Μέθοδος των κόμβων (ΜΚ)

Μέθοδος των κόμβων (ΜΚ) Η ανάλυση κυκλωμάτων με τη μέθοδο των κόμβων είναι μια συστηματική εφαρμογή του ΝΡΚ σε κάθε κόμβο του κυκλώματος. Με τη μέθοδο αυτή προσδιορίζουμε τα δυναμικά των κόμβων ως προς κάποιον κόμβο, τον οποίον τον ορίζουμε αυθαίρετα ως κόμβο αναφοράς. Ο κόμβος αναφοράς δεν έχει κατ ανάγκη δυναμικό μηδέν αλλά θεωρείται V=0. Σκόπιμο είναι να επιλέξουμε τον κόμβο που συνδέεται με του περισσότερους κλάδους, διότι έτσι θα προκύψουν λιγότερες εξισώσεις

Αναλυτική περιγραφή της μεθόδου των κόμβων Με την έναρξη της ανάλυσης σημειώνουμε 1. Τον κόμβο αναφοράς 2. Τους h=n-1 κόμβους του κυκλώματος 3. Τις τάσεις σε κάθε κόμβο 4. Τα ρεύματα σε κάθε κλάδο 5. Τις αγωγιμότητες σε κάθε κλάδο (G=1/R)

Εφαρμόζουμε τον ΝΡΚ στους h=3 κόμβους του κυκλώματος: κόμβος 1: I I I 0 1 3 5 κόμβος 2: I I I 0 3 2 4 κόμβος 3: I I I 0 2 5 6 Αντικαθιστώντας τα ρεύματα από το νόμο του Ohm (I=GV) έχουμε : V=0 I G( V V ) G ( V V ) 0 ( G G) V GV GV I G( V V ) I GV 0 GV ( G G ) V 0V I I G ( V V ) GV 0 GV 0 V ( G G) V I 1 3 1 2 2 1 3 2 3 1 3 2 2 3 1 3 1 2 2 4 2 3 1 3 4 2 3 2 2 2 1 3 1 3 2 1 2 1 2 3 2

Γράφουμε τις εξισώσεις υπό μορφή πινάκων: ( G2 G3 ) G 3 G 2 V 1 I1 G ( G G ) 0 V I G V I 3 3 4 2 2 G 2 0 ( G1 G2 ) V 3 I 2 Το σύστημα αυτό λύνεται με τη Cramer. Η λύση στο MATLAB είναι:v=g\i D27, D 88.2, D 57, D 15.2 2 V 1 V V 2 3 V V V D V1 3.2667 V D V D D D V3 D 1 2 3 2.111 V 0.5778 V Γιατί οι τάσεις έχουν μονάδα μέτρησης το volt;

Γενίκευση των εξισώσεων των κόμβων σε μητρική μορφή Υπόλoιποι κόμβοι: h=n-1 Αλγεβρικό i j άθροισμα των πηγών ρεύματος στον κόμβο j j=1,2,,h G G G... G v i G G G... G v i 11 12 13 1h 1 1 21 22 23 2h 2 2 G G G... G v i......... G G G... G v i 31 32 33 3h 3 3 h1 h2 h3 hh h h

Επισυμάνσεις Στον πίνακα των αγωγιμοτήτων τα διαγώνια στοιχεία Gii (i=1,2,..,h) ονομάζονται αυτοαγωγιμότητες και σχηματίζονται από το άθροισμα των αγωγιμοτήτων που καταλήγουν απευθείας σε κάθε κόμβο. Τα μη διαγώνια στοιχεία Gii =Gij i j είναι οι αγωγιμότητες που συνδέουν τους αντίστοιχους κόμβους. Εχουν αρνητικά πρόσημα και είναι συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο. Οι πηγές ρεύματος λαμβάνονται θετικές όταν κατευθύνονται προς τον κόμβο j και αρνητικές εκείνες που απομακρύνονται από αυτόν.

Α. Κύκλωμα με ανεξάρτητες πηγές ρεύματος Στο κύκλωμα χρησιμοποιήστε τη ΜΚ και υπολογίστε τις τάσεις και τα ρεύματα όλων των κλάδων και να κάνετε ισολογισμό ισχύος. Vκλάδου = ΔV = (υψηλό δυναμικό χαμηλό δυναμικό) Ικλάδου = Vκλάδου / Rκλάδου e V 3 3 d 2 V2 f g a c h 1 v=0 b V1

1 1 1 0 40 40 40 v1 7.5 v 1 84 V 1 1 1 1 v 2 5 7.5 v2 132 V 40 40 20 20 v 3 10 v 3 10 V 1 1 1 1 5 0 3 20 12 25 20

v 1 84 V v 2 132 V v 3 10V κλάδος a: v 010 10 V a κλάδος b: v 0v 84V b κλάδος c: v v v 216 V c 1 2 1 κλάδος d: v v v 142 V d 2 3 κλάδος e: v v v 142 V e 2 3 κλάδος f: v v 10 V f κλάδος g: v v 10 V g κλάδος h: v v 216 V h a a c Υπολογισμοί va κλάδος a: ia 0,4 A φορά από τον κόμβο αναφοράς στον κόμβο 3 25 vb κλάδος b: ib 2,1 A φορά από τον κόμβο αναφοράς στον κόμβο 1 40 vc κλάδος c: ic 5,4 A φορά από τον κόμβο 2 στον κόμβο 1 40 vd κλάδος d: id 7,1 A φορά από τον κόμβο 2 στον κόμβο 3 20 vg κλάδος g: ig 0,833 A φορά από τον κόμβο αναφοράς στον κόμβο 3 12 P P 2363,33 W.. P P 2363,33W..

Β. Κύκλωμα με ανεξάρτητες πηγές ρεύματος και τάσης Στο κύκλωμα χρησιμοποιήστε τη ΜΚ και υπολογίστε τις τάσεις και τα ρεύματα όλων των κλάδων και να κάνετε ισολογισμό ισχύος. 1 ος τρόπος λύσης Εικονική πηγή ρεύματος e g f c d b a V=0

Επισύμανση Για κάθε εικονική πηγή ρεύματος εισάγουμε στη μητρική μορφή μια εξίσωση που περιγράφει την αντίστοιχη πηγή τάσης με ένα γραμμικό συνδυασμό των αγνώστων του προβλήματος, δηλαδή με κομβικές τάσεις, αφαιρώντας κάθε φορά μια εξίσωση που περιέχει εικονικό ρεύμα. Οι υπόλοιπες εξισώσεις που απαιτούνται για την επίλυση παίρνονται αυτούσιες ή με προσθαφαιρέσεις κάποιων από αυτές για να απαλειφούν εικονικά ρεύματα. 1 1 1 1 20 198 20 198 v1 i x 1 1 1 1 1 v 0 20 20 8 10 8 1 1 1 1 1 198 8 8 198 26.4 2 v3 4.95 Αντικαθιστούμε την 1 η γραμμή της μητρικής εξίσωσης με την εξίσωση v1=33v

1 0 0 v1 33 1 1 1 1 1 v 0 20 20 8 10 8 1 1 1 1 1 198 8 8 198 26.4 2 v3 4.95 Cramer v 33 V, v 30 V, v 52,8V 1 2 3

v 33 V, v 30 V, v 52,8 V 1 2 3 κλάδος a: v 33 V a κλάδος b: v v 30 V b κλάδος c: v v 52,8 V c κλάδος d: v v 52,8 V d κλάδος e: v v v 3V e 2 3 3 1 2 κλάδος f: v v v 22,8V f 3 2 κλάδος g: v v v 19,8V g.... 3 1 P P 263,01 W P P 263,01 W Υπολογισμοί vb κλάδος b: ib 3 A φορά από τον κόμβο 2 στον κόμβο αναφοράς 10 κλάδος c: i 4,95 A c κλάδος d: i d vd 2 A φορά από τον κόμβο 3 στον κόμβο αναφοράς 26,4 ve κλάδος e: ie 0,15 A φορά από τον κόμβο 1 στον κόμβο 2 20 vf κλάδος f: if 2,85 A φορά από τον κόμβο 3 στον κόμβο 2 8 vg κλάδος g: ig 0,1 A φορά από τον κόμβο 3 στον κόμβο 1 198 Το ρεύμα ix προκύπτει από την 1 η γραμμή της μητρικής εξίσωσης: 1 1 1 1 v1 v2 v3 ix i x 0.05 Aμε φορά από τον κόμβο αναφοράς στον κόμβο 1 20 198 20 198

2 ος τρόποςλύσης V=0 Μετά τον καθορισμό του κόμβου αναφοράς προσδιορίζεται η τάση του κόμβου 1, v1=33v. Απομένουν να υπολογίσουμε τις τάσεις v2 και v3 των δύο κόμβων. Επομένως χρειαζόμαστε δύο ανεξάρτητες εξισώσεις. Εφαρμόζουμε το ΝΡΚ στους κόμβους 2 και 3.

I1 I3 I2 I 5 b I 4 V=0 1 1 1 v v v v v 0 κόμβος 2: I I I 0 v 30 V κόμβος 3: I 4.95 I I 0 1 1 1 198 8 26.4 1 2 3 2 2 1 2 5 20 8 10 2 3 2 4 v3 52.8 V v1 v3 v3 v2 v3 4.95

Ασκήσεις 1. Να προσδιοριστεί το ρεύμα στον αντιστάτη R5 με τη ΜΚ. Ποιό κύκλωμα σας θυμίζει: V1 V2 V3 V=0

( G1 G2 ) G 1 G 2 V 1 I s V 1 G 1 ( G1 G3 G5 ) G 5 V 2 0 2 3 G 2 G 5 ( G2 G4 G5 ) V 3 0 2.4 V V V 1.6 V Απάντηση: V2=V3=1.6V, άρα i=0, δηλαδή η γέφυρα Winston είναι σε ισορροπία.

2. Να προσδιοριστεί η συνολική αντίσταση R με τη ΜΚ. Τοποθετούμε στην είσοδο του κυκλώματος μια πηγή ρεύματος 1A και προσδιορίζουμε την τάση V1. V=0

( G1 G4 ) G 1 G 4 V 1 I1 G1 ( G1 G3 G5 ) G 3 V 2 0 G 4 G 3 ( G2 G3 G4 ) V 3 0 Επομένως R=V1/I1=0.7143Ω

3. Να προσδιοριστούν οι τάσεις σε κάθε κόμβο του κυκλώματος με τη ΜΚ. V1 V2 V3 V=0

(G 1G 2)V1 GV 1 2 G2V 3 I1 G 2V1 (G1 G 3)V2 0V 3 I G 2V1 0V 2 (G2 G 4)V3 I2 2 1.25 1 0.25 V 1 1 V 1 2.4 V 1 1.5 0 V 2 2 V 2 0.2667 V 0.25 0 0.375 V3 2 V 3 0.9333 V

4. Να προσδιοριστούν οι τάσεις σε κάθε κόμβο του κυκλώματος με τη ΜΚ. V=0

(G 1G 5)V1 G5V 1 GV 1 1 0V 1 0V 1 (G 2 G V 5 G )V 5 0V G V 2 2 2 2 2 0V 2 (G 1 GV 0V G )V 3 1 3 3 0V 3 3 V 3 (G 2 0V 4 I1 G 2V4 0 0V 4 Ia G )V I 4 4 a V4 1 Αντικαθιστούμε την 3 η και 4 η εξίσωση με το άθροισμά τους και έχουμε: ( G1 G5 ) V1 GV 5 2 GV 1 3 0V 4 I1 V 1 2.4667 GV 5 1 ( G2 G5 ) V2 0V 3 GV 2 4 0 V 2 2.1333 GV 1 1 GV 2 2 ( G1 G3 ) V3 ( G2 G4 ) V4 0 V 3 1.8 0 V1 0 V2 V3 V 4 1 V 4 0.8

Μέθοδος των απλών βρόχων (Μ.Α.Β.) Η ανάλυση κυκλωμάτων με τη μέθοδο των βρόχων είναι μια συστηματική εφαρμογή του ΝΤΚ σε κάθε απλό βρόχο του κυκλώματος. Με τη μέθοδο αυτή προσδιορίζουμε τα ρεύματα σε κάθε βρόχο του κυκλώματος.

Στο παρακάτω κύκλωμα να βρείτε τη τάση V0 εφαρμόζοντας την αρχή της επαλληλίας (Διπλός Διαιρέτης Τάσης). k R R V V V 6V 2 1 0 1 2 R1 R2 R1 R2

Να υπολογιστεί το ρεύμα Ιx με το θεώρημα της επαλληλίας.

Διακόπτουμε τη λειτουργία της πηγής ρεύματος. Διακόπτουμε τη λειτουργία της πηγής τάσης. I x1 6 0.4 A 69 I x2 46 1.6 A 69 Συνολικό ρεύμα: I I I 0.4 1.6 1.2 A x x1 x2

Να προσδιοριστούν τα ρεύματα των κλάδων και οι τάσεις των κόμβων χρησιμοποιώντας την αρχή της επαλληλίας.

Στο παρακάτω κύκλωμα να βρείτε το ρεύμα που διέρχεται από την αντίσταση των 10Ω εφαρμόζοντας την αρχή της επαλληλίας.

Στο παρακάτω κύκλωμα να υπολογίσετε την τάση v0 εφαρμόζοντας την αρχή της επαλληλίας.

Να υπολογιστεί το ρεύμα Ιx με το θεώρημα της επαλληλίας.

Διακόπτουμε τις πηγές 40V και 2Α. I x1 5A 0.1 S 10 A (0.05 0.1 0.1 0.1) S 7

Εξετάζουμε τώρα το κύκλωμα με την πηγή των 40V. I x2 4 A0.1 S 8 A (0.05 0.1 0.1 0.1) S 7

Εξετάζουμε τώρα το κύκλωμα με την πηγή ρεύματος των 2Α. I x3 2A 0.1 S 4 A (0.5 0.1 0.1 0.1) S 7 10 8 4 6 Συνολικό ρεύμα: Ix Ix 1Ix2 Ix 3 A A A A 7 7 7 7

Να υπολογιστεί το ρεύμα Ιx με το θεώρημα της επαλληλίας. Ix1 = 30/56A, Ix2 = 10/56A, Ix = 40/56A

Να υπολογιστεί το ρεύμα Ιx με το θεώρημα της επαλληλίας. Ι x

V0 = -32,5V, i0 = 0,3A

α) V0 = 87,5V, i0 = 2A, β) V0 = 288V, i0 = -20A

Αναλυτική περιγραφή της μεθόδου των απλών βρόχων Με την έναρξη της ανάλυσης παρατηρούμε και συμβολίζουμε 1. Τους απλούς βρόχους του κυκλώματος. Οι απλοί βρόχοι ενός κυκλώματος είναι m=b-n+1, όπου b ο αιθμός των κλάδων και n ο αριθμός των κόμβων. Οι εξισώσεις που προκύπτουν για την επίλυση του κυκλώματος είναι m. 2. Τα ρεύματα σε κάθε βρόχο με δεξιόστροφη φορά.

Εφαρμόζουμε τον ΝΤΚ στους m=3 κόμβους του κυκλώματος: βρόχος 1: -V I I R I I R 0 1 1 3 1 1 2 2 βρόχος 2: V I I R I I R I R 0 2 2 1 2 2 3 3 2 5 βρόχος 3: I I R I R V I I R 0 3 1 1 3 4 2 3 2 3

( R R ) I RI RI V 1 2 1 2 2 1 3 1 RI 2 1 ( R2 R3 R5 ) I2 - RI 3 3 V 2 RI 1 1 - RI 3 2 +( R1 R3 R4 ) I3 V 2 Γράφουμε τις εξισώσεις υπό μορφή πινάκων: ( R1 R2 ) R 2 R 1 I1 V1 R ( R R R) R I V R I V 2 2 3 5 3 2 2 R 1 R 3 ( R1 R3 R4 ) I 3 V 2

Γενίκευση των εξισώσεων των βρόχων σε μητρική μορφή v j Αλγεβρικό άθροισμα των ανεξάρτητων πηγών τάσης j j=1,2,,m R R R... R i v R R R... R i v 1 1 1 2 1 3 1 m 1 1 2 1 2 2 2 3 2 m 2 2 R R R... R i v......... R R R... R i v 3 1 3 2 3 3 3 m 3 3 m 1 m 2 m 3 m m m m

Επισυμάνσεις Στον πίνακα των αντιστάσεων τα διαγώνια στοιχεία Rii (i=1,2,..,m) σχηματίζονται από το άθροισμα των αντιστάσεων που υπάρχουν σε κάθε βρόχο. Τα διαγώνια στοιχεία είναι πάντα θετικά. Τα μη διαγώνια στοιχεία Rii = Rij i j είναι οι κοινές αντιστάσεις των βρόχων. Εχουν αρνητικά πρόσημα και είναι συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο. Οι πηγές τάσης είναι ανεξάρτητες και αποτελούν τις διεγέρσεις του κυκλώματος.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1α. Να υπολογιστούν τα ρεύματα των βρόχων με τη ΜΑΒ 1β. Να υπολογιστούν τα ρεύματα των κλάδων με τους ΝΡΚ, ΝΤΚ 1γ. Να υπολογιστεί η τάση του πάνω κόμβου 1δ. Να γίνει ισολογισμός ισχύος

1α. Απάντηση: I1=3.5A, I2=1A 1β. Συμφωνούν τα αποτελέσματα με αυτά του 1α. 1γ. Vκόμβου = 5V 1δ. P(R1) = +24.5W, P(R2) = +12.5W, P(R3) = +1W P(V1) = -42W, P(V2) = +4W, Pκαταν. = Pπαραγ. = 42W

2α. Να υπολογιστούν τα ρεύματα των βρόχων με τη ΜΑΒ 2β. Να υπολογιστούν τα ρεύματα των κλάδων με τους ΝΡΚ, ΝΤΚ 2γ. Να υπολογιστεί η τάση του πάνω κόμβου 2δ. Να γίνει ισολογισμός ισχύος Απάντηση: I1 = 0.2mA, I2 = -1.6mA

3α. Να υπολογιστούν τα ρεύματα των βρόχων με τη ΜΑΒ 3β. Να υπολογιστούν τα ρεύματα των κλάδων (μέτρο και φορά) 3γ. Να δείξετε ότι η ισχύς που παρέχεται στο κύκλωμα είναι ίση με την ισχύ που καταναλώνεται

Pπαρεχ. = Pκαταν. = 17.94 (KW)

4α. Να υπολογιστούν τα ρεύματα των βρόχων με τη ΜΑΒ 4β. Να υπολογιστούν τα ρεύματα των κλάδων (μέτρο και φορά) 4γ. Να δείξετε ότι η ισχύς που παρέχεται στο κύκλωμα είναι ίση με την ισχύ που καταναλώνεται

Αντικαθιστώντας την 1 η γραμμή με υην εξίσωση i2 i1 = 5 που διέπει την πηγή ρεύματος, τη 2 η γραμμή με το άθροισμα της 1 ης και της 2 ης. Pπαρεχ. = Pκαταν. = 615 (W)

5α. Να υπολογιστούν τα ρεύματα των βρόχων με τη ΜΑΒ 5β. Να υπολογιστετε την ισχύ που παρέχει στο κύκλωμα η πηγή των 100V 5γ. Να υπολογιστετε την ισχύ που καταναλίσκεται στην αντίσταση των 15Ω. Απάντηση: I1 = 6A, I2 = 2A, I3 = 4A, P(100V) = 600W, P(15Ω) = 240W

6. Να υπολογιστούν τα ρεύματα των βρόχων με τη ΜΑΒ Απάντηση: I1 = -2.5mA, I2 = 0.37mA, I3 = -0.97mA

7. Να υπολογιστούν τα ρεύματα των βρόχων με τη ΜΑΒ Απάντηση: I1 = -0.2mA, I2 = -1.6mA, I3 = -1mA

8. Να υπολογιστούν τα ρεύματα των βρόχων με τη ΜΑΒ Απάντηση: I1 = -2mA, I2 = 1.143mA, I3 = -0.857mA

9. Να υπολογιστούν τα ρεύματα των βρόχων με τη ΜΑΒ Απάντηση: I1 = -0.2mA, I2 = -1.6mA, I3 = 1mA

10. Να υπολογιστούν τα ρεύματα των βρόχων με τη ΜΑΒ Απάντηση: I1 = 3.1136mA, I2 = -0.25mA, I3 = 2.5682mA

11. Να υπολογιστούν τα ρεύματα των βρόχων με τη ΜΑΒ Απάντηση: I1 = 2.083mA, I2 = -0.25mA, I3 = 3.083mA

1. Στο παρακάτω κύκλωμα να βρείτε το ισοδύναμο κατά Norton και κατά Thevenin. Προσδιορισμός του ισοδύναμου κατά Norton RN = 3//6 = 2Ω

ΙN = Ι1+Ι2 = V1/R1 + V2/R2 = 3.5A

Προσδιορισμός του ισοδύναμου κατά Thevenin VΑΒ = R2 V1/(R1 +R2) + R1 V2/(R1 +R2) /R2 = 7V

2. Στο παρακάτω κύκλωμα να βρείτε το ισοδύναμο κατά Thevenin από τους ακροδέκτες α και β και στη συνέχεια να υπολογίσετε την ισχύ στην αντίσταση RL. Απάντηση: RTH = 27.5Ω, VTH = 2V (Μ/Τ πηγών), IL = 0.05A, VL = 0.625V, PL = 31.25mW

3. Στο παρακάτω κύκλωμα να βρείτε το ισοδύναμο κατά Thevenin από τους ακροδέκτες α και β και στη συνέχεια να υπολογίσετε την ισχύ στην αντίσταση RL. Απάντηση: RTH = 12Ω, I = 1/3A, VTH = Uαβ= 10-(3x1/3)=9V, IL = 0.45A, VL = 3.6V, PL = 1.62W

4. Στο παρακάτω κύκλωμα να βρείτε το ισοδύναμο κατά Norton από τους ακροδέκτες α και β και στη συνέχεια να υπολογίσετε το ρεύμα στην αντίσταση RL. Απάντηση: RΝ = 1.5Ω, IΝ = 1A, IL = 1/3A

5. Στο παρακάτω κύκλωμα να βρείτε το ισοδύναμο κατά Norton και στη συνέχεια να υπολογίσετε την ισχύ στην αντίσταση RL. Απάντηση: RΝ = 4Ω, IΝ = 6.5A

Απάντηση: IL = 1.625A, PL = 31.6875W

6. Στο παρακάτω κύκλωμα να βρείτε το ισοδύναμο κατά Thevenin από τους ακροδέκτες Α και Β και στη συνέχεια το ισοδύναμο κατά Norton.

Επομένως VTH = VAB = V10Ω = i2 10 = 5V

Για την εύρεση του ισοδυνάμου κατά Norton έχουμε

7.

8. Στο παρακάτω κύκλωμα να βρείτε το ισοδύναμο κατά Norton από τους ακροδέκτες Α και Β.

9. Να προσδιοριστεί το κατά Thevenin ισοδύναμο του κυκλώματος

α) Προσδιορισμός της V TH V TH VTH V a ( G1 G 3)VTH GV 1 1 I 1 V TH GV 1 1I G G 1 3 1 8 V

β) Προσδιορισμός της R TH. Απενεργοποιούμε τις ανεξάρτητες πηγές. R ( R // R) R 8k R TH TH 1 3 2 Το κατά Thevenin ισοδύναμο κύκλωμα

10. Να προσδιοριστεί το κατά Norton ισοδύναμο του κυκλώματος α) Βραχυκυκλώνουμε την έξοδο και προσδιορίζουμε το ρεύμα Norton I N V1 V R 1 2 3mA

β) Απενεργοποιούμε τις πηγές και προσδιορίζουμε την αντίσταση Norton RN 1 3 (R //R ) 1k Το κατά Norton ισοδύναμο κύκλωμα

11.