СЛУЧАЈНА ПРОМЕНЉИВА
Једнодимензионална случајна променљива X је пресликавање у коме се сваки елементарни догађај из простора елементарних догађаја S пресликава у вредност са бројне праве Први корак у дефинисању случајне променљиве је дефинисање простора елементарних догађаја S, односно дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја За сваку случајно променљиву може се дефинисати закон вероватноће (закон расподеле) и функција расподеле Случајне променљиве се деле на прекидне ( дискретне) и непрекидне (континуиране) у зависности да ли су вредности само неке тачке са бројне праве или све тачке из коначног или бесконачног интервала
ПРЕКИДНЕ (ДИСКРЕТНЕ) СЛУЧАЈНЕ ПРОМЕНЉИВЕ Закон вероватноће случајне променљиве дискретног облика је скуп парова x i i ( i,,n) где је: n i i x, x,x n Χ :,, n 0 i i Функција расподеле дефинише се као кумулатив вероватноћа : F( x) P( Χ x) 0 F x ( )
У кутији се налази пeт бeлих и три црнe куглицe Извлaчи сe куглицa бeз врaћaњa свe дoксeнe извучe бeлa куглицa Нeкaje случajнa прoмeнљивax: брoj извучeних црних куглицa a) Нaћи зaкoн рaспoдeлe случajнe прoмeнљивe X б) Функциjу рaспoдeлe случajнe прoмeнљивex Решење: а) Број извучених црних куглица је случајна променљива чије су вредности: 0,, и 3 Вероватноће појединих P ( Χ 0 ) вредности су: P P P ( Χ ) ( Χ ) ( Χ ) 0 5 8 3 5 5 8 7 56 3 5 8 7 6 3 3 8 7 6 5 56 56
Закон расподеле случајне променљиве Xje: X: 0 5 8 5 56 5 56 3 56 б) ) Функциja j рaспoдeлe je: ( Χ x) 0 x < 0 P 0 x x < P < P x < 3 P x 3 P ( Χ x) P( Χ 0) 5 8 0,65 5 56 ( Χ x ) P ( Χ 0 ) + P ( Χ ) + 0,89 ( Χ x) P( Χ 0) + P( Χ ) + P( Χ ) 0, 98 ( Χ x) 5 8 55 56
Oчeкивaнa врeднoст случајне променљиве (математичко очекивање) Oчeкивaнa врeднoст прoмeнљивe X кoд прeкиднoг рaспoрeдa р je: E(X) i x i i Осoбинe: ) E (cx) ce(x ) ) 3) E (c) c E (X + Y) E(X) + E(Y) 4) Aкo су X и Y нeзaвиснe случајне прoмeнљивe E (XY) E(X)E(Y)
Примeр : Aкo je E(X) и E(Y)3, изрaчунaти oчeкивaну врeднoст случajнe прoмeнљивe: 5X+3Y- Решење: E(5X+3Y- ) 5 E(X)+3 E(Y)- 0+9-7 Примeр : Aкo случajнa прoмeнљивa X имa oчeкивaну врeднoст 6, a Y oчeкивaну врeднoст -3; и X и Y су нeзaвиснo рaспoдeљeнe, изрaчунaти oчeкивaну врeднoст прoмeнљивe X + 4ΧΥ Решење: Χ E + 4ΧΥ E ( Χ) + 4E( ΧΥ) E( Χ) + 4E( Χ) E( Υ) 3 7 69
Варијанса случајне променљиве Вaриjaнсa случajнo прoмeнљивe X је: V(X) E(X X) [ E(X) ] E(X ) [ E(X) ] E X Oсoбинe: ) V(cX) c V(X) ) V (X + c) V(X ) 3) Aкo су X и Y нeзaвиснe случајне прoмeнљивe V (X ± Y) V(X) + V(Y)
Примeр : Дaт je зaкoн рaспoдeлe случajнe прoмeнљивe X: X: 3 4 7 0, 0, 0,5 α Израчунати α и E(X) и V(X) Решење: α 0,8 0, E(X) x i i i i V [ ] ( ) ( Χ E Χ ) E ( Χ ) E E V ( Χ ) 0, + 3 0, + 4 0,5 + 7 0, 3, 9 ( Χ ) 0, + 9 0, + 6 0,5 + 49 0, 8, 9 ( Χ ) 8,9 ( 3,9) 3, 69
Примeр : Нa путу крeтaњa aутoмoбилaб су чeтири сeмaфoрa Свaки oд њих сa вeрoвaтнoћoм 0,4 дoзвoљaвa дaљe крeтaњe Oписaти случajну прoмeнљиву X: брoj сeмaфoрa пoрeдкojих je aутoмoбил прoшao дo првoг зaустaвљaњa Нaћи oчeкивaну врeднoст и вaриjaнсу случajнe прoмeнљивe X Решење: Случajнa прoмeнљивa X мoжe зa врeднoсти дa узмe брojeвe i 0,,4 сa вeрoвaтнoћaмa: 0 P P P P ( Χ 0) 0,6 ( Χ ) 0,4 0,6 0, 4 ( Χ ) 0,4 0,4 0,6 0,096 ( Χ 3) 0,4 0,4 0,4 0,6 0, 0384 ( Χ 4) 0,4 0,4 0,4 0,4 0, 056 3 4 P x i i
E (X) x i i V Χ E Χ E Χ E ( ) ( ) ( ) i [ ] E ( Χ) 0 0,6 + 0,4 + 0,096 + 3 0,0384 + 4 0,056 0, 6496 E( ( E Χ ) 0 0,6 + 0,4 + 4 0,096096 + 9 0,03840384 + 6 0,056056, 379 V ( Χ),379 ( 0,6496) 0, 957
Дводимензиона прекидна (дискретна) расподела Полазимо од две дискретне случајно променљиве: X: X, X, X l Y: Y, Y,,Y k X / Y Y Y Y k Σ X f f f k f f X X l f f f k ḟ l f l f lk f ḟ l Σ f f f k n
Релативна фреквенција ( вероватноћа ): fij ij ΣΣf ij f ij n X/Y Y Y Y k i X k X k X l l l l k l j k ΣΣ ij f -апсолутне фреквенције ij i (i,,l) збир вероватноћа редова- маргиналне вероватноће за X j (j,,k) збир вероватноћа колона- маргиналне вероватноће за Y
Маргиналне вероватноће представљају збир вероватноћа по редовима или по колонама Маргинална вероватноћа за X: ( XX ) ( X,Y ) + ( X,Y ) + + (X,Y k ) Маргинална вероватноћа за Y: (YY ) (Y,X )+ ( Y,X )+ + (Y,X l ) l k i j i j
Израчунавање условних вероватноћа X под условом Y X/Y i/j ( ) Y ( Y) j X X,Y Y i j ij j X X,Y Y j/i X X ( ) Y под условом X Y/X i j ij ( ) i i
Пример : У табели је дата је дводимензионална расподела: а) одредити маргиналне расподеле за X и Y б) одредити условне расподеле за X и Y ц) израчунати очекиване вредности и варијансе за X и Y, коваријансу и коефицијент корелације д) испитати да ли су X и Y независне променљиве X / Y 3 5 i - 0, 0,08 0,04 0, 0 0,05 0, 0,05 0, 0,05 0,04 0, 0, 0,07 0,30 0, 0,7 j 0,37 0,43 0,0,00
Решење: а) Маргиналне вероватноће за X: ( Χ ) ( Χ, Υ ) + ( Χ, Υ 3) + ( Χ, Υ 5) + 0, + 0,08+ 0,04 0, ( Χ 0) ( Χ 0, Υ ) + ( Χ 0, Υ 3) + ( Χ 0, Υ 5) 0,0505 + 0, + 0,0505 0,3 ( Χ ) ( Χ, Υ ) + ( Χ, Υ 3 ) + ( Χ, Υ 5 ) 3 3 3 0, + 0,05 + 0,04 0, 4 4 ( Χ ) ( Χ, Υ ) + ( Χ, Υ 3) + ( Χ, Υ 5) 0, + 0, + 0,07 0,7
Маргиналне вероватноће за Y: ( Υ ) ( Χ ; Υ ) + ( Χ 0; Υ ) + ( Χ ; Υ ) + ( Χ ; Υ ) 0, + 0,05+ 0,+ 0, 0,37 ( Υ 3) ( Χ ; Υ 3) + ( Χ 0; Υ 3) + ( Χ ; Υ 3) + ( Χ ; Υ 3) 0,0808 + 0, + 0,0505 + 0 0, 0,43 3 3 ( Υ 5) ( Χ ; Υ 5) + ( Χ 0; Υ 5) + ( Χ ; Υ 5) + ( Χ ; Υ 5) 0,04+ 0,05+ 0,04+ 0,07 0,
б) Условне расподеле за X и Y X под условом Y Y Χ/ Υ : 0,7 0 0,4 0,3 0,7 ( Χ, Υ ) ( Υ ) 0, 0,37 / 0,7 ( Χ 0, Υ ) 0,05 ( Υ ) 0, 37 / 0,4 ( Χ, Υ ) ( Υ ) 0, 0,37 3 3/ 0,3 ( Χ, Υ ) 0, 4 ( Υ ) 4 / 0,37 0,7
Y под условом X Y/X - Υ / Χ : 0,46 3 0,36 5 0,8 ( Χ, Υ ) ( Χ ) 0, 0, / 0,46 ( Χ, Υ 3) 0,08 ( Χ ) 0, / ( Χ, Υ 5 ) 0,0404 3 ( Χ ) 0, / 3 0,36 0,8
ц) очекиване вредности и варијансе за X и Y, коваријанса и коефицијент корелације E(X) ( 0,) + ( 0 0,3) + ( 0,) + ( 0,7) 0, 53 xi i i V ( 0,) + ( 0 0,3) + ( 0,) + ( 4 0,7), 5 E(X ) ( ) ( Χ E Χ ) E( Χ) [ ],5 ( 0,53), 9 E( Υ) j ( 0,37) + ( 3 0,43) + ( 5 0,), 66 y j j ( 0,37) + ( 9 0,43) + ( 5 0,) 9, 4 E( Υ ) V ( ) ( ) Υ E Υ E( Υ) [ ] 9,4 (,66), 644
Коваријанса cov( Χ, Υ) E( ΧΥ) E( Χ) E( Υ) E( ΧΥ) xy i j ij E( ΧΥ) ( 0, ) + ( 3 0,08 ) + ( 5 0,04 ) + ( 0 0,05 ) + + ( 5 0,07 ),43 cov ( Χ, Υ),43 0,53,66 0, 00 cov ( Χ, Υ ) 0 Коефицијент корелације X и Y зависне случајне променљиве ( Χ, Υ) ΧΥ ( Χ ) V ( Υ ),9, cov 0,00 rχυ r 0, 08 V,644
Утврђивање независности променљивих cov ( Χ, Υ) 0 X и Y су зависне случајне променљиве ( Χ, Υ ) 0 cov Не може да се закључи независност случајних променљивих X и Y тако да следи провера Провера Ако су X и Y независнe случајне променљиве тада за свако i и j следи: ij ( ) Χ x i, Υ yj i j Према томе треба проверити да ли је овај услов задовољен
Пример : Дата је дводимензионална расподела : Израчунати вероватноћу да је апсолутна вредност разлике променљивих X и Y једнака Решење: