Нелинеарни регресиони модели и линеаризациjа

Σχετικά έγγραφα
Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10

Параметарски и непараметарски тестови

Монте Карло Интеграциjа

Логистичка регресиjа


Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја.

Висока техничка школа струковних студија Београд Математика 2 Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm

1.2. Сличност троуглова

Анализа Петријевих мрежа

Прост случаjан узорак (Simple Random Sampling)

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве

ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Теорија електричних кола

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

1 Неодрђеност и информациjа

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је:

10.3. Запремина праве купе

Εκτίµηση Μη-Γραµµικών Μοντέλων

1. Функција интензитета отказа и век трајања система

Λογιστική Παλινδρόµηση

Wan Nor Arifin under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License. 1 Introduction 1

ИСПИТИВАЊЕ СВОJСТАВА КОМПЛЕКСНИХ МРЕЖА СА ДИСКРЕТНОМ ДИНАМИКОМ

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом

Решења задатака са првог колоквиjума из Математике 1Б II група задатака

Теорија електричних кола

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА

6.5 Површина круга и његових делова

7. Модели расподела случајних променљивих ПРОМЕНЉИВИХ

1.1 t Rikon * --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

Wan Nor Arifin under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License. 1 Introduction 1

DirichletReg: Dirichlet Regression for Compositional Data in R

Семинарски рад из линеарне алгебре

(i) Περιγραφική ανάλυση των μεταβλητών PRICE

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА

Количина топлоте и топлотна равнотежа

Γραµµική Παλινδρόµηση

Нивелмански инструмент (нивелир) - конструкција и саставни делови, испитивање и ректификација нивелира, мерење висинских разлика техничким нивелманом

Екстремне статистике поретка и примjене у неживотном осигурању

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце

НЕПАРАМЕТАРСКИ ТЕСТОВИ. Илија Иванов Невена Маркус

Закони термодинамике

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда

Универзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала

1. Εισαγωγή...σελ Δεδομένα της εργασίας...σελ Μεθοδολογία...σελ Ανάλυση των δεδομένων.σελ Συγκριτικά αποτελέσματα..σελ.

Теорија одлучивања. Анализа ризика

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.

РЈЕШЕЊА ЗАДАТАКА СА ТАКМИЧЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИНА Електријада 2004

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 28 Μαρτίου /36

Примена статистике у медицини

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2017/18. бр. LII-3

ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ

Нумеричко решавање парцијалних диференцијалних једначина и интегралних једначина

L кплп (Калем у кплу прпстпперипдичне струје)

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

6.2. Симетрала дужи. Примена

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

Cook-Levin: SAT је NP-комплетан. Теодор Најдан Трифунов 305M/12

ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ

Апсорпција γ зрачења

У к у п н о :

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА

5.1 logistic regresssion Chris Parrish July 3, 2016

Конструкциjе Адамарових матрица

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

ИЗВОД ИЗ ИЗВЕШТАЈА О ЦЕНАМА КОМУНАЛНИХ УСЛУГА - УДРУЖЕЊЕ ЗА КОМУНАЛНЕ ДЕЛАТНОСТИ -

29. новембар године

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:

МАСТЕР РАД. Увођење полинома у старијим разредима основне школе. Математички факултет. Универзитет у Београду. Студент: Милица Петровић.

ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ИЗ ФИЗИКЕ ПРВИ КОЛОКВИЈУМ I група

Факултет организационих наука Центар за пословно одлучивање. PROMETHEE (Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluation)

УТИЦАЈ УКУПНЕ ПРОИЗВОДЊЕ НА СЕТВЕНУ СТРУКТУРУ ЗНАЧАЈНИЈИХ РАТАРСКИХ УСЕВА

8.5 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА 5 Задатак вежбе: PI регулација брзине напонски управљаним микромотором једносмерне струје

Једна од централних идеја рачунарства Метода која решавање проблема своди на решавање проблема мање димензије

РЕКУРЕНТНОСТ РЕШЕЊА СТОХАСТИЧКИХ ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИХ ЈЕДНАЧИНА И ЊИХОВА ПРИМЕНА НА МОДЕЛЕ КАМАТНИХ СТОПА

РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА

Примена првог извода функције

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Нестандардна анализа као почетна настава анализе

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2

Мировање (статика) флуида

Предизвици во моделирање

Неки нелинеарни модели временских серија и њихова примена

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим.

Могућности и планови ЕПС на пољу напонско реактивне подршке. Излагач: Милан Ђорђевић, мастер.ел.тех.и рачунар. ЈП ЕПС Производња енергије

519.22(07.07) 78 : ( ) /.. ; c (07.07) , , 2008

Transcript:

Нелинеарни регресиони модели и линеаризациjа 3.час 15. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 1 / 23

Регресионa анализа Регресиона анализа jе скуп статистичких метода коjима се открива да ли постоjе везе између посматраних поjава. Основни задатак регресионе анализе jе да предвиди понашање зависне променљиве (Y) помоћу познатих вредности jедне или више независне променљиве (X), односно да одреди неслучаjну функциjу g тако да важи g(x) = Y Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 2 / 23

Полиномиjална регресиjа Полиномиjални регресиони модел са jедном зависном променљивом може се изразити релациjом: где су: Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 +... + β k X k + ɛ. Y зависна променљива, X независнa (обjашњаваjућa) променљивa, β 0, β 1,..., β k непознате константе, регресиони параметри, ɛ стохастички члан, случаjна грешка или резидуали. Потребно jе да случаjне величине ɛ i имаjу центрирану нормалну расподелу са константном дисперзиjом и да су међусобно некорелисане. Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 3 / 23

Полиномиjална регресиjа Као пример нелинеарне регресиjе облика полиномне функциjе може се размотрити промена броjа становника у период од 1959. до 1969.године. Подаци коjи се користе у примеру дати су у табели: Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 4 / 23

Полиномиjална регресиjа Да би се утврдио облик зависности броjа становника током вренема, потребно jе податке из табеле представити на одговараjућем диjаграму: > plot(godina, Populacija, type= b ) Коjи степен полинома ће се применити зависи од степена прецизности коjи се тражи. Већи степен полинома, даjе већу тачност модела, али и више тешкоћа у израчунавању. Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 5 / 23

Полиномиjална регресиjа > summary(lm(populacija godina+i(godina 2))) Coefficients: (Intercept) godina I(godina^2) 5263.16 29.32-10.59 > pol.model1 <- nls(populacija a + b*godina + c*godina 2, start = list(a = 0, b = 0, c = 0)) > lines(godina, a_ocena + b_ocena*godina + c_ocena*godina 2, col = blue ) P opulacija = 5263.16 + 29.32godina 10.59godina 2 Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 6 / 23

Полиномиjална регресиjа > summary(lm(populacija godina+i(godina 2)+I(godina 3))) Coefficients: (Intercept) godina I(godina^2) I(godina^3) 5263.1585 14.3638-10.5886 0.8401 > pol.model2 <- nls(populacija a + b*godina + c*godina 2 + d*godina 3, start = list(a = 0, b = 0, c = 0, d = 0)) > lines(godina,a_ocena+b_ocena*godina+c_ocena*godina 2+d_ocena*godina 3,col= red ) P opulacija = 5263.16 + 14.36godina 10.59godina 2 + 0.84godina 3 Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 7 / 23

Експоненциjални регресиони модел У експоненциjалном регресионом моделу jедначинa регресиjе има облик: Y = BA X, при чему важи A, B > 0; A 1. Када jе A = 1 добиjа се константна функциjа, коjа jе, заправо, посебан случаj просте линеарне регресиjе. Да бисмо пронашли параметре помоћу методе наjмањих квадрата, потребно jе модел трансформисати да буде линеаран у параметрима, а то ћемо урадити логаритамском трансформациjом. Добиjамо jедначину: log Y = X log A + log B. Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 8 / 23

Експоненциjални регресиони модел Откривена jе бактериjа коjа се врло брзо размножава. У табели су дати подаци о броjу бактериjа у узорку сваки сат након што jе посматрање узорка почело. Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 9 / 23

Експоненциjални регресиони модел > plot(sati, bakterije, main = Zavisnost broja bakterija od vremena, xlab = sati, ylab = br. bakterija, type = b ) Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 10 / 23

Експоненциjални регресиони модел > e.model <- nls(log(bakterije) log(a)*sati + log(b), start = list(a = 1, B = 1) > summary(e.model) Formula: log(bakterije) ~ log(a) * sati + log(b) Parameters: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) A 1.93895 0.01676 115.72 9.49e-13 *** B 20.07273 0.82582 24.31 5.08e-08 *** --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Residual standard error: 0.06694 on 7 degrees of freedom Number of iterations to convergence: 6 Achieved convergence tolerance: 2.35e-08 > summary(lm(log(bakterije) sati)) Call: lm(formula = log(bakterije) ~ sati) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -0.09391-0.03148-0.00363 0.02737 0.10951 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) 2.999362 0.041141 72.90 2.4e-11 *** sati 0.662146 0.008641 76.62 1.7e-11 *** --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Residual standard error: 0.06694 on 7 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9988,Adjusted R-squared: 0.9986 F-statistic: 5871 on 1 and 7 DF, p-value: 1.697e-11 Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 11 / 23

Експоненциjални регресиони модел > lines(sati, B_ocena*A_ocena sati, col = blue ) bakterije = 20.07 1.94 sati Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 12 / 23

Степени регресиони модел Jедначина просте криволиниjске регресиjе облика степене функциjе, гласи: а у логаритамском облику Y = AX B, log Y = log A + B log X. Параметар B показуjе за колико се процената промени вредност зависне променљиве Y при повећању независне променљиве X за 1%. Ако jе B > 0, зависна променљива Y се у просеку приближно повећа за толико процената колико износи вредност параметра B. Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 13 / 23

Степени регресиони модел У табели су дати подаци о цени уласка у музеj коjа се мењала и кренула од 0.5 eвра, а достигла цену од 5 евра. Зависна променљива jе просечан дневни броj посетилаца у завнисности од цене улаза. Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 14 / 23

Степени регресиони модел > plot(cena, posetioci, main = Zavisnost broja posetilaca od, + cene ulaznice, type= b ) Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 15 / 23

Степени регресиони модел > stepeni.model <- nls(log(posetioci) log(a) + log(cena)*b, start = list(a = 1, B = 0)) > summary(stepeni.model) Formula: log(posetioci) ~ log(a) + log(cena) * B Parameters: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) A 144.358217 0.642387 224.72 < 2e-16 *** B -0.074687 0.004147-18.01 9.26e-08 *** --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Residual standard error: 0.009119 on 8 degrees of freedom Number of iterations to convergence: 7 Achieved convergence tolerance: 8.631e-07 > summary(lm(log(posetioci) log(cena))) Call: lm(formula = log(posetioci) ~ log(cena)) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -0.0111978-0.0076458 0.0007581 0.0061529 0.0154414 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) 4.972298 0.004450 1117.38 < 2e-16 *** log(cena) -0.074687 0.004147-18.01 9.26e-08 *** --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Residual standard error: 0.009119 on 8 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9759,Adjusted R-squared: 0.9729 F-statistic: 324.4 on 1 and 8 DF, p-value: 9.265e-08 Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 16 / 23

Степени регресиони модел > lines(cena, a*(cena) b, col = blue ) posetioci = 144.358217 cena 0.074687. Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 17 / 23

Логаритамски регресиони модел Стандардни облик jедначине оваквог облика регресиjе jе: Y = A ln X + B, при чему jе неопходно да вредности независне променљиве X буду строго позитивне, да би логаритамска функциjа била добро дефинисана. Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 18 / 23

Логаритамски регресиони модел Забележена jе просечна дебљина седам стабла седам пута у току 4 године. Дат jе просечни обим стабла при старости дрвећа од 177, 484, 664, 1004, 1231, 1372 и 1582 дана. Потребно jе наћи одговараjућу регресиону jедначину. Подаци у дати у наредноj табели. Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 19 / 23

Логаритамски регресиони модел > plot(starost, obim, xlab= dani, ylab= obim (mm), main = Obim stabla u zavnisnosti od starosti, type= b ) Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 20 / 23

Логаритамски регресиони модел log.model <- nls(obim A + B*log(starost), start = list(a = 0, B = 0)) > summary(log.model) Formula: obim ~ A + B * log(starost) Parameters: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) A -259.832 30.748-8.45 0.000381 *** B 59.310 4.636 12.79 5.19e-05 *** --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Residual standard error: 10.26 on 5 degrees of freedom Number of iterations to convergence: 1 Achieved convergence tolerance: 2.683e-08 > summary(lm(obim log(starost))) Call: lm(formula = obim ~ log(starost)) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) -259.832 30.748-8.45 0.000381 *** log(starost) 59.310 4.636 12.79 5.19e-05 *** --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Residual standard error: 10.26 on 5 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9704,Adjusted R-squared: 0.9644 F-statistic: 163.7 on 1 and 5 DF, p-value: 5.19e-05 Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 21 / 23

Логаритамски регресиони модел > lines(starost, -259.832 + 59.31*log(starost), col = blue ) obim = 259.83 + 59.31 log(starost) Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 22 / 23

Задаци 1. База података pressure садржи две променљиве температуру и притисак. Наћи одговараjући регресиони модел коjи представља зависност притиска од температуре. Израчунати вредности притиска ако jе температура 250 C, 310 C и 400 C. 2. У бази baza.txt се налазe подаци мерења висине пене пива у различитим тренуцима на 20 C. Наћи одговараjући регресиони модел коjи представља зависност висине пене од времена. Колика jе висина после 100, 200 и 400 секунди? Боjана Тодић Статистички софтвер 4 15. март 2016. 23 / 23