Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD
Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες m Μέγεθος του Α Συμβολισμοί a a a a a a a a a 2 2 22 2 m m2 m ( a ), i m, j M (F) m ή Το σύνολο των m πινάκων με στοιχεία από το σύνολο F M (F) F m Αν m ο πίνακας ονομάζεται Τετράγωνος ή Τετραγωνικός ή F Το σύνολο των τετράγωνων πινάκων με στοιχεία από το F R ή C Ορισμός Πίνακα ως Συνάρτηση : F, {,2,..., m}, {,2,...,} 2 2
Ειδικές Περιπτώσεις Πινάκων Πίνακας Γραμμή [ ] a a2 a Πίνακας Στοιχείο [ α ] Πίνακας στήλη m a a am 2 Αναπαράσταση Διανύσματος στον m Ίχνος Τετράγωνου Πίνακα tr( ) a a... a a 22 ii i Ισότητα δύο Πινάκων Πρέπει να έχουν το ίδιο μέγεθος και τα ομοθέσια στοιχεία τους να είναι ίσα + + + Άθροισμα Διαγώνιων Στοιχείων
Σύνθετος Πίνακας Πίνακας που περιέχει μικρότερους υποπίνακες ως στοιχεία του m pq 2 s 2 22 2s r r 2 rs m ( ) όπου οι είναι πίνακες με m m και π.χ. 35 p q r p p pq s q 7 5 9 4 2 3 2 6 7 3 2 22 4 5 7 3 2 q
Σύνθετος Πίνακας Ένας πίνακας m διαμέριση ως προς τις γραμμές του: m μπορεί να αναπαρασταθεί ως σύνθετος πίνακας με a a2... a R a2 a22... a 2 R 2............... am am2... am Rm Επίσης μπορεί να αναπαρασταθεί ως σύνθετος πίνακας με διαμέριση ως προς τις στήλες του: a a2... a a a... a............ am am2... am [... ] 2 22 2 m C C2 C
Άνω και Κάτω Τριγωνικός Άνω Τριγωνικός a 0 i > j 7 4 8 0 5 m 0 6 3 6 3 0 0 7 2 Όλα μηδέν Κάτω Τριγωνικός Κύρια Διαγώνιος a 0 i< j ( i j) m 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0
Μηδενικός Διαγώνιος Ταυτοτικός Μηδενικός O m Διαγώνιος m a a 0 i j 0 i, j 0 0 0 0 O 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 Ταυτοτικός a i j, a 0 i j I Τετράγωνος Διαγώνιος I 3 0 0 0 0 0 0
Ανάστροφος Συμμετρικός Αντισυμμετρικός Ο ανάστροφος ενός mx πίνακα, είναι ο xm πίνακας που προκύπτει από τον αν τις γραμμές του τις γράψουμε ως στήλες ( ) ( ),, a a i j m 4 8 4 3 0 8 0 6 3 6 Συμμετρικός Πίνακας: Αν 4 8 3 8 2 3 2 9 Αντισυμμετρικός Πίνακας: Αν 0 8 3 8 0 2 3 2 0 ji Στη διαγώνιο έχουμε αναγκαστικά 0 a a, i, j ji Ισχύει γενικά ( ) Τετράγωνος πίνακας με Τετράγωνος πίνακας με a a, i, j ji
Συζυγής Ερμιτιανιός Αν M m ( ) τότε ο συζυγής του ορίζεται ως ( a ), i, j 3 + 4i i 3 4i i 0 7 2 i 0 7 2+ i Ερμιτιανός Πίνακας Αν o τετράγωνος και ισχύει ότι ( ) 3 2+ i i 2 i 7 4 i i 4+ i Η διαγώνιος περιέχει πάντοτε μόνον πραγματικούς αριθμούς M ( ) και ο Ερμιτιανός ο Συμμετρικός
Πρόσθεση Πινάκων Αν ( ) B, M m F Ιδιότητες τότε ( ) ( ) ( ) + B a + b a + b + B B+ + ( B+ C) ( + B) + C O+ + O + ( ) O ( + B) + B ( + B) ( ) + ( B) Πρέπει και οι δύο να έχουν το ίδιο μέγεθος Αντιμεταθετική Ιδιότητα Προσεταιριστική Ιδιότητα Μηδενικό (ή Ουδέτερο) Στοιχείο Αντίθετος Πίνακας Κάθε Τετράγωνος πίνακας γράφεται ως άθροισμα ενός Συμμετρικού και ενός Αντισυμμετρικού πίνακα: Τ Τ ( + ) + ( ) 2 2
Βαθμωτός Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Πίνακα M ( F) Αν και τότε m λ F ( ) ( ) λ λ a λa Ιδιότητες λ λ λ( + B) λ+ λb λµ λ µ ( ) ( ) λ + µ λ + µ ( ) λ ( ) λ ( ) Αντιμεταθετική Ιδιότητα Επιμεριστική Ιδιότητα Προσεταιριστική Ιδιότητα Επιμεριστική Ιδιότητα Αντίθετος πίνακας
Γινόμενο Πινάκων M ( F) Αν και τότε m k ( F) ( F) B M k C B M m Πρέπει το πλήθος των στηλών του πρώτου πίνακα να ταυτίζεται με το πλήθος των γραμμών του δεύτερου k c ab ab + ab +... + ab, i, j is sj i j i2 2 j ik kj s Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων i γραμμής του Α και j στήλης του Β c a a a b b b (,,, ) (,,, ) i i2 ik j 2 j kj Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων σε μορφή πινάκων Έστω u, v N N τότε uv uv με τη διαφορά βέβαια ότι το αριστερό μέλος δίνει αριθμό ενώ το δεξιό μέλος δίνει πίνακα x
Γραμμικός Συνδυασμός στοιχείων ενός συνόλου Είναι μία έκφραση, η οποία κατασκευάζεται από ένα σύνολο όρων (συνήθως διανυσμάτων) πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο με μία σταθερά (συνήθως πραγματικού αριθμού) και αθροίζοντας τα γινόμενα: cv + cv 2 2 +... + cv π.χ. 2α + 3b c 6 2B όπου α, bc, όπου B, M m ( ) 3 f( x) + 5 gx ( ) όπου f, g:
Γινόμενο πινάκων ΑΒ ως γραμμικός συνδυασμός των γραμμών του Β Η i γραμμή του γινομένου δύο πινάκων Α, Β ισούται με το γραμμικό συνδυασμό των γραμμών του Β με συντελεστές τις συνιστώσες της i γραμμής του Α m k a a a a...... a a............ a a... a 2 k 2 22 2k m m2 mk B k b b2... b R b2 b22... b 2 R 2............... bk bk 2... bk Rk C m ar + a2r2 +... + a krk a2r + a22r2 +... + a2kr k B... am R+ am2r2 +... + amk Rk
Γινόμενο πινάκων ΑΒ ως γραμμικός συνδυασμός των στηλών του Α Η j στήλη του γινομένου δύο πινάκων Α, Β ισούται με το γραμμικό συνδυασμό των στηλών του Α με συντελεστές τις συνιστώσες της j στήλης του Β a a2... a k a a... a............ am am2... amk [... ] 2 22 2k m k C C2 Ck B k b b2... b b b... b............ bk bk 2... bk 2 22 2 C B b C + b C +... + b C b C + b C +... + b C m 2 2 k k 2 2 k k
Παραδείγματα Γινομένου Πινάκων 3 2 2 3 4 0 2 4 2 5 B 3 4 3 2 0 4 0 2 C 2 4 2 + 2 + 4 6 + 6 + 5 + 4 + 0 3+ 0 + 2 8 3 9 5 B 6 + 0 + 8 8 + 0 + 2 20 + 0 + 0 4 + 0 + 4 24 0 20 8 Μπορούμε να εκφράσουμε την κάθε γραμμή του C ως γραμμικό συνδυασμό των γραμμών του Β. Για παράδειγμα για τη 2 η γραμμή θα έχουμε: [ ] + [ ] + [ ] [ 6 0 8 8 0 2 20 0 0 4 0 2] [ 24 0 20 8] 44 2 5 0 3 2 0 24 0 2 + + + + + + + + Επίσης μπορούμε να εκφράσουμε την κάθε στήλη του C ως γραμμικό συνδυασμό των στηλών του Α. Για παράδειγμα για τη 3 η στήλη θα έχουμε: 3 2 5 + 4 + 0 9 5 2 0 4 + 0 + 2 20 + 0 + 0 20
Παραδείγματα Γινομένου Πινάκων Πίνακα με Πίνακα Στήλη (Διάνυσμα) 2 3 33 5 2 4 7 6 X 3 2 8 C 3 4+ 8 3 X 0 6 5 + 8 + 56 6 42 Το ίδιο μπορεί να γραφεί και σαν γραμμικός συνδυασμός των στηλών του Α C 3 2 3 X 25 82 5 + 4 7 6 42
Παραδείγματα Γινομένου Πινάκων Πίνακα Γραμμή με Πίνακα Στήλη (Διάνυσμα) 3 [ 2 4 3] B 3 3 2 5 [ ] [ ] C B 6 + 8 + 5 7 Πίνακα Στήλη (Διάνυσμα) με Πίνακα Γραμμή 3 3 2 5 B 3 [ 2 4 3] C 33 6 2 9 B 4 8 6 0 20 5
Ιδιότητες Γινομένου Πινάκων Έστω οι B ( B+ C) B+ C ( B+ C) B+ C ( B) λ B λ B ( λb) ( ) ( ) BC,, B B I I O O O Τετράγωνοι, τότε Δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα (Εν γένει) Επιμεριστική ιδιότητα Επιμεριστική ιδιότητα Ουδέτερο στοιχείο M ( F) Αν τότε οι πίνακες και είναι συμμετρικοί m
Δύναμη Τετράγωνου Πίνακα Προσοχή: ( ) ( )( ) ( ) k k k B B B B B k k ( ) 2 2 2 2 2 + B + B+ B+ B + 2B+ B k Ισχύει ο Διωνυμικός Τύπος k + I + + + + + + I k ( )! όπου k k!( k)! + I + 2+ I π.χ. ( ) 2 2 2 2, Για Διαγώνιους πίνακες k diag( a k, a k 2,, a k )
Πράξεις Σύνθετων Πινάκων Έστω ( ), ( ) ( F) B B M m και λ F Βαθμωτό γινόμενο Πρόσθεση Πινάκων ( ) ( ) λ λ λ ( ) ( ) ( ) + B + B + B Προϋπόθεση: Τα μεγέθη των υποπινάκων πρέπει να είναι τέτοια, ώστε να ορίζονται οι κατάλληλες πράξεις μεταξύ τους. Γινόμενο Πινάκων k B C ( C ) C B B + B +... + B, i, j is sj i j i2 2 j ik kj s
Αντίστροφος Τετράγωνου Πίνακα Δεν υπάρχει πάντοτε, αλλά αν υπάρχει είναι μοναδικός Ένας πίνακας που δεν έχει αντίστροφο, ονομάζεται ιδιάζων ή ιδιόμορφος. Ιδιότητες ( ) ( B) ( λ) B ( ) ( ) k ( ) ( ), λ 0 λ k Αν τ τε και C CB B C ό C BC B (/,/,,/ ) diag a a2 a I Δεξιός Αντίστροφος Αριστερός Αντίστροφος Ο Δεξιός ή ο Αριστερός αντίστροφος, ορίζονται και για μη τετράγωνους πίνακες. Αν υπάρχει ο Αριστερός Αντίστροφος ενός τετράγωνου πίνακα τότε υπάρχει και ο Δεξιός Αντίστροφός του και μάλιστα οι δύο Αντίστροφοι ταυτίζονται. Το ίδιο ισχύει και για τον Δεξιό Αντίστροφο Αν ο Α διαγώνιος
Αντίστροφος Τετράγωνου Πίνακα Παραδείγματα 3 5 4 5 5 5 35 4 3 B 4 2 0 2 3 2 B 25 7 8 3 6 4 2 3 8 Πίνακες που δεν έχουν αντίστροφο: 3 4 C D 6 8 2 2 5 6 8 4 6 3