Παράδειγµα Η πηγή X(t) είναι στατική Gussin µε µέση τιµή µηδέν και φασµατική πυκνότητα ισχύος S X ( f ) 70, f < 00Hz 0, αλλιώς S X ( f ) 00 00 f 50 Λύση: 60 40 0 30 0 0 30 0 40 60 Ο ρυθµός που απαιτείται είναι R k fs 3 bits 300Hz 600 bits sec 50 70 Ο παραµόρφωση που επιτυγχάνεται είναι 8 D ( Q( ) ) f X ( ) d i R i 33,38 Πηγές Πληροφορίας και Κωδικοποίηση Πηγής 6.5-
Αν χρησιµοποιήσουµε 0 bits/έξοδο πηγής, τότε η καλύτερη επιλογή είναι ορίσουµε το ανακατασκευασµένο σήµα ίσο µε 0. Στην περίπτωση έχουµε παραµόρφωση D E ( X 0) σ X Από τη συνάρτηση ρυθµού-παραµόρφωσης έχουµε R(D) log σ D σ 0 R 3 Οι πιθανότητα εµφάνισης των 8 εξόδων του κβαντιστή είναι i ( i ) i π 400 e 800 d για i ( ˆ ) ( ˆ ) 800 8 e d 7 π 400 7 0,004 400 D 6,5 4 ) ( ) 0,344 Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα κωδικοποίησης πηγής, βλέπουµε ότι η έξοδος του κβαντιστή µπορεί να συµπιεσθεί µέχρι H(X),05 bits/έξοδο πηγής ) ( ) 0,04 ) ( ) 0,359 ( 7 ( 3 6 ( 5 Είναι πιο λογικό να συγκρίνουµε το 33,38 µε την τιµή που λαµβάνει η συνάρτηση ρυθµούπαραµόρφωσηςγια R,05 πουείναι D,6, αντίγια 6,5. Πηγές Πληροφορίας και Κωδικοποίηση Πηγής 6.5-
Στο παράδειγµα έχουµε επιλέξει ως µέτρο επίδοσης την E τετραγωνικήπαραµόρφωση, ήθόρυβοςκβάντισης. ( X Q(X )) Σεραφείµ Καραµπογιάς που καλείται µέση Ένα πιο σηµαντικό µέτρο της επίδοσης είναι µια κανονικοποιηµένη έκδοση του θορύβου κβάντισης, κανονικοποιηµένησεσχέσηµετηνισχύτουαρχικούσήµατος. Αν η τυχαία µεταβλητή X κβαντισθεί σε Q(X ), ο λόγος σήµατος προς θόρυβο κβάντισης, SQNR, ορίζεται ως E X SQNR E ( X Q(X )) Όταν εξετάζουµε χρονικά σήµατα, η ισχύς του θορύβου κβάντισης είναι καιηισχύςτουσήµατοςείναι Εποµένως, το SQNR είναι T ~ )) X E lim T T X E T T lim T ( X ( t) Q( X ( t ) d T T ( X ( t) ) d SQNR X ~ X Πηγές Πληροφορίας και Κωδικοποίηση Πηγής 6.5-3
Οµοιόµορφη Κβάντιση Οι οµοιόµορφοι κβαντιστές είναι τα πιο απλά παραδείγµατα βαθµωτών κβαντιστών. Σ' έναν οµοιόµορφο κβαντιστή ολόκληρος ο πραγµατικός άξονας διαµερίζεται σε N περιοχές. Όλες οι περιοχέςεκτόςαπότις R και R N έχουντοίδιοεύρος, πουσυµβολίζεταιµε. Αυτόσηµαίνει ότιγιαόλατα i N, έχουµεα i+ i. f X () ( 5 ) 0,344 ( 6 ) 0,359 ( 7 ) 0,04 ˆ 3 4 5 6 7 ˆ ˆ 3 ˆ 4 ˆ 5 ˆ 6 ˆ 7 ˆ 8 Παράδειγµα οµοιόµορφης κβάντισης, εύρος βαθµίδας, Ν 8. Πηγές Πληροφορίας και Κωδικοποίηση Πηγής 6.5-4
Μη Οµοιόµορφη Κβάντιση Σεραφείµ Καραµπογιάς Αν χαλαρώσουµε τη συνθήκη ότι οι περιοχές κβάντισης (εκτός της πρώτης και της τελευταίας) έχουν ίσα εύρη, τότε η ελαχιστοποίηση της παραµόρφωσης µπορεί να γίνει µε λιγότερους περιορισµούς. Ο κβαντιστής που προκύπτει θα λειτουργεί µε καλύτερες επιδόσεις σε σύγκριση µ' έναν µοιόµορφο κβαντιστήµετονίδιοαριθµόσταθµών. Ο µη οµοιόµορφος κβαντιστής χρησιµοποιεί µεταβαλλόµενο εύρος βαθµίδας. Έχει δύο σηµαντικά πλεονεκτήµατα ως προς τον οµοιόµορφο κβαντιστή: Οδηγεί σε µεγαλύτερο µέσο λόγο σήµατος προς θόρυβο κβάντισης από ότι ο οµοιόµορφος κβαντιστής όταν η συνάρτηση πυκνότητα πιθανότητας του σήµατος είναι ανοµοιόµορφη, πράγµα το οποίο συµβαίνει σε πολλές περιπτώσεις στη πράξη. Η rms τιµή του θορύβου κβάντισης ενός ανοµοιόµορφου κβαντιστή είναι ουσιαστικά ανάλογη προς τη στιγµιαία τιµή του δείγµατος X και έτσι σκεπάζεται η επίδραση του θορύβου κβάντισης. Πηγές Πληροφορίας και Κωδικοποίηση Πηγής 6.5-5
f X () 3 4 5 6 7 8 ˆ 3 4 5 6 7 ˆ ˆ 3 ˆ 4 ˆ 5 ˆ 6 ˆ 7 ˆ 8 Παράδειγµα µη οµοιόµορφης κβάντισης, Ν 8. Στη πράξη, µία ανοµοιόµορφη κβάντιση πραγµατοποιείται µε µία συµπίεση των δειγµάτων µετά την οποία µπαίνει ένας οµοιόµορφος κβαντιστής. Η συµπίεση µετατρέπει τη µεταβλητή εισόδου X σε µία άλλη µεταβλητή Y µε τη χρήση ενός µη γραµµικού µετασχηµατισµού Y g(x ) τέτοιου ώστε η τυχαία µεταβλητή Y να έχει οµοιόµορφη συνάρτηση πυκνότητα πιθανότητας. Στο δέκτη ένας συµπληρωµατικός αποσυµπιεστής µε χαρακτηριστική µεταφοράς g - αποκαθιστά τις κβαντισµένες τιµές της µεταβλητής X. Ο συµπιεστής και ο αποσυµπιεστής παρµένοι µαζί αναφέρονται ως σύστηµα compnder (compressor-epnder). Πηγές Πληροφορίας και Κωδικοποίηση Πηγής 6.5-6
Οι συµπιεστές που χρησιµοποιούνται πιο συχνά κάνουν λογαριθµική συµπίεση Y log(x ) σε τρόπο ώστε οι στάθµες πυκνώνουν στη αρχή και αραιώνουν όλο και περισσότερο προς την κορυφήτωντιµώντης X. y y m y 5 y 4 min 3 5 6 4 5 m y y y min Συµπιεστής για τη µετατροπή ενός µη οµοιόµορφου κβαντιστή σε οµοιόµορφο. Πηγές Πληροφορίας και Κωδικοποίηση Πηγής 6.5-7
Η παραµόρφωση για το βέλτιστο κβαντιστή µε N περιοχές κβάντισης χωρίς κάποιο περιορισµό γιατοεύροςτουςδίνεταιαπότην ˆ D ( ) f X ( ) d + N i+ i i ( ) f ( d+ ( ) f ( d i + X ) N N X ) Ηελαχιστοποίησητου Dθαπρέπειναγίνεισεσχέσηµετις N µεταβλητέςπουυπάρχουν την παραπάνω έκφραση. ϑ ϑ i D ( ) ( ) 0 f X ( i ) i i i i+ ( + ) i i i+ i,,..., N Το αποτέλεσµα αυτό σηµαίνει απλά ότι, σ' ένα βέλτιστο κβαντιστή, τα άκρα των περιοχών κβάντισης δίνονται από τον αριθµητικό µέσο των γειτονικών τιµών κβάντισης. Έτσι η κβάντιση γίνεται µε βάση την ελάχιστη απόσταση, δηλαδή κάθε τιµή κβαντίζεται στο Ν πλησιέστερο { i } i. Πηγές Πληροφορίας και Κωδικοποίηση Πηγής 6.5-8
Γιανακαθορίσουµετώρατιςτιµέςκβάντισης i, διαφορίζουµετο Dωςπρος i καιορίζουµε α 0 καια N +. Έτσιπροκύπτει ϑ ϑ i D i i ( ) f ( ) d 0 X i f X ( ) d i i i f X ( ) d i i i f X ( ) d < X i i i i f X () < X i i d αν χρησιµοποιήσουµε τον ορισµό της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας υπό συνθήκη f X ( i < X i ) f X i () < X 0, i, i < αλλιώς i έχουµε i f X ( i < X i ) d E X < X ) i i Πηγές Πληροφορίας και Κωδικοποίηση Πηγής 6.5-9
Η παραµόρφωση για το βέλτιστο κβαντιστή µε N περιοχές κβάντισης δίνεται από την ˆ D ( ) f X ( ) d + N i+ i i ( ) f ( d+ ( ) f ( d i + X ) N N X ) όπουοι N µεταβλητέςείναι ( + ) i i i+, i,,..., N i E X i < X i ), i,,..., N Σε έναν βέλτιστο κβαντιστή η τιµή της κβάντισης (ή το αντιπροσωπευτικό σηµείο) για µια περιοχή θα πρέπει να επιλεγεί έτσι ώστε να είναι το κέντρο µάζας (η υπό συνθήκη αναµενόµενη τιµή) της περιοχής αυτής. Οι εξισώσεις δίνουν τις αναγκαίες συνθήκες, ώστε ένας βαθµωτός κβαντιστής να είναι βέλτιστος και είναι γνωστές ως συνθήκες Lloyd-M. Τα κριτήρια για βέλτιστη κβάντιση µπορούν να συνοψισθούν ως εξής: Τα άκρα των περιοχών κβάντισης δίνονται από τον αριθµητικό µέσο των γειτονικών τιµών κβάντισης (νόµος πλησιέστερου γείτονα). Οι τιµές κβάντισης είναι τα κέντρα µάζας των περιοχών κβάντισης. Πηγές Πληροφορίας και Κωδικοποίηση Πηγής 6.5-0