J. POPOVIĆ i dr. ESIRNJE PRVOSI LINIJSKIH OBJEK PRIMENOM... естирање правости линијских објеката применом потпуног метода најмањих квадрата ЈОВАН M. ПОПОВИЋ, Универзитет у Београду, Прегледни рад UDC: 528.181 ИВАН Р. АЛЕКСИЋ, Универзитет у Београду, 519.23 DOI: 1.5937/tehnika172187P БРАНКО С. БОЖИЋ, Универзитет у Београду, БРАНКО Ђ. МИЛОВАНОВИЋ, Универзитет у Београду, МИЉАНА С. ОДОРОВИЋ ДРАКУЛ, Универзитет у Београду, У раду је приказано адаптирање (фитовање) скупа тачака, са оцењеним дводимензионалним позицијама, на модел праве линије применом тежинског потпуног метода најмањих квадрата (Weighted ota Least Squares, WLS). Приказан је такође и традиционални поступак решавања овог проблема применом итеративног алгоритма условног изравнања са параметрима, односно Gauss-Hemert-oвог модела. На примеру тестирања правости кранске шине, извршено је упоређивање ефикасности ова два алгоритма у погледу резултата оцењивања параметара изравнавајуће праве и брзине конвергенције ка финалном решењу. Кључне речи: Модели са грешкама променљивих, Потпуни метод најмањих квадрата, Gauss- Hemert-oв модел 1. УВОД Адаптирање (фитовање) модела линија и површи на скуп оцењених дводимензионалних или тродиманзионалних позиција тачака традиционално се врши применом условног изравнања са параметрима односно Gauss-Hemert-oвог модела (Hemert, 197). У новије време развијени су модели са неконстантном матрицом дизајна (Errors in Variabesmodes, EIV) чији се параметри оцењују применом потпуног метода најмањих квадрата (Goub и an Loan, 198). Године 198. Goub G. H. и Loan, C. F. за оцену параметара у EIV моделима увели су термин потпуни метод најмањих квадрата (ota Least Squares, LS), где се претпоставља да грешке резултата ме- Адреда аутора: Јован Поповић, Универзитет у Београду,, Булевар краља Александра 73, е-mai: popoic@grf.bg.ac.rs Рад примљен: 3.3.217. Рад прихваћен. 3.4.217. лтата мерења и чланова матрице модела имају независне и идентичне расподеле. Модели који уводе ову претпоставку називају се класични EIV модели, а поступак оцене параметара модела класични (нетежински) LS (Sno, 212). Насупрот њима, модели који претпостављају различите и евентуално корелисане расподеле грешака резултата мерења и чланова матрице модела, дефинишу се као тежински EIV модели односно поступак оцене параметара модела као тежински LS (Weigted ota Least Squares, WLS). Класични (нетежински) LS проблем, који подразумева једнаке тежине резултата мерења и чланова матрице модела, обично има јединствено решење које се може наћи декомпозицијом проширене матрице модела на сингуларне вредности (Singuar Vaue Decomposition, SVD) (н. пр. Goub и an Loan, 198, Van Huffe и Vandeae, 1991). Класични (нетежински) LS као и неке могућности примене у решавању геодетских задатака приказане су у (Kupferer, 25) где је решење дефинисано као апроксимација матрицом нижег ранга. EHNIK NŠE GRĐEVINRSVO 71 (217) 2 187
J. POPOVIĆ i dr. ESIRNJE PRVOSI LINIJSKIH OBJEK PRIMENOM... У последњих неколико година публикован је велики број истраживања у области LS оцена у циљу решавања геодетских задатака, при чему се могу разликовати два основна приступа у решавању LS проблема. Један приступ се заснива на декомпозицији проширене матрице модела на сигуларне вредности (Singuar Vaue Decomposition, SVD, eunissen, 1988, Feus, 24, Kupferer, 25, kimaz, 27, Schaffrin и Feus, 28, Lampe, 21). Други приступ подразумева третитање LS као условљеног оптимизационог проблема минимизације коришћењем Euer-Lagrange-ове фукције циља уз различите нивое ограничења општости коваријационе матрице елемената проширене матрице модела (Feus and Burtch, 29, Schaffrin и Feus, 28, Schaffin и Wieser, 28, miri-simkooei и Jazaeri, 212, Shen и др., 211). Најопштије решење које дозвољава корелацију између елемената матрице модела и вектора резултата мерења односно пуну симетричну позитивно дефинитну коваријациону матрицу проширене матрице модела приказао је у својој докторској дисертацији Fang, (211). По форми идентичан алгоритам предложио је, у независном истраживању, Mahboub, (212) са разликом што Mahboub-ов алгоритам не предвиђа корелацију између елемената матрице модела и вектора резултата мерења. 2. РЕШЕЊЕ ПРИМЕНОМ GUSS-HELMER- ОВОГ ИЕРАИВНОГ ПОСУПКА Gauss-Hemert-oв подразумева дефиницију везе између мерених величина и параметара модела у облику имплицитних функција везе (Hemert, 197) f f Е,,,, или (1) са стохастичким особинама вектора резултата мерења 2 D K. (2) Јакобијеве матрице (матрице модела) у односу на параметре модела и мерене величине могу се добити изразима где је f А f B, и,, (3) вектор иницијалних вредности мерених величина где представља случајни нула вектор (вектор псеудо-опажања) са одговарајућим бројем чланова, према нотацији у Harie, (1977), чиме се вектору привремених вредности мерених величина одузима особина случајности, тако да се може третирати као вектор константи.матрица ru има потпуни ранг колона (rank ()=u)), rn док матрица B има потпуни ранг врста (rank (B)=r), где је r број условних једначина. Модел се онда може написати као линеарни (линеаризовани) GHM B, E( ), 2 D K, (4) где је =f(, ) са кофакторком матрицом W =BB. Решење по методу најмањих квадрата произилази из минимизације Lagrange-ове функције циља (н. пр. Михаиловић и Алексић, 28) 1, (5) 2k B min где је k вектор Lagrange-ових мултипликатора. Из услова минимума функције Ω у односу на вектор поправака, Lagrange-ових мултипликатора k и прираштаја параметара модела Δ може се добити решење (Перовић, 25) 1 B B, 1 (6) и (7) B, (8) са кореспондентним кофакторским матрицама. 1, (9) и (1) B B. (11) Оцена референте стандардне девијације онда је 2 1 r u 1. (12) Оцене параметара модела и вектора мерених величина користе се као почетне вредности за налажење решења Gauss-Neton-овим итеративним поступком (Поповић, 216), следећи правила које је дефинисао Pope, (1972): 1 1,, (13) 188 EHNIK NŠE GRĐEVINRSVO 71 (217) 2
J. POPOVIĆ i dr. ESIRNJE PRVOSI LINIJSKIH OBJEK PRIMENOM... односно у i -тој итерацији, i i1 1 i i,, (14) А i f i i, i i i f, B i f i i B, i i, и (15). (16) Оцене параметара модела i и вредности мерених величина добијају се, у i -тој итерацији, i као (Koch, 214) i i1 i, (17) i i. (18) Критеријум за завршетак итеративног поступка може бити i i, (19) где је усвојена (довољно мала) вредност или ако су услови f i i,, (2) испуњени са довољном тачношћу. 3. РЕШЕЊЕ ПРИМЕНОМ ПОПУНОГ МЕОДА НАЈМАЊИИХ КВАДРАА Решење нелинеарног проблема (1) подразумева да се једначине везе између мерених величина и параметара модела изразе у експлицитној форми Е Е f ',, или (21) f ',. Јакобијева матрица модела (21) по параметрима модела сада има облик f А,, (22) nu где су чланови матрице модела А функције резултата мерења и према томе нису константе него случајне величине. Линеаризовани модел (21) сада се може написати у форми V, (23) са стохастичким особинама поправака (резидуала) ec V Е : D и 2 2, (24) где оператор ec трансформише матрицу у вектор тако што ређа колоне матрице једну испод друге померајући их са лева на десно. Решење потпуно тежинског LS (Weighted ota Least Squares, WLS), према традиционалном Euer-Lagrange-овом приступу произилази из минимизације функција циља, k, P 2k V где је где је, (25), па се могу добити решења B B 1 B, (26), (27) 1 1 1 B B I B B u B. (28) I n I n Решење се мора тражити кроз итеративни прцес (Fang, 211): 1) 1 1 1, i i 2) B 1 In In 1 i1 i1 i B B i1 k i 1 i1 i1 B k i1 1 i и i1 i1 B i1 1 i. i 1 1 i1 V ec nu 1 1 1 i1 i1 i1 i1 i1 B Iu k B B Процес се завршава ако је i1 i, 1 : i иначе понављање корака 2 EHNIK NŠE GRĐEVINRSVO 71 (217) 2 189
J. POPOVIĆ i dr. ESIRNJE PRVOSI LINIJSKIH OBJEK PRIMENOM... 4. ЕКСПЕРИМЕН И АНАЛИЗА Приказани модели примењени су на тестирање правости кранске стазе у ермоелектрани Никола есла А, где је кранска стаза дискретизована са 2 тачака (слика 1), чије су координате, (табела 1) оцењене на основу резултата геодетских терестричких мерења са пуном коваријационом матрицом (абела 2, 3 и 4). Слика 1 - Дискретизација кранске стазе коначним бројем тачака На основу оцена координата карактеристичних оцењен је коефицијент правца за праву линију тачака (табела 1), применом описаних поступака a. (29) абела 1. Координате карактеристичних тачака кранске стазе ŷ ŷ D1 46.3485.9638 D3 9.5364.7262 D3 31.246-9.8198 D33 24.4941 1.8377 D6 16.292-8.6959 D36 39.4476 2.9544 D9 1.3333-7.5713 D39 54.493 4.654 D12-86.3932-6.454 D42 69.3664 5.1799 D15-71.4231-5.3384 D45 84.324 6.2917 D18-51.4625-3.8443 D48 99.275 7.434 D21-36.578-2.7178 D51 114.2331 8.5165 D24-21.5165.59 D54 129.1896 9.6645 D27-5.457 -.399 D57 143.6563 1.7473 Резултати оцена изравнавајуће праве приказани су у табели 2, одакле се може видети да су оба примењена итеративна процеса конвергирала ка истом решењу, у истом броју итерација иако су се по појединим итерацијама решења разликовала. За критеријум престанка итеративног процеса усвојено је i 1 i 1 1 абела 2. Оцене коефицијента правца изравнавајуће праве по итерацијама Итерација Коефицијент правца a GHM. WLS 1 13.3688467737 13.3688467737 2 13.35918757 13.352787696 3 13.35255913 13.3525594 4 13.35255964 13.35255964 5 13.35255964 13.35255964.1537992.1537992 5. ЗАКЉУЧЦИ Потпуни метод најмањих квадрата (ota Least Squares) предмет је интензивних истраживања, на пољу математичког моделовања и оцене параметара математичких модела, у последњој деценији. Као резултат, произашао је велики број публикованих радова, како у виду чланака у престижним математичким и геодетским публикацијама, тако и у виду одбрањених докторских дисертација У раду је примењен најопштији облик тежинског потпуног метода најмањих квадрата (Weighted ota Least Squares, WLS), који подразумева не само пуне коваријационе матрице чланова матрице модела ( ) и вектора резултата мерења ( ), већ и њихову унакрсну коваријациону матрицу ( ). Истраживање је илустровано примером оцене коефицијента правца регресионе праве, где су резултати упоређени са решењем добијеним кроз итеративни Gauss-Hemert-ов поступак. Показано је да оба примењена поступка конвергирају ка истом решењу са сличним нумеричким перформансама при рачунању. 19 EHNIK NŠE GRĐEVINRSVO 71 (217) 2
J. POPOVIĆ i dr. ESIRNJE PRVOSI LINIJSKIH OBJEK PRIMENOM... ЛИЕРАУРА [1] Goub G. H., an Loan C. F. n anasis of the tota east squares probem. In: Journaon Numerica nasis 17 (198), S. 883 893, 198. [2] Sno K. opics in ota Least-Squares djustment ithin the Errors-In-Variabes Mode: Singuar Cofactor Matrices and Prior Information. PhD thesis, Report. No. 52, Di. of Geodetic Science, Schoo of Earth Sciences, he Ohio State Uniersit, Coumbus, Ohio, US, 212. [3] Van Huffe S, Vanderae J. he ota Least Squares Probem: Computationa spects and nasis. In: Frontiers in ppied Mathematics 9, 1991. [4] Kupferer S.: nendung der ota-least-squares- echnik bei geodätischen Probemsteungen. Dissertation, Schriftenreihe des Studiengangs Geodäsie und Geoinformatik, Uniersität Karsruhe (H). ISSN 1612-9733, ISBN 3-9373- 67-8, 25. [5] eunissen P. J. G. he non-inear 2D smmetric Hemert transformation: an eact non-inear eastsquares soution. Manuscripta Geodetica, 62 (1):1-16, 1988. [6] Feus F. ppication of ota Least Squares for Spatia Point Process nasis. Journa of Sureing Engineering, 13 (3):12633, 24. [7] kimaz O. ota east squares soution of coordinate transformation. Sure Reie, 39 (33): 68-8, 27. [8] Schaffrin B., Feus Y. On the mutiariate tota eastsquares approach to empirica coordinate transformations. hree agorithms. Journa of Geodes, 82: 373-383, 28. [9] Lampe J. Soing Reguarized ota Least Squares Probems Based on Eigenprobems. Dissertation, echnischen Uniersität Hamburg Harburg, 21. [1] Feus F., Burtch R. On smmetrica threedimensiona datum conersion. GPS Soutions, 13 (1):65-74, 29. [11] Schaffrin B., Wieser. On eighted tota eastsquares adjustment for inear regression. Journa of Geodes, 82: 415-421.transformations. hree agorithms. Journa of Geodes, 82: 373-383, 28. [12] miri-simkooei, Jazaeri S. Weighted tota east squares formuated b standard east squares theor, Journa of Geodetic Science, 2 (2): 11324, 212. [13] Shen Y. Li B. Chen Y. n iteratie soution of eighted tota east-squares adjustment, Journa of Geodes, 85, 229-238, 211. [14] Fang X. Weighted ota Least Squares Soutions for ppications in Geodes. PhD dissertation, Pub. No. 294, Dept. of Geodes and Geoinformatics, Leibniz Uniersit Hannoer, German, 211. [15] Mahboub V.: On eighted tota east-squares for geodetic transformations. Journa of Geodes, 86(5):359 367, 212. [16] Hemert F. R. djustment Computations ith the Least-Squares Method, second ed., eubner, Leipzig/Berin, 197. [17] Harie D.: Maimum Likeihood approaches to ariance component estimation and to reated probems. Journa of merican Statistic ssociation, 358, S. 32-338, 1977. [18] Михаиловић К, Алексић И. Концепти мрежа у геодетском премеру. Универзитет у Београду,, 28. [19] Peroić G. Least Squares (Monograph). Facut of Cii Engineering, Uniersitof Begrade, ISBN 86-9749--2, 25. [2] Поповић, Ј. Потпунои метод најмањих квадрата у функцији решавања геодетских проблема. Докторска дисертација, Универзитет у Београду, Грађевински факултет, 216. [21] Pope. o approaches to noninear east squares adjustments. Canadien Sureer 28(5): 663-669, 1972. [22] Koch K. (214): Robust estimations for the noninear Gauss Hemert mode b the epectation maimization agorithm, Journa of Geodes 88:263 271, DOI 1.17/s193-681-9, 214. SUMMRY ESING SRIGHNESS OF LINE OBJECS USING OL LES SURES he paper presents the adaptation (fitting) of a set of points, ith an estimated to-dimensiona positions, to the straight ine mode of the b the appication of the Weighted ota Least Squares, WLS. he traditiona method to soe this probem b using an iteratie agorithm of the conditiona adjustment ith the parameters (Gauss-Hemert's mode) is aso shon. In the eampe of testing the straightness of the rai of the crane, a comparison of the efficienc of the to agorithms is performed b means of resut of parameter estimation and to the the number of required iterations to fina soution. Ke ords: Errors in Variabes modes, Weighted ota Least Squares, Gauss-Hemert s mode EHNIK NŠE GRĐEVINRSVO 71 (217) 2 191