. Įvadas į sistemas ir signalus. Signalas, duomenys, informacija ir žinios Žodis signalas yra kilęs iš lotyniško žodžio signum ženklas. Signalas tai yra tai kas yra naudojama žiniai perduoti. Signalas tai bet kokių (natūraliai vykstančių ar dirbtinai sukurtų) įvykių seka, pasireiškianti laike ir/arba erdvėje. Signalo šaltinis, tai bet koks vyksmas (reiškinio eiga), kurio pasėkoje gaunama tam tikrų įvykių seka. Elektronikoje signalo šaltinis yra elektros srovė arba elektromagnetinis laukas naudojamas duomenims perduoti. Duomenys. Manoma, kad angliškas žodis data reiškiantis duomenis yra kilęs iš lotyniško žodžio DATUM kuris reiškia faktą ar teiginį naudojamą išvadai ar sprendimui padaryti. Duomenimis gali būti skaičiai, faktai, vaizdai ar garsai. Tai gali būti gaminių pavadinimai, jų charakteristikos ar matavimų rezultatai. Signale yra užkoduoti duomenys. Paprasčiausia tokio duomenų kodavimo forma įjungiama ir išjungiama nuolatinė elektros srovė. Srovė yra signalas, o jos pokyčiai duomenys. Šiuo principu dirbo pirmasis telegrafas. Sudėtingesnius signalus sudaro moduliuota kintama elektros srovė. Šiuo atveju kintama elektros srovė yra signalas, o duomenys koduojami keičiant signalo amplitudę. Galime daryti išvadą, kad signalas yra duomenų nešėjas, o duomenys signale koduojami keičiant to signalo charakteristikas. Informacija. Duomenys tai tik teiginių ir faktų sankaupa. Tik apdorojus (liet.k. apdoroti sutvarkyti) duomenis gaunama informacija. Kompiuterių mokslas duomenų apdorojimą apibrėžia kaip seką veiksmų su duomenimis siekiant gauti informaciją. Filosofine prasme informacija (lot. information išaiškinu, pavaizduoju) apibrėžiama kaip materialiame pasaulyje esančios įvairovės atspindys. Informacija simbolių turinčių tam tikrą prasmę ir leidžiančių praplėsti žinias apie dominantį objektą, sistema Žinios. Žinios įgyjamos apdorojant ir interpretuojant informaciją. Interpretavimas, tai kieno nors reikšmės ar prasmės suvokimas. Žinios yra instinktų, idėjų, taisyklių ir procedūrų kombinacija, lemianti sprendimus ir veiksmus. Iš pateiktų apibrėžimų matyti, kad duomenys būtų objektyvaus pasaulio reiškiniai, o žinios subjektyvaus, t.y. vidinės žmogaus pusės reiškiniai. Ryšys tarp duomenų, informacijos ir žinių pavaizduotas žemiau pateiktoje schemoje (pav) žinios naudojamos duomenims apdoroti ir taip versti juos informacija. Informacija tampa žiniomis tik tada kai ji suteikia galimybę veikti, t.y. praktiškai ją panaudoti. Pav. Ryšys tarp duomenų, informacijos ir žinių
2 Signalų apdorojimas Signalas apdorojamas, tam kad atpažinti ir apdoroti jame užkoduotus duomenis. Bet koks realaus pasaulio reiškinys, kurį galime stebėti, yra signalo šaltinis. Kaip buvo minėta ankstesnėje paskaitoje, signale yra užkoduoti duomenys. Norint gauti informaciją apie stebimą reiškinį, signalą reikia priimti (fiksuoti, registruoti), o po to apdoroti. Signalo apdorojimas atliekamas keletu etapų: Norint gauti duomenis apie mus dominantį reiškinį, priklausomai nuo reiškinio prigimties ir turimų stebėjimo priemonių galimi du variantai: arba betarpiškai apdorojame originalų signalą, arba stebimą (originalų) vienos rūšies signalą keičiame kitos rūšies signalu. Pavyzdžiui garso signalo nereikia keisti į kokią nors kitą signalo rūšį, jei šį signalą priima žmogus. Garso plokštelėje signalas tai plokštelės takelio paviršiaus reljefas. Tokio signalo žmogus negali apdoroti, todėl reikalingas originalaus signalo keitimas į kitos rūšies signalą. Kol elektronika nebuvo pasiekusi reikiamo lygio, garso atkūrimui iš plokštelės buvo naudojamas gramofonas. Gramofono adatai slenkant plokštelės paviršiumi takelio paviršiaus reljefas (tai originalus signalas) keičiamas adatos mechaniniu judesiu, kuris persiduoda į ruporą. Ruporo forma tokia, kad ir menki adatos virpesiai, atsispindėdami nuo ruporo sienelių sustiprėja tiek, jog garsas lengvai girdimas. Vėliau atsirado patefonai, magnetofonai bei optiniai diskai. Patefonuose mechaninis adatos judesys keičiamas elektriniu signalu, kuris specialių elektrinių schemų pagalba išvalomas nuo triukšmo, stiprinamas ir paduodamas į garso kolonėles. Garso kolonėlės elektrinius virpesius pakeičia mechaniniais virpesiais garsu. Optiniuose diskuose signalas tai plokštelės takelio paviršiaus reljefas. Magnetinėse juostose signalas tai juostelės paviršiuje esantis magnetinis laukas. Visais šiais atvejais, norint kad žmogus būtų šių signalų imtuvas reikalingas vienos rūšies signalo keitimas į kitos rūšies signalą vaizdą arba garsą. Tačiau ne visada žmogus yra signalo imtuvas. Automatinėse valdymo sistemose dažniausiai imtuvu esti specialios elektrinės schemos, todėl stebimas signalas (temperatūra, slėgis, greitis ir kt) keičiamas į elektrinį signalą. Apibendrinant galime teigti, jog operacijos atliekamos su signalu, yra vadinamos signalų apdorojimu. 3. Tolydinio Laiko Sistemos Signalų apdorojimo kontekste, apie tolydinio laiko sistemas kalbėsime kaip apie sistemas skirtas tolydiems signalams apdoroti, t.y. signalams kurių nepriklausomas kintamasis yra laikas. Signalų apdorojime laikas tai apibendrinta sąvoka nepriklausomam kintamajam apibrėžti. Nepriklausomas kintamasis gali būti ir bet koks kitas dydis, pavyzdžiui dekartinės koordinatės ar judėjimo greitis, tačiau aprašant signalų apdorojimo metodus apie laiką šnekama kaip apie nepriklausomą kintamąjį nesileidžiant į detales ar tikrai, konkrečiu aprašomo metodo taikymo atveju, laikas bus nepriklausomas kintamasis. Bet kuri sistema, tame tarpe ir tolydinio laiko sistema, gali būti apibrėžta kaip fizikinis įrenginys, kuris atlieka veiksmus su signalu. Pavyzdžiui, šviesos filtras dienos šviesą ir paverčia vienos spalvos šviesa. 3. Analoginiai signalai Sakant žodį analoginis galvoje turima analogijos prasmė tarp įėjimo ir išėjimo signalo. Pavyzdžiui įėjimo signalas slėgio pokyčiai, o išėjime gaunami analogiški slėgio pokyčiams elektrinio signalo pokyčiai. Įėjimo signalu gali būti šuolinis mechaninio laikrodžio rodyklės pozicijos pokytis, o išėjime analogiškas elektrinio signalo dažnio pokytis. Analogijos tarp tokių fizikinių reiškinių ir elektrinių reiškinių (juos vadiname tiesiog analoginiais signalais) realizuojamos jutiklių pagalba. Pavyzdžiui garso slėgio banga pasiekusi mikrofono membraną analogiškai pačiai sau keičia jos elektrines savybes. Šiame pavyzdyje jutiklis yra mikrofonas. Analoginis signalas tai bet koks tolydžiai kintantis signalas. Kalbant apie analoginius signalus dažniausiai omenyje turimas elektrinis signalas, nors mechaninės, hidraulinės ir kitos sistemos taip pat naudoja analoginius signalus. Analoginis signalas tai tam tikras fizikinis reiškinys, kurio savybės
naudojamos duomenims perduoti. Moksle ir technikoje vietoj žodžio savybė dažnai naudojamas žodis parametras. Parametras tai tokia aplinkos savybė, kuri gali būti išmatuota ir jai suteikta skaitinė vertė. Pavyzdžiui judėjimas tai fizikinis reiškinys turintis tokius parametrus kaip greitis ir pagreitis. Jei signalu pasirinktume judėjimą (pastaba: šiame pavyzdyje negalvojama apie tai ar tai fiziškai realizuojama idėja), tai padorodami tokį signalą gautume duomenis apie greitį ir pagreitį. Analizuojant tokiu būdu gautus duomenis galime gauti informaciją apie judantį kūną. Dažniausiai signalu pasirenkami elektriniai reiškiniai įtampa ir srovė. Šie analoginiai signalai turi eilę parametrų, kuriuos keičiant perduodami duomenys. Periodiniai kintamos srovės ar įtampos analoginiai signalai turi tokius parametrus: Amplitudė, tai didžiausias skirtumas tarp dviejų signalo reikšmių Periodas, tai einamosios amplitudės reikšmės pasikartojimo laikas. Šis pasikartojimo laikas pastovus. Dažnis, tai visų amplitudės reikšmių, esančių viename periode, pasikartojimų skaičius per sekundę. Dažnis matuojamas hercais Hz Fazė, tai laikas tarp dviejų signalo amplitudės reikšmių pasirodymo išreikštas laipsniais Tolydaus laiko pastovios amplitudės signalą matematiškai galima užrašyti: x(t) = K, kur K tam tikras skaičius iš realių skaičių aibės. 3.2 Analoginis signalų apdorojimas Bet koks realaus pasaulio reiškinys, kurį galime stebėti, yra signalo šaltinis. Dauguma signalų, sutinkamų moksle ir technikoje, savo prigimtimi yra tolydiniai, t.y. šie signalai yra tolydinio kintamojo funkcijos kurios įgyja reikšmes iš realių skaičių aibės. Tokie signalai gali būti apdoroti tolydinio laiko sistema, kad būtų pakeistos jų charakteristikos ar gauta reikalinga informacija. Signalo apdorojimas apima tokius etapus: Signalo stiprinimas (angl. signal enhancement) Signalo išskyrimas (angl. signal detection) Duomenų iš signalo gavimas/ ištraukimas (angl. data restoration) Duomenų atkūrimas (angl. data reconstruction) Visi į imtuvą patenkantys signalai stiprinami ir iš visų signalų išskiriamas mus dominantis signalas, kuris analizuojamas stengiantis gauti signale užkoduotus duomenis. Dėl aplinkos (ryšio kanalo) kuria perduodamas signalas įtakos, dalis duomenų prarandama arba iškraipoma, todėl reikalingas duomenų atkūrimas bei prognozavimas. Elektrinių analoginių signalų apdorojimui naudojami tokie elektriniai prietaisai kaip varža, kondensatorius, indukcinė ritė ir visa eilė puslaidininkinių prietaisų tokių kaip diodas, varža, tranzistorius, operaciniai stiprintuvai ir t.t. Kiekvieno iš šių elementų veikimo principas aprašomas tolydaus nepriklausomo kintamojo funkcijomis. Nepriklausomu kintamuoju gali būti laikas, įtampa ar kitas dydis. Jungiant šiuos elementus sudaromos elektrinės schemos kurios realizuoja norimą signalo apdorojimo algoritmą. Pagrindinės matematinės operacijos naudojamos signalų apdorojime yra šios Daugyba, Logaritmavimas, Diferencijavimas, Integravimas Sumavimas, Sumavimo operacija. Paprasčiausia elektrinė schema atliekanti sumavimo operaciją yra lygiagrečiai sujungtų varžų elektrinė grandinė. Tokios grandinės veikimas aprašomas pirmu Kirhofo dėsniu, kuris sako, kad iš mazgo ištekančių srovių suma lygi į mazgą įtekėjusių srovių sumai:
pav. Sumavimo schema Daugybos operacija. Dažnai daugybos operacija realizuojama pasitelkus operacinius stiprintuvus. Schema parodyta (2pav) 2pav. Analoginis daugybos įtaisas. Analoginis daugintuvas įėjimo signalą U in daugina iš skaičiaus K = R 2 R. Kadangi analoginio daugybos įtaiso išėjime gaunama įtampa K kartu didesnė nei įėjime, tai tokį įtaisą galime vadinti ir stiprintuvu. Diferencijavimo schema. Paprasčiausia diferencijavimo schema realizuojama naudojant du elektrinius elementus varžą ir kondensatorių. Į įėjimą patenka įtampa U in (t), išėjime gaunama įėjimo signalo išvestinė: du in U out = RC ; () dt Tarkime, kad įėjime veikia įtampa U in, tada kondensatoriumi teka srovė: duc ic = C. (2) dt Kadangi įtampa krentanti ant kondensatoriaus lygi: uc = U in U out (3) tai per jį tekanti srovė: du in du out ic = C. (4) dt dt Ši srovė teka ir per varžą, o išėjimo įtampa lygi įtampos kritimui varžoje. Todėl U out = R i c. (5) Įrašę i c reikšmę, gauname: du in du out U out = RC. (6) dt dt du in du out du in Kai, tai U out RC ; dt dt dt
3pav. Diferencijavimo operacijos schema (kairėje) ir stačiakampio impulso diferencijavimo operacijos pavyzdys (kairėje) Integravimo schema. Šioje schemoje (4pav.) taip pat naudojami varža ir kondensatorius. Jų išėjimo įtampa yra proporcinga įėjimo integralui: t U out = U in () t dt; (7) RC 0 Tarkime kad grandinės įėjimo įtampa yra ( t) Išėjimo įtampa: U out = U c = RC Įrašę U out i c = RC t 0 i dt; reikšmę gauname: t 0 ( U in c U out U in U out U in. Per kondensatorių teka srovė ic () t =. R ) dt; (9) (8) Pradiniu kondensatoriaus įkrovimo momentu t U in U ex, todėl U out RC 0 U in dt; 4pav. Integravimo operacijos schema (kairėje) ir stačiakampio impulso integravimo operacijos pavyzdys (kairėje) Jei integravimo grandinės greitaveika būtų begalinė, t.y. integravimo laikas lygus nuliui, tai integruojant stačiakampį impulsą, tokios grandinės išėjime stebėtumėme stačiakampį impulsą, kurio amplitudė lygi integruojamo impulso plotui.
Bet kokį įrenginį galima aprašyti perdavimo funkcija H. Ši funkcija aprašo kaip įėjimo signalo reikšmės atvaizduojamos į išėjimo signalo reikšmes. Perdavimo funkcija gali būti tiek laiko funkcija, tiek dažnio funkcija. Perdavimo funkcija randama įrenginio išėjimo signalą dalinant iš jo įėjimo U out signalo: H =. U in Analoginio daugybos įtaiso dažninė charakteristika Idealaus stiprintuvo amplitudinė dažninė charakteristika rodo, kad toks stiprintuvas vienodai stiprina visoje dažnių juostoje Analoginio daugybos įtaiso dažninė charakteristika Diferencijavimo grandinės dažninė charakteristika Iš grandinių teorijos kurso žinome, kad kondensatoriaus varža priklauso nuo dažnio: X c = (0) j ω C kur ω = 2πf, o j = ; Kai kondensatorius ir varža nuosekliai jungiami į vieną grandinę (3pav.), gaunamas nuo dažnio priklausantis įtampos daliklis. Pritaikę Omo dėsnį galime paskaičiuoti įtampos reikšmę įėjime: U in = ic ( R + X c ) () tada srovė grandinėje lygi: U i = in c, (2) R + jωc o įtampa išėjime bus: U out = ic R (3) Dabar galime paskaičiuoti diferencijavimo grandinės perdavimo funkciją: U out R H ( ω) = =. (4) U in R + jωc Diferencijavimo grandinės perdavimo funkcija, tai kompleksinio kintamojo funkcija, kurios modulis skaičiuojamas pagal išraišką: ( ω ) 2 Im H ( ω ) 2 K = Re H + (5) Į šią išraišką įstatę elektrinius parametrus gauname diferencijavimo grandinės stiprinimo koeficientą: R K =. (6) R + 2 ( ωc) 2 Kaip matome, tokios grandinės stiprinimo koeficientas yra dažnio funkcija, kuri parodyta (5pav)
5pav. Diferencijavimo grandinės amplitudinė dažninė charakteristika ir vadinama grandinės amplitudinė dažnine charakteristika. Iš šios charakteristikos matome, kad žemi dažniai slopinami, o aukšti dažniai praleidžiami. Įrenginiai turintys savybę vienus dažnius praleisti, o kitus slopinti vadinami filtrais. Diferencijavimo grandinė yra aukšto dažnio filtras, nes praleidžia dažnius esančius į dešinę nuo dažnių ašies pradžios. Visi praleidžiamų dažnių signalai dauginami iš koeficiento K. Šis koeficientas vadinamas filtro perdavimo koeficientu. Išraiška (6) rodo, kad didėjant kampiniam dažniui ω, K artėja prie vieneto. Idealiu atveju K = visoje pralaidumo juostoje. Integravimo grandinės dažninė charakteristika Integravimo grandinės perdavimo koeficientas (7) ir jos amplitudinė dažninė charakteristika (6pav.) randama analogiškai diferencijavimo grandinei. Integravimo grandinės perdavimo funkcija: jωc H ( ω ) = (7) R + jωc jos perdavimo koeficientas: K = ωc = (8) 2 2 2 2 R C ω + R + ( ωc) Jos amplitudinė dažninė charakteristika: 6pav. Integravimo grandinės amplitudinė dažninė charakteristika Iš šios charakteristikos matome, kad aukšti dažniai slopinami, o žemi dažniai praleidžiami. Integravimo grandinė yra žemo dažnio filtras, nes praleidžia dažnius esančius į kairę nuo dažnių ašies galo. Išraiška (7) rodo, kad didėjant kampiniam dažniui ω, K artėja prie nulio. Integravimo grandinės perdavimo funkcija
4. Diskretaus laiko sistemos Skaitmeninis signalų apdorojimas turi eilę privalumų palyginus su analoginius signalų apdorojimu. Iš tokių privalumų galima paminėti šiuos: skaitmeninis signalų apdorojimas nejautrus senėjimo procesui, maitinimo įtampos ar temperatūros svyravimams; programuojamumas: skaitmeniniai signalai apdorojami algoritmais, kurie lengvai keičiami keičiant programinės įrangos kodą; lankstumas: signalų apdorojimo algoritmų realizuojamų funkcijų savybės lengvai keičiamos keičiant koeficientų reikšmes. Kai daugelis taikymų perkeliami į skaitmeninę sritį, tai analoginis signalų apdorojimas gali atrodyti pasenęs. Tačiau analoginės technikos projektuotojai ir šiandien išlieka labai paklausūs. Kodėl? Nors ir daugelį signalo apdorojimo funkcijų galima realizuoti skaitmeniniu būdu, tačiau ne visas. Keičiant analoginį signalą į skaitmeninį susiduriama su dažnių persidengimo problema. Keičiant skaitinių reikšmių seką į analoginį signalą, keitiklio Kodas-Analogas išėjime gaunamas ne glodus, o laiptuotas analoginis signalas. Todėl analoginio signalo keitimui į skaitmeninį ir atvirkščiai, reikalingas analoginis signalų apdorojimas filtravimas. Dėl pačių uždavinių prigimties, kurių sprendimui reikalinga minėtų funkcijų realizacija, jos turi būti atliekamos analoginių schemų pagalba, tam kad būtų įmanomas skaitmeninis signalų apdorojimas. Ir vis tik ar įmanoma tinkama tolydaus laiko signalo analizė, kai jis keičiamas į diskretų, kvantuotą signalą? Į šiuos klausimus atsako skaitmeninių signalų apdorojimo teorija. Diskretaus laiko sistema, tai bet kokia sistema, kuri diskretų įėjimo signalą atvaizduoja į diskretų išėjimo signalą. Pagrindinių sąvokų, sutinkamų skaitmeniniame signalų apdorojime apibrėžimai: skaitmeninis signalų apdorojimas, tai realaus pasaulio signalų (vaizduojamų skaičių seka) apdorojimas taikant matematinius metodus siekiant gauti informaciją arba pakeisti signalo charakteristikas. skaitmeninis signalų procesorius, tai sistema ar įrenginys, atliekantis skaitmeninio signalo apdorojimo funkcijas analoginis signalas, tai realaus pasaulio signalas (fizikinis reiškinys): šviesa, garsas, temperatūra, slėgis realaus laiko signalų apdorojimas, tai toks apdorojimas kai einamosios įėjimo reikšmės apdorojimo rezultatas išėjime gaunamas iki pasirodant sekančiai įėjimo reikšmei. ne realaus laiko signalų apdorojimas, tai toks apdorojimas kai įėjimo reikšmės kaupiamos, o po to apdorojamos. Elektronikoje, tolydaus laiko signalai apdorojami elektroniniais įrenginiais, kurių atliekamos funkcijos aprašomos diferencialinėmis lygtimis. Pavyzdžiui, bet kuri elektrinė schema, sudaryta iš varžų, kondensatorių ir indukcinių ričių, gali būti išanalizuota taikant grandinių teoriją ir aprašyta diferencinėmis lygtimis. Tokioje sistemoje, sprendžiant sudarytas diferencines lygtis, randamos srovės ir įtampos. Diskrečiojo laiko signalai apdorojami diskrečiojo laiko sistemomis. Kaip ir tolydaus laiko atveju, diskrečiojo laiko sistemos aprašomos skirtuminėmis lygtimis arba blokinėmis diagramomis. Pavyzdžiui turime skirtumų lygtį: y ( n) = y( n ) + x( n) + x( n ) + x( n 2) ; Ši lygtis aprašo diskrečiojo laiko sistemą. Pagal šią lygtį atliekant veiksmus su įėjimo signalu x ( n) y( n). Ši sistema gali būti aprašyta ir blokine schema, kuri pavaizduota gaunamas išėjimo signalas (Figure).
Diskretaus laiko sistemai žymėti naudojame užrašą S[ x] signalas y( n) y =, kurios įėjimo signalas x n, o išėjimo. Svarbu prisiminti tai, kad sistemos išėjimo reikšmės gali būti funkcija buvusių, esamų ir būsimų įėjimo reikšmių. Sudaryti programą kompiuteriui, turint skirtumines lygtis, visiškai nesunku. Akivaizdu, kad kompiuteris tai pati tinkamiausia ir pigiausia priemonė skirtuminėms lygtims spręsti. Pirmoji lygtis aprašo tiesinę su pastoviais parametrais ( time_invariant ) sistemą, tačiau sistemos gali būti netiesinės ir/arba su laike kintančiais parametrais. Todėl norint suprasti diskretaus laiko sistemas būtina išsiaiškinti sistemų klasifikaciją ir jų savybes. ( ) 4. Keitiklis Analogas Kodas Paveikslėlyje 3- parodyta tipinė schema kaip keičiamas analoginis elektrinis signalas į skaitmeninį kodą. Pav3a pavaizduotas signalas kuris bus verčiamas į skaitmeninį kodą. Kaip matome, elektrinis signalas kinta laike. Paprastumo dėlei tarkime, kad analoginė įtampa kis nuo 0 iki 4,095 volto, o ją atitinkančios skaitinės reikšmės nuo 0 iki 4095, kas atitinka keitimą 2bitų keitikliu. Matome, kad visa keitimo schema sudalinta į dvi dalis: išrinkimo užlaikymo (I/U) ir analogas _ kodas keitimo (ASK) dalis. Išrinkimo užlaikymo schema reikalinga tam, kad ASK įėjime išlaikyti keičiamą analoginę įtampą pastovią, tol kol vyksta keitimas. Kaip matome iš (a) ir (b), išrinkimo_užlaikymo schema leidžia signalą keisti įėjimo signalą tik tam tikrais, lygiais laiko intervalais. Šių intervalų metu, įtampa IU išėjme išlaikoma pastovi ir lygi momentinei analoginio signalo įtampai IU įėjime. Visi analoginio signalo pokyčiai užlaikymo metu ignoruojami. Todėl sakoma, kad diskretizavimas pakeičia tolydaus laiko nepriklausomą kintamąjį į diskretų. Kaip parodyta (b) ir (c), kiekvienai plokščiai viršūnei ASK išėjime priskiria po vieną sveiką skaičių iš intervalo 0 4095. O tai jau įneša paklaidas, nes bet kurios plokščios viršūnės reikšmė gali įgyti realaus tipo reikšmes iš intervalo 0 4.095. Pavyzdžiui tiek reikšmė 2.5600, tiek 2,560 bus pakeista ta pačia sveiko tipo reikšme lygia 2560. Galime daryti išvadą, kad kvantavimas pakeičia priklausomą kintamąjį iš tolydaus į diskretų. Reikia pasakyti, kad diskretizavimą ir kvantavimą nagrinėjame atskirai, todėl kad šios operacijos skirtingai būdais įtakoja signalo, gaunamo ASK išėjime charakteristikas. Kvantavimo įtaka. Bet kurios skaitmeninio signalo reikšmės maksimali paklaida lygi pusei jauniausio bito vertės ± 2 JB. Paveiksliuke 3- (d) parodyta kvantavimo paklaida, gauta atimant iš (b) atėmus (c). Svarbu pasakyti, kad kvantavimo paklaidų signalas labai panašus į triukšmo signalą. Daugeliu atveju kvantavimo įtaka, tai ne kas kita nei triukšmo įnešimas į signalą. Šio triukšmo reikšmės pasiskirsčiusios pagal tolydų pasiskirstymo dėsnį, amplitudės įgyja reikšmes iš intervalo ± 2 JB, o standartinis nuokrypis lygus 2 ( 0.29JB). Pavyzdžiui kvantuojant 8bitų keitikliu triukšmas sudaro /900 visos skalės, kvantuojant 2bitų keitikliu triukšmas sudaro /4096 /4000 visos skalės, tuo tarpu kvantuojant 6bitų keitikliu triukšmas sudaro /65536 /227000visos skalės. Kadangi kvantavimo paklaida yra triukšmo signalas, todėl keitiklio skilčių skaičius nusako duomenų reikšmių, gaunamų keitimo metu, tikslumą. Kvantavimo triukšmas prisideda prie analoginiame signale
jau esančio triukšmo. Pavyzdžiui analoginio signalo maksimali amplitudė V, o triukšmo reikšmių vidutinis standartinis nuokrypis sudaro mv. Tokį signalą keičiant 8bitų keitikliu vieną voltą atitinka skaičius 255, o mv atitinka 0.255JB. Sudedant du triukšmo signalus jų standartiniai nuokrypiai susideda, todėl nagrinėjamu atveju bendras triukšmas kvantuotame signale bus 2 2 0.255 + 0.29 = 0.386JB. Šis rezultatas rodo, kad po kvantavimo, triukšmo lygis signale išaugo 50% lyginant su triukšmu kuris buvo signale iki kvantavimo. Jei kvantuotame 2bitų keitikliu, tai triukšmo lygis nepakistų. Norint žinoti kiek bitų reikia, reikia atsakyti į šiuos klausimus: koks triukšmo lygis analoginiame signale ir koks maksimalus triukšmo lygis leistinas skaitmeniniame signale. Diskretizavimo teorema. Tarkime, kokiu tai būdu diskretizuojame signalą. Jei tą signalą galima tiksliai atstatyti iš diskrečių reikšmių, vadinasi diskretizavimas buvo atliktas tinkamai. Keletas sinusinių signalų parodyti pav3_3 prieš ir po keitimo į skaitmeninį signalą. Ištisine linija paveiksle pavaizduotas analoginis signalas ASK įėjime, o kvadratėliais pavaizduotas skaitmeninis signalas išeinantis iš keitiklio. Pav.3_3a pavaizduotas nuolatinės įtampos signalas, kas atitinka kosinusą su nuliniu dažniu. Šiuo atveju analoginis signalas yra seka diskrečių atskaitų išsidėsčiusių vienoje tiesėje, todėl šis skaitmeninis signalas turi visą informaciją tam, kad analoginį signalą atkurti visiškai tiksliai. Pav3_3b parodytas sinusinis signalas, kurio dažnis 0,09 diskretizavimo dažnio.
pav3_
Tai reiškia, kad per 90 sinuso periodų bus pamatuota 000 reikšmių, arba kitais žodžiais tariant, kiekvienam sinuso periodui tenka po. reikšmę. Šis atvejis sudėtingesnis nei nuolatinio signalo atveju, nes čia signalas negali būti atkurtas paprasčiausiai brėžiant tiesę per išmatuotus taškus. Ar galime atkurti sinusinį signalą iš gautų atskaitų? Taip, gali nes nėra kitos sinusoidės ar jų sumos, kurių reikšmės tiksliai atitiktų gautas analizuojamo signalo diskrečias reikšmes. Šios diskrečios reikšmės atitinka tik tą vieną analoginį signalą ir todėl analoginis signalas gali būti atkurtas. Pav3_3c pavaizduota situacija, kai per vieną sinuso periodą pamatuojamos 3,2 diskrečios reikšmės. Šios reikšmės tiek retos, kad sunkiai primena sinuso formą. Ar pakanka šių reikšmių tam kad atkurti signalą? Taip ir dėl tos pačios priežasties kaip ir prieš tai buvusiame pavyzdyje. Pav3_3d per vieną signalo periodą pamatuojama.05 reikšmės. Ar šį kartą pakanka duomenų, tam kad atkurti signalą? Ne, nes tokią reikšmių seka turi ne tik analizuojamas signalas, bet ir kiti sinuso signalai. Pavyzdžiui analizuojamą 0.95 dažnio sinuso signalą atitinka ir 0.05 dažnio signalas. Vadinasi, tos pačios diskrečios reikšmės atitinka du skirtingų dažnių sinusinius signalus: vienas iš jų turi 0,95 dažnį, o kitas 0,05 dažnį. Efektas, kai diskretizavimo metu, gaunamas žemesnio dažnio signalas nei originalus signalas vadinamas persidengimu. Šiuo atveju skaitmeninis signalas nebeatitinka originalaus analoginio signalo ir jame nėra nieko kas leistų daryti prielaidą, kad gautas skaitmeninis 0,05 dažnio signalas iš tikrųjų yra 0,95 dažnio signalas. Vadinasi pasirinktas diskretizavimo dažnis netinkamas. Pav3_3. Tinkamo ir netinkamo diskretizavimo dažnio parinkimo pavyzdžiai. Tolydaus laiko signalas diskretizuotas tinkamai, jei išlaikyta visa informacija reikalinga to signalo atkūrimui. Paveiksliukuose (a), (b) ir (c) parodytas tinkamas diskretizavimo dažnio parinkimas. Vienas iš kertinių sąvokų skaitmeniniame signalų apdorojime yra diskretizavimo teorema. Ji dažniausiai vadinama Šenono arba Naikvisto teorema. Ši teorema sako, kad diskretizavimo dažnis turi būti dvigubai didesnis nei aukščiausio dažnio signalo dedamoji. Iš šios teoremos seka išvada, kad skaitmeninio signalo spektre negali būti dedamųjų didesnių nei pusė diskretizavimo dažnio. Kai analoginį signalą sudarančios komponentės užima dažnių juostą nuo nulio iki ½ diskretizavimo dažnio, tai diskretizuotame signale išlieka visos analoginio signalo komponentės. Kai analoginį signalą sudarančios komponentės užima platesnę dažnių juostą nei ½ diskretizavimo dažnio,
tai reiškinys vadinamas persidengimu analoginio signalo komponentes viršijančias ½ diskretizavimo dažnio perkelia į juostą nuo nulio iki ½ diskretizavimo dažnio. Be to persidengimo reiškinys ne tik iškreipia tiriamo signalo dažnį, bet pakeičia ir jo fazę per π pav3_4. pav3_4. Persidengimo efektas atsirandantis diskretizuojant signalą mažesniu nei 2k dažniu. Detaliau panagrinėsime diskretizavimo operaciją ir persidengimo atsiradimą. Svarbiausia suprasti kas atsitinka, kai analoginis signalas pakeičiamas skaitmeniniu ir kaip nusakoma vienareikšmė atitiktis tarp realaus analoginio signalo ir skaičių eilutės kompiuterio atmintyje? Šis palyginimas svarbus norint įvesti sąvoką "vienetinių impulsų seka". Analoginis signalas parodytas pav3_5a. Pav3_5c parodytas diskretizuotas analoginis signalas. Vienetinių impulsų sekos signalas, tai tolydaus laiko signalas, atsikartojantis tam tikru pastoviu periodu. Kiekvieno periodo pradžios momentu toks signalas panašus į stačiakampį impulsą, kurio trukmė lygi nuliui. Tokio signalo fiziškai realizuoti neįmanoma, todėl jis yra teorinė konstrukcija leidžianti nutiesti tiltą tarp skaitmeninio ir analoginio pasaulių. Kadangi vienetinių impulsų signalas ir analoginis signalas yra tolydaus laiko signalai, tai galima juos tarpusavyje palyginti. Lieka išspręsti kaip palyginti vienetinių impulsų signalą su skaitmeniniu signalu. Tai gana paprasta signale užkoduotos informacijos požiūriu. Jei kompiuterio atmintyje skaitmeninis signalas atvaizduotas vienetų ir nulių seka, tai kiekvienas vienetas atitinka analoginį vienetinį impulsą. Trys realaus laiko signalai pavaizduoti Pav3_5 kairėje pusėje, o dešinėje pusėje pavaizduoti šiuos signalus atitinkantys dažnio spektrai. Tai reiškia, kad bet kuris signalas gali būti pavaizduotas arba laiko, arba dažnių ašyje. Analoginis signalas, kurį norima pakeisti į skaitmeninį parodytas pav3_5a, o jį atitinkantis spektras pav3_5b, kuriame matome, kad signalą sudarančios komponentės, užima dažnių juostą nuo 0,00fs iki 0,33fs. Čia fs diskretizavimo dažnis. Pavaizduotas signalas galėtų būti kalbos signalas, kurio visos aukštesnės nei 3.3Khz dedamosios pašalintos žemo dažnio filtru. Signalo diskretizavimo dažniu galime pasirinkti fs= 0Khz. Diskretizuotas kalbos signalas, gautas analoginį signalą padauginus iš vienetinių impulsų sekos, parodytas pav3-5c, o jo spektras pav3-5d. Diskretizuoto signalo spektre matomas periodiškas originalaus signalo dažnio juostos atsikartojimas aukštesniuose dažniuose. Tokio atsikartojimo periodas lygus fs. Vadinasi diskretizavimo procese
pav3_5. Diskretizavimo teoremos taikymas laiko ir dažnio ašyse
atsiranda naujos dažnių komponentės. Dabar reikia atsakyti į klausimą ar tinkamai parinktas diskretizavimo dažnis. Atsakymas taip, nes naujai atsiradusias aukštesnio dažnio dedamąsias galime filtruoti žemo dažnio filtru, o po to atkurti originalų signalą. Netinkamas diskretizavimo dažnio pasirinkimas parodytas pav3-5e, kai diskretizavimo dažnis per mažas. Signalo dažnio komponentės neviršija 3kHz, o diskretizavimo dažnis parinktas fs = 5kHz. Matome, kad atsikartojančių dažnių komponentės gerokai priartėjo prie originalaus signalo dažnio. Be to atsikartojantys dažniai patenka į originalaus signalo dažnių juostą. Kadangi nėra būdų atskirti originalaus signalo dažnio komponenčių, nuo dažnio komponenčių generuojamų diskretizavimo proceso, tai informacija apie originalaus signalo spektrą yra prarandama arba negrįžtamai iškraipoma. 4.2 Keitiklis Kodas Analogas Teoriškai paprasčiausias būdas skaitmeninio kodo keitimui į analoginį signalą skaityti duomenis iš kompiuterio atminties ir versti juos tam tikros amplitudės elektrinių impulsų seka pav3-6a. Tokio signalo spektras parodytas pav3-6b. Kaip buvo minėta, analoginis signalas gali būti atkurtas filtruojant tokią impulso seką žemo dažnio filtru, kurio atkirtos dažnis lygus pusei diskretizavimo dažnio. Nors tai matematiniu požiūriu pats tinkamiausias būdas, tačiau fiziškai neįmanoma sugeneruoti nulinės trukmės vienetinių impulsų. Visi Kodas Analogas keitikliai išėjime laiko einamąją reikšmę tol kol pasirodys nauja skaitinė reikšmė įėjime. Tai vadinama nulinės eilės užlaikymu. Esant tokio pobūdžio užlaikymui, keitiklio išėjime gaunamas laiptuotas signalas pav3-6c, kurio spektras pav3-6d, tai vienetinių impulsų sekos spektro ir funkcijos H(f) sandauga: ( ) sin( πf f s ) H f = ; πf f s Norint iš turimo laiptuoto signalo pav3-6c gauti glodų signalą pav3-6f turintį korektišką spektrą pav3-6g reikalingas žemo dažnio analoginis filtras pav3-6e, kuris atlieka dvi funkcijas: ) filtruoja visus dažnius aukštesnius už ½ diskretizavimo dažnio; 2) perdavimo juostoje stiprina tas dažnio komponentes, kurios buvo nuslopintos.
pav3_6. Skaitinių reikšmių vertimas analoginiu signalu. (a) Skaitiniai duomenys verčiami impulsų seka, kurios spektras parodytas (b). Skaitmeninio-Analoginio keitiklio išėjime gaunamas laiptuotas analoginis signalas (c), kurio spektras atitinka impulsų sekos ir sinc funkcijos sandaugą (d). Atkuriant analoginį signalą (f), laiptuotas analoginis signalas filtruojamas žemo dažnio filtru (e). Atstatyto analoginio signalo spektras parodytas (e).
5. Duomenų grupavimas Tarkime, kad vieną sekundę stebimas analoginis signalas x(t). Šioje laiko atkarpoje signalas turi N= reikšmių. Analoginio skaitmeninio keitiklio pagalba gauname n diskrečių signalo x[n] atskaitų. Atskaitų reikšmės gali kartotis. Tegu diskrečių atskaitų eilutėje yra k skirtingų reikšmių: x[], x[2],...,x[k]. Galime paskaičiuoti kiek kartų pasikartojo kiekviena reikšmė, ir rasti, kurią visų atskaitų dalį ji sudarė. Sakykime, kad stebima reikšmė x[j] pasikartojo f[j] karatų. Tuomet f[] + f[2] +,...,+ f[k]= n, o x[j] atskaitų eilutėje sudaro f[j]/n dalį visų stebėjimų. Kintamojo reikšmės dažnis f[j] tai skaičius, nusakantis, kiek kartų reikšmė x[j] pasikartojo atskaitų eilutėje. Reikšmės santykinis dažnis f[j]/n tai skaičius, nusakantis, kurią atskaitų eilutės dalį sudaro x[j] Jei turimų atskaitų nedaug, tai duomenys surašomi į dažnių arba santykini dažnių lenteles. Taip pateiktą informaciją daug lengviau suvokti bei pastebėti įvairias duomenų aibės savybes (pvz., dažniausiai pasikartojančią reikšmę, mažiausiąją reikšmę). Santykinių dažnių lentelė dar vadinama dažnių skirstiniu. Atskaitų reikšmėms galima apibrėžti ne tik dažnių skirstinį, bet ir dažnių pasiskirstymo funkciją: Dažnių pasiskirstymo funkcija: stebejimu, ne didesniu uz x, skaicius F ( x) =, - < x < (5.) n Histograma (grupuotieji duomenys). Kai turime daug analoginio signalo atskaitų, dažnių lentelė tampa neinformatyvi joje yra labai daug skirtingų reikšmių. Kartu dingsta dažnių lentelės pranašumas, nes informacija nebekoncentruojama. Be to, kai kurie stebėjimai gali labai mažai skirtis tarpusavyje. Tokiu atveju duomenis reikia grupuoti. Prieš tai reikia nustatyti: ) grupavimo intervalų skaičių, 2) jų plotį, 3) intervalų kraštinius taškus. Dažniausiai pasirenkama nuo 5 iki 5 grupių. Grupavimo intervalų ilgiai yra vienodi, intervalai nesikerta, kiekviena atskaitos reikšmė patenka tik į vieną intervalą. Kuo grupavimo intervalų skaičius didesnis, tuo mažiau informacijos prarandame. Pažymėkime i-tąjį grupavimo intervalą (c i-, c i ]. Grupuodami imame atvirus iš kairės intervalus. Žinoma, galima imti ir atvirus iš dešinės intervalus. Svarbu tik kiekvienam duomeniui vienareikšmiškai parinkti tinkamą intervalą. Kartais net reikalaujama intervalų galus parinkti taip, kad jie nesutaptų su jokiu duomenų aibės elementu. Tuomet nesvarbu, kuris intervalo galas atviras, o kuris uždaras, nes visi vėlesni skaičiavimai sutampa. Lentelėje parodytas f i reikšmių patekusių į intervalą (c i-, c i ] dažnis Lentelė. Intervalinių dažnių lentelė Intervalas (c 0 c ] (c, c 2 ] (c 2 c 3 ]... (c k-, c k ] dažnis f f 2 f 3... f k Sisteminant duomenis, labai svarbi yra tankio funkcija. Grupuotų duomenų tankio funkcija: 0, kai x < c0, f n ( x) = f j nh, kai c j- x < c j, (5.2) 0, kai x c k. Čia h intervalo ilgis (visiems vienodas).
Duomenis sugrupavus, dingsta informacija apie konkrečią kiekvieno duomens reikšmę. Todėl į konkretų intervalą pakliuvusiems duomenims apibūdinti imamas intervalo vidurys. Grupuotų duomenų dažnių pasiskirstymo funkcija apibrėžiama kaip ir negrupuotų, tiktai visi patekę į intervalą (c i-, c i ] duomenys yra laikomi lygiais (c i- + c i )/2, t.y. intervalo viduriui. Dažnai susiduriama su intervalais, tarp kurių yra tarpų. Pavyzdžiui nustatant banko klientų amžių gauta 2 Lentelė. Lentelė 2. Amžius Dažnis Vidurys 8 9 0 8.5 20 2 7 20.5 22 23 35 22.5...... Mes be vargo priskyrėme kiekvieną klientą atitinkamo amžiaus grupei. Tačiau, norėdami tokią lentelę pavaizduoti grafiškai, susiduriame su problemomis. Mat atsiras tarpai tarp skaičių 9 ir 20, 2 ir 22, ir pan. Tokie tarpai nepageidautini. Todėl įprasta ribas praplėsti taip, kad jie susiliestų. Tradicinis tokio praplėtimo metodas prie kiekvieno intervalo krašto pridėti pusę tarpo. Paprasčiausias dažnių skirstinį iliustruojantis grafikas yra dažnių daugiakampis. Dažnių daugiakampis gaunamas Dekarto koordinatėse atidėtas dažnių reikšmes sujungus atkarpomis. Pavyzdys: septyniasdešimt automobilių savininkų nurodė, prieš kiek metų pagamintas jų automobilis. Duomenys pateikti 3 lentelėje Lentelė 3 automobilių naudojimo trukmė Metai 3 4 5 6 7 8 Automobilių skaičius 5 6 4 7 8 0 Šią lentelę atitinkantis dažnių daugiakampis parodytas pav6_ pav6_. Automobilių amžiaus dažnių daugiakampis Grupuotiems duomenims dažniausiai paišoma histograma. Grupuotų duomenų tankio funkcijos grafikas vadinamas histograma. Histograma braižoma taip: ) Ox ašyje atidedami grupavimo intervalai, 2) kiekviename intervale braižomas stačiakampis, kurio aukštinė proporcinga pakliuvusių į intervalą reikšmių skaičiui (f i /n). Šiaip jau reikalaujama, kad visų stačiakampių plotų suma būtų lygi. Šis reikalavimas esminis tikimybine interpretacijai, tačiau nelabai svarbus grafiko formai. Mat ordinačių (Oy) ašies mastelis vis tiek skiriasi nuo Ox ašies mastelio. Pirmos lentelės duomenų
histograma paišoma taip: intervale (c 0, c ] braižomas stačiakampis, kurio aukštinė yra f /nh, intervale (c, c 2 ] stačiakampis kurio aukštinė yra f 2 /nh ir pan. Galime nubraižyti grupuotų duomenų dažnių daugiakampį. Jį gautume histogramoje sujungtų stačiakampių viršutinių briaunų vidurio taškus. Dažnių daugiakampis irgi atskleidžia tankio elgesį. Dažnių daugiakampį galima braižyti ir be histogramos. Tam užtenka visus į konkretų intervalą patekusius taškus prilyginti intervalo viduriui ir braižyti įprastą dažnių daugiakampio grafiką. Dažnių daugiakampiui imami viduriniai grupuotų duomenų intervalų taškai. Intervalas Dažnis Intervalo vidurys (90,00] 5 95 (00, 0] 8 05 (0, 20] 20 5 (20, 30] 25 25 (30, 40] 5 35 (40, 50] 0 45 (50, 60] 5 55 (60, 70] 3 65 (70, 80] 75 pav6_2. Dažnių daugiakampis ir histograma 6. Duomenų padėties charakteristikos Pagrindinės duomenų padėties charakteristikos yra vidurkis, moda ir mediana, apibūdinantys duomenų centrą. Visos charakteristikos, išskyrus modą, skaičiuojamos kiekybiniams duomenims. 6. Vidurkis 26 Vidurkis tai taškas, kuris artimiausias visiems statistinės eilutės elementams. Tarkime, kad M koks nors skaičius. Atstumą tarp M ir statistinės eilutės elementų matuojame taip: 2 2 2 f ( M ) = ( x M ) + ( x 2 M ) +... + ( x n M ). (6.) Funkcija f(m) pasiekia minimumą taške ( x + x2 +... + xn ) n. Pastarąjį skaičių vadiname atskaitų eilutės vidurkiu (vidurkiu, aritmetiniu vidurkiu, imties vidurkiu, empiriniu vidurkiu) ir žymime x. Taigi vidurkis kita ne kas kita kaip visų eilutės elementų suma, padalyta iš jų skaičiaus: n x = x j ; (6.2) n j=
Grupuotų duomenų vidurkiui skaičiuoti pasirenkami viduriniai intervalų taškai. Tegul intervalai ir * x = c j + c. dažniai apibrėžti lentele. Pirmo intervalo vidurio taškas ( ) 2 j Atskaitų eilutės vidurkis: n n f * * j x = x j f j = x j. (6.3) n j= j= n Pirmoji formulės lygybė yra ne kas kita kaip vidurkio apibrėžimas. Antroji lygybė išplaukia iš sandaugos distributyvumo. Ji parodo, kaip vidurkiui skaičiuoti gali būti panaudoti santykiniai dažniai. Vidurkis yra labiausiai paplitusi duomenų charakteristika skaičiuojamas vidutinis atlyginimas, vidutinis energijos sunaudojimas, sesijos pažymių vidurkis ir pan. Vidurkis dažnai vadinamas vidutine stebėjimų reikšme. Jei reikšmių eilutėje yra kelios labai išsiskiriančios iš kitų stebėjimų reikšmės (labai didelės arba labai mažos), vidurkis nėra itin geras matas, nes neatspindi to, kas būdinga daugumai stebėjimų. Pavyzdžiui, smarkiai pakėlus gamyklos direktoriaus atlyginimą, pakils ir vidutinis gamyklos darbuotojų atlyginimas, nors kitų darbuotojų atlyginimai ir nepasikeis. Vidurkio savybės: Pasinaikinimo efektas n ( x j x) j= = 0 ; (6.4) 2 Daugyba iš konstantos. Visas stebėjimo reikšmes padauginus iš to paties skaičiaus gautasis aritmetinis vidurkis taip pat bus padaugintas iš šio skaičiaus: n n C Cx j = x j = Cx. (6.5) n j= n j= 3 Postūmis. Pridėjus (arba atėmus) prie kiekvieno stebėjimo tam tikrą skaičių, vidurkis padidės arba sumažės tokiu pačiu skaičiumi: n x + C = x + C. (6.6) ( ) n j= 6.2 Moda Jau matėme, kad vidurkis ne visada yra pati tinkamiausia charakteristika. Tarkime, kad ufonautas paprašė duomenų apie vidutinį žmogų. Ir gavo atsakymą, kad vidutiniškai žmogus turi: kojų,99...; akių,99...; pirštų 4,88 ir pan. Kaip manote, kokį žmogų įsivaizduos ufonautas? Šiuo atvejų informatyviau būtų aprašyti tipišką žmogų. Tipiškiausia nagrinėjamos duomenų aibės reikšmė yra moda Mo. Prieš nustatant reikšmių eilutės modą, sudaroma variacinė eilutė. Variacinė eilutė gaunama turimas reikšmes išdėsčius didėjimo tvarka. Moda tai dažniausiai duomenų aibėje pasikartojusi reikšmė. Pavyzdžiui, duomenų aibės ; ; 2; 3; 4; 5; moda Mo =. Jei visos reikšmės pasikartoja vienodai dažnai, sakoma, kad pasiskirstymas modos neturi. Pavyzdžiui, duomenų aibė 2,3; 2,3; 3,8; 3,8; 4,5; 4,5; modos neturi. Jeigu kelių gretimų reikšmių dažnis vienodas ir yra didesnis negu bet kurių kitų reikšmių dažnis, tai egzistuoja dvi modos ir sakoma, kad dažnių skirstinys bimodalinis. Pavyzdžiui reikšmių eilutė 0; ; ; ; 2; 3; 4;4; 4; 7; turi dvi modas ir 4. Jeigu negretimų vienodo dažnio variacinės eilutės narių yra daugiau nei du, modų taip pat yra daugiau. Toks dažnių skirstinys yra vadinamas multimodiniu. Grupuotų duomenų moda apytiksliai lygi intervalo, į kurį pateko daugiausia duomenų vidurinei reikšmei, pavyzdžio apie kraujospūdį moda 25.
6.3 Mediana Tarkime turime variacinę eilutę: x x2 x3.... (6.7) x n Imties mediana Md yra skaičius, už kurį 50% variacinės eilutės reikšmių yra ne didesnės ir 50% ne mažesnės. Tai gi mediana tai skaičius, perskiriantis variacinę eilutę į dvi maždaug lygias dalis. Tikslesnis medianos apibrėžimas yra toks: Jeigu stebėjimų skaičius yra n nelyginis, tai mediana yra variacinės eilutės reikšmė atitinkanti (n+)/2 poziciją. Jeigu n lyginis, tai mediana yra variacinės eilutės reikšmių, atitinkančių pozicijas (n/2) ir (n/2)+, aritmetinis vidurkis. Ta gi x( n+ ) 2 kai n - lyginis Md = x ( n 2) + x (6.8) ( n 2+ ) kai n - nelyginis 2 Pastaba. Mediana dalija pusiau variacinę eilutę, t.y. jau sutvarkytus duomenis, o ne pradinius duomenis. Kaip ir aritmetinis vidurkis, mediana charakterizuoja duomenų centrą. Ja patariama naudotis, kai duomenų aibėje yra išskirčių. Išskirtis tai tokia duomenų aibės reikšmė, kuri yra nenatūraliai didesnė ar mažesnė už kitas reikšmes. Panagrinėkime dvi duomenų aibes: 0; 20; 30; 40 ir 0; 20; 30; 00. Abiejų aibių medianos yra lygios skaičiui 25, tačiau pirmosios aibės vidurkis yra 25, o antrosios 40.Aišku, kad antruoju atveju vidurkis nėra tinkama centro charakteristika, nes viską lemia vienintelų didelė reikšmė išskirtis 00. Paprasčiausias būdas rasti grupuotų duomenų medianą visas į intervalą patekusias reikšmes pakeisti vidurinėmis intervalo reikšmėmis ir pritaikyti (6.8) formulę. Dažniausiai mediana yra tarp aritmetinio vidurkio ir modos. Be abejo, dažniausiai tai ne visuomet. Galima sukonstruoti duomenų eilučių, kurių mediana mažesnė ir už vidurkį, ir už modą, tačiau tokios duomenų eilutės pasitaiko retai. Ir vidurkis, ir moda, ir mediana yra duomenų centro charakteristikos. Kokią charakteristiką geriau naudoti, priklauso nuo tyrimo tikslų. 7. Duomenų sklaidos charakteristikos Palyginkime dviejų firmų programuotojų atlyginimus. Pirmojoje firmoje dirba penki programuotojai, per mėnesį uždirbantys 000; 2000; 3000; 5000 ir 9000 Lt. Atlyginimų vidurkis 5000Lt. Antrojoje firmoje dirba penki programuotojai, uždirbantys 5000; 5000; 5000; 5000 ir 5000Lt. Atlyginimų vidurkis 5000Lt. Taigi abiejų firmų programuotojų vidutiniai atlyginimai sutampa. Tačiau matome, kad pirmojoje firmoje yra, ir didelių ir mažų atlyginimų, o antrojoje visi atlyginimai vienodi. Šiame skyrelyje aptarsime skaitines charakteristikas, leidžiančias įvertinti duomenų sklaidą. Pastaba. Duomenų sklaida nėra tas pats, kas duomenų įvairovė. 33 Sklaidos charakteristikos parodo, kiek duomenys skiriasi. Dešimties atlyginimų (kurie visi skirtingi, net skiriasi ne daugiau kaip vienu litu) duomenų aibė daug mažiau išsklidusi nei trys, bet šimtais tūkstančių litų besiskiriantys atlyginimai. Pagrindinės sklaidos charakteristikos yra duomenų aibės plotis, vidutinis nuokrypis, dispersija, standartinis nuokrypis. 7. Dispersija Duomenų dispersija rodo sklaidą apie vidurkį:
2 2 s = x j x) (7.) n j= Skyrelio pradžioje minėtame pavyzdyje pirmosios firmos programuotojų atlyginimų dispersija: n ( 2 2 ( 000 500) + ( 2000 5000) +... + ( 0000 5000) ) = 4000000 2 5 Antrosios firmos atlyginimų dispersija 2 ( 5000 500) + ( 5000 5000) +...) = 0 2 5 Taigi pirmosios firmos atlyginimų dispersija (ir sklaida) didelė, o antrosios maža. Dispersija viena iš populiariausių skaidos charakteristikų. Jos privalumas yra tas, kad atsižvelgiama į visus duomenis ir pateikiamas vidutinis skirtumų nuo vidurkio kvadratas. Iš apibrėžimo akivaizdu, kad dispersija visuomet neneigiama. Dispersija lygi nuliui tik tuo atveju, kai visi stebėjimai lygūs. Dispersijos savybės: ) Inertiškumas postūmiui. Pridėjus (arba atėmus) prie kiekvienos reikšmės tą patį skaičių, dispersija nepasikeičia: n n 2 2 2 ( x + C) = ( x j + C) x C) = ( x j x) = s ( x) 2 s (7.2) n j= n j= 2) Daugyba iš konstantos. Visas reikšmes padauginus iš konstantos, pradinių reikšmių dispersija yra dauginama iš šio skaičiaus kvadrato n n 2 2 2 2 2 2 s ( Cx) = ( Cx j Cx) = C ( x j x) = C s ( x) (7.3) n j= n j= Skaičiuojant grupuotų duomenų dispersiją, taikoma tokia formulė: k 2 2 2 * h sh = f j ( x j x) (7.4) n j= 2 čia h grupavimo intervalo ilgais, f j j-tojo grupavimo intervalo) dažnis, x * j j-ojo grupavimo 2 intervalo vidurio taškas, o vidurkis x skaičiuojamas pagal formulę (6.3). Dėmuo h 2 vadinamas Šepardo pataisa. Skaičiuoti s 2 pagal (7.) formulę nepatogu. Patogiau naudotis tokiu (7.) formulės variantu: 2 2 2 2 n s = ( x... ) ( ) 2 + x2 + + xn x. (7.5) n n 7.2 Standartinis nuokrypis Standartinis nuokrypis dažniausiai taikomas sklaidos matas. Jis gaunamas ištraukus kvadratinę šaknį iš dispersijos: 2 s = s (7.6) Kaip ir dispersija, standartinis nuokrypis parodo vidutinę duomenų sklaidą apie vidurkį. Ką išlošiame pereidami nuo dispersijos prie standartinio nuokrypio? Visų pirma pastebėsime, kad standartinis nuokrypis matuojamas tokiais pačiais vienetais kai ir patys duomenys. Jeigu kalbame apie atlyginimus, tai ir duomenys, ir vidurkis, ir standartinis nuokrypis matuojami litais. Tuo tarpu dispersijos matavimo vienetai būtų litai kvadratu. Šiuo atžvilgiu standartinį nuokrypį lengviau interpretuoti ir palyginti su duomenimis. Kita svarbi standartinio nuokrypio naudojimo priežastis yra duomenų koncentracijos apie vidurkį tiesioginė priklausomybė nuo standartinio nuokrypio dydžio.
7.3 Duomenų kitimo koeficientas Kitimo koeficientas (variacija) skaičiuojamas tik duomenims turintiems teigiamus vidurkius. Kitimo koeficientas yra bedimensinis dydis. Jis naudojamas lyginant skirtingų duomenų aibių sklaidas s cv = (7.7) x Procentinis kitimo koeficientas: s cvp = 00% (7.8) x Pavyzdys. Svarbi akcijų charakteristika yra kainos stabilumas. Tarkime, tris mėnesius stebėjus akcijų kainų kitimą, buvo nustatyta vidutinė firmos A akcijų kaina 200Lt ir jų standartinis nuokrypis 40Lt. Firmos B vidutinė akcijų kaina 48Lt, standartinis nuokrypis 2Lt. Firmos A akcijų kainos sklaida didesnė nei firmos B.Tačiau labai skiriasi patys akcijų kainų vidurkiai. Galima apskaičiuoti abiejų firmų akcijų kainų kitimą vidurkių atžvilgiu: Firmos A 40 cvp = 00% = 20% 200 Firmos B 2 cvp = 00% = 25% 48 Taigi, vidurkio atžvilgiu firmos A akcijos stabilesnės už firmos B akcijas. 7.4 Normalioji kreivė Eksperimento būdu nustatyta, kad dagelis histogramų yra panašios į funkcijos 2 ( ) ( x x) ϕ x, s x = e 2 (7.9) 2πs 2s grafiką. Funkcijos ϕ x,s ( x) grafikas vadinamas normaliąja (arba Gauso) kreive. Teorinis ir praktinis jos vaidmuo statistikoje milžiniškas. Didelė statistinių išvadų dalis grindžiama nagrinėjamų duomenų histogramos keitimu funkcija ϕ x,s ( x). Paminėsime keletą ϕ x,s ( x) savybių: ) ϕ x,s ( x) grafikas yra varpo formos ir visas juo apribotas plotas lygus vienetui. 2) ϕ x,s ( x) grafikas yra simetriškas vidurkio atžvilgiu 3) ϕ ( x) yra apibrėžta su visais < x < +, bet toli nuo vidurkio funkcijos reikšmės labai x,s mažos. 4) Intervale ( x ks x + ks, ) plotas, apribotas grafiku ϕ ( x) x,s, priklauso nuo k (sveikas skaičius skaičius), bet nepriklauso nuo x ir s. Ketvirtojo savybė leidžia palyginti skirtingų duomenų normaliąsias kreives. Pavyzdžiui intervale ( x s x + s ϕ x grafiku apribotas plotas lygus 0.6826... (nepriklausomai nuo to koks, ) funkcijos ( ) x,s buvo vidurkis ir koks standartinis nuokrypis). Į kairę ir į dešinę atidėjus du kvadratinius nuokrypius, gautų intervalų ir normaliąja kreive apribotas plotas lygus 0.9544. Ketvirtosios savybės taikymas empiriniams (eksperimentiniams) duomenims vadinamas empirine taisykle: Empirinė taisyklė Jeigu duomenų histograma yra varpo formos, tai
apytiksliai 68 % duomenų patenka į intervalą ( x s, x + s) apytiksliai 95% duomenų patenka į intervalą ( x 2 s, x + 2s) beveik visi duomenys patenka į intervalą ( x 3 s, x + 3s) Histograma ir normalioji kreivė 7.5 Standartizuotos reikšmės Svarbu ne tik konkreti stebėjimo reikšmė, bet ir jos padėtis duomenų aibėje. Įprastinė procedūra lyginti stebėjimą su vidurkiu. Pavyzdžiui, studentų grupės egzamino pažymių vidurkis 6,5 balo, o Remigijus gavo 6 balus. Kad Remigijus nesublizgėjo aišku, tačiau vienai jį vertinsime žinodami, kad ir kiti gavo nuo 6 iki 7 balų. Taigi vertinant svarbi ir duomenų sklaida. Dar sudėtingiau lyginti kelias duomenų aibes. Tarkime, pirmos grupės studentai per egzaminą sprendė 00 uždavinių, o antrosios 80 uždavinių. Kaip nustatyti, kas iš grupės pasirodė geriau: Vytas, išsprendęs 90 iš 00, ar Rimas, išsprendęs 75 iš 80. Viena vertus Rimas išsprendė daugiau uždavinių. Kita vertus, gali būti taip, kad Vytas vienintelis grupėje išsprendė daugiau nei 20 uždavinių, o Rimas vienintelis nesugebėjo išspręsti visų 80 uždavinių. Taigi reikia metodikos rezultatų grupėse svarbai palyginti. Vienas iš būdų tą padaryti rezultatus standartizuoti. Labiausiai paplitęs standartizavimas z reikšmių skaičiavimas. Tarkime turime duomenų aibę x, x 2,...,x n. Tuomet z reikšmė skaičiuojama pagal formulę xi x zi = (7.0) s Standartizavę duomenis, gauname naują duomenų aibę z, z 2,..., z n kurios vidurkis visada lygus 0, o standartinis nuokrypis visada lygus : z =0, s z =. Teigiama standartizuotoji reikšmė parodo geresnį nei vidurkis rezultatą, neigiama blogesnį. Standartizuotos reikšmės gaunamos teisiškai transformuojant duomenis. Net ir skirtingų duomenų aibių z reikšmes galima palyginti tarpusavyje. Tarkime Vyto z reikšmė lygi,2, o Rimo,. Taigi savo grupėje Vytas pasirodė geriau nei Rimas savojoje.
8. Tiesinės sistemos Daugelis skaitmeninių signalų apdorojimo strategijų pagrįstos skaldyk ir valdyk principu, kuris dar vadinamas superpozicijos principu. Apdorojamas signalas išskaidomas į komponentes, kurios atskirai apdorojamos, o rezultatas gaunamas kombinuojant gautus rezultatus. Tai galingas instrumentas suteikiantis galimybę sudėtingą uždavinį išskaidyti į eilę paprastų, lengvai sprendžiamų uždavinių. Superpozicijos principas gali būti taikomas tik tiesinėms sistemoms. Laimė, kad didesnė dauguma moksle ir technikoje nagrinėjamų uždavinių priklauso tiesinių sistemų grupei. Sistema, tai bet koks procesas, kuris įėjimo signalą atvaizduoja į išėjimo signalą pav5_. Tolydžios sistemos įėjimo signalas tolydus ir išėjimo signalas tolydus. Diskrečios sistemos įėjimo signalas diskretus ir išėjimo signalas diskretus. Apie sistemas dažniausiai kalbama nesigilinant kokią funkciją atlieka sistema. Tai panašu į matematiką, kai diskutuojama apie matematinių funkcijų savybes. Yra daugybė priežasčių, kodėl analizuojamos sistemos. Pavyzdžiui kalbant telefonu tikimąsi, kad pašnekovas girdės ir atpažins kalbančiojo balsą patenkantį į perdavimo linijos įėjimą, tačiau perdavimo linijos išėjime gaunamas kitoks signalas nei jos įėjime. Jei žinomos perdavimo linijos savybės, tai šis trūkumas gali būti kompensuotas. Pasaulyje egzistuoja begalė sistemų ir atrodo, kad neįmanoma visų jų pažinti. Tačiau daugelis šių sistemų patenka į teisinių sistemų grupę, kurios pasižymi bendromis savybėmis, todėl atkrenta neįveikiamas uždavinys analizuoti kiekvieną egzistuojančią sistemą. pav5_ Sistema vadinama tiesine, jei pasižymi homogeniškumo ir adityvumo savybėmis. Jei pavyksta parodyti, kad sistema turi šias abi savybes, tai sakoma, kad sistema tiesinė. Jei sistema neturi bent vienos šių savybių tai sistema netiesinė. Trečia savybė, kuria pasižymi tiesinės sistemos tai postūmio invariantiškumas. Ši savybė būtina, tačiau nepakankama, kad sistema būtų tiesinė. Jei teigiama, kad sistema tiesinė, visada manome kad ji pasižymi ir postūmio invariantiškumo savybe, nebent būtų pasakyta kitaip. Homogeniškumas reiškia, kad pasikeitus įėjimo signalo amplitudei atitinkamai pasikeičia ir išėjimo signalo amplitudė pav5_2. Matematiškai tai galima formuluoti taip: jei įėjimo signalas x[n] iššaukia išėjimo signalą y[n], tai įėjimo signalas kx[n] iššauks išėjimo signalą ky[n], kur k pastovus dydis.
pav 5_2 Homogeniškumo apibrėžimas. Sistema homogeniška, jei įėjimo signalo amplitudės pokytis iššaukia analogišką išėjimo signalo amplitudės pokytį. Geru homogeniškos ir nehomogeniškos sistemos pavyzdžiu gali būti varža. Tarus, kad įėjimo signalas yra įtampa, o išėjimo signalas srovė, tai du kart padidėjus įtampai du kartus padidėsi ir srovė. Vadinasi sistema homogeniška. Šią savybę garantuoja Omo dėsnis. Jei tarsime, kad įėjimo signalas įtampa, o išėjimo signalas galingumas, kuris yra proporcingas įtampos kvadratui, tai du kart padidėjus įtampai, varžos išsklaidomas galingumas padidės keturis kartus. Darome išvadą, kad tokia sistema nehomogeniška. Tarkime, kad signalas x [n] sistemos įėjime iššaukia signalą y [n] sistemos išėjime, o įėjimo signalas x 2 [n] iššaukia išėjimo signalą y 2 [n] pav5_3. Sakoma, kad sistema adytivi, jei įėjimo signalas x [n] + x 2 [n] iššaukia išėjimo signalą y [n] + y 2 [n]. Svarbu pažymėti, kad adytivios sistemos atveju abu signalai sklisdami per sistemą vienas kito neįtakoja. Pavyzdžiui, jei šnekant telefonu greta loja šuo, tai pašnekovas girdi kalbančiojo ir šuns balsus, o ne kažką kitą kas atitinka dviejų balsų sąveikos rezultatą.
pav 5_3 Adytivumo apibrėžimas. Sistema adytivi, jei įėjimo signalai sistema sklinda be tarpusavio sąveikos, t.y. jei x[n] iššaukia y[n], o x2[n] iššaukia y2[n], tai x[n] + x2[n] = y[n] + y2[n]. Jei signalas x[n] sistemos įėjime iššaukia signalą y[n] sistemos išėjime, o įėjimo signalas x[n+s] iššaukia išėjimo signalą y[n+s], kur s pastovus dydis nusakantis signalo vėlinimą laike, tai sakoma kad sistema invariantiška postūmio atžvilgiu pav5_4. Jei į sistemos įėjimą, nuliniu laiko momentu s = 0, paduodamas signalas x[n], o po praėjus laikui s 0 paduodamas tas pats signalas x[n+s], tai išėjime laiko momentais s = 0 ir s 0 gaunamas tas pats signalas. Tai reiškia, kad sistemos darbo metu jos savybės nesikeičia. pav 5_4 Postūmio invariantiškumo apibrėžimas Tiesinės sistemos pasižymi komutatyvumu. Komutatyvumas reiškia, kad bet kuriuo būdu sujungus tiesines sistemas gauname tiesinę sistemą pav5_7.
pav5_7. Tiesinės sistemos komutatyvumo savybė Sistema su keletu įėjimų ir keletu išėjimų, nepriklausomai nuo sistemos sudėtingumo, yra tiesinė sistema jei ją sudarančios sistemos yra tiesinės. Jei į pirmą tokios sistemos įėjimą paduosime signalą, o kituose įėjimuose nustatysime nulines reikšmes, tai kiekviename išėjime gausime atsaką į įėjimo signalą. Jei į antrą tokios sistemos įėjimą paduosime kitokį nei pirmasis įėjimo signalą, o kituose įėjimuose nustatysime nulines reikšmes, tai kiekviename išėjime gausime atsaką į antrąjį įėjimo signalą. Kai vienu metu į sistemą pateks abu signalai, tai sistemos išėjimuose gausime signalus, kurie bus pirmojo ir antrojo sistemos atsako superpozicija (suma) pav5_8. pav5_8. Keleto įėjimų ir keleto išėjimų tiesinė sistema. Jei sistema atlieka daugybos operaciją, tai ji gali būti tiek tiesinė, tiek netiesinė priklausomai nuo to kas yra dauginama. Šie du atvejai pavaizduoti pav5_9. Jei sistema įėjimo signalą daugina iš konstantos, tai tokia sistema tiesinė. Jei sistema vieną įėjimo signalą daugina iš kito įėjimo signalo, tai sistema netiesinė. Pavyzdžiui jei į sistemą patenka dvi skirtingo dažnio sinusoidės signalai, tai akivaizdu, kad tokių signalų sandauga ne sinusoidė. Kitas atvejis triukšmo signalas.
pav5_9.daugybos operacijos tiesiškumas. Daugyba iš konstantos tiesinė operacija. Dviejų signalų daugyba netiesinė operacija. Jei sistemos išėjime gaunama signalo ir triukšmo kombinacija, tai sistema tiesinė ar netiesinė? Atsakymas priklauso nuo požiūrio. Jei manysime, kad sistema turi keletą įėjimų, o triukšmo signalas patenka į vieną iš jų, tai išėjime gauname, pavyzdžiui sinusinio signalo ir triukšmo sumą sistema tiesinė. Jei manome, kad sistema turi tik vieną įėjimą ir vieną išėjimą, tai sistema netiesinė, nes tiesinės sistemos atveju išėjime gautume švarų sinuso signalą. 8. Signalų Sintezė ir dekompozicija Signalai sudaromi iš kitų signalų vieninteliu būdu dauginant juos iš konstantos (maštabuojant) ir sudedant. Pavyzdžiui sudedant tris signalus x 0 [n], x [n] ir x 2 [n] sudaromas ketvirtas signalas x[n] pav5_0. Procesas, kai iš atskirų signalų sudaromas naujas signalas vadinamas sinteze. Dekompozicija tai atvirkštinis veiksmas sintezei. Dekompozicijos metu vienas signalas išskaidomas į keletą signalų. Dekompozicija gerokai bendresnis veiksmas nei sintezė, nes yra daug būdų kaip vieną signalą išskaidyti į atskiras komponentes, o iš keletos signalų gauti norimą signalą yra vienintelis būdas. Pavyzdžiui iš dviejų skaičių 3 ir 5 galima susintezuoti (sudėti) tik vieną skaičių 8. O skačiaus 8 dekompozicijos būdų yra daug : 4 ir 4, 6 ir 2, 3 ir 3 ir 2 ir t.t.
pav5_0 Signalų apdorojime superpozicija tai pagrindinė sąvoka, leidžianti suprasti sistemų ir signalų analizės metodus. Tarkime į tiesinės sistemos įėjimą paduodamas signalas x[n], o jos išėjime gaunamas signalas y[n]. Kaip parodyta pav5_ įėjimo signalas gali būti išskaidytas į seką paprastesnių signalų x 0 [n], x [n], x 2 [n] ir t.t. Šie signalai vadinami įėjimo signalo komponentėmis. Kiekvieną įėjimo signalo komponentę atitinka išėjimo signalo komponentė y 0 [n], y [n], y 2 [n]. Iš išėjimo signalo komponenčių sintezuojamas išėjimo signalas y[n]. Šiuo atveju svarbu yra tai, kad sintezuotas išėjimo signalas identiškas signalui, kuris gaunamas įėjimo signalui x[n] sklindant sistema. Norint sužinoti kaip sistema pakeis sudėtingą įėjimo signalą pakanka išsiaiškinti kaip sistema keičia paprastą signalą. Tai gi, signalų apdorojime, į įėjimo ir išėjimo signalus žiūrima kaip į šių signalu komponenčių superpoziciją.
pav5_ 8.2 Dekompozicija Dekompozicija taikoma norint sudėtingą uždavinį išskaidyti į keletą paprastesnių uždavinių. Jei dekompozicija nepalengvina uždavinio sprendimo, tai jos neverta taikyti. Yra du signalo dekompozicijos būdai: ) dekompizicija į impulso perdavimo funkcijas (IPF); 2) Furjė dekompozicija, arba dekompozicija į sinuso ir kosinuso funkcijas. Dekompozicija į impulso funkcijas. Kaip parodyta pav5_2 dekompozicija N reikšmių signalą išskaido į N impulso funkcijų, kurių kiekviena sudaryta iš N reikšmių. Kiekviena impulso funkcija turi tik vieną originalaus signalo reikšmę, o likusios reikšmės lygios nuliui. Signalas, kurio visos reikšmės lygios nuliui išskyrus vieną vadinamas impulso signalu. Tai gi įėjimo signalas dekompozicijos metu išskaidomas į N impulso signalų. Sistemos atsakas į impulso signalą vadinamas impulso perdavimo funkcija IPF. Žinant sistemos IPF galima aprašyti sistemos elgseną. Žinodami sistemos elgseną galima paskaičiuoti sistemos išėjimo signalo reikšmes, kai į jos įėjimą paduodami impulso signalai gauti dekompozicijos metu. Turėdami IPF į kiekvieną impulso funkciją, gautą dekompozicijos metu, galime sintezuoti sistemos išėjimo signalą. Metodas, kai iš IPF sintezuojamas sistemos išėjimo signalas vadinamas sąsuka. Dekompozicija į IPF parodo sistemos reakciją į atskiras įėjimo signalo reikšmes. Žingsninė dekompozicija. Kaip parodyta pav5_3 žingsninė dekompozicija N reikšmių signalą išskaido į N žingsnio signalų (nulinis žingsnio signalas, pirmas žingsnio signalas, antras žingsnio signalas ir t.t. N-tasis žingsnio signalas) po N reikšmių. Nulinio žingsnio signalo reikšmės lygios signalo nulinei reikšmei x[0]; k-tosios komponentės x k [n] reikšmės nuo nulinės iki k- lygios nuliui, o
likusios reikšmės lygios signalo x[n] k-tosios ir (k-)- osios reikšmių skirtumui. Žingsninė dekompozicija parodo sistemos reakciją į įėjimo signalo pokyčius. pav5_2 pav5_3 9. Sąsuka Sąsuka, tai matematinis būdas kaip iš dviejų signalų gauti trečią. Tai vienas iš pačių svarbiausių metodų signalų apdorojime. Taikant išėjimo signalo dekompoziciją į IPF, sistemos aprašomos signalu, kuris vadinamas vienetinio impulso perdavimo funkcija (VIPF) ir žymimas h[n]. Sąsuka susieja tris signalus: įėjimo signalą, išėjimo signalą ir VIPF. Ankstesniame skyriuje aprašyta dekompozicija į impulso funkcijas. Impulsas, tai signalas, kurio visos reikšmės lygios nuliui išskyrus vieną. Dekompozicija, tai toks metodas, kai sudėtingas įėjimo signalas išskaidomas į eilę impulso signalų, kurių kiekvienam skaičiuojama sąsuka su VIPF. Tokių operacijų rezultatas rinkinys impulso perdavimo funkcijų iš kurių sintezuojamas analizuojamos sistemos išėjimo signalas. Dvi signalų apdorojime svarbios matematinės sąvokos pavaizduotos pav6_. Pirmoji jų delta funkcija [n]. Delta funkcija, tai impulsas, kurio nulinė reikšmė begalybė, o visos kitos lygios nuliui. Normuota delta funkcija, tai tokia funkcija, kurios nulinė reikšmė lygi vienetui. Dėl šios priežasties delta funkcija dažnai vadinama vienetiniu impulsu. Antroji sąvoka vienetinio impulso perdavimo funkcija (VIPF). Tai signalas, kurį gauname sistemos išėjime, kai į jį paduodamas vienetinis impulsas. Skirtingų sistemų reakcijos į vienetinį impulsą visada skirtingos, todėl jų VIPF skirtingos. Bet kokį impulso signalą (bet kokios amplitudės ir bet kokio vėlinimo) galime sudaryti iš vienetinio impulso pastumiant jį ir dauginant iš konstantos. Tarkim turime impulso signalą a[n], kurio
visos reikšmės lygios nuliui išskyrus 8-ą reikšmę, kuri lygi -3. Naudodami vienetinio impulso funkciją, signalą a[n] galime užrašyti taip: vienetinį impulsą pastumiame per 8 reikšmes į dešinę ir padauginame iš -3: a[n] = -3 [n-8]. pav6_ Jei į sistemos atsakas į vienetinį impulsą yra vienetinio impulso perdavimo funkcija h[n], tai sistemos atsakas (kitais žodžiais impulso perdavimo funkcija) į impulso signalą a[n] = -3 [n-8], pritaikius sistemos homogeniškumo ir invariantiškumo postūmiui savybes bus -3 h[n-8]. Vadinasi, sistemos IPF yra VIPF kuri padauginta iš konstantos ir pastumta laike. Apibendrinat, galime daryti išvadą, kad: ) bet kokį signalą galima išskaidyti į seką impulso signalų; 2) bet kurį impulso signalą galime gauti iš vienetinio impulso signalo dauginant jį iš konstantos ir pastumiant laike; 3) sistemos impulso perdavimo funkcija (IPF) lygi vienetinio impulso perdavimo funkcijai h[n], padaugintai iš konstantos ir pastumtai laike; 4) sistemos išėjimo signalas, kai jos įėjime veikia bet koks sudėtingas įėjimo signalas, gali būti gautas sudedat IPF. Sąsuka matematiniu požiūriu, tai formali operacija susidedanti iš sudėties, daugybos ir sumavimo operacijų. Sudėties operacija iš dviejų skaičių sudaro naują trečią skaičių, o sąsukos operacija iš dviejų signalų sudaro trečią signalą. Sąsukos panaudojimas parodytas pav6_2. Į sistemą, kurios atsakas į vienetinį impulsą h[n], patenka signalas x[n]. Sistemos išėjime gaunamas signalas y[n]. Matematiškai tai užrašoma x[n]*h[n] = y[n]. pav6_2 Žemo ir aukšto dažnio filtrų VIPF ir jų sąsukos su įėjimo signalu parodytos pav6_3. Žemo dažnio filtro įėjimo signalas sudarytas iš lėtai kintančios dalies vaizduojančios žemo dažnio signalą ir trijų sinuso periodų vaizduojančių aukšto dažnio dedamąją. Po įėjimo signalo sąsukos su filtro VIPF išėjime gauname signalą be aukšto dažnio dedamosios pav6_3a. Atlikus įėjimo signalo ir aukšto dažnio filtro VIPF susuką gauname signalą be žemo dažnio komponentės pav6_3b. Sąsukos operacijos rezultato reikšmių skaičius lygus įėjimo reikšmių ir VIPF reikšmių skaičių sumai Jei įėjimo signalo reikšmių skaičius 8, o VIPF reikšmių skaičius 30, tai sąsukos operacijos rezultato reikšmių skaičius bus.
pav6_3 Sąsukos operaciją galime nagrinėti dviem aspektais: ) įėjimo signalo atžvilgiu, t.y. nagrinėti vienos įėjimo signalo reikšmės įtaką visoms išėjimo signalo reikšmėms ir 2) išėjimo signalo atžvilgiu, t.y. kaip vieną išėjimo signalo reikšmę įtakoja visos įėjimo signalo reikšmės. Nagrinėsime pirmą atvejį. Devynių reikšmių įėjimo signalo ir keturių reikšmių h[] sąsukos, rezultatas yra dvylikos reikšmių išėjimo signalas parodytas pav6_5. Šiuo atveju atliekama įėjimo signalo dekompozicija į seką impulso funkcijų, kurios veikdamos įėjime, sistemos išėjime duoda seką IPF iš kurių sintezuojamas galutinis išėjimo signalas. Nagrinėjamu atveju, signalas išskaidomas į devynias impulso funkcijas, atliekamos devynios sąsukos operacijos su sistemos VIPF ir gaunamos devynios IPF funkcijos pav6_6, kurias sudėjus gaunamas išėjimo signalas y[n] pav6_5. Imkime signalo x[n] trečią reikšmę (skaičiuojant nuo nulio). Šią reikšmę atitinkanti impulso funkcija turės devynias reikšmes, iš kurių trečioji bus lygi 2, o likusios lygios nuliui. Šios impulso funkcijos sąsukos operacijos su h[n] (kitais žodžiais tariant su sistemos VIPF) rezultatas bus ne kas kita, kaip ta pati h[n] funkcija padauginta iš 2 ir pastumta į dešinę per tris pozicijas pav6_6_vidurinė-eilutė_pirmas grafikas. Analogiškai gaunamos visos devynios IPF, kurias sudėjus gaunamas išėjimo signalas. pav6_5 Nagrinėsime įėjimo signalo reikšmių įtaką vienai išėjimo reikšmei. Pažiūrėkime kaip gaunama išėjimo signalo y[n] šeštoji reikšmė pav6_5. Ši reikšmė lygi devynių IPF šeštų reikšmių sumai pav6_6.
Atidžiai pažiūrėjus į kiekvieną iš devynių IPF, matome, kad tik keturių IPF funkcijų reikšmės šeštoje pozicijoje nelygios nuliui. Vadinasi keturios įėjimo signalo reikšmės x[3], x[4], x[5] ir x[6] dalyvauja šeštosios išėjimo signalo reikšmės formavime: y[6]= x[3]h[3] + x[4]h[2] + x[5]h[] + x[6]h[0]. pav6_6 Sąsukos procedūra pavaizduota pav6_8. Paveiksle pavaizduotą kvadratą pavadinkime sąsukos mašina. Ji gali laisvai judėti į kairę ir dešinę puses. Tuo tarpu įėjimo ir išėjimo signalai nejuda. Sąsukos mašiną paslenkame taip, kad jos išėjimo rodyklė rodytų išėjimo signalo reikšmę kurią norime paskaičiuoti. Mašinos įėjimo išvadai atsiranda tiksliai prie tų įėjimo signalo reikšmių kurios reikalingos išėjimo reikšmei paskaičiuoti. Štai dabar sąsukos mašina įėjimo reikšmes daugina iš VIPF reikšmių, sandaugas sudeda ir išėjime pateikia signalo y šeštą reikšmę. Norint paskaičiuoti septintą išėjimo signalo reikšmę reikia mašiną pastumti per vieną poziciją į dešinę. Būtina pastebėti, kad nagrinėjamu atveju VIPF reikšmės išdėstytos atvirkščia tvarka. Kodėl? Tai matematinių išvedimų reikalas, kurio čia neaptarsime.