ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΔΙΕΓΕΡΣΕΙΣ

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΔΙΕΓΕΡΣΕΙΣ"

Λάζαρος Λαμπρόπουλος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΔΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

2 Τι περιλαμβάνει Απόκριση κυκλώματος Φυσική απόκριση κυκλώματος ης τάξεως C, Φυσική απόκριση κυκλωμάτων ας τάξεως Εξηναγκασμένη απόκριση Κύκλωμα C με διέγερση u(t), δ(t) Κύκλωμα C με διέγερση Vu(t) Απόκριση ενός γενικού C κυκλώματος /5

3 Φυσική απόκριση μεταβατική κατάσταση Εξηναγκασμένη απόκριση μόνιμη κατάσταση Σε κάθε περίπτωση Η απόκριση του κυκλώματος αποτελείται από το άθροισμα των δύο αποκρίσεων: φυσικής και εξηναγκασμένης 3/5

4 φυσική απόκριση 4/5

5 παρένθεση: λύση μίας γραμμικής ΔΕ Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξεως με σταθερούς συντελεστές Χ n είναι η φυσική και X f η εξηναγκασμένη απόκριση φυσική απόκριση Χ n Ο συντελεστής Κ βρίσκεται από τις αρχικές συνθήκες 5/5

6 συνέχεια... εξηναγκασμένη απόκριση Χ f 6/5

7 παράδειγμα υ n υ f εάν 7/5

8 Φυσική απόκριση κυκλώματος C S υ και dυ -C V C υ Η Δ.Ε : dυ + υ C = V Η λύση : υ Αe t C αρχική συνθήκη υ(+)=υ(-)=v V/e τ t Τελικά: (t)=ve - t C 8/5

9 Φυσική απόκριση κυκλώματος C -συνέχεια σταθερά χρόνου τ=c Σταθερά χρόνου και παράγωγος dυ υ V + t= y ax b υ V C = - t V t C V C = V V/e τ t 9/5

10 Φυσική απόκριση κυκλώματος C -συνέχεια Ποία είναι η συνολικά καταναλισκομένη ενέργεια στην αντίσταση? V C S υ W = p = t - V e C = CV!! Δηλαδή: όση είναι η ενέργεια του πυκνωτή για χρόνο t= /5

11 Μία παρένθεση εύρεση αρχικών συνθηκών Ο διακόπτης ανοίγει την χρονική στιγμή t=. Ποία είναι η τιμή dυc υ() και () k 3V + υ c - 5mF t= k Από το κύκλωμα έχουμε υ c ( - ) = V άρα και υ c ( + )=V Για dυ c / βρίσκουμε το ρεύμα c (+) 3 υc( ) 3 C ma K K 3 dυc C V / s 6 C 5 /5

12 Φυσική απόκριση C- παράδειγμα Για t= ανοίγει ο διακόπτης. Να βρεθεί η τάση υ(t) και το ρεύμα (t) 3 ΚΩ 4 ΚΩ 6K Ω 9 V μ F υ υ(t) - τ t Ae. υ(-)=υ(+)=9x6/9=6v. τ=c=x 3 x -6 =.sec και (t) C d 3. Αρα: - t - t τ. -t υ(t) 6e 6e 6e -t 5 t t 6e 6( )e 6e ma /5

13 Φυσική απόκριση C- παράδειγμα Ο διακόπτης μετατοπίζεται την χρονική στιγμή t= Βρίσκουμε το ισοδύναμο κατά Thevenn στα άκρα α,β του πυκνωτή =4kΩ α Th =4/5=.8KΩ τ= Th C= =.8-3 sec V=V Και υ C (-)=V =KΩ C=μF β C(t) = Ve t e t.8 3 3/5

14 Φυσική απόκριση κυκλώματος V S + υ - υ d και υ Η Δ.Ε: d + = Η λύση: Ie t H σταθερά χρόνου του κυκλώματος είναι τ =/. Πώς βρίσκουμε το Ι? Από τις αρχικές συνθήκες: Ι + - ) ) ( ( V 4/5

15 Φυσική απόκριση - παράδειγμα t= = = Γνωρίζουμε ότι: Ie t τ =/=/=.sec.5e t ( ) ( ) / V 5/5

16 Φυσική απόκριση σε κυκλώματα ης τάξεως Συνοπτικά βρίσκουμε την σταθερά χρόνου τ βρίσκουμε την μορφή της υ C (t) ή ι (t) Τι γίνεται αν υπάρχουν περισσότεροι αντιστάτες στο κύκλωμα?? χρησιμοποιούμε το θ.thevenn 6/5

17 Φυσική απόκριση κυκλωμάτων ας τάξεως Παράλληλη σύνδεση Σύνδεση σε σειρά Άλλες συνδέσεις I C I Ι C υ C 7/5

18 Φυσική απόκριση κυκλωμάτων ας τάξεως Παράλληλη C σύνδεση C + + = C C υ = d C = C = t t o + (t o ) C d + d + = p + C p+ C = p, = ( ) - = α α ωo A Β C C C C o C 8/5

19 Σύνδεση C σε σειρά υ +υ + υ C = C d + d d C + = C = o C p, = α α ωo A Β 9/5

20 Οι τρείς αποκρίσεις α > ω ο α = ω ο α < ω ο υ = K e -t(a-b) + K -At =(k + kt)e e -t(a +B) -At (t) = e (km t + k t) ω ω α d d d o υ υπερκρίσιμη υ κρίσιμη υ υποκρίσιμη t t t /5

21 παράδειγμα =5Ω, =.5H και C=/8 F Και ()=, υ C ()= υ +υ + υ C = d + d + 6 = p +p+6=p=-8, - (t)= Ae -8t +Be -t t> + υ C _ C Οι τιμές Α,Β βρίσκονται από τις αρχικές συνθήκες υ +υ + υ C = +υ += υ =-d/=- () d Α Β 8Α Β Α / 3 Β / 3 /5

22 παράδειγμα Ποίο είναι το είδος της φυσικής απόκρισης στο κύκλωμα?? C ρ ρ d. 5 d +. + = d d = + 4ρ + = 4 C d V + d + = j8 4j C=.5 t (t) e (k ημ4t k συν4t) Υποκρίσιμη =. = /5

23 παράδειγμα. Ο διακόπτης την χρονική στιγμή t= μετακινείται στη θέση. Να βρεθεί το ρεύμα (t) 5m υπολογίζουμε: α.5 ωo p, = α α ωo.5 j j t άρα: Ae cos(9.68t θ) αρχικές συνθήκες: ( + )= και υ C ( + )= πώς βγήκαν? ( + )=Acos(θ)= θ=9 ο επίσης: υ (+ )=-υ C (+ )=-.d/=-d/=-6..a= /5

24 Τι τάξεως είναι τα κυκλώματα? C C 3 Ω Η ι 3Η ι Ω Η τάξη του κυκλώματος ισούται με τον αριθμό των,cs που ΔΕΝ είναι δυνατόν να προστεθούν 4/5

25 Παράδειγμα ) ( d 3 ) ( d 3 d Δηλαδή έχουμε δύο σταθερές χρόνου d.5 d 3 d 5 d 3 d 3 d 3 d 5 t 6t / Be Ae p 6 / p 6.5p 3p d 6.5 d 3 Η Ω Ω 3Η ι ι 5/5

26 εξηναγκασμένη απόκριση «Βηματική» απόκριση 6/5

27 Η συνολική απόκριση είναι το άθροισμα των αποκρίσεων της φυσικής + εξηναγκασμένης ή μεταβατικής + σταθερής 7/5

28 Κύκλωμα C με διέγερση u(t) Vu(t) C υ Vu(t)=+υ και =Cdυ/ d. : C + = V d ή ό : C + = (t) mέ ό : V t V e t : (t) (t) (t) Ve + V t > Για τις αρχικές συνθήκες Eπειδή υ(-)=υ(+)= έχουμε ότι: =V +V άρα V =-V υ V τελικά : υ(t) V( e t τ )u(t) t 8/5

29 ( Συμπεριφορά για t= από το σχήμα ) Vu(t) C υ Ποία είναι η υ( )?? Από το σχήμα: υ( )=V Δηλαδή για διεγέρσεις u(t) (και όχι μονο) η συμπεριφορά στο t= εκφράζει την εξηναγκασμένη απόκριση 9/5

30 Παράδειγμα α C=μF β u(t) =KΩ =4kΩ θ. Thevenn.8 α μf.u(t) β + υ C _ υ C (t)=? τ=c=.8-3 Αρα : υ C (t).( e t.8 3 ) 3/5

31 Κύκλωμα με διέγερση u(t)- o παράδειγμα = οριακές τιμές (συνθήκες): (-)=(+)=5/=.5 υ(t)=5+5u(t) = ()=/=.5 Η απόκριση: (t)=a+be -t/τ τ=/=/=.s ()=A+B=.5 και Αρα Β=-.5 ( )=Α=.5 (t). 5. 5e t t 3/5

32 (ποία είναι η ΔΕ στο παράδειγμα??) = υ(t)=5+5u(t) = γι ά t d d 5 3/5

33 Κύκλωμα C 33/5

34 Κύκλωμα C (παράλληλη σύνδεση) + + C = s Σχηματίζουμε την Δ.Ε ως προς d C + + = (t) d s Τι γίνεται αν επιλέξουμε υ αντί?? 34/5

35 Διέγερση: s Iu(t) C αρχικές συνθήκες: s C - ( ) = d - ( ) = d - ( ) = ( - d ( ) = + ) = ( + ) =? d C d + + = I 35/5

36 Κύκλωμα C (σειράς) Η βασική σχέση: υ +υ + υ C =υ Για την Διαφ. εξίσωση έχουμε: υ d (t) C C + _ αν επιλεγεί το ρεύμα υ C = υ αν επιλεγεί η τάση υ C dυc d dυc C ( C ) υc d υc dυc C C υ υ C d υc dυc υc υ C υ d + d + C = 36/5

37 Διέγερση: παράδειγμα υ s Δ.Ε. d υ. Vu(t) dυ.4 υ : d υ. d υ p, dυ dυ.4 5υ υ 4 p j p 5 e -t cos(t ) συνέχεια 37/5

38 υ Αe -t cos(t θ) τα Α και θ από τις αρχικές συνθήκες: υ( + )= υ( - )= 8 C ( ) dυ ( ) ( ) Αρα +Αcos(θ)=8Αcos(θ)= -4 και Αcos(θ)-Αsn(θ)= tanθ=-/ θ=-6.56 ο και Α=-4.47 υ e -t cos(t 6.56) 38/5

39 υvolts υ e -t cos(t 6.56) tsec 39/5

40 παράδειγμα Αρχικές συνθήκες: υ C ()=, ι ()= Zητείται η απόκριση (t).5h Η Δ.Ε : d d + +6 = u(t) (t) 5Ω /8 F p +p+6=p, =-,-8 (t)= Ae -8t +Be -t t> Για τα Α,Β από τις αρχικές συνθήκες: ()=A+B= d/++= d/= -8A-B= Τελικά Α=/3 και Β=-/3 4/5

41 A t s 4/5

42 Τι γίνεται αν διέγερση είναι η δ(t)???? 4/5

43 διέγερση δ(t) κύκλωμα C C d + =I (t) S C υ γιά t dυ C + υ = λύση: υ = V o e - t C Τι πετύχαμε?? 43/5

44 διέγερση δ(t)-συνέχεια ισχύει η συνθήκη υ(-)=υ(+)?? Τι ισχύει??? C + - d = + - (t) Q C[ ( ) ( ) Q ( ) ( ) C (t)= ( ) C Q e C dυ t - + υ ( = Iδ(t) ολοκληρώνουμε... ) V e η συνάρτηση δ(t) έχει σαν μοναδικό αποτέλεσμα την δημιουργία αρχικών συνθηκών Η απόκριση αυτή λέγεται «κρουστική» απόκριση t - ΟΧΙ V t 44/5

45 κύκλωμα με διέγερση τετραγωνικό παλμό Το κύκλωμα Η διέγερση για t< υ(t) = V για t T για t>t υ Vu(t) Τ -Vu(t-T) υ(t) =Vu(t)-Vu(t-T) 45/5

46 Οι αποκρίσεις (t)= (t)+ (t) Vu(t) (t) = V ( e t τ ) u(t) παράδειγμα από το Matlab, V=,=,τ=, T= V.5 Τ t Vu(t-T) tt V (t) = (-e ) u(t T) Υπάρχει σχέση στην αποκριση αυτή και στην κρουστική απόκριση??? 46/5

47 +υ C - μ F 5u(t) Ένα C κύκλωμα με ΤΕ Να βρεθεί η τάση υ ο (t) (ασκηση 4.9). ι C M Ω μ F υ ο C 5 C υc 6 dυc 6 5 dυc C 5 C ά 6 C C d(υ - υ t e C 5 ο ) C 5 e () 6 e t C 6 t 5 5e dυ ο t Αριστερός βρόχος Στο πυκνωτή τα ρεύματα ταυτίζονται dυ ο 6 dυ ο 5e 5 t e υ (t) ο 6 t t 5e t 5e t t 5(e t ) 47/5

48 Ένα (ακόμη) παράδειγμα Η.333 F.333 F V 3V.5Ω Ω O διακόπτης τη χρονική στιγμή t= μετακινείται από τη θέση στη θέση. Να βρεθούν τα ρεύματα και d =3 (+.5) C( - ) t - = = d.5 d -.5d +3 = d d Μερική λύση: =6 Λύση της ομογενούς: 5p +8p+ 3 = =K e -.6t +K e -t Αρα: = + =6+K e +K e -.6t -t 48/5

49 Η /3F + υ C + συνεχίζουμε. V 3V.5Ω Ω Για τις αρχικές συνθήκες έχουμε: ( + )=4A και υ C ( + )=V Τι γίνεται για t=+ με το υ =d /?? Από τον βρόχο για t= + έχουμε: υ C (. 5) ( ) Από τον βρόχο για t= + έχουμε: d ( ) = Τελικά t.6t (.5e.5e 6)u(t) 49/5

Σχετικά έγγραφα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 8: Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: