ΜΑΘΗMA: ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 004-00 ΠΡΟΟ ΟΣ ιδάσκων: Καθγτής M. Bελγάκς Ηράκλειο, 6--00 O HΓIEΣ: Μπορείτε να χρσιµοποιείτε σαν πρόχειρο οποιαδήποτε σελίδα τς κόλλας τς, αρκεί να αναγράφετε στ κορυφή τς σελίδας τ λέξ ΠΡOXEIPO. Nα απαντθούν όλα θέµατα, τα οποία είναι ισοδύναµα. Καλή επιτυχία! ΘΕΜΑ [ µονάδες]. Τρεις µάζες συνδέονται µε όµοια ελατήρια σταθεράς k όπως φαίνεται στο σχήµα. Η κίνσ λαµβάνει χώρα µόνο κατά µήκος τς περιφέρειας του κύκλου, ακτίνος α. Βρείτε τις ιδιοσυχνόττες, τα ιδιοδιανύσµατα, και τις κανονικές µορφές ταλάντωσς του συστήµατος των συζευγµένων µαζών για µικρές ταλαντώσεις κοντά στ θέσ ισορροπίας τους. ώσατε και µια φυσική εικόνα για κάθε κανονική µορφή ταλάντωσς. ΘΕΜΑ [ µονάδες] Η αλλλεπίδρασ µεταξύ ατόµων µέσα σε µια κατγορία στερεών σωµάτων περιγράφεται από τν ακόλουθ δυναµική ενέργεια, b V ( + ( 6 όπου,b είναι θετικές σταθερές, και είναι απόστασ µεταξύ των ατόµων. Το δυναµικό ( είναι γνωστό σαν δυναµικό Lennd-Jones. (α Υπολογίσετε τν ασκούµεν δύναµ µεταξύ των ατόµων (β Υποθέτοντας ότι το ένα άτοµο είναι πολύ βαρύ και παραµένει ακίντο ενώ το άλλο κινείται κατά µήκος µιας ευθείας γραµµής, περιγράψετε τις πιθανές κινήσεις του δευτέρου ατόµου. (γ Βρείτε τν απόστασ ισορροπίας και τ συχνόττα για µικρές ταλαντώσεις γύρω από τ θέσ ισορροπίας, αν είναι µάζα του ελαφρύτερου ατόµου [απ.: ω(4 7 / b 4 /6 ] Exs
Exs
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: ΘΕMA : Έστω οι τρεις συζευγµένες µάζες του Σχήµατος. Έστω θ,θ,θ οι γωνίες των τριών µαζών (ως προς τον άξονα x. Στ θέσ ισορροπίας τους, έχοµε: θ 0 θ 0 θ 0 θ 0 θ 0 +πθ 0 π/ (εννοείται +od( θ 0,π. Σχήµα Η κιντική ενέργεια του µορίου είναι T ( α θ & + ( αθ& + ( αθ& α ( θ& + θ& + θ &. ( Για τον υπολογισµό τς δυναµικής ενέργειας, κατ αρχήν µεταβολή του µήκους του ελατρίου που συνδέει τις µάζες j και j+ είναι δs α [(θ j+ θ j π/] οπότε αντίστοιχ δυναµική ενέργεια που αποθκεύεται στο ελατήριο που συνδέει τις µάζες j και j+ είναι, V k( δs kα [( θ + θ π / ], συνεπώς δυναµική ενέργεια του συστήµατος j j είναι, ] V kα [( θ θ π / ] + [( θ θ π / ] + [( θ θ π / ( ( Αντί των γωνιών (θ,θ,θ θεωρούµε τις µετατοπίσεις των µαζών (,, από τις θέσεις ισορροπίας τους, θ θ 0 +, θ θ 0 +, ( θ θ 0 +, οπότε οι εξισώσεις ( και ( γράφονται, T α ( & + & + &, (4 Exs
και δυναµική ενέργεια είναι, ( + ( + ( kα V. (6 Λαµβάνουµε τις µεταβλτές (,, σαν γενικευµένες συντεταγµένες και υπολογίζουµε τους πίνακες τς δυναµικής και τς κιντικής ενέργειας, οπότε χαρακτριστική εξίσωσ είναι, 0 0 V kα, και T α 0 0, (7 0 0 k ω V ω T k k ω k 0. (8 k k k k k ω όπου θέσαµε για ευκολία µας α (αν και αυτή υπόθεσ δεν χρειάζεται, διότι απλοποιείται ως κοινός παράγοντας. Συνεπώς εξίσωσ των ιδιοτιµών ω είναι, και θέτοντας (k ω k ω ο k /, εξίσωσ αυτή γράφεται, k (k ω 0 (ω ο ω ω 6 ο ω 4 ο (ω ο ω 0 οποία µετά από αναγωγές γράφεται, ω ( ω ω ο 0. (9 Οι λύσεις τς (9 είναι ω 0, ω ω ο, ω ω ο δλ. υπάρχει µια διπλή ρίζα ω ω ω ο. Λέµε τότε ότι οι µορφές ταλάντωσς που αντιστοιχούν στις συχνόττες αυτές είναι εκφυλισµένες (degenete. Υπολογίζουµε τα πλάτ ταλάντωσς των σωµάτων για καθεµιά συχνόττα ξεχωριστά, αντικαθιστώντας στν εξίσωσ (- τν τιµή τς αντίστοιχς συχνόττος ω k, δλ. + (k - ω k k k k + k k k k (k - ω + k k M k k (k - ω k k k k k k 0 0 0 (0 Exs 4
όπου το διάνυσµα του πλάτους k ( k, k, k αναφέρεται στ συχνόττα ωk. (ι οπότε για ωω 0, (0 γράφεται, απ όπου παίρνοµε k k k k + k k k k + k 0 0 0. ( Προφανώς δεν υπάρχει ταλάντωσ (εφόσον ω0. Η κίνσ αυτή αντιστοιχεί στν οµοιόµορφο περιστροφική κίνσ του συστήµατος, όπου όλα τα σώµατα εκτελούν ακριβώς τν ίδια κίνσ. Η κίνσ αυτή παρίσταται στο ακόλουθο Σχήµα. Σχήµα Εφαρµόζουµε τώρα τ συνθήκ ορθοκανονικόττος, (-4, οποία για kl γράφεται, ij T ij ik δ jl kl T +T + T οποία σε συνδυασµό µε τν ( γράφεται, συνεπώς (ιι για ωω ω ή. k /, (0 δίδει δύο ανεξάρττες εξισώσεις, Exs
+ + + + 0, 0. ( Η συνθήκ ορθοκανονικόττος, (-4, εφαρµοζόµεν για k και l, οδγεί στν εξίσωσ, ή T + T + T 0 + + 0. ( Οµοίως ίδια συνθήκ εφαρµοζόµεν για kl, και για kl οδγεί στις εξισώσεις, + + + +,. (4 Οι πέντε εξισώσεις (-(4 δεν αρκούν για τον υπολογισµό 6 αγνώστων. Η απροσδιοριστία αυτή των ιδιοδιανυσµάτων οφείλεται στ διπλή ιδιοτιµή. Οπότε οδγούµαστε σε κάποια αυθαιρεσία στον υπολογισµό των ιδιοδιανυσµάτων και, υπό τον όρο να ικανοποιούνται οι ισχύουσες συνθήκες ορθοκανονικόττος. Μπορούµε να θέσουµε αυθαίρετα 0, οπότε βρίσκουµε, 0 και. ( 6 Η κίνσ που αντιστοιχεί στο πλάτος παριστάνει δύο σώµατα να ταλαντούνται µε το ίδιο πλάτος αλλά µε διαφορά φάσς 80 ο και µε το τρίτο ακίντο, ενώ παριστάνει δύο σώµατα ταλαντούµενα εν φάσει µε το ίδιο πλάτος και µε το τρίτο σώµα ταλαντούµενο µε διαφορά φάσς 80 ο αλλά µε διπλάσιο πλάτος. Οι κινήσεις αυτές παρίστανται στο ακόλουθο Σχήµα. Σχήµα Θα πρέπει να τονιστεί ότι τα ιδιοδιανύσµατα και που δίδονται από τν ( είναι ένα σετ ιδιοδιανυσµάτων από ένα απειροσύνολο ιδιοδιανυσµάτων που ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήµατος. Υπολογίζουµε στ συνέχεια τον πίνακα των ιδιοδιανυσµάτων A,,. Για να απλουστεύσουµε τις πράξεις θέτουµε, οπότε ο πίνακας Α γράφεται, ( Exs 6
6 6 6 0,, ( A (6 Παρατρούµε ότι ορίζουσα ισούται µε det A. Υπολογίζουµε τον αντίστροφο πίνακα, 6 6 6 0 A ιαπιστώνουµε ότι. Εισάγοµε τώρα τις κανονικές συντεταγµένες (ζ I A A,ζ,ζ, εξίσωσ (-, ζ ζ ζ Α ή 6 6 6 0 ζ ζ ζ A απ όπου έπεται, ( ( ( 6 ζ ζ ζ + + + Αν οι αρχικές συνθήκες είναι: ο, τότε ενεργοποιείται µόνο ζ -µορφή ταλάντωσς (εφόσον ζ 0ζ, αν οι αρχικές συνθήκες είναι: 0 και 0, τότε ενεργοποιείται ζ -µορφή ταλάντωσς (εφόσον ζ 0ζ, και τέλος αν οι αρχικές συνθήκες είναι: 0, τότε ενεργοποιείται ζ -µορφή ταλάντωσς (εφόσον ζ 0ζ. ΘΕMA : (α Η ασκούµεν δύναµ µεταξύ των δύο ατόµων είναι 7 b 6 d dv ( F + όπου είναι µεταξύ των ατόµων απόστασ. Exs 7
(β Θεωρούµε ότι το ένα άτοµο είναι πολύ βαρύ και παραµένει ακίντο, το οποίο λαµβάνουµε σαν αρχή των αξόνων 0. Η γραφική παράστασ τς δυναµικής ενέργειας απεικονίζεται στο ακόλουθο Σχήµα 4. Η δυναµική ενέργεια µδενίζεται στις ρίζες τς εξίσωσς: V(0, δλ. στο σµείο o (b/ /6. Επίσς, δυναµική ενέργεια έχει ακρότατο στ ρίζα τς εξίσωσς: V (0, δλ. στο σµείο R o (b/ /6. Μάλιστα δεύτερ παράγωγος τς δυναµικής ενέργειας στο σµείο R o ισούται 7 4 / µε V (R 9(4 / b 0, ενώ τιµή τς δυναµικής ενέργειας είναι V(R / 4b. Ακόµ o > παρατρούµε ότι για, δυναµική ενέργεια V( 0. o Σχήµα 4 Οπότε προκύπτουν οι εξής δύο ενεργειακές περιοχές: (ι για ΕΕ 0, το άτοµο πλσιάζει το βαρύτερο άτοµο µέχρι µιας ελαχίστς απόστασ o και στ συνέχεια ανακλάται προς το άπειρο, (ιι για EE, όπου /4b<Ε <0, το ελαφρύτερο άτοµο ταλαντούται µεταξύ των ορίων και. Θα βρούµε τν εξίσωσ κίνσής του κοντά στο πυθµένα του φρεατίου R o, απ όπου θα προκύψει συχνόττα ταλάντωσς. Αναπτύσσουµε τν V( κοντά στο πυθµένα του φρεατίου R o, ή V(R o + V(R o + V ( R o + V( + 4b 7 9 4 / 4 V ( R o + ( +. b Οπότε δύναµ που ασκείται στο ελαφρύτερο άτοµο είναι εποµένως εξίσωσ κίνσς του ατόµου είναι dv 4 F( 9( d b 4 7 / Exs 8
ή d dt 7 4 / 9( 4 7 b 9 4 / & & + ( 0. 4 b Η εξίσωσ αυτή παριστάνει µια αρµονική ταλάντωσ µε συχνόττα 7 / 6 4 4 ω (. b Exs 9
ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 004-00 ιδάσκων: Καθγτής M. Bελγάκς Ηράκλειο, 7-6-00 O HΓIEΣ: Μπορείτε να χρσιµοποιείτε σαν πρόχειρο οποιαδήποτε σελίδα τς κόλλας τς, αρκεί να αναγράφετε στ κορυφή τς σελίδας τ λέξ ΠΡOXEIPO. Nα απαντθούν όλα θέµατα, τα οποία είναι ισοδύναµα. Καλή επιτυχία! ΘΕΜΑ [0 µονάδες]. Σωµατίδιο µάζας κινείται σύµφωνα µε τις εξισώσεις x x o +t, y bt, z ct. Βρείτε τ γωνιακή στροφορµή l για κάθε χρονική στιγµή t. Βρείτε τ δύναµ F και από αυτήν τν ροπή τ που δρα πάνω στο σωµατίδιο. Επαλθεύσατε ότι το θεώρµα διατήρσς τς στροφορµής (δλ. dl /dt τ ικανοποιείται. ΘΕΜΑ [0 µονάδες] Σώµα µάζας κινούµενο στον -διάστατο χώρο υφίσταται δύναµ που περιγράφεται από τ δυναµική ενέργεια, V V x 4y z o e + + όπου V o µια θετική σταθερά και οι συντεταγµένες (x,y,z είναι αδιάστατοι αριθµοί. είξετε ότι V έχει ένα ακρότατο σµείο ελαχίστς τιµής και βρείτε τις κανονικές συχνόττες ταλάντωσς γύρω από το σµείο αυτό. ΘΕΜΑ [0 µονάδες] Στο παρακάτω σχήµα απεικονίζεται µια χάνδρα (κοµπολογιού µάζας που ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω σε ένα περιστρεφόµενο κυκλικό πλαίσιο, ακτίνος. Το κυκλικό πλαίσιο βρίσκεται πάνω σε κατακόρυφο επίπεδο και περιστρέφεται γύρω από µια κατακόρυφ διάµετρο µε γωνιακή ταχύττα ω. Βρείτε τν συνάρτσ Hilton χρσιµοποιώντας ως συντεταγµένες τις θ και φ, και γράψετε τις κανονικές εξισώσεις Hilton., Exs 0
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: ΘΕMA : Από τις δεδοµένες παραµετρικές εξισώσεις κίνσς του σωµατιδίου, x x o +t, y bt, z ct υπολογίζοµαι το διάνυσµα θέσς, τν ταχύττα υ, και τν επιτάχυνσ του σωµατιδίου, ~ ~ ~ (x o + t i + bt j + ct k d ~ ~ ~ υ t i + bt j + c k dt dυ ~ ~ i + 6bt j + 0, dt όπου ~ ~ i, ~ j, k είναι τα µοναδιαία διανύσµατα κατά µήκος των αξόνων x,y,z, αντίστοιχα. Η στροφορµή του σωµατιδίου l είναι, l υ ~ ~ ~ ~ ~ [(x ~ o + t i + bt j + ct k] [t i + bt j + c k] ~ ~ [cbt bct ] i + [ct c(x o + t ] j + [bt (x ~ ~ 4 ~ cbt i + ( cx + ct j + (bx t + bt k. o o o + t bt 4 ~ ] k Η δύναµ F ισούται, οπότε ροπή τ θα είναι, ~ ~ F ( i + 6bt j, ~ ~ ~ i j k ~ ~ τ F x + t bt ct (6bct i + (ct j + (6bx t + 4bt k ~. o 6bt 0 o Υπολογίζουµε τ παράγωγο l ~ ~ 6cbt i + ctj + (6bx dt d ot + 4bt dl άρα ικανοποιείται το θεώρµα διατήρσς τς στροφορµής ( τ. dt ~ k Exs
ΘΕMA : Από τ δυναµική ενέργεια υπολογίζουµε τ δύναµ V ~ V ~ V ~ ~ ~ ~ F V ( i + j + k 0xV i 8yV j 6zV k ( x y z ~ ~ ~ όπου i, j, k είναι τα µοναδιαία διανύσµατα κατά µήκος των αξόνων x,y,z, αντίστοιχα. Η δύναµ µδενίζεται ( F V 0 στο σµείο όπου µδενίζονται και οι τρεις συνιστώσες τς, δλ. µε προφανή λύσ, 0x 0, 8y 0, 6z 0, (x y z 0. Εποµένως, το σµείο (0,0,0 αποτελεί σµείο ισορροπίας ή ακρότατο τς V(x,y,z. Παρατρούµε ότι Hessin τς δυναµικής ενέργειας στο ακρότατο σµείο (0,0,0 είναι θετική, V H V(0,0,0(,, > 0 i,j i j. ( x i x j (0,0,0 όπου για προφανείς λόγους χρσιµοποιούµαι εναλλακτικά τους συµβολισµούς (,, (x,y,z (x,x,x. Μπορούµε λοιπόν να αναπτύξουµε τ δυναµική ενέργεια γύρω από το σµείο (0,0,0 ως ακολούθως, όπου V(0,0,0V o και + V V (x, y, z V(0,0,0 i,j i j ( x i x j (0,0,0 V xx (0+00x V V V xx (0,0,0 0V o, V yy (8+64y V V V yy (0,0,0 8V o, V zz (6+6z V V V zz (0,0,0 6V o, V xy 80xyV V V xy (0,0,0 0, (4 V xz 60xzV V V xz (0,0,0 0, V yz 48yzV V V yz (0,0,0 0. Με αυτά τα στοιχεία µήτρας, ( γράφεται (θέτουµε V o, το οποίο καταλαβαίνουµε ότι θα έχει συνέπεια στις µονάδες Η κιντική ενέργεια είναι V(x,y,z + x + 4y + z. ( T (x& + y& + z & (6 Exs
(θα πρέπει να παρατρήσουµε εδώ ότι µάζα δεν µπορεί να µετρείται σε Kg, εφόσον οι συντεταγµένες x,y,z είναι αδιάστατοι αριθµοί. Από τν ( υπολογίζουµε τα στοιχεία µήτρας, Τ Τ Τ, και Τ Τ Τ 0. Η χαρακτριστική εξίσωσ για τις ιδιοτιµές τς συχνόττος γράφεται, 0 ω V ω T 0 8 ω 0 0, 0 0 0 0 6 ω απ όπου προκύπτουν οι ιδιοσυχνόττες ταλάντωσς, ω 0, ω 8, ω 6. (δεν πρέπει να µας µπερδέψουν οι µονάδες των µεγεθών. ΘΕMA : Η δυναµική ενέργεια τς χάνδρας (µε στάθµ αναφοράς το οριζόντιο επίπεδο z0 που περνά από το κέντρο του κυκλικού πλαισίου είναι, ενώ κιντική ενέργεια είναι, V g cosθ, T &, ( φ & + (θ όπου sin θ. Ο πρώτος όρος τς κιντικής ενέργειας προέρχεται από τν περιστροφή του πλαισίου γύρω από τν κατακόρυφ διάµετρο και ο ος από τν ολίσθσ τς χάνδρας πάνω στο πλαίσιο. Συνεπώς Lgngin είναι: L T V ( φ& sin θ + (θ& g cosθ ( απ όπου υπολογίζουµε τις συζυγείς ορµές, L θ& L p θ, pφ ( sin θ φ&, θ& φ& Exs
και έπονται οι γενικευµένες ταχύττες θ& p /, φ& p / ( sin θ. Εποµένως χαµιλτονιανή γράφεται, απαλείφοντας τις ταχύττες ( θ &, φ&, Οι εξισώσεις Hilton έπονται από τν (, θ p p θ φ H pi x& i L + + g cosθ. ( i ( sin θ φ H pθ θ &, (α p θ H pφ φ&, (β p ( sin θ φ H pφ cosθ p& θ g sin θ, (γ θ sin θ H p & φ 0. (δ φ Εφόσον συντεταγµέν φ είναι κυκλική, από τν (δ προκύπτει ότι p φ είναι σταθερή (που οφείλεται στν απουσία οριζόντιων δυνάµεων. Κατ επέκτασ και γωνιακή ταχύττα ω φ& είναι σταθερή. Εισάγοντας ακόµ τις ταχύττες από τις (α και (β στ (γ, παίρνουµε, & θ g ω sin θ sin θ (4 οποία είναι γνωστή µας εξίσωσ του µαθµατικού εκκρεµούς συν ένα φυγοκεντρικό όρο, που οφείλεται στ περιστροφική κίνσ του πλαισίου. Η επίλυσ των εξισώσεων κίνσς Hilton δεν ζτείται. Exs 4
ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 00 ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 004-00 ιδάσκων: Καθγτής M. Bελγάκς Ηράκλειο, 7-9-00 O HΓIEΣ: Μπορείτε να χρσιµοποιείτε σαν πρόχειρο οποιαδήποτε σελίδα τς κόλλας, αρκεί να αναγράφετε στ κορυφή τς σελίδας τ λέξ ΠΡOXEIPO. Nα απαντθούν όλα τα θέµατα, τα οποία είναι ισοδύναµα. Καλή επιτυχία! ΘΕΜΑ [0 µονάδες]. ύο ίσες µάζες κινούνται χωρίς τριβή κατά µήκος µιας οριζόντιας ευθείας γραµµής, συνδεδεµένες µε ίδια ελατήρια, όπως φαίνεται στο σχήµα. Το άκρο του ενός ελατρίου προσδένεται στο σταθερό σµείο Α. (α Γράψετε τις εξισώσεις κίνσς του συστήµατος. (β Βρείτε τις κανονικές συχνόττες ταλάντωσς, και (γ περιγράψετε τους κανονικούς τρόπους ταλάντωσς. ΘΕΜΑ [0 µονάδες] Σωµατίδιο µάζας κινείται χωρίς τριβή στν εσωτερική επιφάνεια ενός κατακόρυφου κώνου που περιγράφεται από τν εξίσωσ x +y z tn α. (α Γράψετε τν συνάρτσ Hilton, και (β τις εξισώσεις Hilton, σε κυλινδρικές συντεταγµένες.
AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ. Το άκρο του ενός ελατρίου προσδένεται στο σταθερό σµείο Α. (α Γράψετε τις εξισώσεις κίνσς του συστήµατος. (β Βρείτε τις κανονικές συχνόττες ταλάντωσς, και (γ περιγράψετε τους κανονικούς τρόπους ταλάντωσς. Λαµβάνοµε τν οριζόντια ευθεία γραµµή, κατά µήκος τς οποίες κινούνται οι µάζες, σαν x-άξονας. Έστω x, x οι θέσεις των µαζών σε τυχόντα χρόνο t. Η δυναµική ενέργεια του συστήµατος είναι, o o x ( x x ( V l κ l κ + ( (όπου l 0 είναι το µήκος του ατέντωτου ελατρίου, το οποίο για ευκολία µας παίρνοµε ίσο µε µδέν l 0 0, ενώ κιντική του ενέργεια είναι, x x T & & +. ( Από τις ενέργειες ( και ( υπολογίζοµε τους αντίστοιχους πίνακες, κ κ κ κ V,, ( 0 0 T οπότε χαρακτριστική εξίσωσ έπεται από τν ορίζουσα, 0 ω κ κ κ ω κ T V ω, (4 οποία οδγεί στν εξίσωσ ιδιοτιµών, 0 ( ( κ ω κ ω κ. ( Οι λύσεις τς ( είναι, o ( o (, ω ω ω ω +, 6
o κ όπου ω. Υπολογίζουµε στ συνέχεια τα πλάτ ταλάντωσς των ατόµων για καθεµιά συχνόττα. Πράγµατι, εξίσωσ (- γράφεται, + (κ - ω κ k k k + (κ - ω k κ όπου ο δείκτς k στις συνιστώσες του πλάτους (α k, α k αναφέρεται στ συχνόττα ω k, ή k k 0 0, + (ω ω ο ο - ω k k + (ω ο k ω - ω k ο k k 0 0, (6 (ι οπότε για ωω, έχοµε απ όπου παίρνοµε + + + + 0 0, +. (7 Εφαρµόζουµε τ συνθήκ ορθοκανονικόττος, εξίσωσ (-4, Για kl παίρνοµε, T ij ij ik jl δ kl T α α +T α α ( +. και σε συνδυασµό µε τν (7 ( + θέτοµε + ( + 0.6 + + και συνεπώς α +. Η κίνσ αυτή παρίσταται στο ακόλουθο σχήµα. (ιι για ωω, εξίσωσ (6 γράφεται 7
+ 0 0, απ όπου παίρνοµε. (8 Εφαρµόζουµε τώρα τ συνθήκ ορθοκανονικόττος, (-4. Για kl έχοµε, T α α + T α α ( + και σε συνδυασµό µε τν (8 λαµβάνοµε (έχοµε ήδ υποθέσει ότι ( +, άρα και 0. 6, α. Αυτή µορφή ταλάντωσς παρίσταται στο ακόλουθο σχήµα. ΘΕΜΑ. Στο παρακάτω σχήµα απεικονίζεται κωνική επιφάνεια: x +y z tn α. Ορίζουµε τις κυλινδρικές συντεταγµένες (x,y,z ως εξής: xcosθ, ysinθ, zz. Αντικαθιστώντας στν εξίσωσ του κώνου παίρνοµε: ztnα (για z,>0, ή z/tnαcotα. Ακόµ, οι παράγωγοι ως προς το χρόνο είναι: x& & cos θ sin θ θ&, y & & sin θ + cos θ θ&, z & & cot α. 8
Η δυναµική ενέργεια ενός σώµατος που κινείται χωρίς τριβή στν εσωτερική επιφάνεια του κώνου (µε στάθµ αναφοράς το οριζόντιο επίπεδο z0 που περνά από το κέντρο του κώνου είναι, V gz g cotα, ενώ κιντική του ενέργεια είναι, Συνεπώς Lgngin είναι, απ όπου υπολογίζουµε τις συζυγείς ορµές, T ( x& + y& + z& ( & csc α + θ&. L T V ( & csc α + θ& g cot α ( p L & csc α & L και p θ θ&, θ& p απ όπου έπονται οι γενικευµένες ταχύττες: & sin α και απαλείφοντας τις ταχύττες (, & θ &, χαµιλτονιανή έπεται, p θ & θ. Οπότε, Οι εξισώσεις Hilton έπονται από τν (, p sin α pθ H pi q& i L + + g cot α. ( i H p sin α &, (α p H pθ θ &, (β p θ H pθ p& g cot α, (γ H p & θ 0. (δ θ Εφόσον συντεταγµέν θ είναι κυκλική, προκύπτει από τν (δ ότι p θ είναι σταθερή (που οφείλεται στν απουσία αζιµούθιας δύναµς. Η ποσότς αυτή είναι στροφορµή (ως τον z-άξονα του σώµατος. Πράγµατι από τν (β έχοµε επίλυσ των εξισώσεων Hilton δεν ζτείται. l l p θ&. Η z θ 9
ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ηράκλειο, 0-6-00 Εργασία. ίδεται σώµα, µάζας, που κινείται στον -διάστατο χώρο και υφίσταται δύναµ που περιγράφεται από τ δυναµική ενέργεια, V V o e (x + 4y + z 8yz6y8z / όπου V o και θετικές σταθερές. (α Χαράξετε τ γραφική παράστασ τς V(x,y,z στις D µε κάποιο πακέτο γραφικών. (β είξετε ότι V έχει ένα ακρότατο σµείο ελαχίστς τιµής. (γ Βρείτε τις κανονικές συχνόττες ταλάντωσς γύρω από αυτό το ελάχιστο., Φοιττής: (Syon, - 0
ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ηράκλειο, 0-6-00 Εργασία. Θεωρούµε σώµα, µάζας, το οποίο κινείται µέσα στο δυναµικό τς µορφής, V (x 4 k x + b 4 x, όπου x είναι µετατόπισ από τ θέσ ισορροπίας και k, b σταθερές (k 0 και b 0. (α Χαράξετε τ γραφική παράστασ του δυναµικού V(x για διάφορες (χαρακτριστικές τιµές των k και b. (β Γράψετε τν εξίσωσ κίνσς και επιλύσετέ τν για διάφορες (χαρακτριστικές τιµές των k και b. (γ ώσετε τ γραφική παράστασ κάθε λύσς, όπως και τν αντίστοιχ τροχιά στο χώρο των φάσεων. Φοιττής: (Πνευµα.987
ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ηράκλειο, 0-6-00 Εργασία. Θεωρούµε µια αλυσίδα Ν συζευγµένων µαθµατικών εκκρεµών, µέσα στο πεδίο βαρύττος. Οι αλλλεπιδράσεις µεταξύ των εκκρεµών περιορίζονται στους πρώτους γείτονες (θα µπορούσε να επεκταθεί και στους ους γείτονες κλπ., δλ. κάθε εκκρεµές αλλλεπιδρά µε τα δύο εκκρεµή που βρίσκονται εκ δεξιών και εξ ευωνύµων, ας πούµε µέσω ελατρίων σταθεράς k. Αν, l είναι τα φυσικά χαρακτριστικά κάθε εκκρεµούς, (α Γράψετε τν εξίσωσ κίνσς καθενός εκκρεµούς για µικρές αποµακρύνσεις των εκκρεµών από τ θέσ ισορροπίας τους. (β Επιλύσατε το σύστµα των προκυπτουσών διαφορικών εξισώσεων. (γ Θέσατε τις παραπάνω εξισώσεις από διακριτή σε συνεχή µορφή (π.χ., µε ανάπτυξ σε σειρά Tylo και επιλύσατε τις προκύπτουσες εξισώσεις (/σ. (δ ώσατε µια γραφική παράστασ των λύσεων που βρίσκετε. Φοιττής: (Sine-Godon
ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ηράκλειο, 0-6-00 Εργασία 4. Σύµφωνα µε τ θεωρία του Yukw για πυρνικές δυνάµεις, δύναµ µεταξύ πρωτονίου και νετρονίου περιγράφεται από το δυναµικό, όπου α, Κ θετικές σταθερές. α Ke V(, (α Βρείτε τ δύναµ µεταξύ των νουκλεονίων και συγκρίνατέ τν µε τ δύναµ του αντιστρόφου τετραγώνου. (β Χαράξετε τ γραφική παράστασ του δυναµικού V( και εξερευνήσατε τα είδ κίνσς που µπορούν να λαµβάνουν χώρα αν ένα σώµα µάζας κινείται υπό τν επίδρασ µιάς τέτοιας δύναµς. (γ Συζτήσατε πώς αναµένονται οι κινήσεις να διαφέρουν από τα αντίστοιχα είδ κίνσς για τις δυνάµεις αντιστρόφου τετραγώνου. (δ Υπολογίσατε τ στροφορµή l και τν ενέργεια Ε για κυκλική κίνσ ακτίνος α. (ε Υπολογίσατε τν περίοδο κυκλικής κίνσς και τ περίοδο µικρών ακτινικών ταλαντώσεων. (στ είξατε ότι για οι σχεδόν κυκλικές τροχιές είναι σχεδόν κλειστές όταν ακτίνα α είναι πολύ µικρή. Φοιττής: (Syon -47
ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ηράκλειο, 0-6-00 Εργασία. Σώµα µάζας κινείται χωρίς τριβή πάνω στν εσωτερική επιφάνεια του παραβολοειδούς εκ περιστροφής: x +y αz, υπό τν επίδρασ τς βαρύττος. (α Χαράξετε τ γραφική παράστασ τς παραβολοειδούς επιφάνειας στις D. (β Βρείτε τις εξισώσεις κίνσς Lgnge του σώµατος. (γ Επιλύσατε τις εξισώσεις κίνσς και δώσετε τν γραφική παράστασ των λύσεων συναρτήσει του χρόνου. (δ Για µικρές αποµακρύνσεις από τν θέσ ισορροπίας, προσδιορίσετε τις ιδιοσυχνόττες ταλάντωσς και τους αντίστοιχους κανονικούς τρόπους ταλάντωσς. Φοιττής: (Spiegel -0 4