ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 3 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. βλ. σχολικό βιβλίο σελ. 33 335 Α. βλ. σχολικό βιβλίο σελ. 6 Α.3 βλ. σχολικό βιβλίο σελ. Α. α Λ, β Σ, γ Σ, δ Λ, ε Σ ΘΕΜΑ Β Β. Ισχύει z z z z z z z z Δεκτό z αφού z Αορ. Άρα z, άρα ο γεωμετρικός τόος των εικόνων των μιγαδικών z είναι ο κύκλος κέντρου Κ(,) κι ακτίνας ρ= Ισχύει z z τριγωνική ανισότητα Άρα : z z z 3 άρα z 3 Β. Οι μιγαδικοί z, z είναι ρίζες της εξίσωσης w βw γ με w C και β,γ R άρα z z κι αφού ο z,z ανήκουν στον αραάνω γεωμετρικό τόο ισχύει z, z, z 3, z 3 Αφού z z ισχύει Im(z ) Im(z )
Δίνεται Im(z ) Im(z ) Im(z ) Im(z ) Im(z ) άρα z α i z z α i, α R Είναι z α i α i α α α α άρα z = i, z = i Αό τύους Vieta έχουμε: z z S β β β z z P γ z z γ γ z 5 Β.3 Αφού οι μιγαδικοί α ο, α, α ανήκουν στον γεωμετρικό τόο του ερωτήματος Β. ισχύει αο 3, α 3, α 3 Ισχύει Άρα ισχύει v α v α v α v α v αν α 3 ο 3 ο 3 ο 3 ο ο v αν αν α ν α ν α να α ν α ν α 3 ν 3 ν 3 Θεωρώ τη συνάρτηση 3 3 v 3 v 3 v 3 v 3 v 3 v 3, όου ν. 3 f() 3 3 3, [, ) f'() 3 6 3 3( ), [, ) f'() Αορ. () Δεκτό f f ' ΟΛ. ΕΛ. Έχουμε ότι ισχύει fv
Αν υοθέσουμε ότι v f, f v f() 3 f() -3-3-3 fv 6-8 - - 3 Άτοο Άρα δεν ισχύει v, άρα είναι v ΘΕΜΑ Γ ισχύει Γ. R Για = ισχύει f() f '() f() f() ' f() ' ' f() c f () c c άρα f(), R () Θεωρώ τη συνάρτηση h() = f(), R Λόγω της () έχουμε ότι h(), R όου, R άρα h(), R κι αφού h συνεχής στο R, ως άθροισμα των συνεχών f() (ως αραγωγίσιμη) και (ολυωνυμική), έχουμε ότι η συνάρτηση h()=f() διατηρεί σταθερό ρόσημο στο R, δηλαδή ισχύει h(), R ή h(), R. Είναι h()=f()=, άρα αφού h διατηρεί στο R σταθερό ρόσημο ισχύει h() f(), R άρα αό () έχουμε f() f(), R 3
Γ. Πεδία ορισμού A f Ag R άρα A o Λύνω ρώτα την εξίσωση f() fg () = Δεκτό Άρα η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f()= είναι το =. Εομένως ισχύει η ισοδυναμία f g() g() R Περιορισμός: Πρέει ου ισχύει R και - Άρα αναζητώ το λήθος των ριζών της εξίσωσης g()= 3 3 g(), R Η g είναι αραγωγίσιμη στο R, άρα και συνεχής, με g'() 3 3 3( ), R g'() ή g'() 3 3 ή - - g ' g T.M T.E. g( - ) =- g() =- Η g είναι συνεχής και στο διάστημα A, άρα το αντίστοιχο σύνολο τιμών είναι το 3 ga lim g(),g( ) lim,, το οοίο δεν εριέχει το, άρα δεν υάρχει ρίζα της εξίσωσης g()= στο A, διάστημα Η g είναι συνεχής και στο διάστημα A, σύνολο τιμών είναι το άρα το αντίστοιχο
ga g(),g(), το οοίο δεν εριέχει το Ο, άρα δεν υάρχει ρίζα της εξίσωσης g()= στο A, διάστημα Η g είναι συνεχής και στο διάστημα A, 3 άρα το αντίστοιχο σύνολο τιμών είναι το 3 ga3 g(), lim g(), lim, το οοίο εριέχει το Ο, άρα αφού g στο Α 3, υάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης g()= στο διάστημα, Άρα η εξίσωση fg() g() έχει μια ακριβώς ρίζα η οοία ανήκει στο διάστημα,. Γ.3 Εξίσωση f(t)dt f εφ,, ημ f(t)dt f συν συν f(t)dt ημf ημf συν f(t)dt ημ f(t)dt ' Θεωρώ τη συνάρτηση h() ημ f(t)dt,, Αφού η συνάρτηση f(t) είναι συνεχής στο R, ισχύει ότι η συνάρτηση f(t)dt είναι αραγωγίσιμη στο R, f(t)dt είναι αραγωγίσιμη στο R, άρα και η συνάρτηση ως σύνθεση των αραγωγίσιμων, f(t)dt. Άρα η συνάρτηση h() ημ f(t)dt είναι αραγωγίσιμη στο, (άρα και συνεχής) ως γινόμενο των αραγωγίσιμων ημ, f(t)dt και ισχύει h'() (ημ)' f(t)dt ημ f(t)dt ' 5
h'() συν f(t)dtημf ' συν f(t)dtημf h() ημ f(t)dt h() h h ημ f(t)dt Άρα αό Θ. Rolle υάρχει τουλάχιστον ένα o, o ώστε h'( o) συνo f(t)dtημ o fo f(t)dt=f o- εφo o - β τρόος για το Γ.3: Θεωρώ τη συνάρτηση Κ() f εφ f(t)dt f εφ f(t)dt,,. Η συνάρτηση f(t) είναι συνεχής (ως αραγωγίσιμη) στο R, άρα η συνάρτηση f(t)dt είναι αραγωγίσιμη στο R, άρα είναι και συνεχής, άρα κι η συνάρτηση f(t)dt είναι συνεχής στο R, ως σύνθεση των συνεχών και f(t)dt. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R ως σύνθεση των συνεχών, f(). Στο διάστημα, η συνάρτηση εφ είναι συνεχής ως ηλίκο των συνεχών ημ, συν. Άρα η συνάρτηση Κ() f εφ f(t)dt είναι συνεχής στο, ως ράξεις μεταξύ των συνεχών συναρτήσεων f, εφ, f(t)dt Κ() f εφ f(t)dt f(t)dt. R ισχύει 6
άρα f() Στο διάστημα άρα, η f είναι συνεχής και είναι f(t)>, άρα ισχύει Κ() f(t)dt Κ f() εφ f(t)dt Άρα K() K, άρα αό Θ.Bolzano υάρχει τουλάχιστον ένα o, ώστε K( o) f o εφo f(t)dt o f(t)dt ΘΕΜΑ Δ f(5h) f(h) Δ. Έχουμε ότι: lim h h f(5h) f() f(h) f() lim () h h h f(5h) f() f(u) f() f(u) f() lim lim 5 lim 5f '() h h u u u u 5 Θέτω u5h u h όταν h u 5 f(h) f() f(u) f() f(u) f() lim lim lim f '() h h u u u u Θέτω uhhu όταν h u () 5f '() f '() 6f '() f '() f' f'() f'() f'() 7
f f ' Η f αρουσιάζει ελάχιστο στο o = to f()= O.E f()= Δ. f συνεχής στο, ως αραγωγίσιμη f(t) συνεχής στο, ως ηλίκο συνεχών συναρτήσεων t f(t) Οότε g() dt αραγωγίσιμη στο, με: α t f(t) f() g'() dt ', α t Για κάθε > f, f() f() f() f() f() g'(),, άρα g. άρα Θέτω h() g(u)du g(u)du g(u)du,, και α. α α Είναι g(u)du αραγωγίσιμη ως σύνθεση των αραγωγίσιμων α συναρτήσεων, Οότε h αραγωγίσιμη στο, με α α g(u)du (αφού g(u) συνεχής ως αραγωγίσιμη). α h'() g(u)du g(u)du ' g( )( )' g() g( ) g() g ισχύει g() g( ) Οότε h'() g( ) g() Οότε h στο,. Είναι 8 5 και 5, R. 8
Η ανίσωση 8 6 6 g(u)du 8 5 5 g(u)du h(8 5) h( 5) 8 5 5 8 8 - ( ) h - ( - ) - - με. Οι λύσεις είναι (,) (,) Δ.3 f() g'(), g αραγωγίσιμη ως ηλίκο αραγωγίσιμων συναρτήσεων f() f '()( ) (f() ) g''() ' () () Για την f ισχύουν οι ροϋοθέσεις του Θ.Μ.Τ στο διάστημα, αφού f αραγωγίσιμη στο,, οότε υάρχει τουλάχιστον ένα f() ξ (,) : f '(ξ) () Αφού f() ξ f'(ξ) f'() f'() f'()() (f() ) Αό () g''(), > άρα g' στο f' (),, άρα g κυρτή στο f(t) t,. Η εξίσωση α (α ) dt f(α) α α f(α) g() α -α έχει ροφανή ρίζα =α. 9
f(α) Θεωρώ τη συνάρτηση F() g() α, > α κι αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση F()= έχει μοναδική ρίζα το =α. F αραγωγίσιμη στο,, άρα και συνεχής, f(α) f()- με F'() g'() g'() g'(α), αφού g'()=, α - F'(α) g'(α) g'(α). Για g' α g'() g'(α) g'() g'(α) F'() με F συνεχής στο α, άρα F στο α F() F(α) F(). Για g' α g'() g'(α) με F συνεχής στο F'(), α άρα F στο, α, άρα για < < α F() F(α) F(). α,, άρα Άρα η ρίζα =α είναι μοναδική της F στο διάστημα,. F ' F α ΟΛ. ΕΛ. F(α)= ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΜΑΡΚΑΤΟΣ ΔΙΟΝΥΣΗΣ ΜΑΣΤΟΡΑΚΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ