Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat. (Απάντηση : Θεώρημα σελ. 260 σχολικού βιβλίου) Μονάδες 4

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο σημείο αυτό (Απάντηση : Θεώρημα σελ 7 σχολικού βιβλίου Μονάδες 7 Α Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat (Απάντηση : Θεώρημα σελ 6 σχολικού βιβλίου Μονάδες 4 Α Έστω συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Ποια σημεία λέγονται κρίσιμα σημεία της ; (Απάντηση : σελ 6 σχολικού βιβλίου Μονάδες 4 Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Για οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμό ισχύει (Απάντηση : Σ δες σελ 97 β Αν μια συνάρτηση είναι στο πεδίο ορισμού της, τότε υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της με την ίδια τεταγμένη (Απάντηση : Λ δες σελ γ Αν lim (, τότε lim ( (Απάντηση : Σ δες σελ 78 δ Για δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις, g παραγωγίσιμες στο ισχύει: ( g ( = ( g( ( g ( (Απάντηση : Λ δες σελ ε Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν μηδενίζεται σε αυτό, τότε η διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ (Απάντηση : Σ δες σελ 9 Μονάδες ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα

2 ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς και w για τους οποίους ισχύουν η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα, την = w 4 i, Β Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ =, καθώς επίσης ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο Κ(4, και ακτίνα ρ = 4 Μονάδες 8 Β Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός, η εικόνα του οποίου ανήκει και στους δύο παραπάνω γεωμετρικούς τόπους Μονάδες Β Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς, w του ερωτήματος Β να αποδείξετε ότι: w και w Μονάδες 6 Β4 Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς του ερωτήματος Β να βρείτε εκείνους, για τους οποίους ισχύει: Μονάδες 6 Λύση : Β Παρατηρώ ότι η εξίσωση w 4 i w 4 i είναι μια δευτεροβάθμια εξίσωση με, w 4 i και Για να έχει αυτή η εξίσωση μια διπλή ρίζα πρέπει : w 4 i 4 w 4 i 6 4 ( Επίσης αφού η εξίσωση έχει διπλή ρίζα την w 4 i w 4 i 4 ( 4 Από τη σχέση ( : w 4 i 4 έχω ότι οι εικόνες του μιγαδικού w ανήκουν σε κύκλο με κέντρο Κ(4, και ακτίνα ρ = 4 Επίσης η σχέση ( λόγο της ( γίνεται : w 4 i άρα οι εικόνες του μιγαδικού ανήκουν σε κύκλο με κέντρο Ο(, και ακτίνα ρ = Β Για να αποδείξω ότι υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός, η εικόνα του οποίου ανήκει και στους δύο παραπάνω γεωμετρικούς τόπους, αρκεί να δείξω ότι οι δυο κύκλοι εφάπτονται Έτσι : ( (4 (, επίσης 4 άρα ( άρα οι δυο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα

3 Β Για να αποδείξω ότι w και w ος τρόπος (Αλγεβρικά ma w ( 4 9 Άρα από τριγωνική ανισότητα έχω w w w ma w w 9 w Επίσης : w w w ma w w 9 w ος τρόπος (Γεωμετρικά ma w ( 4 άρα w Η σχέση : w ( w παριστάνει την απόσταση της εικόνας του μιγαδικού από την εικόνα του μιγαδικού w Οι εικόνες των μιγαδικών w είναι συμμετρικές ως προς Ο(, με τις εικόνες του w Έτσι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w είναι κύκλος με κέντρο ( 4, και ακτίνα 4, οπότε : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα

4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 4 4 ( 4 ( ( ( ma ma w w άρα w Β4 ( ( ( ή Αν τότε από τη σχέση Άρα i Αν τότε από τη σχέση Άρα i

5 ΘΕΜΑ Γ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R για την οποία ισχύουν: ( ( ( για κάθε R ( Γ Να αποδείξετε ότι (, και στη συνέχεια ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R Μονάδες 6 Γ Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης του ερωτήματος Γ Μονάδες 4 Γ Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση: ( 8 8( Γ4 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ ξ (tdt ξ ξ (ξ ξ Λύση : Γ Για κάθε έχω : ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Μονάδες 7 Μονάδες 8 Άρα από συνέπιες ΘΜΤ έχω : ( ( c ( Στην ( για έχω : ( ( c c c Άρα η ( για c γίνεται ( ( ( ( (, με ( ( D Επίσης ( ( ( ( ( ( ( ( ( - + ( + + ( γν αύξουσα γν αύξουσα Άρα η ( είναι γνησίως αύξουσα για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα

6 Γ Η ( έχει D άρα δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες Θα ψάξω λοιπόν για πλάγιες οριζόντιες στο και στο Η ευθεία ( : ασύμπτωτη της C στο με : ( lim lim lim lim lim ( lim lim lim lim Άρα η ( : είναι πλάγια ασύμπτωτη της C στο Η ευθεία ( : ασύμπτωτη της C στο με : ( lim lim lim lim lim ( lim lim lim lim Άρα η ( : είναι πλάγια ασύμπτωτη της C στο Γ Έχουμε να λύσουμε την ανίσωση : ( 8 8( ( 8 8( ( 8( 8 ( ( 8 ( 8[( ] 8 ( ( ( ( Άρα [, ] έχω Γ4 Έχω να αποδείξω ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, τέτοιο ώστε : ( t dt ( ( Βάζω όπου ξ= και έτσι έχω να δείξω ότι η εξίσωση : ( t dt ( ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, Έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 6

7 ( t dt ( ( ( ( t dt ( t dt ( t dt, άρα έστω h( ( t dt θα δείξω ότι η εξίσωση h ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, Εφαρμόζω ΘRolle για την h ( στο [,] Η h ( είναι συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων (Η (t και η g ( είναι συνεχείς, άρα η συνάρτηση ( t dt είναι παραγωγισιμη άρα και συνεχής, οπότε η h ( είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών Η h ( είναι παραγωγισιμη στο (, ως πράξεις παραγωγισιμων συναρτήσεων h (, h ( ( t dt, άρα h ( h( Από ΘRolle η εξίσωση h ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, ΘΕΜΑ Δ Δίνεται συνάρτηση : [,+ R, δύο φορές παραγωγίσιμη, με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [,+, για την οποία ισχύουν: u ( ( t ( dt du για κάθε > ( t ( ( για κάθε > και ( = Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις: ( g( με > και h( ( με ( Δ Να αποδείξετε ότι ( ( ( για κάθε > Δ α Να βρείτε το πρόσημο των συναρτήσεων και στο (, β Να αποδείξετε ότι ( Μονάδες 4 (μονάδες 4 (μονάδες Μονάδες 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 7

8 Δ Δεδομένου ότι η συνάρτηση g είναι κυρτή στο (,, να αποδείξετε ότι: α g( για κάθε (, + β ( (d (μονάδες 4 Μονάδες 6 Δ4 Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h, τον άξονα και τις ευθείες = και = Μονάδες 8 Λύση : u ( ( t Δ Έχουμε τη σχέση ( dt du ( την οποία θα πρέπει να ( t παραγωγισουμε ώστε να καταλήξουμε στο ζητούμενο Θα πρέπει όμως πρώτα να αποδείξω ότι είναι παραγωγισιμη Έτσι : η ( είναι παραγωγισιμη άρα και συνεχής άρα η συνάρτηση u ( ( t dt ( t u ( ( t ( t ( ( t dt du ( t είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών και άρα η συνάρτηση είναι παραγωγισιμη άρα και συνεχής άρα τελικά η συνάρτηση είναι παραγωγισιμη οπότε και η u ( ( t ( dt du είναι παραγωγισιμη ως πράξεις παραγωγισιμων με ( t ( ( t : ( dt ( Παραγωγιζουμε τη ( και έχουμε : ( t ( ( ( για κάθε ( Άρα ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 8

9 Δ α Από εκφώνηση έχω ότι ( ( για κάθε άρα ( και ( Η ( είναι συνεχής στο (, και ( στο (,, άρα από συνέπιες ΘBolano η ( διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, Στην ( για έχω : u ( ( t ( dt ( du t ( Άρα ( για κάθε (, Η ( είναι συνεχής στο (, και ( στο (,, άρα από συνέπιες ΘBolano η ( διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, Στην ( για έχω : ( ( t ( dt ( Άρα ( για κάθε (, ( t β Έχω : ( ( ( ( για κάθε (, Επίσης δείξαμε ότι ( για κάθε (,, άρα ( ( ( Επίσης από εκφώνηση η ( είναι παραγωγισιμη άρα και συνεχής, άρα θα είναι συνεχής και στο δηλ ισχύει : ( lim ( ( lim ( ( ( ( ( (από εκφώνηση η ( συνεχής άρα ( lim ( l Δ ( α Από εκφώνηση η g( είναι κυρτή στο (, και μας ζητείται να αποδείξουμε ( ότι g( για κάθε (, (το μυαλό μας πηγαίνει σε ανίσωση που προκύπτει από κυρτότητα και εφαπτομένη Έχω : ( ( ( ( ( g( g( g( ( ( ( Έστω (ε η εφαπτομένη της C στο σημείο, g( g (διαλέγω να βρω εφαπτομένη στο γιατί από Δα έχω πληροφορίες για το (, ( ( τότε : ( : g( g(( g (, g ( g( ( ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 9

10 Άρα : ( : ( Η g ( είναι κυρτή στο (, άρα η C g βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη (ε με εξαίρεση το σημείο επαφής Δηλ g ( g( για κάθε (, β Θα δείξουμε ότι ( ( d (για να αποδείξουμε μια ανίσωση με ολοκληρώματα, θα πρέπει να ξεκινήσουμε από ανίσωση χωρίς ολοκληρώματα ( ( Έχω g( ( ( ( ( και το «=» ισχύει μόνο για = (το σημείο επαφής Άρα : ( d ( ( d ( ( ( d ( ( ( ( d ( ( d ( ( d h( (, Δ4 Ζητείται να βρούμε το εμβαδόν ανάμεσα στη γραφική παράσταση της τον άξονα και τις ευθείες = και =, δηλ ( για κάθε (,, άρα και ( ( h( d ( ( ( d ( d ( ( ( ( ( ( h ( d Επειδή από Δα h για κάθε (, Έτσι ( ( ( ( ( d (από Δ έχω : ( ( ( ( d (έχω ότι (, (, (, ( ( ( d ( d ( d ( ( ( ( ( ( ( ( Άρα ( ( ( ( τμ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα