgrge cre terpoleză ucţ î odurle cos

11 Iterpolre ucţlor 7 * Atuc P Petru cele ucţ cre u! * u proprette că lm v rezult că şrul P! Fucţ sple cuce Fe : < << < << o dvzue orecre tervlulu [] Se umeşte ucţe sple cucă o ucţe s : [] R cu următorele propretăţ: Restrcţ lu s l ecre sutervl [ ] este u polom de grd cel mult tre; s s' s" sut cotue pe [] Î coture e puem prolem terpolăr ue ucţ : [] R cu utorul ue ucţ sple cuce Cu lte cuvte e puem prolem să găsm o ucţe sple cucă s stel îcât s Deorece restrcţ lu s l sutervlele [ ] este u polom de grd cel mult tre rezultă că s c d petru orce [ ] Determre ucţe s presupue dec determre coeceţ c d Să evluăm cum de câte codţ dspuem Fptul că s e sgură codţ Pe de ltă prte d cotutte lu s ş dervtelor s' ş s" rezultă: s k s k k cre e sgură codţ Î totl dspuem dec de codţ cu două m puţ decât umărul coeceţlor ce urmeză determţ Dcă se cuosc dervtele ' ş ' tuc dăugăm codţle s' ' ş s' ' Dcă u se cuosc ceste dervte tuc se promeză ' ş ' ş se pu codţle s' ş s' Dcă u vem c o ormţe despre ' ş ' se pot pue codţle:

12 8 zele Alze Numerce s" s" Î cest cz se oţe ş umt ucţe sple cucă turlă Îte de prezet teorem udmetlă prvd esteţ ucţlor sple cuce remtm următorul rezultt de lgeră lră Propozţ Orce mtrce pătrtcă strct dgol domtă este esgulră Demostrţe Fe A R cu proprette: > Dcă vom răt că sstemul A dmte um soluţ lă v rezult că deta Presupuem pr surd că estă α stel îcât Aα Fe α α m{ α α α } Cum α este soluţe petru sstemul A rezultă α α α su α k k k α k Î coture vem α k k k k α k k k cee ce cotrzce Teorem Petru orce umere dte estă o ucţe sple cucă s ucă cu propretăţle: s s s Demostrţe Vom ot cu s" Deorece s" este lră pe tervlul [ ] rezultă că s este de orm s"αβ D codţle s" ş s" rezultă ş β ude Aşdr pe tervlul [ ] vem: " s - Itegrâd de două or oţem

13 Iterpolre ucţlor 9 D C s ude C ş D sut costte rtrre Puâd codţle de terpolre s rezultă C ş D Îlocud î oţem petru [ ] ş : - s Să oservăm că ucţ s detă î este cotuă pe [] Îtrdevăr lm lm - s < < ş log s > lm Î coture vom pue codţ c dervt s' să e cotuă pe [] D rezultă: ' s 7 petru Puem codţ c ' lm ' lm s s > < ş oţem

14 zele Alze Numerce ş m deprte 8 petru orce L cele ecuţ dte de 8 dăugăm două ecuţ cre corespud codţlor: s' ş s' Ţâd sem de 7 ceste ecuţ sut: 9 D 8 9 ş rezultă următorul sstem A ude A L L O L L L - r Oservăm că mtrce A este smetrcă trdgolă ş strct dgol domtă U semee sstem re soluţe ucă cre se oţe uşor cu lgortmul Guss Îlocud î cestă soluţe găsm ucţ sple cucă pe cre o căutm Evdet cestă ucţe este ucă deorece soluţ este ucă

15 Iterpolre ucţlor Eemplu: Să se determe vlorle ucţe î puctul olosd terpolre sple cucă ştd că: 77 8 ş c ă vlorle lu ' î puctele ş sut: ' ' R Aplcăm teorem ş vom găs ucţ sple cucă s ce terpoleză ucţ dcă determăm coeceţ Coeceţ se determă pr rezolvre sstemulu lr A ude A ş Puctul [ ] Oţem că: ' ' Screm ucţ de terpolre s pe cest tervl:

16 zele Alze Numerce s Clculăm vlore ucţe s î puctul dt: s 87 Dec vlore promtvă lu î puctul este 87 Fucţle sple cuce u următore proprette de optmzre Teorem Fe G mulţme ucţlor g : [] R de clsă C cu propretăţle: g g' g' ' [ ] [ ] Atuc : g" d s" d g G Demostrţe Dcă otăm cu k s g ude g G tuc [ g" ] d [ s" ] d s"k"d [ k" ] d deprte vem s" k" d " s k s" k" d s k d Deorece s'''α este o costtă pe [ ] ş k k rezultă ş m deprte s kd

17 Iterpolre ucţlor " " s k d [ s" k s" k ] s" k s" k deorece k' k' Aşdr [ g" ] d [ s" ] d [ k" ] d Rezultă s" d g" d petru orce g G [ ] [ ] Egltte re loc dcă [ k" ] d dec dcă k" [] Aşdr uct k este lră pe [] D codţle de terpolre k petru rezultă k [] ş dec că [ s" ] d [ g" ] d g G Se pote demostr de semee următore teoremă Teorem Fe C [] ş sup{ IV ; []} ş e odur ecdstte ude Dcă s este ucţ sple cucă cu propretăţle: s ; s ' ş s ' tuc petru orce [] vem: s ' s " " s 8 8 Aşdr d Teorem rezultă că şrul ucţlor sple cuce {s } cre terpoleză ucţ î odurle ecdstte { } coverge uorm pe u u tervlul [] către ucţ mult: s ş s " pe tervlul [] Î coture vom de ucţle sple cuce ş vom răt că orce ucţe sple cucă cre terpoleză ucţ î odurle se repreztă c o comţe lră ucă de ucţ sple cuce Fe : < << < <<

18 zele Alze Numerce o dvzue tervlulu [] cu odur ecdstte ude Asocem ceste dvzu dvzue ~ cre re î plus şse odur ulre de semee ecdstte : ~ < < < < < < < < < Dem petru orce ucţ sple cucă stel: ] [ ] ] ] ] Grcul ucţe rtă stel: D deţ ucţlor rezultă că { } dcã su dcã dcã ;; - - Se vercă uşor că ş dcă Se oservă de semee că { ; } C R dec este o ucţe sple cucă Propozţ Fucţle sut lr depedete pe R Demostrţe Fe comţ lră λ λ λ λ R Dcă dăm lu succesv vlorle oţem sstemul:

19 Iterpolre ucţlor λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ L Deorece mtrce sstemulu este strct dgol domtă dec esgulră rezultă că sstemul dmte um soluţ lă λ λ λ Î coture otăm cu spţul lr geert de ucţle Teorem Estă o ucţe ucă cre terpoleză ucţ î odurle Demostrţe Fe R Puâd codţ c să terpoleze ucţ î odurle rezultă Se oţe sstemul: L Sstemul re ecuţ lre ş ecuoscute Elmâd ecuoscut d prmele două ecuţ ş ecuoscut d ultmele două ecuţ oţem sstemul ecvlet:

20 zele Alze Numerce L trce coeceţlor sstemulu este strct dgol domtă dec sstemul re soluţe ucă Aşdr sstemul re soluţe ucă Îlocud cestă soluţe î oţem ucţ căuttă cre evdet este ucă Teorem Fe s : [] R o ucţe sple cucă cre terpoleză ucţ î odurle Atuc estă R uc determte stel îcât s [] Demostrţe D Teorem rezultă că estă stel îcât terpoleză ucţ î odurle Fucţ este de clsă C pe R ş este polomlă de grdul tre pe porţu Rezultă că restrcţ lu l tervlul [] este o ucţe sple cucă cre terpoleză î odurle Cum semee ucţe este ucă coorm Teoreme rezultă s [] Uctte coeceţlor este sgurtă de Teorem Pcetul de progrme ATLA coţe ucţ sple cre permte terpolre ue ucţ î puctele N * t prtro ucţe sple cucă dcă se cuosc vlorle le ucţe î odurle < << Secveţ de pelre este: sple Eemplu Să se determe vlorle ucţe î puctele terpolre sple cucă ştd că: I utlzâd ATLA Î medul ATLA se scru comezle: olosd 8

21 Iterpolre ucţlor 7 % terpolre cu uct sple cuce olosd pcetul de progrme tl ucto []cu % Nodurle [p/p/p/p/]; % Vlorle ucte odur [//^/^//]; % Vlorle cre se terpolez uct [p/p/8p/]; % Apelre ucte tl sple cre ce terpolre sple; Fucţ cosdertă este s ş putem compr vlorle de terpolre cu cele "ecte": zs; Petru reprezetre grcă ucţe terpolte se pote olos următore secveţ ATLA % Reprezetre grc ucte terpolte plot'*'z'o'; s[p/]; % se stlesc tervlele de reprezetre pe e ttle'iterpolre cu sple cuce'; lel'ugul'; lel'vlorle ucte'; grd Eercţ Folosd polomul de terpolre lu Lgrge să se determe vlore promtvă ucţlor dte de telele următore î puctele meţote î ecre cz 9 7

22 zele Alze Numerce 8 R P R 8 P 988 Folosd metod Atke să se găsescă vlore promtvă ucţlor dte de telele următore î puctele meţote î ecre cz î prte R Urmărd clculele c î Teorem oţem telul următor î cre ultm celulă dă vlore promtvă ucţe î puctul dt

23 Iterpolre ucţlor R Să se determe vlorle ucţe î puctul olosd terpolre sple cucă ştd că: ş că vlorle lu ' î puctele ş sut: ' ' R Vom găs ucţ sple cucă s ce terpoleză ucţ dcă determăm coeceţ Coeceţ se determă pr rezolvre sstemulu de ecuţ lre A ude ' A ' r

24 zele Alze Numerce r Oţem că: Puctul [ ] Screm ucţ de terpolre s pe cest tervl: s Clculăm vlore ucţe s î puctul dt: s 88 Dec vlore promtvă lu î puctul este 88 Să se determe vlorle ucţe î puctul olosd terpolre sple cucă ştd că: ş că vlorle lu ' î puctele ş sut: ' 89 ' 9 8 R Oţem că: Vlore ucţe î puctul este 8 78 promtă de s 798