ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.: ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Ερώτηση. ΘΕΜΑ Β Δύο σώματα με μάζες m m και m m αντίστοιχα, εκτελούν Α.Α.Τ. και έχουν την ίδια γωνιακή συχνότητα. Ποια από τις παρακάτω σχέσεις για τις σταθερές επαναφοράς και αντίστοιχα των δύο συστημάτων είναι σωστή; α). β).. γ) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η β. Αιτιολόγηση: Από την εκφώνηση έχουμε T T T T (Από τη σχέση m T ) m m m m m m m m Άρα σωστή απάντηση είναι η β.
Ερώτηση. Στο παρακάτω διάγραμμα απομάκρυνσης-χρόνου φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις για δύο σώματα και τα οποία εκτελούν Α.Α.Τ. Ποιά από τις παρακάτω σχέσεις για τις μέγιστες επιταχύνσεις ταλάντωσης των δύο σωμάτων είναι σωστή; α) β) γ) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. Αιτιολόγηση: Από το διάγραμμα προκύπτει ότι το σώμα έχει διπλάσια περίοδο από το σώμα. Δηλαδή T T () Επίσης το σώμα έχει διπλάσιο πλάτος ταλάντωσης από το σώμα. Δηλαδή A A () Η μέγιστη επιτάχυνση υπολογίζεται από τη σχέση A Άρα εφαρμόζoντας ξεχωριστά για το κάθε σώμα και διαιρώντας κατά μέλη καταλήγουμε: A ( ) A T
( ) A T ( ) A T (Απλοποιώ και κάνω το σύνθετο κλάσμα απλό) T A T A (από τις σχέσεις () και () με αντικατάσταση) ( T ) A T A Άρα σωστή απάντηση είναι η γ. 3
Ερώτηση 3. Δύο σώματα και με ίσες μάζες εκτελούν Α.Α.Τ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται τα διαγράμματα ταχύτητας-χρόνου για τα δύο σώματα. Ο λόγος της μέγιστης δύναμης επαναφοράς του σώματος προς τη μέγιστη δύναμη επαναφοράς του σώματος είναι: α) 3 β) 9 γ) / 3 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η α. Από το διάγραμμα προκύπτει ότι T,5 T () και ότι u u () Από τη σχέση () έχουμε u u (u A) A A ( ) T A A T T A T A T (Λόγω της σχέσης ()) A,5 T A T 4 A A (3) 3 4
Άρα επειδή F m a ή F m A ή m ( ) F A (4) T Εφαρμόζω τη σχέση (4) ξεχωριστά για το κάθε σώμα και διαιρώ κατά μέλη: F ( ) m A T ( ) m A T F (Απλοποιούμε και κάνουμε το σύνθετο κλάσμα απλό) F T A (Από τις σχέσεις () και (3)) F T A 4 (,5 T ) A F 3 F T A F F 3 Άρα σωστή απάντηση είναι η α. 5
Ερώτηση 4. Σώμα μάζας m εκτελεί Α.Α.Τ. με περίοδο Τ και πλάτος Α. Τετραπλασιάζουμε το πλάτος της ταλάντωσής του και διπλασιάζουμε τη μάζα του ενώ διατηρούμε αμετάβλητη τη σταθερά επαναφοράς. Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής στις ακραίες θέσεις θα: α) τετραπλασιαστεί. β) υποτετραπλασιαστεί. γ) διπλασιαστεί. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η α. Αιτιολόγηση: Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής είναι ίσος με τη συνισταμένη δύναμη P F. Σε μια Α.Α.Τ. η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα είναι η t δύναμη επαναφοράς η οποία στις ακραίες θέσεις είναι μέγιστη. Ισχύει για τη μέγιστη δύναμη επαναφοράς η σχέση F A. Το παραμένει σταθερό, το Α τετραπλασιάζεται άρα η μέγιστη δύναμη επαναφοράς τετραπλασιάζεται και επομένως και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής στις ακραίες θέσεις. Άρα σωστή απάντηση είναι η α. 6
Ερώτηση 5. Δύο σώματα με μάζες m m και m 4m εκτελούν Α.Α.Τ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις δύναμης επαναφοράς, απομάκρυνσης για τα δύο σώματα. Ο λόγος των συχνοτήτων ταλάντωσης των δύο σωμάτων α) β) γ) 4 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. f f είναι ίσος με: Σωστή απάντηση είναι η γ. Αιτιολόγηση: Η κλίση της γραφικής παράστασης μας δίνει τη σταθερά της επαναφοράς της ταλάντωσης. Άρα για το σύστημα έχουμε: F A (). Ομοίως για το σύστημα έχουμε: 7
F 4 A () Διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις () και () προκύπτει: F A F 4 A 8 (3) Άρα ο λόγος των συχνοτήτων υπολογίζεται: m f T T m (Αντικαθιστώντας m m, m 4m και f T m m T 8 ) f 4 m 8 3 4 f m Άρα σωστή απάντηση είναι η γ. 8
Ερώτηση 6. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με περίοδο T 4 s. Η συχνότητα μεγιστοποίησης του μέτρου του ρυθμού μεταβολής της ταχύτητας είναι f' ίση με: α) 4Hz β) Hz γ) 0,5Hz Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. Αιτιολόγηση: Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας είναι η επιτάχυνση. Η επιτάχυνση γίνεται μέγιστη στις ακραίες θέσεις άρα κάθε μισή περίοδο. Άρα ο χρόνος T μεγιστοποίησης του ρυθμού μεταβολής της ταχύτητας είναι T s και η αντίστοιχη συχνότητα f 0,5 Hz Άρα σωστή απάντηση είναι η γ. T 9
Ερώτηση 7. Ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής ταλαντώνεται, με πλάτος ταχύτητας υ, πλάτος επιτάχυνσης α και αρχική φάση φ 0. Σε ένα τυχαίο σημείο της τροχιάς του έχει ταχύτητα μέτρου υ και επιτάχυνση μέτρου α. Η σχέση που συνδέει τη στιγμιαία ταχύτητα υ με τη στιγμιαία επιτάχυνση α, είναι η: α) a a a a β) a γ) a Να επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Η χρονική εξίσωση της ταχύτητας σε μια απλή αρμονική ταλάντωση είναι: ( t 0) και της επιτάχυνσης: ( t 0). Λύνουμε ως προς τους περιεχόμενους τριγωνομετρικούς αριθμούς: ( t 0) και ( t 0). Τις υψώνουμε στο τετράγωνο: ( t 0) και ( t 0). Τις προσθέτουμε κατά μέλη: ( t 0) ( t 0). Το ο μέλος, με βάση τώρα την τριγωνομετρική ταυτότητα:, είναι ίσο με τη μονάδα. Έτσι, έχουμε τελικά:. 0
ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και η ταχύτητα μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση u 4 t (S.I.). Να υπολογιστεί: α) Η απόσταση των δύο ακραίων θέσεων. β) Η επιτάχυνση όταν η απομάκρυνση του σώματος είναι x A. γ) Η ταχύτητα τη χρονική στιγμή t s. δ) Αν η μάζα του ταλαντούμενου σώματος είναι m 0, kg να υπολογιστεί η σταθερά επαναφοράς του συστήματος και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής τη χρονική στιγμή κατά A την οποία η απομάκρυνση είναι x. Δίνεται και 3 0 Από την εξίσωση της ταχύτητας προκύπτει ότι: m / s 4 rad / s Άρα m rad A 4 A A m s s α) Επομένως οι δύο ακραίες θέσεις απέχουν d A m m β) Όταν είναι x A τότε rad a a a A a (4 ) m a 8 m / s s γ) Τη χρονική στιγμή t s, η ταχύτητα είναι (στο S.I.): 4 t
4 3 m / s δ) Η σταθερά επαναφοράς υπολογίζεται από τη σχέση: rad N N s m m m 0, kg (4 ) 3, 0 3 Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής είναι ίσος με τη δύναμη επαναφοράς dp N dp 8 F x 3 ( m) N dt m dt
Άσκηση. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση επιτάχυνσηςχρόνου: Να υπολογιστούν: α) Το πλάτος της ταλάντωσης. β) Η συχνότητα και η γωνιακή συχνότητα. γ) Να βρεθεί η εξίσωση ταχύτητας-χρόνου και να σχεδιαστεί το αντίστοιχο ποσοτικό διάγραμμα. δ) Να κάνετε το διάγραμμα επιτάχυνσης-απομάκρυνσης (ποσοτικό). Από το διάγραμμα προκύπτει ότι: 3 T 0,5s T 0, s 4 και a 0 m / s α) ( ) m 4 a A a A 0 A A 0,m T s (0, s) β) f 5Hz T 0,s f 5 Hz 0 rad / s rad A 0 0,m m / s s γ) 3
Άρα η εξίσωση της ταχύτητας είναι: t 0 t (S.I.) και το αντίστοιχο διάγραμμα είναι: δ) a a t (a A) a A t (x A t) a x a (0 ) x a 00 x (S.I.) Το διάγραμμα επιτάχυνσης-απομάκρυνσης είναι: 4
Άσκηση 3. Στο παρακάτω διάγραμμα παριστάνεται η επιτάχυνση ενός σώματος μάζας m kg, σε συνάρτηση με το χρόνο, που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα ω και το πλάτος ταλάντωσης Α. β) Να γράψετε την εξίσωση που δίνει τη φάση της ταλάντωσης φ σε συνάρτηση με το χρόνο t. γ) Να παραστήσετε γραφικά την επιτάχυνση α σε συνάρτηση με την απομάκρυνση χ, σε κατάλληλα βαθμολογημένους άξονες. δ) Να υπολογίσετε την αλγεβρική τιμή της ορμής του σώματος τη χρονική στιγμή t s 30 3. Δίνεται ότι: και 3. 3 α) Όπως φαίνεται απ το διάγραμμα, η μέγιστη επιτάχυνση της απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Βρίσκουμε τη γωνιακή συχνότητα ω:. 5 m/s και η περίοδος T 0,4 s rad 0 rad T 0,4 s rad / s rad / s 5. 0,4 4 s Από τη σχέση μέγιστης επιτάχυνσης α πλάτους Α: 5 m m 5 5 0,m. β) Γνωρίζουμε ότι η φάση μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι η: t 0, οπότε πρέπει να υπολογίσουμε την αρχική φάση της ταλάντωσης. Από την εξίσωση επιτάχυνσης χρόνου: ( t 0), για t=0 όπως φαίνεται από το διάγραμμα είναι. Με αντικατάσταση στην εξίσωση επιτάχυνσης α - χρόνου t: 5
0 0 0 k. Επειδή η αρχική φάση είναι μεταξύ 0 και π, θέτουμε k=0, οπότε τελικά: 0. Οπότε η χρονική εξίσωση της φάσης της ταλάντωσης γίνεται: 5t (στο S.I.). γ) Γνωρίζουμε ότι η σχέση επιτάχυνσης α απομάκρυνσης χ, σε μια απλή αρμονική ταλάντωση είναι η: x 5 x, που είναι μια πρωτοβάθμια συνάρτηση με πεδίο ορισμού: A x A 0, m x 0, m και κλίση ω. Η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα: δ) Η ορμή είναι p m, οπότε αρκεί να βρούμε την ταχύτητα τη χρονική στιγμή t s. 30 Η εξίσωση της ταχύτητας είναι: ( t 0) ( t 0) και αντικαθιστώντας έχουμε (S.I.): m 50, (5 )m / s ( )m / s... ( )m / s. 30 6 3 s Άρα η αλγεβρική τιμή της ορμής είναι: m m p ( )kg p kg. s s Ημερομηνία τροποποίησης: 0/07/0 Επιμέλεια: Γεώργιος Φωτεινάκης, Ευάγγελος Χατζέλλης Επιστημονικός έλεγχος: Γεώργιος Ζησιμόπουλος, Κωνσταντίνος Στεφανίδης 6