УОПШТЕНИ КАЛЕИДОСКОП

ПОГЛАВЉЕ XI УОПШТЕНИ КАЛЕИДОСКОП ОВО може бити појам којим смо скренули од наслова ове књиге. Али како је симетријска група сваког правилног политопа или ханикомба изведена рефлексијама, то онда изгледа пожељно потпуно пребројавање таквих група (. -. ) иако нису све везане за правилне фигуре. Најједноставнији политопи и ханикомби који се појављују (који имају ове групе за своје симетријске групе) описани су у. -. 8. Од политопа рачунамо редове коначних група. Ово рачунање је раније детаљно образложено; тако да то сад узимамо поново (у. 9) по различитој методи, приписаној Вeјлу, која је посебно корисна за групе које нису везане за правилне политопе. Поступак у. -. и. 9 је аналитички: ми користимо фундаменталну област (за коначну или бесконачну групу) да успоставимо систем афиних или нормалних координата, и проучавамо квадратне форме методама развијеним у поглављу X... ДИСКРЕТНЕ ГРУПЕ ИЗВЕДЕНЕ РЕФЛЕКСИЈАМА. У n димензионалном Еуклидовом простору рефлексија у односу на хиперраван је посебна изометријска трансформација која чува (пресликава у саму себе) сваку тачку хиперравни и замењује (пресликава један у други) два полупростора на које разлаже читав простор. Изражено Декартовим правоуглим координатама, рефлексија у односу на x 0 пресликава једну у другу две следеће тачке x, x, x,, x n. Изражавање косоуглим координатама је нешто компликованија трансформација 0. (за k ). (Општа теорија изометријских трансформација биће дискутована у Поглављу XII.) Сваки потпростор нормалан на трансформише се у самог себе сагласно рефлексији у односу на пресек хиперравни са тим потпростором. Отуд се производ рефлексија у односу на две хиперравни које се секу, и, може истраживати разматрањем шта се дешава у било којој (хипер)равни нормалној на обе ове хиперравни. Знамо, производ рефлексија у односу на две праве које се секу је ротација око њихове заједничке тачке за двоструки угао између њих; тако да је природно назвати производ рефлекси- и ротација око n простора за двостру- ја у односу на ки угао између и. Ако је овај угао ( p,,, ), тада две рефле- p ксије изводе диедарску групу p. (Видети..) Дискусија у. уопштава на очигледан начин од на n димензија. Група је још изведена рефлексијама у односу на зидове њене фундаменталне области. "Зидови" више нису равни већ хиперравни, а "ивица" заједничка

8 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ. за pj области је сада n простор, али "стаза" остаје једнодимензионална. Наћи ћемо да су могуће фундаменталне области такве да су два зида увек суседни ако нису паралелни. Договор. p омогућава нам да извођујуће релације. пишемо у сажетом облику. p R j R j ( j ), где се подразумева да таква релација за p (која указује на паралелност од и j ) може бити занемарена. Ако рефлектујуће хиперравни падају у два или више скупова, таквих да су сваке две хиперравни из различитих скупова међусобно нормалне, тада саме рефлексије падају у узајамно комутативне скупове, а група је, с обзиром да је директан производ, кажемо редуцибилна. Ово се дешава, на пример, кад је фундаментална област правоугли производ фундаменталних области група у мањим димензијама, као у случају (. ). У другу руку, ако таква редукција није могућа, група је, кажемо, иредуцибилна.* Ове иредуцибилне групе у две димензије су, p ( p ),,,,,,, а редуцибилне групе у две димензије су,,. Први корак у општем пребројавању је да докажемо да свака од иредуцибилних група има неку врсту симплекса за своју фундаменталну област. За овај циљ ћемо извести одговарајућу квадратну форму,и користити резултате Поглавља X... ДОКАЗ ДА ЈЕ ФУНДАМЕНТАЛНА ОБЛАСТ СИМПЛЕКС. Фундаментална област је коначна или бесконачна област ограничена са (рецимо) m хиперравни. Кроз било коју тачку унутар области, повуцимо праве нормално на све зидове. Нека су e,,e јединични вектори у правцима ових n нормала (усмерених унутра, од зида према тачки). Како је угао између e и e j суплементан диедарском углу фундаменталне области, имамо p j e e j cos. p Према., ово важи кад је j, али исто тако и кад је j. Ако вектори нису спрегнути на читавом простору,већ само спрежу одређени потпростор, тада су све хиперравни рефлексија нормалне на овај потпростор; па можемо узети њихов пресек са овим потпростором и разматрати исту групу као оперисање у њему. (На пример, група изведена рефлексијама у односу на две паралелне хиперравни је у суштини иста као да је изведена рефлексијама у односу на две тачке, које се јављају као пресеци * Строго, колинеарна група је, кажемо, редуцибилна ако она оставља потпростор инваријантним, а потпуно редуцибилна оставља два комплементарна потпростора инваријантним. У представљеном случају колинеарности су изометријске трансформације, тако да једна врста редукције повлачи другу. j j

. ГРУПЕ ИЗВЕДЕНЕ РЕФЛЕКСИЈАМА 9 ових хиперравни са правом нормалном на њих; отуд је разматрана као једнодимензионална група.) Чинећи ову примедбу, ми ћемо претпоставити да e ови спрежу простор, рецимо n димензионални простор. Дакле, m n. m Било којих m x,, x бројева одређују са e овима вектор m x e x em x e, чији је квадрат дужине k k x e x e a x x, k где је. ak e ek cos. pk k Према томе израз ak x x не може бити негативан: то је позитивно дефинитна или семидефинитна квадратна форма од m променљивих. Како је за k, cos 0, p k то је ово а-форма као што је дефинисано у 0.. За било који пар нормалних зидова фундменталне области, имамо p k, и стога a k 0 ; отуд је а-форма повезана или неповезана према томе да ли је група иредуцибилна или редуцибилна. Сад размотримо два могућа случаја: m n и m n. Ако је m n,тада постоји само довољан број e ова да спрегну n димензионални простор, па су они линеарно независни, а то значи да x e може бити нула само кад су сви x ови нула; стога је а-форма позитивно дефинитна. У овом случају n хиперравни рефлексија имају заједничку тачку, рецимо О. (Оне не могу да садрже заједнички правац уместо тачке, јер би тада сви e ови били нормални на тај правац, и не би могли да спрегну простор.) Стога размотримо групу као деловање на сфери са центром О, и заменимо њену угловну фундаменталну област са n димензионалним сферним симплексом (на пр. лук кад је n, као на Сл.. Ц, и сферни троугао кад је n, као у. ). С друге стране, ако је m n, онда постоји превише e ова да би били линеарно независни, тако да они морају да задовољавају бар једну нетривијалну релацију. z e z m e 0, k која повлачи a z z 0 ; стога је а-форма позитивно семидефинитна. k Према познатој теореми у алгебри n димензионални векторски простор је спрегнут са n од m e ова; зато а-форма има ранг n, и нулиште m n. Ако је, још, група иредуцибилна, тако да је а-форма повезана, тада0. показује да је нулиште тачно, одакле је m n. Према томе у суштини постоји само једна једнакост. ; и према0. можемо узети да сви z ови буду позитивни. Конструкција описана у 0. 8 m k

70 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ. сада даје симплекс истоветан фундаменталној области. Зато је сама фундаментална област симплекс (прецизније, n димензионални Еуклидов симплекс). Као што смо видели у 0. 7, z ови су обрнуто пропорционални висинама симплекса. Сад видимо да свака иредуцибилна група изведена рефлексијама има симплекс за своју фундаменталну област. Како је сферни простор коначан, а Еуклидов простор бесконачан, то је онда група коначна или бесконачна према томе да ли је симплекс сферни или Еуклидов. Отуд важи.. Свака група изведена рефлексијама је директан производ група чије су фундаменталне области симплекси. Фундаментална област коначне групе изведене рефлексијама је сферни симплекс, а од иредуцибилне бесконачне групе изведене рефлексијама је Еуклидов симплекс. Редуцибилне бесконачне групе имају "призматичне" фундаменталне области, такве као оне поменуте у.. Ми нећемо покушавати да их даље описујемо. (Видети Коксетер, стр. 99.) Пре пребројавања посебних група, вреди забележити следећу везу између коначних и бесконачних група. Нека је G бесконачна дискретна група изведена рефлексијама у n димензионалном Еуклидовом простору. Хиперравни рефлексија се јављају у коначном броју различитих праваца; јер иначе можемо наћи две од њих нагнуте под произвољно малим углом, и група неће бити дискретна. Другим речима, хиперравни рефлексија припадају коначном броју фамилија, које су сачињене од паралелних хиперравни. Ако представимо сваку фамилију једном хиперравни (паралелној осталима из фамилије) кроз било коју утврђену тачку О, тада добијамо коначну групу Ѕ, која је изведена рефлексијама у односу на неку од n хиперравни кроз О (зато је њена фундаментална област сферни симплекс или n странични угао). Ове хиперравни представљају n посебних хиперравни рефлексија од G. Уместо хиперравни кроз произвољну тачку О, могли смо узети по једну из сваке од ових n фамилија. Како постоји тачно n њих, па се онда хиперравни тако изабране секу у једној тачки, и сада се фундаментална област за Ѕ јавља у једном ћошку од фундаменталне области за G(која је ограничена са ових n хиперравни и са још једном или више других). Према томе, ма колико много фамилија паралелних хиперравни се појављивало, фудаментална област за G има најмање једно теме које лежи у једној хиперравни сваке фамилије. Назовимо ово теме специјално теме фундаменталне области, а Ѕ специјална подгрупа од G. Сажето, Ѕ је највећа коначна подгрупа од G. Узмимо једноставан пример кад је n, нека је G, изведена рефлексијама у односу на странице четвороугла; тада су сва четири темена "специјална", а Ѕ је, реда, изведена рефлексијама у односу на две суседне странице. С друге стране, кад је G, онда постоји само једно "специјално" теме (где се јавља угао ), а Ѕ је, реда.

. ПРЕДСТАВЉАЊЕ ГРАФОВИМА 7.. ПРЕДСТАВЉАЊЕ ГРАФОВИМА. Сад смо свели пребројавање дискретних група изведених рефлексијама на оне од сферних и Еуклидових 0 симплекса чији су диедарски углови фактори од 80, и повезали смо такве симплексе са дефинитним и семидефинитним формама чији су коефицијенти задати са.. У овој фази корисно је употребити представљање графовима, као у.. За сваку фундаменталну област имамо граф чији чворови представљају зидове (или ограничавајуће хиперравни) и чије гране (означене са p ако је p ) указују на парове зидова нагнутих под углом p. Њихови нормални зидови су представљени чворовима који нису спојени граном. Овај граф је повезан или неповезан према томе да ли је p група иредуцибилна или редуцибилна. У другом случају група је директан производ неколико "иредуцибилних компоненти", одговарајућих раздвојеним комадима графа. Исти граф може бити посматран као да представља квадратну форму. Чворови представљају променљиве, или "квадратне" чланове, а гране представљају "производ" чланове. (Ово објашњава нашу дефиницију повезаности и неповезаности на крају 0..) На пример, графови. представљају форме x xy y yz z zx, x xy y yz z, x xy y yz z. (Због једноставности смо писали x, y, z уместо x, x, x.) Граф за сферни или Еуклидов симплекс има особину да уклањање било ког чвора (заједно са било којом граном која излази из тог чвора) оставља граф за сферни симплекс. Алгебарски то је последица од 0. тако да су било којих m од m e ова линеарно независни, увек кад свих m заједно то нису. То онда следи да никад не можемо добити прихватљиву повезаност графа додавањем новог чвора (са једном или више грана) графу за Еуклидов симплекс. Шта више, теорема 0. показује да то не можемо добити ни једном убаченом граном између два већ присутна чвора, нити повећањем ознака на грани... СЕМИДЕФИНИТНЕ ФОРМЕ, ЕУКЛИДОВИ СИМПЛЕКСИ, И БЕС- КОНАЧНЕ ГРУПЕ. За примену претходних принципа потребан нам је стандардан списак Еуклидових симплекса. Овај списак је обезбеђен на десној половини (W, итд.) Тебеле IV на крају књиге), заједно са q X Y Z где је q дефинисано са cos q. (Одговарајући симболи P m, Q m,, Z су

7 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ. прилагођени из Вит.) Ми препознајемо P, P, R, R, S, V, W као фундаменталне области за следеће групе редом,,,,,,,,,,, Поглавља V. Већина осталих су природно аналогни овима. Сви ови графови представљају квадратне форме за које ћемо доказати да су семидефинитне.па онда следи да представљају Еуклидове симплексе. Свакако, три симплекса X, Y, Z (где се јављају разломачке ознаке) нису фундаменталне области дискретних група; ми ћемо, ипак,наћи њихову употребну вредност. Теорема 0. k говори нам да је форма ak x x семидефинитна ако m постоје позитивни бројеви z,, z такви да је. z a 0 ( k,, m). k Да бисмо применили овај критеријум,представићемо форму њеним графом, и заменићемо m z ова са m чворова. Овај поступак је лакши него што изгледа, јер сума у. ретко кад има више од три ненула члана. Претпоставимо да је k ти чвор спојен гранама са тим, j тим итд. Тада, ако су ове гране неозначене, тако да је a k, онда. повлачи. k j z z z. Ако је " k " грана означена са,,,, или q, онда морамо помножити z у изразу са,,,, или, према.. Посебно, једноставан "ла- нац" од неозначених грана (са две гране у сваком чвору, осим на крајевима ланца)* задовољаваће. ако су његови z ови у аритметичкој прогресији. После ових упутстава, узима нам само неколико минута да убацимо погодне z ове у чворове графа у табели на страни 7 (овог превода), која показује да су P m, Q m,, Z у ствари Еуклидови симплекси (у простору од m димензија). Како је. хомогена у односу на z ове, ми смо слободни да "нормирамо" ових m позитивних бројева, делећи све са најмањим. Кад је ово учињено (као у табели на стр. 7),. је још увек задовољено, али је најмањи z и сви z ови су једнозначно одређени... ДЕФИНИТНЕ ФОРМЕ, СФЕРНИ СИМПЛЕКСИ, И КОНАЧНЕ ГРУ- ПЕ. Од ових Еуклидових симплекса можемо извести сферне симплексе конструисањем сфера око темена, тј. уклањањем чвора из сваког графа. Како ће то задовољити пребројавање иредуцибилних група, ми уклањамо само * Овде смо употребили реч "ланац" очигледно у смислу изломљене линије, а не у формалном смислу 9.., где је сваки граф ланац.

. ТАБЕЛА ГРАФОВА 7 W P P Q Q Q 7 T 7 T 8 T 9 R R R S S S U V ΐ ΐ ΐ ΐ ΐ ΐ q X Y Z cos q 7

7 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ. такве чворове који ће оставити повезан граф.уклањањем једног чвора означеног са из сваког графа у табели на стр. 7, налазимо да Еуклидови симплекси W, P n+, Q n+, T 7, T 8, T 9, R n+ или S n+, U, V, X, Y, дају сферне симплексе A, A n, B n, E, E 7, E 8, C n, F, D, G, G, Табеле IV (на крају књиге). Препознајемо A, A, А, C, C, D, G као фундаменталне области за групе,,,,,,,,, из. и. ; али ми нећемо нужно искористити делимично пребројавање учињено тамо.на претходном списку сферних симплекса ми природно додајемо лукове D p (дужине p ) који су фундаменталне области за "некристалографске" диедарске групе p ( p, 7, 8, ). Да бисмо се уверили да је пребројавање иредуцибилних група сада завршено, размотримо могућност додатног графа, и користимо принцип да такав граф не може бити изведен од графа за Еуклидов симплекс додавањем нове гране, ни повећавањем ознака на старим гранама. Како је P m Еуклидов, нови граф мора бити дрво (. ). Како су A,W, и D p (укључујући D = A и D = C ) већ поменути, дрво мора имати бар две гране.како је Q m Еуклидов, то онда не може бити више од четири гране у сваком чвору, ни више од три гране у свака два чвора. Ако постоји један чвор где се спајају три гране, онда се дрво састоји од три ланца зракасто од тог чвора, рецимо грана у једном ланцу, j у другом, k у трећем, уз j k. Како је S m Еуклидов, ниједна од ових грана не може бити означена. Како је B n већ поменут, j ; како је T 7 Еуклидов, ; како је T 8 Еуклидов, j ; а како је T 9 Еуклидов, k. Али како су E, E 7, E 8 већ поменути, тако је онда могућност три у једном чвору искључена. Сада морамо размотрити један посебан ланац. Како је A n већ поменут, а R m је Еуклидов, то онда мора да постоји тачно једна означена грана. Како су V и U Еуклидови, то онда ознаке могу бити само или,и морају да се јаве на "крајњој" грани или на средњој од три. Како су C n и F већ наведени, ознака која може бити је. Како је Y Еуклидов (и ), то онда ланац може бити сачињен од четири или више грана са најмањом ознаком. Али G и G су већ наведени, па смо присиљени да се вратимо на случај ланца од три гране са средњом означеном. Како је Z Еуклидов ( q ), и ова последња могућност је искључена. Да сумирамо наш значајан резултат: Једине иредуцибилне дискретне групе изведене рефлексијама су оне чије су фундаменталне области сферни симплекси A n ( n ), B n ( n ), C n ( n ), D p ( p ), E, E 7, E 8, F, G, G (видети Табелу IV на крају књиге) и Еуклидови симплекси W, P m ( m ), Q m ( m ), R m ( m ), S m ( m ), 8

. ВАЈТХОФОВА КОНСТРУКЦИЈА 7 V, T 7, T 8, T 9, U. У следећим параграфима ћемо повезати све коначне групе на политопу, и одатле израчунати њихов ред... ВАЈТХОФОВА КОНСТРУКЦИЈА. Чворови графа за сферни или Еуклидов симплекс представљају његове зидове(или ограничавајуће хиперравни), али они могу исто тако бити схваћени и као представници наспрамних темена. Цртањем прстена око једног од чворова, добијамо погодан симбол за политопе и ханикомбе чија су темена све слике одговарајућег темена фундаменталне области. (Неки примери су већ разматрани у. 7.) У случају m димензионалног сферног симплекса, политоп не мора по правилу бити m димензионалан. Ако је он n димензионалан, где је n m, онда група оставља инваријантним n димензионални потпростор m димензионалног Еуклидовог простора.; тада свака хиперраван рефлексије или садржи овај потпростор или је нормална на њега, па је група редуцибилна. Обрнуто, Ако је група редуцибилна, тако да је граф неповезан, онда претпостављамо да комад који садржи прстенасти чвор има укупно n чворова. Остатак графа може бити занемарен; јер, свака одговарајућа m n хиперраван садржи читав политоп, па рефлексије у односу на њих не делују на њега (прип. прев. политоп се овим рефлексијама пресликава у самог себе). У случају m димензионалног Еуклидовог симплекса, ханикомб је нужно m димензионалан. Јер, ако је група била редуцибилна, њена фундаментална област неће бити симплекс. У циљу да се политопи и ханикомби излажу истовремено, ми сужавамо разматрање на иредуцибилне групе, и посматрамо политопе као да су пројектовани радијално на њихову описану сферу; тј. ми посматрамо m димензионални сферни или Еуклидов ханикомб. У даљем случају, симбол се састоји од повезаног графа који има m чворова, од којих је један с прстеном. Типична ивица (ханикомба) спаја изабрано теме са његовом сликом насталом рефлексијом у односу на наспрамни зид фундаменталне области. Зато је свака ивица под правим углом располовљена једном хиперравни рефлексије,тј. стварним или виртуелним огледалом уопштеног калеидоскопа. Ово важи, посебно, за све ивице било које ћелије, m ; али у њиховом случају све хиперравни пролазе кроз центар, Р, те ћелије. Зато имамо најмање m линеарно независних хиперравни рефлексија кроз Р (на пр. оне које полове ивице од m које се секу у једном темену). Стога Р може бити узето тако да буде теме фундаменталне области, а симбол за ћелију је изведен од симбола за читав ханикомб (или политоп) уклањањем чвора који представља ово теме (и свакако уклањајући сваку грану која се јавља у том чвору). Обрнуто, укљањањем непрстенастог чвора из симбола за читав политоп или ханикомб остаје симбол за елемент k, који је ћелија ( k m ) ако граф остаје повезан. Једини случај (за m ) у којем сваки непрстенасти чвор даје ћелију, је кад је полазни граф m гон (тако да је фундаментална 9

7 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ. 7 област Р m Табеле IV); у сваком другом случају граф је дрво, и постоји ћелија за сваки слободан крај; тј. за сваки непрстенасти чвор који припада само једној грани. Слично, уклањањем слободног краја од симбола за m остаје симбол за m, и тако даље. Коначно, прстенасти чвор сам по себи представља ивицу,, а његовим уклањањем остаје празан граф (тј. без икаквих ознака), који представља теме 0. Према томе, сваки тип елемента k је изведен уклањањем одређеног броја чворова из симбола за читав политоп или ханикомб. Уколико је елемент сам по себи повезан, онда сваки непрстенасти комад графа може бити занемарен. Али кад дођемо до рачунања броја елемената таквог типа, непрстенасти комад постаје важан, и он мора бити потпуно обновљен (из разлога који ће се ускоро појавити). Према овом правилу, максималан број чворова који могу бити уклоњени истовремено једнак је броју слободних крајева, осим у случају Р m, где је тај број два (иако не постоје слободни крајеви); на пр. ивица октаедра није само већ. Чворови прстенастог комада представљају хиперравни симетрије од, док чворови свих непрстенастих комада представљају хиперравни које садрже. Зато граф за, без обзира на прстен, представља фундаменталну област k за подгрупу која оставља k инваријантним. Различити еквивеленти k - овима одговарају косетима ове подгрупе. Стога је број таквих -ова јед- 8 нак индексу подгрупе; на пр. број ивица октаедра је. (Сложенији пример биће обрађен у. 8.) У случају Еуклидовог ханикомба бројеви елемената су бесконачни, али их ми можемо разматрати као пропорционалне одређеним коначним бројевима (видети 9. 8), у ствари, обрнуто пропорционални редовима одговарајућих подгрупа. Посебно, симбол за теме изведен је уклањањем прстенастог чвора.добијени непрстенасти граф може бити само празан граф уколико је врста елемента у питању;али одговарајућа група је подгрупа која оставља теме инваријантним (јер је она изведена рефлексијама у односу на хиперравни кроз теме). Број темена је једнак индексу ове подгрупе. Кад прстенасти чвор припада само једној грани, ми можемо отићи корак даље, и добити симбол за темену фигуру ( 7. ). Назовимо прстенасти чвор први чвор, и претпоставимо да само једна грана води од њега према другом. Ова два чвора представљају Р 0 и Р фундаменталне области, наиме теме ханикомба (или политопа) и средиште ивице.темена темене фигуре су средишта свих ивица које се састају у темену Р 0, тј. слике од Р подгрупом која оставља Р 0 инваријантним. Отуд ми добијамо темену фигуру уклањањем првог чвора (заједно са његовом граном) и премештањем прстена на други чвор.. 7. ПРАВИЛНЕ ФИГУРЕ И ЊИХОВА ЗАРУБЉИВАЊА. Сад можемо доказати да је политоп или ханикомб. 7 p q v k k k 0

. 7 ОПШТИ ПРАВИЛАН ПОЛИТОП 77 правилан, у ствари исто као p, q,, v,. Најједноставнији случајеви су већ разматрани у. и., где смо видели да је дуж, да је правилан полигон p, и да је p q правилан полиедар или правилна теселација p, q. Општи резултат следи индукцијом, пошто су ћелије и темене фигуре од. 7 (само једна врста ћелија, јер постоји само један слободан крај) редом p q v и q v. Свака врста елемента може бити добијена уклањањем једног чвора, у ствари k димензионални елемент је добијен уклањањем k тог чвора. Ми тако опет видимо, још јасније него на стр. (овог превода), да је ортошем p q карактеристични симплекс правилног политопа p, q,, v,, чија је симетријска група p, q,, v, изведена рефлексијама у односу на граничне хиперравни овог ортошема.* Претходно правило за пребројавање елемената (стр. 7) очигледно се слаже са 7.. Посебно, g p, q,, g p, q, r,, g p, q, r, s,, N 0, N, N. g g g Из 7. 7 видимо да је q,, p, q,, v r,, детерминанта а-форме x cxy y c yz z. Тако 0. обезбеђује упоредан доказ за 7. 77. Политоп p s r s t u r p s,, или t u чија су темена центри од p,, rова од p,,, је управо зарубљивање 8.. Његове ћелије су од два типа, одређене уклањањем два слободна краја у реду, осим у екстремном случају од p који је правилан политоп,, p Видели смо да коначне групе n, p, n, или,, реципрочан политопу p,,,,,,,,, p. *У случају од {,,,,}, изведена релација. има p j= или или према томе да ли је =j или је =j- или је <j-. Ово су познате релације за симетријске групе (Мор ). Њих је уопштио Тод (, стр. ) и Коксетер (, стр. 99).

78 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ. 7 имају фундаменталне области А n, С n, D p, F, G, G (дефинисане у Табели IV, на крају књиге). Према договорном проширењу ових ознака ми ћемо употребљавати симболе,, k,,,,,,,,, за групе чије су фундаменталне области B k+, E, E 7, E 8. На Сл.. А разложили смо једнакокраки сферни троугао на два подударна дела, симболично. 7 А =С, и изводимо да је, подгрупа индекса у,. Аналогно, сферни тетраедар В је симетричан рефлексијом у односу на располовницу једног његовог диедарског угла, и тиме је разложен на два С -ова. Уопштеније. 7 В n =C n, и стога је n,, подгрупа индекса у n,. Тако је ред од n,,. 7 n n!. (Како је В исто као А, то је онда. 7 посебан случај од. 7.) Постоји слична релација између парова бесконачних група, пошто је P =V, Q n =S n, и S n =R n. (Видели смо на Сл.. 7 А да је Р =Ѕ. Симбол Q није био дефинисан, па смо слободни да га поистоветимо са Р. Облик графа чини ово сасвим разумљивим.) Следи да су политоп и ханикомби исти као док су темена трећег од њих наизменична темена другог. У ствари, ово су n, n, h n. (Видети 8. ) Слично, политоп је h, јер су његова темена наизменична темена од n или.

. 8 НАИЗМЕНИЧНОСТ 79 q Симбол q, r,, је природна скраћеница за q q r или q q Зато је темена фигура од овог "делимичног зарубљивања". Ово се r,, обележавање проширује на очигледан начин. Међутим, како је најважнији случај кад су све гране неозначене, ми ћемо учинити додатно скраћење q r k j k, j које подразумева 0 j j, k0 k, k k, k h k. Уклањањем два чвора из графа, налазимо да је број 0 ова у 0 j једнак a jb j коефицијенту члана X Y у развоју X Y ; на пр. број ивица 000 j је коефицијент од X Y. Док је број темена кефицијент X Y j. (Видети 7..) Према правилу на крају., темена фигура од k j је. Да би-смо укључили случај k 0, можемо да пишемо k j j. j. 8.ГОСЕТОВЕ ФИГУРЕ У ШЕСТ, СЕДАМ, И ОСАМ ДИМЕНЗИЈА. Нај-,,,,,, једноставнији политопи настали од коначних група,, су,, ; а најједноставнији ханикомби настали од бесконачних група,,,,,,,, су,,. Ови политопи и ханикомби (у шест, седам,и осам димензија)* нису сродни ниједној правилној фигури (од истог броја димензија);али ћемо их ми разматрати кратко као средство за рачуна-,,,,,, ње реда, рецимо, x, y, z, група,,. Шестодимензионални политоп има ћелије од две врсте, обе правилне: 0,. Број елемената било које врсте може бити изражен у зависности од непознатог реда x уклањањем једног или два чвора из графа ab кас што је у следећој табели:

* Политопи 0,,,,, и ханикомб су "четворооктаедарске, -октаераске, -октаедарске, 7-октаедарске, 8-октаедарске, и 9-октаедарске полуправилне фигуре" по Госету, стране, 7-8. 80 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ. 8 Елемент Број Елемент Број 0 x......! x!...... x...! x!...... x x!...... x... x! Зато је x x x x N 0, N, N, N, 90 0 7 8 x x x x N, и N. 0 0 70 90 "Ојлерова формула" N 0N N N N N 0 (која је 9. за n ) је задовољена идентички, па нам не може помоћи да израчунамо x. Не обесхрабрујући се овим почетним неуспехом, правимо сличну табелу за ханикомб, и добијамо пропорционалне бројеве елемената * : : : : : :, x!!!! x или после множења са.!,! 8! v0, v, v 80, v 80, v, v 9, v. x x Ојлерова формула, прилагођена за ханикомбе у 9. 8, тврди да је v 0 v v v v v v 0, одакле је. 8 x 7!. Зато има 7 темена, ивица, 70 троуглова, 080 тетраедара, + ова, 7 ова, и 7 ова. (Видети Коксетер, стр. 7.) Слично, седмодимензионални политоп има y y N 0, N, y y N, N, N y, 7!!!!

* овде долази из чињенице да може бити изведено уклањањем једног или другог од два посебна чвора.. 9 ГОСЕТОВИ ПОЛИТОПИ 8 y y y y N, N.!! 7!! (Ћелије су 0 и.) Једначина N 0N N N N N N даје. 8 y 89!. Отуд има темена, 7 ивица,, 0+0 ова, 7 ова, ова. (Видети Коксетер, стр. 7.) Опет, осмодимензионални политоп има 0 z z z z z N, N, N, N, N, 89! 7!!!! z z z z z N, N, N 7! 7! 7! 8! 7! (са ћелијама 0 7 и 7 ). Ојлерова формула је задовољена, без обзира на вредности од z. Али ханикомб има пропорционалне бројеве : : : : : : : :, 7 z 89! 7!!!!! 7! 8! 8! 9! 8! или, после множења са са 9. 0!, 90! v0, v 0, v 0, v 0, v 88, v 800, z v 90, v 7 80 780, v 8 90. Из једначине v 0 v v v v v v v7 v8 0 изводимо. 8 z 90!. Зато има 0 темена, 70 ивица,, 90+80 ова, 780 7 ова, 0 7 ова. (Видети Госет, стр. 8.) Овим се завршава наше пребројавање реда коначних група изведених рефлексијама, као што је дато у Табели IV (на крају књиге).. 9. ВЕЈЛОВА ФОРМУЛА ЗА РЕД НАЈВЕЋЕ КОНАЧНЕ ПОДГРУПЕ БЕСКОНАЧНЕ ДИСКРЕТНЕ ГРУПЕ ИЗВЕДЕНЕ РЕФЛЕКСИЈАМА. Претходна метода за израчунавање реда од k је прилично компликована, и,, укључује формулу 9. 8, коју је саму по себи тешко установити. Према томе, она се чини вредна труда да опише сасвим другачију методу употребљену од стране Вејла у његовим предавањима о Непрекидним групама. Вејлова формула даје ред "специјалне" подгрупе (видети стр.70 овог превода) било које иредуцибилне бесконачне дискретне групе изведене рефлексијама, али се она најлакше примењује на тригоналне групе, које не садрже ротацију периода већег од. У овом случају сви диедарски углови фундаменталне области су или или, а граф нема означених грана. Наћи ћемо да је ред специјалне подгрупе тригоналне групе у n димензија

8 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ. 9. n 9 fz z z n!, где је f број специјалних темена фундаменталне области за бесконачну групу, а z ови су дефинисани као на крају од.. Одговарајући специјалним теменима, граф има f специјалних чворова, а видећемо да су ово управо чворови за које је z. Остали од z ова су тада задати са. (тако да су z ови дуж ланца у аритметичкој прогресији). Зато је израчунавање врло једноставно. Нека је Ѕ специјална подгрупа иредуцибилне бесконачне групе G, као у. (само сада инсистирамо на иредуцибилности, тако да је фундаментална област за G симплекс, а одговарајући граф је повезан). Тада је Ѕ сачињена од оних операнада G, који чувају специјално теме О фундаменталне области, а ова подгрупа Ѕ је изоморфна количник групи G/Т, где је Т сачињено од свих транслација у G. (Видети Буркхарт, стр.0.) Фундаментална област за G, с озиром да је симплекс, ограничена је са n хиперравни, од којих n пролази кроз О. Рефлексије у односу на ових n хиперравни изводи Ѕ, док једна преостала служи да рефлектује О у другу "специјалну" тачку О'. Тако је ОО' ивица ханикомба* чији је симбол изведен од графа са прстенастим О-чвором, и ова ивица је нормално располовљена са једном од хиперравни рефлексије од G. Рефлексија у односу на паралелну хиперраван кроз О мора исто тако да припада G (у ствари, Ѕ). Производ ових двеју рефлексија је транслација од О' према О.Како се свако теме може досегнути стазом дуж низа ивица, подгрупа Т је изведена транслацијама дуж ивица. Тако темена, која су слике од О помоћу G, су исто тако слике од О помоћу Т; ово показује да ове слике чине решетку. Типска ћелија реципрочног ханикомба је политоп који има О за центар уписане сфере. Његове граничне хиперравни нормално полове дужи које спајају О са најближим тачкама друге решетке (које су слике од О' помоћу Ѕ). Њена једноставна потподела састоји се од понављања фундаменталне области за G, у броју једнаком реду од Ѕ. Политоп, с обзиром да је фундаментална област за Т, има исту n димензионалну меру као "периодични паралелотоп". Ред од Ѕ је однос ове мере према оној од фундаменталне области за G (што је сагласно чињеници да је овај ред једнак индексу од Т у G). Видели смо да се хиперравни рефлексије од G јављају у различитим фамилијама паралелних хиперравни.претпоставимо да фундаментална област има f специјалних темена. Ако је f, тачке претходне решетке су једине тачке које леже у представнику хиперравни сваке фамилије. Али уопште укупност таквих специјалних тачака састоји се од f наслаганих решетки, које заједно чине једну решетку финије мреже. * Кад је фундаментална област Р n+, тако да је граф (n+)-гон, ми одмах уочавамо да су ћелије ханикомба једноставна зарубљивања од n било које врсте, тј. 0 j j n ; 0,,, n. Шуте (8) проналази овај посебан ханикомб 908 год., са сасвим различите тачке гледања. Његова темена имају n+ целобројних Декартових координата са константном сумом (рецимо нула). Остале фундаменталне обласи и одговарајући ханикомби су следећи Q m, R m, S m, T 7, T 8, T 9, U, V, W ;

h m, m, h m,,,,,,,,,,. 9 ВАЈЛОВЕ РЕШЕТКЕ 8. (-.) (0,) (,) (-,) (0,) (,) e e 0 (½,0) (,0) (,0) e e (0,-) (,-) (,-) Сл.. 9 А Ово је још увек решетка.јер, равни рефлексије кроз било које две специјалне тачке су међусобно паралелне; тако да мора постојати транслација која преводи једну специјалну тачку у другу, чак и ако се ова транслација не појављује у Т. (У ствари, транслација трансформише G аутоморфизмом који није нужно унутрашњи аутоморфизам.) Ситуација је илустрована на Сл.. 9 А,где је G,, тако да је Ѕ, реда 8. Овде је фундаментална област једнакокрако правоугли троугао, а f. Два специјална темена су трансформисана у "беле" и "црне" тачке, редом. Оне чине две решетке, које су су темена два реципрочна, ова. "Политоп који има О за центар уписане сфере" је страна црног,, а у исто време служи као период паралелограм за Т. Његова површина је 8 пута већа од једнакокрако правоуглог троугла. "Решетка финије мреже" састоји се од белих и црних тачака заједно, чинећи мањи,. Како су f решетки (слике од О помоћу Т или G) сложене једна на једна на другу чинећи решетку од свих специјалних тачака, то је онда период паралелотоп од претходне решетке f пута већи од следећег. Мањи период паралелотоп је ограничен хиперравнима од n изведених рефлексија групе Ѕ и са још n паралелних овима (следеће у редоследу фамилија). Сад бирамо систем афиних координата на такав начин да су ових n хиперравни x 0 и x,,,n. Тада су специјалне тачке управо тачке чије су коваријантне координате цели бројеви (као на Сл.. 9 А ). Контраваријантни вектори e, који одређују ове координате, продужени су по ивицама кроз О фундаменталне области, и имају такве дужине да досегну најближе специјалне тачке дуж ових ивица.* Фундаментална област за G је ограничена са n хиперравни x 0 и са још једном хиперравни, рецимо. 9 y n x x y 0. y n 7

*Одговарајући коваријантни вектори e j су трансформисани помоћу Ѕ у векторски дијаграм ван дер Вердена. Њихове су дужине реципрочне растојањима узастопних хиперравни у различитим фамилијама. Решетка изведена помоћу ових вектора e j је реципрочна решетки од специјалних тачака, у смислу 0.. 8 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ. 9 Ивице кроз О представљају векторе n e e,,, n y y који воде теменима,0, 0, 0,, y 0,0,,. Мера симплекса је n y n! пута већа од мере политопа заснованог над овим векторима. Опет, ова (мера симплекса) је једнака пута мера паралелотопа заснованог над n y y векторима e,,e n, која је f пута већа од мере фундаменталне области за Т. Зато је ред од Ѕ. n 9 fy y n!, где је y број колико пута та ивица из О (фундаменталне области за G) мора бити пренесена док не дођемо до неке друге специјалне тачке. Посебно је, y ако ивица спаја О са другом по реду специјалним теменом, али иначе је y. Хиперраван кроз О паралелна са. 9 је y x 0. Зато је фамилија хиперравни којој ова припада задата са y x j, где је j произвољан цели број. Како свака специјална тачка лежи у једној таквој хиперравни, y x мора бити цели број за све целобројне вредности x ова. Зато су и y ови цели бројеви. Могу ли се ових n позитивних целих бројева одредити без детаљног испитивања хиперравни рефлексија? Постоји ли неко алгебарско правило за њихово директно извођење из графа? Такво правило није пронађено у општем случају, већ само кад је G тригонална група (тако да граф нема означене гране).у овом случају користимо јединичне векторе e,, en, нормалне на граничне хиперравни фундаменталне области О. О n+, поставље-.. них системом нормалних координата, као у 0. 7. Можемо претпоставити, без губитка општости, да је О n+ специјално теме. Можемо, такође, узети висину из овог темена као нашу јединицу дужине, тако да је. 9 z n. Тада је гранична хиперраван x n 0 или. 9 z x z n xn једна од хиперравни рефлексија од G, а паралелна хиперраван кроз О n+ је x n или z x z n xn 0. Према., све рефлексије у тригоналној групи су коњуговане (спрегнуте), тако су све фамилије паралелних хипер- 8

равни размакнуте на јединичним растојањима, а специјалне тачке су управо тачке за које су x,, xn цели бројеви. Упоређујући 0. 7 са., видимо да су z ови (који су реципрочни. x ИЗРАЧУНАВАЊЕ РЕДА 8.. висинама симплекса О. О n+ ) одређени према. уз услов нормираности. 9. У ствари 0. 7 повлачи. A 9 z, A где је m n. Упоређујући. 9 са. 9, уочавамо да је* y z. Зато. 9 може бити замењено са. 9. Ми сад схватамо зашто се дешава да су z ови (за тригоналне групе) увек цели бројеви. (Видети табелу на крају књиге) Шта више, специјални чворови су они за које је z. Уклањајући један од ових у сваком посебном случају, ми потврђујемо да су коначне групе n, n,,,,,,,,,,,, чије су фундаменталне области А n, B n, E, E 7, E 8, специјалне подгрупе бесконачних група чије су фундаменталне области Р n+, Q n+, Т 7, Т 8, Т 9. Користећи. 9, израчунавамо редове на следећи начин. n : n n n! = n! (видети 7. ). n,, : n n! = n n! (видети. 7). :! = 7! (видети. 8). +,,,, : 7! = 8 9! (видети. 8).,, : 8! = 9 0! (видети. 8). Тако да израчунавање редова тригоналних група више не представља никакву тешкоћу. У другу руку, летимичан поглед на Табелу IV показује да су све коначне нетригоналне групе симетријске групе правилних политопа. Ово је већ посебно проучавано у Поглављу VIII. Четвородимензионалне групе p, q, r, које су најзанимљивије, биће покривене новом општом формулом у. 8.. x. ИСТОРИЈСКИ ОСВРТ. Коначне групе изведене рефлексијама у четвородимензионалном Еуклидовом простору (или тродимензионалном сферном простору) први је пребројао Гурса ++ 889 год. чије је познавање правилних политопа било изведено из Стрингхам. Аналогне групе у n димензија разматрао је 98 год. Картан (), који показује да фундаментална област мора бити симплекс. Потпуност његовог пребројавања потврђено је на директан геометријски начин три године касније (Коксетер ), употребљавајући графичку симболику из.. Представљена верзија много дугује Виту, иако се наш поступак разликује од његовог што не тражи израчу- det. навање a k mm 9

* У општем случају је y z e, али бројеве e није лакше одредити него саме + Вит (, стр. 09) погрешно даје ред као.!. ++ Гурса, стр. 89-9. Он представља фундаменталне области В, С, F, G, A,, за групе [,, ], [,,], [,,], [,,], [,,], на његовим Сл.,,, 7, 8. 8 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ. x У циљу да избегнемо велику разноврсност свих политопа који имају исту симетријску групу, ми смо употребили Вајтхофову конструкцију (. ) само у једноставнијем случају где је типско теме политопа теме фундаменталне области. Ово је означено цртањем прстена око једног чвора графа. Општи случај (Коксетер 7), где типско теме политопа може имати друге положаје у фундаменталној области, означен је прстеновањем било ког броја чворова. Кад је фундаментална област ортошем (тако да је граф y јединствен ланац), овај поступак допушта све полуправилне политопе Г-ђе Стот. У ствари, њено "ширење" ek одговара убацивању прстена, а њено "скупљање" c уклањању прстена. Разлог за ово је разумно објаснио Г. де Б. Робинсон (, стр. 7). Сам Вајтхоф је био дуго заокупљен групом [,,], али је и додао примедбу да "слично испитивање може бити примењено на исти начин посматрајући друге фамилије политопа у четвородимензионалним и другим просторима". (Вајтхоф, стр. 970.) Госетове политопе k (. 8) поново открива Елт* 9 год., упоредо са осталим политопима k j (осим који не задовољава Елтову ранију вешта-чку дефиницију "полуправилног"). Њихове симетријске групе истраживао је отприлике у исто време Барнсајд, као групе рационалних линеарних трансформација од n променљивих ( n k ). Његове табеле (Барнсајд, стр. 0, 0, 07) могу бити интерпретиране као набрајање 7 ова од, 7 ова од, и 780 7 ова од ; али он сам им није дао ову интерпретацију. Ако је неко завршио читање Госетовог есеја (видети стр. ), могао је да види везу. Шта више, он и Бејкер су описали две дуалне конфигурације + 7 0 7 80 70 0 и 80 7 0 7 у пројективном четвородимензионалном простору, које показују изванредну сличност са и. 9 год. Рум (, срт. ) је разматрао две петодимензионалне конфигурације, које су још пажљивије повезане са овим политопима (иако он није био свестан тога). Ј. А. Тод је користио Румове конфигурације у свом доказу да је [,, ] изоморфна са групом очувано учесталих пермутација од 7 правих на општој кубној површи. (За најраније описивање ових правих, видети Шлефли.) Тод ово објашњава чињеницом, коју је запазио Шуте (9) 90 год., да тактичке релације између 7 правих могу бити приказане као релације између 7 темена Госетовог шестодимензионалног политопа. Ди Вал (, стр. 9) уопштава овај резултат, по- m правама на дел Пецовој површи реда m у про- везујући темена од 0 70 ове. 0

јективном m простору. Он показује да и 8 парова наспрамних темена од одговарају 8 битангентама опште равне четвороструке криве (видети Коксетер ), док 0 парова наспрамних темена од (или 0 рефлексија * Елт. Последњих осам редова његове табеле (стр. 8) описују политопе које ми зовемо,,,,,,. Њему никад није пало на памет да се они могу приказати као чланови једне фамилије k j. + Барнсајд ; Бејкер, стр. 0-.. x ДЕЛ ПЕЦОВЕ ПОВРШИ, ЛИЈЕВЕ ГРУПЕ 87 од [,, ]) одговарају 0 тритангентним равнима шестоструко уплетене криве у којима кубна површ сече квадратни конус. Темена Госетовог осмодимензионалног ханикомба (ивице ) имају за координате све скупове од осам целих бројева или осам половина од непарних целих бројева, са парном сумом. (Видети Коксетер, стр., где је назван (РА) 9.) Ова решетка нема само исти облик као њој реципрочна (слично "самореципрочним" решеткама од, и,,, поменутим у 0. ) већ се стварно подудара са њој реципрочном (слично кубној решетки ивице ). Исте тачке, у другачијем координатном систему, представљају целе Келијеве бројеве (Коксетер ) као што темена од, и,,, представљају Гаусове целе бројеве и целобројне кватернионе. Вејл () представља операнде полупросте непрекидне групе (или Лијеве групе) тачкама одређене многострукости. Картан (, стр. -0) је извео да за сваку полупросту Лијеву групу постоји одговарајућа бесконачна група изведена рефлексијама, која има коначну фундаменталну област. Наше директно пребројавање таквих група показује да он користи све њих. У ствари, постоји један-један кореспонденција између фамилија локално изоморфних простих (или полупростих) Лијевих група са комплексним параметрима и рефлексијских група чије су фундаменталне области симплекси (или правоугли производи симплекса) у Еуклидовом простору. (Видети Штифел.) Посебно, "класичне" групе (Вејл ) одговарају следећим симплексима:. унимодуларна линеарна група од m променљивих. Р m ; ортогонална група од n променљивих.. Q n+; проста група од n променљивих.. R n+ ; ортогонална група од n променљивих S n+. Онај исти папир (Картан ) представља темеље за наш. 9. Картанове P је фундаментална групе G, G', T (стр. 88) су наше G, S, T. Његово об-ласт за G. Његово R је решетка од специјалних тачака, док је R решетка слика од О. Треба нагласити да су његове координате за ("тип Е ", стр. 0) косе, иако су оне за и правоугле. Његово h ("повезаност" групе многострукости) је наше f deta k. Његови m, (Картан, стр.), m l n су y,, y од нашег. 9. Ови y ови имају различите друге примене. Вејлова задивљујућа формула. 9 користи њихов производ. Ево још једне, која укључује њихову суму: укупан број фамилија паралелних хиперравни у бесконачној групи G (или укупан број рефлексија у специјалној подгрупи Ѕ) је

n y y y n ; На пример, број фамилија у [,, ] или рефлексија у [,, ], је 8 0. Ову је формулу генијално доказао Штајнберг (). Она је еквивалент исказу да је број параметара (Glederzahl) од просте непрекидне групе 88 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ. x n y y y n. Већ смо видели да су, у врло важном случају тригоналних група, ови y ови исти као z ови у.. Ди Вал (, стр. ) је показао да дрвета која представљају фундаменталне области за коначне тригоналне групе (тј. неозначени графови на левој страни Табеле IV) такође представљају околине од важне врсте посебних тачака на алгебарској површи. Бројеви z се ја- вљају као коефицијенти делимичних околина у изразу за читаву околину.