ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE

ŽILINSKÁ UNIVERZIA V ŽILINE SAVEBNÁ AKULA Ktedr geodéze VYROVNÁVACÍ POE II Uebý tet re študetov bláreho štúd odboru geodéz rtogrf WWW Prof. Ig. Ldlv Btterer CSc. 3

OBSAH......................................................................... Predhovor....................................................................... 3. BINOMICKÉ ROZDELENIE PRAVDEPODOBNOSI............................... 4. NORMÁLNE ROZDELENIE CHÝB.............................................. 9. Odvodee oráleho rozdele chýb z hotéz rových eleetárch chýb (od Hge)............................................................... 9. Norále rozdelee rvdeodobot............................................3 Alác oráleho rozdele chb........................................ 3.4 Itervlové odhd. Njväš ožá chb jväš dovoleá chb................. 6.5 Itervl ohlvot..........................................................7.6 Koštruc rv oráleho rozdele........................................ 8.7 Porove htogru ercých oetotí Guovou rvou.....................7. Súš orlt oocou ercých oetov................................7. Súš orlt oocou tredch oetotí.................................. 3. SUDENOVO t ROZDELENIE ( oužtí ercej tredej chb )........... 4 4. ZÁKON HROMADENIA SREDNÝCH CHÝB A ZÁKON HROMADENIA VÁH.... 6 5. VYROVNANIE PRIAMYCH MERANÍ.......................................... 9 6. SREDNÉ CHYBY........................................................ 3 6. Stredé chb rotredujúcch erí....................................... 3 6. Stredé chb odeových erí....................................... 3 7. VARIANNO KOVARIANNÁ MAICA..................................... 35 7. Hrodee chýb v leárej fuc............................................. 36 7.. Hrodee chýb v eleárej fuc......................................... 39 7. El chýb................................................................. 4 7.. Vjdree chb v olohe bodu.............................................. 4 7.. El olohovej chb rv olohovej chb.................................. 43 7..3 Prvdeodobo oloh bodu vútr el chb............................... 44 8. ESOVANIE HYPOÉZ..................................................... 47 8. Záldé oj............................................................. 47 8. et rvdeodobot r záej vrc záldého úboru........................ 49 8.3 et rvdeodobot r ezáej vrc záldého úboru...................... 5 8.4 etove hotéz o rovot vrcí dvoch orále rozdeleých záldých úborov. 5 8.5 etove hotéz o rovot tredých hodôt dvoch orále rozdeleých záldých úborov.................................................................... 5 8.6 Rozdelee χ............................................................... 54 8.7 Alýz vrcí........................................................... 55 9. REGRESNÁ A KORELANÁ ANALÝZA....................................... 6 9. Leár regre............................................................ 6 9. Neleár regre.......................................................... 63 9.3 Pretorová regreá lýz................................................... 66 9.4 Aroác bodového rdu fucou trgooetrcej rd (hrocá lýz)....... 68 9.5 Alýz oreláce........................................................... 7 9.6 Neleár orelác......................................................... 75. KOLOKÁCIA.............................................................. 76. KOMBINOVANÉ VYROVNANIE............................................. 83. Vrove odeových erí ezá................................ 83. Vrove rotredujúcch erí ode edz erý vel....... 87. VYUŽIIE IERANÝCH MEÓD PRI VYROVNANÍ A GEODEICKÝCH VÝPOOCH............................................................. 9. Iterý výoet úloh retí red uhol reeu γ g.................. 9. Iterý výoet oloeru ružcového oblú.................................. 9.3 Iterý výoet reeí r rvou.................................. 94.4 Rešee rozhlch téov rovíc.......................................... 95 LIERAÚRA................................................................ 96 ABUKY................................................................... 97

Predhovor Uebý tet Vrovávcí oet II je ureý re študetov bláreho štúd odboru geodéz rtogrf. Po edošlo ovác uebých láov bláreho štúd redet eór chýb vrovávcí oet bol jedoeetrový redeto. Zotvee študjých láov t b bolvet bláreho štúd v Žle ohl o jeho úešo uoeí ro orov v žero štúdu vždlo rehb robletu vrovávceho otu výubu tohto redetu uet do dvoch eetrov. Srtu Cebecuer D.: eór chýb vrovávcí oet obhuje záld vrovávceho otu. Bolo ho otrebé dol obhovo rozšír. Srtu vc obhuje t redetu Geodéz III. toré ú redášé oddelee. Uebý tet Vrovávcí oet II. eredtvuje ottý uebý tet le dolo u rtá doc. D. Cebecuer toré olu redtvujú eoddelteý celo. Študeto odorú oužív obdve študjé oôc v oboch eetroch výub. N rozšíree vedootého obzoru z roblet teóre chýb vrovávceho otu odorú etorú z uebíc uvedeých v zoze ltertúr. Uebý tet dovouje voe oírov rozožov. V Žle 3. rc 3. Ldlv Btterer 3

. BINOMICKÉ ROZDELENIE PRAVDEPODOBNOSI Ilutrácou vzu oráleho rozdele je bocé rozdelee. Bocé rozdelee vzá r oových ouoch ro de o jv ltertív (bu te lebo ete). V ádobe áe belu eru gulu. Prvdeodobo vthut belej gul (jv A) ozíe / rvdeodobo vthut erej gul (jv B jv A) ozíe q / ltí ted q. Urobíe hov z ebou ro gulu vžd o hu vložíe ä zov zeše. Prvdeodobot q ú r ouoch oštté výled ouov ú vzájoe ezávlé. Môžee dot teto ( ) rôze výled: bel gul (A) objví... -rát. Prvdeodobot všetých ožých výledov ére ouov zotvíe do rehdej tbu de áhodou velou bude oet jvov A. Poet ouov Možé vráce A B AA AB BA BB 3 AAA AAB ABA BAA ABB BAB BBA BBB Výt jvu A 3 Prvdeodobo vráce q q q q P 3 q q q q q q q 3 Pr jedo oue áe ožé výled. Mjú rvdeodobo P A P B q ch úet P q. Pr dvoch ouoch áe 4 ožé vráce vthut gule. Noec ezáleží ordí vthutých gule le ote belch. P AA P AB q ch úet P BB q 4

5 ( ). q q q P Pr 3 ouoch vzá 3 8 vrácí 3 P AAA 3 q P AAB 3 q P ABB 3 q P BBB 3 ch úet je ( ). 8 8 3 8 3 8 3 3 3 3 3 3 3 3 3 q q q q P. Kždý le rdu udáv rvdeodobo re te oet jvov A oo udáv octe u jeho rvdeodobot. Všeobece re ouov dotee bocý rd. ( ) q q q q q q (.) q q q q (.). P P P P P Všeobecý le bocého rdu á tvr ( ) ( ) q q P!!! de je celé ílo (.3) udáv rvdeodobo re hodotu áhodej vel že v ér ouov jv A objví -rát. Rd (.) dáv bocé rozdelee rvdeodobotí re áhodú velu t.j. udáv rvdeodobo výtu re ždú jej ožú hodotu. V rovc (.3) je ú q - eleetárou rvdeodoboou jedej vráce oetoou jvu je oet vrácí torý oeto uutouje. Zordeé oefcet rdu (.) dávjú re rôze zá etrcý Pclov trojuholí ch úet N ( ) je oto ožých výledov v ér hov. Koefcet N % : - 5-5 -- 4 5-5-5-3-3-3 8-38-38- -4-6-4-4 6 6--5-38-5 6-5---5-5 3 3-6 3-6-6-3 -6-5 -5-6- 6 64-9-3-3-3-9-

Kždéu otu oových ouov urtý rvdeodobot q rlúch ottý záldý úbor všetých ožých výledov urtý chrtertcý rozdeleí rvdeodobotí. Príld : V ádobe áe bele ere gul v oere 3:. Prvdeodo vthut belej gul (jv A) je reto 3/4 vthute erej (jv o A) q /4. Pre éru 4-och ouov ôžee dot jede z 5-ch rôzch ožých výledov ždý á ú rvdeodobo P() torú uríe od rovce (.): Poet belch gule v ér štroch ouov Prvdeodobo P() 3 4 (q) 4 q 4 4q 3 6 q 4 3 q 4 56 56 54 56 8 56 8 56 56 56 P() v % 4 47 4 3 Príld á chrterzuje eetrcé rozdelee rvdeodobot q (obr..). Obr... Bocé rozdelee rvdeodobot (eetrcá rvdeodobo) r 4 3 Súbor o etrcý rvdeodobo. Zvlášt ve dôležtý je ríd e rvdeodobot q ½ (obr..). Pou rový ožtvo belch erch gule re hod c re hod oc (áre ílo - eáré ílo) vte j v teór erých chýb. 6

q V toto ríde bocý rd (.) zjedoduší retože ú ú oštté ( q) (.4) P P P P P P. (.5) Prvdeodobo že vo výledu ére oových hov -rát objví jv A je dá leo P ( ). (.6) Koefcet ú zotveé v Pclovo trojuholíu tr. 4 ved eho ú j rvdeodobot P() vjdreé v ercetách. Stredá hodot re je E ( ) P( ). Obr... Setrcé bocé rozdelee rvdeodobotí Príld : Hádžee rz 6 c. S ou rvdeodoboou ôžee urtú oeto štátch zov? u 6 / oužjee oefcet v Pclovo trojuholíu: 3 4 5 6 Σ P( ) 64 6 64 5 64 P() v % 6 94 34 3 34 94 6 64 5 64 6 64 64 64 64 7

S rtúc oto ouov dotáv htogr tále zreteejší tvr hldej zvoovtej rv. to dotee re ojtú zvoovtú rvu rvu Guovu. Obdve jej vetv blíž totc o X loch vedzeá rvou oou X je vš oeá je %. eto ltý ríd vede -tzv. oráleu rozdeleu rvdeodobotí. Vrc áhodej vel Obr..3. Guov rv Jedotlvý ou ôže výledo rvdeodoboou P( ) lebo rvdeodoboou P( ) q. e té rvdeodobot budú odchýl výledov od tredej hodot E() o štvorce týchto odchýlo. Stredá hodot štvorc odchýl re jedotlvý ou je E ( ) E E( ) { } E( ) ( ) ( ) q q q qq q. q Pre ouov bude vrc úto vrcí z jedotlvých ouov z... V V V z... ( V ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) E{ E( ) } E( ) q V (.7) erodjá odchýl q. V ríde etrcého rozdele q /. V. (.8) 4 ( ) 8

9. NORMÁLNE ROZDELENIE CHÝB. Odvodee oráleho rozdele chýb z hotéz rových eleetárch chýb (od Hge) Zvoe ríd e utoá chb vzá o úet eleetárch chýb δ j rovej bolútej veot δ δ j le áhodého ze tže rto ultí ldých chýb ( ) záorých eleetárch chýb. Pre jedotlvé ot ldých chýb bude lt bocé rozdelee rvdeodobot re oových ouov q / (rová rvdeodobo re vz ldej lebo záorej eleetárej chb lóge hodu c). Sutoá chb jej rvdeodobo v toto ríde od (.6) ( ) ( ) j j δ δ δ δ ( ) P (.) odobe chb ( ) ldý eleetár chb jej rvdeodobo ( ) ( ) ( )δ δ δ ( ) P. (.) Dôz: Voítjte oefcet 3 6 4 6 o ( ) 6..3...3..3.4.5.6 3! 6 3! 6! 3 6 ( ) 5..3.4....3.4.5.6 4! 6 4! 6! 4 6. V eovtel e rdl ílo () 4 ubrl ílo (-) 3. (-) odtráe ueteí do tte. Itervlu ( ) ( ) δ δ δ (.3) trí tredá hodot chb ( ) ( ) ( ) ( ) ( )δ δ δ (.4) tredá hodot rvdeodobot ( ). P P P. (.5) Rozdel (rírto) rvdeodobotí je v tervle P P P. (.6) Z rovíc (.4) (.3) vlýv že

δ odel P P ( ) (.7) δ δ δ δ δ δ. (.8) Rovc (.8) vjdruje vzh edz rvdeodoboou jej rírto r oeo ote eleetárch chýb. K odvodeu rovce ojtej rv uíe olož úe δ (á b vzl eoee veé chb). Rovc (.8) zeí dferecálu rovcu re hutotu rvdeodobot jej rírto d d h d. (.9) δ Zvedl e reter reot δ oet veo eleetárch chýb δ ú oštté. Itegrácou rovce (.9) h torý je re všet chb ošttý retože j c h h lg h c e e C e ϕ( ) (.) e doel oráleu rozdeleu (rvdeodobot) áhodých chýb. Koeý tvr fuce hutot rvdeodobot áhodých chýb r E() je ϕ ( ) h C e. (.). Norále rozdelee rvdeodobot Bocé rozdelee ercé rozdelee oetých áhodých velí v rírode teche v oloeo žvote dávjú etrcé freveé olgó zvoovtého tvru toré djú dobre hrd etrcou tzv. Guovou rvou obecý ltcý výrzo re hutotu rvdeodobot h ( ) ( ) c C e f. (.) Pretre C h ú oštté re celý záldý úbor všetých ožých hodôt δ áhodej vel z (obr..). N obr.. c E() C trí úee c. Košttu C uríe z ode C e h ( c) c d d. d (.3) h Rešeí záldého tegrálu teóre chýb (.3) dotee ošttu C v tvre C. π Do rovce re vrcu V ( ) E( ) f ( ) d

z dodíe (-c) o vrešeí tegrálu dotee h h ( c) ( c) e d. π h Obr... ) reveá rv b) uá rv v orálo rozdeleí to e šl vzh edz retro reot h tredou vdrtcou odchýlou od tredej hodot h h. (.4) h Stredá vdrtcá odchýl (štdrd erodjá odchýl) E( E( ) ) je retro oráleho rozdele v rílušo záldo úbore. uc hutot rvdeodobot (freveá fuc) dote oeý tvr: { E( ) } h h { } f e. (.5) h h E( ) ( ) e e π Je výhodé zve štdrdú reeú ( ) π π E t E t ( ) t d dt E( ) (.6) t.j. odchýlu o tredej hodot E() vjdríe v áobu tredej vdrtcej odchýl tže štdrdá reeá je bezrozerá jej vrc E(t ). Poto f t 3989 ( t) e e e π t t. (.7)

t t uc e lebo e π tbeluje (tb. I tb. II). Suá (dtrbuá) fuc oráleho rozdele od rovce ( ) f ( ) obr..b u { E( ) } P(< u) e d (.8) π dáv rvdeodobo výtu eších hodôt v záldo úbore o u. Po zvedeí štdrdej { E( ) } reeej t d dt dotee uú fucu t t ({ E( ) } t ) e dt ( t) ( ) P. (.9) π Suá fuc (t) tbeluje (tb. III). Prvdeodobo že hodot áhodej vel v záldo úbore de do tervlu ( ) E( ) E( ) t P( < < ) (t ) - (t ) t tto ve rýchlo voít z tbu hodôt (t). Guov rv je dervá rv u rve uej. Rovo ožo tbelov fucu f ( t) (tb. V) oocou ch urov rvdeodobot v ubovoých tervloch. t dt t (tb. IV) lebo f ( t) t d dt Obr... Pôobee tetcej chb úbor erí Pôobee tetcej chb úbor erí. Zvoe ríd e ore áhodých eleetárch chýb δ o rovej bolútej veot δ ôobí ždé ere ešte ldá tetcá chb c. Výledé hodot ú δ c. O etre (ál ordc) grfu roujúcej Guovej rv rlúch terz E c tredá hodot E() c. erz r. od obr.. bude cetro rozdele ( ) E δ 5. Sutoé rozdelee rvdeodobot je dé tuovtý grfo. Neôže ho roov orále rozdelee (Guov rv) retro vrc ( ) c

( ) E( δ c) E( δ ) c c E (.) e b e o Y ouul o hodotu c. Guov rv ouutá o hodotu tetcej chb retro (tredou vdrtcou áhodou chbou) bude { E( )} E( c) E( ) ce( ) c E( ) c c E. (.) V toto ríde je celová chb zhrujúc j tetcú zložu ( - c) je áhodá zlož chb. Rozdelee rvdeodobot chýb bude terz vjdreé rovcou ϕ ( ) e π ( c) h h ( c ) e c E( ) (.) π E c c E δ E h de ( ) ( ) ( ) Záldý úbor utoých chýb á v toto ríde orále rozdelee retr N c E c. ( ( ) ) Pretro oráleho rozdele chýb eôže b tredá vdrtcá chb celová E( ) ú er zžeé tetcou chbou c le vžd le tredá vdrtcá E c (ureá z chýb zbveých tetcej zlož). chb áhodá ( )..3 Alác oráleho rozdele chb Prrodzeou ovhou erých chýb je že vzjú úto reelvých eleetárch chýb torých hodot ôžu áhode obov. Záldý úbor všetých ožých hodôt á rozdelee rvdeodobot blíze oráleu rozdeleu vted ú leé urté redold: ) eleetáre (dele) chb ú v lo ote ledujú rblže bocé lebo orále rozdelee (jú zhutee oetotí oolo tredej hodot) b) retre rozdele E() r erí rílš ee. Ide o oerú tbltu odeo er t.j. ld eleetárch chýb ch tredých hodôt (tetcé zlož) ch otu vrcí (reot er). Ze rôzorodých uí chýb rílš rôzou tetcou zložou rôzou tredou vdrtcou chbou odlšuje od oráleho rozdele. Veé odchýl od oráleho rozdele vzú v rídoch eej reých rítrojov álo dôrzého er lebo hrode tetcých chýb rovoerý rozdeleí výledej tetcej chb lebo r zej reelvot retrov rozdele r erí. Pretre rozdele chýb. Hodot X oderá v -to ožu je ureá δ torá vzl o -tá obác áhodých áhodou hodotou utoej chb ( j ) hodôt eleetárch chýb. Pode ltce v ožu er (vlt rítroj er jeho chcý tv teré tofércé oer t.) urujú doredu ftív záldý úbor ožých hodôt chýb é b ohl vzú obác všetých ožých hodôt eleetárch chýb. Z ch ultí le jed hodot ere. Pretre tohto oráleho záldého úboru (tred rozdele vrc) ú út retrov eleetárch chýb: 3

E( δ j ) c E( δ c ) j (.3) j j j j c c j j j de c je tred oráleho rozdele. Pretre rozdele u etorých eleetárch chýb ú závlé ožtých odech er toré ôžu e. Nr. ze telotých oerov zeí tredú hodotu refrce lebo tetcé chb rítroj zhoršee odeo er zväší vrcu chb c celeí lebo ítí od. lšeu eru rlúch ý orál záldý úbor ožých chýb ý retr c z torého áhode uutoí ere chbou. Záldý úbor ožých chýb v ovo rde oových erí rového druhu je ze záldých úborov rôz dvojc retrov c. A ebude ch vrc rílš veá bude to rblže orál úbor o tredý retr ( ) c E c toré zodovedjú tredý ode v dobe er celého rdu. Hutot rvdeodobot bude ϕ h π h ( c ) ( ) e ( c ) e π h (.4) E c E c c. de ( ) ( ) Rová reo er ( ošt.) zeá rový rítroj rovú etódu rové tredé ode v rde erí. Rôze veé chb ž vzjú áhodý tretutí eleetárch chýb rôzeho ze rôzej hodot. Urtéu tu rítroj etóde er rlúch celý záldý úbor ožtých retrov reot < < od eutále ecch odeo v e lebo retore. Nebudee uvžov tetcú zložu budee redold že eré chb ú E c E. Hutot rvdeodobot bude áhodé [ ( ) ( ) ] ϕ h h ( ) e e E( ) π π Zvedee štdrdú (bezrozerú) reeú t t ( t ) E. (.5) tže hodot chýb vjdríe v áobu tredej vdrtcej chb. uc hutot rvdeodobot o úrve bude t t 3989 ϕ ( ) e e e. (.6) π Suá (dtrbuá) fuc r d dt z z z t P dt e ( t < z) ( z) e d ϕ( t) π t π dt (.7) 4

je vjdreá lochou od Guovou rvou od - ž o hodotu obr..3). t z (šrfovú t uce e (z) tbelujú ttež lše fuce (obr..3 ): G ( z) z ϕ ( t) dt Φ( z) ( t) dt G( z) z ϕ. (.8) z Obr..3. Dtrbuá fuc vjdreá lochou od Guovou rvou Obr..4. Norále rozdelee r áhodých chbách Rovce (.5) (.6) vjdrujú freveú rvu (Guovu) rovce (.7) uú (dtrbuú) rvu. Guov rv á teto vltot dôležté re jej oštrucu: ) blíž totc o X b) v bodoch M( ± t ±) á rv fleý bod c) dotce vedeé v týchto bodoch retíjú o X v bodoch ( ± t ±) 5

d) oloer rvot vo vrchole je r Uvedeé vltot uhujú oštrucu rv (obr..4). (v džch oderých grfe). Pr odvodeí oráleho rozdele áhodých chýb ovžovl chb z ojtú áhodú reeú torá ôže dobúd ubovoú hodotu v urtých edzch. Výt chb v edzch d b l rvdeodobo P ( < d ) ϕ( ) d d < (.8) (v obr. 8). Prvdeodobo výtu chb je vjdreá eleetár obdžo ordcou ϕ() vo fzálch ojoch vjdruje hutotu rvdeodobot. Vltot erých chýb ú vzé ctlvo er dú ješí ítí lebo odhdoví del κ tuce rítroj. Chb eôžu reto dobúd voje hodot ojto le dréte (oo) o tervle κ de je oet oových erí z torých vlýv výledo er o rtetcý reer. Poet chýb bude vžd oeý rvdeodobo výtu urtej hodot chb dá roov oeou hodotou t ( ) ϕ( ) ϕ( t) t 39894e t P (.3) de t :. Sutoé rozdelee rvdeodobotí chýb bude vžd odlšé od oráleho rozdele bude rôze re rozlé druh er. N obr..4 loch celej rv t P e dt % π vjdruje úhrú rvdeodobo všetých ožých chýb. V utoot ltí ( < < ) (.3) P (.3) de hrce je jväš ožá evhutá chb..4 Itervlové odhd. Njväš ožá chb jväš dovoleá chb Itervlový odhd u chýb je výoet úhrej rvdeodobot ou doredu oáve výt chb vo zvoleo tervle lebo o zvoleej rvdeodobot urujee rílušý tervl v toro chádz chb. Dôležté ú rvdeodobot Φ(t) tervlu o etrcý hrc ( t < < t ) Φ( t) P( > t ) Φ( t) P ;. (.33) Prvdeodobo výtu chýb v tervle -t t vjdreá v ercetách je ledová: P ( < < ) P( < t < ) 68% ( ) > 3% P P ( < < ) P( < t < ) 95% 6

( ) > 5% P P ( 5 < < 5 ) P( 5 < t < 5) 99% ( ) > 5 % P P ( 3 < < 3 ) P( 3 < t < 3) 997% ( ) > 3 3 P. Uvedeé rvdeodobot lt ree re záldý úbor orál rozdeleí rblže re utoé rozdelee chýb. Uvedeé tervl voljú tervl ohlvot (ofdece) (obr..5). Prílušá rvdeodobo Φ(t) oefcet (hld) ohlvot. V ríde ouu Guovej rv ltí rvdeodobo re reduovú chbu c. Obr..5. Itervl ohlvot ± t A zvolíe dottoe šroý tervl ± t otáv le lá rvdeodobo (hld výzot rzo) že chb (hodot áhodej vel) reroí hrce ± t (tervl ohlvot E() ± t ). Pr zvoleej ve lej rvdeodobot budee rtcou (štttcou) totou oáv že áhodá vel (chb) bude lež v edzch rílušého tervlu ohlvot. Iý lov (rzo) že áhodá vel reroí rtcé hrce E() ± t je tá lá že reroee rtcej hrce ovžujee z rtc eožé. A v rovc (.33) dodíe z chbu X (ofdeý tervl) re ezáu utoú hodotu X { t < X < t } Φ( t ) dotee tervl ohlvot P. (.34) Njväš ríutá chb. Chb eôžu dobudú eohree veé hodot o uzuje rebeh Guovej rv. Hodot je jväš ožá evhutá chb. V r z jväšu ríutú chbu ovžuje t ž 3 <. (.35).5 Itervl ohlvot A ozáe ohlvo záldú tredú chbu etód ôžee odvodeú hodotu ouž tervlový odhdo de je váhový oefcet. Bude lt orále rozdelee j re štdrdú reeú t 7

t t : P( t < < t ) Φ( t) e dt (.36) π t Chb X udáv ožú odchýlu hodot vrovej od utoej X torú ôžee vjdr ou forou rovce: P ( X t < < X t ) Φ( t) (.37) tže r. P 99 % ( rtcou totou) vrová hodot evzdl vc o ±5 od utoej hodot. Itervl ohlvot re ezáu utoú hodotu X: ( t < X < t ) Φ( t ) P (.38) de ( ) t Φ t je rvdeodobo r oefcete ohlvot t že ezá reter X leží v tervle ohlvot je rzo chbého rozhodut že tervl ohlvot eobhuje reter X. Je rtc eožé b evhutá chb dobudl rílš veé hodot oderý výledo utoá hodot X bol ve vzdleé. A zvolíe ve lé rzo (r. % bude rtcou totou ezá utoá hodot lež v tervle r. ± 5. Podeou tervlových odhdov je ohlvá hodot záldej tredej chb ureá o z > 3 dbtoých erí. Itervl ohlvot je jvýzejš lác otu rvdeodobot v teór chýb. Merí íce d edotee utoú hodotu erej vel le re r to tí b táto ezá hodot bol rtcou totou ortá dottoe úz tervlo. Ao šír dá regulov od výzu er obácou reot zvoleej etód otu dbtoých erí..6 Koštruc rv oráleho rozdele Preložee rv oráleho rozdele htogro uážee v rílde.. Príld.. Štttcé vhodotee rovot doe Vol e otrolu 38 fotogrfcých doe forátu 3 8 c toré oužíve r fotogretrco íoví. Z rové fotogretrcé do budee ovžov té u torých erovo vlvo cetrálej rojece evvolá väšu chbu v rdálo oue bodu o. Grfcé zázoree výledov voej otrol rovot doe htogro ercých tredch oetotí je obr..6. Pod veot teoretcej álej chb v íových úrdcch torá url od zteých odchýlo od rovot. Do e rozdell do tredch uí tervlo. Chrtertcý tvr doe vjdrl zeo. Do oveý tvro ozl zeo íu ový tvro zeo lu. Chb v íových úrdcch (lej le chb ) vvolé erovoou doe ú áhodé vel ch trede u rozetl íelej o v ldej j záorej t. Htogr ercých oetotí o je vde z obr..6 je odobý orovéu htogru bocého rozdele. Môžee ho hrd tzv. Guovou freveou rvou oráleho rozdele obecý ltcý výrzo re hutotu rvdeodobot ( ) ( c) f e π 8

re > de je záldý úbor všetých ožých hodôt áhodej reeej c tredá hodot áhodej reeej tredá vdrtcá odchýl. Po zvedeí orovej áhodej reeej dobude tvr f t ( t) e π. c t rovc hutot rvdeodobot Htogr ercých oetotí vrovje Guovou rvou o rovej loche V de V() je vrc. Stredá vdrtcá odchýl štttcého výberu retro ( ) doe ( 38) eže tredá hodot E ( ) c -45 erová ule je ureá c c.99. 67. Guovú vrovávcu rvu e zotrojl z veeých teoretcých oetotí v rílušých tredch uách v ledujúcej tbue: Štttcé vhodotee rovot doe bu. E v -45-35 -5-5 -5 5 5 5 35 45 r t h P R. P r r - R r χ 9 4 6 - -53-93 -33 7 87 47 6 66 36 7 46 3 945 357 4 4 5 58 39 65 74 43 739 895 765 46 94 6 5 35-74 -3-6 55-65 -6-94 5 8 9 95 44 6 47 36 86 9 35 85 36 73 R Solu: 38-38 538 V tb.. E je tredá hodot tredeho tervlu r je oeto tredeho tervlu P je rvdeodobo tredeho tervlu. eoretcé oetot voítl oocou orovej áhodej reeej t z tb. II to t že jôr url rvdeodobot výtu áhodej t j re horú edzu tredeho tervlu 9

t ( < t ) ( t ) 5 G( t ) 5 e dt P t hj hj r. v rílde. je hj π thj (.45) 4. c 4. t hj...67 (.39). Obr..6. Ercé teoretcé (Guovo) rozdelee álch chýb íových úrdíc vvolých erovoou doe Prvdeodobo uríe z tb. II oráleho rozdele o dolo.5 tbuovej hodot G. 5-.483.7. t hj G(t hj ) t.j. P.5 ( ) Prvdeodobo P(G(t hj )- G(t hj )) P( (-3..45)(- 4..45)) P(53 ).63.7.46 t. eoretcú oeto áhodých chýb re veo štttcého úboru 38 oto vjdruje rovc: j [ ( hj ) G( t hj )] Pj R G t (.4) Nr. re E -35 E -45 je h 38. 46 74. Krvu oráleho rozdele oštruujee t že v rílušej ere zvoleej rvdeodobot P (oetot r ) re tredý tervl E veee teoretcé oetot R..7 Porove htogru ercých oetotí Guovou rvou Altcé otrol rut ercého htogru u Guovej rve. úš orlt ôžee vo oocou ercých oetov tredch oetotí. Kotrol overí

chb výberu doe dobre chrterzujú chb záldého úboru. Súš orlt revee od BÖHMA []..7. Súš orlt oocou ercých oetov Cetrál ercý oeto úboru o oeej veot rozuee ocetrácu chýb oráleho rozdele oolo tredej hodot de ( ) ν E ν je ercá hodot -tého obecého oetu. Ercý oet voáe úš ulovej hotéz etre rozdele rtér eceu rozdele. Súšou ulovej hotéz v rílde. overíe chb výberu doe e ú zžeé tetcou chbou. Súš vol oužtí rovce: ν ± µ ± (.4) de µ je cetrál oet -tého rádu ( ). V úo výbere E( ) ν c 45 µ 67 7. 38 Hodot ν reruje vedzeý tervl µ uudzujee ožo ôobe tetcej chb. Prevee tež j úšou zeo je výber doe zžeý tetcou chbou. Pod rtér R > 6 > 3 (.4) de je oet doe ldý chb 38. Pr 5 %-o rzu chbého rozhodut vdíe že je vvráteá hotéz o ezžeí výberu doe tetcou chbou. Súšou etre rozdele overíe hoogetu výberu doe. Vol od rovce: ν 3 : µ 3 t (.43) ν 3 E c 6 3 6 µ.67 3 4657. 5 38 5 374 3 74. de ( ) 3 Vo výbere doe je ν 3-6 (obecý oet) µ 3 74 (cetrál oet) t 6. Pr t < ovžujee rozdelee chýb vo výbere doe z etrcé. vr htogru ercých oetotí reotrolujee od rtér eceu rozdele ν 4 τ 3. (.44) 4 Ke bude τ > htrogr ercých oetotí je šctý τ < lochý τ zhodý Guovou rvou. 346 V úšo výbere doe τ 3 39 >. Htogr oetotí je šctý. 776

Súš orlt oocou ercých oetov reuázl že výber doe á tetcú chbu (oveé do) htogr ercých oetotí je etrcý á ece. Výzo eceu t.j. áhodý výber ešte trí do záldého úboru ôžee over tredou vdrtcou odchýlou r tredch oetotí Peroový rtéro dobrej zhod..7. Súš orlt oocou tredch oetotí Porove htogru ercých oetotí Guovou rvou v rílde. (obr..6) uzuje ou erou trede oetot rblžujú oráleu rozdeleu. Stredé vdrtcé odchýl ercých tredch oetotí od orálch oetotí re úý štttcý výber doe (uvedeé ú v tb..) e voítl zo vzhu: r j j ( P ) P (.45) r. r 38.7( 7) 8. j Pod orov odchýlo rj rozdel ercých orálch oetotí r j v tb.. ovžujee zhodu výberu orál záldý úboro z uoojujúcu retože rozdel r j erehl dvojáobo odchýlo rj. Pre výoet Peroovho rtér dobrej zhod e orjové tred urvl t že ch oetot bol 4 5. Poto vel 5 ( r R ) j χ 538 (.46) j R j j j 5 je oet urveých tredch uí ú dbtoé rv (tue voot). Krtéru χ od tb. VII re j 5 3 tue voot rzo 5 je 599. r tue voot e oužl utvoree oloých útov tredej hodot erodjej odchýl. Pltí ted χ < χ. Pod výledu úš Peroovho rtér dobrej zhod r rzu 5 ošttujee že ercé rozdelee eodoruje hotéze orlt. Súý štttcý výber ôžee ovžov z vzoru vbrú zo záldého úboru Guový rozdeleí. Pod rozdele rvdeodobot ercej tredej chb ltí o jej tredej hodote: ( ) K E (.47) de K je zešujúc ftor o hodote 8 ž. Ke r úbore o veot 5 je K 99 v šo ríde r 38 olože. Itervlový odhd ožého výtu chýb v íových úrdcch r oužíví doe fr ORWO je oto vjdreý rvdeodoboou re 67 ( 3 < < 3 ) P(.5 < <.5 ) P. (.48) Príld.. Prvdeodobo výberu rovej do (z ríldu.). Prvdeodobo že zo záldého úboru doe vberee rovú dou vjdruje tervl ohlvot re ezáu rvdeodobo P ( < < ) P{ 36 < < 69} d Itervl ohlvot bol ureý z tb. XIX. [3] re úý výber 38 v toro rzvé ríd (rové do) erzvé ríd q 8.

Njrzvejšu hodotu rvdeodobot vjdruje úet rvdeodobot P j v tervle (- ) v tb.. de je leá ode rovot doe: 44. Prvdeodobo že evberee zo vzoru o veot bocého rozdele je ureá: q q jedu rovú dou od Prvdeodobo oého jvu že o jed do bude rová vjdruje rovc: P q z toho dotee (.49) q o P (.5) de je hld výzot rozhodut. Z urveej rovce (.5) voíte veo vzor log log ( P). (.5) Voíté veot vzor r 95 % 99 % ohlvot re edzé hodot tervlového odhdu rvdeodobot jrzvejšu hodotu rvdeodobot (9 4 ) re ercú hodotu rvdeodobot e 53 ú uvedeé v tb... 38 Obje vzor re výber rovej do bu. 5 d 36 67 7 d 3 7 h 69 6 3 h 73 35 4 45 5 5 45 79 8 e 53 4 4 e 53 6 6 Pr rvdeodobot e 53 od tb.. 95 % ohlvot dohee že edz štr ubovoe vbrý do jeej jed bude rová. 3

3. SUDENOVO t ROZDELENIE ( oužtí ercej tredej chb ) v v Štdrdá reeá t voítá z ercej tredej chb r < 3 eá orále rozdelee le á etrcé tzv. Studetovo rozdelee rvdeodobot. Itervl ohlvot v Studetovo rozdeleí. Dodeí z P t ( t t ) ϕ ( t) dt Φ ( ) P t t t v rovc (3.) dotee logc rovc (.38) rvdeodobo reeru X leží v edzch ± t t { t < X < t } ϕ ( t) dt Φ ( t) P že utoá chb výberového P P (3.) t Rovc (3.) úe zeá rvdeodobo že utoá hodot X leží v edzch ± t ( t < X < t ) ( t) P P Φ. (3.3) Z tb. 3. je zrejé že rtc už r ote dbtoých erí > 5 lebo > ôžee oužív orále rozdelee rvdeodobot. Studetovú fucu budee reto oužív le v eších úboroch er r ezáej hodote tredej chb záldého úboru. Alác Studetovho rozdele v geodetcej r eôže rob echc. Prjteé tervl ohlvot dotee ž r > 4 r hodotách blízch ezáej hodote. Pr ešo ote dbtoých erí budú rvdl tervl rílš šroé re r bezceé. Príld 3.. Vzdleo bol dvrát oderá áo výled 48 484 6 t (P 99 %) 6366 7. Môžee tvrd že v % rídov vlvo evhutých chýb r dodrží záldej t reot er de oderá hodot o hrce ± 7 ( v 5 % rídov o hrcu ± 5 ). éto tvrdee odoruje úeot utoot. Pr vlúeí hrubých chýb chb r erí áo v ždo ríde ereroí hodotu 5 c. Itervlový odhd echcou lácou Studetovho rozdele jedotlvý ríd vede závero odorujúc úeot. Použte Studetovho rozdele tervlový odhdo je otrebé obedz le ríd ed á chýbjú éove redbežé foráce o reot etód er r. r otoých úšch rítrojov lebo r erebádých etódch er. A chcee dohu ohlvé záver uíe urob too dbtoých erí b tervl ohlvot od Studetovho rozdele l dottoe lú šíru. Pr < 5 edá oocou ercej tredej chb zí žd dôverhodý odhd reot tervl ohlvot. Príld 3.. Voítl e tredú hodotu dž z -tch oových erí: 346 ercú tredú chbu rtetcého reeru 9. Alácou Studetovho rozdele chýb ztíe r. 95 % rvdeodoboou ( P 5%) v toro tervle chádz utoá hodot erej dž. Z tb. 3. t e ( ). Sutoá hodot oderej dž á rvdeodobo výtu v tervle ( t < X < t ) t.j. utoá hodot ôže dobúd hodot v tervle 344 < X < 348 ro jrvdeodobejš hodot erej dž je 346. 4

Krtcé hodot Studetovho t rozdele bu 3. Poet dbtoých P erí - 5 634 76 38 63657 9 433 6965 995 3 353 38 454 584 4 3 776 3747 464 5 5 57 3365 43 6 943 447 343 377 7 895 365 998 3499 8 86 36 896 3355 9 833 6 8 35 8 8 764 369 796 78 36 78 79 68 355 3 77 6 65 3 4 76 45 64 977 5 753 3 6 947 6 746 583 9 7 74 567 898 8 734 55 878 9 79 93 539 86 75 86 58 845 7 8 58 83 77 74 58 89 3 74 69 5 87 4 7 64 49 797 5 78 6 485 787 6 7 6 48 48 8 7 5 47 76 3 7 4 46 75 4 78 4 7 6 67 39 6 66 98 37 63 66 97 35 6 5 65 97 34 59 64 96 33 58 64 96 33 58 t 5

6

4. ZÁKON HROMADENIA SREDNÝCH CHÝB A ZÁKON HROMADENIA VÁH Máe fucu (... ) erých ezávlých hodôt (... ) torých tredé chb ozáe. de ucu zíšee v leáro tvre... (4.). Rovcu (4.) zíšee v tcovo tvre ( ) l ( ) (4.) de ( ) je vetor rcálch dervác l ( ) je vetor er. Z redoldu že: ) hodot... ú ezávlé b) etuje totál dferecál fuce (... ) c) chb er ú áhodé ôžee forulov tzv. záo hrode tredých chýb torý vjdruje tredú chbu fuce (... ) o fucu tredých chýb er... (4.3) de... ú tredé chb erých hodôt. Need býv r odvodzoví vzorcov výhodejše rcov le váh re. recroý hodot váh eto tredých chýb. A uváže že lt vzh q dotee vzh edz váh o tzv. záo hrode váh q q q q (4.4) f... q. (4.5) Pre tcový zá zvedee vetor o r rovc (4.) tež tcu vrcí M ( ) verzú váhovú tcu 6

7 ( ) ( ) q q q P. Záo hrode tredých chýb ôžee zí ( ) ( ) ( ) ( ) M (4.6) záo hrode váh v tvre ( ) ( ) ( ) ( ) q P. (4.7) Mje vc dých fucí toré o ch lerzác vjdríe vzh... de β β β β β... de β β (4.8) γ γ γ γ γ... de γ γ. Ao ríld uvee vrove úrdíc bodu retíí red úe ureý erí dž rctg ( ) ( ) S. Po lerzác rctg ϕ ( ) ( ) S β β d d. Pre tcové vjdree rovíc (4.8) zvedee γ β f γ β f γ γ γ β β β......... c b A té rovíc (4.8) ôžee zí ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 l A f f. (4.9)

8 A lujee teto výrz záo hrode tredých chýb bude výledý tcový tvr ( ) ( ) ( ) ( ) A M A S 3 3 3 3 (4.) záo hrode váh ( ) ( ) ( ) ( ) A P A 3 3 3 3. (4.) Mtce toré bol oužté v oledých dvoch vzorcoch ú ve dôležté jú záldý výz re vhodotee výledov vrov lebo výotov. Je to roztlová tc (rv γ β hlvej uhloree ú vráce fucí β γ rv tu β o hlvej uhlore ú tzv. ovrce) ( ) 33 γ γ β γ γ β β β γ β S (4.) tzv. tce oftorov lebo tež tce váhových oefcetov ( ) γ γ γ β γ γ β β β β γ β 33. (4.3) Pre rv tíc (4.) (4.3) od rovíc (4.4) lt vzh β β. (4.4) Ke je fuc vjdreá o vetor oefcetov rát vetor er (4.) oto oužjú rovce (4.6) lebo (4.7) výledo je lár (vrc fuce lebo recroá váh fuce) lebo je té fucí vjdreý o tc oefcetov rát vetor er oužje rovc (4.) lebo (4.) výledo je roztlová tc S lebo tc váhových oefcetov.

5. VYROVNANIE PRIAMYCH MERANÍ Vrove rch erí je jjedoduchší ríd láce MNŠ. Máe dých erí (L L... L ) jedej ezáej vel X o zá váh.... K ureu ezáej vel b otovlo jedo ere. Máe ( ) dbtoých erí toré ôžee vrov. Nezáou velu X totožíe vrovou hodotou er L v. N zjedodušee výotov zvádz hodot ezáej z vroví oít le rírto tejto ezáej d ltí ted d. Do vltého výotu vtuujú reduové er voíté zo vzhu. L Rovc oráv bude tvr v L d L d torá o zvedeí vetor er () v tce váh P () v vetor oráv v ( ) vetor oefcetov ( ) d () dote v tcovo vjdreí foru v v ( ) ( ) ( ) d (). (5.) Vetor oefcetov () je tcový vetor torý á rdov o ý jedot. Je to forál úrv torá uožuje rídé zovšeobecee eb vzh edz erí ezáou bol urový vc áobou ošttou. Pode etód ješích štvorcov bude zíá fucou v Pv. Do ode dodíe z rov. (5.) vzh re orv v dotee v Pv ( d ( ) ( ) ( ) ) P () ( () d () - () ) ( ) P( ) ( ) d ( ) ( ) P( ) () d () - ( ) P () () d () ( ) P () (). A uváže že tc váh P () je dgoál vlto r. bude P P P. Ab e šl etré oložíe (5.) ( v Pv) d odt Pd (5.) P je lár ltí re obdv ríd P (5.3) 9

Pl P d Al A d. (5.4) P P Pre lutrácu uvedee roz tte eovte Pl (...) ( ) l P (...) ( ). Vdíe že tcové vjdree zododovedá záeu vzhu re vážeý rtetcý reer l d. Kotrol: A váobíe rovcu oráv (5.) zv výrzo A P dotee Pv Pd Pl o je od (5.3) rové ule ltí Pv (v lco vjdreí v ). Jedotová tredá chb bude v Pv vv lc otrolou v Pv ( P Pl) d l Pd l Pl d de výrz v zátvore z ltot rovce (5.3) je rový ule tže bude v ( vv ll-( l) ) Pv l Pl l Pd lc d. Stredá chb rtetcého reeru ω dote lác záo hrode váh (4.) vzorec re rtetcý reer (5.4) P P P AP A P (lc P P e P - P. ( P) P ) 3

6. SREDNÉ CHYBY 6. Stredé chb rotredujúcch erí ) Jedotová tredá chb v Pv de ( - ) je oet dbtoých erí. b) Stredé chb ezách (Heovo rešee). Vetor ezách je vjdreý - N - A P l A l (6.) výoet tce váhových oefcetov ôžee ouž záo hrode váh A N - A de A -N - A P (- N - A P) P - (-N - A P) P P ; (N - ) N - N - A PP - PAN - PP - E (jedotová tc) N - A PAN - A PA N N - N N - N - N E N -. (6.) outo úrvou e dotl ve dôležtej zujívej oolot to že tc váhových oefcetov je totožá verzou tcou oefcetov orálch rovíc. áto vlto je álo zá jej odhlee je ehé r rešeí orálch rovíc Guový lgorto. Pr výote rvov tce váhových oefcetov vchádze z rovce N E torú re ázoro rozíšee z z z z zz b c b bb bc c bc cc. (6.3) Váhové oefcet jedotlvých ezách lež v tc hlvej uhloree budú (6.4) z zz. c) Stredé chb fucí vrových ezách. Mje fucu vrových ezách ( z) ( z ) f d d d f dz (6.5) torá á v tcovo záe tvr z 3

f d f de f f d N A P l. (6.6) f dz z Z dodíe hodotu rovce (6.) rhldutí ltot rovce (6.) dotee f A P l - A l (6.7) N túto rovcu lujee záo hrode váh v tvre rovce A P - A torá bude Úrv rovce: (-f A P) P - (-f A P) P P ; ; f A PP - PA f PP - E ; f A PA f A PA N ; f N f N N - N E ; f f je vdrtcá for lár. (6.8) V lco odvodzoví á táto rovc tvr f f f f f f f f f. (6.9) V rovc (6.8) ozíe R r R oto bude f r R3 z z f r zvedee vetor oocých ezách de vetor r oít zo téu rovíc toré ú tvro odobé orál rovc le o záeou ezách bolútch leov. Rovcu f r váobíe zv N A PA dotee N f A PAr retože N NN - E dotee f A PAr ted A PAr f. (6.) Poroví tejto rovce tvro orálch rovíc A PA A PA vdíe odobú foru o záeou ezách z oocé ezáe r bolútch leov A PA z bolúte le - f. 6. Stredé chb odeových erí ) Jedotová tredá chb v Pv r oet dbtoých erí. (6.) r b) Stredá chb fuce vrových erí Mje fucu vrových erí ( L v ) re... eré hodot rozložíe L L o fucu budee lerzov ( L v L v... L v ) ( L L L )... z z z zz 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v v... v L v L v L v Ozíe ( L L... L ) f f f f f. (6.) zvedee vetor rcálch dervácí ( L v ). (6.3) uc vrových erí L(L v ) bude v tcovo záe tvr f l f v. (6.4) Do tejto rovce budee otue dodzov z v -P - A lej z -N u z rovce v -P - A N - u z u u A l bude f - f P - A N - (u A l) de le u rojíe ozíe - f P - A N - u f l - f P - A N - A l. (6.5) Pre lšu úrvu zvedee vetor oocých oefcetov (v šo zvoleo obedzeí re r 3) t b ltlo g g g b g c N g A P - f. (6.6) Klcý rozíý tvr tejto rovce je q g qb g qc g b c qf qb g qbb g qbc g b c qbf qc g qbc g qcc g b c qcf. Rovcu (6.6) váobíe zv hodotou N - vetor oocých oefcetov bude g - N - A P - f lebo g -f P - A N -. (6.7) Odvodeý vzh re g oužjee re úrvu rovce (6.5) f l g A l (f g A )l. (6.8) N tto vjdreú fucu oužjee záo hrode váh v tvre A P - Τ ( f g A ) P ( f g A ) ( f g A ) P ( f A g) f P f f P A g g A P f g A P A g. N úrvu tejto rovce váobíe rovcu (6.6) zv hodotou g tže bude g Ng g A P A g g A P f (6.9) de lej oužjee N A P - A výledý tvr re bude A 33

f P f f P Ag (6.) v lco vjdreí qff qf g qbf g qcf g. b c Poocou vjdríe tredú chbu fuce vrových velí. (6.) 34

7. VARIANNO KOVARIANNÁ MAICA Rozdelee áhodej vel (reeej) (ôže ju redtvov chb orv v vetor erých velí ) je vjdreé dtrbuou fucou () rvdeodobo výtu áhodej reeej je vjdreá freveou fucou f(). Vzájoý vzh fucí vjdrujee rovcou ( ) ( ) f ( ) P d (- < < ) (7.) de P( ) vjdruje rvdeodobo že. uc f() je tež ozeá o hutot rvdeodobot áhodej vel. Rovc (7.) geoetrc vjdruje lochu edz horzotálou oou rvou f() v tervle (- ). reveá fuc chrterzuje zeu rvdeodobot. uce f() () ú choé oí úlé ltcé vltot áhodej reeej. íelé vltot áhodej reeej vjdrujee tredou hodotou vrcou. Stredú hodotu áhodej reeej ozujee E(). Defová je úo áhodej reeej jej rvdeodobot v tervle (- ): ( ) f ( ) E d. (7.) Vrcu áhodej reeej ozujee vr () lebo. Je defová vzho vr () E [ E( )] { } E( ) [ ] f ( ) A ozíe že je erá chb oto E() ôžee teoretc ovžov z utoú hodotu chb oet erí. Pltí to v ríde že ere ebude obhov hrubé tetcé chb. Vted E() redtvuje tredú vdrtcú odchýlu od tredej hodot E(). Kovrc edz dvo áhodý reeý je defová vzho {[ E( )] [ E( )]} E d (7.3). (7.4) A vrce áhodých reeých ú ovrc edz je. Koefcet oreláce edz áhodý reeý je defový ( ) E( ) E ρ E. (7.5) Koefcet oreláce ρ je v tervle ρ. (7.6) Mje vetor () áhodých reeých (... ) ( ). (7.7) Predoldje že tredá hodot j je E( ) E( ) j budú: j vrce ovrce 35

E E {[ E( )] } E( ) [ E( )] E( ) (... ) (7.8) { [ j j ]} E( j ) j. Mtc vrcí ovrcí C áhodého vetor je defová o { } E( ) E ( ) E [ E( )] [ E( )] C... E E E ( ) E( )... E( ) ( ) E( )... E( ) ( ) E( )... E( ) A tc ( ) vhovuje vzhu. (7.9) C ( ) ( ) (7.) de je jedotová tredá chb ( ) je oftorová tc áhodého vetor. Iverzú tcu ( ) ozujee P ( ). Nzýv tc váhových oefcetov P. (7.) 7. Hrodee chýb v leárej fuc Predoldje že... je erých velí áhodý chb ú utoé (vrové) hodot (e áhodé hodot) erej vel. Pltí de.... Nech (7.) V tcovo záe rovce (7.) budú ( ) ( ) ( ) (7.3) ( ) ( ) ( ). Predoldáe že á tredú hodotu ul. Mtcu vrcí ovrcí dotee 36

( ) ( ) E E ( ) E( ) E ( ) (7.4) E C { } E( ) ( ) E [ E( )] [ E( )]. (7.5) Vetor bude rovú tcu vrcí ovrcí o retože je áhodá vel ( ) E( ) E( ) E{ [ E( ) ][ E( ) ] } E( ) C ( ) E C. (7.6) Nech redtvuje vrovú leáru fucu vel... (7.7) de... ú oštt defové vetoro ( ).... Odvodeá hodot z erí... je.... (7.8) Chb voíte zo vzhu. (7.9) Pod defíce vrce vrc vel bude E ( ) E ( ) [ ] E( ) C.... (7.) Rovc (7.) vjdruje vrcu jedoduchej leárej fuce áhodých erí v edzch vro-ovrej tce vetor er. Rovc vjdruje záo hrode chýb jedoduchej leárej fuce áhodých reeých. dotee A j ú vzájo ezávlé vel oto ( j; j ) zvlášt ríd rovce (7.)... (7.) torú terretujee o záo hrode (reáš) tredých chýb jedoduchej leárej fucce ezávlých áhodých reeých. j Príld 7.. Máe dé: 3 3. 3 3. 3 ú vzájo ezávlé vel. Úlohou je voít vrcu. 37

.(-3 ). (- ).3 4369 49 49 7. Geerlzuje terz jedoduchú leáru fucu v rovc (7.8) vetor torý obhuje leárch fuc erých velí v tvre ( ) ( ) ( ) A (7.) de A. ( ) Mtcu vrcí ovrcí C áhodého vetor uríe zo vzhu C { } AE{ [ E( ) ][ E( ) ] } A ACA ( ) E [ E( ) ][ E( ) ]. (7.3) V rovc (7.3) e hrdl E( ) ( ) ( E( ) ). Vetor () vjdreí leárch fuc ( zálde erí) je vjdreý tcou A (). N zálde uvedeých úrv bolo ožé trforov rovcu (7.) do rovce (7.3). Rovc (7.3) vjdruje všeobecý záo hrode chýb v tcovo tvre vrcí ovrcí re áhodý vetor leárch fucí áhodých reeých. de A áe ý áhodý vetor z z ( ) ( ) ( ) (7.4) b b z b b b z B z b b b b b b b b b b b B ( ) ovrú tcu edz z uríe z rovce Cz ( ) E [ E( ) ][ z E( z) ] b b { } AE{ [ E( ) ][ E( ) ] } B ACB. (7.5) Kovrá tc Cz vjdruje záo hrode chýb dvoch áhodých vetorov leárch fucí áhodých reeých. 38

7.. Hrodee chýb v eleárej fuc Predoldje že áe áhodé reeé... chb... že vetor... á tcu vrcí ovrcí C ( ) C ( ). (7.6) Nech redtvuje ubovoú fucu erí... f (... ). (7.7) Nech je rblžá hodot ( ) redtvuje rblžú hodotu vel odvodeú z erí f (... ). (7.8) d oze o rozdel edz utoou hodotou rblžou hodotou d d ( ). (7.9) Rovcu (7.7) lerzujee rozvojo do lorovho rdu oužtí rblžých hodôt ( d d d ) d f... f f f...! f (... ) d d d f! f f... d dd dd... (7.3) A ú všet hodot ohlvo ureé rcále derváce všších rádov ôžee v rovc (7.3) zedb dotee f f f d d d... d. Keže chb velí ú reltíve ve lé v oroví o utoý hodot ôžee dferecál d d hrd chb de f f f...... (7.3) f ( ) ( )....... 39

Rovc (7.3) vjdruje vzh edz chbou vel chb erých velí. Rovc (7.3) orešoduje rovcou (7.8) re leáru fucu. Preto ôžee vrcu í ro od rovce (7.). {[ E( ) ] } C E (7.3) A... ú vzájo eorelové (ezávlé) er oto j re j. Rovcu (7.3) ôžee í f f f.... (7.33) Rovce (7.3) (7.33) vjdrujú záo hrode chýb v eleárej fuc áhodý reeý. Záo hrode chýb ôžee rozšír vetor eleár fuc (... ) (... ). (7.34) f f f (... ) Podobý otuo r odvodeí rovce (7.3) ôžee zí rblžý vzh edz vetoro chýb vel vetoro chýb erí A... : ( ) ( ) (7.35) de ( ) A ( ) j f j (7.36) (... ; j... ) Pre tcu vrcí od rovce (7.) rovce (7.3) ltí {[ E( ) ][ E( ) ] } ACA C E. (7.37) Ke orováe rovcu (7.) (7.3) rovcou (7.33) (7.37) je ožé vde že záo hrode chýb á rový tvr re eleáru leáru fucu. Rozdelo je že r eleárch fucách je otrebé ur dervácu fuce od jedotlvých reeých toré lujee záo hrode chýb. 7. El chýb Predoldje že olohové úrdce bodu P( ) jú ledujúcu ovrú tcu 4

C (7.38) de zeá ftor vrce (jedotová vdrtcá tredá chb) zeá oftor tce úrdíc ( ). V geodéz to oíte tredú olohovú chbu. (7.39) V žerej geodéz (r. r tvbe tuelov otov) je ve dôležté docel voú reo vo vždovo ere (r. er rze tuel). re. eur reo bodu v do ere. Všeobece je to ožé vjdr tredou chbou ezáeho bodu v ubovoo ere. 7.. Vjdree chb v olohe bodu Nech redtvujú dve zlož chýb úrdíc bodu P( ). Preet vetor chýb v ubovoo ere vjdreo erío ψ je (obr. 7.) ψ b ψ coψ coψ ψ. (7.4) Obr. 7.. Vetor chýb v ere ψ Alujee záo hrode chýb od rovce (7.3) leáru fucu ψ ψ ψ coψ ψ coψ ( ψ co ψ ψ coψ ) ( ψ co ψ ψ ). (7.4) Z rovce (7.4) je vde že vrc dervácu ψ u vrce: ψ eí hodotou erí ψ. Ke oložíe rovú ule ájdee etré vrce t.j. re erí ψ ájdee u ( ψ coψ coψ ψ co ψ ) 4

( ψ ψ co ψ ). (7.4) Urveú rovcu (7.4) delíe ψ dotee cot gψ tgψ. (7.43) g Ke tg tg( ψ ) ψ rovc (7.43) á dve reše toré zodovedjú eru álej álej hodot vrce. eto dv er (erí ψ ψ g ) ú eb olé. V záuje vreše rovce (7.4) urve gooetrcé fuce b e vužl fuce (7.44). Do rovce (7.4) dodíe výrz de co ψ ψ co ψ tg ψ co ψ co ψ e (7.44) ( ) 4 C ( ) 4 ( ) ( ) 4 (7.45) C. (7.46) Z rovíc (7.43) (7.45) vjdríe fucu ψ tgψ co ψ. (7.47) C C lše fuce ú co ψ C C ψ C co ψ C C co ψ. (7.48) C uce (7.47) (7.48) doe do rovce (7.4) urve E C C C C ( C( ) 4 ) C C 4

E ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 C 4 ( ) 4 (7.49) ( ( ) 4 ) lebo E (7.5) ( ) 4 (7.5) ( ) 4. (7.5) A je rvá tr rovce (7.43) ldá - er álej hodot vrce ( ψ e ) je v. lebo 3. vdrte er álej hodot vrce ( ψ ) je v. lebo 4. vdrte. f A rvá tr rovce (7.43) je záorá - er álej hodot vrce ( ψ e ) je v. lebo 4. vdrte er álej hodot vrce ( ψ ) je v. lebo 3. vdrte. f Málu hodotu dohe vrc E vted uhol ψ ψ e výrz C je ldý. Málu hodotu dohe vrc vted uhol ψ ψ f výrz C je záorý. Hodot vrcí E vjdrujú rovce (7.49) (7.5). Môžee vjdr vrcu ψ ψ v ubovoo ere ψ oocou výrzov E E co (7.53). de ψ ψ. e Pr rtcých výotoch vrc v v hrdeá odhdo vrého ftor. (jedotová tredá vdrtcá chb) ôže b 7.. El olohovej chb rv olohovej chb Mje dú vrcu (jedotovú tredú vdrtcú chbu) ovrú tcu olohovo ureého bodu P. Pod rovce (7.4) voíte tredú chbu (erodjú odchýlu) v ubovoo ere. Ke vrelíe všet bod o olárch úrdcch ( g ) re < 4 g dotee uzvretú rvu torú zýve rv olohovej chb bodu P. Ao uzuje obr. 7. je etrcá ohdo ále ále hodot vrcí. 43

Vzdleo od tredu rv O o bod rve v ere je tredá olohová chb bodu v do ere. Obr. 7.. El tredej chb Krv olohovej chb e je vhodá rtcé oužte retože rovce (7.4) (7.53) e ú jedoduché tetcé fuce. Noo rv olohovej chb je tvro blíz ele roujee hlvú oloo el () hodotou E v ere e vedjšu oloo el (b) hodotou v ere f. to defová el zýv el olohovej chb bodu P. Ke oužjee er E o er úrdcových oí elu olohovej chb vjdríe rovcou E. (7.55) Stredú chbu ele chb uríe geoetrc. V bode B ele chb vedee dotcu t. Pät olce C (uteá z bodu O dotcu redtvuje bod rve chýb. Krv chýb je defová o úätc el. Vzdleo OC ere vjdruje hodotu t.j. tredú olohovú chbu bodu P v ere. 7..3 Prvdeodobo oloh bodu vútr el chb Predoldje že úrdce bodu P( ) jú tcu vrcí C defovú rovcou (7.38). Mtc váhových oefcetov chýb je verzá tc C -. A ere e je zžeé hrubou tetcou chbou tredá hodot chýb úrdíc je E( ) E( ) chb er jú orále oráleho rozdele. Ke rozdelee bude áj freveú fucu dvojrozerého f ( ) π C e ( C ) π ( ρ ) e ρ ( ) ρ (7.56) 44

de C zeá detert C ρ je oefcet oreláce edz : C ( ρ ) Iverzú tcu C - voíte oocou detertu. Mtc ρ. (7.57) C (7.58) de á detert D dol ( ) ρ D D D D. (7.59) Iverzá tc je dá troovou tcou dolov deleou deterto tce D D C. (7.6) D D D D Eoet rovce (7.56) dotee ( C ) ( ρ ) ( ρ ) ( ) ρ ρ ( ) ρ V druho lee rovce (7.6) eto e oužl z rovce (7.57) ρ. A f ( ) de t je oštt oto ôžee re eoet rovce (7.56) í ρ t. (7.6) (7.6) je ubovoá ldá oštt torú geoetrc redtvuje el. Pre rôze hodot t rôzu dotee rôze el. Vútr ždej el bude olohová chb bodu ( ) rvdeodobo. Preto el defová rovcou (7.6) volá el chb bodu P. áto defíc el eodoruje defíc el chb bodu P vjdreej rovcou (7.55) o oloh oí bude defová uhlo voítý od rovce (7.43). Rovcu (7.6) trforujee rovcu E t (7.63) torá zuje že el olohovej chb odvodeá z rv olohovej chb je šecál ríd rovce (7.63) re t. 45

Prvdeodobo že bod P de dovútr el defovej rovcou (7.63) re dé t je P E t e t. (7.64) íelé hodot rvdeodobot re t 3 4 ú uvedeé v tb. 7.. Prvdeodobo oloh bodu P vo vútr el chýb bu 7. t P 3935 8647 3 9889 4 9997 buu 7. ôžee terretov t že redelíe rovcu (7.59) t dotee t t E. (7.65) Poto el olohovej chb bode veot olooí t E b t. A oužjee t 86% rvdeodoboou bod P bude loche dvojáobého rozeru olooí el olohovej chb. 46

8. ESOVANIE HYPOÉZ 8. Záldé oj to vtuje úloh over áhodý výber (ubovoý rvo výberová chrtert výberová fuc lebo celý výber) trí do záldého úboru o zá retro. Podobe ôžee zí chrtert lebo výberové fuce z eoých výberov chcee over teto výberové chrtert lebo fuce vzájo výze líš. eto úloh reše oocou tzv. tetov výzot štttcých hotéz. Pr rešeí robléov tetov štttcých hotéz je otrebé rozlíš: ) jedoduché hotéz toré vedzujú rozdelee všetrovej vel jedoze tý že šecfujú všet retre b) zložeé hotéz re toré e je etorý reter šecfový jedoze je jtejše vedzeý tervlo. Pr tetoví štttcých hotéz tojí rot ebe vžd tetová ulová hotéz H ltertív hotéz torú ozujee H. Nulová hotéz H je redold etece záldého úboru tý retro Θ. Závžá je v tejto úvlot forulác ltertívej hotéz H t.j. hotéz torú rjee e eltí ulová hotéz. áto forulác bude rozhodujúc re oužte tzv. jedotrej lebo dvojtrej ltertívej hotéz. etove štttcých hotéz je jedoduchý rozhodovcí otu torý zálde áhodého výberu z dého záldého úboru vede bu zetutu tetovej ulovej hotéz H lebo ezetutu tetovej ulovej hotéz H. et hotéz v štttcej lýze ú ureé odvodee teoretcého rozdele zálde vzoru dát (výledov er). et hotéz orovávjú štttcé vel voíté zo vzor dát rtcý hodot vbrého rozdele urtej úrov hld výzot ceo rozhodú vzor dát trí do vbrého rozdele. Kúo tetov hotéz je oštruov zo vzor dát áhodého výberu (erí) výberovú fucu túto orov o štttcou fucou vbrého rozdele v rác tetu ulovej hotéz. Keže ždá hodot áhodého výberu je áhodá vel bude výberová fuc áhodou velou. lej ú uvedeé bez odvode etoré výberové fuce toré oužívjú v oblt geodetcých lácí. Rozdelee výberových fucí je oštruové redoldo že áhodý výber je vzorou záldého úboru orál rozdeleí torý je chrterzový tredou hodotou vrcou ( µ E( ) ) N. (8.) V lšo tete ozee štttcých velí á výz: ( ) µ E X - (teoretcá) tredá hodot (utoá rvdeodobá hodot erej vel; ) - výberový reer (reerá hodot reer vzor erí; ) - vrc (vrc záldého úboru) 47

ˆ - výberová vrc - erodjá odchýl záldá tredá chb ˆ - ercá tredá chb (výberová tredá chb erodjá odchýl). Vbré výberové fuce:. Výberový reer (... ) (8.) á orále rozdelee ( ) N µ E (8.3) de ú dele reeré hodot vzor erí. Výberový reer oít z hodôt orál rozdeleí á orále rozdelee rovou tredou hodotou ešu vrcu. Stredú hodotu výberového reeru uríe E ( ) ( ) E( ) E( ) µ (8.4) vrcu výberového reeru V. (8.5) ( ) V ( ) V ( ). Výberová fuc µ (8.6) je orovou hodotou á orále rozdelee o tredou hodotou vrcou N(). 3. Výberová fuc µ ˆ de ( ) ˆ (8.7) á Studetovo t rozdelee t( ) tu voot (dbtoých erí) t.j. obece. 4. Výberová fuc 48

ˆ de ( ) ˆ (8.8) je oet tuov voot á χ rozdelee (chí vdrát) tuo voot χ ( ). ˆ 5. Výberová fuc: ˆ záldého úboru rovou vrcou de ˆ ˆ ú výberové tredé chb dvoch výberov zo ( ) ˆ ( ) j j ˆ (8.9) de ú výberové reer zodovedjúce tue voot - rozdele (herového rozdelee) ( ). 8. et rvdeodobot r záej vrc záldého úboru Predoldje že... ú ezávlé er zo záldého úboru orál rozdeleí N ( E( ) µ ) de µ je teoretcá tredá hodot (utoá rvdeodobá hodot) erej vel. Zá je záldá (štdrdá) tredá chb. A N µ re ltí trí do úboru orál rozdeleí ( ) µ N µ fuc hodotou vrcou N ( ). ( ) orále rozdelee o tredou Pre hldu výzot (rzo chbého rozhodut) dotee µ P lebo P { µ c } (8.) de je rtcá hodot štdrdého (záldého) oráleho rozdele re hldu výzot c je c. (8.) Pr tetoví výberovej tredej hodot er je štttc rová teoretc tredej E µ hodotíe dve ožé hotéz: hodote ( ) ulová hotéz µ ltertív hotéz H µ. 49

Po zvoleí hld výzot ájdee rtcú hodotu z tbu Studetovho rozdele re voíte c. A µ < c rjee ulovú hotézu H hldu výzot. V oo ríde odetee H. Pozá: Od hodot > 5 rtcé hodot oráleho rozdele Studetovho rozdele ú rtc rové. Príld 8.: Náhodý výber á rozh 5 rvov. Poúde áhodý výber o tredou hodotou 67 zodovedá výberu zo záldého úboru µ 69. Záldá tredá chb 3. Zvolíe hld výzot 5. V tbue Studetovho rozdele tre 5 re ájdee rtcé hodot ( ) 5 96 ( 5) 58. Voíte 3 c re 5 c 96 5 3 c 58 5. 5 Z orov vzhov (8.) µ? c > re 5 > 5 re zete ulovú hotézu H tvrdíe že áhodý výber etrí do záldého úboru teoretcou tredou hodotou E() µ 69. 8.3 et rvdeodobot r ezáej vrc záldého úboru Predoldje že áe rovú úlohu o v redchádzjúco tete. Vhodocujee výberová tredá hodot erí je rová teoretcej tredej hodote µ z redoldu že záldá tredá chb je ezá. Pre teto úel štttcého hodote oužjee Studetovo t- rozdelee vjdreé rovcou µ t µ t ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) (8.) de tredú hodotu ercú tredú chbu ˆ voíte z rovíc. (8.3) ˆ ( ) Pr zvoleej hlde výzot dotee µ ˆ t ( ) P lebo { µ } P (8.4) c 5

de t (-) je rtcá hodot t rozdele tu voot hldou výzot c je ˆ c t ( ). (8.5) Pre zvoleú hldu výzot ájdee rtcú hodotu t. A µ < c rjíe ulovú hotézu H. V oo ríde ltí ltertív hotéz H. Príld 8.. Vzdleo bol erí rát výled v 3 4 5 6 7 8 9 3 34 38 39 38 33 35 38 36 37 Predoldáe že všet er rd orál rozdeleí. eto zujee vrová vzdleo je štttc rová hodote 33 hlde výzot 5 ( 5 %) (t.j. 95 % ohlvoou). Nulová hotéz ltertív hotéz ú: H : µ 33 ; ltertív hotéz H : µ 33. Preerá hodot ercá tredá chb ú ( ) 3 ( ) ˆ 467 383. c Z tbu 3. Studetovho rozdele tr. 5 ájdee t (-) t 5 % (- 9) 6. ˆ 383 t ( ) 6. 74 µ 3 33. Keže µ < c rjíe záver že vrová hodot oderej vzdleot je štttc rová hodote 33 r 5 % rzu chbého rozhodut. 8.4 etove hotéz o rovot vrcí dvoch orále rozdeleých záldých úborov etujee hotézu že dve výberové vrce ˆ z dvoch výberov o rozhu odovedjú výbero z dvoch záldých úborov re toré ltí rovo vrcí ted. etovcí rtéro bude vel ˆ ˆ ˆ (8.6) 5

de ˆ ˆ ú vzh (8.9) toré jú -rozdelee (herové rozdelee) ˆ ˆ tu voot. Vo vzhu (8.6) volíe vžd >. Z tbule -rozdele ájdee re zvoleú hldu výzot rtcú hodotu rvej tre rozdele (obojtrý tet). Nulovú hotézu budee zet >. Príld 8.3. Vzdleo bol oderá dvo eletrocý teodolt (E) ledový oderý hodot tredý chb.. E 4 ˆ 4. E 6 ˆ 3. etujee obdv teodolt jú rovú reo r hlde výzot 5%. Hotéz ú: H : ; ltertív hotéz H :. Pre z tb. VIIb rozdele ájdee 5% ( ) 64 ˆ 4 96 > 64. ˆ 3 N zálde tetu zetee ulovú hotézu o rovot vrcí oboch úborov erí r 5 % rzu chbého rozhodut. Iý lov obdv rítroje štttc ejú rovú reo. 8.5 etove hotéz o rovot tredých hodôt dvoch orále rozdeleých záldých úborov etujee hotézu že dv výber výberový reer výberový tredý chb ˆ ˆ ú výber z dvoch záldých úborov re toré ltí rovo ch tredých hodôt E() E(). etovce rtéru volíe od toho vrce záldých úborov ú lebo e ú rové. Muíe jôr urob tet rozdelu edz dvo výberový vrc od. 8.4 torý urí že: ) obe vrce výze elíš oto oužjee tetovce rtéru t ( ) ˆ ( ) ˆ (8.7) lebo jedoduchší tvr t (8.8) ˆ ˆ de t á Studetovo rozdelee ( ) tu voot. 5

Z tbule Studetovho rozdele ájdee re zvoleú hldu výzot hodotu t. Nulovú hotézu budee zet r t > t. b) obe vrce výze líš oto oužjee tetovce rtéru (8.8) jeho voítú hodotu orováe hodotou t t ˆ ˆ t ˆ ˆ (8.9) de t t ú rtcé hodot z tbule Studetovho rozdele t je ch zvážeý reer re hldu výzot tue voot. (8.) Príld 8.4. Poúde výzo rozdelu edz dvo výberový reer hlde výzot 5. Prvý výber o rozhu 6 á reer 5 tredú chbu 3; druhý výber o rozhu á reer 9 ercú tredú chbu. Nulová hotéz bude H : E( ) E( ) ltertív hotéz : E( ) E( ) H. Njrv oúde výzo rozdelov edz dvo výberový vrcá teto rozdele r hlde výzot 5%. Pre 5 je 5 % 84. Hodot tetovceho rtér bude 3 8. Pretože < 5 % 8 < 84 eôžee zetu ulovú hotézu. Nezetee redold rovot vrcí oboch záldých úborov. Keže rozdel edz obdvo výberový vrc oldáe z štttc evýzý bude hodot tetovceho rtér voé od vzhu (8.7) t 5 9 5.3. 6. 6. 35. 6 Z tbule Studetovho rozdele ájdee re ( ) 5 tuov hldu výzot 5 rtcú hodotu t 5 6. Z orov vchádz t > t íele 35 > 6 ted zete ulovú hotézu tvrdíe že hodoteé výber e ú zo záldých úborov rovou tredou hodotou. Príld 8.5. Poúde výzo rozdelu edz dvo výberový reer hlde výzot 5. Prvý výber o rozhu 6 á reer 5 výberovú tredú chbu ˆ 4; druhý výber o rozhu á reer 9 tredú chbu ˆ. 53

Njrv oúde obdve výberové vrce. etovcí rtéro rozdele ˆ ˆ 68 38 44 voítú hodotu orováe rtcou hodotou z tbule rozdele re 5 5 5 % 84. Pretože > oldáe rozdel vrcí z štttc výzý r tetoví rozdelu edz reer otuujee od. 8.5b. orulác hotéz bude rová o v rílde 8.3. Voíte hodot: tetovceho rtér (8.8) rtcé hodot (8.9) 68 44 3 3 5 9 5 t 7 t 6 6 68 44 5 68 44 6 6 de e dodl rtcej hodot Studetovho rozdele t 5 % ( 5) 3 t 5 % ( 3. Pretože t < t 7 < 6 eôžee hotézu o rovot tredých hodôt zetu. ) 8.6 Rozdelee χ A... ú ezávlé áhodé reeé toré jú orále rozdelee retr N() oto ledujúc úet χ... (8.) á χ (chí vdrt) rozdelee tu vootí. Nech áhodé reeé (... ) jú orále rozdelee retr N E. Poto ezávlé reeých orál rozdeleí á rovú tredú ( ) ( ) ˆ hodotu vrcu. A µ X tredá hodot rová utoej hodote erej vel. Nech ˆ (ercá výberová vrc) ú vzor tredej hodot vrce voíté od vzhov. (8.) ˆ ( ) Stredá hodot vzore á orále rozdelee retr N E ( ). (8.3) Rozdelee χ oštruuje štttc zo vzhu 54

χ ˆ ( ) vv χ ( ). (8.4) Poto ltí ( ) χ ˆ ( ) (8.5) de (-) je oet tuov voot (dbtoých erí). 8.7 Alýz vrcí Štttcý eeret - ý je j geodetcé ere ôže b ovlveý rôz ftor. Sú to: ercí rítroj er tofercé ode rotrede er t. Pod vlvu jedotlvých ftorov er ôžee éru erí rozdel do uí (r. ze er ere ý rítrojo ere z ých tofercých odeo á et er t.). Alýzou vrcí oúše vdeduov rozdel (r. ze er ere ý rítrojo ere z ých tofercých odeo á et er t.). Alýzou vrcí oúše vdeduov rozdel v uách erí ú štttc výzé t.j. u erí tr do oloého záldého úboru erí. Je to ožé vo terou lýzou vrcí ždej u erí eterou lýzou vrcí edz jedotlvý u erí. lej je uvedeá lýz vrcí úo vlvu le jedého ftor. Predoldje že v ždo výledu erí ( ) erí j ( j ) N µ E( l). ( ) rejvl vlv ftor uu všet er v ždej ue jú orále rozdelee retr Su Mere Rozdelee... N(µ )... N(µ )......... (8.6)... N(µ )............ N(µ ). Úlohou je tetov hotézu teoretcých tredých hodôt µ : H : µ µ... µ. (8.7) Njôr reúe úet štvorcov jedotlvých vrcí S I všetých erí ohdo odovedjúcu hodotu rvdeodobej hodot výledu erí µ µ... µ S I ( µ... µ ) ( j µ ). j µ (8.8) Dervujee fucu (8.7) uríe vrovú hodotu (rtetcý reer) 55

l j j ( 3... ) (8.9) oocou torej uríe výberovú vrcu re -tú uu ( ) ˆ j ( 3... ). (8.3) j Použtí ureých tredých hodôt... ( v ) S ( l ) {( ) ˆ } I I j j Keže celový oet erí je voíte úet štvorcov terých vrcí. (8.3)... (8.3) otrebujee odhdú retrov ( µ µ... ) tu voot µ odel S I á χ rozdelee S I χ ( ) z torého odhdee hodotu vrcí (8.33) ( ) {( ) ˆ } S I ˆ I j (8.34) j ˆ I zýv v lýze vrcí terá vrc. V zle vzhu (8.7) vlovíe hotézu že všet výberové tredé hodot ú rové hodote. S ohdo uvedeý redold ôžee defov totál úet štvorcov vrcí ( ) ( ) j S µ µ. (8.35) j Mlzácou fuce S dervácou uríe celový odhd teoretcej tredej hodot µ velou (výberovou tredou hodotou): (8.36) j ( ) j de je ureé vzho (8.) je celový oet erí (8.3) l j j Vrcu ždej vzor tredej hodot vjdríe e od rovce (8.3) ltí ohdo celovú tredú hodotu ( ) 56

S E ( ) ( ) ( ) j (8.37) o vede rozdeleu χ - tu voot S E ( ) χ. (8.38) oto á otuje ý odhd áhodej hodot vrce zvej eterá vrc oocou vzhu { ( ) } S E ˆ E. (8.39) Do rovce (8.35) eto teoretcej tredej hodot µ dodíe hodotu v zátvore rdáe - S S ( ) ( l ) [( l ) ( ) ] j j j ( l ) ( ) ( ) ( ) j j j j ( l ) ( ) j j e výrz v hrtej zátvore overguje ule. j vo vzhu (8.4) Poroví vzhov (8.3) (8.37) totál u štvorcov vrcí bude dá úto štvorcov terých eterých vrcí I E S S S. (8.4) Podel vzhov (8.4) vrcou vede rozdeleu χ S I E S S χ (-). (8.4) Z totálej u štvorcov vrcí S dotee celovú vrcu redeleí rovce (8.4) (-) oužtí vzhov (8.34) (8.39) e v eovtel rovce e rdl - ( ) ˆ E ( ) ( ) ( ) S S I S E ˆ I ˆ (8.43) de (-) (-) (-) ú tue voot re 8.. S I S E Z oeru eterej terej vrce zíe ledové - rozdelee: E I E I ˆ S. r t vrcí ú uvedeé v tb. S ˆ S ˆ (- -). (8.44) 57

bu lýz vrcí bu 8. vrce Stue voot Súet štvorcov Vrce Iterá - S I ( ) j j ˆ I S I Eterá - otál - S S E ( ) ( ) j j ˆ ˆ E S E S Nech (- -) zeá rtcú hodotu rozdele (- -) tu voot r hlde výzot. A > (- -) zete ulovú hotézu H o zeá výzý rozdel edz rôz u erí. Pr oo relo vzhu e je zetutá ulová hotéz. Pr uercých výotoch je vhodejše oužív ledové vzh re S S S E I ( ) ( ) ( ) ( ) S I S E S : (8.45) (8.46) j S S j E j j ( ) ( ). (8.47) j j Príld 8.6. Preúje ze o á vlv ere uhlov. Mere bolo voé v štroch ových obdobch rový teodolto (t.j. 4). Predoldáe že výled erí uvedeé v tbue jú rovú reo. Uvedeý ríldo lutrujee otu lýz vrcí. er Oderé hodot j (j... ) t 7. hod. 3 56.4 46 56.4 48 56.4 49 t. hod. 56.4 45 56.4 44 3 t 3 4. hod. 3 56.4 46 56.4 47 56.4 48 4 t 4 9. hod. 4 56.4 43 56.4 45 56.4 44 56.4 46 V záuje zjedoduše výotu reduujee uhlové hodot o ošttu 56.4 46 56.4 46. j j Reduové hodot j ú v ledujúcej tbue. 58

er j (j... ) j j j j j j j 5 t 3 3 5 3 3 t - - -3 5 3 9 4 9 3 4 5 3 t 3 3 3 3 3 4 5 3 4 t 4 4-3 - - -6 49 Su - 6 9 9 4 4 37 Z voítých hodôt v tbue voíte celovú tredú hodotu eterú vrcu ˆ E 4 j j j eterú vrcu j S 49 ( ) 4.83.8 4. 75 E 6 S 4.75 ˆ E E 8.5. 4 N výoet S oužjee rovcu (8.46) 49 ( ) ( ) 37 37 4.83. 7 S I S S E j. j 6 Iterá vrc je vjdreá vzho (8.34) S.7 I I 5. 4 S E Výzo rozdelov vrcí oúde teto od rovce ˆ E 85 54 > 47 (- -) 5% (38). 5 I Hodotu 47 e url v tbue VIIb rozdele. N zálde tetu vlovujee záver r rzu chbého rozhodut 5 % že ú výzé rozdel v erých uhloch toré bol eré v rôzch ových obdobch. 59

9. REGRESNÁ A KORELANÁ ANALÝZA Vo vedecých žerch lýzch to tretáve vtttív hodoteí dvoch vc velí toré vjdrujee fuý vzho f() z ϕ( ). (9.) Vel ú vzájoe štttc orelové (závlé). Prto eozáe t oštt fuce toré dodtoe urujee odlde erc zteých (oderých) údjov. eto druh reše robléu zýve regreá lýz. eo ercej závlot orelových velí štttc vhodoteo fuo vzhu zýve orelá lýz. V rovcch (9.) r. eto reých hodôt X Y áe dozíc oderé hodot. Vrovávc rv f() je ojtá rechádz edz bod ercého olgóu torý je vtvoreý oderý údj (obr. 9.). Odtu bodov P od rv ú rezduá lebo regreé chb. Ercý ureí tu ltcej fuce jej íelých oštát vjdrujee rebeh jvu oderých hodôt závlej reeej r ecch hodotách rguetu. Grfcé zázoree rebehu jvu vlvo erých chýb lebo ých rušvých vlvov vjdruje ervdelý rd bodov (ercý olgó). Úlohou je áj tú fuú závlo edz reeý b rebeh fuce jvu chrterzový vrovávcou rvou r jedoducho tvre fuce otále rol ercéu olgóu. Zvje áe dozíc dbtoý oet erí vted oefcet fuce (9.) uríe vroví MNŠ. Výledo bude tzv. regreá rv. Aroác utoého rebehu jvu je evhutá terolác rebehu jvu re ubovoú hodotu rguetu. Použív to íeléu vjdreu fzálch vzhov v geodéz v ých vedých odboroch. Obr. 9.. Regreá rv Metód regreej orelej lýz o všet etód tetcej šttt r obedzeo leí odeo budú j obedzeú lto záverov v záde b defovo tervle (... ). Metód regreej orelej lýz ú zložeé výledoch erí rdu dvoch úe ezávlých reeých. Výledo bude rd hodôt dvojíc toré ovžujee z ere 6

dvojrozerej vel. Pr orelác budee redold že obe reeé ú ojté áhodé vel. V regreej lýze tí b redold že jed z obdvoch reeých je ojtá áhodá vel u druhej euí b teto redold leý. Pr regreej lýze ovžujee zvje hodot jedej reeej r. z ere ojtej áhodej vel re dé hodot druhej reeej. Pre ždú z dých hodôt (... ) bude áhodá vel urté rozdelee o tredou hodotou vrcou zodovedjúcou rílušej hodote. A vhodocové vtttíve vzh reše leárou fucou o eoých ezách retroch (regreých oefcetoch) rešeý roblé zýve leár regre. Neleár regre vžduje šecále rešee. Ke je oet lzových rvov ( ) dv rešeý roblé ozujee jedoreeá regreá lýz. Väší oet lzových rvov o dv ozujee ultreeá regreá lýz. Etujú tr vrt reše:. Uvžujee le regreé chb fuce vrove voáe z ode P. Merý chb ú zžeé b hodot hodot ovžujee z bezchbé f ( ) P. (9.) Je to jtejší ríd v geodetcých lácách.. Uvžujee le regreé chb rguetu. Vrove voáe z ode ( ) f P. (9.3) 3. Uvžujee regreé chb fuce o j regreé chb rguetu. Reše odeu P P. (9.4) 9. Leár regre Predoldje že dve vel e oderl rát údj:....... Úlohou je zt ltí vzh edz vel vjdreý rovcou A B (9.5) de A B ú ezáe (teoretcé) regreé oefcet. A rovc (9.5) geoetrc redtvuje ru zýve ju teoretcá regreá r. Vzh edz ôže b ovlveý ohý olový ftor ore toho údje (... ) ú zžeé erý chb. Rovcu (8.5) urvíe re oderé údje A B (9.6) 6

ro o zvšových regreých chbách (rezduách) redoldáe že všet chb ( ) ú vzájo ezávlé. Ab e šl vrové hodot regreých oefcetov jleše vhovovl vzhu oderých údjov ( ) tovujee odeu ( A ) A ˆ B ˆ toré b B. (9.7) Regreá lýz forulová vzho (9.7) Aˆ B ˆ ezách regreých oefcetov redtvuje roácu vroví MNŠ. Vrové otále hodot regreých oefcetov A B dotee dervácou rovce (9.7) orováe ulou A B ( A B ) ( Aˆ B ˆ )( ) A Aˆ B Bˆ ( A B ) ( Aˆ B ˆ )( ) A Aˆ B Bˆ o vede leáreu téu rovíc re ezáe regreé oefcet A ˆ B ˆ Aˆ b de (9.8) Bˆ b b b. (9.9) Rovcu (9.8) ôžee tcovo zí j v tvre C D. (9.) Rešeí rovce (9.8) re. (9.) verzou tce C oocou detertu vreše regreé oefcet A ˆ B ˆ C D A B b b b b 6

b b. (9.) b b Ureí regreých oefcetov Aˆ B ˆ vroví MNŠ voíte vrové rezduá ˆ toré jedotlvo vjdrujú teo ercého olgóu od regreej r Aˆ Bˆ ˆ A ˆ B ˆ. (9.) eoretcé rezduá jú ror rozdelee N( ). Výberovú (áhodú) hodotu voíte z rezduí vrových MNŠ z rovce ( Aˆ B ˆ ) ˆ ˆ. (9.3) ˆ Vrc je tež erou teot všetých bodov voítej regreej re Aˆ B ˆ. Ercé tredé chb vrových regreých oefcetov A ˆ B ˆ voíte z rovíc: ˆ ˆ A ˆ ˆ. (9.4) B Pre teoretcé rezduá N( ) lujee t χ rozdelee Aˆ Aˆ t(-) Bˆ Bˆ t(-) (9.5) ˆ ( ) Aˆ B ˆ χ (-). (9.6) A je zá vrc celová lto leárej regree štttc tetuje rovcou (9.6). A leárou regreou ureé oefcet Aˆ B ˆ bol štttc ohlvo ureé (teto oefcet oreláce r. 9.4) ôžu b oužté redcu hodot re hodotu vel z tervlu ( ) ˆ Aˆ Bˆ. (9.7) 9. Neleár regre Vo všeobecot eleár regre e je tá jedoduchá o leár regre. Pr hodoteí ercého olgóu vzhov edz vel to chádze eleáru závlo. Need eleár regreý odel ôžee trforov leár odel zvedeí fuých vzhov edz regreý oefcet t o to uvedee v ríldoch. 63

Príld 9.: Predoldje že dve ére erí (... ) vhovujú ledovéu eleáreu regreéu odelu (9.8) A B de A B ú regreé oefcet toré je otrebé ur. Rovcu (9.8) v ttel eovtel vdelíe o úrve dotee B A. Zvedee ové vel Y X. (9.9) Rovc (9.8) zreduuje do leáreho tvru Y A BX (9.) z torého voíte regreé oefcet Aˆ Bˆ. Príld 9.: Iý eleár regreý odel dvoch érí erí (... ) je Ae B (9.) de A B ú regreé oefcet toré je otrebé ur. Rovcu (9.) oboch trách lerzujee rrodzeý logrt dotee A. (9.) B Po ubttúc X Y A b (9.3) B dotee leár regreý odel dvoch ových regreých oefcetov b: Y. (9.4) bx Ke vroví MNŠ voíte regreé oefcet b orgále regreé oefcet A B uríe z rovíc (9.3) A ˆ e Bˆ. (9.5) b 64

Príld 3: Z lších tov fucí toré to oužívjú v geodetcých lácách ú: - eoecál fuc b e (9.6) leár tvr fuce je b Y A B de ˆ A Bˆ b (9.7) A ; e - logrtcá fuc b (9.8) leár tvr fuce je Y A BX de X X e (9.9) -ocová fuc b (9.3) leár tvr fuce je b Y A BX e A b B. (9.3) Príld 4: er uverzál to regreej fuce vrove v do tervle je ocový rd 3 A A A A3... A. (9.3) A urujee dv retre (A A ) je to r tr retre (A A A ) je vdrtcá rbol štr retre ubcá rbol. Otál odhd regreých oefcetov A Bˆ ˆ. (... ) docele oocou vrov MNŠ o vžduje dbtoý oet regreých vzhov edz vel o je oet regreých oefcetov. Jedotovú tredú chbu voíte zo vzhu (9.33) de je oet regreých oefcetov. Výoto regreých oefcetov vtvoríe terolú fucu f(). Sohlvo teroláce odhdee vužtí jedotovej tredej chb. Vtvoríe áo ohlvot teroláce r hlde výzot rtcou hrcou t od regreej fuce e t uríe zo Studetovho rozdele re dbtoých regreých vzhov. 65

Páo teroláce je v tervle < >. Etrolác e je ohlvá. oužjee leár lebo eleár regreý odel záleží b od chrteru vzhu edz vel. Predbežé rozhodute je ožé urob r vreleí bodov P ( ) re... v rovo úrdcovo tée úrdíc vzuálo oroví regreého olgóu eoý zá fuc (r rbol ocoový rd trgooetrcá fuc od.). Njvhodejší tvr regreej fuce vle o vhodoteí orelého oefcet r. 9.3 Pretorová regreá lýz Pr rôzch techcých úlohách vužív retorová regreá lýz. Príld ú: lzác reuu ze uree regreej rov odvodee álou voých tvebých objetov uree retorovej oloh dotuít výoet výšo dgtálo odel reléfu é. vr retorových regreých fucí ú r.: - rov: (9.34) z - loch druhého tu rová ( herbolcý rbolod): z 3 (9.35) - loch treteho tu v tvre olóu: 3 3 3 4 5 6 7 8 9 z. (9.36) Obr. 9.. Pretorová oloh rov (dotut) 66

Príldo vužt retorovej regree v geoteche je uree retorovej oloh dotuít (ulových lôch) z výledov fotogretrcého vhodote dotut oto chrtertcých bodov > 3. Ceo reše je ur vrovávcu rovu v ere etorej z retorových oí XYZ z regreých oefcetov rov voít lo orál ω erí reetu rádu vetor (obr. 9.). Všeobecý tvr rov torý vjdrujú rezduá v ere o Y je b z c (9.37) v tcovo záe ( ) ( ) ( ) A 3 3 () (9.38) de je A tc úrdíc chrtertcých bodov dotut le v tcoch z tcový vetor oefcetov b c - tcový vetor le (... ). Pode bude leá. Stcový vetor uríe z rovce ( ) ( ) ( 3) A ( 3 ) A ( 3) A 3 (). (9.39) Súet štvorcov rezduí voíte z rovce: ( ) ( ) A ( 3 ) ( 3 ) ( ) (). (9.4) Preo roáce dotut vrovávcou regreou rovou chrterzuje jedotová tredá chb. (9.4) 3 Podobe ur regreé oefcet regreých roví toré roujú dotutu v ere o X Z. Slo ω erí reetu rádu vetor voíte z tých oefcetov regreej rov u torej jedotová tredá chb j (j z) l álu hodotu. Nr. od obr. 9. erí reetu rádu vetor regreej rov urveej do úeového tvru voíte z oefcetov 67

c c z c b (9.4) z rovce c 9 ϕ rctg. (9.43) c Slo ω rádu vetor dotut voíte z rovce b ω 8 ω z 8 rcco. (9.44) b Zeo odoc v eovtel je vžd oé o u regreého oefcet vrovávcej rov. c Pr roác dotut (rov) v ere o X Z voíte uhol ϕ ω z rovíc: - v ere o X c ϕ rctg c b ω z rcco (9.45) b - v ere o Z c z bz ϕ rctg c z ω z rcco. (9.46) b z z Uvedeý otu výotu lou regreej rov erí rádu vetor ôžee lov j uree áloov voých tvebých objetov z výledov velých erí. Vted oužjee eto úrdce v ere o Z rozdel výšo ozorových bodov edz dvo etový er. 9.4 Aroác bodového rdu fucou trgooetrcej rd (hrocá lýz) V rírode techcých zrdech rebehjú etoré jv t že urtý rgueto vlvu o je r. telot uhol vlová dž t. lulo rtá veo erého rguetu. Po dohutí bodový rd leá u oä vrc ôvodej hodote. Po rvej eróde P rebeh jvu ouje v ledujúcch eródch ( ) f ( P) f ( )... f P (9.47) Preto tí všetr rebeh jvu v jedej eróde. Jej rozh v v P urvíe ubttúcou 68

π t. (9.48) P Nr. rozh π u roého rebehu tredej hodot telot bude dob jedého ec rová 3 eród. Jedoduchý jv torý le z jedej rí (r. chbu z ecetrct ldád) je ožé vjdr rvou uod (obr. 9.3) L ( A z) (9.49) Máe oderých hodôt r hodotách ojtej reeej rguetu A. z ú hdé tr oštt vrovávcej fuce de je ordc uod je ltúd z je ou otu uod orot otu rguetu A. A oet oderých hodôt > 3 lujee vrove bodového rdu vroví MNŠ. Zotvíe rovcu oráv L ( A z) v (9.5) Obr. 9.3 Vrove bodového rdu uodou uc (9.5) je rílš zložtá to b e oocou troch vhode rozložeých bodov bodovo rde url rblžé hodot oštát. Vhodé je otuov t že grfc zázoríe rebeh bodového rdu. Hodot z odíte z grfu. Metódou vrov rotredujúcch erí uríe orv d d dz d d z z dz. (9.5) ucu (9.5) rozvee do lorovho rdu le rozvoj ( A z ) L L ( A ) z L z b ( A z ) co. (9.5) Pretvoreé rovce oráv budú tvr v ( A z ) d co( A z ) dz d (9.53) 69

v d d b dz. (9.54) Orv d d dz rblžý hodotá z uríe zá otuo vrov MNŠ. Voítý hodot (9.5) reíe odíté hodot z grfu zoujee vrove. Vždovú reo ure oštát ôžee ltov oroví dvoch o ebe voých výotov. Srvdl á tí jedo oové vrove. Jedotovú tredú chbu ezách oštát z voíte z rovíc v v 3 z zz. (9.55) 9.5 Alýz oreláce Mje rd erí dvojíc reeých. Výled erí ôžu uáz že jedej hodote vel bude zodoved vc hodôt j (j... ) o jedej hodote bude odoved vc hodôt (... ). S ecou hodotou eí tredá hodot druhej reeej. úto závlo edz dvo reeý ozujee ojo orelá závlo tý efuý vzh á ázov tochtcý (áhodý) lebo štttcý vzh dvoch velí. A veee grfc oderé hodot edotee bodový rd le lošý útvr orelé ole. Príou vzu orelého o je etec ôobe áhodých ftorov reeú rguet. Úlohou orelého otu je ur vzájoý vzh edz reeou rgueto torý vjdrujee oefceto oreláce. V orelo ol dotee dve vrovávce r od defíce vrov MNŠ ( P). ( P). (9.56) ué rovce rovce rezduí budú re rvú fucu (9.56). A B A B (9.57). Norále rovce oužtí váhových oefcetov jú tvr (rovce 9.8 9.9) Aˆ ˆ B (9.58) Aˆ Bˆ. Z rovíc voíte regreé oefcet  Bˆ (r. elou etódou oocou detertu (9.) lebo tcový rešeí) tredé chb vrových regreých 7

oefcetov A AA B BB chádzjú dgoále verzej tce orálch rovíc e váhové oefcet AA BB P. A vdelíe rvú rovcu (9.58) hodotou druhú rovcu hodotou dotee Aˆ Bˆ (9.59) A B. Dohl e že vrovác r rechádz žo bodov tzv. žo žých bodov U o úrdc U U. (9.6) A ú žá U od eb dottoe vzdleé voíte ch erce r U tg B ˆ. (9.6) U Zjedodušee rovíc (9.58) docele reducou úrdíc žo vted bude. Rovc r (9.57) o reduc žo á ouutý oto do ž vted regreý oefcet A ˆ ˆ B B ˆ. (9.6) Regreý oefcet B voíte z druhej rovce (9.59) e do ej dodíe reduové úrdce žo ˆ Bˆ tg. (9.63) B Regreá r re druhú odeu (9.56) bude Bˆ tg. (9.64) Z rovce (9.64) cot g Bˆ. (9.65) Regreé oefcet Bˆ v ere oí Y X ú ˆ B Bˆ. (9.66) B 7

Keb všet dvojce ( ) odovedl leáreu fuéu vzhu (ležl re) obdve regreé r b lul do jedej r. Vted b obdve erce ro bol rové ú velí B B bol rový : tg tg B B tg cot g. (9.67) Je to le teoretcý redold torý v erej r rtc d ete retože úo erých chýb úe ete redold b. Preto bude oer r tg Bˆ B B tg Bˆ er teot áhodého vzhu velí r zýv oefcet oreláce. (9.68) Koefcet oreláce r je odoc z odelu eríc oboch regreých ro lebo geoetrcý reer oboch oefcetov regree. Koefcet oreláce r voíte z rovíc (9.66) vzhu (9.68) r B B. (9.69) Koefcet oreláce r rových váhch ( ) bude r. (9.7) Koefcet oreláce re leáru orelácu je vhodé oít zo vzhu r. (9.7) de Dôz vzhu (9.7) zíe re rguet. Rovce oráv ú A B. (9.7) V tcovo tvre ( ) D( ) d ( ) () (9.73) A D ( ) d ( ) () B Zotvíe fucu MNŠ urvíe:. (d D - ) (D d - ) d D Dd - d D - Dd. (9.74) Nájdee etré fuce dervácou oroví ulou ( ) d D Dd D. (9.75) 7

Regreé oefcet A ˆ B ˆvoíte z rovce d (D D) - D. (9.76) V rovc (9.74) vtee d dotee d (D D d - D ) - Dd. (9.77) Výrz v zátvore je rovc (9.75) torá je rová ule. Zotávjúce le v rovc (9.77) jú výz... Dd... Aˆ Aˆ Aˆ Bˆ. Bˆ Bˆ Ke úrdce zreduujee žo vted A ˆ od rovce (9.63) je Bˆ. Súet štvorcov oráv voíte z rovce (9.77) ( ) de. (9.78) Obr. 9.4. Stue oreláce Súet štvorcov oráv dodíe do rovce (9.7) urvíe 73

r. (9.79) Doázl e t rovo vzhov (9.69) (9.7) výoet oefcet oreláce r. Koefcet oreláce dobúd hodot z tervlu ±. V rozhu tervlu oreláce hodotíe orelé vzh ledove (obr. 9.4).. r edz reeý e je leár vzh (orelác). hodot v bodovo grfe (9.4) ú etrcé oá reduových úrdíc. Obdve regreé r ú eb olé totožujú o X Y.. r tochtcý vzh edz reeý rechádz leár fuý vzh obdve regreé r lú do jedej r (obr. 9.4d). 3. < r <. A roztlový obrzec vzhu útreuje do I. III. Kvdrtu ú je ldý oefcet regree dobúd hodot v tervle < r <. A o je roztlový obrzec v II. IV. vdrte ú je záorý oefcet oreláce bude záoré hodot v tervle > r > -. Vrc oefcet oreláce Kždá štttcá chrtert ted j oefcet oreláce á tú vlto že o zešujúc oto združeých dvojíc ( ) zešuje j ohlvo voítých regreých oefcetov Aˆ B ˆ. S výoto oefcet oreláce r zoberáe j otázou ú veú hodotu výberového oefcet oreláce ovžujee z otujúcu rozhodute že dve reeé ú v tochtco (áhodo) vzhu o že ú v orelo vzhu. K uvedeý robléo otrebujee oz rozdelee ercého oefcet oreláce r jeho teoretcej hodote ρ v záldo úbore združeých dvojíc ( ). Vrce oefcet oreláce vjdrujee vzho ( ρ ) r (9.8) de vjdruje fuý vzh e obdve regreé r lú do jedej r ρ E(r) je oet dvojíc ( ). N tetove ohlvot ure oefcet oreláce oužíve rtcú hodotu oefcet oreláce r vo výbere zo záldého úboru r hotéze že oefcet oreláce (ρ) v záldo úbore je ρ. Krtcé hodot r ú uvedeé v tb. IX. oúdee že výberový oefcet r vo výbere zo záldého úboru ρ reroí vojou bolútou hodotou údj r rvdeodoboou o zujee { r > r } P r E(r) ρ. 74

N rtcé vužte je vhodé tetove relý vzh r < t (9.8) r je ereuázá orelác. t je rtcá hodot torú ájdee v tbue Studetovho rozdele - tu voot hlde výzot. t r < r < 4 lá orelác (ve voý vzh) (9.8) 4 < r < 85 dobrá orelác (reuázá orelác) (9.83) 485 < r < výzá orelác. (9.84) 9.6 Neleár orelác Ke bod orelo grfe zouujú oolo rv oužjee jvhodejšu eleáru fucu f(). Koefcet oreláce voíte od vzhu (9.6) I ( ). (9.85) Regreý oefcet r hodotí le leár vzh. Jeho hodotu urujee j v ríde eleárej fuce. Koefcet I zýv tež j de oreláce. 75

. KOLOKÁCIA Koloác je otu tetcého rcov erí obový jedotlvý otu toré ú: fltrác vrove redc. Koloácu ôžee lov r vhodocoví rôzch geodetcých erí o r. r regreej lýze družcových erch trforáce úrdíc od. Je to v rídoch e eré údje ore chýb z er obhujú j ltcou fucou oíteú rvdelých tetcých chýb vzájo ezávlých ervdelých tetcých chýb (áhodého chrteru). Prejv rvej t tetcých chýb ozujee tred druhú ozujee gál (obr..). Obr... Geoetrcá terretác oloáce Pr oloác ldee z úlohu vrov údje oderých bodoch tež ur údje eerých oležcch bodoch tzv. terolých bodoch. Pr to je dôležté vlú (fltrov) oderé údje toré etr do záldého úboru erí. Z otávjúcej vzor oderých údjov voíte oštt fuce tredu vroví oo zálde fuce tredu orelého vzhu edz ervdelý tetcý chb terolácou uríe vetor hodôt oloej fuce. eto úo ozujee redc. Obr... Porove oloáce MNŠ N obr.. je orove vrov etódou oloáce MNŠ. 76

Máe dých oderých oorých hodôt... v oorých bodoch u u... u. Oderé hodot obhujú rvdelých tetcých chýb (tred) ervdelých tetcých chýb (gál). V tcovo záe tred olu erý chb ozíe v gál. Vetor erí oorých bodoch ozíe ( ).... Pretvoreé odeové rovce jú tvr v. (.) Ke z tred zvolíe oló (-) tu erej vel u ( ): A A u ( ) A u... A u bude tc oefcetov ezách ( ) ( ) u u u ( ) (.) u u u u u u ( ) trforový vetor ezách ( ) A A A A (.3) vetor oráv v v ( ) v v v (.4) vetor gálu ( ) (.5) vtuá váhová tc P - P( ) lej ozíe vetor hodôt oloej fuce. (.6) v (.7) Predové hodot ých o oorých bodoch uríe z fuce (.8) de vetor hodôt vrovávcej oloej fuce je ( ) (.9) v redových oorých bodoch hodot u u u (.) tcou oefcetov u ezách 77

78 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u u u u u u u u u (.) gál ( ). (.) Úlý vetor oráv bude obhov orv gál oorých bodoch redových bodoch v v. (.3) K vetoru v zvedee tcu B torá vjdrí oždv vrove jedotlvých zlože (oráv gálov) E B E (.4) de E je jedotová tc je tc o ý ul. Do tce B e zvedl záorú jedotovú tcu z úelo úrv záorého ze vetor oráv v v rovc (.6). B. (.5) Rovcu (.) vrováe otuo vrov retr v tvre v B. (.6) Rovc (.6) je vedjšou odeou r hdí fuce. v v Pv v (.7) V hlvej odee (.7) á tc le ( ) 33. (.8) le tce (.8) urujú eráte o je uvedeé eôr. ucu (.7) uríe Lgrgeový otuo vužtí orelát. (.9) v v (B v - ). (.) Rovcu (.) rcále dervujee od reeých v Ω B v B v v (.)

Ω. (.) Z rovce (.) voíte vetor v v v B E E. (.3) Do rovce (.6) eto v dodíe B íšee rovcu (.) B B - (.4). V rvej rovc (.4) urvíe B B E E E B B (.5) dotee té orálch rovíc E. (.6) Rešeí rovíc (.6) voíte ezáe - ( - ). (.7) Vetor orelát dodíe do druhej rovce (.6) voíte ( - ) - ( ). (.8) Orv v gál redový gál voíte z rovíc (.3) v ( - ) ( - ) (.9) ( - ). Voíté hodot v rovcch (.9) oužjee výoet vrových hodôt v rovc (.7) v redových hodôt v rovc (.8) Výoet tredých chýb Jedotovú tredú chbu voíte zo vzhu 79

v Pv. (.3) P od rovce (.3) tte v rovc (.3) bude b re eré hodot (vetor redových gálov ebude zhrutý) v ( v ) ( v ) v. (.3) V jedotovej tredej chbe ú zhruté zlož zvšových chýb o j gálu. Vzh edz ovrou tcou C tcou váhových oefcetov (.5) o j re rv týchto tíc vjdrujú rovce C C (.3) q q q q (.33) de ú ovrce vjdruje orde rdu orde tc v tc (.35) C je vtuá ovrá tc oderých hodôt oorých bodoch ( ). (.34) Kovrá tc gálu oorých bodoch je 3 ( ). (.35) 3 3 Kovrá tc gálu redových bodoch je 3 ( ). (.36) 3 3 Úlá ovrá tc voít od rovce (.5). Kovrú tcu ezách uríe od záo o hrodeí váh od ché AP A e ltí ( A ) ( A ) ( ). ( ) ( ) ( ) 8

( ) Τ ( ) ( ). (.37) Stredé chb jedotlvých erých velí vetor ( A A w A ) voíte zo vzhu A...... (.38) A e váhové oefcet... chádzjú hlvej dgoále váhovej tce (.37). Kovré fuce V ovrých tcch (.35) (.36) vtuujú ovré fuce vo fore vrcí (r. ) vo fore ovrcí (r. j ). Vtuá tc obhuje vrce (štvorce tredých chýb) erí. Prv tíc je otrebé red vroví voít. ouje štttcé vltot gálu oorých bodoch redových bodoch. N ureé ovrce volí ovrá fuc torá á vlto lbut gálu rtjúcou vzdleoou. Vhodá je etorá z eoecálch fucí r. d j C C e ( j... ) (.39) j j retr C de C chrterzuje vrcu gálu ždo bode uruje tlee orelého vzhu v závlot vzdleot d dvoch uedých bodov. Príld výoet vrcí ovrcí Máe dých 5 erí v bodoch u de... 5. Uríe rv tíc oocou oloej fuce (.39) v bodoch ( j...4 ). u P j u 445 89 4335 578 6 86 93 459 67 u j 7 68 36 558 red budee vol v tvre r A A u. Pre ovrú fucu (.39) bol zvoleé oštt C 5 6. Odhdutá tredá chb er je. Vtué ovré tce budú: 8

5 9 9 5 9 9 5 9 9 5 9 9 5 9 46 Jedotlvé rv tíc voíte ledove: 9 46 9 9 46. 46 9 9 46 46 9 9 ( ) d 6 Ce 5e 5 d u u ( ) ( ) C C e e ( u u ) 6 ( 445) 5e 9 r ( u u ) ( ) ( u u ) 6 ( 7) 5e 9 t ( u u ) ( ). 8

. KOMBINOVANÉ VYROVNANIE. Vrove odeových erí ezá eto otu vrov oužíve v ríde e ú r vroví ezáe vel vzé ode. Mje erí r odeo ezách vted dotee ( r) rovíc oráv. Pr to uí lt > r > > r. (.) Ao ríld reše uvee vrove štvoruholí oderou uhloreou eúlý erí uhlov (.). Obr... Vrove štvoruholí ezá Máe oderé uhl ω ž ω 6 uhloreu v štvoruholíu 3. Je otrebé ur vrové uhl ω ž ω 6 vrovú džu ezáe uhl oo voít džu 4. Pod zd je 7 r 4 í ú leé vzh (.). Zotvíe 3 uhlové odeové rovce ϕ ϕ ϕ b c ω ω ω 3 ω ω 3 ω ω 4 4 5 ω ω 5 ω 6 g g g trovú odeovú rovcu vužtí rovoerých roterých uhlov (obr..) r ( ω 5 ω 6 ) ω ( ω ω ) ω 5 (.) ( ω ω ) ω ( ω ω ) ϕ d 5 6 ω 5. (.3) Všeobece to ôžee í ϕ (.. z...) 83

ϕ b (.. z...) (.4) ϕ r (.. z...). Zvedee ozee v rovcch (.4) v d d z z dz... rovce (.4) lerzujee rozvojo do lorovho rdu A ϕ b b ϕ r... r ϕ (... ) ϕ B ϕ C ϕ... z (.5) A r r ϕ r Br ϕ r Cr ϕ.... V rílde e voítl zo vzhov: g - ω ω ) ( ω 3 g - ω ω ). Uzáver v odeových rovcch voíte z rovíc ( 4 5 ω 6 u (.. z...) u b (.. z...) (.6) u r (.. z...). Pretvoreé odeové rovce budú tvr v v... v A d B d C dz... u b v b v... b v A d B d C dz... u (.7) b b b b r v r v... r v A d B d C dz... u. r r r r N vjdree odeových rovíc v tcovo tvre zvedee ozee b b b v Ab Bb Cb A ( r ) v ( ) ( r ) r d r d ub ( ) u ( r). dz Podeové rovce v tcovo tvre ú A r u u r v v ( r ) v ( ) ( r ) ( ) u ( r). (.9) A A r B B r C C r 84

Nezáe orv v z.. od zád vrov MNŠ uríe z fuce v Pv v v (.) torú rozšíre o vedjšu odeu doleú Lgrgeový ftor orelát. uc (.9) váhovou tcou P ( ) vetoro orelát ( r ) á tvr r Ω v ( A v u). v N uree fuce (.) oložíe rcále derváce od v rové ule Ω v v A (.) v A (.) Ω. (.3) Z rovce (.) voíte vetor oráv v A P A. (.4) Rovce oráv jú tvr b r v... r b r v (.5)... b v... r. r Z úelo výotu orelát rovcu oráv (.4) dodíe do rovce (.9) rojíe rovcu (.3) A A u Rovce v tcovo tvre ú. (.6) A A u. (.7) Rovce (.6) v Guovej uej bole jú tvr 85

b b r r A d Bd Cdz u bb br r Ab d Bbd Cbdz ub (.8) r br rr r Ar d Br d Cr dz ur A A A b r r B B B b r r C C C. b r r Ke oužjee rovce (.6) vetor orelát vetor v oráv ezách velí (uhlov) voíte t že z rvej rovce elujee orelát toré dodíe do druhej rovce (.6) ( A A) ( u) N ( u) N ( u) N N u ( N ) N u (.9). (.) Pr vroví odeových erí ezá otuujee t že o zotveí rovíc oráv (.4) zotvíe orále rovce v uo tvre (.8) lebo v tcovo tvre (.6). Voíte orelát z rovce (.9) toré dodíe do rovce (.4) voíte orv. Z rovce (.) voíte vetor ezách. Vrové eré vel (v rílde uhl) budú v ezáe vel d d z z dz... Jedotovú tredú chbu voíte zo vzhu v v (.) r de r je oet odeových erí je oet ezách. Súet štvorcov oráv voíte oužtí rovce (.) v v A A E v v A Pod rvej rovce (.6) A A A. (.) u oto v v ( u) u. Pod druhej rovce (.6) je. Súet štvorcov voíte z rovce 86

v v u u. (.3) Rovcu (.) zvje oužíve otrolu voítých oráv.. Vrove rotredujúcch erí ode edz erý vel eto otu vrov oužíve vted e eoo velí toré z er odvodzujee ú záe. Nr. techcou velácou ere revýše edz bod P ž P 3. Jedo z revýšeí je ureé reou velácou (h 3 ). oto revýšee á vtvár odeu vrove. Obr... Vrove výšovej ete Sú oderé revýše L (... 5). Ser tú ozuje ší. Pozáe výš bodov P P 3. Vo vzhu jedéu bodu (P ) urujee výš troch bodov. Poet erí (revýšeí) 5 oet ezách (výš bodov) 3 oet odeo (jedo dé revýšee) r. Poet rovíc oráv je totožý oto erí. Vrové er L v er ú v rotredujúco fuo vzhu ezá z... L ( z... ) v f (.4) v ( z ) L f.... (.5) Zvolíe redbežé hodot ezách z... ( 3) od vzhu d d (.6) z z dz toré dodíe do rovce (.5) de v ( d d z dz ) L f.... (.7) Rovce (.7) lerzujee rozvojo do lorovho rdu v d bd cdz... (.8) f b f c... f ( z...) L f z. 87

K rovc oráv rdáe odeové rovce v tvre A d Ad A3dz... u A B d B d B dz... u (.9) 3 B Rovce oráv v rílde zotvíe od ché r. uree výš bodu P H L v (.3) de H je výš bodu P. Rovce oráv lerzové rovce oráv budú v v v v v 3 4 5 H H z H z L L L L L 3 4 5 v v v v v 3 4 5 d d dz d d d dz odeová rovc - z h 3 -d dz u Vzh v rovcch (.8) (.9) vjdríe rovc v tcovo záe v v b c d v ( ) A ( ) ( ) dz v b b c c d 3 4 5 (.3) () A A A 3 ( r ) B B B3 u ( r ) u u v ( ) A ( ) ( ) () (.3) ( r ) ( ) u ( r). (.33) Pod zád vrovávceho otu re orelové er vetor uríe z ode v v. (.34) r leí vedjšej ode defovej rovc (.3). Hlvú odeu (.34) rozšíre o Lgrgeové ftor orelát torý reáobíe vedjšu odeu (.3) dotee Ω v ( u) v. (.35) 88

de P ú tce váhových oefcetov A je vetor orelát. B Rovcu (.34) urvíe do tvru v - v ( A - ) - (A - ) A - A A - - - A - A - A A - -. (.36) uc Ω o úrve bude Ω A - A A - - u. (.37) Mu fuce Ω uríe e rovcu (.36) zdervujee od oložíe rovú ule Ω A A A. (.38) K urveej rovc (.38) rdáe rovcu (.33) dotee orále rovce. A - A - A - u. (.39) Rovce (.39) v Guovej uej bole jú tvr b b c d d dz A B B b A bb bc b d d dz A B B A d A d A dz u 3 A B d B d B dz u 3 B Rovce (.39) ôžee zí tež v tvre A A A A u. (.4) Rešeí rovíc (.39) ezáe voíte orelát oocou torých voíte orv (.3) ( ) u. (.4) - A - A ( ) u - A - 89

- A - A ( ) u - A -. (.4) Z úelo otrol váobíe rovcu (.3) zv A - A v A A A. (.43) Porováe rovcu (.43) rvú rovcu (.39) dotee otrolú rovcu A v tež výoet oráv (.44) ( A ) v. (.45) Nezáe vroví obhuje vetor d d dz... d d z z dz... (.46) Jedotovú tredú chbu voíte zo vzhu v v (.47) de r. V šo rílde (5-3) 3. 9

. VYUŽIIE IERANÝCH MEÓD PRI VYROVNANÍ A GEODEICKÝCH VÝPOOCH Netoré geodetcé výot výot toré vedú ejedozéu re. eohlvéu rešeu ú redureé teréu výotu. Krtéro oužt terého výotu vo lcéu je reo ohlvo výledu. Vrove rotredujúcch erí zotvove oefcetov odeových rovíc fué vzh edz erý vrový vel e ú leáre vždujú zjedodušee lerzácu vzhov. Njtejše to voáve rozvojo do lorovho rdu. Pr rozvoj vchádze z redoldu dottoé reého odhdu lerzových velí. Vted ôžee ovžov rcále derváce všších rádov reeých vo fuo vzhu že jú zedbteú (ulovú) hodotu. Môže t ríd e odhd ezách velí ôžee dottoe ree ur re. ch hodotu zvolíe v hodote ubovoej oštt. Vted vrove vžduje lácu terého reše. Pr vrovch výotoch ltcej fotogretre to reše veé té rovíc ro ezáe vrové vel ú toe orelové. oto vede zotveu lbo odeeéu téu rovíc. (Rovce ú vzájo toe leáre závlé). Sú tež ríd že áe dozíc vc rovíc o je urových (vrovvých) velí. Aj r týchto výotoch oužíve teré lgort. Všeobecý ceo terých výotov je: - zvýš reo výotu do úrove vždového rtér - zjedoduš zložtý výoet - odtrá ejedozé rešee. Iteré otu reše zíe ríldoch.. Iterý výoet úloh retí red uhol reeu γ g Pr lác retí red (PN) do er výotov zhe le té obáce u torých uhol reeu ztí ohlvý výoet úrdíc erého bodu. V r železej geodéze e je eed ožé vtvor vc o jedu obácu PN (výoet reeí dotíc). Prto uhol reeu dotíc γ g (97 g γ < g ) výoet úrdíc etódou PN je eohlvý eôžee ož ltcé etód rojetov reoštruce oje. Vted oužjee terý otu výotu úrdíc. Nr. je dé úrdce bodov P P eríov V V (obr..). Obr... Pretíe red 9

Súrdce bodu V voíte terý otuo etódou zhuov tervlu výotu. Zvolíe er terého výotu r. dotc t budee oít úrdce bodu V o < (.) de je zvoleá reo výotu (r. (. -6 ) g ) (.) V V. V V ) Zvolíe východové ode výotu: - ztoú olohu bodu V ojc P V. Môžee olož V P lebo V uete do ubovoej vzdleot od bodu P (r. V / ) - východový tervl teráce (r. ). b) elo clu obhuje: - výoet úrdíc V V v ere vo vzdleot V - výoet uhl V V ˆ (.3) - rozdelu uhlov (.4) - uree eru terého rblžov bodu V od ze ( ) g (.5) - tet uoe výotu re. ové ode v ledujúco tero cle. A < výoet je uoeý (.6) V V V V. Od. Iteráce (.7) ( ) g oto oložíe V V orujee v ovo cle. A ( ) g vráte redchádzjúceu rou V V zhutíe tervl / voíte ovú vzdleo (.8) V V. lej orujee v lšo cle terého výotu.. Iterý výoet oloeru ružcového oblú Dé ú dotce [ P ( ) ] [ P ( ) ] t V ( 3 3 ) dž rjých rechodíc (obr..). t V bod ružcovo oblúu P 3 9

Obr... Výoet oloeru oblú V ltertúre uvádzjú otu reše toré ú do zložté. Zložeé ú : lác geoetrcej ou o ocot bodu u ružc rešeí útv leárch eleárch rovíc tero výote o terác 8-ch reeých. Poloer voíte etódou zhuov tervlu výotu. ) Vtuý výoet východové ode: - etódou PN z bodov P P eríov V V voíte úrdce reeí dotíc V V. - zvolíe ztoé ode teráce: r 5 (ál oloer ôžee zvol j r ) ztoý tervl r. r. b) V tele clu voíte: r r r oddee ružcového oblú de tgλ r ( co λ) (.9) 3 λ rc r džu dotce ( r ) tg / t úrdce tredu ružcového oblú ( S ) S. S 93

( r ) S S V t V (.) ( r ) S S V t co V co - re oloer r ( ) ( ) voíte ( t ) orováe ( ) A ( r ) ( ) 3 S 3 S. r r < (.) r je hdý oloer ružcového oblú. A ( r ) < ( ) (.) r oto r r r orujee v ovo cle výotu. A ( r ) > ( ) (.) r oto r r r r r / r r r. Iterý clu (9) (3) oí leí erovce ()..3 Iterý výoet reeí r rvou Kubcá rbol ( ) ZP ZP ZP erío. 3 γ je ureá oloero r džou rechodce úrdc 6r ZPV Výoet reeí rv rou [ P( ) ] úrdíc bodov ZP P vžduje voít z geodetcých 3 γ (obr..3) (.4) 6r de γ. co λ Bodo vedee dotcu rbole torej uhol β rctg r co λ je ercou dotce q. (.5) 94

Obr..3. Výoet úrdíc reeí bodu r rvou Súrdce bodu voíte o reeí ro q toré oužjee výoet úrdíc. Iterý výoet úrdíc reeí rbol r je uoeý <..4 Rešee rozhlch téov rovíc Mje r. orále rovce v tvre N A b re. (.7) A N -N - b. (.8) Vrešeí téu rovíc (.7) dotee vetor ezách rovce (.7) voíte rvú tru téu rovíc (.7): ( ) torý dodíe do ( ) ( ) N b. (.9) Rozdel vetorov ( ) ( ) b b z je vetor rezduí torý oove reše té rovíc ( ) ( ) N z. (.) Výledo reše je vetor ( ). Orveé ezáe o. terác jú hodot: ( ) ( ) ( ). (.) Rešee (.9) ž (.) clc ouje dovted ý e je leá ode ( ) ( ) < de je vždová reo výoet. Pr terých výotoch je dôležté vžd ledov overgecu otuot terovej vel (vetor). Pr oítovo tero otue dvergece výotu zbráe ltoví otu terácí. Z uvedeého vlýv edotto terej etód reše v to že terác overguje b r leí urtých odeo toré defujee r lýze lgortu reše. Progrove terých výotov á štdrdý chrter. N zto defujee vtué údje toré reujee v tele clu dovted o e je leé rtéru terého reše. 95

LIERAÚRA [] Abelov J. ol.: Mere v geodetcých ech.. vde Brtlv ALA 99 8. [] Btterer L.: Geodéz. 3. vd. Brtlv ALA 99 44. [3] Böh J. Rdouch V. Hcher M.: eore chb vrovávcí oet.. vde Prh Geodetcý rtogrfcý od 99 46. [4] Cebecuer D.: eór chýb vrovávcí oet VŠDS Žl 996 95. [5] Cebecuer D.: Vužte robutých odhdov v žerej geodéz. Geodetcý rtogrfcý obzor 35 (77) 989.. 33 35. [6] H.: heor of Error d Let Squere Adjutet. Rol Ittute of techolog. Stochol 997 7. [7] Hcher M. Rdouch V.: eore chb vrovávcí oet. [Príld ávod e cveí]. vd. Prh VU 99 5. [8] Hcher M. Rdouch V.: Mtce jejch užtí ve vrovávcí otu. Príloh Geodetcého rtogrfcého obzoru. Prh 98. 4. [9] Hátle J. Leš J.: Záld otu rvdodobot tetcé ttt.. vd. Prh SNL 974 463. [] Hlr.: K otázce vrováí oov r eých v dách uách. Geodetcý rtogrfcý obzor 9 (7) 983. 4. 87 93. [] Krjí J.: Loále geodetcé ete.. vde Brtlv Sloveá dé ved 963 34. [] Re G.: De Auglechugrechug. 5. Aufl. Berl VEB Verlg für Buwee 98 368. [3] Ršvý J.: Všší geodee. vd. Prh eá tce techcá 947 5. [4] erologcý loví geodéze rtogrfe ttr. Brtlv 998 54. [5] rol M..: Eleetr Stttc. ed. New Yor. he Bej/Cug Publhg Co Ic. 989 78. [6] SN 73 4. Názvoloví v geodéz rtogrf 989. [7] SN 93. Z velí v geodéz rtogrf. 979. 96

ABUKOVÉ PRÍLOHY b. I. Norále rozdelee rvdeodobotí. Hodot fuce. V ríde oštruce Guovej rv ltí e (v obr. v tb. II.). Pr π 3984 vroví dého htogru Guovou rvou je h de je oet rídov (chýb) v úbore h je tred tervl je tredá vdrtcá odchýl (chb) h vjdreá v jedotách tredeho tervlu. Oze - zejú -. t e t 97

b. II. Pordce (hutot rvdeodobot) oráleho rozdele. t t ϕ ( t) e 398 94 e π ϕ( t) t. Oze - zejú -. 98

b. III. Suá (dtrbuá) fuc t t ( t) e dt Φ( t) π (orále rozdelee rvdeodobot) v t lebo t V Hodot dávjú teoretcé uultíve rvdeodobot chýb (odchýlo) od- do t-áobu tredej vdrtcej chb (orv). Oze - zejú. -. 99

b. IV. Norále rozdelee v t t π t Hodot fuce G( t) Φ( t) e dt t lebo E( c ) ( v ) V E. v. bu udávjú rvdeodobo výtu chb (orv) edz ž t-áobo tredej (vdrtcej chb (orv). Oze v tbue - zejú -.

b. V. uc Φ (t) G (t) t t e dt (orále rozdelee) π t v t lebo t. V uc dáv rvdeodobo výtu chb (orv) v edzch ± t-áobu tredej vdrtcej chb (orv). Oze - zejú -.

b. VII. Rozdelee χ (chí vdrt) ( χ > χ ) ϕ ( χ ) P χ bu obhuje hodot dχ χ. Arguet zeá oet utoých chýb re χ v Je oet dbtoých erí re χ ( r R ) reduový oet tred re χ R Peroovo rtéru) de je tredá chb záldého (guového) úboru je oet urových tredých hodôt (ezách) v rtetco reere je oet tred R r ú orále utoé trede oetot.