ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με R(z ) = και R(z ) = Αν f() ( z )( z )( z )( z ) = και f(i ) = 64 8i, τότε να αποδείξετε ότι: α) f( i) = 64+ 8i β) ( )( ) + z + z + z + z = 46 γ) z = και z = 7 ΛΥΣΗ α) Είναι: f (i) = i z i z i z i z f( i) i z i z i z i z = = = ( i z )( i z )( i z )( i z ) = = ( i z )( i z )( i z )( i z ) = = ( i z )( i z )( i z )( i z ) = = ( i z )( i z )( i z )( i z ) = = f (i) = 64 8i = i β) Είναι: + z + z + z + z = = z i z i z i z i = = z i z + i z i z + i z i z + i z i z + i = - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

2 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ = z i z i z i z i z + i z + i z + i z + i = = i z i z i z i z i z i z i z i z = ( ) = f (i)f ( i) = 64 8i i = = = 46 γ) Είναι: z + z = R(z ) = ( ) = 4 () Έχουμε: z + z = R(z ) = = 4 () f (i) i z i z i z i z = = = ( i z )( i z ) ( i z )( i z ) = Όμως: i( z z ) + z i( z z ) + z (),() = + + = z 4i z 4i = + = z 4i z 4i = + = ( )( ) ( ) ( ) ( z )( z ) 6 4 z 4 z i = z z 6 4 z 4 z + + i = = + + f(i) = 64 8i Άρα έχουμε: ( )( ) ( )( ) z z + 6 = 64 z z = 48 4z 4z = 8 z z = 4 z z 48 + = z = 48 z z = z + = z + 4 z = 7 z = 49 z = 7 z z z = z + = 9 = - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

3 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η παράσταση f(z) = ( + i) z z + i z i. Να αποδείξετε ότι: α) Το ευρύτερο υποσύνολο του C στο οποίο ορίζεται η παράσταση f(z) είναι το C R β) z + i z i z γ) f(z) δ) Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z, για τους οποίους ισχύει f(z) = 6 z, είναι υπερβολή, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. ΛΥΣΗ α) Έστω z= + yi,,y R και M(, y) η εικόνα του στο επίπεδο. Για να ορίζεται η παράσταση f αρκεί z + i z i Εξετάζουμε λοιπόν για ποιους μιγαδικούς αριθμούς z ισχύει z + i z i = Είναι: z + i z i = z + i = z i + (y + )i = + (y )i + (y+ ) = + (y ) + y + y + = + y y + y = y 4y = y = Άρα, για να ορίζεται η παράσταση f αρκεί y, δηλαδή z C R β) Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε: z z z + z για κάθε z, z C, οπότε για z = z + i και z = z i έχουμε: z + i z i (z + i) +( z i) = z = z γ) Για κάθε z C είναι: z + i z i z οπότε για κάθε z C R είναι: z + i z i z () Έχουμε λοιπόν: ( + i)z ( + i)z + i z f(z) = = = = z + i z i z + i z i z + i z i - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ z () = z z z + i z i = z + i z i z = δ) Είναι: ( + i)z + i z f(z) = z = z = z 6 z + i z i 6 z + i z i 6 z (α) = z z z + i z i = z z + i z i = z + i z i 6 Είναι: z + i z i = z ( i ) z ( + i ) = (ΜΕ) (ΜΕ) =, όπου Μ η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z, Ε(, ) και Ε(, ) Παρατηρούμε ότι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού z από τα σταθερά σημεία Ε, Ε είναι α = σταθερή και μικρότερη του (ΕΕ) =. Επομένως, ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι η υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε(, ) και Ε(,), άρα γ = Επιπλέον είναι α = α = 6, οπότε β = γ α β = 6 β = 64 β = 8 και η εξίσωση της υπερβολής είναι: y y α β = 6 64 = ΘΕΜΑ ο : Δίνονται τρεις μιγαδικοί αριθμοί z,w,u με z =, w = 4, u = 5 και z+ w+ u =, οι οποίοι έχουν εικόνες τα σημεία Α, Β, Γ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι 6z + 9w = β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. γ) Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ με κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών z,w,u ΛΥΣΗ α) Από την υπόθεση έχουμε: 9 z = z = 9 z z = 9 z = z () 6 w = 4 w = 6 ww = 6 w = w () 5 u = 5 u = 5 uu = 5 u = u () - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επίσης έχουμε: Είναι: u = (z + w ) (4) z+ w+ u = z+ w+ u = (5) Η σχέση (5) με βάση τις σχέσεις (), () και () γράφεται: = + = z w u z w z+w 9w(z + w) + 6z(z + w) 5zw = 9wz + 9w + 6z + 6zw 5zw = 6z + 9w = (6) β) Αρκεί να αποδείξουμε ότι: (OA) + (OB) = (AB) z + w = z w Είναι όμως: z w = (z w)(z w) = zz + ww (zw + zw) = (6) = 6z 9w 6z 9w ( AB) w + z = + zw = = Επομένως έχουμε: ( AB) = z w = 5 Είναι: (OA) + (OB) = z + w = = 5 = z w = ( Α B) οπότε το τρίγωνο OABείναι ορθογώνιο. γ) Αρκεί να βρούμε ακόμα τους αριθμούς z u και w u, που είναι αντίστοιχα τα μήκη των πλευρών ΑΓ και ΒΓ, αφού ήδη έχουμε αποδείξει ότι (AB) = z w = 5 Είναι: (4) z u = z+ w = (z+ w)(z+ w) = = 4zz + ww + (zw + wz) = 4 z + w + (zw + wz) = (6) = 9w 6z 6z 9w z + w = zw = Επομένως έχουμε: ( A Γ ) = z u = 5 = - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (4) w u = z+ w = (z+ w)(z+ w) = = zz + 4ww + (zw + wz) = z + 4 w + (zw + wz) = = 9w 6z 6z 9w z + w = zw = Επομένως έχουμε: ( ΒΓ ) = w u = 7 ΘΕΜΑ 4ο : Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, w, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: z i = α z i () α w(z i) zi α = (), όπου α R και < α α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w ανήκουν σε κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. γ) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός v = z w με w z + w z, είναι φανταστικός δ) Αν z,z είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί με εικόνες αντίστοιχα στο επίπεδο τα σημεία Α,Β, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση () και w είναι ένας μιγαδικός αριθμός με εικόνα στο επίπεδο το σημείο Γ, ο οποίος ικανοποιεί τη σχέση (), τότε να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ α) Είναι: (ΓΑ) (ΓΒ) z i z i z α i α z i z α i α α z i α = = = ( z α )( i z α i) α ( z i)( z i) ( z α i)( z α i) α ( z i)( z i) = + = zz + α zi α zi α i = α zz+ α zi α zi α i z α i = α z α i 4 z α z α α = α < α z = α α z = α z = α () Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο (,) και ακτίνα ρ= α β) Έχουμε: z i () zi + α w(z i) zi α = w(z i) = zi + α w = zi z z i zz z (z i) w = + w = + w = + z i z i z i Είναι z i, γιατί αν z = i από τη σχέση () προκύπτει (4) α = άτοπο. z i - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

7 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Από τη σχέση (4) έχουμε: z (z+ i) z (z+ i) z z+ i z z i w = w = w = w = z i z i z i z i z z i () w = w = z w = α z i Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w ανήκουν στον κύκλο, ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Ο (,) και ακτίνα ρ = α γ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι v = v Από τις σχέσεις () και (5) έχουμε: α z = α zz = α z = 4α w = 4α ww = 4α w = w Είναι: v = = = = = = Άρα ο αριθμός z α 4α α z w z w z w z w z w z + w z + w z + w α 4α α + + z w z w (5) w z z w zw w z z w = = = = = v + w+ z w+ z z+ w z w zw v = z w z + w είναι φανταστικός δ) Είναι: (ΓΑ) = w z και (ΓΒ) = w z Για τους μιγαδικούς αριθμούς w, z από τριγωνική ανισότητα έχουμε: w z w+ z w + z (6) Αν στη σχέση (6) θέσουμε, όπου z το z έχουμε: z = z w z w+( z ) w + z w z w z w + z α α w z α+ α α (ΓΑ) α (7) Ομοίως για τους μιγαδικούς αριθμούς w, z έχουμε: α w z α α (ΓΒ) α, οπότε α (ΓΒ) α (8) - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις σχέσεις (7) και (8) έχουμε: ΘΕΜΑ 5ο : α (ΓΑ) α (ΓΑ) α (ΓΒ) α (ΓΒ) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς w και z, για τους οποίους ισχύει ότι: 5 w = 8 + 5w 6 i Οι εικόνες Κ(z) των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο είναι τα κέντρα των κύκλων εκείνων που εφάπτονται εσωτερικά του κύκλου C :( Ε,4 ), όπου διέρχονται από το σημείο Ε(,) Ε, και Να βρείτε: α) Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο μιγαδικό επίπεδο. β) Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο. γ) Την ελάχιστη τιμή του μέτρου z w δ) Τους μιγαδικούς z, z, z, z 4 από τους μιγαδικούς αριθμούς z, που οι εικόνες τους είναι κορυφές τετραγώνου με πλευρές παράλληλες προς τους άξονες και yy ΛΥΣΗ α) Έστω w=+ yi,, y R, τότε έχουμε: 5 w = 8 + 5w 6 i 5 + yi = 8 + 5( + yi) 6 i 5 + yi = y i 5( y ) y + = y = y y y 6 = + y 6 = Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία ε :+ y 6= β) Αν Δ είναι το σημείο επαφής ενός κύκλου κέντρου Κ(z) με τον κύκλο C, τότε ισχύει: ΚΔ < 4 ( ΚΕ) 4 ( ΚΔ) = (), με Επειδή (ΚΔ) = (ΚΕ) η σχέση () ισοδύναμα γράφεται: ( ΚΕ) = 4 ( ΚΕ ) ( ΚΕ) + ( ΚΕ) = 4 και ΕΕ = < 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Κ, που είναι οι εικόνες των μιγαδικών z στο επίπεδο είναι έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε(,), Ε(,) και μεγάλο άξονα ΑΑ με (ΑΑ) = α = 4, οπότε α = Είναι: γ= ( ΕΕ) = γ = και β = α γ β = - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

9 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επομένως η εξίσωση της έλλειψης είναι y C: + = 4 γ) Έστω Κ(z) και Μ(w) οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, w στο μιγαδικό επίπεδο, τότε είναι z w = (KM) (KH) (ΓΖ), όπου ΚΗ (ε) και Γ εκείνο το σημείο της έλλειψης C, στο οποίο η εφαπτομένη της είναι παράλληλη προς την ευθεία ε και απέχει από αυτή τη μικρότερη απόσταση. Εύρεση του Γ: Έστω Γ(, y ) σημείο της έλλειψης C, τότε ισχύει: y + = () 4 Η εξίσωση της εφαπτομένης ε στο σημείο Γ είναι: yy ε : + = 4 Είναι: y ε//ε λε = λ ε = y= () 4y Από την () έχουμε: = = =± 4 Για = είναι y =, άρα Γ, - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

10 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Για = είναι y =, άρα Γ, Οι εφαπτόμενες της έλλειψης C, στα σημεία της Γ και Γ είναι παράλληλες προς την ευθεία ε και d( Γ, ε) = = = d( Γ, ε) = = = Δηλαδή d( Γ, ε) < d( Γ,ε), άρα το ζητούμενο σημείο Γ είναι το Γ Είναι: z w = (KM) (KH) (ΓΖ) = d( Γ,ε) = Άρα η ελάχιστη τιμή του μέτρου z w είναι δ) Έστω τα σημεία Μ, Μ, Μ, Μ 4 της έλλειψης C, που είναι οι εικόνες των μιγαδικών z,z,z,z 4 αντίστοιχα, με z = + yi,, y >, ώστε το τετράπλευρο Μ Μ Μ Μ 4 να είναι τετράγωνο με πλευρές παράλληλες προς τους άξονες και yy Λόγω των συμμετριών ισχύει: z = z, z = z και z = z 4 Είναι: ΜΜ = ΜΜ = z z z z 4 4,y > z z = z z y i = y = () y + = (4), γιατί το σημείο Μ (C) 4 Από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων () και (4) προκύπτει ότι: = y =, γιατί, y > 7 Άρα οι ζητούμενοι μιγαδικοί αριθμοί είναι: z = ( + i), z = ( i), z ( i) z = + i = και ΘΕΜΑ 6ο : Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g: R R, οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση: f () + g () = f () + g (), για κάθε R () και οι μιγαδικοί αριθμοί z = f()+g()i - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

11 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ α) Αν f() = 4 και g() =, τότε: i) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z κινούνται σε κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. ii) Να βρείτε την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή του αθροίσματος f () + g (), στην περίπτωση που ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι ο κύκλος του προηγούμενου ερωτήματος. β) Αν υπάρχει α R ώστε zα = + i, τότε: i) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης ii) Να βρείτε τις συναρτήσεις f,g ΛΥΣΗ α) i) Για κάθε R είναι: ( f ()+g () ) Α = z z α α = f () + g () ( f() ) + ( g() ) = f()f () + g()g () = f () + g () f () f() + g () g() = Για = από τη σχέση () έχουμε: f() + g() = c () f() + g() = c + 4 = c c = 5 Άρα, για κάθε R ισχύει: f() + g() = 5 που σημαίνει ότι οι εικόνες των μιγαδικών ακτίνα ρ= 5 z κινούνται σε κύκλο με κέντρο Κ (, ) και ii) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει z = f () + g (), οπότε το άθροισμα f () + g () λαμβάνει την ελάχιστη (μέγιστη) τιμή του, όταν το μέτρο του z λαμβάνει την ελάχιστη (μέγιστη) τιμή. Η ελάχιστη τιμή του z είναι ίση με: ( ΟΑ) = ( ΑΚ ) ( ΟΚ) = 5 Η μέγιστη τιμή του z είναι ίση με: ( ΟΒ) = ( ΒΚ) + ( ΟΚ) = 5+ Επομένως η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος είναι: m = ( 5 ) = 7 και η μέγιστη τιμή του είναι: Μ = ( 5 + ) = ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

12 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ β) i) Είναι: και οπότε Α= α = + = + = = z ( i) ( i) (i) α = = = = z ( i) ( i) ( i) ii) Για =α έχουμε: και η σχέση () γίνεται: Άρα, για κάθε R ισχύει: Επομένως: z α= + i f(α) = zα = f(α) + g(α)i f(α) + g(α)i = + i g(α) = f(α) + g(α) = c + = c c = f() + g() = f() =, R και g() =, R ΘΕΜΑ 7ο : 4 Έστω f(z)= z+, όπου z μιγαδικός αριθμός με z z α) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z και z, για τους οποίους ισχύει f(z) = και στη 4 4 z z + z z συνέχεια να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z, z και z = στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο με κέντρο Ο(, ) και ακτίνα ρ = β) Αν f(z) R και z C R, τότε: ( + ) i) Να βρείτε το όριο ( h ) h + lim ln z h ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( + ) t f(z) 4 t ( 4 f(z) ) ρίζα ως προς t στο διάστημα (, ) + = t t έχει μία ακριβώς γ) Αν f(z) = z, z C, τότε: i) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο. ii) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του z z όπου z, z δύο από τους μιγαδικούς z του (γ. i) ερωτήματος με Im(z ) Im(z ) < ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

13 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΗ 4 α) f(z) = z+ = z + 4 = z z z+ 4 = () z ± i z= z= ± i Άρα z = + i και z = i () Είναι: 4 4 z z + z z z z z = = ( z + z ) = () zz 4 = z + z z z z + z = ( 8) = () γιατί z z = 4, z z + = και z + z = z + z z z = 4= 4 Ισχύει: z z = z z = z z = και z = z = z = Άρα οι εικόνες των μιγαδικών z, z και z στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο με κέντρο Ο(, ) και ακτίνα ρ = β) i) Έχουμε: ( zz ) f (z) R f (z) = f(z) z + = z + z + = z + z z z z z zz + 4z = z zz + 4z z z + 4z = z z + 4z z z z 4 z z = z z z 4 = z z= ή z 4= z= z ή z = 4 z R z R ή z = z = () Είναι: ii) Είναι: lim ( ln( z h + ) h) h h lim ( ln( + ) ln ) h + h + = = h h h + = lim ln = lim ln = lim ln t =, h + h + h + + t h h h h t = + τότε lim + = h + (t ) f(z) + 4 t 4 f(z) + = t t (t ) f(z) t 4 f(z) = (4) γιατί αν θέσουμε - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

14 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρούμε τη συνάρτηση g(t) = t (4 f (z)) + (t ) (f (z) + 4), t [, ] Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο διάστημα [,] ως άθροισμα συνεχών και g() g() <, γιατί g() = 8 (f (z) + 4) < και Από το (β) ερώτημα έχουμε ότι: g() = (4 f(z)) >, λόγω της (5). f(z) R και z C R Ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, άρα στο διάστημα (, ) η εξίσωση g(t) =, λόγω της (4) είναι ισοδύναμη με την ( t ) ( f(z) + 4 ) t ( 4 f(z) ) εξίσωση + =, t t οπότε η δοθείσα εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ). Η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, ), επειδή g (t) = t (4 f (z)) + (t ) (f (z) + 4) > για κάθε t (,), άρα η ρίζα αυτή είναι μοναδική. γ) i) Έστω z = + yi, z z 4 f(z) = z z+ = z z + 4 = z z + 4 = ( z z) z z + 4 z + 4 = z z z z + 4z + 4 z + 6= z z z= + yi z + z + 4 = y + 4 = y = Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ισοσκελής υπερβολή c:y = με α=β= και γ=, που έχει εστίες τα σημεία Ε, και κορυφές τα σημεία Α, και Α, Ε (,) και και από την () έχουμε ότι z = Είναι: δηλαδή 4 4 f(z) z + = + = 4, z f(z) R f (z) 4 4 f (z) 4, 4 όμως f(z) = 4 z+ = 4 z = z και f (z) = 4... z = και επειδή z C R τελικά ισχύει 4 < f (z) < 4 (5) - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

15 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ii) Είναι: Im(z ) Im(z ) < 4 5 Άρα οι εικόνες των z, z στο επίπεδο θα βρίσκονται σε διαφορετικό κλάδο της υπερβολής 4 5 c:y = Αν Κ, Λ οι εικόνες των z, z αντιστοίχως, τότε έχουμε: z z = ΚΛ ΑΑ = Άρα η ελάχιστη τιμή του z z είναι η ΘΕΜΑ 8ο : Έστω η συνάρτηση f : R R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f(), για κάθε R () f()f( ) =, για κάθε R () α) Να βρείτε το f() και να αποδείξετε ότι f() = R f() β) Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση g() =, (, + ) i) Nα μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ΛΥΣΗ ii) Nα βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης g iii) Aν για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει lnα + lnβ + lnγ =, να αποδείξετε ότι, β+γ α+γ α+β α + β + γ α) Για = από τις σχέσεις () και () αντίστοιχα έχουμε: Άρα f() = f() και f () = Επίσης, αν θέσουμε όπου το, από τη σχέση () έχουμε: () f( ) f() f() Από τις σχέσεις () και () έχουμε: β) i) Για κάθε (, ) + είναι: f() =, R g() = Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο (, + ), με ( ) g() = = Είναι: ( ) g() = = = ( ) g() > > >, R () - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

16 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Το πρόσημο της g() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, ] Η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, + ) Η συνάρτηση g παρουσιάζει ελάχιστο στο = με ελάχιστη τιμή g() = ii) Είναι: lim g() lim + g() + g() = + + =+ + + ( ) lim g () lim + + D.L.H = lim lim + + = = =+ () Η συνάρτηση g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ = (, ], άρα g( Δ ) = g(), lim g() ) = [, + ) + Η συνάρτηση g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ = [, + ), άρα g( Δ ) = g(), lim g() ) = [, + ) Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης g είναι: ελάχιστο + [ ) g( Δ ) = g( Δ ) g( Δ ) =, + iii) Είναι: Επομένως lnα + lnβ + lnγ = ln(αβγ) = αβγ = (4) g( α ) =, α α β g( β ) = και β g( α)g( β ) + g( β)g( γ ) + g( γ)g( α) γ g( γ ) = γ α β β γ γ α + + α β β γ γ α α + β β+ γ γ+ α γ + α + β αβγ (4) β + γ γ+ α α+ β α + β + γ β+ γ γ+α α+β α + β + γ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

17 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 9ο : Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R Rμε f(r) = R, οποία ικανοποιεί τη σχέση: συν f() + 4f() = για κάθε R () α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. f() γ) Να υπολογίσετε το όριο lim π δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () = ημ έχει μοναδική λύση στο διάστημα, 4 ΛΥΣΗ α) Έστω, R με f( ) = f( ), τότε έχουμε: συνf =συνf συν f =συν f () 4f ( ) = 4f ( ) () Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις () και () έχουμε: () + =συν +4 = συν f 4f f f Άρα η συνάρτηση f είναι, οπότε αντιστρέφεται. Από υπόθεση γνωρίζουμε ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το R, επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Για να ορίσουμε τη συνάρτηση Ισχύει η ισοδυναμία: είναι το R f = = f() y f (y) οπότε η σχέση () ισοδύναμα γράφεται: συν y 4y f (y) + = ή Άρα η αντίστροφη συνάρτηση της f είναι: f :R R με απομένει να βρούμε τον τύπο της f (y) = 4y+ συν y f () = 4+ συν β) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, άρα και η συνάρτηση συνf() είναι παραγωγίσιμη στο R, ως σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων, όπως επίσης και η συνάρτηση Παραγωγίζοντας λοιπόν και τα δύο μέλη της σχέσης () έχουμε: συνf() ( συνf() )+ 4f () = συνf()ημf()f () + 4f () = ( 4 συνf()ημf() ) f () = f () = 4 ημf()συνf() συν f() - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

18 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Για κάθε R ος τρόπος: ος τρόπος: οπότε: είναι: ημf() ημf() συνf() συνf() ημf()συνf() ημf()συνf() ημf()συνf() ημf()συνf() 4 ημf()συνf() > 4 ημf()συνf() = + ημf()συνf() = = + ημ f() + συν f() ημf()συνf() = = + ( ημf() συνf() ) > f () >, για κάθε R Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R γ) Για = έχουμε: Είναι: Όμως: Άρα: f () = f () = f() f() f() lim = lim = f () f() = f() = = = 4 ημf() συνf() 4 ημ συν 4 lim f() = 4 δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f () ημ = 4+ συν ημ, R Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο διάστημα π + π h h() = < 4 < π, 4, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano, οπότε η εξίσωση h() = έχει π μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, 4 π Για κάθε, 4 είναι: h() = 4 ημσυν συν = 4 συν + ( ημ συν ) > > > π Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο,, οπότε η ρίζα είναι μοναδική. 4 - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

19 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω η συνεχής συνάρτηση f: [,+ ) R με f() =, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο α με α > και ικανοποιεί τις σχέσεις: f(y) =f()f(y) για κάθε, y > () f() για κάθε > () Α) Να αποδείξετε ότι: α) f() f = για κάθε > f() = και β) f() για κάθε γ) η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) με f () αf (α) = για κάθε > f() f(α) Β) Αν η ευθεία ε : α y+ α = είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ( α,f( α) ),να βρείτε τον τύπο της f. ΛΥΣΗ Α) α) Για y= και > από τη σχέση () έχουμε: f ( ) = f ()f () f () = f ()f () f () f () = f () = () Για > και y = από τη σχέση () έχουμε: () () f ( ) = f ()f f () = f ()f f ()f = f ( ) = (4) f() β) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται στο διάστημα (,+ ), άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (,+ ) και επειδή f() = > συμπεραίνουμε ότι : f() > για κάθε (,+ ) (5) Από την υπόθεση είναι f() =, οπότε τελικά έχουμε f() για κάθε f() f(α) γ) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο α >, οπότε ισχύει lim = f (α) α α Για να είναι η f παραγωγίσιμη στο (, + ), αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε τυχαίο (, + ) o Έστω (, + ), τότε για κάθε (,+ ) όταν το o το h α και έχουμε o () (6) h με o θέτουμε =o με h >, οπότε α ( h ) ( h o o o ) o ( h α α α ) f() f f f ff f f αf () () o o = = = = h (h o o o α) h α o o α α - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

20 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ f(h)f (4) f(h) α f( o) α α f( o) f(α) α f( o) f(h) f(α) = = = o h α o h α f(α) o h α Είναι: α f α f lim = f (α) f (α), αφού o o h α o o α f o f(α) σταθερά. o f(h) f(α) h α (6) lim = h α f (α) Επομένως f() f α f f(h) f(α) = = h α o o lim lim o f(α) o h α o α f f(h) f(α) α f = = h α o o lim lim f (α) h α f(α) o h α of(α) Άρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε (, + ) οπότε είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) με Για κάθε (, + ) είναι: αf( o) o με f() o = f(α), f(α) o α f() f () = f (α) f(α) () α f() f() α f (α) f () = f (α) = (7) f(α) f() f(α) Β) Είναι: Είναι: Μ( α,f (α)) ( ε) α α f(α) + α = α α f(α) =α f(α) = f(α) = α α f(α) =, α > (9) α (8) Από τις σχέσεις (7), (8) και (9) έχουμε: α f() α f () = = f() α f() f () = = f() ( nf() ) ( n) (5) nf () = n + c nf () = n + c, > () - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

21 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Για =α από τη σχέση () έχουμε: Επομένως από τη σχέση () έχουμε: (8) nf(α) = n α + c n α = n α + c c= nf() = n f() =, > Επειδή η συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο με f() =, συμπεραίνουμε ότι: f() =, ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:r R, η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση f(α)<f ()<f(β) (), όπου α, β R με α = β > (). Να αποδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. β) Η συνάρτηση g() = f() f(α) είναι γνησίως αύξουσα και ότι f(α) < f(β) γ) Η εξίσωση f() = έχει μια ακριβώς λύση στο ( β, α ) δ) Υπάρχουν,, R τέτοια, ώστε να ισχύει ΛΥΣΗ f(β) f(α ) f( β) + = 4β f f f α) Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [ α, β ], αφού είναι παραγωγίσιμη στο R, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε Από τη σχέση () έχουμε: f(β) f(α) f(ξ) < f (β) < f (β) β α Είναι: Από τις σχέσεις () και (4) έχουμε: Από τις σχέσεις () και (5) έχουμε: α= β β α= (4) f(β) f(α) f(ξ) = β α () f(β) f(α) < f(β) f(α) < f(α) > (5) f() > f(α) > για κάθε R Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R β) ος τρόπος: Είναι: (4) f(β) f(α) f() ξ = = f(β) f(α) β α Από τη σχέση () έχουμε: f(β) f( α ) < f ( ξ) f(α) < f(β) f(α) f(α) < f(β) f(α) < - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

22 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ος τρόπος: Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R με g() = f () f(α) (6) Από τις σχέσεις () και (6) έχουμε: g() > για κάθε R Άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο R Ισχύει: g α< β g(α) < g(β) f(α) α f(α) < f(β) βf(α) (4) f(β) f(α) +(β α )f(α) < f(β) f(α) < f(β) f(α) < γ) Είναι: α > α > α= β > β < < < α β > β < Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [ β, α], αφού είναι παραγωγίσιμη στο R, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( β, α) τέτοιο, ώστε f(ξ ) Από τη σχέση () έχουμε: (7) f(α) f( β) = α+ β f(α) f( β) f(α) < f (ξ ) f(α) < αf(α) + βf(α) f( α ) < f( β) α+ β () αf(α) + (β ) f( α ) < f( β) αf(α) < f( β) Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουμε: Έχουμε: αf(α) > άρα f( β) >, οπότε f( β) < (8) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ β, α], αφού είναι παραγωγίσιμη στο R. f( β)f(α) <, λόγω των σχέσεων (5) και (8) Επομένως η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [ β, α ], άρα θα υπάρχει ένα ρ ( β, α) και μάλιστα μοναδικό, αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, τέτοιο ώστε f(ρ) = (9) δ) Είναι: β < ρ < α < β Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. σε καθένα από τα διαστήματα άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον: [ β, ρ ], [ ρ, α ] και [ ρ, β ] - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

23 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( β, ρ) τέτοιο, ώστε (ρ, α) τέτοιο, ώστε (ρ, β) τέτοιο, ώστε Είναι: β β β f() = f() = ρ +β= ρ ( β) ρ+β f() (9) f() > f(ρ) f f f (9) f( ) > f(α ) f (ρ ) f (α ) f (α ) f = f = α ρ = α ρ α ρ f (9) f( ) > f(β ) f (ρ ) f (β ) f (β ) f ( ) = f ( ) = β ρ = β ρ β ρ f () f(β ) f (α ) f ( β) + = (β ρ) + (α ρ) + ( ρ+β)= α+ β = 4β f f f ΘΕΜΑ o : Έστω η συνεχής συνάρτηση f:,+ R, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο, +, π π έχει σύνολο τιμών f ( A ) =, και ικανοποιεί τη σχέση ημ f() =, () + α) Να αποδείξετε ότι f () =,, β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τις ασύμπτωτες. ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα,+ και η συνάρτηση ημ στο R, άρα η συνάρτηση ημf() είναι παραγωγίσιμη στο Η συνάρτηση + δύο μέλη της σχέσης () για κάθε Είναι:,+ είναι παραγωγίσιμη στο (, ) (,+ ), + έχουμε: ()( + ) ( + ) = = + (+ ) [ ημf() ] συνf()f () + συνf()f () = συνf()f () = ( + ) ( + ) ημ f() + συν f() = συν f() = ημ f(), ως σύνθεση παραγωγισίμων., άρα παραγωγίζοντας και τα () () + = = συν f() συν f() ( + ) ( + ) () - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

24 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Για κάθε, + είναι: π π <f() <, οπότε συνf() > (4) Από τις σχέσεις () και (4) έχουμε: συνf() = Από τις σχέσεις () και (5) έχουμε: f() = f() = , (5), + β) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο,+ και f() > για κάθε, +, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Η συνάρτηση f είναι και έχει σύνολο τιμών,+, άρα είναι και, επομένως αντιστρέφεται. π π f(a) =,, επομένως για κάθε π π y, υπάρχει μοναδικό, + τέτοιο, ώστε f() = y = f (y) π π Άρα για κάθε y, η σχέση () γράφεται: Επομένως: ημy= ημy + ημy= ( ημy) = ημy + ημy ημy = = ημy ημy f (y) π π f :, R με f ημ () = ημ γ) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο,+, άρα το σύνολο τιμών της f π π είναι το διάστημα f( A) = f, limf() + και επειδή f ( A ) =, συμπεραίνουμε ότι π lim f() = + Επομένως η γραφική παράσταση ευθεία (ε) : π y = C της συνάρτησης f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο + την f - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

25 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επειδή η f είναι συνεχής στο,+ για,+ ισχύει lim f() = f( ) R, που σημαίνει ότι η γραφική παράσταση C της συνάρτησης f δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. Σημείωση: Η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήμα. f ΘΕΜΑ o : Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:r R, που έχει σημείο καμπής το O(,) και της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g() = f() β) Με δεδομένο ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g έχει ασύμπτωτες, να τις βρείτε. γ) Να μελετήσετε τη συνάρτησης g ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να χαράξετε τη γραφική της παράσταση δ) Αν η συνάρτηση f είναι πολυωνυμική ου βαθμού, τότε: i) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ και τον τύπο της συνάρτησης f ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα ΛΥΣΗ α) Για να ορίζεται η συνάρτηση g πρέπει και αρκεί f() Είναι: f () και και Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι το σύνολο Α = R {,, } g β) Από τη γραφική παράσταση C της συνάρτησης f, προκύπτει ότι: f lim f () =, οπότε lim g () = lim = f() lim f () =+, οπότε lim g () = lim = + + f() + Επομένως η ευθεία y = είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης C g της συνάρτησης g και στο και στο + - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

26 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Είναι: lim f () lim f () = και f()< για <, οπότε = και f()> για >, οπότε = = lim g () lim f() lim g () = lim =+ f() + + Επομένως η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης C g της της συνάρτησης g ( ) Είναι: limf () limf () = και f()> για (,) = και f()< για (, ), οπότε, οπότε = =+ lim g () lim f() lim g () = lim = f() + + Επομένως η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης C g της της συνάρτησης g ( ) Είναι: limf () limf () = και f()< για (, ) = και f()> για >, οπότε, οπότε = = lim g () lim f() lim g () = lim =+ f() + + Επομένως η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης C g της της συνάρτησης g ( ) ( ) Για την εύρεση μιας κατακόρυφης ασύμπτωτης, ως γνωστόν, αρκεί ένα τουλάχιστον από τα δύο πλευρικά όρια να είναι + ή. Εδώ ο υπολογισμός και των δύο πλευρικών ορίων, σε κάθε περίπτωση, έγινε γιατί μας είναι απαραίτητα για την χάραξη της γραφικής παράστασης, που ζητείται στο επόμενο ερώτημα. γ) Για κάθε Α R {,, } f () g () = = () f() f () g = έχουμε Από τη σχέση () συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση g, σε κάθε διάστημα που ορίζεται, έχει το αντίθετο πρόσημο από αυτό που έχει η συνάρτηση f, άρα οι συναρτήσεις g και f έχουν αντίθετο είδος μονοτονίας σε κάθε διάστημα. Επομένως: Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, κ], άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα (, ) και (,κ] Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [ κ, λ ], άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα [ κ,) και (,λ ] - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

27 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ λ, + ), άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα [ λ,) και (,+ ) Έτσι έχουμε τον παρακάτω πίνακα: Η συνάρτηση g στο Η συνάρτηση g στο = κ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο με τιμή = λ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο με τιμή g (κ) = = f (κ) g (λ) = = f (λ) Η γραφική παράσταση C g της συνάρτησης g, είναι: δ) i) H συνάρτηση f είναι πολυωνυμική ου βαθμού και έχει τρεις ρίζες, τους αριθμούς,,, άρα είναι της μορφής: Για κάθε Είναι: Άρα: f() = α( + )( ) = α 4 = α 4, R R είναι: f() = α( 4) 4 4 f() = α( 4) = = =± =± κ = και λ = - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

28 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Είναι: Άρα: f(κ) = f = α 4 = α + = α= α= α= f() = ( 4), R 6 ii) Tο εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και τον άξονα είναι: Ε = f () d = f ()d f ()d = 9 9 = ( 4) d ( 4) d = = = = ( 4+ 8) ( 4 8 ) = = 4 ( 4) = = ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

29 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 4ο : Δίνεται η συνάρτηση f με f() = n, > α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Αν η τετμημένη του σημείου Μ (,f() ) μεταβάλλεται με ρυθμό μ /sc, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε(t) του τριγώνου ΑΟΒ, όπου A(,), Ο(, ), Β(,f() ), τη χρονική στιγμή t κατά την οποία είναι (t ) = 4 γ) Αν τη χρονική στιγμή t= το σημείο Μ βρίσκεται στη θέση (,), τότε να αποδείξετε ότι: i) (t) = t+ ii) Η συνάρτηση Ε(t) είναι κοίλη στο διάστημα [, + ) ΛΥΣΗ α) Για < < έχουμε: Για n < < n < n n < n >, οπότε n = n έχουμε: n n n n n, οπότε n = n Επομένως ο τύπος της συνάρτησης f είναι: n, < < f() = n, Για < < η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη, ως πηλίκο παραγωγισίμων συναρτήσεων με παράγωγο: n ( n) ( n) () f() = = = ( n) n = = < 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

30 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Για > η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη, ως πηλίκο παραγωγισίμων συναρτήσεων με παράγωγο: n ( n ) ( n ) () f() = = = ( n ) n = = Είναι: n f() = = n= n= = n f() < < n< n> > Το πρόσημο της f () καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Είναι: + f() + f() ο.ε. τ.μ. n lim f () = lim = lim ( n) = , γιατί lim ( n) =+ + lim =+ + n ( n ) lim f () = lim = lim = lim = lim = + + D.L.H + () + + n f() = = = n n = = = = = f( ) Επίσης η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (,+ ), ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Η συνάρτηση n είναι συνεχής στο (,+ ), ως απόλυτη τιμή της συνάρτησης n, που είναι συνεχής, ως διαφορά συνεχών και η συνάρτηση είναι συνεχής, ως πολυωνυμική, οπότε έχουμε: Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ = (, ] Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ =, 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

31 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ =, + ) Η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο = με ελάχιστη τιμή f() = Η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο = με τιμή f( ) = β) Το εμβαδό του τριγώνου ΑΟΒ είναι: Άρα: n n E = ( ΟΑ) ( ΟΒ ) = f() = = E(t) = n(t) Επειδή (t ) = 4 > το n(t ) < Άρα για (t) > έχουμε: n(t) E(t) = και Άρα τη χρονική στιγμή t με (t ) = 4 είναι: γ) i) Για t έχουμε: Για t = είναι: Επομένως: ii) Για t έχουμε: E (t) = (t) (t) E(t ) = (t ) = = τμ.. (t ) 4 8 sc (t) = (t) = t + c () = () = + c c = (t) = t +, t n(t+ ) n(t + ) E(t) = = Για t > έχουμε: E(t) = > και t+ E (t) = < t+ Η συνάρτηση Ε(t) είναι συνεχής στο [, + ) και E (t) < για κάθε t (, + ) 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

32 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ άρα η συνάρτηση Ε(t) είναι κοίλη στο διάστημα [, + ) ΘΕΜΑ 5ο : Δίνονται οι συναρτήσεις f, g: (, ) + R, με ( ] ln,, f() =,, + και g() = f(t)dt α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο o = με f ()= β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης g γ) Να υπολογίσετε τα όρια: i) lim g() + και δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης g ii) lim g() + ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g () = έχει δύο ακριβώς ρίζες στο διάστημα (,+ ) στ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι κοίλη στο (, και κυρτή στο, + ) ΛΥΣΗ α) Για (,) είναι f() f() ln ln = =, οπότε ln + f () f () ln ( ln) lim = lim = lim = lim = lim ( ln + ) = ( ) D.L.H Για (, ) + είναι f() f() = =, οπότε f() f() ( ) ( ) o lim = lim = lim = lim = lim = = ( ) + + D.L.H Άρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο β) Για (,] είναι: o = με f () = t t t g() = f(t)dt = tlntdt = lntdt lnt ( lnt) dt = = t = ln ln dt = ln + ln t dt = 8 t 8 ln ln ln ln t = + = + = ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

33 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ = ln + + ln Για (, ) + είναι: t ( ) g() = f(t)dt= f(t)dt+ f(t)dt = g() + dt = t = ln + + ln + (t ) dt dt = t ln = + + = 6 8 = + ln + + = + ln Άρα ο τύπος της συνάρτησης g είναι: γ) i) Για (, ) ln + + ln, (, ] g() = + ln, (, + ) 6 8 είναι: + + lim g() = lim ln ln + + ln ln = + + = +, γιατί ( ) ln + (ln) lim ln + = lim + = lim lim lim D.L.H + = + = + = ii) Για (, + ) είναι: ( 6 8 ) lim g() = lim + ln =+, γιατί + lim ( ) = lim =+, αφού + + lim + =+ + + ( ) ( ) lim lim lim lim D.L.H ( + ) = = = =+ () lim + =+ δ) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (, + ), αφού είναι συνεχής: 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

34 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ στο (, ), ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων στο (, + ), ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων (η είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών) στο σημείο o =, αφού είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό από (α) ερώτημα. Επομένως η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με Παρατηρούμε ότι: Άρα Για κάθε (, ) είναι f() = ln< Για κάθε (, + ) είναι Για = είναι f() = ln = g() > (, + ) g() < (, ) g() = = g() = f(t)dt = f(), > f() = > Το πρόσημο της g() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. + g() g() g() + ελάχιστο Είναι: ln4 4 4 g() = ln + + ln = ln = = ln <, αφού < < Η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ = (,] Η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ = [, + ) Η συνάρτηση g παρουσιάζει ελάχιστο στο με ελάχιστη τιμή g() = ln 4 = 6 Το σύνολο τιμών της συνάρτησης g είναι: g ( Δ ) = g ( Δ ) g ( Δ ) Η συνάρτηση g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ = (,], οπότε είναι: g( Δ ) = g(), lim g() 4 ln, ln + = ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

35 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η συνάρτηση g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ = [ ) Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης g είναι: ε) Είναι: g( Δ ) = 4 g(), lim g() ln, + 6 = + 4 g( Δ ) = g( Δ) g( Δ ) = ln, + 6 g = f(t)dt =, άρα ο αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης ), +, οπότε είναι: g()= στο διάστημα (, ] και μάλιστα μοναδική, αφού η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό Το g( Δ ), άρα η εξίσωση g()= έχει μία ρίζα (, ) ρ +, (ρ, αφού g() ) και μάλιστα μοναδική, αφού η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ = [, + ) Επομένως η εξίσωση g()= έχει δύο ακριβώς ρίζες στο διάστημα (,+ ) στ) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ), αφού είναι παραγωγίσιμη: στο (, ), ως γινόμενο παραγωγισίμων συναρτήσεων, με f () = ( ln) = ln + ( ln) = ln + = ln + στο (, + ), ως άθροισμα παραγωγισίμων συναρτήσεων ( η σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων), με στο σημείο f() = ( ) = ( ) = είναι παραγωγίσιμη ως o =, αφού είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό από (α) ερώτημα, με f () = Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ), αφού η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ), με g () = f () για κάθε (, + ) Επομένως Είναι: ( ] +ln,, g () = f () =, (, + ) g () = + ln = ln = = = (, ] < < < < < < g () > + ln > ln > > < < (, ] < < < < < < 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

36 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ = (, + ) > g () =, αδύνατη εξίσωση g () > > R > (, + ) > > Το πρόσημο της g () καθώς και η κυρτότητα της g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. - + g () g() + + g συνεχής στο, Είναι g () < στο, Άρα η συνάρτηση g είναι κοίλη στο διάστημα (, Είναι: > στο ( + ) g () η,, και C g δέχεται μη κατακόρυφη εφαπτομένη στο παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό ) Άρα η συνάρτηση g είναι κυρτή στο διάστημα, + ΘΕΜΑ 6ο :, αφού η συνάρτηση g είναι Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:r R με συνεχή παράγωγο, που ικανοποιεί τις σχέσεις: ( f () ) f () + =, για κάθε R + () f ( ) < < f () () f() = () α) Να αποδείξετε ότι f() = + +, R β) Να αποδείξετε ότι f() > για κάθε R γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα. δ) Αν h() = lnf(), R, τότε : i) Nα αποδείξετε ότι h() = +, R = ii) Nα βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

37 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις = και = iii) Να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ α) Για κάθε R έχουμε: f() h() > για κάθε (,+ ). f () f () + = f () f () + = + + ( f() ) g() = = + + Για κάθε (, ) είναι: g () g() + > > (4), όπου g() = f (), R και επειδή η συνάρτηση g είναι συνεχής στο (, ), ως άθροισμα συνεχών, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, ). Για = είναι () g( ) = f ( ) < οπότε g() <, για κάθε (, ) Αφού g() <, για κάθε (, ), από τη σχέση (4) ισοδύναμα έχουμε: < g() = g() = g() = g() = f () = f () = , για κάθε (, ) Για κάθε (, + ) είναι: g () g() + > > και επειδή η συνάρτηση g είναι συνεχής στο (, + ), ως άθροισμα συνεχών, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, + ). Για = είναι () g() = f () > οπότε g() >, για κάθε (, + ) Αφού g() >, για κάθε (, + ), από τη σχέση (4) ισοδύναμα έχουμε: > g() = g() = g() = g() = f () = f () = Για = από τη σχέση () έχουμε:, για κάθε (, + ) 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

38 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Άρα f () f () + = f () = f () = f () = f() = + +, για κάθε R Για κάθε R έχουμε: Για = είναι f () = + f () = + + f () = c + () f() = c c=. Άρα f() = + +, για κάθε R β) Για κάθε R είναι: f() = + + > + = + Άρα f() > για κάθε R (5) γ) Για κάθε R έχουμε: (5) + + f() f() = + = = > Είναι f() >, για κάθε R, οπότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R Επίσης η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, με: + + () f () = + = = = = = > Είναι f () >, για κάθε R, οπότε η συνάρτηση f είναι κυρτή στο R δ) i) Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο R, με + + h () = ( lnf() )= f () = =, R f() ii) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και f() > για κάθε R, οπότε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις = και = είναι: E = f()d = + + d = d + + d =Ι +Ι 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

39 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Είναι: Ι = d = = Ι = + d = () + d = + + d = + = ( + ) d = d = d = = d + d = + d + h ()d = + + [ ] = Ι + h() = Ι + h() h() = Ι + lnf() lnf() = = Ι + ln+ ln= Ι + ln+ Είναι: Ι = Ι + ln + Ι = + ln +, οπότε Επομένως: + ln ( + ) + + ln ( + ) E =Ι +Ι = + = τ.μ Ι = + ln + ii) Θεωρώ συνάρτηση Φ () h() f (), = + + [, + ) Η συνάρτηση Φ είναι παραγωγίσιμη στο [, + ), με Φ () = h() + h () f () + = h() = + + = h() = h() (6) + + Είναι h() >, για κάθε R, οπότε η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο R Επομένως, για κάθε > είναι h () > h () h () > lnf () h () > ln h () > (7) Από τις σχέσεις (6) και (7) συμπεραίνουμε ότι Φ () > για κάθε (, + ) Είναι: [ ) Φσυνεχςστο ή, + Φ () > στο, + Άρα η συνάρτηση Φ είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ), οπότε για κάθε > είναι: Φ () > Φ () h() f () + + > h() f () + + () 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

40 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Δηλαδή ΘΕΜΑ 7ο : > f() h() f () + + > h () > f() h() > για κάθε (, + ) Έστω η συνεχής συνάρτηση f: [, + ) R, η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο (,+ ) και ικανοποιεί τις σχέσεις: 4f() ( f ()) = για κάθε (,+ ) f () για κάθε (,+ ) () () f () = f () = () α) Να αποδείξετε ότι f() για κάθε (,+ ) β) Να αποδείξετε ότι ( f ()f () ) = για κάθε (,+ ) γ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. δ) Αν f() =,, τότε: i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f Μα,f( α), με α >. στο σημείο της ii) Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη (ε) και τον άξονα. iii) Αν ένα σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της f έτσι, ώστε να απομακρύνεται από τον άξονα yy με ρυθμό μονάδες το δευτερόλεπτο, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε του χωρίου Ω τη χρονική στιγμή κατά την οποία η τετμημένη του είναι ίση με 4 μονάδες. iv) Να βρείτε λ ( α, α) ΛΥΣΗ τέτοιο, ώστε η ευθεία με εξίσωση = λ να χωρίζει το χωρίο Ω σε δύο ισοεμβαδικά χωρία. α) Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει (, ) ο ο ο ο + τέτοιο, ώστε f( ο) =, τότε από τη σχέση () έχουμε: 4f f = 4f = =, που είναι άτοπο. Άρα f() β) Για κάθε (,+ ) είναι: για κάθε (, ) () + (4) 4f() f () = 4f () f () f () = f() (4) f() 4f()f () = ( f ()) f () ( f () ) = f() = + c (5) f() Για = από τη σχέση (5) έχουμε: 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

41 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ f() = c c c f() + 4 = + = (6) Από τις σχέσεις (5) και (6) έχουμε: ( f () ) = 4( f ()) ( f () ) = ( f ()f () ) = (7) f() γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση Από τη σχέση (7) έχουμε: g() = f ()f (), (, + ) g() =, για κάθε (,+ ) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο (,+ ), ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων. Από τις σχέσεις () και (4), έχουμε ότι g() για κάθε (,+ ) Άρα η g διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (,+ ) και επειδή συμπεραίνουμε ότι g() > για κάθε (,+ ) Επομένως για κάθε (,+ ) Για = έχουμε: Άρα είναι: έχουμε: g () = f ()f () = f () = () f () = + c f () = + c = + c c = f () =, (,+ ) g() = f ()f () = => Η f είναι συνεχής στο (,+ ) και από τη σχέση (4) έχουμε ότι f() για κάθε (,+ ) άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (,+ ) και επειδή f()= > συμπεραίνουμε ότι f() > για κάθε (,+ ) Επομένως έχουμε: f() =, (,+ ) Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής και στο δ) i) H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο o = ισχύει f() = limf() = lim =, Άρα είναι:, (,+ ) f() = f() =, [, + ), =,+ με f () = = Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Μα,f(α), με α > είναι: Είναι: ε :y f(α) = f (α)( α) 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

42 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επομένως: f(α) = α και f(α) = α ε :y α = ( α) α ε : α y + α = (7) ii) Το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη (ε) και τον άξονα είναι: α α α Ε = (ΑΜΒ) f ()d = ( ΑΒ)( ΒΜ) d = ( α) α d = =α α = =α α α = =α α α α= α α Ε= α α τ.μ. Δηλαδή α iii) Έστω ότι την τυχαία χρονική στιγμή t είναι: = α (t) (τετμημένη του σημείου Μ) και Μ Ε = E(t) (εμβαδόν του χωρίου Ω) Τη χρονική στιγμή t o είναι: = α (t Μ o) = 4 μονάδες και α (t o) = μονά δες /sc, Είναι: E(t) Τη χρονική στιγμή = α(t) και = = t o είναι: o o o E(t) α(t) α (t) α(t) α (t) E(t ) = α(t ) α (t ) = 4 = τετραγωνικές μονά δες /sc 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

43 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ iv) Έστω Ν το σημείο τομής της εφαπτομένης (ε) και του άξονα yy. Για = από τη σχέση (7) έχουμε: α α y =, οπότε Ν, Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΝ είναι: α Ε =ΟΑΝ= ( ΟΑΟΝ= ) α = αα 4 Από την προφανή σχέση Ε α α > α α προκύπτει ότι Ε 4 6 >, οπότε η ζητούμενη ευθεία, που χωρίζει το χωρίο Ω σε δύο ισεμβαδικά χωρία, θα έχει εξίσωση λ λ α, Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση = λ τέμνει τον άξονα στο σημείο Γ( λ,) και την ευθεία ε στο σημείο Δ. Για = λ από τη σχέση (7) έχουμε λ+α y =, α οπότε Δ λ, λ+α α Είναι: Ε =(ΑΓΔ)= ( ΑΓ)( ΓΔ ) = λ+α ( λ+α) = ( λ+α ) = α 4 α Έχουμε: ΘΕΜΑ 8ο : Ε Ε ( λ+α) ( λ+α) = = α α = α α 4 α 4 α 6 λ+α = α λ+α = 6 α λ+α> λ+α= 6 α α> λ= α α λ= α λ= α Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g: (, ) f() g() f () =, για κάθε (, ) g () = >, για κάθε (, ) g () g () f() = g() = + () + () = με + R, οι οποίες ικανοποιούν τις σχέσεις: 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 44

44 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ α) Να βρείτε τις συναρτήσεις f και g β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τις C f, Cg και τις ευθείες με = και = γ) Να υπολογίσετε το όριο lim(f()) + g() δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln+ + = έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα f() g() + (, ) ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση f() g() () ισοδύναμα γράφεται f ()g() g ()f () f () = () g() g() είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) ως πηλίκο παραγωγισίμων, οπότε η σχέση Από τη σχέση () προκύπτει ότι g() Είναι: για κάθε (, ) +, οπότε g() g () = g () = () c = = + g () g() g() g() =, οπότε c = Άρα: = g() =, (, + g() ) (4) H σχέση () λόγω των σχέσεων () και (4) γράφεται: Είναι: Άρα: f ()g() g ()f () = f () f () f () f () = f () f () f () + = f () + = + f() f() = = c f() c,, + = f() =, οπότε c = f() = +,, + β) Στο διάστημα [, ] ισχύει: f() g() = + = + >, 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 45

45 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ οπότε το ζητούμενο εμβαδόν είναι Ε = + d = [ + ln] = + ln γ) Για κάθε (, ) + είναι: f() = + και g() = οπότε το ζητούμενο όριο λαμβάνει τη μορφή lim ln + + = +, αρκεί να υπολογίσουμε το όριο lim ln και επειδή για κάθε (, ) Είναι: ln lim ln lim + + = = lim =, οπότε lim + D.L.H + + = = + δ) Για κάθε (, ) οπότε + είναι: f () =, = + = και g() f () = [g () + ] = και η δοθείσα εξίσωση στο διάστημα [,] είναι ισοδύναμη με την Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = ln, [, ] ln = Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση h() =, έχει μια ακριβώς ρίζα στο διάστημα (, ) H συνάρτηση h είναι συνεχής στο [,], ως άθροισμα συνεχών h() = = < και οπότε h() h() < h() = 5 = >, γιατί 5 + είναι 5 > και >, Άρα η συνάρτηση h ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano, οπότε η εξίσωση h() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ). Για κάθε (,) έχουμε: αφού για < < είναι: h() = > 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 46

46 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ > > (+) > < > Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα, οπότε η εξίσωση h() = θα έχει μια ακριβώς ρίζα στο διάστημα (, ) ΘΕΜΑ 9o : Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:r R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f () f () = (4 + ), για κάθε R () f = f( ) = () α) Να αποδείξετε ότι f()=, R β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ (,) ε) Να υπολογίσετε το όριο lim f(t)dt ΛΥΣΗ α) Για κάθε R είναι: τέτοια, ώστε f (ξ )f (ξ )= f () f() = (4 + ) f () f () + f () f() = (4 + ) f () f () + f () f () = 4 + f () + f () ( ) + f () + f ()( ) = ( + ) ( f() ) + ( f() ) = ( + ) ( f () + f () ) = ( + ) f () + f () = + + c () Για = από τη σχέση () έχουμε: () + = + + = f () f() c c Άρα η σχέση () γράφεται: f () + f () = +, R Για κάθε R είναι: f () + f () = + f () + f () = + f() + f() = ( ) + ( f() ) = ( ) f() = + c (4) Για = από τη σχέση (4) έχουμε: 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 47

47 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ () f() = + c c = Άρα η σχέση (4) γράφεται: = =, R f() f() β) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, οπότε δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Για (, + ) είναι: f() lim lim lim ( ) = = =+ Άρα η γραφική παράσταση y = λ + β στο + Για (, ) είναι: C της συνάρτησης f δεν έχει ασύμπτωτη της μορφής f + ( + ) + lim f () = lim ( ) lim lim D.LH = = ( ) = lim lim lim lim ( ) D.LH = = ( ) = = = = Άρα η ευθεία y = είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης f f στο γ) Για κάθε R είναι: f () = + = ( + ) Είναι: f () = ( + ) = = ή = f () > ( + ) = < ή > Το πρόσημο της f() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. + f() f() τ. μ. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (, ] και [,+ ) και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [,] Η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο = με τιμή f( ) = 4 και ολικό ελάχιστο στο = με ελάχιστη τιμή f() =, αφού lim f () =, ( σχέ ση (5) ) ο. ε. (5) 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 48

48 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ δ) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, ως γινόμενο παραγωγισίμων συναρτήσεων, άρα ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ σε δύο διαστήματα, στα [,] και [, ], οπότε θα υπάρχουν: ξ (,) τέτοιο, ώστε ξ (,) Άρα έχουμε: f () f ( ) ( ) f (ξ ) = = = ( ) f() f() τέτοιο, ώστε f (ξ ) = = = ε) Για t [, ] με < έχουμε: f (ξ )f (ξ ) = f (ξ )f (ξ ) = f t f ( ) f (t) f () Επομένως: f( ) dt f(t) dt f() dt Για (, ) είναι: f( ) dt f(t) dt f() dt f( ) ( ) f(t) dt f() ( ) f( ) f(t) dt f() lim f () =, ( σχέ ση (5) ) = t lim f lim f (t) t = =, ( σχέ ση (5) ) Άρα από το Κριτήριο Παρεμβολής είναι και lim f (t) dt = ΘΕΜΑ ο : Έστω η συνεχής συνάρτηση f :(, + ) R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 49

49 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ f(t) f(t)dt+ ln + + ln= dt du, > 4 t+ u () f() + + α) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη με =, β) Αν συνέχεια τον τύπο της f ΛΥΣΗ + f() = (+)ln, >, τότε: > και να βρείτε στη i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, να βρείτε τις ασύμπτωτες της C και να f βρείτε το σύνολο τιμών της f ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση iii) Να αποδείξετε ότι + + =, > έχει μία ακριβώς θετική ρίζα + f() + ln f, > iv) Να αποδείξετε ότι tf (t )dt > f (t )dt, (, ) α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα (, + ), άρα η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με Η συνάρτηση f(t) t+ = f(t)dt f(), >. f(t)dt, (, + ) είναι συνεχής στο διάστημα (, + ) ως πηλίκο συνεχών, άρα η συνάρτηση u u f(t) f(t) f() g(u) = dt, u > είναι παραγωγίσιμη με g(u) = dt =,> t+. t+ + Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο διάστημα (, + ) ως παραγωγίσιμη, άρα η συνάρτηση g(u)du, (, + ) είναι παραγωγίσιμη με g(u)du g(), > =. Επομένως τα μέλη της () είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο διάστημα (, + ), άρα παραγωγίζοντας έχουμε: f(t)dt+ ln + + ln = g(u)du 4, οπότε f () + ln g() f () ln g(), > 4 = = 4 + () Η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (, + ), ως άθροισμα παραγωγίσιμων με f () f() f () = + g() f () = + f () = ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

50 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( + ) f () f() ( + ) f () f() + ( + ) ( + ) = = f() f() = = ( ln ( + ) ln ) f() ln ln c, c R, + = + + > () Για = από τη σχέση () έχουμε f() = ln + g() f() = ln4+ f() = ln 4 και από τη σχέση () έχουμε f() = ln + c ln = ln + c c = Άρα f() + = ln( + ) ln, > f () = ( + ) ln, > + β) i) Η f είναι παραγωγίμη στο (, + ) με + + f () ln ln ( ) ln + = + = = (+ ) (+ )() = ln + ( + ) = ln + = + + (+ ) + = ln + = ln, > Η συνάρτηση g(t) = lnt σε κάθε διάστημα [,+ ],> ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ., άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, + ) τέτοιο, ώστε Είναι: g(+ ) g() + g( ξ ) = = ln(+ ) ln = ln ( + ) ξ ξ (4) + + < <ξ< + > ln < ln < ξ (4) (5) Λόγω της (5) είναι f() <, για κάθε (, + ) άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα. Είναι: + lim f () = lim + ln =+ γιατί lim ln = lim lnt t + =+, + + t = και lim ( + ) = και + + lim = lim + =+ + + Άρα η ευθεία = (άξονας yy ) είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

51 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ + + ln ln ( + ) + lim f () = lim ln lim lim = = = + DLH ( + ) ( + )() ( + ) + = lim = lim + = lim + = ( + ) ( + ) + + = lim = lim = lim = ( + ) Άρα η ευθεία y = είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +. Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Α = (, + ) άρα το σύνολο τιμών της είναι το ( + ) f (A) = lim f (), lim f () = (, + ) + ii) Για > η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: = = ln = ln ln = ln = f () = (6) Η f είναι συνάρτηση, ως γνησίως φθίνουσα στο Α = (, + ) και f (A), άρα η εξίσωση (6) έχει μία ακριβώς λύση ως προς στο Α = (, + ). Δηλαδή η εξίσωση + + =, > έχει μία ακριβώς θετική ρίζα. iii) ος + + τρόπος: (ανισότητα Jnsn) f() + ln f f() + f() f που ισχύει για κάθε >, γιατί η f είναι κυρτή. Πράγματι: Για = η (7) ισχύει ως ισότητα. Για > η f στα διαστήματα + του Θ.Μ.Τ., άρα υπάρχουν ξ, + + f f() f f() f ( ξ ) = = + (7) +, και +, ικανοποιεί τις προϋποθέσεις και ξ και +, τέτοια, ώστε 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

52 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ + + f() f f() f f ( ξ ) = = + Για κάθε > η f είναι παραγωγίμη με + f () = + >, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) Είναι: f + f() f() f + < ξ < ξ f (ξ ) < f(ξ ) < f > f + f() f() f + f() f() f + f() ln f + < + > + > Ομοίως αν < < Άρα σε κάθε περίπτωση είναι: + f() + ln f ος τρόπος (με τη βοήθεια ακρότατου), για κάθε > Υπόδειξη: αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση + g() = f() f + ln, > έχει ελάχιστο το. iv) ος τρόπος: (με τη βοήθεια της μονοτονίας) Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = t f (t)dt f (t)dt = t f (t)dt + f (t)dt, (, ] Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη γιατί οι συναρτήσεις f(t), tf(t)είναι συνεχείς, με h () = tf (t)dt + f (t)dt = f () + f (t)dt + f () = f (t)dt, (, ] Για κάθε (, ] είναι: h () = f(t)dt = f() > αφού το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το f(a) = (, + ) Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ], οπότε για < < ισχύει Έχουμε: h () = h () < h () h () < 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

53 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ h συνεχή ς στο (, ] h() < στο (,) Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] Επομένως για κάθε (, ) ισχύει: ος τρόπος h () > h () = tf (t)dt + f (t)dt > tf(t)dt f(t)dt > tf(t)dt > f(t)dt Για κάθε (, ) είναι : tf(t)dt > f(t)dt tf(t)dt f(t)dt > tf(t)dt f(t)dt > (t )f(t)dt > που ισχύει γιατί η συνάρτηση (t )f(t) είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [, ], αφού (, ) και (t )f(t), για κάθε t [, ] με το ίσο να ισχύει μόνο για t ΘΕΜΑ ο : =, άρα (t )f(t)dt > Έστω η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: + =, για κάθε (, + ) () f( f ()) f() f() >, για κάθε (, + ) () f() = () α) i) Να βρείτε το f () ii) Να αποδείξετε ότι f ( f ()) =, (, + ) β) Να αποδείξετε ότι f() = ln, (, + ) γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του κ R η ευθεία ε:y= + κ έχει δυο κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f δ) Αν κ < και Αα,f(α), Ββ,f(β) με α < β, τα κοινά σημεία της ευθείας (ε) με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε ΛΥΣΗ αβ(lnξ ) = κξ α) i) Από τη σχέση () προκύπτει ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ), άρα είναι και Από τη σχέση () για = έχουμε: () () ( ) ( ) f f () + f () = f f () = 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 54

54 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) f:«-» f f () = f () f () = (4) ii) Αν στη σχέση () θέσουμε όπου το f() έχουμε: ( ( )) ( ) + f() f f f () + f f () = ( ( )) ( ) () f f f () + f f () + f () = f () = f:«-» ( ( )) ( ) f f f () = f () f f () =, (, + ) (5) β) Η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα (, + ), άρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) f f () είναι παραγωγίσιμη, ως σύνθεση +, οπότε και η συνάρτηση παραγωγισίμων συναρτήσεων. Παραγωγίζοντας και τα δυο μέλη της σχέσης () έχουμε: ( ) ( ) f f () + f () = f f () + f () = f f () f () + f () = f () + f () = ( ) Από τη σχέση (6) για = έχουμε: (5) f () = f () = c, (, + ) και c R (6) (4) f () = c c = Άρα για κάθε (, + ) έχουμε: Από τη σχέση (7) για = έχουμε: Άρα: > f() = f() = f() = ( ln) f() = ln+ c, c R (7) () f() = ln+ c c = f() = ln, (, + ) (8) γ) Αρκεί να βρούμε για ποιες τιμές του κ R, η εξίσωση ln = + κ έχει δύο λύσεις. Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = ln κ, (, + ) Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) με παράγωγο: g() = =, (, + ) Είναι: g() = = Το πρόσημο της g() g() > (, ) g() < (, + ) καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της g φαίνονται στον παρακάτω 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 55

55 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ πίνακα. Είναι: g() = ln κ = κ Είναι: lim g() = lim ( ln κ) = + + ln κ lim g() = lim ( ln κ) = lim = + + +, γιατί ( ln) ln lim = lim = lim = () + DLH + + ln κ lim = = lim = g() + g() Η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ = (,] Η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ = [, + ) Η συνάρτηση g παρουσιάζει μέγιστο στο = με μέγιστη τιμή g() = κ Το σύνολο τιμών της συνάρτησης g είναι: g ( Δ ) = g ( Δ ) g ( Δ ) Η συνάρτηση g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ = (,], οπότε είναι: g( Δ ) = lim g(), g(), + = κ ( ] Η συνάρτηση g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ = [, ) g( Δ ) = ( lim g(), g() = (, κ ] + Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης g είναι: ( ] g( Δ ) = g( Δ ) g( Δ ) =, κ +, οπότε είναι: Από τα παραπάνω προκύπτει ότι, η συνάρτηση g λαμβάνει κάθε τιμή του συνόλου τιμών της, εκτός από την μέγιστη, ακριβώς δύο φορές. Άρα η εξίσωση g() = έχει δύο ρίζες σε κάθε περίπτωση που η μέγιστη τιμή της είναι θετική, δηλαδή όταν κ> που σημαίνει ότι κ< κ μέγιστο 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 56

56 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ δ) ος τρόπος: Αν Αα,f(α), Ββ,f(β) είναι τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y= +κ με κ<, τότε έχουμε: (8) lnα κ f( α ) =α+κ lnα=α+κ = + α α (8) lnβ κ f( β=β+κ ) lnβ=β+κ = + β β Αφαιρώντας κατά μέλη τις προηγούμενες σχέσεις έχουμε: Θεωρούμε τη συνάρτηση lnα lnβ κ κ = + + α β α β lnα lnβ κ κ lnα lnβ β α = = κ α β α β α β αβ lnβ lnα lnβ lnα β α β α κ = κ = β α αβ β α αβ h() ln =, [ α, β] Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο [ ] (9) α, β, ως πηλίκο παραγωγισίμων συναρτήσεων με παράγωγο: ln h() = () Η συνάρτηση h ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε να ισχύει lnβ lnα ( ) (9) h(β ) h(α ) lnξ β α h (ξ ) = = β α ξ β α lnξ κ = = αβ( lnξ) = κξ αβ(lnξ ) = κξ ξ αβ 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 57

57 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ος τρόπος: Αν Αα,f(α), Ββ,f(β) είναι τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y= +κ με κ<, τότε έχουμε: Θεωρούμε τη συνάρτηση (8) f( α ) =α+κ lnα=α+κ, με < α< (8) f( β ) =β+κ lnβ=β+κ, με β > φ() = αβ(ln ) κ, [ α, β] Η συνάρτηση φ είναι συνεχής στο [ α, β ], ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. lnα= α+ κ φ (α) = αβ (lnα ) κα = αβ (α+ κ ) κα = = ααβ ( +βκ β κα) = α β(α ) + κ(β α) < < < lnβ=β+ κ φ (β) = αβ(lnβ ) κβ = αβ (β + κ ) κβ = = βαβ ( +ακ α κ β) = β α(β ) + κ (α β) > > > οπότε φ(α)φ(β) < Η συνάρτηση φ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [ α, β ], οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε να ισχύει: 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 58

58 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ φ (ξ) = αβ(lnξ ) κξ = αβ(lnξ ) = κξ ΘΕΜΑ o : Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:r R, με: f() = + α g() = + + β, α, β R Αν οι γραφικές παραστάσεις C, C g των συναρτήσεων f, g αντίστοιχα δέχονται, σε κοινό τους f σημείο, κοινή εφαπτομένη (ε), που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, τότε: α) Να αποδείξετε ότι: α =, β = και η κοινή εφαπτομένη (ε) είναι η ευθεία με εξίσωση y = β) Να βρείτε το εμβαδόν Ε του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, την ευθεία (ε) και την ευθεία με εξίσωση =t, t> γ) Να βρείτε το εμβαδόν Ε του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C g της συνάρτησης g, την ευθεία (ε) και την ευθεία με εξίσωση =t, t> t δ) Να αποδείξετε ότι Ε (t) < Ε (t) + t για κάθε t > ΛΥΣΗ α) Οι γραφικές παραστάσεις C και f C f C g των συναρτήσεων f και g αντίστοιχα δέχονται κοινή εφαπτομένη (ε), σε κοινό τους σημείο M(, y ), αν και μόνο αν f() = g() = y, όπου λ ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ε) f() = g() = λ Η εφαπτομένη (ε) διέρχεται από την αρχή των αξόνων, άρα έχει εξίσωση της μορφής y = λ Άρα: f( ) = g( ) = λ () f() = g() = λ () Οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο R, με: f() = ( +α) = + =( + ), R g() = + + β = + = ( ), R Για = από τη σχέση () έχουμε: f() = g() ( + ) = ( ) + = + = () Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = +, R Για κάθε R έχουμε: h() =( + ) = + > 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 59

59 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο R, οπότε είναι και Η εξίσωση () ισοδύναμα γράφεται: h = h() = Για = από τη σχέση () έχουμε: f() = λ α = g() = λ + + β = β = + β = Για = από τη σχέση () έχουμε: f() = λ λ =( + ) λ = Άρα η εξίσωση της κοινής εφαπτομένης (ε) είναι: y= β) Για κάθε R είναι: f() =( + ) Είναι: f () = ( + ) = +( + ) =( + ) f () =( + ) > για κάθε [, + ) (, + ) Άρα η συνάρτηση f είναι κυρτή στο διάστημα [,+ ), οπότε η γραφική της παράσταση C f βρίσκεται από την εφαπτομένη (ε): y f() f() = και «πάνω», δηλαδή ισχύει: για κάθε [, + ) με το «ίσον» να ισχύει μόνο για = (τετμημένη του σημείου επαφής) Επομένως το εμβαδόν Ε του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση συνάρτησης f, την ευθεία (ε) και την ευθεία με εξίσωση = t, t >, είναι: t t t t t t E (t) = f () d = ( )d = d d = ( ) d d = t t t t t = () d = t d t = t t t t =t + t =t t +, t> γ) Για κάθε R είναι: g() = ( ) = + Είναι: g () = + = + = ( ) = < για κάθε (, + ) g () ( ) C της f Επίσης η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [,+ ), άρα είναι κοίλη στο διάστημα [ ) οπότε η γραφική της παράσταση δηλαδή ισχύει:,+, C g βρίσκεται από την εφαπτομένη (ε): y= και «κάτω», για κάθε [, + ) g() g() 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

60 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ με το «ίσον» να ισχύει μόνο για = (τετμημένη του σημείου επαφής) Επομένως το εμβαδόν Ε του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση συνάρτησης g, την ευθεία (ε) και την ευθεία με εξίσωση = t, t >, είναι: t t t t t E (t) = g() d = d g()d = + d = t t t t = t + (t ) t ( ) ( ) t 4 + = + + = 4 t t t t 7 = t t = + t + t +, t > δ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε t > είναι: t E (t) < E (t) + t 7 t t + < + t + t + + t 4 4 t t t t <, t > 4 4 Θεωρούμε τη συνάρτηση t t Φ(t) = t t, t ) 4 4 Για κάθε t > είναι: t t Φ (t) = t Είναι: Αφού για: t t t t t t t t t t t Φ (t) = t = = ( ) t t Φ (t) = ( ) <, για κάθε t > < t t t t > > > < Η συνάρτηση Φ είναι συνεχής στο [,+ ), άρα η συνάρτηση Φ είναι γνησίως φθίνουσα στο [,+ ) Επομένως για κάθε t > είναι: C g της Όμως Άρα: Φ t > Φ (t) < Φ () Φ () = = < Φ (t) <, t > 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

61 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επειδή η συνάρτηση Φ είναι συνεχής στο [,+ ) συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση Φ είναι γνησίως φθίνουσα στο [,+ ) Επομένως για κάθε t > είναι: Όμως Άρα: Δηλαδή: Φ t > Φ(t) < Φ() Φ() = = = Φ (t) <, t > t Ε t <Ε t +t, t > ΘΕΜΑ ο : α) Έστω η συνεχής συνάρτηση f: [, α] R, α > με f(α )+f () για κάθε [, α ] α Να αποδείξετε ότι f() f(α ) d = d f(α ) + f() f(α ) + f() π β) Αν f() = συν,, τότε: συν i) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι = d ημ+ συν α π π ii) Αν επιπλέον g είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση με g() > για κάθε, και π ισχύει η σχέση ( f()g ()) = f ()g () για κάθε, (), τότε να αποδείξετε π ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, τέτοιο, ώστε g (ξ) = g(ξ) ΛΥΣΗ α) Στο ολοκλήρωμα του πρώτου μέλους θέτουμε = α u, οπότε α = u και d = du Για = είναι u = α και για = α είναι u = Έχουμε: α f() f(α u) f(α u) d = ( du) = du = f(α ) + f() f( u) + f(α u) f(α u) + f( u) α α () 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

62 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ α f(α u) f(α ) du = d f(α u) + f( u) f(α ) + f = β) i) Η συνάρτηση f() = συν, α, π είναι συνεχής και ικανοποιεί τη σχέση π π f + f() = συν + συν = ημ + συν για κάθε Επομένως, για f() = συν και π π π α = από τη σχέση () έχουμε: π συν συν d = d π συν συν π συν συν + +, π π π συν ημ d = ημ + συν ημ + συν d Θέτουμε: π συν Ι = d και ημ+συν π ημ J= d ημ+συν Είναι: Ι = J και π π π συν ημ συν+ ημ π Ι + J= d+ d= d= d= ημ+συν συν+ ημ συν + ημ π Άρα π π Ι= Ι=, δηλαδή 4 π συν π Ι = d = ημ+συν 4 ii) Οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα f g είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα π,, με π,, άρα και η συνάρτηση 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

63 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ f()g() = f ()g() + f ()g (),, π () Από τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι: π f ()g() + f ()g () = f ()g (),, () π Για κάθε, είναι f() = συν και f() = ημ, οπότε η σχέση () γράφεται: ( ημ) g() + συν g() = ( ημ) g () ( ημ + συν) g () = ημ g () g () ημ = g() ημ + συν,, π (4) Είναι: Επομένως έχουμε: π π (4) g() ημ π d = d = g() ημ+συν 4 π π π π lng() = lng lng() = (5) 4 4 Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = lng(), Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο, π π,, με g() h() = lng() = g() Επομένως η συνάρτηση h ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ, οπότε υπάρχει ένα π τουλάχιστον ξ, τέτοιο, ώστε ΘΕΜΑ 4ο : π π h h() lng lng() g(ξ) (5) h(ξ) = = π g(ξ) π π g(ξ) 4 g (ξ) = = g (ξ) = g(ξ) g(ξ) π g(ξ) Έστω η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f () + f () =, για κάθε (, + ) () f() = () 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 64

64 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ f() = () α) Να αποδείξετε ότι f() = ln + ln, (, + ) β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις = και = γ) Να υπολογίσετε το όριο ΛΥΣΗ lim α + α) Για κάθε (, + ) έχουμε: ημα + Από τη σχέση (4) για = έχουμε: α f()d αln α + > f () + f () = f () + f () = ( f () ) = ( ln ) f () = ln + c, c R (4) () f () = ln+ c c = Άρα για κάθε (, + ) έχουμε: Από τη σχέση (5) για = έχουμε: Άρα: > f () = ln + f () = ln + f () = ln ln + ln f () = ln +ln f() = ln + ln+ c, c R (5) () f() = ln + ln+ c c = f() = ln + ln, (, + ) β) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [, ] και f() για κάθε [,], επομένως το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις = και =, είναι: E = f()d = ln + ln d = () ln d + lnd = = [ ln ] ln d + lnd = ln lnd + lnd = C f της συνάρτησης f, τον γ) Με διαδικασία ανάλογη αυτής που χρησιμοποιήσαμε στον υπολογισμό του εμβαδού, βρίσκουμε ότι: α α α α f ()d [ ln ] ln d ln d ln = + =α α (6) 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 65

65 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ οπότε για κάθε α (, + ) έχουμε: α ημα + f()d ημα + α ln α = = αln α+ αln α+ (6) lim α lim + α + ημα ημα αln α + + αln α αln α = lim = lim =, γιατί α + α + αln α + + αln α αln α α α =+ lim, οπότε lim = α + α + αln α ( ln ) lim + = αln α α + ημα ημα αln α αln α αln α αln α αln α Είναι: lim α = lim = + αln α α + αln α οπότε από το Κριτήριο Παρεμβολής, συμπεραίνουμε ότι: ημα ημα lim α =, οπότε lim + + = αln α α + αln α ΘΕΜΑ 5o : Δίνεται η συνάρτηση f() = dt. Να αποδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R β) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης γ) δ) είναι ο άξονας f() ΛΥΣΗ 9 για κάθε t 6 f()d d = α) Η συνάρτηση οπότε και η συνάρτηση t είναι συνεχής στο R, άρα η συνάρτηση συναρτήσεων με παράγωγο: C της συνάρτησης f, στο σημείο της f Ο(, ) h() t = dt είναι παραγωγίσιμη στο R, f() = h είναι παραγωγίσιμη στο R, ως σύνθεση με παραγωγισίμων 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 66

66 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 6 f() = h = h = =, R β) Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης f, στο σημείο της f Ο (,) είναι: Είναι: Άρα: (ε) : y f () = f ()( ) t και f() = dt= f() = = (ε) : y = ( ) y= Δηλαδή, ο άξονας εφάπτεται της γραφικής παράστασης της Ο(, ) C της συνάρτησης f, στο σημείο f γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση: g() f() 9 =, R Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη, ως διαφορά παραγωγισίμων με παράγωγο: Για κάθε R είναι: οπότε: Άρα: Είναι: g () = f () = =, R + > (γνωστή άσκηση θέλει απόδειξη) 6 6 >, για κάθε R 6 6 = >, για κάθε R g() g συνεχ ής στο R g() > στο R Επομένως για κάθε έχουμε:, οπότε η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο R g g() g() f() f() 9 9 δ) Είναι: 6 f ()d = f ()d = f ()d = 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 67

67 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Δείξαμε ότι: Άρα: = f() f ()d = f() f ()d= d 6 d d d = = = 6 6 = d d= d = d + 6 f ()d = d + 6 f ()d d = ΘΕΜΑ 6ο : Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: u ( ) συν + tf(t)dt = f(t)dt du ημ +, για κάθε R () f() = () f() = α () α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α β) Να αποδείξετε ότι f() = συν, R γ) Να βρείτε: i) Την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f στο σημείο της με τετμημένη π ii) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση συνάρτησης f, από την εφαπτομένη (ε) της και 4π = C f και τις ευθείες με εξισώσεις C f της π = ΛΥΣΗ α) H συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, άρα η συνάρτηση u g(u) = f (t)dt είναι παραγωγίσιμη 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 68

68 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ στο R, άρα και συνεχής στο R, οπότε η u g(u)du = f (t)dt du είναι παραγωγίσιμη στο R. Η συνάρτηση tf(t) είναι συνεχής στο R, άρα και η συνάρτηση tf(t)dt είναι παραγωγίσιμη στο R. Επίσης οι συναρτήσεις συν και ημ+ είναι παραγωγίσιμες στο R Παραγωγίζοντας και τα δυο μέλη της σχέσης () έχουμε: ημ + f() = f(t)dt ημ συν f() = f(t)dt + ημ συν, R (4) Από τη σχέση (4) για κάθε (,) (, + ) έχουμε: f() = f(t)dt+ ημ συν Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε καθένα από τα διαστήματα (,) και (, + ), γιατί ο τύπος της f προκύπτει από πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων σε καθένα από αυτά τα διαστήματα. Από τη σχέση () έχουμε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και στο =, οπότε είναι παραγωγίσιμη στο R Προσδιορισμός του πραγματικού αριθμού α: Για (,) (, + ) έχουμε: (5) Είναι: f() = f() f() f() α= f () = lim = lim (6) f(t)dt (6) f() +ημ συν lim = lim = D.L.H f() +συν συν + ημ = lim = f() + ημ f() = +ημ = α = lim lim οπότε, λόγω της σχέσης (6) είναι: α = α α = α α = β) Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της σχέσης (4) έχουμε: 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 69

69 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ f() = f(t)dt + ημ συν f() + f () = f() + συν συν+ ημ f () = ημ, R Σε καθένα από τα διαστήματα (,) και (, + ) έχουμε: οπότε: f() = ημ = ( συν ) συν + c, (, ) f () =, = συν + c, (, + ) H συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, άρα είναι συνεχής και στο =, οπότε έχουμε: Επομένως γ) i) Είναι: lim f() = lim f() = f() + lim ( συν + c ) = lim ( συν + c ) = + συν + c = συν + c = + c = + c = c = c = συν +, (, ) f () =, = f () = συν, R συν +, (, + ) π π π f = συν = συν π = f π π = συν = + συν = + = π π π π =ημ =ημ π =ημ = οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της με τετμημένη π είναι: π 9 π ε:y = y= ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

70 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ii) Στο διάστημα π 4π, η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, με: f() = ημ και f () = συν < οπότε η συνάρτηση f είναι κοίλη στο διάστημα αυτό. Επομένως η εφαπτομένη (ε) της C f και «πάνω» C f στο σημείο της με τετμημένη, βρίσκεται από την π Επομένως το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f, από την εφαπτομένη (ε) της 4π = είναι: 4π π C f και τις ευθείες με εξισώσεις 9 π E= + f() d= 6 4π 9 π = συν + + d = 6 π 4π 6π 4π π π =ημ [ ] + + = π π = και = π + π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

71 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 7 ο : Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: f() t f() + nt dt= + n( + ), για κάθε R t α) Να αποδείξετε ότι f() >, για κάθε R β) Να αποδείξετε ότι = ( + ) f(), R γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό (,) δ) Αν για τη συνεχή συνάρτηση h: R R ισχύει: τέτοιο, ώστε f = h( f() + ) = f ( h() ) + h(), για κάθε R τότε, να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης h έχει με την ευθεία y = ένα τουλάχιστον κοινό σημείο. ξ, τέτοιο, ώστε f (ξ) = ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση t + lnt t είναι συνεχής στο (,+ ), ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Οι συναρτήσεις και f() (όρια ολοκλήρωσης) ορίζονται στο R. Επειδή το (, ) ορίζεται η συνάρτηση Δηλαδή: β) Για κάθε R έχουμε: f() t + nt dt t πρέπει και αρκεί f() (, + ) f() >, για κάθε R f() t f() t + nt dt = + n + +, για να 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

72 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ γ) ος τρόπος: f() t t f() t + nt dt = + n + f() t f() ( nt) dt n( ) = + + f() f() t nt = + n( + ) f() f() f() nf() = + n( + ) nf () = + n + nf () = n + n + nf () n ( ) f () ( ) = + = +, R Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = f (), [, ] Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [, ], ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. g() = f() = = < g() = f () = > οπότε g()g() < Η συνάρτηση g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [, ], οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο, ώστε να ισχύει: g = f = Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, ως γινόμενο παραγωγισίμων συναρτήσεων, με παράγωγο: Ισχύουν: f () = + = + + = + + = + Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων. f(),, + >, για κάθε Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R, οπότε το είναι μοναδικό. ος τρόπος: Η συνάρτηση f στο κλειστό διάστημα [, ] ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Ενδιάμεσων Τιμών, διότι είναι συνεχής σε αυτό ως γινόμενο συνεχών και f() = = f() Είναι f() = < < = f(), άρα υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (,) τέτοιο, ώστε f( ) = Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, ως γινόμενο παραγωγισίμων συναρτήσεων, με παράγωγο: f () = + = + + = + + = ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

73 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ισχύουν: Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων. f(),, + >, για κάθε Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R, οπότε το είναι μοναδικό. δ) Για κάθε R έχουμε: h( f() + ) = f ( h() ) + h() Για = έχουμε: ) = ( + ) = ( ) + h f f h h f( h + = f h + h h = f h + h f= f: f h = f h = f h = Άρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης h έχει με την ευθεία y= ένα τουλάχιστον κοινό σημείο. ε) Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [, ], αφού είναι f() = + παραγωγίσιμη στο R, με Άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε να ισχύει: ΘΕΜΑ 8 ο : Δίνεται η συνάρτηση f: R R, με f() f() + + f() ξ = f() ξ = f() ξ = f() = t t + t + α) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R με dt f() = +, R β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f, ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. γ) Αν h() = f(t)dt, R, να αποδείξετε ότι: i) ΛΥΣΗ h()d+ f()d = ii) Υπάρχει μοναδικό (,) t t h τέτοιο, ώστε f = + α) Η συνάρτηση t είναι συνεχής στο R, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Οι συναρτήσεις + συναρτήσεις και (όρια ολοκλήρωσης) ορίζονται στο R Επομένως η συνάρτηση f()= t t + t dt έχει πεδίο ορισμού το R ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 74

74 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Για κάθε R έχουμε: Η συνάρτηση συνάρτησης t t t t t t f () = t dt = t dt + t dt = t t t t + + t dt t + + = φ () = dt t t + t +. Επίσης η συνάρτηση dt t t + είναι παραγωγίσιμη στο R, ως αρχική της συνεχούς t + t t + φ ( ) = dt είναι παραγωγίσιμη στο t + R, ως σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων. Για κάθε R έχουμε: β) Για κάθε R έχουμε: Είναι: t t t t + + t t + + f = d t d t = = ( ) = + = = + = = ( + ) +( + ) ( + )( + ) = = = ( ) f () = + = = f () = = f () > (, + ) f () < (,), R Το πρόσημο της f () καθώς η κυρτότητα και τα σημεία καμπής της συνάρτησης f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. + f () f() + Σ.Κ. 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 75

75 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Είναι: ( ] f ή, συνεχ ς στο f () < στο, [ ) f συνεχής στο, + f () > στο, + Άρα η συνάρτηση f είναι κοίλη στο διάστημα (,] Άρα η συνάρτηση f είναι κυρτή στο διάστημα [,+ ) f () = και εκατέρωθεν του o= αλλάζει η κυρτότητα της συνάρτησης f, άρα το σημείο (,f() ), δηλαδή το Ο (, ) είναι σημείο καμπής της συνάρτησης f γ) i) Θεωρούμε τη συνάρτηση: Είναι: w() = f (t)dt, R () h () = f (t)dt = w, R Η συνάρτηση w είναι παραγωγίσιμη στο R, ως αρχική της συνεχούς συνάρτησης f, με παράγωγο: w () = f (t)dt = f (), R () Άρα η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο R, ως σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων, με παράγωγο: Είναι: Θέτουμε: u u () () h() = w = w = f( ), R [ ] h ()d = () h()d = h () h ()d = = =, u και h= = h() f ( ) d = f ( ) d du = d Για = είναι u= και για = είναι u = Άρα έχουμε: Είναι: Οπότε: h ()d = f ( ) d = u f (u)du = f ()d h ()d = f ()d h ()d + f ()d = () 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 76

76 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ii) Θεωρούμε τη συνάρτηση: Η συνάρτηση [ ] g() = h (t)dt + t f (t)dt,, h(t)dt είναι παραγωγίσιμη στο [, ], ως αρχική της συνεχούς συνάρτησης h και η συνάρτηση tf(t)dt είναι παραγωγίσιμη στο [, ], ως αρχική της συνεχούς συνάρτησης tf(t), οπότε και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο [, ], ως άθροισμα παραγωγισίμων συναρτήσεων με παράγωγο: Είναι: οπότε g() = g() g () = h (t)dt + t f (t)dt = g() = και = + [ ] h() f(),, () g() = h ()d + f ()d = Επομένως η συνάρτηση g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Roll στο διάστημα [, ], οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο, ώστε: h g() = h() + f() = f() = Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο (,), με παράγωγο: Από το (α) ερώτημα έχουμε: g () h () f () f () = + + = h () ( ) f () f () = + + = = f ( ) + f () + ( + ) = = f ( ) + f () + ( + ) f() = + >για κάθε R Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R Επίσης έχουμε: t t + f() = t dt= ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 77

77 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επομένως: για για f < f()<f() f()< f > f()>f() f()> είναι Άρα για κάθε (,) είναι: Επομένως: f()> και f( ) > g () > για κάθε (,) Οπότε η συνάρτηση gείναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (,), άρα το (,) μοναδικό. ΘΕΜΑ 9ο : Δίνεται η συνάρτηση f:r R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις f ( y) = f() f (y), για κάθε,y R () f() + lim = () z i ( f() + ) ημ, για κάθε R και z C () α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z β) Αν z, z είναι δύο μιγαδικοί του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου με z z =, τότε να αποδείξετε ότι z+ z = γ) Να αποδείξετε ότι: i) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R ii) f() =, R f(t) δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα t dt ε) Να υπολογίσετε τα όρια: f(t) i) lim dt + t στ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ΛΥΣΗ α) Για = y= από τη σχέση () έχουμε:, R f(t) και ii) lim dt t f(t) t dt = έχει δύο ακριβώς ρίζες ρ, ρ με ρ+ ρ> f () = f () f () f () = (4) 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 78

78 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = z i f() + ημ, R Για κάθε R είναι: z i ( f() + ) ημ z i ( f() + ) ημ g () g () g () Άρα η συνάρτηση g παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο εσωτερικό σημείο ορισμού της. o = του πεδίου Είναι: (4) f() + f() ( ) lim = lim = f () f () lim = f () = Άρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο είναι παραγωγίσιμη στο o = με (5) o = με f () =, οπότε και η συνάρτηση g g() = z i f () συν = z i (6) Ισχύουν λοιπόν οι προϋποθέσεις του Θεώρηματος Frmat, οπότε (6) g() = z i = z i = Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ (,) και ακτίνα ρ = β) Έστω A και B οι εικόνες αντίστοιχα των μιγαδικών z και z στο μιγαδικό επίπεδο, τότε είναι: ( AB) = z z, άρα ( AB) =. Επειδή τα σημεία A, B ανήκουν στον προηγούμενο κύκλο, που έχει ακτίνα ρ =, συμπεραίνουμε ότι τα A, B είναι αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου αυτού. (5) Αν Μ είναι η εικόνα του μιγαδικού z + z, τότε το παραλληλόγραμμο ΟΑΜΒ είναι ορθογώνιο, αφού η γωνία AOB βαίνει σε ημικύκλιο. ος τρόπος: Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσοι, δηλαδή (OM) = (AB) z + z = z z Επομένως z+ z = ος τρόπος: Οι διαγώνιοι ΟΜ και ΑΒ διχοτομούνται, άρα το κέντρο Κ του κύκλου, θα είναι το κοινό μέσο των δύο διαγωνίων, Άρα z+ z = (OM) = (ΟΚ) = ρ = = C B(z ) y Ο Μ(z + z ) K(,) A (z ) 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 79

79 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ γ) i) Για να είναι η f παραγωγίσιμη στο R, αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε κάθε o R. Έστω o R, τότε για κάθε R με o θέτουμε = o h, οπότε όταν το o το h και έχουμε: () f() f( o) f(o h) f( o) = = h Είναι: o o o f( o) f(h) f( o) f(h) f(h) = = + h h h f() f f(h) + () o lim = lim = o h o h Άρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε o R με f() o =. Γενικά η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R με f() = ii) Για κάθε R είναι: f () = f () = (), οπότε f () = + c, R Για = έχουμε: Άρα δ) Είναι: ε) Είναι: i) (4) f() = + c c= f () =, R f(t) t t t t t dt = dt = (t ) dt = (t ) dt = t t t = (t ) + (t ) dt = ( ) ( ) + dt = t t = ( ) ( t) dt = ( ) = = ( ) ( ) = + + = = + = + = f(t) lim dt = lim = lim =, γιατί + t u + = u u lim = lim = lim = lim = lim = και u= u lim lim ( ) lim ( ) + = = = = + u 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

80 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ii) t f(t) lim dt = lim = lim + ( ) =+, γιατί lim = lim =+ και lim u = στ) Θεωρούμε τη συνάρτηση Η συνάρτηση = lim = + u + u (δ) f(t) t R F() = dt =, f(t) t είναι συνεχής στο R, άρα η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη στο R, με t dt f(t) f() F() = = = Είναι: F() = = = F() > > > Το πρόσημο της F() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της F φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. F () F() ελάχιστο Για = είναι f(t) t, άρα η εξίσωση F() F() = dt = = στο διάστημα Δ =, έχει ρίζα την ρ =, που είναι και μοναδική, αφού η συνάρτηση F είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ Είναι: F = = <, γιατί < 4 < (ε),(i) f(t) lim F() = lim dt = + + t Η συνάρτηση F είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ =, +, άρα είναι F( Δ ) = F, lim F(), + = 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

81 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Το F( Δ ), άρα η εξίσωση F() = στο διάστημα Δ =, + έχει μια ρίζα ρ, που είναι και μοναδική, αφού η συνάρτηση F είναι γνησίως αύξουσα στο Δ Επειδή F =, συμπεραίνουμε ότι ρ ρ > >, οπότε ρ+ ρ = + ρ = ρ > Επομένως η εξίσωση f(t) t dt = έχει δύο ακριβώς ρίζες ρ, ρ με ρ+ ρ > ΘΕΜΑ ο : Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ( + h) f ( h) ln lim = 4 + κ, > h h f:(, + ) R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: όπου κ είναι η ελάχιστη τιμή του μέτρου των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει: ( ) () z + z+ = 8 + z 9 () α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή. γ) Να αποδείξετε ότι f(4 ) + f() f(), για κάθε > και ότι f()d δ) Αν επιπλέον είναι f () = και f() =, τότε να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ α) Είναι: > f() f() = ln +, > z + z+ = 8 + z 9 z z z+ + z+ = 6 ( z z+ ) = 6 z z+ = 4 (Ορισμός υπερβολής) Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο είναι υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε(, ), Ε(, ), κορυφές τα σημεία Α(, ), Α(,) και εξίσωση y C: = 4 5 β) Λόγω του ερωτήματος (α) ισχύει z α= για κάθε μιγαδικό z που η εικόνα του ανήκει στην υπερβολή C, άρα κ= Είναι: f ( + h) f ( h) f ( + h) f () f ( h) f () lim = lim h h h h f( + h) f () f ( h) f () = lim ( f () f() ) f() h + = + =, h h 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

82 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ γιατί h =ω f ( h) f () f ( +ω) f ( ω ) lim = lim f () h ω = h ω και η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. Από την () έχουμε: ln ln+ f () = 4 + f () =, > Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = ln +, >. Η g είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με Είναι: > g() = = = και ( ) g() = + =,> > > g() > > > Το πρόσημο της g() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. + g () g() + ελάχιστο Η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (,] Η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, + ) Η συνάρτηση g παρουσιάζει ελάχιστο στο = με ελάχιστη τιμή g() = Άρα g(), για κάθε >. g() Επομένως f () = >, για κάθε >, δηλαδή η συνάρτηση f είναι κυρτή. γ) ος τρόπος: (με τη βοήθεια ακρότατου) Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f(4 ) + f(), > Η h είναι παραγωγίσιμη με h() = f (4 ) + f (),> Είναι: f h () = f (4 ) + f () = f (4 ) = f () 4 = = h () > f (4 ) + f () > f (4 ) < f () 4 < > Το πρόσημο της h() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της h φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. f + h() h() f () + ελάχιστο 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

83 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, ] Η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [,+ ) Η συνάρτηση h παρουσιάζει ελάχιστο στο ο =, με ελάχιστη τιμή h() = f () Άρα για κάθε > είναι h() f() f(4 ) + f() f() () ος τρόπος (ανισότητα Jnsn) Υπόδειξη: Για = ισχύει ως ισότητα Για > εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την f στα διαστήματα [ 4, ] και [, ] < < εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την f στα διαστήματα [, ] και [, 4 ] Για και επειδή f γνησίως αύξουσα γιατί f κυρτή, προκύπτει το ζητούμενο. Θεωρούμε τη συνάρτηση Φ () = f (4 ) + f () f (), > Η Φ είναι συνεχής στο διάστημα [, ] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων και Φ(), για κάθε [, ] με το ίσο να ισχύει μόνο για =, λόγω της σχέσης (), άρα f(4 ) + f() f() d > f(4 )d+ f()d f() d > () Είναι: f()d > f() d f()d > f() ( ) f()d > f() f(4 )d= f()d Πράγματι, αν θέσουμε 4 = t, τότε dt = (4 ) d = d Για = είναι t= και = είναι t =, οπότε έχουμε: f (4 )d = f(t)dt = f(t)dt = f()d δ) Για κάθε (, + ) έχουμε: ln (ln) () ln f () = 4 + ( f () ) = 4 + () ln ln f () = 4 + () f () 4 + = ln f() = c,c R,> Για = είναι f() = + c c=, γιατί f () = Άρα ln f () = 4 +, > 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 84

84 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Για κάθε (, + ) έχουμε: ln = + = + ( ) f () 4 f() 4ln (ln ) = + = + + > f () ln f() ln c, c R, Για = είναι f() = + c c=, γιατί f() = Άρα f() = ln +, > ΘΕΜΑ ο : Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z με z, και η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (,+ ) R, που ικανοποιεί τις σχέσεις: f ( ) = + ( z + ), για κάθε R () f() = () ln z + ln, < < α) Να αποδείξετε ότι f() = ln + z + ln, β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ) Nα αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο ακριβώς ξ, ξ (, + ) τέτοια, ώστε να ισχύει: ξ ξ ξ = ή z = + ξ δ) Έστω Ε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτή- σεων f, g, όπου g() = ln, > και τις ευθείες με εξισώσεις = και =. Αν Ε = να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z ανήκουν σε κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. ΛΥΣΗ α) Για κάθε R έχουμε: f () = + (z + ) f () = + z + f( ) = z+, < f = + z+ f( ) = + z+, > ( ) Για κάθε (, ) έχουμε: Θέτουμε Για < είναι f ( ) = z+ f( ) = z+ ( ) = + + < f z c, = u >, άρα = lnu < =, άρα u < <, οπότε έχουμε: f()= u ln u z+ lnu+ c, < u< 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 85

85 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Για κάθε (, + ) έχουμε: Θέτουμε Για > είναι Άρα f ( ) = + z+ f( ) = + z+ ( ) = > f z c, = u >, άρα = lnu > =, άρα u >, οπότε έχουμε: f()= u ln u+ z+ lnu+ c, u > + + < < ln u z lnu c, u f() u = ln u + z + lnu + c, u > Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, οπότε limf (u) = limf (u) = f (), δηλαδή c= c= Άρα Επομένως + u u + < < ln u z lnu, u f() u = ln u + z + lnu, u + < < ln z ln, f() = ln + z + ln, γ) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (,) με Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με ln+ z + f () =ln + z+ = // ln z + f() =ln z+ = Επομένως η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (,) (, + ), με: f ln z + = ln + z +, (,), (, + ) ln z + Για κάθε (,) είναι ln <, οπότε f () = < ln+ z + Για κάθε (, + ) είναι ln >, οπότε f () = > Το πρόσημο της f() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. + f () + f() ελάχιστο 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 86

86 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έχουμε: ( ] f συνεχής στο, f() < στο,, άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] [ ) f συνεχής στο, + f () > στο, +, άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) Είναι: Η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο = με ελάχιστη τιμή f() = + + lim f () = lim ln z + ln =+, γιατί + lim ln =, οπότε + + lim ln + lim ( ln ) + = + και lim f () = lim ln + z + ln =+, γιατί lim ln =+, οπότε + = + και lim z + ln =+, αφού z+ > + + lim ( z + ln ) =+, αφού z+ > Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ = (,], οπότε είναι: f( Δ ) = f(), limf(), + = + [ ) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ = [, ) f( Δ ) = f(), limf() ) = [, + ) + Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι: [ ) f( Δ ) = f( Δ ) f( Δ ) =, + γ) Το f( Δ ), άρα η εξίσωση f()= έχει μία ρίζα +, οπότε είναι: ξ (, ), ( ξ, επειδή f() = ) και Δ = μάλιστα μοναδική, αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ( ], Το f( Δ ), άρα η εξίσωση f()= έχει μία ρίζα ξ (, + ), ( ξ, αφού f() = ) και μάλιστα μοναδική, αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ = [, + ) Επομένως υπάρχουν δύο ακριβώς ξ, ξ (, + ), με ξ ξ αφού ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα τέτοια, ώστε f(ξ ) = και f(ξ ) = Δηλαδή ln ξ z+ lnξ =, με ln ξ + z+ lnξ =, με Αφαιρώντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις έχουμε: ξ (, ) ξ (, + ) 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 87

87 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ln ξ ln ξ z+ lnξ z+ lnξ = lnξ lnξ lnξ + lnξ z+ lnξ + lnξ = ( ) lnξ + lnξ lnξ lnξ z+ = lnξ+ lnξ = ln( ξξ ) = ξξ = ή ή ή lnξ lnξ z+ = ξ ξ ln = z + = ξ ξ z+ δ) Για κάθε, έχουμε: f() g() = ln + z + ln ln + = z + ln > Επίσης η συνάρτηση f g είναι συνεχής στο που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις εξισώσεις = Από υπόθεση είναι και = είναι: E= ( f() g() ) d E =, οπότε έχουμε: +, (, ), οπότε το εμβαδόν του χωρίου C, C των συναρτήσεων f, g και τις ευθείες με = z + ln d = z + lnd = z + () lnd z [ ln] ( ln)d z ln ln d = + = + f = z+ d = z+ ( ( ) ) = z+ z+ = Επομένως οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z ανήκουν στον κύκλο που έχει κέντρο το σημείο Κ(, ) και ακτίνα ρ= g ΘΕΜΑ ο : Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: z + i > z + i () α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z β) Να υπολογίσετε το όριο: 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 88

88 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ lim ( z + ) + γ) Αν f είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση, που είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή στο R και και z,z είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί, που ικανοποιούν την (), τότε να αποδείξετε ότι, για ΛΥΣΗ οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό α, με α, ισχύει: z +7z f < f(- α)+f(+α) 5 α) Έστω z ένας τυχαίος μιγαδικός που ικανοποιεί την (). Τότε έχουμε: z + i > z + i z + i > 6z + i z + i > 6z + i ( z + i)(z i) > (6z + i)(6z i) 4zz 6zi + 6 zi+ 9 > 6zz 6zi+ 6zi+ zz < 8 zz < z < z < 4 4 Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι τα εσωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο Ο (, ) και ακτίνα ρ = β) Επειδή z < για κάθε > έχουμε: Είναι: οπότε Επίσης + lim = lim = (4) + < z + ( ) < + () και lim = lim =, αφού lim + + ( + ) lim + () = () + () =+ Από τις σχέσεις (), () και (4) με τη βοήθεια του κριτηρίου παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι: γ) Είναι: lim z + = ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 89

89 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ z 7z z 7 z < = Επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα έχουμε: z + 7z z + 7z 5 5 f < f() f < f() Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό α με α, ισχύει: f () f ( α) + f(+ α) Διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν α = τότε η ισχύει η ισότητα. Αν α > τότε εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. για τη συνάρτηση f σε καθένα από τα διαστήματα,,+α συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν ξ ( α, ) και ξ (, +α ) τέτοια, [ α ] και [ ] ώστε να ισχύει: f() f( α) f() f( α) f (ξ ) = = ( α) α f(+ α) f () f (+ α) f() f (ξ ) = = + α α Η συνάρτηση f είναι κυρτή, άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, οπότε έχουμε: Άρα f α< ξ < < ξ < + α ξ < ξ < f() f( α) f(+ α) f() < α α f() f( α) < f(+ α) f() f () < f ( α) + f(+ α) Σε κάθε λοιπόν περίπτωση ισχύει f () f ( α) + f(+ α) Άρα για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό α, με α, ισχύει: z + 7z < f f ( α) f( α) και f (ξ ) f (ξ ) < ΘΕΜΑ ο : Έστω η συνεχής συνάρτηση f: (, + ) R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f(y) lim f() =+ + + y = f()f(y) y, για κάθε,y (, + ) () α) Να αποδείξετε ότι f(), για κάθε (, + ) β) Να βρείτε το f() γ) Να αποδείξετε ότι f() = +, (, + ) 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

90 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ δ) Να υπολογίσετε το όριο lim f () + π ε) Να λύσετε την εξίσωση ( + συν ) = στο διάστημα (, + ) εφ σφ π π στ) Να αποδείξετε ότι dt + dt =, για κάθε, tft) ( 6 f t ζ) Αν g είναι μια συνεχής συνάρτηση στο R και α >, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα α ln Ι = g( f() ) d ΛΥΣΗ α α) Έστω ότι υπάρχει θετικός αριθμός ρ τέτοιος, ώστε f(ρ) = () Για = ρ και y= από τη σχέση () έχουμε: () ρ + f(ρ)= ρ + = ρ = ρ που είναι άτοπο. Άρα f(), για κάθε (, + ) β) Για = y= από τη σχέση () έχουμε: f () = f () f () f () = f () = ή f() = Το γεγονός ότι lim f () = + μας εξασφαλίζει ότι υπάρχει θετικός αριθμός τέτοιος, ώστε για + οποιοδήποτε M > να ισχύει f() > M για κάθε >. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f για για κατάλληλο, παίρνει θετική τιμή. Εξάλλου η f, ως συνεχής συνάρτηση που δεν μηδενίζεται για καμία τιμή του, διατηρεί σταθερό πρόσημο, οπότε f() >, για κάθε (, + ), οπότε f() = γ) Για κάθε (, + ) και y= από τη σχέση () έχουμε: δ) Είναι: + + f() = f() f() = f() = + ln + lim f () lim lim lim = + = + = = =, γιατί ln ln lim = lim = lim = 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

91 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ε) Στο διάστημα (, + ) έχουμε: π π π π + συν = + συν = + = συν f() = συν () Για κάθε (, + ) είναι: > ( ) Επομένως για κάθε (, + ) είναι f() = + και η ισότητα ισχύει μόνο για =, δηλαδή η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για =, το f() = Επίσης για κάθε (, π + ) ισχύει συν Επομένως η εξίσωση () θα έχει λύση αν και μόνο αν στ) Θεωρούμε τη συνάρτηση εφ σφ, h() = dt + dt t f(t) f t Αρκεί να αποδείξουμε ότι h() = για κάθε π π, 6 Στο διάστημα αυτό, η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με: f() = + = π = συν = π συν = π π, 6 h() = (εφ) + (σφ) = σφ f(σφ) f εφ = + = συν σφ f(σφ) ημ f εφ = ( + εφ ) ( + σφ ) = + εφ σφ σφ εφ + σφ εφ σφ = ( + εφ ) ( + σφ ) = + εφ σφ + σφ = εφ = εφ εφ = σφ Δηλαδή η h είναι σταθερή συνάρτηση στο διάστημα Είναι: π π, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

92 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ π t h = dt + dt = dt + dt = 4 t t t t + + ( + ) t t t + t Άρα h() = για κάθε ζ) Είναι: t t + dt dt dt lnt = + = = = = t + t( t + ) t( t + ) t = ln ln = ln ( ln ln) = ln = π π, 6 α ln ln Ι = g f() d= g + d α α Θέτουμε: u =, οπότε = και d = du u u Για = είναι u = α και για = α είναι u = α α Έχουμε: Είναι Ι α α α α α Ι = g + ln d = g + u ln u du= u u u α α lnu = g + u ( lnu) du = g + u du = u u u u α α lnu = g + u du= I u u α = I, δηλαδή Ι =, οπότε Ι = α ΘΕΜΑ 4ο : Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f ()lnf () + f () =, για κάθε (, + ) () f() >, για κάθε (, ) + () 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

93 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ f() = () α) Να αποδείξετε ότι f() =, (, + ) β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να ορίσετε τη συνάρτηση γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία, την κυρτότητα και να αποδείξετε ότι δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 7 5 ε) Να αποδείξετε ότι + > ΛΥΣΗ α) Για κάθε (, ) Είναι: f() + είναι: Ι = f () d ln f()lnf() + f () = =, οπότε c= f () lnf () + = f() ( lnf() ) = lnf() = c f Άρα: lnf () = lnf () = f () =,, + β) Έστω, (, + ) με f( ) = f( ), τότε έχουμε: = = = = Άρα η συνάρτηση f είναι, οπότε αντιστρέφεται. Για να βρούμε την αντίστροφη της f, θέτουμε f()= y και λύνουμε ως προς. Έχουμε λοιπόν: = lny f (y) y = = = = y > lny ln y ln y > lny > y y > > y > Άρα f : (, + ) R με f () = ln γ) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ), με: 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 94

94 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ( ) f() = = = = < Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο στο (, + ) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ), με: Άρα η συνάρτηση f είναι κυρτή στο (, + ) Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο o =, είναι: ( ε ) : y f () = f ()( ) Είναι: f() = και f () = οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: ( ε) : y = ( ) (ε) :y= + Η συνάρτηση είναι κυρτή, οπότε η εφαπτομένη της, με εξαίρεση το σημείο επαφής, είναι κάτω από τη γραφική παράσταση της f. Έτσι έχουμε: f() δ) Με δεδομένο ότι Αν θέσουμε οπότε I f () =, έχουμε: ln Ι = f () d = d d ln ln ln = d, τότε ln I = d = d d ln ln = + ln ln 4 I = d d 4 + ln ln = 4 ε) Σε καθένα από τα διαστήματα [, 5 ] και [ ] οπότε υπάρχουν ξ (, 5) και ( 5, 49) + f () = = > 4 4 5, 49 εφαρμόζεται το Θεώρημα Μέσης Τιμής, ξ τέτοια, ώστε: f(5) f() f(49) f(5) f(ξ ) = και f(ξ ) = ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 95

95 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ και η συνάρτηση fείναι γνησίως αύξουσα, οπότε ΘΕΜΑ 5ο : f(ξ ) < f(ξ ) f(5) f() < f(49) f(5) f (5) < f () + f (49) < + + > Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f ( )f () =, για κάθε R () f () = () Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση α) Να αποδείξετε ότι f () = f( ) g() =, R f() β) Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R, το οποίο και να προσδιορίσετε. γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι σταθερή. δ) Να αποδείξετε ότι f() = +, R ε) Να μελετήσετε ως προς το πρόσημο τη συνάρτηση h() = f(t) dt στ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C h τις ευθείες με εξισώσεις =, = και τον άξονα ΛΥΣΗ α) Για = από τη σχέση () έχουμε: β) Έστω ότι υπάρχει () f () f () = f () = f () = Για = από τη σχέση () έχουμε: R τέτοιο, ώστε f ( ) = () () f( ) f() = f( ) = = δηλαδή f() =, που είναι άτοπο, αφού από υπόθεση είναι f() = Επομένως για κάθε R είναι f() Η συνάρτηση f είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται στο R, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R, και επειδή f() = >, θα είναι f() > για κάθε R γ) Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R, ως πηλίκο παραγωγισίμων συναρτήσεων με: f( )f() f()f( ) g() =, R (4) f () Αν στη σχέση (), όπου θέσουμε το έχουμε: 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 96

96 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ f () f ( ) =, R (5) Η σχέση (4) με βάση τις σχέσεις () και (5) γράφεται: g() = =, R f () Άρα η συνάρτηση g είναι σταθερή στο R, οπότε g() = c, για κάθε R Για = είναι: οπότε: f() g() = c = c c= f() g() =, R δ) Για κάθε R είναι: f( ) g() = = f( ) = f() (6) f() Από τις σχέσεις (5) και (6) για κάθε R έχουμε: και επειδή f() > θα είναι Για = είναι: ( ) ( ) f()f () f () f ( = = ) = + f() = + c για κάθε R f() = + c = c άρα c= οπότε ο τύπος της f είναι: f() = +, για κάθε R ε) Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη, ως αρχική της συνεχούς συνάρτησης f με h () = f () >, h για κάθε R, άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο R. Είναι: h() = f (t)dt = (8) άρα ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης h() = και μάλιστα μοναδική, αφού η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα άρα και στο R Επομένως: h (, ) h < h h < Για h (, + ) h > h h > Για στ) Η συνάρτηση h είναι συνεχής και h < για κάθε [, ] που περικλείεται από τη c, οπότε το εμβαδόν του χωρίου C h τις ευθείες με εξισώσεις =, = και τον άξονα, είναι: 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 97

97 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέτουμε: [ ] E = h()d = h ()d = h () + h () d = (8) h() f() d f() d d = + = = + + = u, οπότε d = du Όταν = το u = και όταν = το u= Επομένως έχουμε: ΘΕΜΑ 6ο : Δίνεται η συνάρτηση u E = d u du + = = = ln t G() = dt, t + > α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης G β) Αν G() = ln, >, τότε: + i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση G ως προς τη μονοτονία. ii) Να βρείτε το πρόσημο της G, για τις διάφορες τιμές του iii) Να βρείτε το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης G, τον άξονα και την ευθεία με εξίσωση = λ, < λ < iv) Να αποδείξετε ότι lim E(λ) = ln λ + v) Να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ α) ος τρόπος: Θέτουμε: >, για κάθε > G() dt G(t) t + = u, οπότε t dt = du Όταν t = το u= + και όταν t = ln το u = Επομένως για κάθε (, + ) έχουμε: ος τρόπος: ln t [ ] () t + + u + G() = dt = du = lnu = ln() ln( + ) = ln + ln ln ln t t ( + ) t G() = dt = dt = ln( + ) dt = t t ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 98

98 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ t ln ln ln( ) ln( ) ln( ) = + = + + = = ln() ln( + ) = ln, > + β) i) H G είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) ως σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων με: ii) + ( + ) G() = = = > + ( + ) ( + ) + Επομένως η συνάρτηση G είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, + ) Είναι: t G() = t dt + = άρα ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης G() = και μάλιστα μοναδική, αφού η συνάρτηση G είναι γνησίως αύξουσα, άρα και στο (, + ) Επομένως: G < < G < G G < Για G Για > G > G G > Για = G = G G = iii) Η συνάρτηση G είναι συνεχής και G < για κάθε [ λ,] [,] του χωρίου που περικλείεται από τη < λ < είναι: (), οπότε το εμβαδόν C G, τον άξονα και την ευθεία με εξίσωση = λ, λ λ λ λ [ ] E = G()d = G()d = G()d = G() G ()d = λ λ λ λ λ = ln d = λ ln d = + ( + ) λ + + = λ λ λ λln ln λ ln ln (λ ) ln λ + + = λ iv) Είναι: lim E( λ) = lim λlnλ λln(λ + ) ln(λ + ) + ln = διότι: λ + λ + λ + [ ] [ ] = lim λlnλ (λ + )ln(λ + ) + ln = ln λ + λ + D.L.H λ + λ +, < λ < lim λlnλ lim ( ) = lnλ + λ = lim = lim λ = λ λ lim (λ + )ln(λ + ) = [ ] λ + (), () 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 99

99 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ v) Για G < t < G(t) G(), οπότε G(t) G() G(t) G() dt > (), αφού G(t) G() δεν είναι παντού μηδέν. G(t) G() Από τη σχέση () έχουμε: ΘΕΜΑ 7ο : dt > dt dt > dt >, > G(t) G() G(t) G() G(t) G() Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [, + ) R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f() > για κάθε [, + ) () f() = () Αν το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση u C g της συνάρτησης g () = f(t)dt, τους άξονες και yy και την ευθεία με εξίσωση = u, με u> είναι Ε (u) = u f(t)dt+ f(u) (), τότε: α) Να αποδείξετε ότι β) Να βρείτε τα όρια: i) f() =, lim + + ii) lim + g(t)dt ν f(t)dt για τις διάφορες τιμές του ν N με ν γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής δ) Να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ f()d α) Από τη σχέση () προκύπτει ότι: οπότε f(t) > 4 > για κάθε t [, ], με > g() = f (t)dt > για κάθε > Άρα το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C g της συνάρτησης g() = f (t)dt, τους άξονες και yy και την ευθεία με εξίσωση = u, με u > είναι: 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

100 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ u Ε(u) = f (t)dt d (4) Από τις σχέσεις () και (4) έχουμε: u u f(t)dt d = u f(t)dt + f(u) (5) Παραγωγίζοντας λοιπόν και τα δύο μέλη της σχέσης (5) έχουμε: Είναι: u u f(t)dt = f(t)dt + uf(u) + f (u) () uf (u) + f (u) = f (u) = u f (u) () f(u) = u ( lnf (u)) = u lnf (u) = u + c f(u) f() =, οπότε c= Άρα η σχέση (6) γράφεται: lnf (u) u f (u) = =, u > (7) Από τις σχέσεις () και (7) συμπεραίνουμε ότι: f() =, β) i) Διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν ν =, τότε έχουμε: u g(t)dt g(t)dt ν= () (6) lim = lim = lim g() = lim f (t)dt = ν + + D.L.H + + (*) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [,+ ), άρα η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [,+ ), οπότε είναι και συνεχής, άρα Αν ν, τότε έχουμε: Είναι: Άρα: g(t)dt g() g () lim lim ν lim ν ν + D.L.H + D.L.H + + = ν = ν (ν ) = f() = lim ν lim ν lim + = + + ν ν(ν ) = ν(ν ) ν(ν ) + lim = ν(ν ) ν(ν ) και lim + ν, = +, αν ν = αν ν > G() = g(t)dt είναι lim G() = G() = 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

101 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, g(t)dt lim, ν = +, + ii) Για > έχουμε: οπότε: αν ν = αν ν = αν ν > t (+) t t + t (+) (+) t (+) t dt dt dt + (+) t ( ) dt ( ) f(t)dt (+ ) Είναι: lim = και lim + (+ ) = + + Άρα από το κριτήριο παρεμβολής είναι και lim f (t)dt = γ) Για κάθε > έχουμε: Είναι: f() = + f () = + 4 = f () = = = f () > > > Το πρόσημο της f () καθώς η κυρτότητα και τα σημεία καμπής της συνάρτησης f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Είναι: + f () f() Σ.Κ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

102 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ f συνεχής στο, f () < στο, Άρα η συνάρτηση f είναι κοίλη στο διάστημα, f συνεχή ς στο, + f () > στο, + Άρα η συνάρτηση f είναι κυρτή στο διάστημα, + f = το σημείο Α και εκατέρωθεν του,f, δηλαδή το o = αλλάζει η κυρτότητα της συνάρτησης f, άρα Α, είναι σημείο καμπής της συνάρτησης f δ) Στο (γ) ερώτημα αποδείξαμε ότι για κάθε > είναι f() = < Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, + ), άρα και στο οπότε έχουμε: Άρα: ΘΕΜΑ 8ο : f < < f > f > f f f > f() f d> f()d> f d Δίνεται η συνάρτηση f() = dt, R 4 f()d > f()d > 4 t α) Να αποδείξετε ότι f() =, R + β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f δ) Να αποδείξετε ότι: i) f()> για κάθε (, ) (, + ) ii) f() για κάθε [, ] ε) Να υπολογίσετε τα όρια:,, 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

103 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ f() i) lim ημ + ημ ii) lim f() + στ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() = ( ) f(), τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις = και = ΛΥΣΗ α) ος τρόπος: Για κάθε ος τρόπος: R είναι: t t t f() = dt = ( t)dt = = + = = + Για κάθε R είναι: t t t t t f() = dt= dt= dt= dt dt Η συνάρτηση t παραγωγίσιμες στο R. Επίσης η παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο: Για κάθε R είναι: Για κάθε R είναι: είναι συνεχής στο R, επομένως οι συναρτήσεις t dt και t dt είναι είναι παραγωγίσιμη στο R, άρα και η συνάρτηση f είναι f () = dt dt + dt dt = t t t t t t = dt dt + ( ) = + = f() + = f() +, R + + f () = f() + f () f() = + f() f() = f () + ( ) f() = ( ) f() = + f() = + + c () 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

104 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Για = από τη δοθείσα σχέση έχουμε οπότε: β) Για κάθε R t και από τη σχέση () έχουμε c f() = dt= + f() = + f() = +, R είναι παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο: + + f () = ( + ) = ( ) Είναι: + f() = ( ) = = + f() > ( ) > > Το πρόσημο της f() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. + f() + =, f() 4 Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, και γνησίως αύξουσα στο διάστημα, + ). Επίσης η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο = με ελάχιστη τιμή f 4 = += += γ) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, οπότε δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Για (, + ) είναι: lim ( ) lim ( ) = = + + = t lim = lim = t + lim f () = lim + = + = () + + t Άρα η ευθεία y = είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης f f στο + Για (, ) είναι: ελάχιστο 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

105 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ lim ( ) lim ( ) + + = = + = t lim = lim = t + lim f () = lim + = + = () t Άρα η ευθεία y = είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης f f στο δ) Το πρόσημο της συνάρτησης + + φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. + + i) Για κάθε (, ) (, + ) είναι: < < < + + > + > f() > ii) Για κάθε [,] είναι: f() ε) i) Για κάθε (, + ) είναι: Άρα: Είναι: ημ ημ = = ημ ημ lim = lim = + + Επομένως από το Κριτήριο Παρεμβολής προκύπτει ότι και Από τη σχέση () έχουμε lim f () =, οπότε: ημ lim = f() ημ lim ημ = lim f () = = ii) Για κάθε (,) είναι: 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

106 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Άρα: ημ ημ = = = ημ ημ ημ Είναι: lim = lim = ημ Επομένως από το Κριτήριο Παρεμβολής προκύπτει ότι και lim = Από τη σχέση () έχουμε lim f () =, οπότε: ημ lim f () + = + = στ) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο διάστημα, είναι και f() περικλείεται από τη γραφική παράσταση με εξισώσεις = και =, είναι:. Επίσης για κάθε, [, ], οπότε g() = ( ) f(). Άρα το εμβαδόν του χωρίου που C g της συνάρτησης g, τον άξονα και τις ευθείες + E = g()d = f ()d = + d = + + = d + d = d + d = = + = + = = ΘΕΜΑ 9o : π π Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:, R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: συνu π π f () + συν f () du =, u, () + ( ) f+= f = f( ) = () α) Να αποδείξετε ότι συνu π π du = ημ, u, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

107 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ β) Να αποδείξετε ότι π π f() = ln συν,, γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη στο διάστημα π π, α + β π π δ) Να αποδείξετε ότι συν συνα συνβ για κάθε α, β, f() ε) Να βρείτε το όριο lim ημ ΛΥΣΗ α) Για κάθε Είναι: Θέτουμε: Για u Έχουμε: π π, έχουμε: συνu συνu συνu du u = du u + du () u Ι = u συνu u du + = t, οπότε du = dt = είναι t = και για u= είναι t = t t u (4) συν( t) συνt συνt συνu Ι = ( dt) = dt = dt = du t t t t u Από τις σχέσεις () και (4) έχουμε: β) Για κάθε u u συνu συνu συνu συνu συνu du = du + du = + du = u u u u u u ( +) συνu u du συνudu [ ημu ] ημ ημ ημ (5) + = = = = = π π, έχουμε: (5) συνu f () + συν f () du = f () + συν f ()ημ = u + ( ) f ()συν f ()ημ = συν f ()συν = ημ 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

108 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ f()συν = ημ+ c, Για = έχουμε: () π π, f()συν = ημ+ c = + c c = π π Άρα για κάθε, έχουμε: ημ f()συν = ημ f () = f () (συν) συν = συν π π f() = ( lnσυν ) f() = ln( συν) + c,, Για = έχουμε: Άρα: () + + f() = ln συν c = ln c c = f() = ln( συν), π π, π π γ) Για κάθε, έχουμε: ημ f() = ( lnσυν ) = (συν) = = εφ συν συν f () =( εφ) = < συν π π Άρα η συνάρτηση f είναι κοίλη στο διάστημα, δ) Διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν α Αν α στα = β, τότε ισχύει η ισότητα. < β, τότε η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ σε δύο διαστήματα, α + β α, και α + β, β, οπότε θα υπάρχουν: α+ β α+ β f α + β f( α) f f( α) ξ α, τέτοιο, ώστε f(ξ ) = f (ξ ) = α+ β β α α ξ τέτοιο, ώστε f(ξ ) = f (ξ ) = α + β, β α+ β α+ β f β f f β f α+ β β α β π π Η συνάρτηση f είναι κοίλη στο,, άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό, οπότε ισχύει: 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

109 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ α+ β α+ β f f f α f β f π π < α < ξ < ξ <β < f (ξ ) > f (ξ ) > β α β α β α> α + β α + β α + β f f ( α ) > f ( β ) f f > f ( α ) + f ( β ) α+ β α+ β ln συν > ln(συνα) + ln(συνβ) ln συν > ln(συνασυνβ) α+ β συν > συνασυνβ Αν α > β β< α, τότε η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ σε δύο α β διαστήματα, στα + β, αποδεικτέα σχέση. και α Σε κάθε λοιπόν περίπτωση ισχύει η σχέση: α + β συν συνασυνβ, για κάθε ε) Για «κοντά στο» έχουμε: ( ημ ) + β, α, οπότε με όμοιο τρόπο καταλήγουμε στην π π α, β, f () f () f () () f () f () lim = lim = lim = lim ημ D.L.H = ημσυν ημσυν f f = lim f ( ) = = ημ = συν συν 7-9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

110 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς α) z(t) + z(t) = 4z(t) z(t). z( t) =, t R. Να αποδείξετε ότι: + it β) Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z( t) είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ, και ακτίνα 4 ρ = 4. γ) Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z(t) και του προηγούμενου κύκλου. 4 z, t R t δ ) Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z( ), z( 4) και z() είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου. * είναι αντιδιαμετρικά σημεία ΛΥΣΗ α) Είναι z(t) + z(t) = 4z(t) z(t) + = 4 +it +it +it +it + = 4 it+ + it = 4 4= 4 αληθές. + it it + it it β) Είναι it + it 4( +it) 4( +it) 4 +it z(t) = = = = =. 4 +it 4 4 +it 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών κέντρο το σημείο Κ, 4 και ακτίνα ρ =. 4 z(t) είναι o κύκλος (C ) με γ) Στο (β) ερώτημα αποδείξαμε ότι για κάθε t R ο μιγαδικός αριθμός κύκλο (C ) με κέντρο το σημείο 4 αριθμός z ανήκει στον ίδιο κύκλο. t Κ, και ακτίνα 4 z(t) = ρ =, άρα και για 4 + it ανήκει στoν 4 R ο μιγαδικός t - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

111 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αρκεί τώρα να δείξουμε ότι 4 z(t) z = ρ = =. t 4 Είναι 4 t t z(t) z = = = = t +it 4 +it t 4i +it ( t i +i ) t it it it + it = = = = =. +it +it +it ( +it) ( +it) Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών του κύκλου (C ) για κάθε t R. z(t) και 4 z t είναι αντιδιαμετρικά σημεία 4 δ) Για t = οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z() και z = z( 4) σημεία του κύκλου (C ), σύμφωνα με το προηγούμενο ερώτημα. είναι αντιδιαμετρικά Είναι z() z() z( 4). Πράγματι + i + i 4i i i 4i + i + i 4i αληθές, οπότε οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z(), z( 4) και z() είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν οι εικόνες των μιγαδικών z() και z( 4). ΘΕΜΑ ο : Έστω ο μιγαδικός αριθμός z =λ ( + i) + i, λ R. α) Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία ανήκει η εικόνα του z. β) Για ποια τιμή του λ, το z γίνεται ελάχιστο; γ) Υποθέτουμε ότι λ>. Αν z = και i) Να αποδείξετε ότι λ=. z w = τότε: i ii) Να βρείτε τις τιμές του θετικού ακέραιου αριθμού ν, ώστε w ν R. ΛΥΣΗ α) Θέτουμε z = + yi,,y R και έχουμε: =λ+ λ= z=λ+λ i+ i + yi= ( λ+ ) + ( λ ) i y+ = y=λ λ= y+ y =. Άρα η εικόνα του z κινείται στην ευθεία ε : y =. - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

112 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ β) Η εικόνα M(z) ανήκει στην ευθεία ε, επομένως το z ( OM) = γίνεται ελάχιστο, όταν το Μ συμπίπτει με το ίχνος Κ της κάθετης από το Ο στην ευθεία ε. Προσδιορίζουμε το Κ ως σημείο τομής της ΟΚ με την ευθεία ε. Είναι: OK ε λοκ λ ε = λ ΟΚ =. Άρα η εξίσωση της ευθείας ΟΚ είναι: ΟΚ : y=. y = = Λύνουμε το σύστημα :. y = y = Άρα Κ(, ), οπότε το z γίνεται ελάχιστο, όταν z = i. Επομένως λ= = =. ος τρόπος Εχουμε: z = ( λ+ ) + ( λ ) γ) i) Έχουμε: z=λ+λ i+ i= λ+ + λ i. Άρα = λ +.Οπότε ελάχιστο z =, για λ =. z = λ+ + λ = λ + = λ = λ =. ii) Για λ= έχουμε: ( + ) + ( i) ( + i) i ( + i) ( i)( + i) i w = = = = + i. i i i Επομένως w = + i = + i = i και ν ν ν ν w w i = =. ν ν ν = 4 κ, κ N Επειδή w R i R. Άρα ν ν= 4 κ+, κ N λ> {,4,6,8,,... }. ΘΕΜΑ ο : Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, u και w, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: u+ i 8 8 z =, R =, u i u i και ( w+ ) = 6( w+ ). α) Να βρείτε τα μέτρα των u και w. β) Να αποδείξετε ότι z + u + w. γ) Να αποδείξετε ότι z + u+ w = zu+ uw + 9zw. 6 ΛΥΣΗ α) Είναι: u+ i R =, άρα ο αριθμός u + i u i u i είναι φανταστικός, οπότε έχουμε: - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

113 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Είναι: u + i u + i u + i u + i u + i u i = = = u i u i u i u i u i u + i ( ) u+ i u+ i = u i u i uu + iu + iu 9 = uu + iu + iu + 9 uu = 8 u = 8 u = 9 u = w + = 6 w + w + = 6 w + w + = 6 w + w+ = w+ w+ = w+ w+ w+ = w+ w+ ww + w + w + 4 = ww + w + w + ww = w = w = β) Υποθέτουμε ότι: z+ u+ w= z+ w= u u = z+ w z + w +, που είναι άτοπο. Άρα z+ u+ w.. γ) Έχουμε: z = z = zz = z =. Όμοίως είναι z 9 u = και w =. u w Είναι: 9 uw+ 9zw+ zu z+ u+ w = z+ u+ w = z+ u+ w = + + = = z u w z u w uw + 9zw + zu uw + 9zw + zu = = = uw + 9zw + zu z u w 6. ΘΕΜΑ 4ο : Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z,w,u. Αν ισχύουν οι σχέσεις: να αποδείξετε ότι: z = w = u = (), z + w+ u () και z + w + u = () α) z + w = w + u = u + z + + = z w u β) γ) Οι εικόνες των αριθμών z,w,u, zwu και zw+ wu+ uz z + w + u είναι ομοκυκλικά σημεία. - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

114 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ δ) z + w+ u = ΛΥΣΗ α) Από τη σχέση () έχουμε: z + w = u () z + w = u z + w = u z + w =. () w + u = z w + u = z w + u = z w + u =. () u + z = w u + z = w u + z = w u + z =. Επομένως z + w = w + u = u + z. β) Είναι: Ομοίως έχουμ ε Έχουμε: z z = z = z z= z =. z _ w = και w u =. u z + w + u = z + w + u = z + w + u = _ ( z) + ( w) + ( u) = + + =. z w u _ γ) Είναι: z = w = u =. zwu = z w u = =. zw+ wu+ uz z w+ wu + uz z w+ wu + uz z w+ wu + uz = = = = z+ w+ u z+ w+ u z+ w+ u z + w + u z w+ wu + uz z w+ wu + uz z w+ wu + uz = = = zwu =. wu uz zw zw+ wu+ uz z w u zwu Άρα οι εικόνες των αριθμών z, w, u, zwu και κύκλο, οπότε είναι ομοκυκλικά σημεία. zw + wu+ uz z+ w + u ανήκουν στον μοναδιαίο δ) Είναι: () ( z + w+ u) = z + w + u + zw+ wu + uz ( z + w+ u) = zw+ wu + uz ( z + w+ u) = ( zw+ wu+ uz) z + w+ u = zw+ wu+ uz - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

115 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5ο : zw + wu+ uz zw + wu+ uz z + w + u = z + w + u = z + w + u z + w + u z + w+ u = z + w+ u =. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z = +συν( π t) + ( 5 +ημ( πt) ) i, t [, + ). α) Να αποδείξετε ότι z 5i =. β) Να βρείτε τη μέγιστ η και την ελάχιστη τιμή του z. γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει t [, ) ευθεία με εξίσωση δ : y =. + τέτοιος, ώστε η εικόνα του z να βρίσκεται πάνω στην δ) Έστω w C τέτοιος, ώστε w = w i. Να αποδείξετε ότι z w. ΛΥΣΗ α) Είναι z 5i = συν (π t) + i ημ (π t) = συν (π t) +ημ (π t) =. z ( + 5i) = στον κύκ λο C με κέντρο β) Επειδή, η εικόνα M(z) κινείται K,5 και ακτίνα ρ=. Καθώς η εικόνα M(z) κινείται στον κύκλο C, διαπιστώνουμε ότι ισχύει ( OM ) ( OM) ( OM ) ( OM ) z ( OM ), όπου M, M είναι τα σημεία τομής της ευθείας ΟΚ και του κύκλου C. Επομένως : Η ελάχιστη τιμή του z είναι: min z = Η μέγιστη τιμή του ma z = OK ρ= 9 z είναι OK +ρ = 9 + γ) Βρίσκουμε την απόσταση έχουν κοινό σημείο, επομένως δεν υπάρχει εικόνα 5 d K, δ = = > =ρ, άρα ο κύκλος C και η ευθεία δ δεν M( z) η οποία να ανήκει στην ευθεία δ. ος τρόπος Εχουμε = +συν( π t) και y= 5+ημ( πt) Επειδή = y +συν( π t) = 5+ημ( πt) συν( πt) ημ( π t) = αφού ( t) ( t).άτοπο συν π ημ π δ) Επειδή w = w i, η εικόνα N(w) κινείται στην ευθεία δ : y =. Καθώς η εικόνα M(z) - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

116 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ κινείται στον κύκλο C και η εικόνα N(w) κινείται στην ευθεία δ :y=, διαπιστώνουμε ότι η ελάχισ τη τιμή του w = ( MN) αι Επομένως ισχύει: ΘΕΜΑ 6ο : min z w = MN = d K, ρ= =. z είν ( δ) z w. α) Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z ανήκει σε κύκλο με κέντρο αποδείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για την εικόνα του μιγαδικού αριθμού Ο, και ακτίνα ρ=, να z w =, z. z β) Αν z = + yi,,y R, να αποδείξετε ότι z w =,. 5 4 γ) Να βρείτε τους μιγαδικούς z και w ώστε, το z w να είναι μέγιστο και να υπολογίσετε την μέγιστη τιμή του. ΛΥΣΗ z w z = z wz w = z z + w wz+ z = + w ( w + ) z = + w z =. w + z = έχουμε: α) Είναι: w = Επειδή w + w+ = + w = w+ + w = w+ (+ w)(+ w) = (w+ )(w+ ) + w + w + 4ww = ww + w + w + 4 w = w = w =. β) Είναι: z = + y = y = (). Επειδή y έχουμε:. Είναι: ( + ) () z z z + z z yi y + yi z w = z = = = = = z z z + yi + yi 4 y 4 () + + yi 4 + yi y = = = = = ( ) + yi + yi + y y = = = γ) Η μέγιστη τιμή του z w Έχουμε: είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης f. ( ) 4 = ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

117 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ + f = 4 = 4 = ± 6 Αν f = 4 + 4= =. Άρα = δεκτή ή = απορρίπτεται. 8 4 Για = η f παρουσιάζει μέγιστο το f = = = Άρα ma z w =. Επίσης για = έχουμε y = = = y=±. Άρα είναι 4 4 i i z= ± i και w = = = i ή i i + i i w = = = + i. + i + i ΘΕΜΑ 7ο : R R Έστω συνεχής συνάρτηση f :, με 4 f(f()) + 4f() = 6 (). α) Nα βρείτε τις τιμές f( ) και ( ) f. β) Nα αποδείξετε ότι f( ) γ) Αν 4 + 4f 5 lim = 4 = f =. f = η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση limf f()., να βρείτε το δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( f ()) + = έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο ( ) ΛΥΣΗ α) Για = από την () έχουμε: f f +4f = 6 f + 4 = 6 f =. 4 Για = από την () έχουμε: ( ) (,. f f +4f = 6 f + 4 ( ) = 6 6 f =. ( ) = < < = [ ] β) Είναι f f και η f είναι συνεχής στο,, επομένως από θεώρημα ) - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

118 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ενδιαμέσων τιμών θα υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο, ώστε f. Για = ο από την () έχουμε: f( f) + 4f=6 f + 4 =6 =6 = 4 ο o ή o o ο ο o o o o = = =, αφού ο Άρα,. f =. Είναι f( ) = <<=f και η f είναι συνεχής στο [, ], επομένως από Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών θα υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) Για = από την () έχουμε: ο = τέτοιο, ώστε f = f( f) + 4f=6 f + 4 =6 =6 = 4 = ή = =, αφού (, ). Άρα f( )=., οπότε = 4 +4f 5 4 g + 5 γ) Για, θεωρούμε τη συνάρτηση g = f () 4 4 ( ) g( ) + 5 Από υπόθεση είναι limg()= 4, οπότε limf( ) = lim =, και 4 u=f() = u limf f () limf u =. g() = f f (), R. δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση + Η συνάρτηση g είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα, και,, ως f f() που είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών και άθροισμα συνεχών συναρτήσεων, της της σταθερής συνάρτησης. Είναι: ( ) ( ) g =f f +=f +=+=. g =f f +=f += +=. g( ) g = < και g =f f +=f +=+=. Επομένως g g = <. g()= f f() Ισχύει λοιπόν το Θεώρημα Bolzano σε δύο διαστήματα, άρα η εξίσωση += θα έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) και μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ), δηλαδή δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα ( ),. ΘΕΜΑ 8ο : Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f:r R. Αν + lim =, τότε : f(+) α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από την αρχή των - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

119 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ αξόνων. f(ημ) β) Να βρείτε το lim. γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει την ευθεία y = σε ένα ακριβώς σημείο (, y ) με (,) ΛΥΣΗ ο ο ο. α) Είναι u=+ + u lim = lim = (). f(+) f(u) u u Θεωρούμε τη συνάρτηση g(u) =, για u κοντά στο, οπότε g(u) f(u) = u f(u) και από () έχουμε lim g(u) = (). Είναι u [ ] lim g(u) f(u) = lim u limg(u) limf(u) = limf(u) = u u u u u και αφού η f είναι συνεχής ισχύει f=, δηλαδή η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β) Για κοντά στο είναι: f(ημ) f (ημ) ημ = ημ Έχουμε u= ημ () f(ημ) f (u) li m = lim = lim = =. ημ u u u u f(u) Επομένως f(ημ) f (ημ) ημ f(ημ) ημ lim = lim = lim lim. ημ = = ημ γ) Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση f () = έχει μία ακριβώς ρίζα,. Θεωρούμε τη συνάρτηση h = f () +, R. Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο διάστημα [, ], Είναι ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. (α) h() = f() + = > και h() = f () + = f () <, γιατί η f είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, οπότε > f() < f() =. Άρα h h( ) <. Ισχύει λοιπόν το Θεώρημα Bolzano, άρα η εξίσωση h() = f () = έχει τουλάχιστον μία ρίζα,. ο Για,, με ισχύουν: < f f ( ) και + > +, > ο - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

120 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ οπότε προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: f ) + > f + h h. ( > Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ), οπότε η ρίζα ο είναι μοναδική. Δηλαδή η εξίσωση f() ΘΕΜΑ 9ο : = έχει μία ακριβώς ρίζα (,) ο. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R που ικανοποιεί τη σχέση α) Να λύσετε την εξίσωση f() =. 6 R = για κάθε R. f () β) Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα (,) και (, + ). γ) Αν f( ) > και f <, να αποδείξετε ότι f( ) =. δ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε τη συνάρτηση f ε) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f. ΛΥΣΗ α) Έχουμε: f( 6 ) = f () = = =. Άρα η εξίσωση f = έχει στο R μοναδική ρίζα την =. β) Η συνάρτηση f στο (,) είναι συνεχής και δε μηδενίζεται, οπότε σε αυτό το διάστημα διατηρεί σταθερό πρόσημο. Η συνάρτηση f στο (, + ) είναι συνεχής και δε μηδενίζεται, οπότε σε αυτό το διάστημα διατηρεί σταθερό πρόσημο. Άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα (,) και ( ).,+. γ) Η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (,) και από υπόθεση είναι f( )>, οπότε f()> για κάθε (,). Επομένως στο διάστημα αυτό έχουμε: 6 f = f () =, αφού <. Επειδή f = έχουμε τελικά: f =, (). για κάθε ( ] Η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, + ) και από υπόθεση είναι f<, οπότε f()< για κάθε (, + ). Επομένως στο διάστημα αυτό έχουμε: 6 f = f () =, αφού >. Επειδή f = έχουμε τελικά: f =, + (). για κάθε [ ) Συνδυάζοντας τις περιπτώσεις () και () έχουμε: - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

121 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ f() = για κάθε R. δ) Έστω, με f( ) = f( ), τότε έχουμε διαδοχικά: Άρα η f είναι στο = = = R, Για να ορίσουμε τη συνάρτηση Έχουμε: οπότε αντιστρέφεται. f, λύνουμε την εξίσωση y= f() ως προς. y, y y, y. y, y y, y y, y < έχουμε f (y) =. y, y < < y= f() y= ( ) = y = = Επειδή ισχύει η ισοδυναμία Επομένως: f () ε) Λύνουμε το σύστημα: y = f() = f (y) < =,., y = f() f:- y = f() y = f () y = f () y = y = f () f(y) = f( f ()) f(y) = = f(y) = y y= y= y= + y = y + y + + y = ( + y) y + y + = 4444 y= y= = = ( +)( ) = + y = y = y = y = y = = ή = ή = (,y) = (,) ή (,) ή (, ). y = Άρα τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f είναι τα : Α (,), Ο(, ) και Β(, ). ΘΕΜΑ ο : Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:r R και z C έτσι, ώστε να ισχύουν: () f () + ημ = f() για κάθε R και () α) Να αποδείξετε ότι: i) z = z f() lim = l, με z l =. z - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

122 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ii) Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z ανήκουν στον κύκλο C: f ημ β) Nα βρείτε το lim. γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = f () τα διαστήματα (,) και (, + ). δ) Να βρείτε όλους τους δυνατούς τύπους της συνάρτησης f. + y =. διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από ε) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση ( z+ 4i + 5) = +, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα,. ΛΥΣΗ α) i) Αν διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της σχέσης () με έχουμε f() ημ f() + = για κάθε R (). f Από τη σχέση () έχουμε li m =, R. l l Αν πάρουμε τα όρια και των δύο μελών στη σχέση () έχουμε: f l + = l l l+ = ( l ) = l=, δηλαδή lim = (4). Επομένως έχουμε z z = z = z. ii) Είναι z = z z z = z z zz z z + 4= 4zz z z + zz = zz = z = z =. Αν θέσουμε z = + yi, τότε + y =. Επομένως οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z ανήκουν στον κύκλο C: + y =. β) Για κοντά στο = έχουμε: Είναι o f ημ f ημ ημ f ημ ημ = = ημ ημ f ( ημ) u= ημ (4) f(u) lim = lim = (5), οπότε έχουμε: ημ u u (5) ημ ημ f ημ f ημ f ημ lim lim lim lim lim. = ημ ημ = = = γ) Για κάθε R, από τη σχέση () έχουμε: f () f () + = ημ f () = ημ g () = ημ (6). Είναι g() = g () = ημ = ημ = ημ = =. Θυμίζουμε ότι, για κάθε Άρα για έχουμε R ισχύει ημ και ότι η ισότητα ισχύει μόνο για =. < < > > ημ ημ ημ g () g() Η συνάρτηση λοιπόν g() = f () είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και δε μηδενίζεται στο R, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα (,) - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

123 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ και (,+ ). δ) Διακρίνουμε περιπτώσεις: Στο διάστημα (,) έχουμε: Αν g<, τότε από τη σχέση (6) έχουμε g( = = = ) ημ f() ημ f() ημ (Ι). Αν g>, τότε από τη σχέση (6) έχουμε g( ) = ημ f () = ημ f () = + ημ (IΙ). Στο διάστημα (,+ ) έχουμε: Αν g<, τότε από τη σχέση (6) έχουμε g( = = = ) ημ f() ημ f() ημ (IIΙ). Αν g>, τότε από τη σχέση (6) έχουμε g( ) = ημ f () = ημ f () = + ημ (IV). Συνδυάζοντας τις περιπτώσεις: (Ι) και (IIΙ) και επειδή f()= έχουμε (Ι) και (IV) και επειδή f()= έχουμε f() = ημ, R. f = ημ, < ημ, +. (IΙ) και (IIΙ) και επειδή f()= έχουμε (IΙ) και (IV) και επειδή f()= έχουμε f() = ε) Θεωρούμε τη συνάρτηση στο διάστημα, και ισχύει: h = z+ 4i = 6 z+ 4i ημ +, <. ημ, f = + ημ, R. h = z+ 4i + 5 +,,, η οποία είναι συνεχής h () = 8 z+ 4i = 8 z+ 4i = 4 z+ 4i Όμως z 4i z+ 4i z + 4i 5 z+ 4i z+ 4i 6 Άρα h() και h(), οπότε h()h(). Διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν h()h() =, τότε h = ή h() =, άρα ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί και. Αν hh() <, τότε ισχύει το Θεώρημα Bolzano, οπότε η εξίσωση h() = θα έχει μια τουλάχιστον ρίζα,. o Σε κάθε λοιπόν περίπτωση η εξίσωση h() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα [, ] o.. - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

124 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : z Έστω οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί z, w. Αν =+ i και η εικόνα Α του μιγαδικού w αριθμού z, στο μιγαδικό επίπεδο ανήκει στο κύκλο με κέντρο Α) Να αποδείξετε ότι: α) Η εικόνα Β του μιγαδικού w ανήκει στο μοναδιαίο κύκλο. β) z w = και z+ w = 7. Β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,) ( i 4) z Ο (,) και ακτίνα ρ=, τότε: ξ τέτοιο, ώστε να ισχύει ( ξ z+ ξw + ξ z+ w =. Γ) Αν lim = κ, να αποδείξετε ότι κ 7. + ημ+ ΛΥΣΗ Α) α) Η εικόνα Α του μιγαδικού αριθμού z στο μιγαδικό επίπεδο ανήκει στον κύκλο με κέντρο z z Ο(,) και ακτίνα ρ =, άρα ισχύει z =. Είναι = + i w =. w + i z z Άρα w = w = w = w = w =. + i + i + Επομένως η εικόνα Β του μιγαδικού w ανήκει στο μοναδιαίο κύκλο. ) β) Είναι: Άρα Είναι: Άρα z + i z w + i z w = = =i w w w w = z w z w = i = + ( ) w w z w =. z + i z+ w + i + z+ w = = =+ i w w w w = z+ w z+ w = + i = + ( ) z+ w w w = 7. = ( ) στο διάστημα [ ] Β) Θεωρούμε τη συνάρτηση h() z w z w H h συνεχής στο [, ] ως πράξη συνεχών. h( ο ) = z + w = z + w = >,. h () = z+ w + z+ w = z w + z+ w = + 7 < Άρα h() h() <. Ισχύει λοιπόν το Θεώρημα Βolzano, οπότε θα υπάρ χει ξ (, ) τέτοιο, ώστε h ( ξ) =. ξ ξ Είναι h ξ = ( ξ z ) + ξw + ξ z+ w = ( ξ z ) + ξw + ξ z+ w = - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

125 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ) Για κάθε (, + ) έχουμε: i 4 z i 4 z = = ημ+ ημ+ ημ ημ = =, οπότε ημ i 4 z ημ + ημ Είναι lim lim = =, οπότε από Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε lim = ( i 4) z ( i 4) z Άρα + lim = lim = i 4 z ημ+ + ημ +, οπότε κ = ( i 4) z. Ισχύει i 4 z ( i 4) z i 4 + z 5 κ 5+ κ 7. ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με f για κάθε R. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς u = + βi και w = αi. f(α) f(β) β α α) Να αποδείξετε ότι R( uw)= + αβ και Im( uw)=. f(α)f (β) f(β) f(α) f(ξ) β) Αν I m( uw)= και α, β, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ( α, β) τέτοιο, ώστε f(ξ) =. ξ γ) Αν R( uw)=, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α, β είναι ετερόσημοι. δ) Να υπολογίσετε το όριο lim f (4)f() ημ ΛΥΣΗ α) Είναι β α uw = + βi αi = + αβ + i, f(α) f(β) f(α)f (β) f(β) f(α). άρα R( uw)= + αβ και f(α)f (β) Im uw β f(β) α =. f(α) β α f(α) f(β) β) Είναι Im(uw) = = =. f(β) f(α) α β f() =. Θεωρούμε τη συνάρτηση h(), [ α,β ] - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

126 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο [ ] f(α) = f(β) α β f () f() α,β με h() =. Ισχύει λοιπόν το Θεώρημα Roll στο διάστημα [ α, β ], οπότε θα υπάρχει ξ ( α, β) ξf (ξ) f(ξ) f ξ) h(ξ) = = f( ξ) = (. γ) Είναι ξ R(uw) = αβ αβ f(α)f (β) + = f(α)f (β) = (). ξ τέτοιο, ώστε Η συνάρτηση f είναι συνεχής και f() για κάθε R, άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R, επομένως f(α)f(β) > (). Από () και () έχουμε αβ<, άρα οι αριθμοί α, β είναι ετερόσημοι. δ) Για κάθε (,) έχουμε: ημ f (4)f () ημ = f (4)f () Έχουμε: Επειδή η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R, οι αριθμοί f (4) και f () Άρα είναι ομόσημοι, άρα f (4) f () >. ημ = t ημt lim = lim = και t t lim =. ημ lim f (4)f () ημ lim f (4)f () = =. - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

127 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() = η οποία για κάθε (, ) ικανοποιεί τη ln f() = f() l n. σχέση Α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. Β. Αν l ( l ) f() = n - n, (,). α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,). β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. γ) Να βρείτε την τιμή του για την οποία ο ρυθμός μεταβολής της f γίνεται ελάχιστος. δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης l n =, για τις διάφορες τιμές του α α R. ΛΥΣΗ Α. Για κάθε (, ) είναι: f() ln ( f ()) = f () l n f () = = f() f f f() = ( ) = ( n) = n+ c ο Είναι f() =, οπότε = n+ c c =. Επομένως έχουμε: f () ln f() l l. l ( l ) f () f () = ln = ln f () = ln ln f () = l n n, (, ). Β. α) Για κάθε (, ) είναι: f () = ( ln( ln) ) = ( ln) = ln n ( l ) Είναι < < ln< ln ln< l n>. Άρα f() > για κάθε (, ). Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,).. -4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

128 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ β) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (,), άρα το σύνολο τιμών της είναι το = ( + ) Είναι: f(a) limf(), limf(). + + ln= t ( l l ) = ( l ) lim f () = lim n n lim nt =. t + ln= t ( l l ) = ( l ) lim f () = lim n n lim nt = +. + t Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το f(a) = R. γ) Για κάθε (, ) είναι: ( n) n + n f () = = l l l = ( ln) ( ln) ln ln = Το πρόσημο της f, η μονοτονία και τα ακρότατα της f, φαίνονται στο διπλανό πίνακα. f + f ελάχ. Έχουμε: Η f είναι συνεχής στο (, ] και f () < στο φθίνουσα στο (, ]. Η f είναι συνεχής στο [, ) και f () > στο αύξουσα στο [, ). Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο ο =, με ελάχιστη τιμή f () =. Άρα ο ρυθμός μεταβολής της f γίνεται ελάχιστος, όταν =.,, άρα η f είναι γνησίως,, άρα η f είναι γνησίως δ) Για κάθε (, ) είναι: ln = ln α ( ln) = α ln ( l n) = α f() = α. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, ( ) και το σύνολο τιμών της είναι το Άρα για κάθε α R, η εξίσωση f() = α έχει μοναδική λύση. f (, ) = R. -4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

129 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 4ο : Θεωρούμε συνάρτηση g :R R, δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και το μιγαδικό αριθμό z = + g() i., g() = και g( ) = να αποδείξετε ότι g() =. Β. Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση f :R Rδυο φορές παραγωγίσιμη στο R, με f() =, Α. Αν ισχύει z = R( z) ( + ) η οποία ικανοποιεί τη σχέση g() = f () f() για κάθε R. α) Να αποδείξετε ότι f() = +, R. β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και η C f διέρχεται από τα σημεία Α(, ) και Β (, ). γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = έχει ακριβώς μία πραγματική λύση. ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο της C f στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη ΛΥΣΗ Α. Έχουμε: Είναι: στην ευθεία ε : y + =. z = R() z + + g() = + g() = g() = (). g() = g() = = =. Άρα η εξίσωση g() = έχει στο R μοναδική ρίζα την =. Η συνάρτηση g στο (,) είναι συνεχής και δε μηδενίζεται, οπότε σε αυτό το διάστημα διατηρεί σταθερό πρόσημο. Είναι Επομένως στο διάστημα (,) έχουμε: g( ) = <, οπότε g(), g() = g() =, αφού <. Επειδή g() = έχουμε τελικά: g() = για κάθε (, ] (). < για κάθε (, ). Η συνάρτηση g στο (, + ) είναι συνεχής και δε μηδενίζεται, οπότε σε αυτό το διάστημα διατηρεί σταθερό πρόσημο. Είναι g() = >, οπότε g() > για κάθε (, + ). -4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

130 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επομένως στο διάστημα (, + ) έχουμε: g() = g() =, αφού >. Επειδή g() = έχουμε τελικά: g() = για κάθε [, ) + (). Συνδυάζοντας τις περιπτώσεις () και () έχουμε g() = για κάθε R. Β. α) Για κάθε R είναι: g() = f () f () = f () f () f () f () =. f () f() f() = = Είναι f() = άρα c =, επομένως β) Για κάθε R είναι: Άρα f() f() = +, R. = + c, R. f() = + = + + = + + = ( + + ) >, επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα είναι και, οπότε αντιστρέφεται. Ισχύουν οι ισοδυναμίες: Άρα η f f() = f () = και () ( ) C διέρχεται από τα σημεία Α(, ) και Β (,). f = f = γ) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R, άρα το σύνολο τιμών της είναι το = Έχουμε: f (A) lim f (), lim f (). + + ( + ) + + lim + lim lim lim lim. = = = = = D.L.H. D.L.H. lim + = + +, αφού lim + = + και lim + = lim = +. + Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το f(a) = (, + ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

131 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ δ) Η αρχική εξίσωση ισοδύναμα γράφεται: = + = ( + ) = f() + = =., f (A) + = η εξίσωση f() =, άρα και η ισοδύναμή της εξίσωση Επειδή το = έχει μία πραγματική ρίζα, η οποία είναι και μοναδική, γιατί η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R. ε) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [ ] Θ.Μ.Τ. επομένως θα υπάρχει Είναι, με = + + άρα ισχύει f(), f() f() o (,) τέτοιο, ώστε f( o) = = =. ε : y = +, άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε είναι λ ε =. Παρατηρούμε ότι f( o)= λ, οπότε υπάρχει σημείο της C ε f με τετμημένη o, στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία ε : y + =. ΘΕΜΑ 5ο : A) Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι - και συνεχής σε ένα διάστημα Δ, τότε είναι γνησίως μονότονη στο Δ. B) Έστω συνάρτηση f τρεις φορές παραγωγίσιμη στο R με f () () για κάθε R. () Αν f () >, f ()> και για κάθε R ισχύει f() + f(4 ) =, τότε: α) Nα αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη. β) Nα μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής. γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει μια ακριβώς ρίζα στο R. f() δ) Αν η γραφική παράσταση C g της συνάρτησης g() = f() τέμνει τον άξονα στο σημείο Μ, να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C g στο σημείο Μ σχηματίζει με τον άξονα o γωνία 45. ε) Για να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( +) = f() + f( +) είναι αδύνατη. ΛΥΣΗ Α) Έστω,, Δ με < <, οπότε αφού η f είναι - οι τιμές f( ), f( ), f( ) θα είναι διαφορετικές μεταξύ τους ανά δύο. -4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

132 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Υποθέτουμε επίσης ότι η συνάρτηση f δεν είναι γνησίως μονότονη, οπότε δεν θα ισχύει καμία από τις σχέσεις f() < f() < f() και f() > f() > f(). Δηλαδή το f( ) δεν θα βρίσκεται ανάμεσα στο f( ) και στο f( ). Επομένως θα ισχύει μία από τις παρακάτω ανισότητες: f() < f() < f() () f() < f() < f() () f() < f() < f() () f() < f() < f() (4) Ας υποθέσουμε ότι ισχύει η (), τότε εφόσον το f( ) βρίσκεται μεταξύ του f( ) και του ) f(, θα υπάρχει σύμφωνα με το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε f( ξ) = f(). Επομένως για < ξ< <, δηλαδή για ξ < έχουμε f(ξ) = f( ) που είναι άτοπο, αφού η f είναι -. Ομοίως θα καταλήξουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε ότι ισχύει μία από τις ανισότητες (), () και (4). Β) α) Κατ αρχάς θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι -. Αν υποθέσουμε ότι η f δεν είναι -, τότε θα υπάρχουν, f f ( ) R με τέτοια, ώστε =. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι <, οπότε έχουμε: Η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [, ] παραγωγίσιμη στο R. f ( f ( ) = )., αφού η συνάρτηση f είναι τρεις φορές Άρα η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Roll στο διάστημα [, ] θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε,οπότε () f (ξ) =, που είναι άτοπο, αφού από υπόθεση είναι f () () για κάθε R. Άρα η συνάρτηση f είναι - στο R. Η συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο R, οπότε η f είναι συνεχής στο R. Επίσης η f είναι -, οπότε σύμφωνα με το (Α) ερώτημα η f είναι γνησίως μονότονη. β) Για κάθε R είναι f() + f(4 ) =. Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη έχουμε: f () f (4 ) = και f () + f (4 ) = για κάθε R Για = είναι f () + f (4 ) = f () = f () = (). Η f είναι γνησίως μονότονη στο R και επειδή από υπόθεση είναι f () () για κάθε R συμπεραίνουμε ότι για κάθε R ισχύει ή f () () > ή f () () <. Όμως f () () >, άρα f () () > για κάθε R, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. -4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

133 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Για < είναι () f () < f () f () <, ενώ για > είναι () f () > f () f () >. Το πρόσημο της f καθώς και η κυρτότητα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Έχουμε: + f + f / Σ. Κ. Για = από την αρχική σχέση έχουμε: f () + f (4 ) = f () = f () = (). Η f είναι συνεχής στο (,] και f () < στο (,), άρα η f κοίλη στο (,. ] Η f είναι συνεχής στο [,+ ) και f () > στο (,+ ), άρα η f κυρτή στο [,+ ). Η f παρουσιάζει καμπή στο o = και το σημείο καμπής είναι το A,. γ) Από τη σχέση () συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση f() = έχει ρίζα τον αριθμό =. Θα αποδείξουμε τώρα ότι η παραπάνω ρίζα είναι μοναδική. Από το (β) ερώτημα έχουμε: + f + f f () ελάχ. Η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο o =, άρα f() f() για κάθε R. Όμως από υπόθεση είναι f () >, άρα f () > για κάθε R. Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R, οπότε η ρίζα = είναι μοναδική. δ) Αν o η τετμημένη του σημείου Μ, στο οποίο η = f = = (). o g() o f() o f() o C g τέμνει τον άξονα, τότε έχουμε: Για κάθε R είναι f () f ()f () g() =. f() Άρα f() f()f () f() g() = = =, οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης της o ( ) o o o o f() o f() o εφαπτομένης της γραφικής παράστασης C g, της συνάρτησης g C g τέμνει τον άξονα είναι ο με τον άξονα είναι 45. o στο σημείο Μ, στο οποίο η λ = g() =, οπότε η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη ε -4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

134 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ε) Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται f( + ) f() = f( + ) f( + ) (4). Για η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. σε καθένα από τα διαστήματα [,+ ] και [ +, + ], άρα θα υπάρχει: f(+ ) f() ξ (, + ) τέτοιο, ώστε f (ξ ) = f ( + ) f () = f (ξ ). + f(+ ) f(+ ) ξ (+, + ) τέτοιο, ώστε f(ξ ) = f(+ ) f(+ ) = f (ξ ) ( + ) ( + ) Η εξίσωση (4) ισοδύναμα γράφεται f(ξ ) = f (ξ ) (5). Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ ),+, άρα θα είναι και -, οπότε από (5) έχουμε ξ= ξ που είναι αδύνατο, γιατί τα ξ, ξ ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα. Άρα η εξίσωση f ( + ) = f () + f ( + ) είναι αδύνατη, για. ΘΕΜΑ 6ο : Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: f () = + + για κάθε R. α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f, ως προς την κυρτότητα. β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = f () είναι γνησίως αύξουσα στο R. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. δ) Να βρείτε το όριο lim ( f f() ) ΛΥΣΗ + α) Για κάθε R έχουμε: f () = = = + + ( + )( + ) ( + )( + ) = = ( + ) = = + ( ) ( ) = = = ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

135 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Το πρόσημο της f καθώς και η κυρτότητα της f φαίνονται στο διπλανό πίνακα. + f + + f Έχουμε: Η f είναι συνεχής στο (,] και f () > στο (,), άρα η f κυρτή στο (,. ] Η f είναι συνεχής στο [, ] και f () < στο (, ), άρα η f κοίλη στο [, ]. Η f είναι συνεχής στο [,+ ) και f () > στο (,+ ), άρα η f κυρτή στο [,+ ). β) Για κάθε R έχουμε: + + g () = f () = = = > Άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο R. γ) Για κάθε R είναι f() >, επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Επίσης η f είναι. συνεχής, οπότε το σύνολο τιμών της f είναι το f R = ( lim f (), lim f ()) Για κάθε (,) έχουμε: Είναι lim ( f + g() < g f() < f f() < + f (). + ) =, άρα + f <, επομένως και f()< σε περιοχή του, οπότε από () έχουμε f() < + f< > >. f() + f Είναι lim = και + f lim =, οπότε από Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε lim =. f() Επειδή lim = και f()< σε περιοχή του, συμπεραίνουμε ότι lim f ()=. f() Για κάθε (, + ) έχουμε: Είναι lim ( f + g() > g f() > f f() > + f (). + ) = +, άρα + f >, επομένως και f()> σε περιοχή του +, οπότε από () έχουμε f() > + f> < <. f() + f Είναι lim = και + + f Επειδή lim = f() + lim =, οπότε από Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε + και f()> σε περιοχή του +, συμπεραίνουμε ότι Άρα το σύνολο τιμών της f είναι το f( R )= (, + ). lim =. f() + lim f ()= ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

136 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ δ) Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα, +, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, +) τέτοιο, ώστε f (+ ) f () f (+ ) f () f(ξ) = f (ξ) = f ( + ) f () = f (ξ). + Για > η συνάρτηση f είναι κυρτή, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως για Για > είναι: ( ( ( < < ξ < + f ) < f ξ) < f + ) f < f( ξ) < f( + ) f < f ( + ) f () < f( + ) lim f( ) = lim = lim = lim = lim =. + + D.L.H. + D.L.H. + D.L.H Άρα ( lim f ) = = 4. + Αν θέσουμε + = u, τότε όταν το + και το u +, άρα έχουμε: + ( ( lim f + ) = lim f u) = = 4. u + Από Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε ( ) ΘΕΜΑ 7ο : lim f + f () = 4. + Έστω συνάρτηση f :(, + ) R δυο φορές παραγωγίσιμη στο (, + ) με f() =. Αν η συνάρτηση fof ορίζεται στο (, + ) και για κάθε (, ) να αποδείξετε ότι: α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το A (, ) f = +. β) Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). γ) f () =. δ) ( f o f )() = για κάθε (, + ). ε) f() + f () = για κάθε (, + ). στ) f() ΛΥΣΗ = l n για κάθε (, + ). α) Κατ αρχάς είναι A f A = (, + ). Διακρίνουμε περιπτώσεις : f ή A (, ) f= + ή θα υπάρχει (, + ) τέτοιο, ώστε o o A f + ισχύει fof () = f() (), -4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

137 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει o (, + ) τέτοιο, ώστε A o f τότε και με δεδομένο ότι { / } A f of = A f f () A f συμπεραίνουμε ότι το o A fof, το οποίο είναι άτοπο, γιατί o (, + ) και A (, ) fof = + από υπόθεση. Άρα A (, ) f= +. β) Από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f o f : { } { } A f o f = A f / f () A f = A f / f () (, + ) προκύπτει ότι f() (, + ) για κάθε A f δηλαδή f() > για κάθε (, + ). Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). γ) Για = από τη σχέση () έχουμε: f() = f() = f: fof () = f () f o f () = f f () = f () f () =. δ) Επειδή f() > για κάθε (, + ) μπορούμε να θέσουμε στη σχέση () όπου το f(), οπότε για κάθε (, + ) έχουμε: () ( fof )(f ()) = f (f ()) f ( f (f ()) ) = ( f o f )() f ( f (f ()) ) = ( f ()) f : f f(f ()) = f () f (f ()) = f οf () = (). ε) Επειδή η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο (, + ), παραγωγίζοντας τα μέλη της σχέσης () έχουμε: ( f(f()) ) = ( f ()) f (f ()) f () = f () ( fοf ) () f () = f () f () = f () f () + f () = για κάθε (, + ). () στ) Για κάθε (, + ) έχουμε: Για = είναι ( ) f () + f () = f () = f () = c, c R. (γ) = = άρα f () = f () = f () = n + c f() c c, Όμως f()=, άρα c =, οπότε f() = l n για κάθε (, + ). l, (, + ). -4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

138 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 8ο : Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :R R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση f () + f () =, για κάθε R. Α. Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = f () + διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. Β. Αν f() =, τότε: α. Να αποδείξετε ότι f() = +, R. β. Να αποδείξετε ότι f() > για κάθε R. γ. Να υπολογίσετε τo όριo lim ( ημf() ) + δ. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε τη συνάρτηση f. + ε. Να αποδείξετε ότι d ln( ) ΛΥΣΗ Α. Για κάθε R έχουμε:. =. f () + f () = f () + f () + = + f () + = + g()=+ (), όπου g() = f() +, R. Για κάθε R είναι + > g () > g() και επειδή η συνάρτηση g είναι συνεχής στο R, ως άθροισμα συνεχών, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. Β. α) Για = έχουμε g() = f() + = >, οπότε g() > για κάθε R. Αφού g() > για κάθε R, από () ισοδύναμα έχουμε: g() = + f () + = + f () = +, R. β) Για κάθε R είναι: f() = + > = = Άρα f() > για κάθε R (). γ) Για κάθε (, + ) είναι: () ημf() f() = f(), άρα f() ημf() f(). ( + )( + + ) Είναι οπότε f()= + + = = = lim f () = lim = lim = = lim f () =. + lim ημf() =. Επίσης έχουμε Επομένως από Κριτήριο Παρεμβολής προκύπτει ότι +, -4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

139 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ δ) Για κάθε R είναι: ( ) f() = + = () + f() = = < Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R, άρα είναι, οπότε αντιστρέφεται. Για να ορίσουμε τη συνάρτηση f, λύνουμε την εξίσωση y= f() ως προς. Έχουμε: Είναι y+ y = + y + = + y + = + y + y + = + () () y y = y = (). y y y+ y+ y + y y +, που είναι αληθές. y y () f y =, y >. y Η Επομένως f ε. Από το (δ) ερώτημα έχουμε () = με >.. () f() f() f() = =, άρα + + f() f() f() f() d = d = d = d = ln ( f ()) = ln ( ) f () f () f (). + ΘΕΜΑ 9ο : Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f : α, β R με < α< β τέτοια, ώστε για τους μιγαδικούς z z = α + if(α) και z = β + if(β) να ισχύει w = R. z α) Να αποδείξετε ότι z + iz = z iz f() β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Roll στο διάστημα α, β. γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. f(+ α t) δ) Αν ισχύει lim dt =, τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει μία α ( α)( + α t) τουλάχιστον ρίζα στο (α, β). α -4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

140 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΗ α) Iσχύει z = wz, με w R. Άρα z + iz = z iz wz + iz = wz iz z w + i = z w z i w + i = w w R i w + = w +, αληθής. α +if(α) α +if(α) β if (β) αβ +f(α)f (β) βf(α) αf(β) β) Έχουμε w = + i β +if(β) = ( ) ( β +if(β) )( β if (β)) = β +f (β) β +f (β) Είναι w R βf(α) αf(β) = βf(α) αf(β) = f(α) f(β) β +f (β) α = (). β Θεωρούμε συνάρτηση f() g() =, [ α, β], με < α< β. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ α, β ], ως πηλίκο f () f() g()=. παραγωγισίμων συναρτήσεων με f(α) f(β) Είναι g(α) = g(β) α = β =. Άρα η συνάρτηση g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Roll στο διάστημα [ α, β ]. γ) Ισχύει λοιπόν το Θεώρημα Roll, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον o (α, β) τέτοιο, ώστε f f g = = f f = (). o o o o o o o o C f στο σημείο της ( o o ) Η εξίσωση της εφαπτομένης της εφαπτομένης της,f είναι: y f() = f()( ) y= f()+f() f() y= f() o o o o o o o o Άρα υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. δ) Είναι α f(+ α t) f ( + α t) dt = dt ( α)( + α t) α + α t. Θέτουμε α t=u, Για t=α το u= και για t= το u=α, οπότε α () + οπότε dt = du. α f(+ α t) f ( α t) f(u) f(u) dt = + dt = du = du ( α)( + α t) α + α t α u α u. α α α -4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

141 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Είναι: f(+ α t) f (u) u α lim dt = lim du = lim = α ( α)( + α t) α α u α α D.L.H α α f(u) du f() f(α) lim = = (). α α Από () και () έχουμε f(α) f(β) f(α) =α = = α β f(β) =β Θεωρούμε συνάρτηση h() = f(), [ α, β], με < α < β. Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [ α, β ], ως διαφορά παραγωγισίμων συναρτήσεων με h()=f(). Είναι h(α) = f(α) α = h(α) = h(β) h(β) = f(β) β = Ισχύει λοιπόν το Θεώρημα Roll, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε h (ξ)= f (ξ) = f (ξ) =. ΘΕΜΑ ο : Έστω συνεχής συνάρτηση f: (, + ) R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση f() = t+ dt για κάθε (, + ). t f(t) ( + ) α) Nα αποδείξετε ότι f() + f() = + ln, (, + ). β) Nα αποδείξετε ότι f() = ln, (, + ). f(β) f(α) f(γ) f(β) γ) Αν < α < β < γ να αποδείξετε ότι >. β α γ β δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνεχούς συνάρτησης g, για την οποία ισχύει g() = f για κάθε (, + ) και g () =. ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση t+ f(t) t + f(t) είναι συνεχής στο,+, το,+, άρα η συνάρτηση t+ f()= dt είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) με f()= +. f() t + ( +) -4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

142 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Για κάθε > έχουμε: f()= + f() f() f()+f()=+ f()+f()=+ ( f() +) f() Για f() +f() = +ln +f()=+ln+c. = έχουμε Άρα για κάθε (, + ) έχουμε β) Για κάθε > έχουμε: f() +f() =+ln+c + =++c c =. f() +f() = +ln. f() f() ln +f() = +ln +f() = +ln (). Θεωρούμε συνάρτηση φ() = +, R. Για κάθε R είναι φ() = + >, οπότε η συνάρτηση φ είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα είναι και. Από () ισοδύναμα έχουμε - φ (f ()) = φ (ln) f () = ln, (, + ). γ) Για κάθε > έχουμε: f()=ln = και f ()=, < = άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο,+. Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. σε καθένα από τα διαστήματα [ α, β ] και [ β, γ ], άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον: ξ (α, β) τέτοιο, ώστε f (ξ ) ξ (β, γ) τέτοιο, ώστε f(ξ ) = = f(β) β f (α) α f(γ) f(β). γ β Είναι <α < ξ < β < ξ < γ και η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο,+, f(β) f(α) f(γ) f(β) οπότε f(ξ )>f(ξ ) >. β α γ β δ) Για κάθε > έχουμε: g () = f g () = ln g () = ln ln g () = ln Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει και (). o > τέτοιο, ώστε g( o)=, τότε ο lnο = lnο = ο που είναι άτοπο, γιατί ln για κάθε (, + ). (Εφαρμογή σχολ. Βιβλίου σελ. 66). Άρα g() για κάθε (, + ). -4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

143 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η συνάρτηση g λοιπόν είναι συνεχής στο (, + ) και δε μηδενίζεται στο διάστημα αυτό, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο. Επειδή g()=> συμπεραίνουμε ότι g()> για κάθε (, + ). Επομένως από () προκύπτει ότι g()= ln για κάθε,+. Για κάθε > έχουμε: ( ) ( ) g () = ln = ln =. ln ln Είναι g ()= =και g()> >, άρα ο πίνακας μονοτονίας και ακροτάτων της συνάρτησης g είναι: + g' + g ελάχ. Η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (,, γνησίως αύξουσα στο,+ ) και παρουσιάζει ελάχιστο στο o Είναι: + + = με ελάχιστη τιμή g()=. lim g() = lim ln = +, γιατί lim ( ln) = +. + ln lim g() = lim ln = lim = +, γιατί lim =+, ln + (ln)' ln lim = lim = lim = lim =, οπότε lim =. + + ' Άρα το σύνολο τιμών της g είναι το g(α) =,+ ). ΘΕΜΑ ο : Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R, με f =, η οποία ικανοποιεί τη σχέση f() για κάθε R. α) Nα αποδείξετε ότι f =. β) Nα αποδείξετε ότι f lim =. ημ - γ) Αν f() d=, να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f στο διάστημα,. -4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

144 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΗ α) Θεωρούμε συνάρτηση Για κάθε R είναι g()=f()., R f () f () g () g () g (). Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση g παρουσιάζει στο εσωτερικό σημείο = του πεδίου ορισμού o της τοπικό ακρότατο. Επίσης η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R ως διαφορά παραγωγισίμων συναρτήσεων με ' '= ' g () = f () f (), g()=f() ' '. άρα είναι παραγωγίσιμη και στο = με o Ισχύει λοιπόν το Θεώρημα Frmat, οπότε g '() = f '() = f '() =. β) Είναι f()= ', οπότε για έχουμε f() f() f() lim = lim = Έχουμε f f f lim = lim = lim. ημ ημ ημ = = γ) Για κάθε R είναι f () f () f () h (), όπου h () f () =, R. Είναι d= ( )' d= d= d= ' = ( )=, οπότε Έχουμε λοιπόν h()d = ( f () ) d = f () d d = =. = για κάθε R και h() f() Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει [,] λοιπόν ότι h() για κάθε [,] οπότε h()d >, που είναι άτοπο λόγω της (). Επομένως για κάθε [,] είναι o h()d = (). τέτοιο, ώστε h( o), τότε h( o) >. Συμπεραίνουμε αλλά η συνεχής συνάρτηση h δεν είναι παντού μηδέν, h() = f() = f() =. -4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

145 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R με f =, η οποία ικανοποιεί τη σχέση * f () f() = για κάθε R. ( ) α) Να βρείτε το ολοκλήρωμα d. ( ) β) Nα αποδείξετε ότι f() = γ) Nα αποδείξετε ότι f = και δ) Nα αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ α) Θέτουμε u=, οπότε για κάθε (, + ). f =., f() =, = du = d. Άρα: u d du u du c c c ( ) = u = = + = u + = +, όπου (,) β) Για κάθε (, + ) έχουμε :,. ή ( + ) f () f () f () f() = = = f() ( ) ( ) ( ) ( ) f() f() d c f () c. = = + = Για = έχουμε f () = c = c c=. Άρα f() =, για κάθε ( + ),. γ) Η f είναι συνεχής στο o =, οπότε + + DLH + f () = lim f () = lim = lim =, άρα f() =. Η f είναι παραγωγίσιμη στο o =, οπότε ισχύει : f() f() + f () = lim = lim = lim = lim = lim =, DLH + DLH άρα f() =. ( ) -4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

146 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ δ) Για κάθε (,) ομοίως έχουμε : f () f () f () f() = = = f() ( ) ( ) ( ) ( ) f() f() d c f () c. = = + = Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο o = ισχύει : c f() = lim = lim = lim ( ) f() f() c + = DLH c c c c c lim = lim D.L.H. = = + + Είναι f() =, άρα έχουμε c = c =. Άρα f() =, για κάθε (, ). Επομένως f() =,., = ΘΕΜΑ ο : Έστω συνεχής συνάρτηση f :R R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση f() = dt για + f (t) κάθε R. α) Nα αποδείξετε ότι f () + f() = για κάθε R. β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα dt. + f (t) δ) Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον o, ε ) Nα αποδείξετε ότι f(t)dt για κάθε R. στ) Αν lim f ( ) =+ να βρείτε τα όρια: + i) f lim + και ii) lim + f. τέτοιο, ώστε f ( o) = o. -4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

147 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση + f (t) είναι συνεχής στο R, οπότε η συνάρτηση f() = dt ορίζεται + f (t) στο R και είναι παραγωγίσιμη στο R με f() = (). + f () Για κάθε R είναι: = + = + = + = + + f () f () f () f ()f () f() f () () f () f() c. Για = είναι f() = dt=. Άρα + f (t) Επομένως f () + f() =, R (). f () + f () = + c c =. β) Από τη σχέση () έχουμε f() = >, επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, f () + άρα είναι, οπότε αντιστρέφεται. γ) Είναι dt = f (). + f (t) Aπό τη σχέση () για = έχουμε f () + f () = f () + f () = (). Χρησιμοποιώντας το σχήμα Hornr /// η εξίσωση () ισοδύναμα γράφεται f() f () + f() + = f() = Άρα dt =. + f (t) δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = f, R. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R, άρα και στο [ ] Είναι g() = g(), αφού g() = και g() =., με g () = f (). Ισχύει λοιπόν το Θεώρημα Roll, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον o (,) τέτοιο, ώστε g = f = f =. o o o o o -4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

148 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ε ) Θεωρούμε τη συνάρτηση, R φ() = f (t)dt. () Για κάθε R είναι φ () = f (t)dt = f () = f (). 8 Από τη σχέση () έχουμε f() ( f () + ) = f() =, άρα φ () =, R. f () + f() + Είναι: φ () = 8 = = και φ () > 8 > < <. Το πρόσημο της φ, η μονοτονία και τα ακρότατα της φ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. + φ + φ μέγ. Η φ παρουσιάζει μέγιστο στο ο =, οπότε για κάθε Rισχύει φ() φ(). Άρα είναι f(t)dt f(t)dt, R. στ) i) Για κάθε (, + ) έχουμε: Είναι ( f () ) f() + = ( + ) = = + f () f() f() f () f () lim f() + =+, άρα lim =, οπότε lim = f () + ii) Για κάθε (, + ) έχουμε: f () f() f () + f() = f () = f() = f() f () Είναι lim + = =, οπότε lim =. + ΘΕΜΑ 4ο : Δίνεται η συνάρτηση f, που είναι ορισμένη και συνεχής στο R και ικανοποιεί τη σχέση π ( ) για κάθε R. f() = f(t) ημ d dt+, α) Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R. β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. γ) Αν f() = +, R, τότε: i ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f, ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. iii) Για τις διάφορες τιμές του κ R, να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f()= κ. -4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

149 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΗ α) Για κάθε R έχουμε: π ( ) (). f() = f(t) ημ d dt+ π ημ d = συν = συνπ + συν =. π Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα [ ] Άρα η () γράφεται:, R. f() = f(t)dt+ Η συνάρτηση f(t)dt, είναι παραγωγίσιμη στο R, ως αρχική της συνεχούς συνάρτησης f. Άρα η συνάρτηση f() = f(t)dt+ είναι παραγωγίσιμη, ως άθροισμα παραγωγισίμων συναρτήσεων με παράγωγο f() = f() +, R. β) Για κάθε R έχουμε: f () f() f () f() f() + = + = =, άρα Η () f () = d (). Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα f() = + c f() = c +, R. Όμως f() =, άρα c =. Επομένως f() = +, R. γ) i) Για κάθε R έχουμε: Είναι: d = ( ) d = d = + c (). f () = + = =. = = = = και f() > > > > f(). Το πρόσημο της f, η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στο διπλανό πίνακα. + f + f ελάχ. Έχουμε: Η f είναι συνεχής στο (,] και f() φθίνουσα στο (,. ] Η f είναι συνεχής στο [,+ ) και f() αύξουσα στο [,+ ). < στο (,) > στο Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο ο =, με ελάχιστη τιμή f() =., άρα η f είναι γνησίως,+, άρα η f είναι γνησίως -4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

150 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ii ) o Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (,], Είναι: lim f = lim + =+, Δ = άρα f( Δ ) = f(), limf() ). γιατί lim = =, lim lim = lim =. D.L.H = και + Άρα Δ = [ + ) f,. o Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [, ), Είναι: lim f = lim + =+, + + Δ = + άρα f( Δ ) = f(), limf() ). + γιατί lim = = + και lim = lim = Άρα Δ = [ + ) f,. Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι Δ = Δ U Δ = [ + ) iii) Αν κ<, τότε η εξίσωση f()=κ είναι αδύνατη. Αν κ=, τότε η εξίσωση f()=κ έχει μια λύση. Αν κ>, τότε η εξίσωση f()=κ έχει δύο λύσεις. f f f,. -4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

151 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5ο : Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση f() (t + )dt =, για κάθε R. α) Nα αποδείξετε ότι f () + f() = +, για κάθε R. β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε τη συνάρτηση f. γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C f, της συνάρτησης f και τους άξονες και yy. δ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f, που διέρχεται από το σημείο Α(,). ΛΥΣΗ α) Για κάθε R έχουμε: f() f() (t + )dt = t + t = άρα f () + f () = f () + f () = + (). β) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, άρα και η παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της () έχουμε: f είναι παραγωγίσιμη στο R, οπότε f ()f () + f () = f () ( f () + ) = f () = (). f () + Είναι f() = > για κάθε R, επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, f () + άρα είναι και, οπότε αντιστρέφεται. Ισχύει η ισοδυναμία f() y =f (y) = με,y R, αφού f R = R. Η () ισοδύναμα γράφεται y y f (y) f (y) y y + = + = +, y R. Άρα f :R R με f () = + (). 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

152 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ γ) ος τρόπος: Είναι f () =, άρα f( ) =, οπότε το Κ(,) είναι το κοινό σημείο της C f με τον άξονα. Είναι f () =, άρα f() =, οπότε το Λ(,) είναι το κοινό σημείο της C f με τον άξονα yy. Tο εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη Ε(Ω ) = f () d. Θέτουμε y= f() άρα f (y) y y C f και τους άξονες και yy είναι: = = + οπότε = ( + ) = ( + ) d y y dy y dy. Επίσης ισχύουν οι ισοδυναμίες = y = και = y =, οπότε έχουμε: ος τρόπος: Ε (Ω ) f () d y y dy y y dy = = ( + ) = ( + ) = 4 y 7 = ( y + y) dy = + y = + = τ. μ Τα κοινά σημεία της C f με τους άξονες και yy είναι αντίστοιχα τα Κ(,) και Λ(,). Τα συμμετρικά των Κ, Λ ως προς την ευθεία δ:y= είναι τα σημεία Κ (, ) και Λ (, ). Είναι f () ( ) Λόγω συμμετρίας των = + = + +, οπότε στο διάστημα [ ] f, είναι f (). C και C ως προς την ευθεία δ:y= το ζητούμενο εμβαδόν είναι: f 4 Ε(Ω ) = 7 f () d = ( + ) d = + 4 = 4 + = 4 δ) ος τρόπος: Έστω τ.μ. M,f το σημείο επαφής και ε η εφαπτομένη της o o f o o o o o f + o C στο σημείο Μ, τότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: ε :y f() = f()( () ) ε :y f = ( ). Επειδή η ευθεία ε διέρχεται από το σημείο Α(,), θα ισχύει: f = ( f + f = + ) o o o o o f + o () o o o o o o o f + f + f = + f + + = + f = f =. o Από την () έχουμε ( ) + ( ) = + = 6. o o o 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

153 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της f C στο σημείο M( 6, ) είναι: ε :y ( ) = ( ( 6) ) ε :y= +. ( ) ος τρόπος: Το συμμετρικό του σημείου Α(,) ως προς την ευθεία δ :y= είναι το σημείο Β(, ). Βρίσκουμε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f που διέρχεται από το σημείο Β. Έστω Ν(,f o o ) εξίσωση της εφαπτομένης είναι: το σημείο επαφής και ζ η εφαπτομένη της C f στο σημείο Ν, τότε η () o o o o o o o ζ :y f () = f ()( ) ζ :y + = + ( ). Επειδή η ευθεία ζ διέρχεται από το σημείο Β(, ), θα ισχύει: Για κάθε R είναι ( + ) = ( + )( + = ) o o o o o o o o o o o = = =. Από τις σχέσεις () και (4) για f () = + = + (4). = έχουμε o Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της f f ( ) = 6 και C στο σημείο Ν(, 6) ζ :y ( 6) = 5 ( ( ) ) ζ :y= 5. είναι: f ( ) = 5. Στη συνέχεια βρίσκουμε τη συμμετρική της ζ :y= 5, ως προς την ευθεία δ :y=, που είναι η ευθεία ε. Αντιμεταθέτοντας τις μεταβλητές, y έχουμε ε := 5y ε :y= ΘΕΜΑ 6ο : Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z =( ) + i, f() = z. α) Nα αποδείξετε ότι η f() = ( ),. β) Να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό z με το μέγιστο μέτρο. γ) Να αποδείξετε ότι: i ) Η f αντιστρέφεται. και η συνάρτηση ii ) Η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f και η ευθεία y = έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο με τετμημένη (, ). iii ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα o I f ()d =. 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 44

154 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΗ α) Είναι z = + i = + = ( ), αφού. Άρα f(), = [,] β) Για κάθε (, ) είναι:. f = [( ) ] = + ( ) = ( ) Η f είναι συνεχής στο [, ] ως γινόμενο συνεχών και f() < στο (,), άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ]. Επομένως η f παρουσιάζει μέγιστο στο o =. Άρα ο μιγαδικός αριθμός με το μέγιστο μέτρο είναι ο z = i. γ) i ) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ] άρα είναι και, οπότε αντιστρέφεται. ii ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι η C f με την ευθεία δ :y=, έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, αφού η ευθεία δ είναι ο άξονας συμμετρίας των C f και C. Τα κοινά σημεία των C f και της ευθείας δ: y=, προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης f() = ( ) =. Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = ( ), [,]. Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [, ], ως πράξεις συνεχών. g()g() = ( )( ) <. Ισχύει λοιπόν το Θεώρημα Bolzano, οπότε η εξίσωση g() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ). Για κάθε [,] είναι: g = [( ) ] = + ( ) = ( ) { <. 44 f < Άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε η ρίζα είναι μοναδική. iii ) Είναι I = f ()d. Θέτουμε f () = u = f(u), άρα d = f (u)du. f : Για = έχουμε u = f () f (u) = f (u) = f () u =. f : Για = έχουμε u = f () f(u) = f(u) = f() u =. Άρα έχουμε: u I = f ()d = uf (u)du = uf (u) f (u)du = f () f () + ( u) du = u u u u u. = + ( u)( ) du = + ( u) ( u) du = + du = = 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 45

155 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 7ο : Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z = α + βi για τον οποίο ισχύει: z z+ i, για κάθε R. Α. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του z στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν στον κύκλο με κέντρο το σημείο Κ (, ) και ακτίνα ρ =. Β. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του μέτρου z + i. Γ. Μια συνάρτηση f είναι ορισμένη στο (, ),δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτό και ικανοποιεί τις σχέσεις f () + = και f() για κάθε,. α) Να αποδείξετε ότι η C f δεν έχει σημεία καμπής. β) Να αποδείξετε ότι η C f είναι τμήμα του κύκλου στον οποίο ανήκουν οι εικόνες του z. γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης G() = f(t)dt. ΛΥΣΗ Α. Θεωρούμε τη συνάρτηση Για κάθε R είναι: z- z+i ln g() = +, R. z- z- z+i z+i + + g() g() g(). Άρα η συνάρτηση g παρουσιάζει ελάχιστο στο εσωτερικό σημείο o = του πεδίου ορισμού της. Επίσης η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R με g() = z+ i +, επομένως είναι παραγωγίσιμη και στο σημείο o =. Άρα ισχύει το Θεώρημα Frmat, οπότε z z g() = = = z =. Άρα οι εικόνες του z στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν στον κύκλο με κέντρο το σημείο Κ (, ) και ακτίνα ρ =. z+ i z Β. Το μέτρο z + i ισούται με την απόσταση της εικόνας του z από το σημείο Α(, ). min z + i = AΒ = ΑΚ R= + 9 =. 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 46