Cuprins. Prefaţă Metoda eliminării complete (Gauss Jordan) Spaţii vectoriale Noţiunea de spaţiu vectorial...

Transcript

1

2 Cuprs Preţă Meod elmăr complee Guss Jord Spţ vecorle Noţue de spţu vecorl Depedeţ ş depedeţ lră ssemelor de vecor 8 Ssem de geeror Bă uu spţu vecorl Coordoele uu vecor îr-o bă dă Subspţul vecorl geer de o mulţme de vecor 9 Schmbre coordoelor uu vecor l recere de o bă l lă bă 66 Operor lr 78 Noţue de operor lr Mrce socă uu operor lr 78 Nucleul ş mge uu operor lr Ijecve surjecve ş versble uu operor lr 9 Vecor propr ş vlor propr 98 Fucţole lre blre ş părce Fucţole lre Fucţole blre 9 Fucţole părce Sseme de ecuţ ş ecuţ lre 6 Opmăr lre 6 6 Reolvre grcă ue probleme de progrmre lră 8 6 Algormul SIMPLEX PRIMAL 6 Probleme de progrmre lră cre dm soluţe ţlă de bă 6 Reolvre problemelor de progrmre lră cre u dm soluţe ţlă de bă Meod be rcle 8 6 Cur specle î reolvre problemelor de progrmre lră 6 Dule î progrmre lră 6 6 Screre probleme dule 6

3 6 Reolvre uu cuplu de probleme prmlă dulă 68 6 Algormul SIMPLEX DUAL 7 6 Reopmăr 8 66 Reolvre ue probleme de progrmre lră pr m mule meode Probleme de rspor 9 7 Ser 7 Ser de umere rele 7 Ser de puer 7 Devolăr î sere 8 8 Fucţ de m mule vrble rele 8 8 Lmă Coue Derve prţle Dereţble 8 8 Eremele ucţlor de m mule vrble 97 8 Ereme lbere 97 8 Ereme codţoe cu legăur 8 Meod celor m mc păre 9 Clcul egrl 9 Iegrle geerle 9 Iegrle cu lme e 9 Iegrle d ucţ emărge 9 Iegrle euleree 6 9 Iegrle duble 7 Ecuţ dereţle 8 Bblogre 9

4 Preţă Ecoomş dere de domeul î cre lucreă u evoe de cuoşţe solde de srcă specle dr ş de ehc specce memc plce Iormţ ecoomcă rebue să e relevă credblă elgblă - clăţ cre su sgure um uc câd ecoomsul cre o cosrueşe o prelucreă ş o vlorcă săpâeşe deoporvă cuoşţe î domeul respecv dr ş emece cuoşţe de memc plce î ecoome Culegere de probleme pe cre o propuem celor eresţ coţe seur de probleme reolve ş probleme propuse î vedere reolvăr d urmăorele dome le memc ecoomce: lgebră lră opmăr lre lă probblăţ ş sscă memcă Pr e uor vlorcă epereţ cumulă l cedră î decursul uu umăr îsem de uversr Pree lucrre s- elbor î srâsă cocordţă cu progrm lcă dscple "Memc plce î ecoome" de l ASE Bucureş dere de prolul culăţ Culegere de probleme se dreseă î prmul râd sudeţlor ecoomş dr ş sudeţlor de l le prole căror vore proese le solcă ş cuoşţe de memc plce î ecoome Pr vree problemelor reolve su propuse peru reolve lucrre cosue u ghd mpor peru pregăre emeelor l memcă de căre sudeţ culăţlor cu prol ecoomc d îvăţămâul de s ş prv ş perme relre de cumulăr î vedere prccăr î codţ de perormţă muc de ecooms Nădăjdum c ecoomş prcce să găsescă î culegere osră umerose soluţ peru ecere mgemeulu l vel mcro ş mcroecoomc Suem recuoscăor coducer Cedre de Memcă d cdrul Acdeme de Sud Ecoomce Bucureş î cdrul căre e desăşurăm cve persol domulu proesor uversr docor Gheorghe Ceuşă d pre căru o uor m prm u mpor sprj ş preţose suges lege de srucur ş orgre merlulu Nurm sperţ c cor să găsescă î cesă culegere u sprj rel peru sudu ş cercere ş să e rsmă orce el de semle cu crcer de sugese peru îmbuăăţre coţuulu său l edţle vore Auor

5 CAPITOLUL METODA ELIMINĂRII COMPLETE GAUSS-JORDAN Meod elmăr complee se poe olos prre lele peru: - reolvre uu ssem de ecuţ lre; - clculul verse ue mrce esgulre Epele plcăr cese meode su: Se lcăueşe u bel cre coţe mrce ssemulu ce rebue reolv oă A su mrce ce rebue versă A Se lege u eleme eul l mrce A um pvo Elemeele d bel se modcă sel: elemeele de pe l pvoulu se împr l pvo; b colo pvoulu se compleeă cu ero; c resul elemeelor se clculeă după regul drepughulu: - se ormeă u drepugh vâd elemeul ce rebue îlocu ş pvoul c vârur; - d produsul elemeelor de pe dgol pvoulu se scde produsul elemeelor celelle dgole r reulul se împre l pvo Schemc regul drepughulu se preă sel: b c : : ' ude: : : b c b b pvoul; elemeul ce rebue îlocu; ' ou vlore elemeulu d culv dcă pe l pvoulu esă u eleme egl cu ero uc colo celu eleme se copă; log dcă pe colo pvoulu esă u eleme egl cu ero uc l celu eleme se copă Se reu pş ş pâă câd de pe ecre le s- les câe u pvo

6 PROBLEME REZOLVATE Să se reolve urmăorul ssem de ecuţ lre olosd meod elmăr complee: 6 9 Reolvre: Vom olos urmăore schemă: A b I X A b / / Deducem că soluţ ssemulu ese: Să se reolve urmăorul ssem de ecuţ lre olosd meod elmăr complee: 9 6 6

7 Reolvre: A b I X Observţe Peru smplcre clculelor m les drep pvo m îâ elemeul l dole l dgole prcple î cul osru Soluţ ssemulu ese: Să se deerme î cul î cre esă vers mrce: A Reolvre: Deorece de A reulă că mrce A ese versblă Peru deermre verse vom olos urmăore schemă: A I I A 7

8 A I - -/ / / / /8 / -/8 I / -/ / /8 / -/ -/ A Am obţu că 9 8 A Să se reolve ssemul de ecuţ lre olosd meod elmăr complee: Reolvre: A b I X - - 8

9 Observţ - Meod Guss-Jord cosă î rsormăr succesve le ssemulu ţl î orme echvlee - Î reolvre uu ssem pr cesă meodă u ese oblgoru c pvoul să e les de pe dgol prcplă D ulm erţe rescrd ssemul reulă: cre ese u ssem compbl smplu edeerm vâd soluţ: R Să se reolve urmăorul ssem de ecuţ lre olosd meod elmăr complee: 7 6 Reolvre: A b / 6/ / -/ Aplcâd meod elmăr complee m obţu urmăore ormă echvleă ssemulu: 9

10 D prm relţe reulă că ssemul ese compbl 6 Să se reolve ssemul de ecuţ lre olosd meod elmăr complee: Reolvre: A b Aplcâd meod elmăr complee m obţu urmăore ormă echvleă ssemulu: cre ese u ssem compbl dublu edeerm Soluţ ssemulu ese:

11 β β cu R β PROBLEME PROPUSE Să se reolve urmăorele sseme de ecuţ lre: 9 R: R: 9 9 R: Ssemul ese compbl 8 6 R:

12 R: R β β β β ; R: Să se deerme versele mrcelor: A R: - A A R: A 9 A R: A - A R: A

13 CAPITOLUL SPAŢII VECTORIALE NOŢIUNEA DE SPAŢIU VECTORIAL BREVIAR TEORETIC Deţ Se umeşe spţu vecorl pese u corp K o mulţme evdă V doă cu două operţ : V V V ş : K V V cu propreăţle: I V grup bel; II β β β K V; b K V ; c β β β K V; d K V ude K ese elemeul euru l operţe de îmulţre d K Eemple de spţ vecorle: R R ese spţul vecorl umerc rel -dmesol ude R { R } M R R m ese spţul vecorl rel l mrcelor de pul m cu elemee umere rele R [ X ] R ese spţul vecorl rel l polomelor î edeerm X cu coeceţ rel

14 [ X ] R R ese spţul vecorl rel l polomelor de grd cel mul î edeerm X cu coeceţ rel F [ b] R ese spţul vecorl rel l ucţlor rele dee b pe ervlul [ ] Deţ Fe V K u spţu vecorl ş W V W Spuem că W ese subspţu vecorl l spţulu vecorl V K dcă: W W ; K W W Observţe U subspţu vecorl re o srucură de spţu vecorl î rpor cu operţle duse PROBLEME REZOLVATE Cosderăm operţle: * * * * * : R R R ş : R R R * R R ude " " ese îmulţre umerelor rele * Să se re că R împreuă cu cele două operţ ormeă u spţu vecorl rel Reolvre: Vercăm codţle d deţ * I Fe R ; reulă că coorm comuvăţ îmulţr umerelor rele

15 b Fe * R ; reulă că î b socvăţ îmulţr umerelor rele c Numărul rel ese elemeul euru ţă de operţ : * R d * * R R sel îcâ II Fe * R R β Reulă că β β β β b Fe * R R Reulă că: c Fe * R R β Reulă că: β β β β β β d Fe * R ; reulă că: R Coorm deţe d I ş II reulă că * R împreuă cu cele două operţ ormeă u spţu vecorl rel Să se re că mulţme { } R V împreuă cu dure vecorlor d R ş îmulţre cesor cu sclr ormeă u spţu vecorl rel Reolvre: Deorece R V ş R R ese spţu vecorl coorm

16 observţe d brevrul eorec ese suce de ră că V ese u subspţu vecorl l spţulu R R Fe V Reulă că cu ş R cu Avem că: R V Fe R V Reulă că: pr urmre R dec V Coorm deţe d ş reulă că V ese u subspţu vecorl l spţulu R R dec V ese spţu vecorl rel PROBLEME PROPUSE Să se re că mulţme C[ b ] R { :[ b] R couă pe [ b] } împreuă cu operţle de dure ucţlor ş de îmulţre ucţlor cu sclr ormeă u spţu vecorl pese R Să se re că mulţme M m R mrcelor cu m l ş coloe ş elemee umere rele re o sucură de spţu vecorl rel î rpor cu operţle de dure mrcelor ş de îmulţre cesor cu sclr rel 6

17 Să se re că mulţme b A ; b c d R c b împreuă cu operţle c d de dure mrcelor ş de îmulţre cesor cu sclr rel ormeă u spţu vecorl pese R * * * Cosderăm operţle: : R R * * : R R * R R * Să se sudee dcă R ş R R împreuă cu cele două operţ ormeă u spţu vecorl rel b Să se re că mulţme A ; b C ude b repreă cojugul umărulu comple împreuă cu operţle de dure mrcelor ş de îmulţre cesor cu sclr rel ormeă u spţu vecorl pese C 6 Să se re că urmăorele mulţm su subspţ vecorle le spţlor vecorle dce: R [ X ] R[ X ] ; { } b o b b R R ; c { X bx b R} R[ X ]; { } d R R Idcţe Se olosesc deţle oţulor de spţu ş subspţu vecorl precum ş pul că u subspţu vecorl re o srucură de spţu vecorl î rpor cu operţle duse 7

18 DEPENDENŢA ŞI INDEPENDENŢA LINIARĂ A SISTEMELOR DE VECTORI BREVIAR TEORETIC Deţ Fe V K u spţu vecorl U ssem de vecor { v v } v d V se umeşe lr depede dcă K cu propree v v v reulă Deţ Fe V K u spţu vecorl U ssem de vecor { v v } v d V se umeşe lr depede dcă esă sclr K u oţ ul sel îcâ v v v Propoţ U ssem de vecor d spţul vecorl R R ese lr depede dcă ş um dcă rgul mrce vâd pe coloe vecor ssemulu ese egl cu umărul de vecor Propoţ Ssemul { v v v} V ese lr depede dcă ş um dcă cel puţ u vecor d ssem ese o combţe lră celorllţ Propoţ Orce subssem l uu ssem de vecor lr depede ese lr depede Propoţ Orce suprssem l uu ssem de vecor lr depede ese lr depede Propoţ Orce ssem de vecor cre coţe vecorul ul ese lr depede 8

19 PROBLEME REZOLVATE Se cosderă vecor d spţul lr R R v v - v Să se re că vecor v v v su lr depedeţ b Să se deerme o relţe de depedeţă lră îre v v v c Să se precee cre dre vecor se poe scre c o combţe lră celorllţ - Reolvre: Coorm deţe rebue să răăm că esă sclr R u oţ ul sel îcâ v v v Îlocud v v v î cesă relţe reulă: - - omoge: ş obţem ssemul lr Deermul mrce ssemulu ese pr urmre ssemul dme ş soluţ eble dec esă R u oţ ul sel îcâ v v v Coorm deţe reulă că vecor v v v su lr depedeţ b O relţe de depedeţă lră îre vecor v v v ese o relţe de orm: v v v cu R u 9

20 oţ ul Reolvăm ssemul lr omoge obţu l pucul Cosderăm ecuoscue prcple ş R ecuoscuă secudră ş obţem: pr urmre soluţ ssemulu ese: R r o relţe de depedeţă lră îre ce re vecor ese: * v v v R su după smplcre v v v c Deorece vecor su lr depedeţ coorm propoţe reulă că cel puţ u vecor se poe scre c o combţe lră celorllţ D relţ de depedeţă lră găsă l pucul b reulă că orcre dre vecor se poe scre c o combţe lră celorllţ sel: v v v v v v v v v Să se re că vecor - v v R R - lr depedeţ b Să se precee dcă vecorul v se poe scre c o combţe lră celorllţ vecor v d spţul lr su Reolvre: Coorm deţe rebue să răăm că orcre r sclr R sel îcâ v v v reulă că Îlocud v v v î relţ de m sus obţem:

21 - - ş reulă ssemul lr omoge: Deermul mrce ssemulu ese pr urmre ssemul dme um soluţ blă: Coorm deţe reulă că vecor v v v su lr depedeţ b Observţe D propoţ reulă că îr-u ssem de vecor lr depede c uul dre vecor u se poe scre c o combţe lră celorllţ Deorece vecor v v v su lr depedeţ reulă că v u se poe scre c o combţe lră vecorlor v ş v Să se sudee ur urmăorelor sseme de vecor d spţle lre dce: - v v v d R R ; b - v v d R R ; c v v v v d R R Reolvre: Meod I olosd deţ Fe R sel îcâ

22 v v v Reulă că: - ş obţem ssemul lr omoge: Mrce ssemulu ese A ş re rgul m mc decâ umărul de ecuoscue pr urmre ssemul ese compbl edeerm dec dme ş soluţ eble dcă esă R u oţ ul sel îcâ v v v Coorm deţe reulă că { } v v v ese u ssem de vecor lr depede Meod II olosd propoţ Fe A mrce ormă cu compoeele vecorlor: A ; vem că A rg ş ese der de umărul de vecor d ssem pr urmre { } v v v ese u ssem de vecor lr depede b Meod I olosd deţ Fe R sel îcâ v v Reulă că: - ş obţem ssemul lr omoge: Rgul mrce ssemulu ese egl cu umărul de ecuoscue pr urmre ssemul ese compbl deerm dec dme um

23 soluţ blă: Coorm deţe reulă că { } v v ese u ssem de vecor lr depede Meod II olosd propoţ Fe A mrce ormă cu compoeele vecorlor: - A ; rga ş ese egl cu umărul de vecor d ssem pr urmre { } v v ese u ssem de vecor lr depede c Meod I olosd deţ Fe R sel îcâ v v v v ; deermul mrce ssemulu ese pr urmre ssemul dme um soluţ blă: Coorm deţe reulă că { } v v v v ese u ssem de vecor lr depede Meod II olosd propoţ Fe A mrce ormă cu compoeele vecorlor: A ; rga umărul de vecor d ssem pr urmre { } v v v v ese ssem de vecor lr depede

24 Să se sudee ur urmăorelor sseme de vecor d spţle lre dce: 9 - v v v R d R R ; b - g g g R d R R Reolvre: Vom olos propoţ d brevrul eorec Fe A mrce vâd pe coloe vecor v v v : 9 - A ; de A Dcă { } R \ uc de rga A umărul de vecor dec { } v v v ese ssem de vecor lr depede Dcă { } < rga rga A de umărul de vecor dec { } v v v ese ssem de vecor lr depede b Fe A mrce vâd pe coloe vecor g g g : A Deermăm rga Avem că d ş e d ' d mor obţuţ pr bordre lu d

25 d 9 9 uc d rga umărul de g ese ssem de vecor lr depede uc d ; vem că ' d 8 Dcă R \ { } vecor dec { g g } Dcă dec g g g ese ssem de vecor lr depede Î coclue vecor g g g su lr depedeţ R rga umărul de vecor pr urmre { } Să se sudee ur urmăorelor sseme de vecor d spţle lre dce: g X g X X g 6 X X d R [ X ] R ; b b b d C R ; c s cos î F R ude F { :[] R couă pe [ ] }; - - d A A A î M R R Reolvre: Observţe Deorece c uul dre ssemele de vecor d euţ u prţe uu spţu lr de pul R * R N u se poe olos propoţ peru sbl ur cesor Vom plc deţ

26 Fe R sel îcâ g g g ; X X X 6 X X ş reulă ssemul lr omoge: 6 obţem: Deermul mrce ssemulu ese pr urmre ssemul dme ş soluţ eble dcă esă R u oţ ul sel îcâ g g g Coorm deţe reulă că g g g su lr depedeţ b Fe R sel îcâ b b ; obţem: ş reulă ssemul lr omoge: cre dme um soluţ blă: Coorm deţe reulă că b b su lr depedeţ c Fe R sel îcâ ; d cesă egle de ucţ reulă că s cos [ ] π Peru obţem r peru reulă dec Coorm deţe reulă că vecor su lr depedeţ d Fe R sel îcâ A A A - - dcă de ude obţem ssemul lr omoge: 6

27 Rgul mrce ese re ş egl cu umărul de ecuoscue pr urmre ssemul ese compbl deerm dec dme um soluţ blă: Coorm deţe reulă că vecor A A A su lr depedeţ 6 Î spţul lr R R se cosderă vecor: v v v v v 6 v v v Să se deerme ur urmăorelor sseme de vecor ş câd ese posbl să se scre o relţe de depedeţă lră îre vecor: { } v v v ; { } v v v b ; { } v v c ; { } v v v v d ; { } 6 v v v e ; { } v v v Reolvre: Meod I olosd deţ Fe R sel îcâ v v v Reulă că: ş obţem ssemul lr omoge: Deorece deermul mrce ssemulu reulă că ssemul dme um soluţ blă: Coorm deţe reulă că { } v v v ese u ssem de vecor lr depede Meod II olosd propoţ Fe A mrce ormă cu compoeele vecorlor: 7

28 A ; de A dec rgul mrce A ese re egl cu umărul de vecor d ssem pr urmre { v v v} ese u ssem de vecor lr depede b Meod I olosd deţ Fe R sel îcâ v v v relţe echvleă cu - de ude obţem ssemul lr omoge: Deorece deermul mrce ssemulu reulă că ssemul dme ş soluţ eble dcă esă R u oţ ul sel îcâ v v v v v v Coorm deţe reulă că { } ese u ssem de vecor lr depede Meod II olosd propoţ Fe A mrce ormă cu compoeele vecorlor: A - ; de A ; d 8 dec rgul mrce A ese der de umărul de vecor d ssem pr urmre { v v v} ese u ssem de vecor lr depede O relţe de depedeţă lră îre vecor ssemulu ese de orm: v v v cu R u oţ ul Reulă ssemul lr omoge: 8

29 8 ; deermul prcpl l ssemulu: d dec ecuoscue prcple ş ecuoscuă secudră Reolvâd ssemul obţem: λ λ λ cu λ R Pr urmre o relţe de depedeţă lră îre vecor ese: * λ v λv λ v λ R su v v v c Meod I olosd deţ Fe R sel îcâ v v ; de c reulă: Rgul mrce ssemulu lr omoge obţu ese egl cu umărul ecuoscuelor pr urmre ssemul dme um soluţ blă: v ese u ssem de vecor v Coorm deţe reulă că { } lr depede Meod II olosd propoţ Fe A mrce ormă cu compoeele vecorlor: A ; d dec rgul mrce A ese egl cu umărul vecorlor d ssem pr urmre { v } v ese u ssem de vecor lr depede Meod III { v v } ese u subssem l ssemulu de vecor lr depedeţ { v v v} de ude reulă coorm propoţe că { v v } ssem de vecor lr depede 9

30 d Meod I olosd deţ Fe R sel îcâ v v v v ; d pr urmre rgul mrce ssemulu ese m mc decâ umărul de ecuoscue dec ssemul dme ş soluţ eble dcă esă R u oţ ul sel îcâ v v v v Coorm deţe reulă că { } v v v v ese u ssem de vecor lr depede Meod II olosd propoţ Fe A mrce ormă cu compoeele vecorlor: A ; d dec rgul mrce A ese re der de umărul de vecor d ssem pr urmre { } v v v v ese u ssem de vecor lr depede Meod III { } v v v v ese u suprssem l ssemulu de vecor lr depedeţ { } v v v de ude reulă coorm propoţe că { } v v v v ese u ssem de vecor lr depede Deermăm o relţe de depedeţă lră: v v v v cu R u oţ ul Reolvâd ssemul obţem: v v v

31 e Se observă că î ssemul de vecor { v v v6} uul dre vecor v 6 ese o combţe lră celorllţ do: v v v Î b propoţe reulă că ssemul de 6 vecor { v v } v6 ese lr depede O relţe de depedeţă lră ese: v 6 v v su v v v 6 Deorece ssemul de vecor { v v v} coţe vecorul ul reulă coorm propoţe că ese lr depede O relţe de depedeţă lră ese: v v λ v * λ R su v v v 7 Să se deerme prmerul rel m sel îcâ vecor m m v m v m v m d spţul lr R R să e m m lr depedeţ Reolvre: Coorm propoţe d brevrul eorec vecor v v v su lr depedeţ dcă ş um dcă rgul mrce A vâd pe coloe compoeele cesor ese egl cu m m m m de A m m m m m m m m m m m m 7 m rg A de A m R \ 7 Avem că { } m m

32 8 Se cosderă vecor d spţul lr R X R ] [ : 6 X X g X X g X X g X g Sblţ î cre d urmăorele sseme de vecor uul dre vecor se poe scre c o combţe lră celorllţ: { } { } { } ; ; g g g c g g g g b g g g Auc câd ese posbl screţ uul dre vecor ssemulu c o combţe lră celorllţ Reolvre: Se şe propoţ că uul dre vecor uu ssem se poe scre c o combţe lră celorllţ dcă ş um dcă ssemul ese lr depede Î cosecţă problem reve l sud ur ecăru ssem de vecor Fe R sel îcâ g g g X X X X X X X X dcă ssemul de vecor ese lr depede ş pr urmre c uul dre vecor u se poe scre c o combţe lră celorllţ b Fe R sel îcâ g g g g ; de c reulă ssemul: 6 dec ssemul de vecor ese lr depede ş c uul dre vecor u se poe scre c o combţe lră celorllţ

33 c Fe R sel îcâ g g g ; deorece deermul mrce 6 ssemulu ese reulă că ssemul dme ş soluţ eble dec { g g g} ese u ssem de vecor lr depede ş î ces c reulă că uul dre vecor se poe scre c o combţe lră celorllţ Reolvâd ssemul de m sus obţem: λ λ λ cu λ R O relţe de depedeţă lră îre ceş vecor ese: * λ v λv λv λ R su v v v de ude puem scre uul dre vecor c o combţe lră celorllţ sel: v v v su v v su v v v v 6 9 Fe vecor v v v R d spţul -9 6 lr R R Să se deerme prmerul se îcâ vecorul v să e o combţe lră vecorlor v ş v Reolvre: Vecorul v ese o combţe lră vecorlor v ş v dcă esă β R sel îcâ v v βv cee ce reve l pul 6 β că ssemul: β ese compbl Fe A mrce 9 6β ssemulu ş A mrce esă Avem că rga rg A dec ssemul ese compbl R Pr urmre u esă R sel c v să e o combţe lră vecorlor v ş v

34 Să se sudee ur urmăorulu ssem de vecor d spţul lr R R ş uc câd ese posbl să se scre uul dre vecor c o combţe lră celorllţ: v m v m v m v m ; m R Reolvre: Fe A mrce ormă cu compoeele vecorlor: m m m m A ; m de A m m m m m Dcă m R \ { } de A rg A umărul de vecor dec { v v v v} ese u ssem de vecor lr depede Dcă m { } uc de A dec rg A umărul de vecor dec { v v v v} ese ssem de vecor lr depede Î ces c deermăm o relţe de depedeţă lră îre vecor ssemulu: v v v v Peru m se obţe ssemul compbl smplu edeerm: cu soluţ λ λ R O relţe de depedeţă lră ese: λ v λv λv λv * λ R su v v v v de ude puem scre uul dre vecor c o combţe lră celorllţ: v v v v Peru m se obţe ssemul compbl rplu edeerm:

35 cu soluţ δ γ β δ γ β cu R δ γ β Reulă relţ de depedeţă lră: v v v v δ γ β δ γ β cu R δ γ β u oţ ul Dcă vem de eemplu β puem scre vecorul v c o combţe lră celorllţ: v v v v β δ β γ β δ γ β Fe vecor: A A A A - d spţul lr R R M ude R Deermţ prmerul sel îcâ: ce pru vecor să e lr depedeţ; b vecorul A să se poă scre c o combţe lră vecorlor A A A Reolvre: Fe R sel îcâ A A A A ; vecor su lr depedeţ dcă d relţ de m sus reulă că oţ sclr su ul dcă dcă ssemul obţu dme um soluţ blă Reulă de c că deermul mrce ssemulu

36 rebue să e eul Avem că de ude obţem că R \ {} b Meod I Vecorul A se poe scre c o combţe lră vecorlor A A A dcă esă sclr R sel îcâ A A A A Trebue lă vlore prmerulu R sel îcâ ssemul obţu să e compbl Deermul orm d elemeele ulmlor două l ş coloe le mrce ssemulu ese eul dec rg A Pr bordre cesu obţem do deermţ de ordul re: ş 8 6 Peru obţem că rg A rg A dec ssemul ese compbl Peru vem că rg A ş rg A dec ssemul ese compbl Pr urmre Meod II Coorm propoţe o codţe ecesră peru c vecorul A să se poă scre c o combţe lră celorllţ vecor ese c A A A A să e lr depedeţ dcă Vercăm dcă peru esă sclr R sel îcâ A A A A Avem că rg A rg A dec ssemul ese compbl 6

37 Î coclue A se poe scre c o combţe lră vecorlor A A A dcă ş um dcă Se cosderă vecor lr depedeţ d spţul vecorl V R ş urmăorele combţ lre le cesor: g g g g Sblţ ur urmăorelor sseme de vecor: g g g ; b g g g g ; c g g g { } { } { } Reolvre: Fe R sel îcâ g g g Deorece vecor su lr depedeţ reulă că oţ coeceţ cesor d relţ de m sus su ul: ; deermul mrce ssemulu obţu ese: pr urmre ssemul dme ş soluţ eble dec esă g g g g g b { g g g } Reulă că vecor { } R u oţ ul sel îcâ g su lr depedeţ g ese suprssem l uu ssem de vecor lr depede { g g} { g g g } g pr urmre coorm propoţe g ese u ssem de vecor lr depede 7

38 c Fe R sel îcâ g g g Cum vecor su lr depedeţ reulă că oţ coeceţ cesor d relţ obţuă m sus su ul: ; deermul mrce ssemulu ese 8 pr urmre ssemul dme um soluţ blă: Reulă că vecor { } g g g su lr depedeţ PROBLEME PROPUSE Se cosderă vecor 6 v v v d spţul lr R R Să se re că vecor v v v su lr depedeţ b Să se deerme o relţe de depedeţă lră îre v v v c Să se precee cre dre vecor se poe scre c o combţe lră celorllţ vecor R: b v v ; c v ş v : v v v ; v v v 8

39 Să se re că vecor - v v v d spţul lr R R su lr depedeţ b Să se precee cre dre vecor se poe scre c o combţe lră celorllţ vecor R: b c uul Să se sudee ur urmăorelor sseme de vecor d spţle lre dce: - - v v v d R R ; b v v d R R ; c v v v v d R R R: ssem de vecor lr depedeţ svld; b ssem de vecor lr depedeţ svld; c ssem de vecor lr depedeţ svl Să se sudee ur urmăorelor sseme de vecor d spţle lre dce: X X g X X g X X g d R X R ] [ ; b b b b 7 d R C ; 9

40 c s cos F R ude F { :[] R couă pe [ ] }; - 7 d A A A î M R R ; - e e e î F R ude F { :[] R couă pe [ ] }; cos cos cos î F R ude F { :[] R couă pe [ ] }; R: svl; b svld; c svl; d svld; e svl; svld î Sblţ ur urmăorelor sseme de vecor d spţle vecorle dce ş uc câd ese posbl screţ o relţe de depedeţă lră îre vecor: î R : ; b î c î d î R: ; 8 6 ; b svl; ; d svl R : R : R : svld; c svld; 6 Să se cerceee ur urmăorelor sseme de vecor d spţle vecorle dce r î c de depedeţă lră să se scre o relţe de depedeţă lră îre vecor: v v s v s î F R ude F { :[] R couă pe [ ] }; b cos s î F R ude F { :[] R couă pe [ ] }; ;

41 c X X X X R [ X ] R ; d 7 î C R ; e A A A î M R R 6 8 R: svl; b svld; ; c svl; d svl; e svld; A A A î 7 Fe spţul vecorl V K Să se demosree că: ssemul de vecor { } V ese lr depede; b ssemul de vecor { } V ese lr depede; c ssemul de vecor { c b c b c} V ese lr depede R: se ră că se poe scre o relţe de depedeţă lră îre vecor de eemplu cu K K ; b cu K K 8 Să se dscue ur urmăorelor sseme de vecor d spţle lre dce î ucţe de vlorle prmerulu rel m : m î R R ; b m m î R ; c m m m î R R ; d m m m m î R R R: svl peru m R \ { } ; svld peru m { } ; b svl peru m R \ { } ; svld peru m { } ; R \ m c svl peru m { }; svld peru { }

42 9 Î spţul vecorl R V se cosderă vecor lr depedeţ b c Să se deerme ur urmăorelor sseme de vecor: { b c c b c} ; b { b c b b c} R: svl; b svld Î spţul vecorl R V se cosderă vecor lr depedeţ b c Să se deerme ur ssemelor de vecor: { c b c b c} ; b b c b c b { } Î spţul lr R R se cosderă vecor: v v v v 8 v - - v 6 v v Sblţ ur urmăorelor sseme de vecor ş uc câd ese posbl screţ o relţe de depedeţă lră îre vecor: { v v v} ; b { v v v} ; c { v v } ; d { v v v v } ; e { v v v6} ; { v v v} R: svl; b svld; c svl; d svld; e svld; svld Să se sudee ur urmăorulu ssem de vecor d spţul lr R R ş uc câd ese posbl să se scre uul dre vecor c o combţe lră celorllţ: v m m m ; v m m m ; v m m m Idcţe Se oloseşe propoţ d brevrul eorec

43 Se cosderă urmăor vecor d spţul lr R [ X ] R : g X g X X g X X g X 6 X Sblţ î cre d urmăorele sseme uul dre vecor se poe scre c o combţe lră celorllţ: { g g g} ; b { g g g g} ; c { g g g} Auc câd ese posbl screţ uul dre vecor ssemulu c o combţe lră celorllţ R: b Î spţul lr R R se cosderă vecor: v v v v v Deermţ k sel îcâ ssemul de vecor: { v v v k } să e lr depede; b { v vk v} să e lr depede R: k ; k { } b { } Să se sudee ur urmăorelor sseme de vecor d spţle lre dce: v m v m m v d R R ; m R ; b X R X ] R [ X * N ; X d c g g cos g cos g cos d * F R ude F { :[] R couă pe [ ] } N ; d e e e e d F R * ude F { :[] R couă pe [ ] } N R: svl dcă m R \ { } ; svld dcă m { } ; b svl; c svl; d svl

44 SISTEM DE GENERATORI BAZĂ A UNUI SPAŢIU VECTORIAL COORDONATELE UNUI VECTOR ÎNTR-O BAZĂ DATĂ BREVIAR TEORETIC V u spţu vecorl O mle de vecor I se umeşe ssem de geeror peru V dcă orce vecor d V se poe scre c o combţe lră cu vecor dg Deţ Fe K G { v } V Deţ Fe K V u spţu vecorl Fml B V se umeşe bă spţulu vecorl V K dcă: B ese o mle lr depedeă; B ese u ssem de geeror peru V V ese u spţu vecorl dmesol su de p dcă re o bă ă Deţ K V u spţu vecorl dmesol Se umeşe dmesue spţulu vecorl ş se oeă cu dm V umărul de vecor ue be Deţ Fe K V u spţu vecorl dmv m U ssem v m d V ormeă bă spţulu V K dcă ş um dcă ese lr depede Propoţ Fe K de vecor { v v }

45 Observţ Coorm propoţe reulă că u ssem de vecor B ormeă o bă spţulu lr de p V K dcă ş um dcă: B ese u ssem lr depede; crdb dmv ude crdb repreă umărul de elemee l mulţm B Propoţ Fe K V u spţu vecorl de dmesue ă Auc screre uu vecor v îr-o bă dă B ese ucă Deţ Fe V K u spţu vecorl dmv ş B { v v } o bă î ces spţu v Coordoele vecorulu î b B su sclr K sel îcâ v v v Vecorul B se umeşe vecorul coordoelor lu î b B Observţ Propoţ d prgrul reerore l ur uu ssem de vecor d R poe ede ş î cul uu ssem de vecor dr-u spţu lr rel de p sel: Propoţ U ssem de vecor dr-u spţu lr rel de p ese lr depede dcă ş um dcă rgul mrce vâd pe coloe coordoele vecorlor ssemulu îr-o bă orecre spţulu lr ese egl cu umărul de vecor

46 PROBLEME REZOLVATE Să se re că mulţme de vecor G { g g g g} ude g g g g R R ormeă u ssem de geeror peru spţul lr Reolvre: Coorm deţe { g g g g} ormeă ssem de geeror peru spţul lr R R dcă v R R sel îcâ v g g g g Fe v b c R ; relţ de m sus deve: b ; c rgul mrce ssemulu ese ş ese egl cu rgul mrce ese pr urmre ssemul ese compbl dec esă R sel îcâ v g g g g Reulă că { g g g g} ese ssem de geeror peru spţul R R lr Să se re că mulţme de vecor B ormeă o bă spţulu vecorl dc ş să se deerme coordoele vecorulu v î b B : B { v v v }; V K R R ; v ; b B { X X X }; V K R[ X ] R ; X X X ; 6

47 c B A A A A V K M R R ; v Reolvre: Coorm propoţe vem de verc două codţ: B ssem de vecor lr depede; umărul vecorlor d mulţme B dmesue spţulu d cre c pre vecor - Avem că pr urmre rgul mrce orme cu compoeele vecorlor umărul de vecor dec B ese ssem de vecor lr depede; crd B dm R D ş reulă că B ormeă o bă spţulu vecorl R R Deermăm coordoele vecorulu v î b B Meod I Coordoele vecorulu v î b B su sclr R sel îcâ v v v v Reulă ssemul: Reolvâd ssemul obţem: Pr urmre coordoele vecorulu v î b B su: B Meod II D ormul de repreere uu vecor îr-o bă dă vem că: A v ude v B repreă vecorul su v v B 7

48 coordoelor lu v î b B r A ese mrce vâd pe coloe vecor be Folosd meod Guss-Jord obţem: A v I A -6 Pr urmre v v B b Fe R sel îcâ g X X C C C C C C dec B ese ssem de vecor lr depede; 8

49 crd B dm R [ X ] D ş reulă că B ese o bă spţulu vecorl R [X ] Fe R coordoele vecorulu v î b B X X X X * Peru Dervăm relţ ş peru obţem că ' '' Repeâd procedeul obţem:! c Fe R sel îcâ A ; deermul mrce ssemulu ese dec ssemul dme um soluţ blă: pr urmre B ese u ssem de vecor lr depede crd B dm M R D ş reulă că B ormeă o bă spţulu lr M R R Fe R sel îcâ v A A A A v B 9

50 Se du vecor: v v v v v 6 v v v v Să se deerme cre d urmăorele mulţm ormeă u ssem de geeror peru spţul vecorl R R : { } { } { } { }; ; ; ; v v v v d v v c v v v b v v v { } { } ; 6 v v v v v v e D ecre ssem de geeror să se ergă oe bele posble le spţulu vecorl R R Să se verce dcă screre uu vecor d R c o combţe lră vecorlor ce ormeă ssemul de geeror ese ucă Reolvre: { } v v v ormeă ssem de geeror dcă R R v sel îcâ v v v v Fe R c b v ; relţ de m sus deve: c b ; deermul ssemulu ese pr urmre ssemul ese compbl deerm dec esă R sel îcâ v v v v Reulă că { } v v v ese ssem de geeror; de semee { } v v v ese ssem de vecor lr depede dec ormeă o bă spţulu lr R R Coorm propoţe reulă că

51 screre uu vecor d R c o combţe lră vecorlor ce ormeă ssemul de geeror ese ucă b Procedâd log obţem că se poe găs u vecor v R sel îcâ ssemul să e compbl pr urmre { v v v } u ese ssem de geeror c Î mod log reulă că { v v } u ese ssem de geeror d Am ră l pucul că { v v v} ssem de geeror pr urmre reulă că v R R sel îcâ v v v v v R R sel îcâ v v v v v Deorece { v v v} ese ssem de geeror reulă că { v v v v } ese ssem de geeror Cum dm R obţem că ssemul { v v v v } u ese bă spţulu R Rămâe să vercăm pr clcule dcă screre uu vecor d R c o combţe lră vecorlor ce ormeă ssemul de geeror ese ucă Vom obţe că cesă screre u ese ucă Deorece dm R reulă că umărul mm de be ce se po orm cu vecor d ces ssem ese C Noăm cu jkl deermul orm cu compoeele vecorlor j k l Avem dec bele cre se po orm su: { v v v} ş { v v v} Peru pucele e ş se procedeă î mod smlr Fe { } V dmesue re ş ssemul de vecor G { g g g } V F o bă uu spţu lr R de

52 Şd că g g g se cere: să se re că G { g g g} ormeă o bă spţulu vecorl V R ; b să se deerme coordoele vecorulu î b F c să se deerme coordoele vecorulu g g g î b F ; d să se deerme coordoele vecorulu î b G Reolvre: Fe R sel îcâ g g g Deorece vecor su lr depedeţ reulă că oţ coeceţ cesor d relţ de m sus su ul: ; deermul mrce ssemulu obţu ese: 6 pr urmre ssemul dme um soluţ blă: g g g ese u ssem de vecor lr depedeţ De semee umărul de vecor d ssem ese egl cu dmesue spţulu lr V R pr urmre G { g g g} ormeă o bă spţulu vecorl V R b Avem că pr urmre coorm deţe dec { }

53 coordoele vecorulu î b F su: su F c Avem că g g g Trebue să eprmăm vecorul î ucţe de vecor be F Folosd relţle d euţ cre eprmă vecor be G î ucţe de vecor be F obţem: 8 dec coorm deţe coordoele vecorulu î b F su: 8 F 8 d Peru deerm coordoele vecorulu î b G puem olos meod Guss-Jord Porm de l repreere vecorulu î b F Vom elm pe râd câe u vecor l be ţle pe cre îl vom îlocu cu u vecor l o be G Reulă urmăorul bel: su B g g g g g g g g g / - / Î ulm erţe î colo vecorulu s-u obţu coordoele cesu î b G pr urmre G

54 PROBLEME PROPUSE Să se re că mulţme de vecor A { } ude 6 R R ormeă u ssem de geeror peru spţul lr Sblţ cre d ssemele urmăore de vecor ormeă o bă spţulu vecorl dc: v v v R R ; b v v v v î R R î ; c v v C R ; X X v X X v X X R [ X ] R ; e A A A M R R î d v 8 î A î R: b c e Să se re că mulţme de vecor B ormeă o bă spţulu vecorl dc ş să se deerme coordoele vecorulu v î b B : B { v v v 6 }; V K R R ; v ; { V K R[ X ] R ; X X X b B X X X }; ;

55 - 8-8 c B A A A A V K M R R ; v Să se deerme prmerul m R sel îcâ mulţme de vecor B să ormee o bă spţulu lr dc: B { v m v m v } R R ; b B { X m X } R [ X ] R ; c B { m m} C R Se cosderă ssemul de vecor d spţul lr R R v v } B { v Să se re că B ormeă o bă spţulu lr R R b Să se deerme vecorul v R şd că vb 6 6 Î spţul vecorl R R se cosderă vecor: v v v v v Deermţ k sel îcâ ssemul de vecor: { v v v k } să ormee o bă spţulu vecorl R R ; b { v v v k } să e ssem de geeror peru spţul vecorl R R R: k ; k { } b { } 7 Fe B { } o bă uu spţu lr V R dmesue re ş ssemul de vecor B { b b b } V de :

56 Şd că b b b se cere: să se re că B { b b b} ormeă o bă spţulu vecorl V R ; b să se deerme coordoele vecorulu î b B c să se deerme coordoele vecorulu î b B ; d să se deerme coordoele vecorulu b b b î b B R: Se oloseşe propoţ d brevrul eorec B ; b c B ; d 6 8 Să se re că mulţme de vecor d spţul lr R R B { g g g g } G R R ş că ese u ssem de geeror peru spţul lr c o combţe lră vecorlor d G u ese ucă screre vecorulu v B d spţul lr R R ormeă o bă cesu spţu ş să se deerme coordoele vecorulu î cesă bă: ; ; b ; R: Se oloseşe propoţ d brevrul eorec; B ; b B 9 Să se re că ssemul de vecor { } 6

57 Să se re că ssemul de vecor B ormeă o bă spţulu lr V K ş să se deerme coordoele vecorulu î cesă bă peru ecre d curle urmăore: V K R R { B v v } ; V K R[ X ] R b { X X X } B X V K M R R c B A A A A ; V K R R d { v v v } X ; B e V K C R B { } Se du vecor d spul lr R R : v v v v v 6 v 6 v v v Cre d urmăorele mulţm ormeă u ssem de geeror peru spţul vecorl R R : { v v v} ; b { v v v}; c { v v} ; d { v v v v} ; e { v v v6} ; { v v v} D ecre ssem de geeror să se ergă oe bele R R posble le spţulu vecorl 7

58 Să se verce dcă screre uu vecor d R c o combţe lră vecorlor ce ormeă ssemul de geeror ese ucă Î spţul vecorl R R se cosderă vecor v v v Să se compleee ces ssem de vecor pâă l o bă Î spţul vecorl R R se cosderă vecor: v v v R Se şe că { v v } ese bă r coordoele vecorulu v î cesă bă su egle cu -7 ş Să se deerme vlore prmerulu Fe spţul vecorl R R Se cosderă vecor v m m v u 7 u m R U vecor re coordoele ş m î b B { vv } respecv m m ş m m î b B { uu } Să se deerme vlore prmerulu m 8

59 SUBSPAŢIUL VECTORIAL GENERAT DE O MULŢIME DE VECTORI BREVIAR TEORETIC Deţe Fe V K u spţu vecorl de p ş M V M Se umeşe coperre lră lu M su subspţul vecorl geer de M ş se oeă M Sp M mulţme: L su M su * L M N K M Propoţe LM ese subspţu vecorl l lu V K Observţ M L B L ude B ese o mle lr depedeă mmlă coţuă î M Observţ Peru găs o bă î L M rebue să căuăm î M o mle mmlă de vecor lr depedeţ PROBLEME REZOLVATE Î spţul vecorl R R se cosderă vecor: v v v v 8 v 7 9

60 9 Fe M { v v v v v} Se cere: să se le dm L M ; b să se precee dcă vecor prţ su u spţulu vecorl L M ; c să se de eemplu de o bă B peru LM sel îcâ B M ; să se de eemplu de o bă B peru LM sel îcâ B R \ M ; să se de eemplu de o bă B peru LM sel îcâ B M ş B M Reolvre: Coorm observţe d brevrul eorec peru deerm o bă î L M rebue să găsm î M u ssem mml de vecor lr depedeţ Screm mrce A le căre coloe su compoeele vecorlor d M : A 8 7 Deermăm u mor eul de ord mm ş găsm pr urmre u ssem mml v dec dm L M b Avem că L M { v v v R } Î b observţe reulă că L M { v v R} LM dcă esă sclr R sel îcâ v v de vecor lr depedeţ ese { } v 6

61 9 9 ; obţem pr urmre LM LM dcă esă sclr R sel îcâ v v ; obţem că ssemul u re soluţe dec LM c B { v v} M ş B bă m ră l pucul Fe w v w v ş B { w w} R \ M ş { w w } ssem de vecor lr depedeţ dec bă peru L M deorece dm L M umărul de vecor d B B { v w} ude w v ; vem B M ş B M ; î plus { v w } ese u ssem de vecor lr depedeţ dec bă peru L M deorece dm L M umărul de vecor d B d Î spţul lr R R se cosderă mulţmle X ş Y R : X { / R } b Y { / R \ Q } vecorl R ; Să se sblescă dcă X Y su subspţ le spţulu R ş î c rmv să se deerme dmesule cesor 6

62 Reolvre: Fe R cu X ş R Auc cu cu R ş pr urmre X Fe R X cu R ş cu R ş pr urmre X Coorm deţe reulă că X ; vem că ese subspţu vecorl l spţulu lr R R Dcă X R dec ; X L g g g ude g g g pr urmre reulă de c că { } Peru deerm dmesue spţulu vecorl X rebue să găsm o bă î X L G L { g g g} dec coorm observţe d brevrul eorec rebue să căuăm î G o mle mmlă de vecor lr depedeţ Fe A mrce vâd drep coloe vecor g g g ; A ; 6

63 Deorece deermul orm cu prmele l ese eul reulă că rgul mrce A ese ş egl cu umărul vecorlor d G pr urmre vecor g g g su lr depedeţ Am obţu că dm X b Y { / R \ Q } ş R ; reulă Fe Y Y spţulu lr R R dec Y u ese subspţu vecorl l PROBLEME PROPUSE Să se deerme dm L A î spţul vecorl V ş să se sblescă dcă v LA : V R R { } v A ; b V R[ X ] R A { X X X X X X X X X } v X X R: dm L A v LA ; b dm L A v LA Fe G { b c / b c ; b c R} Să se re că G ese subspţu l spţulu vecorl R R b Să se dce o bă spţulu vecorl G ş să se deerme dmesue cesu R: Se oloseşe deţ subspţulu vecorl G ; B b dm { } 6

64 Î spţul vecorl R R se cosderă vecor: v v v 7 v 8 9 v Fe 6 M { v v v v v} Se cere: să se clculee dm L M ; b să se precee dcă vecor prţ su u spţulu vecorl L M ; c să se de eemplu de: o bă B peru LM sel îcâ B M ; o bă B peru LM sel îcâ B R \ M ; o bă B peru LM sel îcâ B M ş B M d să se deerme coordoele vecorlor î bele B B B X - - b Î spţul lr R { / Z } { / R } { / R } R se cosderă mulţmle X Y Z : Y Z Să se sblescă dcă X Y Z su subspţ le spţulu 6

65 vecorl R R ş î c rmv să se deerme dmesule cesor R: X u ese subspţu vecorl; Y ş Z su subspţ vecorle de dmesue 6

66 SCHIMBAREA COORDONATELOR UNUI VECTOR LA TRECEREA DE LA O BAZĂ LA ALTĂ BAZĂ BREVIAR TEORETIC Cosderăm spţul vecorl K V dmv Fe F { } ş G { g g g} două be le V K spţulu lr Deţe Se umeşe mrce de recere de l b F l b G mrce cre re drep coloe coordoele vecorlor be G î b F Noâd cesă mrce cu C F G puem scre: C F G g F g F g F Formul de rsormre coordoelor uu vecor V l recere d b F î b G ese: G CF G F Observţ C G F CF G Observţ Î b deţe reulă că mrce de recere de l b cocă spţulu lr R R l o lă bă F cesu spţu re pe coloe compoeele vecorlor be F R ş R E b cocă ş F G le două be le cesu spţu Noăm cu A mrce de recere de l b E l b F F A E ş cu B mrce de recere de l b E l b G G B E Observţ Fe spţul lr R Formul de rsormre coordoelor uu vecor R l recere d b F î b G ese: G B A F 66

67 PROBLEME REZOLVATE Î spţul lr l polomelor de grd cel mul ş coeceţ rel [ ] R X R cosderăm bele } { X X X F ş } 6 { X X g X X g X g X X X g G Să se deerme mrce de recere de l b F l b G Reolvre: Coorm deţe d brevrul eorec mrce de recere de l b F l b G re pe coloe coordoele vecorlor be G î b F Avem că: F g g ; F g g ; F g g 6 6 ; F g g Reulă: 6 F F F F G F g g g g C Fe } { e e e E ş } { F două be le uu spţu vecorl de dmesue Şd că e e e e e e e să se deerme mrce de recere de l b F l b E 67

68 Reolvre: Observăm că pe b ormţlor d euţ se poe deerm ore uşor mrce de recere de l b E l b F oă C E F D e e e reulă că E ; log obţem: E ; E pr urmre CE F E E E Peru obţe mrce de recere de l b F l b E vom olos observţ coorm căre vem că C F E CE F Vom plc meod Guss-Jord C E F I I - -/ - -/ -/ - -/ 7 C F E 68

69 Î coclue 7 / / / / FE C Fe F ş G douã be le spţulu vecorl R R ş A mrce de recere de l b F l b G Şd cã } { F sã se deerme b G Reolvre: Coorm deţe prm coloă mrce A repreă coordoele vecorulu g î b F: g g F Alog vem: g g F ; g g F Reulă că b ese: } { g g g G 69

70 Fe urmãorele sseme de vecor d spţul lr R R : F { } G { g g g } Sã se re cã F ş G su be le spţulu lr R R b Sã se deerme mrce de recere de l b G l b F ş mrce de recere de l b F l b G R R Şd cã c Fe u vecor d spţul lr F sã se deerme G d Sã se eprme vecorul g g g d spţul R R î b F ş î b cocă spţulu R R e Sã se deerme legăur îre coordoele uu vecor d lr spţul lr R R î bele F ş G Reolvre: Noăm cu A mrce cre re drep coloe vecor d mulţme F de A 8 rga umărul de vecor mulţm F pr urmre F ormeă u ssem de vecor lr depede Numărul vecorlor d F ese ş ese egl cu dmesue spţulu R R D ş reulă că F ese o bă spţulu lr R R Alog se ră că G ormeă o bă spţulu lr R R b Vom olos observţ Fe A ş B mrcele soce celor două be cese u pe coloe vecor belor F respecv G 7

71 C G F mrce de recere de l b G l b F ş Avem că R G CF G F ş G B A F pr urmre mrce de recere de l b G l b F ese: C G F B A pe cre o vom deerm cu meod Guss-Jord B A I B - A Am obţu că C GF 6 Peru l C F G mrce de recere de l b F l bg vom ul ormul C F G CG F c Vom olos ormul de rsormre coordoelor uu vecor l recere d b F î b G : G C F G F C G F F 6 9 7

72 d F Peru eprm vecorul î b G vom olos ormul F G F G C Peru eprm vecorul î b cocă E vom olos că pr urmre E e Cosderăm u vecor R Fe G ş F β β β coordoele vecorulu î cele două be Aplcâd ormul F F G F G F G C C obţem că: 6 β β β 6 β β β relţ cre ră legăur îre coordoele uu vecor R î bele G ş F Să se deerme ormulele de rsormre coordoelor uu vecor d spţul lr R R l recere de l b F l b G ude } { F ş } { g g G Reolvre: Cosderăm u vecor R Fe F ş G coordoele vecorulu î cele două be 7

73 Noăm cu A mrce de recere de l b cocă l b F mrce vâd pe coloe vecor be F ş cu B mrce de recere de l b cocă l b G Formul de rsormre coordoelor uu vecor R l recere d b F î b G ese: G B A F Clculăm mrce B A olosd meod Guss-Jord B A / -/ I B - A Reulă că / pr urmre ormulele de / R R rsormre coordoelor uu vecor d spţul lr l recere de l b F l bg su: PROBLEME PROPUSE Î spţul lr l polomelor de grd cel mul ş R X R cosderăm bele F { X X X } ş coeceţ rel [ ] 7

74 8 { X X g X X g X X X g G } X X g Să se deerme mrce de recere de l b F l b G R: 8 FG C Fe } { e e e E ş } { F două be le uu spţu vecorl de dmesue Şd că e e e e e e e e să se deerme: mrce de recere de l b E l b F ; b mrce de recere de l b F l b E R: E E E F E C ; b F E E F C C Fe F ş G douã be le spţulu vecorl R R ş A mrce de recere de l b F l b G Şd cã } { F sã se deerme b G 7

75 R: G { g 7 g g 8 } Se cosderã urmãorele sseme de vecor d spţul lr R R : F { } G { g g g } Sã se re cã F ş G ormeã be le spţulu lr R R b Sã se deerme mrce de recere de l b F l b G ş mrce de recere de l b G l b F R R Şd cã c Fe u vecor d spţul lr G sã se deerme F d Sã se eprme vecorul d spţul lr R R î b G ş î b cocă spţulu R R e Sã se deerme ormulele de rsormre coordoelor uu vecor d spţul lr R R F R: b c d l recere d b G î b 9 7 C F G ; C GF ; F ; G 9 ; G ş F β β β ; uc e Fe 7

76 β β β Sblţ cum se modcã coordoele uu vecor l recere de l b F l b G dcã: F { } G { g g }; b F { X X X } X X g X X g X } { } G { g c F G g g g } { R: Fe F ş 8 β β G β β ; uc 6 Fe B { b b b } o bã spţulu R R ş vecorul v R Şd cã lr B sã se deerme vecorul b v R: b 7 Fe F ş G douã be le spţulu vecorl R [ X ] R ş A mrce de recere de l b F l b ; 76

77 G Şd cã } { X g X X g X g G sã se deerme b F R: 7 G F F G C C ; X X g g g ; X X g g g ; 8 7 X X g g g 77

78 CAPITOLUL OPERATORI LINIARI NOŢIUNEA DE OPERATOR LINIAR MATRICEA ASOCIATĂ UNUI OPERATOR LINIAR BREVIAR TEORETIC Fe X K ş K Y două spţ vecorle de dmesue ă Deţ O ucţe U : X Y se umeşe operor lr dcă: U ese dv dcă U U U X ; U ese omoge dcă U U K X Observţe Cele două codţ po îlocue pr: U β U βu β K X Propoţe Dcă U : X Y ese operor lr uc U X Y Deţ Fe spţle vecorle X K ş K Y cu dm X m dm Y m N ş U : X Y u operor lr Fe F { m} o bă lu X K ş G { g g g} o bă lu Y K Se umeşe mrce operorulu lr U corespuăore belor F ş G mrce A M m K le căre l su compoeele vecorlor U U m î b G dcă U U U A G G m G Repreere operorulu lr U î bele F ş G ese dă de ormul: U G A F 78

79 Dcă F ş G su bele coce le spţlor K X ş K Y uc repreere operorulu lr U ese: A U Modcre mrce uu operor lr l schmbre belor î cre se repreă Fe Y X U : u operor lr ' F F două be le spţulu lr K X ş ' G G două be le spţulu lr K Y Fe G A F A ş ' A F' G B mrcele operorulu lr corespuăore belor F ş G respecv belor ' F ş ' G Fe C mrce de recere de l b F l b ' F ş D ese mrce de recere de l b G l b ' G Auc C A D B PROBLEME REZOLVATE Să se deerme cre dre urmăorele plcţ deeşe u operor lr: : R R U U ; b : R R U U Reolvre: Fe R R β ; vem că: U U β β β β β β β β β β 79

80 U U β β β β β β β ; b Meod I Fe R R β Avem că: U β U β β β β β β β β β β β β ; U U β β β β β β β β D ş reulă că relţ d deţ operorulu lr u ese îdeplă R β pr urmre U u ese operor lr Meod II Dcă U r operor lr coorm r rebu c R R U Dr R R U pr urmre U u ese operor lr Se cosderă operorul lr : R R U U Să se deerme: mrce operorulu corespuăore belor coce le spţlor lre R R ş R R ; b mrce operorulu corespuăore belor } { F ş } { g g G 8

81 Reolvre: Fe A mrce operorulu corespuăore belor coce le spţlor R ş R Screm ormul de repreere operorulu î bele coce le spţlor spţlor R ş R : A U Î cul osru vem că U de ude reulă că - A b Fe G F A mrce operorulu corespuăore belor F ş G Deermre cese se poe ce î două modur Meod I Folosd deţ g g U U Am obţu că G U 7 g g U U 7 7 8

82 Reulă că 7 G U g g U U 6 pr urmre 6 G U Reulă că 6-7 FG A Meod II Folosd ormul de rsormre mrce uu operor lr l schmbre belor î cre se repreă vem că: C A D A G F ude C ese mrce de recere de l b cocă spţulu lr R R l b F r D ese mrce de recere de l b cocă spţulu lr R R l b G Avem că: C ş D pr urmre 6 7 C A D A G F ş dec 6-7 FG A Se cosderã operorul lr : R R U U Sã se deerme mrce operorulu corespuãore belor { } g g G ş { } e e e E ude 8

83 g g ş e e e Reolvre: Avem: U g e e e U g e e 6e 6 Reulă că mrce operorulu corespuãore belor G ş E - ese: A 6 Se cosderã spţle vecorle R R ş R R ş e E { e e e } G { g g } bele lor coce Noãm cu U operorul lr U : R R de pr: U e g g U e g g U e g Sã se deerme: mrce socã operorulu lr î bele coce; b orm operorulu; c mrce socã operorulu lr î bele F { e e e e e e } ş G { g g }; d mrce socã operorulu lr î bele F e e e e e e H g g g g { } ş { } Reolvre: Vom olos deţ D poeã reulã cã 8

84 U e G U e G U e G Pr urmre mrce socã operorulu lr î bele coce ese: A b Folosd reulul obţu l pucul precede obţem cã: U A U c Noãm cu B mrce socã operorulu lr î bele F ş G Avem: U U e e U e U e g g g g 7g g ş log U g g U g 9g De c reulã cã U G 7 U G U G 9 Pr urmre mrce socã operorulu lr î bele F ş G ese: - 7 B 9 d Fe C mrce socã operorulu lr î bele F ş H U 7g g U g g U g 9g Trebue sã deermãm coordoele vecorlor U U U î b H Peru ces vom plc meod elmãr complee 8

85 B g g h g h h Pr urmre U h h U U U H U H 8 U H - 6 reulã mrce C 8 - Cosderăm spţul vecorl R R de ude ş e { } E e e b cocã cesu spţu Noãm cu U operorul lr U : R R de pr: U e U e Sã se deerme: mrce socã operorulu lr î bele coce; b orm operorulu Reolvre: Dcã oãm cu G { g g g } b cocã spţulu R R uc reulă cã U e G U e G de ude obţem mrce operorulu î bele coce: - - A 8

86 b Folosd reulul de l pucul precede obţem cã: - U A U 6 Cosderăm spţul vecorl R R ş e { } e e e E b cocã cesu spţu Noăm cu U operorul lr : R R U de pr: e e e U e e e U e e U Sã se deerme: mrce socã operorulu lr î bele coce; b orm operorulu Reolvre: Vom olos deţ D poeã reulã cã E E E e U e U e U Pr urmre mrce socã operorulu lr î bele coce ese: - A b Ulâd reulul obţu l pucul precede obţem cã: U A U 7 Se cosderã operor lr : R R V U V U Sã se deerme: operor V U V U o ; 86

87 b mrcele operorlor clculţ l pucul corespuãore be coce spţulu R R Reolvre: V U V U U V U V U o 9 b Meod I Folosd reulul obţu l pucul reulã: V U A ş 9 V U A o Meod II Fãrã clcul V U ş V U o ulâd ormulele V U V U A A A ş V U V U A A A o obţem: V U A ; 9 V U A o PROBLEME PROPUSE Să se deerme cre d urmăorele plcţ deeşe u operor lr: 87

88 : R R U U ; b : R R U U c : R R U 6 U R: Aplcţ de l pucul c deeşe u operor lr Se cosderă operorul lr : R R U U Să se deerme: mrce operorulu corespuăore belor coce le spţlor R ş R ; b mrce operorulu corespuăore belor } { F ş } { g g g G R: A ; b FG A Se cosderã operorul lr : R R U U Sã se deerme mrce operorulu corespuãore belor { } g g g G ş { } e e E ude 88

89 g g g r e e 7 R: A 7 G E Se cosderã spţle vecorle R R ş R R ş e E { e e e } G { g g } bele lor coce Noãm cu U operorul lr U : R R de pr: U e g g U e g g U e g Sã se deerme: mrce socã operorulu lr î bele coce; b orm operorulu; c mrce socã operorulu lr î bele F { e e e e e e} ş G { g g }; d mrce socã operorulu lr î bele F { e e e e e e} ş H { g g g g} Fe spţul vecorl R R E b cocã cesu spţu Noãm cu U operorul lr U : R R de pr: U e e e U e e e U e e Sã se deerme: mrce socã operorulu lr î bele coce; b orm operorulu ş e { e e e } 89

90 6 Se cosderã operor lr : R R V U U V Sã se deerme: operor V U V U o ; b mrcele operorlor clculţ l pucul corespuãore be coce spţulu R R R: 6 7 V U ; V U o ; b 6 7 V U A ; V U A o 9

91 NUCLEUL ŞI IMAGINEA UNUI OPERATOR LINIAR INJECTIVITATEA SURJECTIVITATEA ŞI INVERSABILITATEA UNUI OPERATOR LINIAR BREVIAR TEORETIC Deţ Fe X K ş K Y două spţ vecorle de dmesue ă ş U : X Y u operor lr Se umeşe ucleul operorulu U ş se oeă KerU mulţme: KerU { X / U Y } Deţ Fe X K ş K Y două spţ vecorle de dmesue ă ş U : X Y u operor lr Se umeşe mge operorulu U ş se oeă ImU mulţme: U Y / X U Im { } Deţ Fe X K ş K Y două spţ vecorle de dmesue ă ş U : X Y u operor lr Operorul U se umeşe jecv respecv surjecv dcă ces ese o ucţe jecvă respecv surjecvă X ş Y K două spţ vecorle de dmesue ă ş U : X Y u operor lr Operorul U ese jecv dcă ş um dcă KerU { X } Propoţ Fe K Y două spţ vecorle de dmesue ă ş U : X Y u operor lr Operorul U ese surjecv dcă ş um dcă ImU Y Propoţ Fe X K ş K 9

92 PROBLEME REZOLVATE Se cosderã operorul lr U : R R U Sã se deerme ucleul ş mge operorulu precum ş dmesule cesor Reolvre: Nucleul operorulu ese: KerU { R / U } Reolvãm ecuţ U ş obţem ssemul: KerU R KerU Fe g ; { } { / R} g ese ssem de geeror peru spţul KerU ş ssem de vecor lr depede dec ormeã o bã cesu spţu pr urmre dm KerU Imge operorulu ese Im U { R / R U } Im U { / R} { / R} { b / b R} Fe g ş g ; { g } g ese ssem de vecor lr depede ş ssem de geeror peru spţul ImU dec ormeã o bã cesu spţu; reulã dmimu Fe A mrce socã uu operor lr 9

93 : R R U Sã se deerme KerU ImU dm KerU dmimu Reolvre: KerU{ } / U R ; A U ; deemul mrce ssemulu: ; legem morul prcpl d ş reulã soluţ ssemulu: R 9 dec R KerU / 9 Dcă KerU uc R 9 9 Fe g 9 ; { } g ese ssem de geeror peru spţul KerU ş ssem de vecor lr depede dec ormeã o bã cesu spţu; pr urmre dm KerU 9

94 ImU{ R / R U } ; U ; rebue deerm R sel îcâ ssemul sã e compbl Cosderâd morul prcpl l mrce ssemulu: d reulă că rga ; d cr β ; β R β ImU { β β / β R} { β / β R} Fe g ş g ; { } g g ese ssem de vecor lr depede ş ssem de geeror peru spţul ImU dec ormeã o bã cesu spţu; reulã dmimu Se cosderã operorul lr U : R R U Sã se sudee: jecve surjecve operorulu lr U ; b versble operorulu ş dcã ese versbl sã se clculee vers cesu 9

95 Reolvre: U ese jecv dcã ş um dcã { } KerU 6 U {} KerU pr urmre operorul U ese jecv U ese surjecv dcã ş um dcã ImU R ; ImU{ } U R R / U ; R sel îcâ U dcă ş um dcă ssemul ese compbl; deemul mrce ssemulu ese: : R U R ImU R U ese surjecv b Deorece U ese jecv ş surjecv reulă că U ese bjecv dec versbl Deermăm U : U U 9

96 PROBLEME PROPUSE Se cosderã operorul lr U : R R Sã se deerme KerU ImU dmkeru dmimu dcă: U ; b U ; c U R: KerU { / R} ; dm KerU ; Im U { β β / β R} ; dmimu ; b KerU {} ; dm KerU ; ImU R ; dmimu ; c KerU / R ; dm KerU ; U β / β R ; dmimu { } Im Se cosderã operorul lr U : R R Î ecre d curle b c se cere: să se sudee jecve ş surjecve operorulu U să se sudee dcă operorul ese versbl ş î c rmv sã se clculee vers cesu: U ; b U ; c U R: u ese jecv u ese surjecv; 96

97 b ese bjecv; U ; c ese bjecv; U 97

98 VECTORI PROPRII ŞI VALORI PROPRII BREVIAR TEORETIC Deţ Fe K X u spţu vecorl ş U : X X u operor lr cu repreere U A Vecorul X se umeşe vecor propru l operorulu U dcă esă λ K sel îcâ U λ ; î ces c λ se umeşe vlore propre operorulu U ş se spue că ese vecor propru corespuăor vlor propr λ Deţ Fe X K u spţu vecorl U : X X u operor lr ş λ o vlore propre operorulu U Mulţme X λ { X / U λ} se umeşe subspţul propru soc vlor propr λ PROBLEME REZOLVATE Se cosderã operorul lr: U : R R U Să se deerme vlorle propr vecor propr ş subspţle propr corespuăore peru ces operor Reolvre: D relţ U A vom deerm mrce operorulu î R R : b cocă spţulu 98

99 - - A A U Deermăm vlorle propr le operorulu reolvâd ecuţ crcerscă: de λ λ λ λi A ; ; λ λ λ Deermăm vecor propr corespuăor ecăre vlor propr reolvâd ecuţ mrcelă A λ cu Peru λ obţem - {} \ R Pr urmre mulţme vecorlor propr corespuăor vlor propr λ ese: { } { } \ / R V Subspţul propru corespuăor vlor propr λ ese: { } R X / Peru λ obţem - 99