ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ"

Αττις Ζωγράφου
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΉΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα, σχολικό βιβλίο σελ. 84 Α. Ορισμός, σχολικό βιβλίο σελ. 94 Α. Ορισμός, σχολικό βιβλίο σελ. 59 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. Έχουμε ότι: Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών, είναι κύκλος κέντρου O, και ακτίνας ρ. Β. α) Ισχύει ότι: 4 4 Αρκεί να δείξουμε ότι 4 4 w w. Τότε: w w. Άρα w IR. 4 4

2 β) Έχουμε ότι: w, από τριγωνική ανισότητα. Άρα: w w Όμως w IR, οπότε: 4 w 4. Β. w w Τότε: i i i 5 i i 5 i Άρα: ΑΓ ΒΓ ΘΕΜΑ Γ Γ. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο IR, με: για κάθε,, επιπλέον, η είναι συνεχής στο, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο IR. Η ως συνεχής και γνησίως αύξουσα στο IR, έχει σύνολο τιμών: ΙR,,, διότι: και

3 Γ. Η εξίσωση (Ε), ορίζεται στο IR και με IR, γράφεται: (Ε), διότι : ως IR Και επειδή ο αριθμός ανήκει στο σύνολο τιμών ΙR,, υπάρχει ένα τουλάχιστον συνάρτηση o IR τέτοιο, ώστε: o, και το o είναι μοναδικό, διότι η IR. Επομένως η εξίσωση (Ε) έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα. Γ. ος τρόπος Για κάθε, η ανισότητα (Α) γράφεται: 4 (Α) t t t 4 4 () t 4 Αρκεί, λοιπόν, να δειχθεί ότι ισχύει η (). Για κάθε και t 4 4. Επομένως t 4 Άρα ισχύει η () (Α). t 4 t 4, διότι IR και η ισότητα ισχύει μόνο για t 4

4 ος τρόπος Για κάθε, η ανίσωση (Α) γράφεται: 4 (Α) t t 4 4 t t Φ Φ Αρκεί να δειχθεί ότι ισχύει η (). Για κάθε, στο, 4 υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, 4 Έτσι, η (), λόγω της () γράφεται: () Φ ξ 4 ξ 4 Φ, (), με t, ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής. Άρα, τέτοιο ώστε: Φ Φ4 Φ Φ 4 Φ ξ () 4 ξ 4, διότι IR Η οποία είναι αληθής, διότι ξ 4. Επομένως ισχύει η () (Α). Γ4. Για κάθε, έχουμε: Η g είναι παραγωγίσιμη στο, g Φ 4 Φ, με t Ειδικότερα, οι συναρτήσεις Φ 4, παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Φ., ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Φ είναι παραγωγίσιμες ως συνθέσεις 4

5 Έτσι, έχουμε: Και επειδή: g 4 4 t 4, διότι t Φ4 Φ t 4 4 4, αφού IR και 4 4 t έπεται ότι η g στο,, λόγω του ερωτήματος Γ. Θα δείξουμε ότι η g είναι συνεχής στο. Έχουμε: g g 4 t Φ Φ g Άρα η g είναι συνεχής στο, οπότε και στο,. Δηλαδή: g στο, g συνεχής στο, 4 4 Επομένως g,. ΘΕΜΑ Δ Δ. Για κάθε IR, έχουμε: και για προκύπτει: c c. c 5

6 Έτσι, () Επειδή για κάθε IR, είναι για κάθε IR, άρα στο IR. Επίσης, η συνάρτηση και για είναι: Επομένως είναι συνεχής στο IR, οπότε διατηρεί το πρόσημό της,. για κάθε IR. Έτσι, η (), IR ln, IR Διότι Άρα Δ. α) Έχουμε Και, IR Το πρόσημο και οι ρίζες της φαίνονται στον πίνακα: Άρα η είναι κυρτή στο, 6

7 κοίλη στο β) Επειδή οι συναρτήσεις και εμβαδό του χωρίου Ω είναι:, και παρουσιάζει καμπή με σημείο καμπής το, y είναι συνεχείς στο, E Ω d Η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο, είναι: y y Επειδή κοίλη στο,, για κάθε Άρα στο,. Οπότε: E Ω d d y, διότι ισχύει: y και d K., ως συνεχείς στο IR, το. d d ln d ln ln τ.μ. Δ. Επειδή και για, θεωρούμε, οπότε, διότι IR, 7

8 Επίσης θεωρούμε τη συνάρτηση K t συνεχής, ως αρχική της συνεχούς στο IR συνάρτησης, η οποία παραγωγίσιμη στο IR, άρα και t, με K. Έτσι t ln K ln διότι: K ln K K K K u ln u, με u u ln ος τρόπος Έχουμε ότι: t ln u ln u u ln u u u u t t u t t t, διότι: t t 8

9 t t t t t t t Δ4. Θεωρούμε τη συνάρτηση: h t 8 t,, Η h είναι συνεχής στο, συνεχής στο IR ως σύνθεση των συνεχών Οπότε: h t8 h t ως πράξεις συνεχών στο IR. Ειδικότερα, η και t. t είναι Έχουμε δείξει ότι η είναι κοίλη στο, και η εφαπτομένη της C στο είναι η ευθεία y. Επομένως, για κάθε t, ισχύει: t y t t t t, διότι για κάθε t t, και ισότητα μόνο για t Οπότε: t t t t t 9

10 t 8 t h 8 Όμοια, για t,, ισχύει: t t, διότι για t t, αν όπου t θέσουμε t t t Άρα: t t t, ισότητα μόνο για t t t t t t h Οπότε, σύμφωνα με το θεώρημα Bolano, η εξίσωση h, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,, άρα και η t 8 t, διότι είναι ισοδύναμες στο,.

Σχετικά έγγραφα

ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012

ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ