Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK

Διονύσιος Γ. Πυλαρινός Δρ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Τεχνολογίας Υπολογιστών, Παν. Πατρών Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK Ελεγχόμενοι ανορθωτές και AC ρυθμιστές Δέκα εργαστηριακές ασκήσεις σε MATLAB και SIMULINK Διαχείριση και απεικόνιση σημάτων Ρυθμός δειγματοληψίας, ενεργός και μέση τιμή Ανάλυση Fourier, φάσματα πλάτους και γωνίας Αρμονικές και ισχύς Η εργαλειοθήκη SimPowerSystems Ηλεκτρικά στοιχεία, όργανα και blocks Απλά κυκλώματα ανόρθωσης με διόδους Μονοφασικοί και τριφασικοί ελεγχόμενοι ανορθωτές (ενός, δύο, τριών, τεσσάρων και έξι παλμών) R, L, E d φορτία και συνδυασμοί τους Μονοφασικοί και τριφασικοί AC ρυθμιστές ΗΩΣ

Διονύσιος Γ. Πυλαρινός Δρ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Τεχνολογίας Υπολογιστών, Παν. Πατρών Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK Ελεγχόμενοι ανορθωτές και AC ρυθμιστές Δέκα εργαστηριακές ασκήσεις σε MATLAB και SIMULINK Διαχείριση και απεικόνιση σημάτων Ρυθμός δειγματοληψίας, ενεργός και μέση τιμή Ανάλυση Fourier, φάσματα πλάτους και γωνίας Αρμονικές και ισχύς Η εργαλειοθήκη SimPowerSystems Ηλεκτρικά στοιχεία, όργανα και blocks Απλά κυκλώματα ανόρθωσης με διόδους Μονοφασικοί και τριφασικοί ελεγχόμενοι ανορθωτές (ενός, δύο, τριών, τεσσάρων και έξι παλμών) R, L, E d φορτία και συνδυασμοί τους Μονοφασικοί και τριφασικοί AC ρυθμιστές ΗΩΣ

Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK Ελεγχόμενοι ανορθωτές και AC ρυθμιστές Έκδοση: Ηώς Πολιτιστικός Σύλλογος, Ήλιδος 16, Γαστούνη, 27300 email: contact@hws.org.gr Το παρόν σύγγραμμα διατίθεται σε ηλεκτρονική μορφή με ανοικτή πρόσβαση (open access) στην ιστοσελίδα του συλλόγου: hws.org.gr (direct link: http://hws.org.gr/books/ehimxms.pdf) ISBN 978-618-82223-0-4 Copyright Δ. Πυλαρινός, 2015 Διατίθεται με τύπο άδειας CC-BY 4.0 (Αναφορά Δημιουργού 4.0) όπως περιγράφεται στο http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ και αναλυτικότερα στο http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/legalcode Η άδεια CC-BY 4.0 (Αναφορά Δημιουργού 4.0) εμπίπτει στις άδειες Ελεύθερων Έργων Κουλτούρας (Free Cultural Works) όπως περιγράφονται στο http://creativecommons.org/freeworks This work is available under the CC-BY 4.0 license.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο αυτό απευθύνεται σε προπτυχιακούς φοιτητές ανώτατης εκπαίδευσης και ειδικά φοιτητές των Τεχνολογικών Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων. Εφαρμόζει μια δομημένη προσέγγιση κατά την οποία ο φοιτητής καλείται να εκτελέσει 10 διαφορετικές εργαστηριακές ασκήσεις, διάρκειας δύο διδακτικών ωρών, σε περιβάλλον MATLAB και SIMULINK. Η εκπαιδευτική προσέγγιση έχει ως κύριο στόχο να ωθήσει τον φοιτητή να εργαστεί χρησιμοποιώντας το λογισμικό από την πρώτη στιγμή για να εξοικειωθεί με βασικές αρχές, έννοιες και κυκλώματα των ηλεκτρονικών ισχύος. Γίνεται συνειδητή προσπάθεια αποφυγής εκτενής παρουσίασης του λογισμικού αλλά και του γενικότερου θεωρητικού υποβάθρου 1. Νέες έννοιες αλλά και λειτουργίες του λογισμικού εισάγονται σταδιακά, ώστε να διατηρηθεί το ενδιαφέρον, να αποφευχθεί η επανάληψη παρόμοιων βημάτων σε κάθε άσκηση και να μετριασθεί η ροή της πληροφορίας. Κάθε άσκηση ολοκληρώνεται με παράθεση των βασικών σημείων και των εκπαιδευτικών στόχων. Η προσέγγιση που περιγράφεται σε αυτό το βιβλίο ακολουθήθηκε κατά το χειμερινό εξάμηνο του 2014-2015 στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Τ.Ε. του ΤΕΙ Κρήτης 2. Στο τέλος του κύκλου των ασκήσεων, οι φοιτητές κλήθηκαν να απαντήσουν σε σχετικό ερωτηματολόγιο. Το διδακτικό πλάνο καθώς και μια πρώτη ανάλυση των απαντήσεων των φοιτητών στο ερωτηματολόγιο παρουσιάστηκαν στο Πανελλήνιο Συνέδριο Ηλεκτρονικής και Τηλεπικοινωνιών (Pan-Hellenic Conference on Electronics and Telecommunications - PACET) του 2015 3,4. Η ανάλυση των απαντήσεων έδειξε ότι, σύμφωνα με την κρίση των φοιτητών, η συγκεκριμένη προσέγγιση βελτίωσε σημαντικά τις γνώσεις και την ευχέρεια χρήσης του συγκεκριμένου λογισμικού αλλά και τις βασικές γνώσεις τους για θεμελιώδεις έννοιες και ζητήματα της ευρύτερης επιστήμης του ηλεκτρολόγου μηχανικού. Παράλληλα πέτυχε να αυξήσει σημαντικά το ενδιαφέρον τους για τον τομέα των ηλεκτρονικών ισχύος αλλά και για το χρησιμοποιούμενο λογισμικό. Σημαντικό ποσοστό των φοιτητών θεώρησε τις γνώσεις που αποκτήθηκαν χρήσιμες για άλλα μαθήματα, για την εξομοίωση άλλων κυκλωμάτων στο μέλλον και για την πτυχιακή τους εργασία. Το γενικότερο ποσοστό ικανοποίησης έφτασε το 90%. Δ. Πυλαρινός 1 για μια γρήγορη εισαγωγή στο αντικείμενο ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει και στις σχετικές βιντεο-διαλέξεις του συγγραφέα που αφορούν το μάθημα «Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος» στα πλαίσια του Προγράμματος Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων «Φωτοβολταϊκά Ενεργειακά Συστήματα» στον σύνδεσμο http://tinyurl.com/o3vapby. 2 το βιβλίο αυτό ουσιαστικά αποτελεί έκδοση των εργαστηριακών σημειώσεων που αλλού μπορεί να αναφέρονται με την βιβλιογραφική αναφορά: «Δ. Πυλαρινός, Ηλεκτρονικά Ισχύος: Εργαστηριακές Σημειώσεις, ΤΕΙ Κρήτης, 2014-2015» 3 η σχετική εργασία παρατίθεται στο παράρτημα του βιβλίου. 4 θα ήθελα και από εδώ να ευχαριστήσω τους συν-συγγραφείς της συγκεκριμένες εργασίας (Κ. Σιδεράκη, Ε. Δρακάκη, Ι. Ανδρουλιδάκη), τους δύο πρώτους για την γενικότερη βοήθεια αλλά και την διασύνδεση με προηγούμενους κύκλους διδασκαλίας του μαθήματος στα ΤΕΙ Κρήτης και τον τελευταίο για την βοήθεια στην κατάρτιση του ερωτηματολογίου και στην επεξεργασία των αποτελεσμάτων.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: Βασικές γνώσεις MATLAB-Κατασκευή, σχεδίαση και χειρισμός σημάτων, ημιτονοειδή σήματα και ενεργές τιμές... 1 1.1 Πράξεις.. 1 1.2 Ονοματοδοσία μεταβλητών, η μεταβλητή ans... 1 1.3 Σήματα και πίνακες.. 3 1.3.1 Ορισμός πινάκων, ονοματοδοσία, πράξεις και ανάστροφος 3 1.3.2 Πράξεις με χρήση τελείας. 4 1.3.3 Δημιουργία σημάτων με χρήση του συμβόλου άνω και κάτω τελείας. 4 1.3.4 Η εντολή whos.. 5 1.3.5 Μιγαδικοί αριθμοί και διανύσματα (complex). 6 1.3.6 Διανύσματα μεγάλου αριθμού στοιχείων (πραγματικά σήματα), χρόνος και συχνότητα δειγματοληψίας Τs.... 6 1.3.7 Επιλογή και χρήση στοιχείων διανύσματος η εντολή length.7 1.3.8 Σχεδιασμός (γραφικές παραστάσεις) - η εντολή plot... 8 1.3.9 Σχεδιασμός ημιτόνου, ο αριθμός π... 10 1.4.1 Σήματα σε ΜΗΚ... 10 1.4.2 Σχεδιάζοντας τάση και ρεύμα σε αντίσταση (η εντολή hold).. 11 1.5 Υπολογίζοντας ενεργό και μέση τιμή σημάτων σε μη ΜΗΚ - κύκλωμα με αντίσταση και δίοδο-η εντολή trapz 11 1.6 Βασικά σημεία. 13 ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Αρμονικές και Ανάλυση Fourier... 14 2.1 Αρμονικές 14 2.2 Ανάλυση Fourier.. 14 2.3.1 Ανάλυση Fourier στη MATLAB Η εντολή fft Φάσματα... 15 2.3.2 Ανάλυση Fourier στη MATLAB Σχεδιάζοντας το φάσμα πλάτους... 17 2.3.3 Ανάλυση Fourier στη MATLAB Προσαρμογή (scaling) Φασμάτων 20 2.3.4 Συγκεντρωμένος κώδικας για σχεδιασμό φάσματος πλάτους.. 21 2.3.5 Υπολογισμός στοιχείων... 22 2.4 Αρμονικές και ενεργός τιμή. 23 2.5 Αρμονικές και ισχύς. 24 2.6 Λόγος αρμονικής παραμόρφωσης THD.. 27 2.7 Βασικά σημεία. 28 ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Βασικές γνώσεις SIMULINK (SimPowerSystems). 29 3.1.1 SIMULINK... 29 3.1.2 Εργαλειοθήκες, αναζήτηση και επιλογή block. 29 3.1.3 Αποθήκευση μοντέλων. 30 3.1.4 Τύπος αρχείων... 30 3.2.1 Η εργαλειοθήκη SimPowerSystems. 31 3.2.2 Το powergui block 31 3.3 Παράδειγματα.. 31 3.3.1 DC πηγή και αντίσταση αμπερόμετρο... 32 3.3.2 ΑC πηγή και αντίσταση RMS τιμή 33 3.3.3 ΑC πηγη και βολτόμετρο βήμα και τύπος αλγορίθμων επίλυσης.. 35 3.3.4 Πολυπλέκτες (mux), αποπολυπλέκτες (demux) και πολύμετρο (multimeter).. 37 3.3.5 Διαφορετικές ΑC πηγές Fourier ανάλυση. 38 3.4 Βασικά σημεία. 40 ΕΝΟΤΗΤΑ 4: Ανορθωτές με διόδους 41 4.1 To block της διόδου στο simulink snubber κύκλωμα... 41 4.2 To snubber κύκλωμα 41 4.3 Παράμετροι.. 42 4.4 Το measurement port (ακροδέκτης μετρήσεων).. 42 4.5 Αλγόριθμοι επίλυσης... 42 4.6 Ανορθωτές 42 4.6.1 Ανόρθωση μισού κύματος (ημιανόρθωση), RMS και μέση τιμή. 43 4.6.2 Ανόρθωση μισού κύματος (ημιανόρθωση), τάση στα άκρα της διόδου.. 44 4.6.3 Ανόρθωση πλήρους κύματος με γέφυρα.. 44 4.6.4 Ανόρθωση πλήρους κύματος με χρήση Μ/Σ 45 4.6.5 Ωμικό φορτίο με πηγή τάσης Ed... 45

4.6.6 Ωμικό επαγωγικό φορτίο... 46 4.6.7 Μεγάλη επαγωγή (ωl>>r), άπειρο πηνίο 48 4.6.8 Επίλυση με χρήση ιδανικών συνθηκών 48 4.7 Βασικά σημεία. 49 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Ελεγχόμενος ανορθωτής μισού κύματος (ενός παλμού).. 50 5.1 Ελεγχόμενοι ανορθωτές (controlled rectifiers) 50 5.2 Το θυρίστορ (thyristor) Αρχή λειτουργίας 50 5.3 Το thyristor block στο simulink... 50 5.4 Εισαγωγή παλμού με χρήση του pulse generator block.. 50 5.5 Απεικονίζοντας περισσότερα γραφήματα στο ίδιο scope 51 5.6 Δίνοντας ονόματα στα σήματα και προσαρμόζοντας τους άξονες στο scope. 51 5.7 Μαθηματικές πράξεις...52 5.8 Μεταφορά τιμών και σημάτων στην MATLAB.. 52 5.9.1 Ανορθωτής ενός παλμού με ωμικό φορτίο... 53 5.9.2 Ανορθωτής ενός παλμού με ωμικό επαγωγικό φορτίο. 55 5.9.3 Ανορθωτής ενός παλμού με ωμικό φορτίο και DC πηγή. 57 5.9.4 Ανορθωτής ενός παλμού με ωμικό επαγωγικό φορτίο και DC πηγή... 58 5.9.5 Ανορθωτής ενός παλμού με ωμικό επαγωγικό φορτίο και δίοδο ελεύθερης διέλευσης.. 58 5.10 Βασικά σημεία... 60 ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Ελεγχόμενος ανορθωτής πλήρους κύματος (δύο παλμών).. 61 6.1.1 Ωμικό φορτίο 61 6.1.2 Κυματομορφές τάσης και ρεύματος στο φορτίο και στα θυρίστορ.. 62 6.1.3 RMS και dc τιμές.. 63 6.2 Κυματομορφές για ωμικό-επαγωγικό φορτίο ασυνεχής αγωγή... 63 6.2.2 RMS και dc τιμές.. 65 6.2.3 Κυματομορφές για ωμικό-επαγωγικό φορτίο συνεχής αγωγή.. 65 6.3 R-L-Ed φορτίο, FWD.. 67 6.4 Βασικά σημεία. 67 ΕΝΟΤΗΤΑ 7: Ελεγχόμενος ανορθωτής τεσσάρων παλμών 68 7.1 Γενικά (ωμικό φορτίο). 68 7.2 Τα Goto και From blocks. 69 7.3 Κυματομορφές για ωμικό φορτίο 70 7.4 RMS και dc τιμές. 70 7.5 Ωμικό-επαγωγικό φορτίο. 70 7.5.1 Κυματομορφές για ωμικό-επαγωγικό φορτίο ασυνεχής αγωγή 71 7.5.2 Κυματομορφές για ωμικό-επαγωγικό φορτίο συνεχής αγωγή.. 72 7.6 Μετάβαση 72 7.7 Βασικά σημεία. 74 ΕΝΟΤΗΤΑ 8: Ελεγχόμενος τριφασικός ανορθωτής τριών παλμών... 75 8.1 Γενικά... 75 8.2 Ελεγχόμενος ανορθωτής τριών παλμών.. 75 8.3 Συνεχή και ασυνεχή αγωγή.. 76 8.4 Μοντελοποίηση στο simulink.. 77 8.5 Υπολογισμός crest factor (συντελεστής πλάτους ή συντελεστής κορυφής) 77 8.6 Υπολογισμός μέγιστης ανάστροφης τάσης (Peak Inverse Voltage ή PIV). 78 8.7 Κυματομορφή τάσης στο φορτίο ωμικό φορτίο... 78 8.8 Μέση και RMS τιμή της τάσης στο φορτίο. 80 8.9 Τάση στα άκρα των θυρίστορ.. 80 8.10 Το add block...81 8.11 Κυματομορφές συνολικά... 82 8.12.1 Ωμικό επαγωγικό φορτίο συνεχή αγωγή.. 83 8.12.2 Ωμικό επαγωγικό φορτίο ασυνεχή αγωγή... 84 8.13 Βασικά σημεία... 86 ΕΝΟΤΗΤΑ 9: Ελεγχόμενος τριφασικός ανορθωτής έξι παλμών 87 9.1 Γενικά (ωμικό φορτίο). 87 9.2 Συνολική δημιουργία παλμών Synchronized 6-Pulse Generator block 89 9.3 Μοντελοποίηση στο simulink Αναλυτικά 91 9.4 Μοντελοποίηση στο simulink Το Universal Bridge block... 91 9.5 Το Gain block...92 9.6 Δημιουργία Υποσυστημάτων (Subsystems) 93

9.7.1 Ωμικό φορτίο - Τάση στο φορτίο. 94 9.7.2 Ωμικό φορτίο - Ρεύματα και τάσεις στα άκρα των θυρίστορ... 95 9.7.3 Ωμικό φορτίο - Ρεύματα στις φάσεις 96 9.8.1 Ωμικό-επαγωγικό φορτίο.. 96 9.8.2 Συνεχή-ασυνεχή αγωγή (ωμικό-επαγωγικό φορτίο). 97 9.9.1 Πηγή ρεύματος στο φορτίο το Controlled Current Source block.. 98 9.9.2 Πηγή ρεύματος στο φορτίο Κυματομορφές...99 9.9.3 Πηγή ρεύματος στο φορτίο Μετάβαση.. 100 9.10 Βασικά σημεία... 101 ΕΝΟΤΗΤΑ 10: AC Μετατροπείς... 103 10.1 Γενικά. 103 10.2 Υλοποίηση στο SIMULINK Κυματομορφές (ωμικό φορτίο) 103 10.3 Ωμικό επαγωγικό φορτίο... 105 10.4.1 Τριφασικοί AC μετατροπείς Γενικά.... 107 10.4.2 Τριφασικοί AC μετατροπείς Φάσεις λειτουργίας 108 10.5 Το Transport Delay block.. 110 10.6.1 Κυματομορφές Φάση 1 111 10.6.2 Κυματομορφές Φάση 2 112 10.6.3 Κυματομορφές Φάση 3 113 10.7 Βασικά σημεία... 114 Παράρτημα: D. Pylarinos, I. Androulidakis, K. Siderakis, E. Drakakis, "A Matlab/Simulink Approach for a First Course in Power Electronics", 3rd Panhellenic Conference on Electronics and Telecommunications, Ioannina, Greece, May 8-9, 2015... 115

Ενότητα 1: Βασικές γνώσεις MATLAB ΕΝΟΤΗΤΑ 1: Βασικές γνώσεις MATLAB-Κατασκευή, σχεδίαση και χειρισμός σημάτων, ημιτονοειδή σήματα και ενεργές τιμές 1.1 Πράξεις Οι βασικοί μαθηματικοί τελεστές στην MATLAB είναι οι : * + - / ^. Ακολουθείται η γνωστή σειρά των πράξεων ενώ μπορεί να χρησιμοποιηθεί απεριόριστος αριθμός παρενθέσεων. Να σημειωθεί ότι το σύμβολο ^ χρησιμοποιείται για την ύψωση σε δύναμη (οπότε το 3 2 συμβολίζεται ως 3^2) και η εντολή sqrt δίνει την ρίζα (οπότε το 2 θα δοθεί με το sqrt(2)). Παράδειγμα: >> 2^3/(1+3) ans = 2 1.2 Ονοματοδοσία μεταβλητών, η μεταβλητή ans Πέρα από την προφανή χρήση των τελεστών, όπως φαίνεται παραπάνω, το αποτέλεσμα κάθε πράξης στην MATLAB αποθηκεύεται σε μια μεταβλητή με το όνομα ans (από το answer=απάντηση). Υπάρχει όμως και η δυνατότητα να καθορίσει ο χρήστης το όνομα της μεταβλητής: Παράδειγμα: >> x=2^3 x = 8 Ως όνομα μεταβλητής μπορεί να δοθεί ένα μόνο γράμμα αλλά και περισσότεροι αλφαρηθμιτικοί χαρακτήρες (γράμματα και αριθμοί) αλλά και ορισμένα σύμβολα. Σύνηθες είναι να χρησιμοποιείται το σύμβολο _ αντί για το κενό. Παράδειγμα: >> metabliti_1=2^3 metabliti_1 = 8 Αν ο χρήστης δεν επιθυμεί η MATLAB να του δείξει το αποτέλεσμα τότε αρκεί να προσθέσει ένα ελληνικό ερωτηματικό στο τέλος της εντολής. Για να δει την τιμή της μεταβλητής αργότερα αρκεί απλά να πληκτρολογήσει το όνομά της ή να χρησιμοποιήσει την εντολή disp (από το display) με όρισμα το όνομα της μεταβλητής (δλδ το disp(x) θα δώσει την τιμή της μεταβλητής x) Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK - 1 -

Ενότητα 1: Βασικές γνώσεις MATLAB Παράδειγμα: >> x1=2^3; >> x2=2*x1; >> x1 x1 = 8 >> x2 x2 = 16 >> disp(x2) 16 Παρατήρηση 1: η όποια μεταβλητή αποθηκεύεται από την MATLAB για να μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια. Αν χρησιμοποιηθεί περισσότερες της μίας φοράς, τότε συγκρατείται η τελευταία τιμή της. H MATLAB θεωρεί κάτι τέτοιο ως φυσιολογικό και δεν θα εμφανίσει κάποιο μήνυμα σφάλματος ή σχετική προειδοποίηση. Παράδειγμα >> x1=5; >> x1=6; >> disp(x1) 6 Παρατήρηση 2: επειδή η MATLAB είναι μια γλώσσα ανωτέρου επιπέδου, σχεδιασμένη ώστε να είναι φιλική προς το χρήστη η οποία παρέχει «έτοιμες» αρκετές εντολές/ρουτίνες, ο χρήστης πρέπει να είναι προσεκτικός ώστε να μην προσπαθήσει να χρησιμοποιήσει κάποιες από αυτές ως όνομα μεταβλητών. Για παράδειγμα η εντολή date εμφανίζει την τρέχουσα ημερομηνία. Υπάρχει όμως η δυνατότητα να δοθεί η λέξη date σαν όνομα μεταβλητής. Τέτοιες πρακτικές καλό είναι να αποφεύγονται έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η σωστή λειτουργία του κώδικα. Ο εύκολος τρόπος να εξετασθεί αν μια λέξη χρησιμοποιείται ήδη από την MATLAB, είναι να χρησιμοποιηθεί η εντολή help η οποία επιστρέφει την βασική περιγραφή της εντολής που την ακολουθεί. Παράδειγμα: >> help date DATE Current date as date string. S = DATE returns a string containing the date in dd-mmm-yyyy format. See also now, clock, datenum. Reference page in Help browser doc date - 2 - Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK

Ενότητα 1: Βασικές γνώσεις MATLAB Πιο αναλυτική περιγραφή οποιασδήποτε εντολής δίνεται με την χρήση της εντολής doc που ανοίγει την σχετική σελίδα στη βοήθεια της MATLAB. 1.3 Σήματα και πίνακες Η MATLAB έχει πάρει το όνομά της από τις λέξεις MATrix LABoratory (Εργαστήριο Πινάκων). Πράγματι η ευκολία χρήσης πινάκων είναι από τα βασικά πλεονεκτήματά της. Βασικό μέρος της κατανόησης των βασικών κυκλωμάτων των ηλεκτρονικών ισχύος που θα εξετασθούν στα επόμενα εργαστήρια είναι η εξέταση διαφόρων κυματομορφών (π.χ. τάση εισόδου, εξόδου κλπ). Η οποιαδήποτε κυματομορφή στον ψηφιακό κόσμο προκύπτει στην ουσία από δύο διανύσματα τιμών που περιέχουν τις συντεταγμένες κάθε σημείου της κυματομορφής. Συνεπώς είναι χρήσιμο να δούμε ορισμένα βασικά σημεία που αφορούν την κατασκευή και τον χειρισμό πινάκων στην MATLAB. Να σημειωθεί ότι σύνηθες είναι να χρησιμοποιείται και ο όρος σήμα/σήματα για διανύσματα/πίνακες αλλά και ότι ένα διάνυσμα είναι ουσιαστικά ένας μονοδιάστατος πίνακας και έτσι αυτοί οι όροι μπορεί να εναλλάσσονται σε αυτό ή σε άλλα συγγράμματα. 1.3.1 Ορισμός πινάκων, ονοματοδοσία, πράξεις και ανάστροφος Η MATLAB αντιμετωπίζει τους πίνακες με παρόμοιο τρόπο με αυτόν που αντιμετωπίζει τις μεταβλητές όσον αφορά την ονομασία τους και τις βασικές μαθηματικές πράξεις. Επιπλέον προστίθενται τα εξής: 1. τα περιεχόμενα ενός πίνακα δίνονται μέσα σε αγκύλες 2. το κενό χρησιμοποιείται για να δοθεί επόμενο στοιχείο στην ίδια γραμμή 3. το ερωτηματικό χρησιμοποιείται για να σηματοδοτηθεί η αλλαγή γραμμής 4. ο τόνος χρησιμοποιείται για να δώσει τον ανάστροφο ενός πίνακα Παράδειγμα: >> x1=[1 2] x1 = 1 2 >> x2=[3; 4] x2 = 3 4 >> x1' ans = 1 2 Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK - 3 -

Ενότητα 1: Βασικές γνώσεις MATLAB Πράξεις μεταξύ πινάκων γίνονται με τους ίδιους τελεστές προϋποθέτοντας ότι είναι δυνατές. Αν όχι, η MATLAB επιστρέφει σχετικό μήνυμα σφάλματος Παράδειγμα: >> x1=[1 2]; >> x2=[3; 4]; >> x3=x1*x2 x3 = 11 >> >> x4=x1'*x2??? Error using ==> mtimes Inner matrix dimensions must agree. 1.3.2 Πράξεις με χρήση τελείας Εξαιρετικά σημαντική είναι η δυνατότητα που δίνει η MATLAB να γίνουν πράξεις για κάθε στοιχείο του πίνακα. Για να γίνει κάτι τέτοιο αρκεί να γραφεί μια τελεία πριν τον αντίστοιχο τελεστή. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι θέλουμε ένα νέο διάνυσμα που κάθε στοιχείο του να είναι το τετράγωνο των στοιχείων του διανύσματος x1. Αν όμως δώσουμε x1^2 τότε η MATLAB θα προσπαθήσει να πολλαπλασιάσει έναν πίνακα διαστάσεων 1x2 με τον εαυτό του (δλδ έναν πίνακα πάλι 1x2) και προφανώς θα δώσει σφάλμα. Αντίθετα με την χρήση της τελείας η ύψωση γίνεται για κάθε στοιχείο του διανύσματος ξεχωριστά. Παράδειγμα: >> x1=[1 2]; >> x1^2??? Error using ==> mpower Matrix must be square. >> x1.^2 ans = 1 4 Η δυνατότητα αυτή είναι ιδιαίτερα σημαντική για τον χειρισμό ψηφιακών σημάτων που αφορούν φυσικά μεγέθη μετρούμενα στον χρόνο. Για παράδειγμα αν υπάρχουν καταγραφές στιγμιαίων τιμών τάσης και ρεύματος, εύκολα έτσι μπορεί να υπολογιστεί η στιγμιαία ισχύς (το γινόμενο τάσης και ρεύματος κάθε χρονική στιγμή). 1.3.3 Δημιουργία σημάτων με χρήση του συμβόλου άνω και κάτω τελείας Για να κατασκευαστούν απλά σήματα με πολλές τιμές, δίνεται η δυνατότητα χρήσης του συμβόλου άνω και κάτω τελείας : με δύο τρόπους. - 4 - Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK

Ενότητα 1: Βασικές γνώσεις MATLAB Πρώτος τρόπος Η MATLAB δίνει την δυνατότητα μαζικής ανάθεσης τιμών σε σύνολο στοιχείων ενός σήματος. Η τιμή μπορεί να είναι σταθερή, να ανατίθεται από μαθηματική παράσταση κλπ Παράδειγμα: >> x(1:3)=1; x(4:6)=2; >> disp(x) 1 1 1 2 2 2 Δεύτερος τρόπος Εκτός από το να ορίσει το σύνολο των σημείων, μπορεί να ορίσει και τις τιμές Παράδειγμα: >> pin1=1:6 pin1 = 1 2 3 4 5 6 Κατασκευάζεται έτσι ένα διάνυσμα με 6 τιμές με αρχική τιμή την τιμή 1 και τελική τιμή την τιμή 6 και βήμα την μονάδα. Για να καθοριστεί η τιμή του βήματος αρκεί να εισαχθεί άλλο ένα πεδίο ανάμεσα στην αρχική και την τελική τιμή. Έτσι, η γενική λογική είναι: ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ=ΑΡΧΙΚΗ ΤΙΜΗ:ΒΗΜΑ:ΤΕΛΙΚΗ ΤΙΜΗ. Εφόσον δεν καθοριστεί η τιμή του βήματος, η MATLAB υποθέτει ότι το βήμα έχει την τιμή 1 (όπως στο παραπάνω παράδειγμα). Το βήμα όμως μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή (και αρνητική). Παράδειγμα: >> pin2=1:2:6; >> disp(pin2) 1 3 5 >> pin3=9:-1:7; >> disp(pin3) 9 8 7 >> pin4=0:0.01:0.05 >> disp(pin4) 0 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 Παρατήρηση: προφανώς και μπορεί να γίνει συνδυασμός των δύο τρόπων. 1.3.4 Η εντολή whos Ειδικά σε περιπτώσεις διανυσμάτων που περιέχουν μεγάλο αριθμό στοιχείων είναι σημαντικό να έχουμε την πληροφορία του ακριβούς αριθμού των στοιχείων. Αν έχει Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK - 5 -

Ενότητα 1: Βασικές γνώσεις MATLAB επιλεγεί στην εμφάνιση του GUI της MATLAB να δίνεται και το παράθυρο που εμφανίζει της μεταβλητής του χώρου εργασίας (workspace) τότε εκεί μπορούν να εντοπιστούν οι συγκεκριμένες πληροφορίες. Η προσέγγιση αυτή παρουσιάζει διάφορες αδυναμίες και το ορθότερο είναι να χρησιμοποιείται η εντολή whos. Η εντολή αυτή εμφανίζει πληροφορίες είτε για όλες τις μεταβλητές που υπάρχουν στην μνήμη (αν δοθεί απλά whos) ή για συγκεκριμένες μεταβλητές που θα γράφονται μετά την whos. Η σύνταξή της σε αυτή την περίπτωση θα είναι whos metabliti1 metabliti2 κ.ο.κ. Η σημασία της πληροφορίας αυτής θα γίνει πιο κατανοητή στην συνέχεια. Παράδειγμα: >> t=1/5000:1/5000:1; >> whos t Name Size Bytes Class Attributes t 1x5000 40000 double 1.3.5 Μιγαδικοί αριθμοί και διανύσματα (complex) Η MATLAB Μπορεί να χειριστεί και μιγαδικούς αριθμούς και διανύσματα. Για το φανταστικό μέρος μπορεί να χρησιμοποιηθεί είτε το i είτε το j. Σε περίπτωση μιγαδικού αριθμού ή διανύσματος, στα αποτελέσματα της εντολής whos θα συμπεριληφθεί και ο χαρακτηρισμός complex. Παράδειγμα: >> x=3+5j >> disp(x) 3.0000 + 5.0000i >> x=3+5j >> disp(x) 3.0000 + 5.0000i >> y= [x 2-j] >> disp(y) 3.0000 + 5.0000i 2.0000-1.0000i >> whos x y Name Size Bytes Class Attributes x 1x1 16 double complex y 1x2 32 double complex 1.3.6 Διανύσματα μεγάλου αριθμού στοιχείων (πραγματικά σήματα), χρόνος και συχνότητα δειγματοληψίας Τs Η χρησιμότητα της γραφής που περιγράφηκε στην παράγραφο 1.2.3 γίνεται πιο προφανής όταν υπάρχει ανάγκη δημιουργίας σημάτων (διανυσμάτων) με μεγάλο αριθμό στοιχείων. Ας υποτεθεί ότι θέλουμε να εξομοιώσουμε/σχεδιάσουμε την τιμή ενός στοιχείου συναρτήσει του χρόνου π.χ. την στιγμιαία τιμή μιας τάσης η οποία έχει συχνότητα 50Hz. Αυτό σημαίνει ότι έχει 50 περιόδους σε ένα δευτερόλεπτο και - 6 - Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK

Ενότητα 1: Βασικές γνώσεις MATLAB αν υποθέσουμε ότι χρησιμοποιούμε μόλις 100 σημεία για να σχεδιάσουμε μία περίοδο (αριθμός που είναι πολύ μικρός), τότε σημαίνει ότι χρειαζόμαστε 5000 σημεία για να σχεδιάσουμε την τάση για ένα δευτερόλεπτο. Το διάνυσμα που περιέχει τις διαφορετικές τιμές του χρόνου για αυτό το διάστημα μπορεί εύκολα να κατασκευασθεί ως εξής: >> t=1/5000:1/5000:1; Παρατήρηση 1: Ο προσεκτικός αναγνώστης θα παρατήρησε ότι το διάνυσμα του χρόνου t έχει σαν αρχική τιμή την 1/5000 και όχι την 0. Αυτό συμβαίνει γιατί ως τελική τιμή έχει επιλεγεί το 1. Αν ο χρόνος ορίζονταν ως t=0:1/5000:1; τότε τα στοιχεία του διανύσματος θα ήταν 5001 και όχι 5000. Αυτό συμβαίνει γιατί τότε θα είχαν ληφθεί υπόψη 50 περιόδους + 1 σημείο. Το ορθό είναι είτε t=1/5000:1/5000:1; είτε t=0:1/5000:1-1/5000; Παρατήρηση 2: Αν ακολουθηθεί η αντίστροφη λογική και υποτεθεί ότι υπάρχει ένα καταγραφικό σύστημα (DAQ) που καταγράφει με ένα συγκεκριμένο ρυθμό μία μέτρηση (π.χ. το ρεύμα). Ο αριθμός των σημείων που θα καταγραφούν σε ένα δευτερόλεπτο δίνει τον ρυθμό δειγματοληψίας και συμβολίζεται συνήθως με Fs ενώ ο χρόνος ανάμεσα σε δύο καταγραφές καλείται χρόνος δειγματοληψίας και συμβολίζεται συνήθως με Ts, ισχύει δε ότι Fs=1/Ts. Η σημασία των παραπάνω εννοιών θα γίνει πιο κατανοητή σε επόμενο εργαστήριο όταν και θα παρουσιασθεί η ανάλυση Fourier. Για το παράδειγμα που εξετάζουμε ισχύει Fs=5000 και Τs=1/5000. Αν θέλουμε να εξομοιώσουμε αυτή την λειτουργία για ένα δευτερόλεπτο έχουμε δύο επιλογές, ουσιαστικά επιλέγοντας αν το σημείο που αντιστοιχεί στο 0, Τ, 2Τ κ.ο.κ. θα υποτεθεί ότι είναι το πρώτο σημείο μιας περιόδου ή το τελευταίο της προηγούμενης. Συγκεντρώνοντας τις παραπάνω πληροφορίες σε μορφή κώδικα, έχουμε τα παρακάτω (όπου τα διανύσματα t1 και t2 δίνουν τις δύο πιθανές προσεγγίσεις): Παράδειγμα: >> Fs=5000; >> Ts=1/Fs; >> t1=ts:ts:1; >> whos t1 Name Size Bytes Class Attributes t 1x5000 40000 double >> t2=0:ts:1-ts; >> whos t2 Name Size Bytes Class Attributes t2 1x5000 40000 double 1.3.7 Επιλογή και χρήση στοιχείων διανύσματος η εντολή length Για να δοθεί η τιμή ενός στοιχείου του διανύσματος αρκεί να δοθεί η θέση του μέσα σαν όρισμα της μεταβλητής που συμβολίζει το διάνυσμα. Για παράδειγμα το pin2(2) θα δώσει το δεύτερο στοιχείο του διανύσματος με το όνομα pin2. Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK - 7 -

Ενότητα 1: Βασικές γνώσεις MATLAB Παράδειγμα: >> pin2=1:2:6; >> disp(pin2) 1 3 5 >> pin2(2) ans = 3 Και φυσικά η τιμή αυτή μπορεί να ανατεθεί σε άλλη μεταβλητή, να χρησιμοποιηθεί σε μαθηματικές παραστάσεις κ.ο.κ. Παρατήρηση 1: Ιδιαίτερα χρήσιμη είναι και η δυνατότητα επιλογής όλων των στοιχείων μιας γραμμής ή μιας στήλης. Αν χρειάζεται να ανατεθεί σε μια μεταβλητή ο αριθμός των στοιχείων ενός διανύσματος χρησιμοποιείται η εντολή length. Παράδειγμα: >> x=[1 2;3 4] x = 1 2 3 4 >> x2=x(:,2) x2 = 2 4 >> x2=x(1,:) x2 = 1 2 >> length(x2) ans = 2 1.3.8 Σχεδιασμός (γραφικές παραστάσεις) - η εντολή plot Για να κατασκευασθεί η γραφική παράσταση (κυματομορφή) ενός σήματος (διανύσματος) αρκεί να χρησιμοποιηθεί η εντολή plot. Άρα π.χ. η εντολή plot(pin4) θα δώσει την γραφική παράσταση του διανύσματος με το όνομα pin4. Για κάθε - 8 - Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK

Ενότητα 1: Βασικές γνώσεις MATLAB σημείο θα χρησιμοποιηθούν ως συντεταγμένες η θέση (οριζόντιος άξονας) και η τιμή (κάθετος άξονας) κάθε στοιχείου. Δίνοντας όμως δύο διανύσματα σαν ορίσματα στην εντολή plot μπορούν να καθοριστούν οι συντεταγμένες κάθε σημείου. Ουσιαστικά το plot(x,y) σχεδιάζει γραφική παράσταση στην οποία το διάνυσμα x έχει τις τιμές του οριζόντιου άξονα και το διάνυσμα y τις τιμές του κάθετου άξονα. Προφανώς τα δύο διανύσματα πρέπει να έχουν τις ίδιες διαστάσεις. Σε αντίθετη περίπτωση η MATLAB θα εμφανίσει μήνυμα σφάλματος. Η εντολή plot δέχεται πλήθος άλλων ορισμάτων ενώ άλλες συνοδευτικές εντολές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να επιτευχθεί η επιθυμητή εμφάνιση του γραφήματος (>> help plot). Αν δεν χρησιμοποιηθούν επιπλέον ορίσματα τότε η plot θα εμφανίσει μια γραμμή μπλε χρώματος συνδέοντας όλα τα σημεία Παράδειγμα: >> x=[1 5];y=[4 2]; >> plot(x,y) Ο πλέον εύκολος τρόπος για να αλλάξει η εμφάνιση του γραφήματος είναι να επιλεγεί το εικονίδιο του βέλους και στην συνέχεια να γίνει διπλό κλικ σε όποιο στοιχείο επιθυμείται να αλλάξει η εμφάνισή του (άξονες, γράφημα κλπ). Χρήσιμη είναι και η επιλογή Export Setup (στο File) η οποία επιτρέπει συνολικές αλλαγές αλλά και εξαγωγή σε διαφορετικούς τύπους αρχείων με συγκεκριμένες προδιαγραφές. Χρησιμοποιώντας και τις υπόλοιπες δυνατότητες ο χρήστης μπορεί να κατασκευάσει ένα διάγραμμα όπως ακριβώς το επιθυμεί. Η λεπτομερής παρουσίαση των δυνατοτήτων της εντολής plot δεν συμπεριλαμβάνεται στους σκοπούς αυτού του εγχειριδίου αλλά οι εκπαιδευόμενοι μπορούν να συμβουλευθούν το help της MATLAB καθώς και πλήθος άλλων εγχειριδίων πολλά εκ των οποίων διατίθενται δωρεάν στο δίκτυο και στην ελληνική γλώσσα. Παρατήρηση: αν επιχειρηθεί να σχεδιασθεί ένα μιγαδικό διάνυσμα τότε υπενθυμίζεται ότι κάθε μιγαδικός (a+bj) αριθμός αντιστοιχεί στο σημείο (a,b) Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK - 9 -

Ενότητα 1: Βασικές γνώσεις MATLAB 1.3.9 Σχεδιασμός ημιτόνου, ο αριθμός π Είναι προφανές ότι στην μελέτη μεγεθών και κυκλωμάτων εναλλασσόμενης τάσης ιδιαίτερα θα συναντώνται συχνά ημιτονοειδή σήματα. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να σχεδιάσουμε την γραφική παράσταση της συνάρτησης ημ(x) ( sin(x) ) για μία περίοδο. H MATLAB έχει ενσωματωμένες τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, τα ορίσματα των οποίων δέχεται όμως σε ακτίνια. Ο αριθμός π συμβολίζεται στην MATLAB ως pi. Παράδειγμα: >> pi ans = 3.1416 >> x=0:pi/180:2*pi; >> plot(sin(x)) Παρατήρηση 1: στο παραπάνω παράδειγμα ένα απλό whos x θα δείξει ότι το διάνυσμα x περιέχει 361 στοιχεία (και όχι 360). Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί; Πως θα διορθώνατε τον κώδικα; Παρατήρηση 2: η MATLAB δίνει την δυνατότητα εύκολης μετατροπής μοιρών σε ακτίνια με την εντολή deg2rad. Έτσι αντίστοιχο αποτέλεσμα θα έδινε ο κώδικας: >> x=0:360; >> plot(sin(deg2rad(x))) 1.4.1 Σήματα σε ΜΗΚ Προσεγγίζοντας περισσότερο την ηλεκτρική πλευρά ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να σχεδιάσουμε ένα σήμα (π.χ. μια τάση) σε μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση (ΜΗΚ). Γενικά ένα τέτοιο σήμα δίνεται από τον τύπο: 2 A = Aosinj= Aosin( wt) = Aosin(2pf t) = Aosin( p t) T όπου Α ο το πλάτος, f η συχνότητα και Τ η περίοδος. Η τάση του δικτύου στην Ελλάδα αντίστοιχα δίνεται από τον τύπο: vt ( ) = V0 sin( wt) = 2 Vrms sin( wt) = 2 230 sin(100 p t) Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να σχεδιάσουμε μία περίοδο αυτού του σήματος. Εφόσον η συχνότητα είναι 50 Hz, η μία περίοδος καλύπτει χρονικό διάστημα 1/50 ή 0.02 sec. Ο ρυθμός δειγματοληψίας θα καθορίσει και την ακρίβεια στην απεικόνιση. Ας υποτεθεί εδώ ότι ο ρυθμός δειγματοληψίας είναι 10kHz και άρα ο χρόνος δειγματοληψίας είναι 0.0001. Παράδειγμα: >> Ts=0.0001; >> t=0:ts:0.02-ts; >> v=230*sqrt(2)*sin(100*pi*t); >> plot(t,v) - 10 - Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK

Ενότητα 1: Βασικές γνώσεις MATLAB 1.4.2 Σχεδιάζοντας τάση και ρεύμα σε αντίσταση (η εντολή hold) Στην περίπτωση που χρειάζεται να κατασκευαστούν περισσότερες από μια συναρτήσεις που χρησιμοποιούν ίδιες μεταβλητές, συνήθως προτιμάται να δηλώνονται αυτές οι μεταβλητές στην αρχή του κώδικα ώστε να είναι εύκολη η επαναχρησιμοποίηση τους. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να σχεδιάσουμε την τάση και το ρεύμα πάνω σε μια αντίσταση 2 Ω. Παράδειγμα: >> Ts=0.0001; >> t=0:ts:0.02-ts; >> f=50; >> R=2; >> Vo=230*sqrt(2); >> w=2*pi*f; >> v=vo*sin(w*t); >> i=v/r; >> plot(t,v);hold on;plot(t,i) Current plot held Παρατήρηση 1: στον παραπάνω κώδικα χρησιμοποιήθηκε μια σωστότερη προγραμματιστικά (και φιλικότερη προς τον χρήστη) προσέγγιση καθώς οι σταθερές δηλώθηκαν στην αρχή του κώδικα με ονόματα παρόμοια με αυτά που χρησιμοποιούνται στην πραγματικότητα (στον «φυσικό» κόσμο) κάνοντας έτσι ευκολότερη την κατανόηση και τον έλεγχο του κώδικα Παρατήρηση 2: για να επιτραπεί ο σχεδιασμός δύο κυματομορφών στην ίδια γραφική χρησιμοποιήθηκε η εντολή hold (>> plot(t,v);hold on;plot(t,i)). Με το πρώτο plot ανοίχτηκε ένα γραφικό παράθυρο (Figure) ενώ με την εντολή hold on η MATLAB το «κράτησε» (εξ ου και το hold) και σχεδίασε την δεύτερη γραφική πάνω σε αυτό. Αν δεν είχε χρησιμοποιηθεί το hold on το δεύτερο plot θα «έσβηνε» το πρώτο με τον ίδιο τρόπο που η ανάθεση δεύτερης τιμής σε μια μεταβλητή «σβήνει» την πρώτη. 1.5 Υπολογίζοντας ενεργό και μέση τιμή σημάτων σε μη ΜΗΚ - κύκλωμα με αντίσταση και δίοδο-η εντολή trapz Ο γνωστός τύπος που συνδέει την μέγιστη τιμή με την ενεργό τιμή ( Xo Xrms 2 ) ενός μεγέθους ισχύει ΜΟΝΟ για μεγέθη σε ΜΗΚ. Η χρήση ηλεκτρονικών ισχύος έχει σαν αποτέλεσμα σήματα που δεν είναι σε ΜΗΚ. Για να υπολογιστεί η ενεργός και η μέση τιμή αυτών των σημάτων πρέπει να χρησιμοποιηθεί οι γενικοί τύποι: Για την ενεργό τιμή: αν έχουμε μία περίοδο του σήματος τότε αρκεί να υπολογιστεί η τετραγωνική ρίζα του εμβαδού που περικλείει η καμπύλη του τετραγώνου του σήματος διαιρεμένη με τον αριθμό των σημείων. T 1 2 X rms = x () t dt T ò 0 Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK - 11 -

Ενότητα 1: Βασικές γνώσεις MATLAB Για την μέση τιμή: αν έχουμε μια περίοδο του σήματος τότε αρκεί να υπολογιστεί το εμβαδό που περικλείει η καμπύλη και να διαιρεθεί με τον αριθμό των σημείων. 1 Xav = X = x() t dt T ò T 0 Οι υπολογισμοί αυτοί είναι εύκολο να γίνουν στην MATLAB. Για τον υπολογισμό του εμβαδού που περικλείει μία καμπύλη η MATLAB παρέχει αρκετές διαφορετικές εντολές/δυνατότητες, η απλούστερη και πιο κατανοητή αφορά την προσέγγιση μέσω αθροίσματος τραπεζίων που γίνεται με την εντολή trapz. Αν έχουμε πάνω από μία περιόδους τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ολόκληρο το σήμα και αντί για Τ να χρησιμοποιηθεί ο συνολικός αριθμός σημείων. Προφανώς για να προκύψει σωστό αποτέλεσμα πρέπει το σήμα να αποτελείται από ακέραιο αριθμό περιόδων Παράδειγμα: Ας υποθέσουμε ότι μια AC πηγή τάσης (π.χ. 230 V) συνδέεται σε σειρά με μια ιδανική δίοδο και μια αντίσταση (π.χ. R=10 Ω). Ποια θα είναι η ενεργός τιμή της τάσης και του ρεύματος στην αντίσταση; Το πρώτο βήμα είναι να κατασκευαστούν τα σήματα που μας ενδιαφέρουν. Στην παρούσα φάση δεν θα εξετασθεί το πώς μπορεί να επιλυθεί το κύκλωμα ώστε να προκύψουν τα ζητούμενα μεγέθη. Αντίθετα για λόγους απλότητας και εφόσον είναι γνωστή η λειτουργία του κυκλώματος, θα κατασκευαστούν απευθείας τα σήματα. Αρχικά ας υποθέσουμε ότι ο χρόνος δειγματοληψίας είναι Ts=0.0001 και ότι η μελέτη περιορίζεται σε μία περίοδο (0.02 sec). Άρα η περίοδος θα αποτελείται από 200 σημεία εκ των οποίων τα πρώτα 100 θα ανήκουν στο ημίτονο ενώ τα επόμενα 100 θα έχουν μηδενική τιμή. Ο κώδικας παρατίθεται στην επόμενη σελίδα. Στον κώδικα παρατίθεται και η τιμή της RMS τάσης όπως προκύπτει από τα γνωστά από την θεωρία (>> disp(max(v1)/2) ). Παρατήρηση 1: από την θεωρία γνωρίζουμε ότι σε ιδανική ημιανόρθωση η ενεργός τιμής της τάσης εξόδου είναι V rms =V o /2 ενώ η μέση τιμή της είναι ίση με V o /π. Παρατήρηση 2: όσον αφορά το ρεύμα, αρκεί να ληφθεί υπόψη ότι αφού το φορτίο είναι ωμικό σε κάθε χρονική στιγμή ισχύει ο νόμος του Ohm. Παρατήρηση 3: στον παραπάνω κώδικα χρησιμοποιείται ακρίβεια 4 δεκαδικών ψηφίων για αυτό και το 16.26346 έχει στρογγυλοποιηθεί από την MATLAB σε 16.2635. Αν επιθυμείται μεγαλύτερη ακρίβεια τότε πρέπει να χρησιμοποιηθεί η εντολή format (π.χ. format long) - 12 - Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK

Ενότητα 1: Βασικές γνώσεις MATLAB Παρατήρηση 4: στον παραπάνω κώδικα δεν έχουν υπολογιστεί οι μέσες τιμές τάσης και ρεύματος. Καθώς η διαδικασία είναι παρόμοια ο υπολογισμός αφήνεται σαν άσκηση στον εκπαιδευόμενο >> Ts=0.0001; >> t=0:ts:0.02-ts; >> f=50; >> R=10; >> w=2*pi*f; >> v1(1:100)=230*sqrt(2)*sin(w*t(1:100)); >> v1(101:200)=0; >> v1rms=sqrt(1/200*trapz(v1.^2)) v1rms = 162.6346 >> disp(max(v1)/2) 162.6346 > i1=v1/r; >> i1rms=sqrt(1/200*trapz(i1.^2)) i1rms = 16.2635 1.6 Βασικά σημεία Με το τέλος της συγκεκριμένης εργαστηριακής ενότητας, ο εκπαιδευόμενος θα πρέπει να έχει αποκτήσει οικειότητα με τα παρακάτω: βασικές εντολές σχεδίασης όπως οι plot, subplot, hold και να είναι ικανός να σχεδιάσει γραφήματα χειρισμό μεταβλητών, διανυσμάτων και πινάκων την έννοια του ρυθμού δειγματοληψίας και του χρόνου δειγματοληψίας την κατασκευή σημάτων στο πεδίο του χρόνου (δηλαδή συναρτήσει της μεταβλητής t) τον υπολογισμό ενεργής και μέσης τιμής με χρήση της εντολής trapz Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK - 13 -

Ενότητα 2: Αρμονικές και ανάλυση Fourier ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Αρμονικές και Ανάλυση Fourier 2.1 Αρμονικές Με τον όρο αρμονικές εννοούνται ημιτονοειδείς συναρτήσεις που έχουν συχνότητα ακέραια πολλαπλάσια της κύριας ή βασικής ημιτονοειδής συνάρτησης (η οποία καλείται θεμελιώδης ή πρώτη αρμονική). Για παράδειγμα αν η θεμελιώδης ή πρώτη αρμονική έχει συχνότητα 50Hz τότε η δεύτερη έχει 100Hz, η τρίτη έχει 150Hz κ.ο.κ. Αν χρησιμοποιήσουμε ένα γενικό συμβολισμό Α ν για την ν-οστή αρμονική τότε ισχύει: A=A 1 1msin( w1t) A2 = A2msin(2 w1t) = A2msin( w2t), projanώvw2 = 2w1 f2 = 2 f1 A3 = A3msin(3 w1t) = A2msin( w3t), antίstoica w3 = 3w1 f3 = 3 f1... A = A sin( kw t) = A sin( wt), antstoicaw ί = kw f = kf k km 1 km k k 1 k 1 2.2 Ανάλυση Fourier Η βασική ιδέα της ανάλυσης Fourier είναι ότι κάθε περιοδικό σήμα που τηρεί ορισμένες γενικές προϋποθέσεις μπορεί να παρασταθεί σαν άθροισμα ημιτονοειδών συναρτήσεων με πολλαπλάσιες συχνότητες (δλδ σαν άθροισμα αρμονικών). Δεν είναι στους σκοπούς της ενότητας να γίνει εκτενής παρουσίαση της σχετικής θεωρίας (Σειρών Fourier, Μετασχηματισμών Διακριτού και Συνεχούς κλπ). Ενδεικτικά, αν x(t) μια συνάρτηση στο πεδίο του χρόνου, ορίζεται η αντίστοιχη συνάρτηση x(ω) στο πεδίο της συχνότητας ως: 2p 1 x( w) = x+ å { ah cos( h wt) + bh sin( h wt)}, bh = x()sin( t h wt) d( wt) p ò, h= 1 2p 1 ah = x()cos( t h wt) d( wt) p ò, h = 1,2,..., 0 Αυτό που περιγράφει ο παραπάνω μαθηματικός ορισμός είναι ότι (σχεδόν) κάθε περιοδική συνάρτηση μπορεί να δοθεί ως το άθροισμα μίας σταθερής τιμής (η οποία είναι η μέση τιμή της συνάρτησης και καλείται και DC συνιστώσα) και ενός αριθμού (πιθανόν άπειρου) αρμονικών. Παρατήρηση 1: Το συγκεκριμένο θεώρημα έχει ιδιαίτερη σημασία στις ηλεκτρικές/ηλεκτρονικές εφαρμογές οι οποίες κατά κανόνα εμφανίζουν περιοδικότητα. Παρατήρηση 2: χρησιμοποιώντας την θεωρία Fourier μετασχηματίζουμε μια συνάρτηση από το πεδίο του χρόνου (π.χ. f(t)) στο πεδίο της συχνότητας (π.χ. F(ω)) (εξ ου και η διαδικασία ονομάζεται και μετασχηματισμός Fourier). Η αντίστροφη διαδρομή εξυπηρετείται μέσω του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier. Για τον -2p ifh ορθό μετασχηματισμό Fourier ένας ορισμός είναι: F( f) = ò f( t) e df 0 - - 14 - Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK

Ενότητα 2: Αρμονικές και ανάλυση Fourier Παρατήρηση 3: Η ακριβής υλοποίηση του μετασχηματισμού μπορεί να είναι υπερβολικά απαιτητική σε υπολογισμούς. Σε πραγματικά σήματα, η επεξεργασία σε ΗΥ αφορά προφανώς ψηφιακά σήματα (ή αλλιώς σήματα διακριτού χρόνου) και για τον υπολογισμό του μετασχηματισμού Fourier (ο οποίος καλείται Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier σε αυτή την περίπτωση) χρησιμοποιούνται ιδιαίτερα ταχύτεροι επαναληπτικοί αλγόριθμοι. Οι αλγόριθμοί αυτοί δίνουν τον Ταχύ Μετασχηματισμό Fourier (fast Fourier transform ή fft) Παρατήρηση 4: Στην πράξη όταν εξετάζουμε ένα πραγματικό διακριτό σήμα (π.χ. έχουμε μια σειρά μετρήσεων ή μια κυματομορφή) ακόμα και αν δεν γνωρίζουμε αν υπάρχει περιοδικότητα, πάλι μπορούμε να προχωρήσουμε στην ανάλυση του σήματος στο πεδίο της συχνότητας (δλδ στον Fourier μετασχηματισμό του), θεωρώντας το σύνολο του σήματος σαν μία περίοδο. Παρατήρηση 5: Στα ηλεκτρονικά ισχύος έχουμε προφανώς περιοδικά σήματα αλλά όχι καθαρά ημίτονα και ως εκ τούτου η χρησιμότητα της ανάλυσης Fourier είναι προφανής. Παρατήρηση 6: Αν το ζητούμενο ήταν να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος (ή αλλιώς η συνάρτηση στο πεδίο της συχνότητας) τότε αυτό που ουσιαστικά απαιτείται είναι να υπολογιστεί μια σειρά συντελεστών Παρατήρηση 7: Για τον υπολογισμό αυτών των συντελεστών η MATLAΒ χρησιμοποιεί την εντολή fft. Παρόλα αυτά η διαδικασία είναι ελαφρώς πιο πολύπλοκη και θα παρουσιασθεί λεπτομερώς σε αυτή την ενότητα. Παρατήρηση 8: Για ορισμένες ενδιαφέροντες οπτικοποιήσεις στρεφόμενων διανυσμάτων παρουσία αρμονικών και των κυματομορφών που προκύπτουν, ο αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει στο λήμμα της wikepedia: http://en.wikipedia.org/wiki/fourier_series 2.3.1 Ανάλυση Fourier στη MATLAB Η εντολή fft Φάσματα Η MATLAB παρέχει την συνάρτηση fft για τον υπολογισμό του μετασχηματισμού Fourier. Ο αλγόριθμος που υλοποιεί η συγκεκριμένη συνάρτηση περιγράφεται λεπτομερώς στο help της MATLAB. Παρατήρηση 1: σε περίπτωση που εξετάζουμε ένα πραγματικό σήμα, τότε πέρα από τις τιμές, απαιτείται και η γνώση του ρυθμού δειγματοληψίας για να εφαρμοστεί σωστά ο αλγόριθμος. Επειδή η διαδικασία είναι ελαφρώς πολύπλοκη θα παρουσιαστεί κατά βήματα, από την δημιουργία ενός σήματος μέχρι τον τελικό υπολογισμό του συχνοτικού (ή αρμονικού) περιεχόμενού του (δλδ τον Fourier μετασχηματισμό του) Αρχικά ας κατασκευάσουμε ένα σήμα, για παράδειγμα το: y = 230 2 hm(2 p 50 t) + 100 hm(2 p 150 t) με διάρκεια 0.1 sec, με ρυθμό δειγματοληψίας 2 khz Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK - 15 -

Ενότητα 2: Αρμονικές και ανάλυση Fourier Το συγκεκριμένο σήμα αποτελείται από την θεμελιώδη με συχνότητα 50 Hz και πλάτος περίπου 325.2 και την τρίτη αρμονική με πλάτος 100 και συχνότητα 150 Hz. >> Fs=2000; >> Ts=1/Fs; >> tmax=0.1; >> t=0:ts:tmax-ts; >> y1=230*sqrt(2)*sin(2*pi*50*t); >> y2=100*sin(2*pi*150*t); >> y=y1+y2; >> disp(230*sqrt(2)) 325.2691 Παρατήρηση 2: Για να γίνει πιο κατανοητή η χρησιμότητα του μετασχηματισμού Fourier μπορούν να υποτεθούν δύο σενάρια ιδιαίτερα απλουστευμένα ώστε να είναι εύκολα κατανοητά. Στο πρώτο ας υποθέσουμε ότι μετράται ένα ηλεκτρικό σήμα (π.χ. μια τάση) που θα έπρεπε να είναι καθαρό ημίτονο 50Hz και λαμβάνεται η παρακάτω γραφική (η οποία είναι η γραφική του y(t)). Η εξακρίβωση του συχνοτικού περιεχομένου μπορεί να δώσει χρήσιμες πληροφορίες π.χ. προς τον εντοπισμό/αντιμετώπιση μιας διαταραχής που προκαλεί την παραμόρφωση (δλδ την τρίτη αρμονική). Σε ένα δεύτερο σενάριο, ας υποθέσουμε ότι ένα τέτοιο σήμα αφορά π.χ. τηλεπικοινωνίες και γνωρίζουμε ότι το σήμα στην πηγή του απαρτίζεται από συγκεκριμένες συχνότητες αλλά κατά την μετάδοσή του προστίθεται θόρυβος σε αυτό. Η γνώση του συχνοτικού περιεχομένου μπορεί να βοηθήσει ώστε να αναγνωρίσουμε την αρχική πληροφορία αλλά και να εφαρμόσουμε κατάλληλα φίλτρα για να απαλλαγούμε από τον θόρυβο. Παρατήρηση 3: Το ζητούμενο λοιπόν είναι να καταλήξουμε σε ένα διάγραμμα πλάτους/συχνότητας (ή αλλιώς να δούμε το συχνοτικό φάσμα πλάτους) για τις διάφορες αρμονικές που περιέχονται στο σήμα σαν αυτό που παρατίθεται παρακάτω. Μέσα από αυτό το διάγραμμα μπορούμε να δούμε ότι υπάρχει ένα ημίτονο πλάτους 325.3 στα 50 Hz και ένα ημίτονο πλάτους 100 στα 150 Hz. Δηλαδή από την μετρούμενη κυματομορφή του πάνω σχήματος και την ανάλυση Fourier του κάτω σχήματος, μπορούμε να καταλήξουμε στον πλήρη μαθηματικό ορισμό του σήματος. - 16 - Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK

Ενότητα 2: Αρμονικές και ανάλυση Fourier Παρατήρηση 4: Το σύνηθες είναι αντί σημείων, το φάσμα να σχεδιάζεται με συνεχή γραμμή. Η ένωση των σημείων από την MATLAB (ανάλογα και με την διαθέσιμη ακρίβεια του οριζόντιου άξονα) μπορεί να δώσει την εντύπωση ύπαρξης και γειτονικών τιμών και γι αυτό αποφεύγεται στο παραπάνω διάγραμμα. Στην συνέχεια θα δοθούν παραδείγματα απεικόνισης και με συνεχή γραμμή ώστε να γίνει περισσότερο αντιληπτό. Επίσης αξίζει να σημειωθεί ότι σε πραγματικά (δηλαδή μετρούμενα) σήματα και λαμβάνοντας υπόψη θορύβους και προσεγγίσεις, το διάγραμμα που προκύπτει συνήθως δεν είναι τόσο «καθαρό» όσο το παραπάνω Παρατήρηση 5: Στο συγκεκριμένο παράδειγμα δεν υπάρχει διαφορά φάσης στις αρμονικές χάριν απλότητας. Θα μπορούσε όμως να υπάρχει οπότε θα έπρεπε να κατασκευασθεί και εξετασθεί και ένα δεύτερο αντίστοιχο σχήμα διαφοράς φάσης και συχνότητας (γνωστό και ως φάσμα φάσης ή φάσμα γωνίας) Συνεχίζοντας, ας δούμε τι θα επιστρέψει η εντολή fft: >> Y=fft(y); >> whos Y Name Size Bytes Class Attributes Y 1x200 3200 double complex! Όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη ενότητα, ο χαρακτηρισμός complex σηματοδοτεί μιγαδικό περιεχόμενο. Με άλλα λόγια η fft θα επιστρέψει ένα διάνυσμα 200 μιγαδικών στοιχείων (συντελεστών). Παρατήρηση 6: H fft επιστρέφει μιγαδικό διάνυσμα τόσων σημείων όσο και το αρχικό. Μπορεί να συνταχθεί με επιπλέον ορίσματα ώστε να επιστρέψει διαφορετικό αριθμό σημείων, αλλά αυτό ξεπερνάει τους σκοπούς της συγκεκριμένης ενότητας. 2.3.2 Ανάλυση Fourier στη MATLAB Σχεδιάζοντας το φάσμα πλάτους Αν επιχειρηθεί να σχεδιασθεί ένα μιγαδικό διάνυσμα με ένα plot (για το συγκεκριμένο παράδειγμα plot(y)) θα προκύψει ένα μάλλον ακατανόητο διάγραμμα αφού κάθε μιγαδικό στοιχείο θα αντιστοιχηθεί σε ένα σημείο και όλα τα σημείο θα ενωθούν βάσει της default λειτουργίας της εντολής plot. Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK - 17 -

Ενότητα 2: Αρμονικές και ανάλυση Fourier Στο συγκεκριμένο παράδειγμα θα έχουμε 200 σημεία και το διάγραμμα θα είναι: >> plot(y) Για να μετασχηματιστεί η πληροφορία σε πιο κατανοητή μορφή, πρέπει να σχεδιαστεί το μέτρο και η φάση κάθε μιγαδικού αριθμού. Για το μέτρο παρέχεται η εντολή abs ενώ για την φάση η εντολή angle. Στην προκειμένη περίπτωση δεν υπάρχει διαφορά φάσης σε κάποια αρμονική οπότε θα περιοριστούμε στο διάγραμμα του μέτρου. Άρα: >> plot(abs(y)) >> plot(abs(y)) Στο παραπάνω διάγραμμα είναι σημαντικό να γίνουν ορισμένες παρατηρήσεις: - 18 - Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK

Ενότητα 2: Αρμονικές και ανάλυση Fourier Παρατήρηση 1: Το διάγραμμα είναι συμμετρικό ως προς έναν κάθετο άξονα που διέρχεται από το μέσο του άξονα x. Ο διπλασιασμός αυτός σχετίζεται με την διαδικασία ψηφιοποίησης και εκφράζει έναν εκ των πραγμάτων περιορισμό, γνωστό ως Θεώρημα Nyquist (ή Nyquist-Shannon), το οποίο ουσιαστικά περιορίζει την δυνατότητα μελέτης στο πεδίο της συχνότητας στο μισό της συχνότητας δειγματοληψίας (αυτό το ποσό καλείται και συχνότητα Nyquist και προφανώς ισχύει F N =0.5 F S, όπου F N η συχνότητα Nyquist και F S η συχνότητα δειγματοληψίας). Παρατήρηση 2: ο οριζόντιος άξονας αφορά μεν συχνότητες αλλά όχι σε Hz. Η μονάδα την οποία χρησιμοποιεί σχετίζεται επίσης με την συχνότητα δειγματοληψίας και είθισται να αναφέρεται ως frequency bins (δλδ απλά «διαστήματα συχνοτήτων») Παρατήρηση 3: Το διάγραμμα που προκύπτει δίνει μεν κάποια ποιοτικά στοιχεία (π.χ. μπορεί κάποιος να αντιληφθεί ότι υπάρχουν δύο αρμονικές στο σήμα και μάλιστα μπορεί να δει την σχέση που έχουν τα πλάτης τους ή να εξακριβώσει την σχέση που συνδέει τις συχνότητές τους σε σχέση με την συχνότητα Nyquist και άρα την συχνότητα δειγματοληψίας). Το χρήσιμο όμως θα ήταν οι πληροφορίες αυτές να ήταν άμεσα κατανοητές από το διάγραμμα και να μην χρειάζονταν περαιτέρω αναγωγές. Απαιτείται λοιπόν η αναγωγή των αξόνων σε σωστή κλίμακα (διαδικασία γνωστή και ως scaling) Παρατήρηση 4: Αν και δεν είναι εμφανές με την πρώτη ματιά, περαιτέρω μεγέθυνση στην περιοχή του μηδενός δείχνει ότι το πρώτο σημείο του διαγράμματος δεν αντιστοιχεί στο μηδέν του οριζόντιου άξονα αλλά στο 1. Αυτό πηγάζει από το γεγονός ότι το πρώτο στοιχείο του διανύσματος αντιστοιχεί μεν στην τιμή 0 στον πραγματικό κόσμο αλλά το MATLAB σχεδιάζοντας θα το αντιστοιχήσει στην θέση του στο διάνυσμα (δηλαδή στην τιμή 1). Για την οπτικοποίηση των παραπάνω παρατηρήσεων δίνεται το παρακάτω σχήμα όπου έχει διατηρηθεί η default εμφάνιση των γραφημάτων όπως δίνεται από την MATLAB. zoom άξονας συμμετρίας Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK - 19 -

Ενότητα 2: Αρμονικές και ανάλυση Fourier 2.3.3 Ανάλυση Fourier στη MATLAB Προσαρμογή (scaling) Φασμάτων Ως πρώτη κίνηση, πρέπει το διάγραμμα να μετακινηθεί ένα σημείο προς τα αριστερά και να σχεδιασθεί το μέρος που αντιστοιχεί αριστερά από τον άξονα συμμετρίας. Για την μετακίνηση θα χρειαστεί να κατασκευαστεί ένα νέο διάνυσμα (εδώ θα ονομαστεί fb από το frequency bin) και να αντιστοιχηθεί το πρώτο στοιχείο του στην τιμή 0, το δεύτερο στην τιμή 1 κ.ο.κ. Παράδειγμα: >> fb(1:100)=0:99; >> plot(fb,abs(y(1:100))) Στο συγκεκριμένο διάγραμμα έχει γίνει κατάλληλη επεξεργασία ώστε να προκύψει η συγκεκριμένη απεικόνιση (σημεία, ετικέτες) κλπ. Προφανώς ένα απλό plot θα δώσει ως πρώτη απεικόνιση το σύνηθες διάγραμμα με την συνεχή μπλε γραμμή. Αυτή η τακτική θα ακολουθηθεί και στο επόμενο διάγραμμα. Από το παραπάνω διάγραμμα μπορούν να εξαχθούν τα παρακάτω συμπεράσματα: 1. στο σήμα περιέχονται δύο ημίτονα που το ένα έχει τριπλάσια συχνότητα από το άλλο (αφού το ένα αντιστοιχεί σε 5 frequency bins ενώ το άλλο σε 15 frequency bins) 2. το πλάτος του ενός είναι 3.25 φορές μεγαλύτερο από το πλάτος του άλλου 3. εφόσον είναι γνωστή η συχνότητα δειγματοληψίας (2000Hz) και άρα και η συχνότητα Nyquist (1000 Hz), μπορεί αναλογικά να εξαχθεί ότι η συχνότητα που αντιστοιχεί στο frequency bin 5 είναι 50 Hz και αυτή που αντιστοιχεί στο frequency bin 15 είναι 150 Hz 4. ο πλάτος των αρμονικών εμφανίζεται μεγαλύτερο από το ορθό κατά ένα παράγοντα ίσο με τον αριθμό των σημείων που συμμετέχουν σε αυτό και άρα ίσο με το μισό του συνολικού αριθμού σημείων του αρχικού σήματος (στο συγκεκριμένο παράδειγμα 100) Αν συμβολιστεί με fhz η συχνότητα σε hz τότε ο απαιτούμενος κώδικας για να αντιστοιχηθούν τα frequency bins σε hz (γενικά) είναι: >> fhz=fb*fs/ν - 20 - Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK

Ενότητα 2: Αρμονικές και ανάλυση Fourier Εδώ να σημειωθεί ότι ο ενδιάμεσος ορισμός του διανύσματος fb έγινε για την καλύτερη κατανόηση της διαδικασίας. Θα μπορούσε όμως να παραληφθεί και να οριστεί απευθείας το διάνυσμα συχνοτήτων σε Hz και ο κώδικας σε αυτήν την περίπτωση θα ήταν: >> N=length(y); >> fhz=0:fs/n:((n/2)-1)*(fs/n); >> plot(fhz, abs(y(1:n/2)/(n/2))) Παρατήρηση 1: με τον παραπάνω κώδικα γίνεται η μετακίνηση του γραφήματος ένα σημείο αριστερά και η αντιστοίχιση του οριζόντιου άξονα σε Hz Παρατήρηση 2: παράλληλα διαιρώντας με Ν/2 στο εσωτερικό της plot γίνεται και η απαραίτητη προσαρμογή στον κάθετο άξονα. Τα παραπάνω βήματα ακολουθήθηκαν ώστε να γίνει κατανοητός ο συνολικός κώδικας που απαιτείται για την ορθή εύρεση του μετασχηματισμού Fourier ενός σήματος στην MATLAB. Ο συγκεντρωμένος κώδικας ακολουθεί στην επόμενη παράγραφο. 2.3.4 Συγκεντρωμένος κώδικας για σχεδιασμό φάσματος πλάτους Αν συγκεντρωθούν τα παραπάνω βήματα χωρίς να αναλυθούν τα ενδιάμεσα τότε ο συνολικός κώδικας που δίνει το συχνοτικό διάγραμμα πλάτους μίας γνωστής συνάρτησης y, με γνωστό ρυθμό δειγματοληψίας Fs είναι: >> N=length(y); >> Y=fft(y)/(N/2); >> fhz=0:fs/n:((n/2)-1)*(fs/n); >> plot(fhz, abs(y(1:n/2))) Συγκεντρώνοντας ολόκληρο των κώδικα για το προηγούμενο παράδειγμα έχουμε: Παράδειγμα: Να γίνει ανάλυση Fourier του σήματος y=230*sqrt(2) sin(2π 50 t)+100 sin(2π 150 t) >> Fs=2000; >> Ts=1/Fs; >> tmax=0.1; >> t=0:ts:tmax-ts; >> y1=230*sqrt(2)*sin(2*pi*50*t); >> y2=100*sin(2*pi*150*t); >> y=y1+y2; >> N=length(y); >> Y=fft(y)/(N/2); >> fhz=0:fs/n:((n/2)-1)*(fs/n); >> plot(fhz, abs(y(1:n/2))) Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK - 21 -

Ενότητα 2: Αρμονικές και ανάλυση Fourier Παρατήρηση 1: στους παραπάνω κώδικες η διαίρεση με το μισό του συνόλου των στοιχείων (Ν/2) που είναι απαραίτητη για την προσαρμογή του κάθετου άξονα έγινε στην γραμμή που περιέχει την fft και όχι στο plot. Το αποτέλεσμα είναι προφανώς το ίδιο, απλά ακολουθήθηκε (και προτείνεται) αυτή η προσέγγιση καθώς δίνει περισσότερο ευανάγνωστο κώδικα Παρατήρηση 2: στην γενική περίπτωση (π.χ. κυματομορφή με άγνωστη γραφική παράσταση) θα έπρεπε να εργαστούμε ανάλογα ώστε να έχουμε και το συχνοτικό διάγραμμα φάσεων 2.3.5 Υπολογισμός στοιχείων Πρέπει να σημειωθεί ότι η προσαρμογή των αξόνων (scaling) δεν σημαίνει ότι έχει προσαρμοστεί το διάνυσμα αυτό καθαυτό. Για παράδειγμα αν ζητείται να βρεθεί η τιμή (σε Hz) κάποιας αρμονικής τότε πρέπει να αναζητηθεί η ανάλογη τιμή στο προσαρμοσμένο διάνυσμα (εδώ στο fhz δηλαδή). Παράδειγμα: Για το παραπάνω διάγραμμα να γραφεί κώδικας που να επιστρέφει την τιμή της αρμονικής με το μεγαλύτερο πλάτος >> [y1,x1]=max(abs(y(1:n/2))) >> disp(y1) 325.2691 >> disp(x1) 6 >> fhz(x1) ans = 50-22 - Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK

Ενότητα 2: Αρμονικές και ανάλυση Fourier Παρατήρηση 1: εδώ ακριβώς επειδή η διαίρεση με N/2 έχει γίνει νωρίτερα, κατά την κλήση της fft (και όχι στο plot), δίνεται σωστή τιμή σε ότι αφορά τον κάθετο άξονα (δλδ το πλάτος). Η τιμή του οριζόντιου άξονα που επιστρέφεται όμως αφορά frequency bins και όχι Hz. Για να δοθεί η τιμή σε Hz λοιπόν πρέπει να δοθεί η αντίστοιχη τιμή του προσαρμοσμένου διανύσματος (fhz) 2.4 Αρμονικές και ενεργός τιμή Μέρος των εφαρμογών των ηλεκτρονικών ισχύος είναι η μελέτη των δημιουργούμενων αρμονικών και της παραμόρφωσης που προκαλούν. Όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη ενότητα ο τύπος ( Xo = Xrms 2 ) που συνδέει την μέγιστη τιμή με την ενεργό τιμή ισχύει ΜΟΝΟ για μεγέθη σε ΜΗΚ, δηλαδή για «καθαρά ημίτονα». Αντίθετα όταν υπάρχουν αρμονικές ισχύει ότι η ενεργός τιμή του μεγέθους προκύπτει από την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων όλων των αρμονικών. Για παράδειγμα, για το ρεύμα παρουσία αρμονικών ισχύει: 2 Irms = å Ihrms h= 1 (εδώ εννοείται συμμετρικό AC ρεύμα) Παράδειγμα: Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε ότι πέρα από την θεμελιώδη αρμονική του ρεύματος (η οποία έχει πλάτος 10 Α) παρατηρείται και μία τρίτη αρμονική με μικρότερο πλάτος (π.χ. 15% του πλάτους της θεμελιώδους). Για να κατασκευαστούν τα σήματα αυτά αρκεί ο παρακάτω κώδικας: >> Ts=0.0001; >> t= Ts:Ts:0.02; >> f=50; >> w=2*pi*f; >> Io=10; >> i1=io*sin(w*t); >> i3=0.15*io*sin(3*w*t); Αυτό σημαίνει ότι η πραγματική κυματομορφή του ρεύματος θα είναι το άθροισμα των δύο ρευμάτων i 1 και i 3. Ποια θα είναι η ενεργός τιμή του συνολικού ρεύματος i 4 ; Βάσει του τύπου που αναφέρθηκε παραπάνω θα ισχύει: >> i4=i1+i3; >> i1rms=10/sqrt(2); (αριθμητική τιμή: (10 / 2 )=7.0711) >> i3rms=1.5/sqrt(2); (αριθμητική τιμή: (1.5 / 2 )=1.0607) >> i4rms=sqrt(i1rms^2+i3rms^2) i4rms = 7.1502 Εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Ισχύος με χρήση MATLAB και SIMULINK - 23 -