Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Πιθανότητες και Στατιστική ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων εσμευμένη πιθανότητα Ολική πιθανότητα Κανόνας του Bayes Υποκειμενική πιθανότητα Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές Ανεξαρτησία ενδεχομένων και πειραμάτων Πιθανότητες επιβίωσης Ασκήσεις Εφαρμογές

Κεφάλαιο Πιθανότητες Η θεωρία των Πιθανοτήτων ασχολείται με την έννοια της αβεβαιότητας και τη διατύπωση των νόμων που διέπουν τα διάφορα τυχαία φαινόμενα. Αποτελεί το θεμέλιο πάνω στο οποίο στηρίζεται η στατιστική συμπερασματολογία στην Ιατρική. Σκοπός αυτού του Κεφαλαίου δεν είναι η ανάπτυξη της θεωρίας σε λεπτομέρειες, αλλά η παρουσίαση μερικών βασικών εννοιών και κανόνων για το χειρισμό των πιθανοτήτων. Η επιδίωξή μας είναι να γίνει α- ντιληπτή η έννοια της πιθανότητας και οι εφαρμογές της και να τεθούν οι βάσεις για την ανάπτυξη της στατιστικής συμπερασματολογίας που θα γίνει στα επόμενα. Μέσα στα πλαίσια αυτά εισάγεται η έννοια της πιθανότητας, δίνονται τρόποι υπολογισμού αυτής και ορισμένα βασικά θεωρήματα. Από τις κυριότερες εφαρμογές που περιέρχονται στο Κεφάλαιο είναι η βακτηριουρία και η πυελονεφρίτιδα, ο καρκίνος της μήτρας, η ιατρική διάγνωση με computers, το κάπνισμα και οι πνευμονικές ανωμαλίες, η επιβίωση των νεογέννητων κ.λ.π.. Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ο κλάδος ο οποίος ασχολείται με την έννοια της αβεβαιότητας (πιθανότητας). Στατιστική είναι ο κλάδος, ο ο- ποίος ασχολείται με την σχεδίαση πειραμάτων ή μεθόδων δειγματοληψίας, τη συλλογή και ανάλυση αριθμητικών δεδομένων (μετρήσεων) και την εξαγωγή συμπερασμάτων για ένα σύνολο βάσει των πληροφοριών που περιέχονται σε ένα δείγμα από το σύνολο αυτό. Σχεδόν κάθε ανθρώπινο ή φυσικό φαινόμενο περιλαμβάνει αβεβαιότητες τις οποίες προσπαθούμε να αναλύσουμε με τη διαισθητική έννοια της πιθανότητας. Ποια είναι η πιθανότητα βροχής την η Μαρτίου; Πώς μπορούμε να δώσουμε μια κατανοητή απάντηση στο ερώτημα αυτό; Ένας τρόπος είναι να υπολογίσουμε το ποσοστό των αντίστοιχων ημερών κατά

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ τα προηγούμενα έτη που είχαν βροχή. Ένα παρόμοιο πρόβλημα είναι η εκτίμηση της πιθανότητας βροχής την αυριανή ημέρα. Ένας λογικός τρόπος θα ήταν να προσδιορίσουμε από τα μετεωρολογικά αρχεία εκείνες τις μέρες του παρελθόντος με συνθήκες καιρού παρόμοιες με τις συνθήκες της σημερινής ημέρας. Η πιθανότητα βροχής αύριο θα είναι το ποσοστό ημερών με παρόμοιο καιρό για τις οποίες η επόμενη μέρα είχε βροχή. Οι πρώτες βασικές έννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής είναι οι έννοιες του πληθυσμού και του δείγματος. Πληθυσμός είναι ένα σύνολο αντικειμένων, ατόμων, κ.λ.π. για το οποίο ενδιαφερόμαστε να μελετήσουμε ορισμένα χαρακτηριστικά του στοιχεία. είγμα είναι ένα υποσύνολο του πληθυσμού το οποίο επιλέγεται κατά κάποιο τρόπο για τη λήψη μετρήσεων και εξέταση ορισμένων χαρακτηριστικών. Παράδειγμα () Ένας γιατρός ενδιαφέρεται για τη σχέση που πιθανόν να υπάρχει μεταξύ καπνίσματος και καρκίνου. Πληθυσμός μπορεί να είναι οι κάτοικοι της χώρας που ζει ο γιατρός και δείγμα ένα υποσύνολο των κατοίκων που επιλέγεται με τρόπους που μας διδάσκει η Στατιστική. Παράδειγμα () Ένας βιολόγος ενδιαφέρεται να προσδιορίσει τον αριθμό ενός σπάνιου είδους ψαριών που βρίσκονται σε μια λίμνη. Πληθυσμός είναι όλα τα ψάρια της λίμνης και δείγμα τα ψάρια που πιάνονται από τα πειραματικά συνεργεία και των οποίων το είδος προσδιορίζεται. Ο Στατιστικός ενδιαφέρεται για την εξαγωγή συμπερασμάτων κατά τον καλύτερο τρόπο καθώς και για την αξιολόγηση της καταλληλότητας της μεθόδου εξαγωγής συμπερασμάτων που χρησιμοποιεί. Η Θεωρία Πιθανοτήτων ενδιαφέρεται για τη διατύπωση νόμων ή προτύπων πιθανότητας που διέπουν τα διάφορα φαινόμενα. Πολλοί από τους νόμους αυτούς διατυπώνονται βάσει εξιδανικεύσεων ή γενικών αρχών. Η Στατιστική με τα δείγματά της καλείται να επιβεβαιώσει την ορθότητα ή μη των νόμων αυτών. Ιστορικά η Θεωρία των Πιθανοτήτων αναπτύχθηκε από τη μαθηματική ανάλυση των τυχερών παιγνιδιών. Τέτοια παιχνίδια παίζονται πάνω από 5000 χρόνια. Ένα πρωτόγονο παιχνίδια ζαριών γινόταν με μικρά ορθογώνια οστά από τον αστράγαλο ενός θηλαστικού. Η Θεωρία Πιθανοτήτων έχει ένα ευρύτατο πεδίο εφαρμογών που καλύπτει σχεδόν κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα, όπως την πρόβλεψη του καιρού, τη χαρτοπαιξία, τη γενετική, την ιατρική κ.λ.π. Σύγχρονες θεωρίες για την δομή της ύλης διατυπώνονται με τη βοήθεια της έννοιας της πιθανότητας. Η Στατιστική έλαβε μεγάλη ανάπτυξη τα τελευταία 40 50 χρόνια. Πατέρας της θεωρείται ο Άγγλος R. A. Fsher.

ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ 7. ειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Ο όρος πείραμα με την κοινή καθομιλουμένη έννοια δε χρειάζεται να ορισθεί ιδιαίτερα. Η Θεωρία Πιθανοτήτων και η Στατιστική χρησιμοποιούν τον όρο αυτό είτε με τη στενή, πραγματική του έννοια, είτε με μια γενικότερη ιδεατή μορφή. Υπάρχουν πειράματα των οποίων το αποτέλεσμα είναι γνωστό εκ των προτέρων. Υπάρχουν όμως και πειράματα των οποίων το αποτέλεσμα δεν είναι δυνατό να προκαθοριστεί. Αν π.χ. ενώσουμε δύο άτομα υδρογόνου και ένα άτομο οξυγόνου το αποτέλεσμα είναι προκαθορισμένο, δηλαδή ο σχηματισμός ενός μορίου νερού. Αν όμως εκτοξεύσουμε ένα βλήμα σε ένα στόχο το αποτέλεσμα δεν μπορεί να προκαθοριστεί γιατί επιδρούν παράγοντες που είναι άγνωστοι ή δεν μπορούν να ελεγχθούν. Τυχαίο πείραμα ή πείραμα τύχης λέγεται κάθε πείραμα του οποίου τα αποτελέσματα κυβερνώνται από τους νόμους της τύχης και δεν μπορούν να καθοριστούν εκ των προτέρων. Για συντομία στην έκφραση θα χρησιμοποιούμε απλώς τον όρο πείραμα. Το αποτέλεσμα που προκύπτει από μια εκτέλεση ενός πειράματος λέγεται στοιχειώδες ή απλό ενδεχόμενο ή δειγματικό σημείο. Το σύνολο των δειγματικών σημείων ενός πειράματος λέγεται δειγματικός χώρος. Ο χώρος αυτός συμβολίζεται συνήθως με S και μπορεί να είναι ένα πεπερασμένο ή άπειρο σύνολο. Παράδειγμα. Έστω ένα ζάρι του οποίου κάθε όψη χαρακτηρίζεται με έναν από τους αριθμούς,,, 3, 4, 5, 6. Το πείραμα τύχης συνίσταται στη ρίψη του ζαριού πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια. Η ένδειξη της όψης που είναι στραμμένη προς τα επάνω αποτελεί το αποτέλεσμα. Επομένως είναι φανερό ότι τα στοιχειώδη ενδεχόμενα είναι,, 3, 4, 5, 6 και ο δειγματικός χώρος είναι S {,,3,4,5,6}. Παράδειγμα. Τρία άτομα εκλέγονται από έναν πληθυσμό και εξετάζονται αν έχουν προσβληθεί από μια ασθένεια. Έστω A το αποτέλεσμα ότι ένα άτομο είχε προσβληθεί από την ασθένεια και K το αποτέλεσμα ότι είναι καλά. Ένα τυπικό αποτέλεσμα του πειράματος αυτού είναι AAK δηλαδή το πρώτο άτομο έχει προσβληθεί το δεύτερο ομοίως και το τρίτο είναι καλά. Ο δειγματικός χώρος του πειράματος αυτού είναι S { AAA, AAK, AKA, KAA, AKK, KAK, KKA, KKK}.

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Παράδειγμα.3 Έστω μια μαγνητική πυξίδα της οποίας η βελόνα μπορεί να στρέφεται ελεύθερα γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα. Κάθε ένδειξη μεταξύ 0 και π αποτελεί δειγματικό σημείο. Ο δειγματικός χώρος εδώ είναι S { φ 0 φ π} και είναι συνεχής. Ενδεχόμενο ή γεγονός λέγεται κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου ενός πειράματος. Με άλλα λόγια ενδεχόμενο είναι ένα σύνολο δειγματικών σημείων του S. Συνήθως τα ενδεχόμενα συμβολίζονται με τα κεφαλαία γράμματα A, B, C, K. Το σύνολο όλων των αποτελεσμάτων ενός πειράματος δηλαδή ο δειγματικός χώρος S είναι ένα ενδεχόμενο το οποίο λέγεται το βέβαιο ενδεχόμενο. Το κενό σύνολο δηλαδή το σύνολο το οποίο δεν περιέχει κανένα αποτέλεσμα του δειγματικού χώρου λέγεται αδύνατο ενδεχόμενο. Ένα ενδεχόμενο A πραγματοποιείται όταν τουλάχιστον ένα από τα δειγματικά του σημεία πραγματοποιηθεί. Έτσι εκτελώντας ένα πείραμα το βέβαιο ενδεχόμενο πραγματοποιείται πάντοτε, το δε αδύνατο ποτέ. Παράδειγμα.4 Πρόκειται να υπολογιστεί ο αριθμός των τηλεφωνικών κλήσεων ενός τηλεφωνικού κέντρου σε ένα ορισμένο χρονικό διάστημα. Τα δυνατά αποτελέσματα του τυχαίου πειράματος είναι 0,,,3, K τηλεφωνικές κλήσεις. ύο παραδείγματα συνθέτων ενδεχομένων είναι τα Α {τουλάχιστον τέσσερες κλήσεις} {4, 5,...} Παράδειγμα.5 Β {το πολύ δύο κλήσεις} {0,, }. Τέσσερα κύτταρα (αιμοσφαίρια) αίματος εκλέγονται και παρατηρείται ο αριθμός των ερυθρών αιμοσφαιρίων. Τα δυνατά αποτελέσματα είναι 0,,,3,4 ερυθρά. Το ενδεχόμενο τα ερυθρά αιμοσφαίρια να είναι περισσότερα από τα λευκά είναι Α { 3,4}. Εάν δοθούν δύο ή περισσότερα ενδεχόμενα τότε νέα ενδεχόμενα μπορούν να οριστούν από αυτά με τη βοήθεια πράξεων, οι οποίες εξετάζονται πιο κάτω. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου S. Εάν η πραγματοποίηση του ενδεχόμενου A συνεπάγεται την πραγματοποίηση του B τότε λέμε πως το A συνεπάγεται το B και σημειώνουμε A B. Εάν το A συνεπάγεται το B και το B συνεπάγεται το A τότε λέμε πως

ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ 9 τα A και B είναι ισοδύναμα και γράφουμε A B. Πιο απλά A B σημαίνει πως και τα δύο πραγματοποιούνται ή όχι ταυτόχρονα. Το ενδεχόμενο που συνίσταται στην πραγματοποίηση τουλάχιστον ενός από τα δύο ενδεχόμενα A και B ονομάζεται άθροισμα ή ένωση αυτών και συμβολίζεται με A + B ή A B. S A Σχήμα. B Έτσι A B { A ή Β}. Παρίσταται γραφικά με το σκιαγραφημένο μέρος του Σχήματος.. Η πραγματοποίηση του ενδεχόμενου A B απαιτεί την πραγματοποίηση του Α ή του Β ή και των δύο. Ένα ενδεχόμενο είναι η ένωση των στοιχειωδών ενδεχομένων που το αποτελούν. Το ενδεχόμενο που συνίσταται στην ταυτόχρονη πραγματοποίηση των Α και Β ονομάζεται το γινόμενο ή η τομή αυτών και συμβολίζεται με ΑΒ ή Α Β. Έτσι ΑΒ { Α και Β }. Παρίσταται S B γραφικά με το σκιαγραφημένο μέρος του Σχήματος.. Για να συμβεί η τομή ΑΒ πρέπει να συμβούν ταυτόχρονα και τα δύο ενδεχόμενα Α και Β. Εάν τα ενδεχόμενα Α και A Β δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τότε τα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα. Σχήμα. Με άλλα λόγια ΑΒ. S A Σχήμα.3 B Το ενδεχόμενο που συνίσταται στην πραγματοποίηση του Α και τη μη πραγματοποίηση του Β ονομάζεται η διαφορά των Α και Β και συμβολίζεται με Α Β. Η διαφορά Α Β παρίσταται γραφικά με το σκιαγραφημένο μέρος του Σχήματος.3. Αντίθετο ή συμπληρωματικό του ενδεχόμενου Α ονομάζεται το ενδεχόμενο που συνίσταται στη μη πραγματοποίηση του Α και συμβολίζεται με Α ή Α C. Η πραγματοποίηση του ενδεχομένου A σημαίνει τη μη πραγματοποίηση S Á A και τα δύο ενδεχόμενα A και A είναι ασυμβίβαστα. Το A παρίσταται γραφικά με το σκιαγραφημένο μέρος του Σχήματος Σχήμα.4.4. Προφανώς A S A.

0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Παράδειγμα.6 Ένα χαρτί διαλέγεται από μια συνηθισμένη τράπουλα. Ο δειγματικός χώρος S αποτελείται από τα 5 παιγνιόχαρτα. Εάν θεωρηθούν τα ενδεχόμενα A { σπαθί}, Β { βαλές}, C { φιγούρα} τότε έχουμε: Α Β {όλα τα σπαθιά και οι άλλοι τρεις βαλέδες} Α Β {όλα τα σπαθιά εκτός από τον βαλέ σπαθί} Α Β {βαλές σπαθί} S Α {όλα τα καρώ, κούπες και μπαστούνια} ( Α C) Β {όλα τα σπαθιά και οι φιγούρες εκτός από τους τέσσερες βαλέδες}. Το άθροισμα και το γινόμενο περισσότερων από δύο ενδεχομένων ορίζονται με ανάλογο τρόπο. Εάν { Α },,, K είναι μια ακολουθία ενδεχομένων, τότε η ένωση A ορίζεται ως το ενδεχόμενο το οποίο συνίσταται στην πραγματοποίηση τουλάχιστον ενός από τα A και η τομή A ως το ενδεχόμενο το οποίο συνίσταται στην ταυτόχρονη πραγματοποίηση όλων των A..3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων Η έννοια της πιθανότητας ενός ενδεχόμενου μπορεί να οριστεί με περισσότερους από έναν τρόπους ανάλογα με το είδος του ενδεχομένου, το πεδίο αναφοράς αυτού, τη μορφή του δειγματικού χώρου, το ισοπίθανο ή όχι των αποτελεσμάτων αυτού, την υποκειμενική μας αβεβαιότητα για το ενδεχόμενο κ.ο.κ. Πράγματι η Θεωρία Πιθανοτήτων προσφέρει περισσότερους από ένα ορισμούς της έννοιας της πιθανότητας. Οι ορισμοί αυτοί είναι το αποτέλεσμα λογικής επεξεργασίας απλών παρατηρήσεων και πρακτικών μεθόδων που η αξία τους έχει αποδειχθεί από την επανειλημμένη χρήση. Οι βασικοί ορισμοί της πιθανότητας είναι ο κλασικός, ο εμπειρικός και ο αξιωματικός. Ο κλασικός ορισμός αναφέρεται στην έννοια ισοπίθανων στοιχειωδών ενδεχομένων. Η προέλευσή του είναι από τα τυχερά παιγνίδια. Έ- στω A ένα ενδεχόμενο που αποτελείται από n στοιχειώδη ενδεχόμενα.

ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΝΟΜΟΙ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Έστω S ο δειγματικός χώρος αποτελούμενος από N στοιχειώδη ισοπίθανα ενδεχόμενα και A S. Τότε η πιθανότητα P ( A) του A ορίζεται P ( A) n / N (.) Ας θεωρήσουμε ένα τέλειο ζάρι. Κάθε μια από τις 6 πλευρές του είναι δυνατό να είναι το αποτέλεσμα μιας ρίψης του. εν έχουμε κανένα ιδιαίτερο λόγο να δώσουμε μεγαλύτερη εμπιστοσύνη σε κάποιο αποτέλεσμα. Έτσι ο δειγματικός χώρος S αποτελείται από έξι δυνατά ισοπίθανα αποτελέσματα. Η πιθανότητα του καθενός είναι P ( E ),,, K,6, 6 όπου με E, E, K, E6 συμβολίζονται τα έξι δυνατά αποτελέσματα,,..., 6. Έστω τώρα A το ενδεχόμενο ότι το αποτέλεσμα είναι άρτιο. Τότε 3 A { E, E 4, E 6 } και P ( A). 6 Η πιθανότητα P ( A) του ενδεχόμενου A είναι ίση προς τον αριθμό των αποτελεσμάτων που ευνοούν ή αντιπροσωπεύουν την πραγματοποίηση του A διαιρημένο με τον ολικό αριθμό των ισοπίθανων αποτελεσμάτων του πειράματος. Είναι προφανές ότι η πιθανότητα του S, του βέβαιου ενδεχόμενου, είναι N / N. Ομοίως η πιθανότητα του αδύνατου γεγονότος είναι μηδέν. Έ- τσι η πιθανότητα μπορεί να θεωρηθεί ως μια συνάρτηση που ορίζεται στο σύνολο των ενδεχομένων και παίρνει τιμές στο διάστημα [ 0,]. Ο εμπειρικός ορισμός της πιθανότητας βασίζεται στην έννοια της σχετικής συχνότητας. Έστω ότι το τυχαίο πείραμα εκτελείται N φορές και ότι n φορές από αυτές κατέληξαν στην πραγματοποίηση του ενδεχόμενου A. Ο λόγος n / N είναι η σχετική συχνότητα του A. Η πιθανότητα του A ορίζεται τότε ως το όριο της σχετικής συχνότητας καθώς το N δηλαδή P( A) lm N Ο αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας είναι καθαρό μαθηματικό δημιούργημα στηριζόμενο σε τρία αξιώματα που συμβιβάζονται με την αντίληψη του κλασικού και εμπειρικού ορισμού. Τα αξιώματα αυτά είναι γνωστά ως αξιώματα του Kolmogorov και είναι τα ακόλουθα: n N

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Αξίωμα Η πιθανότητα ενός ενδεχόμενου είναι ένας μη αρνητικός πραγματικός αριθμός. ηλαδή P ( A) 0 για κάθε ενδεχόμενο A. Αξίωμα Αξίωμα 3 P ( S). Εάν A, A, K είναι μία πεπερασμένη ή άπειρη ακολουθία ασυμβίβαστων ανά δύο ενδεχομένων τότε ( U A ) P( A ), ( A Aj j) P, όπου ο δείκτης διατρέχει τους αριθμούς,, K, n ή τους αριθμούς,, K Με άλλα λόγια πιθανότητα είναι μία συνολοσυνάρτηση που ονομάζεται μέτρο πιθανότητας με πεδίο ορισμού το σύνολο των ενδεχομένων και τιμές τους μη αρνητικούς αριθμούς [ 0, ] που ικανοποιεί τα Αξιώματα και 3. Αξίζει να σημειωθεί ότι τα τρία αξιώματα δεν μας λένε πως να ορίζουμε τις πιθανότητες στα διάφορα γεγονότα. Απλώς ορίζουν τους νόμους οι οποίοι πρέπει να διέπουν μία τέτοια πράξη. Ο Μαθηματικός ορίζει τις πιθανότητες κατά κάποιο τρόπο αυθαίρετα αρκεί τα αξιώματα να μη παραβιάζονται. Π.χ. εάν έχουμε ένα πείραμα με 5 διαφορετικά αποτελέσματα Α, Β, Γ,, Ε τότε P ( A) 0., P( B) 0., P( Γ) 0., P ( ) 0.3, P( E) 0. 3 αποτελούν σωστό τρόπο καθορισμού των πιθανοτήτων, ενώ ο τρόπος P ( A) 0., P( B) 0.3, P( Γ) 0., P ( ) 0.4, P ( E) 0. δεν είναι σωστός διότι παραβιάζει το Αξίωμα ( P ( S) > ). Εάν A είναι ένα υποσύνολο ενός διακεκριμένου δειγματικού χώρου και E, E, K μία πεπερασμένη ή άπειρη ακολουθία στοιχειωδών ενδεχομένων που αντιπροσωπεύουν το A τότε: () P ( A) P( ) (.) E

ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΝΟΜΟΙ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 3 () 0 P ( A) (3) P ( ) 0 (.3) (4) P ( A) + P( A) (5) Αν A και B είναι δύο ενδεχόμενα, τότε P( A B) P( A) + P( B) P( A B) (3.4) Η σχέση αυτή ονομάζεται συνήθως προσθετικός νόμος και δεν απαιτεί τα A και B να είναι ασυμβίβαστα. (6) Αν A B τότε P( A) P( B). Για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων προσφέρονται δύο δρόμοι. Ο ένας στηρίζεται στον κλασικό ορισμό και απαιτεί τον υπολογισμό του αριθμού N των δυνατών αποτελεσμάτων του πειράματος και του αριθμού n των ευνο κών περιπτώσεων για ένα ενδεχόμενο. Για τους υπολογισμούς αυτούς χρειάζονται στοιχεία συνδυαστικής ανάλυσης (βλέπε π.χ. Παράρτημα Α). Ο άλλος στηρίζεται στους νόμους των πιθανοτήτων. Παράδειγμα.7 Σε ένα Νοσοκομείο 50 ασθενείς εκλέγονται για τη μελέτη των αποτελεσμάτων παρατεταμένης νοσοκομειακής περίθαλψης. Ο ιευθυντής του Νοσοκομείου έχει 50 κάρτες, μία για κάθε ασθενή, με πληροφορίες που δίνονται στον παρακάτω πίνακα σχετικά με το άτομο και την ασθένειά του. Ηλικία Αρ. ασθενών 0 40 ετών 0 40 60 ετών 0 60 80 ετών 30 Από αυτούς 0 είναι άνδρες και 30 γυναίκες (α) Μία κάρτα εκλέγεται στην τύχη. Ποια η πιθανότητα να ανήκει () σε γυναίκα; () να ανήκει σε ασθενή ηλικίας μεταξύ 0 40 ή 60 80; (β) Τρεις κάρτες εκλέγονται χωρίς επανατοποθέτηση. Ποια η πιθανότητα και οι τρεις να ανήκουν σε άτομα ηλικίας 40 60 ετών;

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 30 P ( να ανήκει σε γυναίκα ) 60%. 50 P ( να ανήκει σε ασθενή με ηλ. 0 40 ή 60 80) P ( να ανήκει σε ασθενή με ηλ. 0 40) 0 + 50 40 50 80%. + P ( να ανήκει σε ασθενή με ηλ. 60 80) 30 50 0 3 9 P ( οι τρεις να ανήκουν σε ατ. ηλ. 40 60) 6 0 00. 50 470 3 Παράδειγμα.8 Μία ασθένεια εμφανίζεται σε έναν πληθυσμό ανεξάρτητα από το φύλο και με συχνότητα 40% στους άνδρες και 60% στις γυναίκες. Ένας άνδρας και μία γυναίκα εκλέγονται στην τύχη από τον πληθυσμό αυτό. Ποια η πιθανότητα ένας από τους δύο να είναι φορέας της ασθένειας; Έστω A { το ενδεχόμενο να είναι άνδρας}, Γ { το ενδεχόμενο να είναι γυναίκα}. Τότε P ( ένας από τους δύο) P( A ή Γ) P ( A) + P( Γ), (( Α Γ) ) P( A ναι και Γ όχι) + P( Α όχι και Γ ναι) P( Α ναι) P( Γ όχι) + P( A όχι) P( Γ ναι) 0.4 0.4 + 0.6 0.6

ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΝΟΜΟΙ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 5 0.6 + 0.36 0.5 5%..4 εσμευμένη πιθανότητα - Ολική πιθανότητα - Κανόνας Bayes - Υποκειμενική πιθανότητα Η έννοια της δεσμευμένης πιθανότητας στηρίζεται στην έννοια του δεσμευμένου γεγονότος. Και οι δύο έννοιες είναι θεμελιώδους σημασίας για τη Θεωρία Πιθανοτήτων και τη Στατιστική. Έστω ένας πληθυσμός με N άτομα από τα οποία N A έχουν αχρωματοψία, N B είναι γυναίκες και N AB είναι ο αριθμός των γυναικών που πάσχουν από αχρωματοψία (βλέπε Σχήμα.5). Εκλέγεται ένα άτομο στην τύχη από τον πληθυσμό. Έστω A το ενδεχόμενο το άτομο που ε- κλέχτηκε να έχει αχρωματοψία και B το ενδεχόμενο να είναι γυναίκα. Προφανώς N A N B P( A) και P( B). N N Σχήμα.5 Αντί του συνολικού πληθυσμού εξετάζουμε τώρα τον υποπληθυσμό των γυναικών και ενδιαφερόμαστε για την πιθανότητα η γυναίκα που εκλέγεται στην τύχη να έχει αχρωματοψία. Η πιθανότητα είναι N AB N B. Τίποτε το καινούριο δεν έχουμε συναντήσει μέχρι τώρα. Χρειαζόμαστε όμως ένα συμβολισμό για να χαρακτηρίσουμε τον υποπληθυσμό που χρησιμοποιούμε. Έτσι γράφοντας A B εννοούμε το ενδεχόμενο A (αχρωματοψία) δοθέντος του ενδεχόμενου B (το πρόσωπο που εκλέχτηκε να είναι γυναίκα) και ονομάζουμε το γεγονός αυτό δεσμευμένο ή υπό συνθήκη. Προφανώς ονομάζουμε

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ P( A B) N N AB B N N AB B N N P( AB) P( B). Η προηγούμενη πιθανότητα λέγεται δεσμευμένη ή υπό συνθήκη πιθανότητα. Ορισμός. Έστω ένας δειγματικός χώρος S και ένα ενδεχόμενο B με P ( B) > 0. Η δεσμευμένη πιθανότητα ενός οποιουδήποτε ενδεχομένου A δοθέντος του B συμβολίζεται με P ( A B) και ορίζεται ως P( A B) P( A B). (.5) P( B) Εάν P ( B) 0 οι δεσμευμένες πιθανότητες δεν ορίζονται. Το σύμβολο A B διαβάζεται το ενδεχόμενο A δοθέντος του B. Σε αντιδιαστολή με την P ( A B) ή P ( A) λέγεται και απόλυτη πιθανότητα. Παράδειγμα.9 Έστω ένας πληθυσμός από 00 άτομα τα οποία ταξινομούνται ανάλογα με το φύλο και το πτυχίο Πανεπιστημίου στον παρακάτω πίνακα. Πτυχιούχοι Παν. Μη πτυχιούχοι Σύνολο Άνδρες 30 0 50 Γυναίκες 0 40 50 Σύνολο 40 60 00 Ένα άτομο εκλέγεται στην τύχη από τον πληθυσμό. Τότε P ( το άτομο να είναι πτυχιούχος άνδρας) 30 50. P ( το άτομο να είναι πτυχιούχος γυναίκα) 0 50. P ( το άτομο να είναι άνδρας πτυχιούχος) 30 40. P ( το άτομο να είναι μη πτυχιούχος γυναίκα ) 40 50. Ο ορισμός της δεσμευμένης πιθανότητας μας δίνει P ( A B) P( A) P( B A) P( B) P( A B) (.6)

ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΟΛΙΚΗ ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 7 με την προ πόθεση ότι P ( A) > 0, P( B) > 0. Ο νόμος αυτός είναι γνωστός ως πολλαπλασιαστικός νόμος των πιθανοτήτων. Γενικεύεται και για περισσότερα από δύο ενδεχόμενα και μας δίνει συχνά έναν άλλο εύκολο τρόπο υπολογισμού πιθανοτήτων με τη βοήθεια δεσμευμένων ενδεχομένων. Έχει ευρύτατες εφαρμογές ιδιαίτερα όταν το τυχαίο πείραμα περιλαμβάνει διαδοχικές επιλογές αντικειμένων από έναν πληθυσμό. Υπάρχουν πολλά προβλήματα στα οποία το τελικό αποτέλεσμα εξαρτάται από το τι γίνεται σε ενδιάμεσες περιπτώσεις. Ας θεωρήσουμε το ακόλουθο παράδειγμα: έστω ένας πληθυσμός με ίσο αριθμό ανδρών και γυναικών. Πέντε άνδρες στους εκατό και είκοσι πέντε γυναίκες στις δέκα χιλιάδες έχουν αχρωματοψία. Εάν εκλέξουμε στην τύχη ένα άτομο ποια η πιθανότητα να έχει αχρωματοψία; Έστω A χρ το ενδεχόμενο ότι το άτομο που εκλέχτηκε έχει αχρωματοψία, A το ενδεχόμενο ότι είναι άνδρας και Γ το ότι είναι γυναίκα. Τότε έχουμε P ( A), P( Γ), P( A A) 0.05, P( A Γ) 0. 005 και χρ χρ A ( A A) ( A Γ). χρ χρ χρ Αλλά τα γεγονότα A χρ A, Aχρ Γ είναι ασυμβίβαστα και σύμφωνα με το Αξίωμα 3 θα έχουμε P ( A ) P( A A) + ( A Γ). χρ χρ χρ Έτσι σύμφωνα με τον πολλαπλασιαστικό νόμο P( A ) P( A A) P( A) P( A Γ) P( Γ) χρ χρ + 0.05 + 0.005 0.065. Η γενίκευση της προηγούμενης μεθόδου μας δίνει το Θεώρημα της ολικής πιθανότητας, το οποίο έχει ως εξής: Έστω H, H, K, Hk k ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα το ά- θροισμα των οποίων καλύπτει όλο το δειγματικό χώρο S (δηλ. H H K Hk S ) και P ( H ) > 0 για,, K, k. Τότε για κάθε ενδεχόμενο A του S έχουμε χρ k P( A) P( AH ) P( H ) P( A H ) k (.7)

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π.χ. αν έχουμε δύο ενδεχόμενα H, H με H H S και A να α- νήκει στο S, όπως στο Σχήμα.6, τότε A και επομένως ( H A) ( H A) P( A) P( H A) + P( H A) P ( A H ) P( H ) + P( A H ) P( ). H Σχήμα.6 Ας επανέλθουμε τώρα στο προηγούμενο παράδειγμα και ας υποθέσουμε ότι το άτομο που εκλέγεται έχει αχρωματοψία. Ποια η πιθανότητα να είναι άνδρας; Έχουμε λοιπόν να βρούμε την πιθανότητα του ενδεχομένου το άτομο να είναι άνδρας δοθέντος ότι έχει αχρωματοψία. Έτσι έχουμε P ( A A ) χρ P P ( A Aχρ ) P( Aχρ ) ( Aχρ A) P( A) P( A ) χρ P ( A A) χρ P ( A Aχρ ) P( A) 0.05 0.95. 0.065 Η γενίκευση του παραπάνω προβλήματος αποτελεί τον κανόνα του Bayes, ο οποίος διατυπώνεται ως εξής: Κανόνας του Bayes: Έστω H, K, Hk k ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα τα οποία καλύπτουν ολόκληρο το δειγματικό χώρο S με P ( ) > 0 για κάθε. Τότε για κάθε ενδεχόμενο A, με P ( A) > 0, έχουμε: H P( A H ) P( H ) P( H A),,, K, k (.8) Σ P( A H ) P( H )

ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΟΛΙΚΗ ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 9 Παράδειγμα.0 Ένα καινούριο τεστ διάγνωσης του καρκίνου έχει πιθανότητα θετικού σφάλματος (θετικό τεστ ενώ το άτομο είναι υγιές) % και πιθανότητα αρνητικού σφάλματος (αρνητικό τεστ ενώ το άτομο πάσχει από καρκίνο) 5%. Ο καρκίνος σε έναν πληθυσμό εμφανίζεται με συχνότητα 0.0%. Αν από τον πληθυσμό αυτό εκλεγεί ένα άτομο στην τύχη και κάνει το τεστ, να βρεθεί η πιθανότητα το τεστ να είναι θετικό. Έστω το ενδεχόμενο: + το τεστ να είναι θετικό. Τότε P ( + ) P( + και υγιής) ή P( + και ασθενής) Όμως P ( + υγιής) P( υγιής) + P( + ασθενής) P( ασθενής). P ( + υγιής) 0.0, P ( υγιής) 0.0% 0.000 0.9999, P ( + ασθενής) 0.05 0.95, Άρα P ( ασθενής) 0.0% 0.000. P( + ) ( 0.0)( 0.9999) + ( 0.95)( 0.000) 0.009999 + 0.00095 0.00094 0.0 %. Παράδειγμα. Έστω δύο κλουβιά K και K. Το πρώτο περιέχει άσπρα και 8 μαύρα ποντίκια. Το δεύτερο περιέχει 6 άσπρα και 4 μαύρα ποντίκια. Εκτελούμε το εξής πείραμα: ιαλέγουμε στην τύχη ένα κλουβί και μετά ένα ποντίκι από το κλουβί που εκλέχτηκε. Έστω ότι το ποντίκι είναι άσπρο. Ποια η πιθανότητα να έχει βγει από το πρώτο κλουβί; Η εκ των προτέρων πιθανότητα να διαλέξουμε το κλουβί K είναι P ( K ) και το κλουβί K P( K ). Τώρα έχουμε

0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ( να έχουμε διαλέξει το κλουβί K ποντίκι άσπρο) P( K A) P Όμοια βρίσκουμε P( A K ) P( K ) P( A K ) P( K ) + P( A K ) P( K ) 0 0 + 6 0 4. P( K A) P( A K ) P( K ) P( A K ) P( K ) + P( A K ) P( K ) 3 4. Οι πιθανότητες P( K A) και P( K A) δηλαδή οι πιθανότητες μετά την εκτέλεση του πειράματος ονομάζονται και εκ των υστέρων πιθανότητες. Παράδειγμα. Πιθανότητες και Γενετική Έστω ένα ζευγάρι του οποίου η γυναίκα έχει τύπο αίματος O και ο άνδρας έχει τύπο αίματος AB. Το ζευγάρι αποκτά δίδυμα αγόρια με τύπο αίματος B. Είναι γνωστό () όταν ο τύπος αίματος O και AB διασταυρώνονται, 50% των απογόνων έχουν τύπο αίματος A και 50% τύπο αίματος B, () δίδυμα που προέρχονται από το ίδιο ωάριο έχουν τον ίδιο τύπο αίματος. Εάν γνωρίζουμε ότι περίπου ένα τέταρτο των διδύμων προέρχονται από το ίδιο ωάριο ποια η πιθανότητα τα δίδυμα του ζευγαριού να προέρχονται από το ίδιο ωάριο; Τα δίδυμα αγόρια διαιρούνται σε εκείνα που προέρχονται από ένα ωάριο και εκείνα από δύο διαφορετικά ωάρια. Για λόγους συντομίας ο- ρίζουμε τα ενδεχόμενα: A A { δίδυμα προέρχονται από ένα ωάριο} { δίδυμα προέρχονται από δύο ωάρια} A { δίδυμα τύπου B}. Από τον κανόνα του Bayes η ζητούμενη πιθανότητα γράφεται ( δίδυμα προέρχονται από ένα ωάριο δίδυμα τύπου B) P( A A) P

ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΟΛΙΚΗ ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ P( A A ) P( A ) P( A A ) P( A ) + P( A A ) P( A ). (.9) Από τα ενδεχόμενα του προβλήματος έχουμε P ( A ) 4, P( A ) 3 4, P( A A ).