ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα Ηουνίου 08 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α. Απόδεημε ζεωξήκαηνο ζει. 99 ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α. α. Ψεπδήο β., 0 Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε g, 0 παξάζηαζε (ζρήκα ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει.5): y ε νπνία έρεη γξαθηθή y=g() O Η g() είλαη ζπλάξηεζε ζην A g αθνύ είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην όπωο θαίλεηαη από ην παξαπάλω ζρήκα. Ag αιιά δελ είλαη γλεζίωο κνλόηνλε ζην,0 Α. Δηαηύπωζε ζεωξήκαηνο ζει. 6 ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α4. α. Λάζνο (ζει. ζρ. βηβιίνπ) β. Λάζνο (ζρόιην ζει. 6 ζρ. βηβιίνπ) γ. Σωζηό (ηύπνο ζει. 5 ζρ. βηβιίνπ) δ. Σωζηό (ζει. 7 ζρ. βηβιίνπ) ε. Σωζηό (ζει. 7 ζρ. βηβιίνπ) θαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην 0, ΘΔΜΑ Β Β. Ιζρύεη : A, 00, f
Η f() είλαη παξαγωγίζηκε ζην A f ωο άζξνηζκα παξαγωγίζηκωλ ζπλαξηήζεωλ (άζξνηζκα πνιπωλπκηθήο κε ξεηή) κε: 4 f 4 4 4 8 8 4 Επίζεο : θαη 8 f 0 0 8 0 8 8 0 f 0 0 8 0 Επνκέλωο Άξα ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζηα δηαζηήκαηα,, 0, ελώ είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην, 0 Η f παξνπζηάδεη ηνπηθό κέγηζην ζηε ζέζε 0 κε ηηκή: 4 4 f 4 8 f ωο ξεηή κε 8 8 4 f 8 8 0 6 4 Β. Η είλαη παξαγωγίζηκε ζην, 0 0, γηα θάζε, 00,
Άξα f 0 γηα θάζε, 00, νπόηε ε,0 θαη ζην 0,. f είλαη θνίιε ζην Β. Καηακόρυθε αζύμπηωηε ζα αναδεηήζουμε : ζην 0 0 νπόηε: 4 4 lim f lim lim lim 0 4 lim αθνύ lim 0 0 0 0 0 0 4 4 lim f lim lim lim 0 4 lim 0 0 0 0 0 Άξα ε επζεία 0 είλαη θαηαθόξπθε αζύκπηωηε ηεο C f. Εμεηάδνπκε αλ ε C f έρεη πιάγηα αζύκπηωηε ζην κηα επζεία (ε) ηεο κνξθήο f ε : y λ + β όπνπ λ lim θαη β = lim f λ 4 4 f Τόηε 4 λ lim lim lim lim lim, δειαδή λ = λ= 4 4 θαη β = lim f λ lim lim 0, άξα β = 0 Τόηε ε επζεία ε : y 0 y είλαη πιάγηα αζύκπηωηε ηεο C f ζην. Εμεηάδνπκε αλ ε C f έρεη πιάγηα αζύκπηωηε ζην κηα επζεία (ε) ηεο κνξθήο f y λ + β όηαλ λ = lim θαη β = lim f λ. 4 4 f Τόηε 4 λ = lim lim lim lim lim δειαδή λ θαη λ= 4 β lim f λ lim 4 lim 4 0 0 δειαδή β 0 Άξα ε επζεία δειαδή ε : y είλαη πιάγηα αζύκπηωηε ηεο C f ζην
Β4. 4
ΘΕΜΑ Γ Γ. Η πιεπξά ηνπ ηεηξαγώλνπ ζα έρεη κήθνο m θαη ην κήθνο ηνπ θύθινπ ζα είλαη 4 8 m νπόηε ν θύθινο ζα έρεη αθηίλα 8 m. Άξα, ην εκβαδόλ ηνπ ηεηξαγώλνπ είλαη E m. 4 6 θαη ην εκβαδόλ ηνπ θύθινπ είλαη ίζν κε E 8 8 4 Τν άζξνηζκα ηωλ εκβαδώλ ηωλ δύν ζρεκάηωλ είλαη: E 8 4 64 56 6 4 6 m, κε 0 8 Γ. Η E είλαη ζπλερήο ωο πνιπωλπκηθή ζην 0,8 θαη παξαγωγίζηκε ζην δηάζηεκα απηό κε: To πξόζεκν ηεο ηηκώλ: E 4 64 6 0 4 E' θαη ε κνλνηνλία ηεο E θαίλνληαη ζηνλ αθόινπζν πίλαθα Άξα, ην άζξνηζκα ηωλ εκβαδώλ ηωλ δύν ζρεκάηωλ γίλεηαη ειάρηζην γηα, 4 πνπ είλαη ε πιεπξά ηνπ ηεηξαγώλνπ όηαλ ηζνύηαη κε ηελ δηάκεηξν ηνπ θύθινπ αθνύ: 8 4 4 5
Γ. Αξθεί λα δείμω όηη ε εμίζωζε E 5 έρεη κνλαδηθή ιύζε γηα 0,8 H. E είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην 0, 4 νπόηε 6 6 E lim, lim E, 0 4 4 H E είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην,8 4 νπόηε 6 E, lim E,4 4 8 4 Αθνύ ην 5E ηόηε ε εμίζωζε E 5 νπνία είλαη κνλαδηθή αθνύ γλεζίωο θζίλνπζα ζην. Τέινο ην 5E άξα ε εμίζωζε E 5 έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ιύζε ζην, ε είλαη αδύλαηε ζην. ΘΕΜΑ Δ Δ. Η f είλαη θνξέο παξαγωγίζηκε ζην ωο πξάμεηο παξαγωγίζηκωλ ζπλαξηήζεωλ κε: α α f e θαη f e. f 0 e 0 e α 0 α α α Λύλω ηελ Άξα ε f παξνπζηάδεη κνλαδηθό ζεκείν θακπήο ζην Α α,f α. Δ. Είλαη lim f lim e α,, δηόηη e e e lim f lim e lim[e 0 α α α lim lim 0. e e DLH Σύκθωλα κε ηνλ παξαπάλω πίλαθα πξνζήκωλ ηεο f, πξνθύπηεη όηη ε f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην, θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην,. Σην Δ,α ε f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα θαη ζπλερήο νπόηε 6
Σην Δ α, f Δ f α, lim f α,. ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα θαη ζπλερήο, νπόηε f Δ lim f, lim f α,. α Αθνύ 0 πξνθύπηεη όηη: 0f Δ νπόηε ε εμίζωζε f 0 έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ξίδα Δ, ε νπνία είλαη κνλαδηθή αθνύ ε f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην Δ. 0 f Δ νπόηε ε εμίζωζε f 0 έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ξίδα Δ, ε νπνία είλαη κνλαδηθή αθνύ ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην Δ. Σύκθωλα κε ηα παξαπάλω f f f f 0, γηα f γηα <α f f f 0, f γηα α f f f 0, f f f f 0. γηα Σρεκαηίδνπκε ηνλ παξαθάηω πίλαθα Άξα ε f παξνπζηάδεη ηνπηθό κέγηζην ζην θαη ηνπηθό ειάρηζην ζην. Δ. f ' () = (e -α - ) <0 αθνύ α>, άξα < Έζηω όηη ππάξρεη o (α, ) ηέηνην ώζηε f (o)= f() Αθνύ ε f ζπλερήο ζην [, o ] θαη παξαγωγίζηκε ζην (, o ) Τόηε (ζ. Rolle) ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα μ (, o ) ηέηνην ώζηε f'(μ)=0 Άηνπν γηαηί ε f ' κεδελίδεηαη κόλν ζηα,. Δ4. Γηα α f e. : f e θαη Η εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο C f ζην 0 είλαη ε y f f y y Αθνύ ε f είλαη θπξηή ζην, ηόηε ε εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο βξίζθεηαη θάηω από ηελ C κε εμαίξεζε ην ζεκείν επαθήο, δειαδή f f f() τ.μ. ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα. α + + 0 0 τ.ελ. + f y f κε 7
Άξα γηα 0 f f. είλαη Αθνύ νη ζπλαξηήζεηο f θαη είλαη ζπλερείο ζην, θαη ε ηζόηεηα ηζρύεη κόλν γηα, ηόηε f d d. Γηα ην d ζέηω Τόηε d udu θαη γηα είλαη u 0, γηα είλαη u. Άξα, u u d u u udu u u du 0 0 Επνκέλωο f d. 5 5 4 u u 4 4 0 4u 4u du 4 4 5 5 5 5 5 0 0 8