Vo vedeckých a inžinierskych analýzach sa asto stretávame s kvantitatívnym hodnotením dvoch a viac veliín, ktoré vyjadrujeme funkným vzahom
|
|
|
- Αγρίππας Ζάρκος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 9. REGRESNÁ A KORELANÁ ANALÝZA Vo vedeckých žerskch lýzch s sto stretávme s kvtttívm hodoteím dvoch vc velí, ktoré vjdrujeme fukým vzhom f(), z ϕ(, ). (9.) Vel sú vzájome šttstck korelové (závslé). Prtom epozáme tp koštt fukce, ktoré dodtoe urujeme podklde emprck zsteých (odmerých) údjov. eto druh reše prolému zývme regresá lýz. esos emprckej závslost korelových velí šttstck vhodoteom fukom vzhu zývme korelá lýz. V rovcch (9.) pr. mesto presých hodôt X, Y máme k dspozíc odmeré hodot,. Vrovávc krvk f() je spojtá prechádz medz odm emprckého polgóu, ktorý je vtvoreý odmerým údjm (or. 9.). Odstup odov P od krvk ε sú rezduá leo regresé ch. Emprckým ureím tpu ltckej fukce jej íselých koštát vjdrujeme preeh jvu odmerých hodôt závslej premeej pr mecch s hodotách rgumetu. Grfcké zázoree preehu jvu, vplvom merských chý leo ých rušvých vplvov, vjdruje eprvdelý rd odov (emprcký polgó). Úlohou je ájs tkú fukú závslos medz premeým,, preeh fukce jvu chrkterzový vrovávcou krvkou, s pr jedoduchom tvre fukce optmále prmkol k emprckému polgóu. Zvje máme k dspozíc dtoý poet merí, vted koefcet fukce (9.) uríme s vrovím MNŠ. Výsledkom ude tzv. regresá krvk. Apromác skutoého preehu jvu je evhutá k terpolác preehu jvu pre uovoú hodotu rgumetu. Použív s sto k íselému vjdreu fzkálch vzhov v geodéz v ých vedých odoroch. Or. 9.. Regresá krvk Metód regresej korelej lýz, ko všetk metód mtemtckej šttstk, pr omedzeom spleí podmeok udú m j omedzeú pltos záverov, v zásde defovom tervle, (,,... ). Metód regresej korelej lýz sú zložeé výsledkoch merí rdu dvoch súse ezávslých premeých. Výsledkom ude rd hodôt dvojíc, ktoré povžujeme z mere 60
2 dvojrozmerej vel. Pr korelác udeme predpokld, že oe premeé sú spojté áhodé vel. V regresej lýze stí predpokld, že jed z odvoch premeých je spojtá áhodá vel, u druhej emusí teto predpokld spleý. Pr regresej lýze povžujeme zvje hodot jedej premeej, pr., z mere spojtej áhodej vel pre dé hodot druhej premeej. Pre kždú z dých hodôt (,,..., ) ude m áhodá vel urté rozdelee so stredou hodotou vrcou, zodpovedjúcou príslušej hodote. Ak vhodocové kvtttíve vzh rešme leárou fukcou o ekokých ezámch prmetroch (regresých koefcetoch), rešeý prolém zývme leár regres. Neleár regres vžduje špecále rešee. Ke je poet lzových prvkov (, ) dv, rešeý prolém ozujeme jedopremeá regresá lýz. Väší poet lzových prvkov ko dv ozujeme multpremeá regresá lýz. Estujú tr vrt reše:. Uvžujeme le regresé ch ε fukce vrove vkoáme z podmek P m. Merským chm sú zžeé hodot hodot povžujeme z ezché f ( ) + ε, ε 0, P m. (9.) Je to jstejší prípd v geodetckých plkácách.. Uvžujeme le regresé ch ε rgumetu. Vrove vkoáme z podmek ( + ε ) f, ε 0, P m. (9.3) 3. Uvžujeme regresé ch ε fukce ko j regresé ch rgumetu. Rešme podmeku + P P m. (9.4) 9. Leár regres Predpokldjme, že dve vel sme odmerl krát s údjm:,,...,,,...,. Úlohou je zst, pltí vzh medz velm vjdreý rovcou A +, (9.5) kde A, sú ezáme (teoretcké) regresé koefcet. Ak rovc (9.5) geometrck predstvuje prmku, zývme ju teoretcká regresá prmk. Vzh medz môže ovplveý mohým komplkovým fktorm, okrem toho údje (,,,,... ) sú zžeé merským chm. Rovcu (8.5) uprvíme pre odmeré údje + ε A +, (9.6) 6
3 prom o zvškových regresých chách (rezduách) predpokldáme, že všetk ch ε ( ) sú vzájom ezávslé. A sme šl vrové hodot regresých koefcetov jlepše vhovovl vzhu odmerých údjov (, ) stovujeme podmeku ( A + ) A ˆ, ˆ, ktoré ε m. (9.7) Regresá lýz formulová vzhom (9.7) Aˆ, ˆ ezámch regresých koefcetov, predstvuje promácu s vrovím MNŠ. Vrové optmále hodot regresých koefcetov A, dosteme dervácou rovce (9.7) porováme s ulou A ( A + ) ( Aˆ + ˆ )( + ) 0 A Aˆ, ( A + ) ( Aˆ + ˆ )( + ) 0 A Aˆ,,, o vede k leáremu sstému rovíc pre ezáme regresé koefcet A ˆ, ˆ Aˆ, kde (9.8),,., (9.9), Rovcu (9.8) môžeme mtcovo zpís j v tvre C D. (9.0) Rešeím rovce (9.8), resp. (9.0) s verzou mtce C pomocou determtu, vrešme regresé koefcet A ˆ, ˆ C D A 6
4 . (9.) + Ureím regresých koefcetov Aˆ, ˆ vrovím MNŠ, vpoítme vrové rezduá εˆ, ktoré jedotlvo vjdrujú tesos emprckého polgóu od regresej prmk Aˆ+ ˆε A ˆ + ˆ. (9.) eoretcké rezduá ε mjú pror rozdelee ε N(0, σ ). Výerovú (áhodú) hodotu σ vpoítme z rezduí vrových MNŠ z rovce ( Aˆ + ˆ ) ˆ σ 0 ˆ ε. (9.3) ˆ0 Vrc σ je tež merou tesost všetkých odov k vpoítej regresej prmke Aˆ+ ˆ. Emprcké stredé ch vrových regresých koefcetov A ˆ, ˆ vpoítme z rovíc: σ ˆ ˆ0 σ, A σ ˆ ˆ0 σ. (9.4) Pre teoretcké rezduá ε N(0, σ ) plkujeme t χ rozdelee Aˆ σ Aˆ t(-), σ t(-), (9.5) ˆ σ ( ) σ Aˆ + σ ˆ χ (-). (9.6) Ak je zám vrc σ, celková pltos leárej regrese s šttstck testuje rovcou (9.6). Ak leárou regresou ureé koefcet Aˆ, ˆ ol šttstck spohlvo ureé (testom koefcet koreláce r, kp. 9.4) môžu použté predkcu hodot p pre hodotu p vel z tervlu p ( m, m ) ˆ Aˆ +. (9.7) p p 9. Neleár regres Vo všeoecost eleár regres e je tká jedoduchá ko leár regres. Pr hodoteí emprckého polgóu vzhov medz velm sto chádzme eleáru závslos. Neked eleár regresý model môžeme trsformov leár model zvedeím fukých vzhov medz regresým koefcetm tk, ko s to uvedeme v príkldoch. 63
5 Príkld 9.: Predpokldjme, že dve sére merí, (,,... ) vhovujú sledovému eleáremu regresému modelu, (9.8) A + kde A, sú regresé koefcet, ktoré je potreé ur. Rovcu (9.8) v ttel meovtel vdelíme, po úprve dosteme A +. Zvedeme ové vel Y, X. (9.9) Rovc (9.8) s zredukuje do leáreho tvru Y A + X, (9.0) z ktorého vpoítme regresé koefcet Aˆ. Príkld 9.: Iý eleár regresý model dvoch sérí merí, (,,... ) je Ae, (9.) kde A sú regresé koefcet, ktoré je potreé ur. Rovcu (9.) ooch strách lerzujeme prrodzeým logrtmm dosteme A. (9.) Po susttúc X, Y, A,, (9.3) dosteme leár regresý model dvoch ových regresých koefcetov : Y. (9.4) X Ke vrovím MNŠ vpoítme regresé koefcet, orgále regresé koefcet A uríme z rovíc (9.3) A ˆ e,. (9.5) 64
6 Príkld 3: Z lších tpov fukcí, ktoré s sto používjú v geodetckých plkácách sú: - epoecál fukc e, (9.6) leár tvr fukce je + Y A +, kde ˆ A,, (9.7) A ; e - logrtmcká fukc +, (9.8) leár tvr fukce je Y A + X, kde X X e, (9.9) -mocová fukc, (9.30) leár tvr fukce je + Y A + X, e A,. (9.3) Príkld 4: kmer uverzálm tpom regresej fukce vrove v dom tervle je mocový rd 3 A0 + A + A + A A. (9.3) Ak urujeme dv prmetre (A 0, A ) je to prmk, tr prmetre (A 0, A, A ) je kvdrtcká prol, štr prmetre kucká prol. Optmál odhd regresých koefcetov A ˆ0. (,,... ) docelme pomocou vrov MNŠ, o vžduje dtoý poet regresých vzhov medz velm ko je poet regresých koefcetov. Jedotkovú stredú chu vpoítme zo vzhu m0, (9.33) k kde k je poet regresých koefcetov. Výpotom regresých koefcetov vtvoríme terpolú fukcu f(). Spohlvos terpoláce odhdeme vužtím jedotkovej stredej ch m 0. Vtvoríme pásmo spohlvost terpoláce pr hlde výzmost α s krtckou hrcou t α m 0 od regresej fukce, ke t α uríme zo Studetovho rozdele pre dtoých regresých vzhov. 65
7 Pásmo terpoláce je v tervle < m, m >. Etrpolác e je spohlvá. použjeme leár leo eleár regresý model záleží od chrkteru vzhu medz velm. Predežé rozhodute je možé uro pr vkresleí odov P (, ) pre,,..., v rovom súrdcovom sstéme súrdíc vzuálom poroví regresého polgóu ekokým zámm fukcm (prmk, prol, mocoový rd, trgoometrcká fukc pod.). Njvhodejší tvr regresej fukce vple po vhodoteí korelého koefcet r. 9.3 Prestorová regresá lýz Pr rôzch techckých úlohách s vužív prestorová regresá lýz. Príkldm sú: mmlzác presuu zem, uree regresej rov odvodee áklou vsokých stveých ojektov, uree prestorovej poloh dskotuít, výpoet výšok dgtálom model reléfu é. vr prestorových regresých fukcí sú pr.: - rov: +, (9.34) z ploch druhého stup prmková ( hperolcký prolod): z , (9.35) - ploch treteho stup v tvre polóu: z +. (9.36) Or. 9.. Prestorová poloh rov (dskotut) 66
8 Príkldom vužt prestorovej regrese v geotechke je uree prestorovej poloh dskotuít (puklových plôch) z výsledkov fotogrmetrckého vhodote dskotut s potom chrkterstckých odov > 3. Ceom reše je ur vrovávcu rovu v smere ektorej z prestorových osí XYZ z regresých koefcetov rov vpoít sklo ormál ω smerík premetu σ rádus vektor (or. 9.). Všeoecý tvr rov, ktorý vjdrujú rezduá v smere os Y je ε + z + c (9.37) v mtcovom zápse ( ) ( ) ( ) +, A,3 3, (,), (9.38) kde je A mtc súrdíc chrkterstckých odov dskotut s lem v stpcoch, z,, stpcový vektor koefcetov,, c, - stpcový vektor s lem, (,,..., ). Podmek, ude spleá, k 0. Stpcový vektor uríme z rovce ( ) ( ) ( 3,) A ( 3, ) A (,3) A 3, (,). (9.39) Súet štvorcov rezduí vpoítme z rovce: ( ), (, ) A (,3 ) ( 3, ) + (, ) (,). (9.40) Presos promáce dskotut vrovávcou regresou rovou chrkterzuje jedotková stredá ch m0. (9.4) 3 Podoe s ur regresé koefcet regresých roví, ktoré promujú dskotutu v smere os X Z. Sklo ω smerík premetu rádus vektor σ vpoítme z tých koefcetov regresej rov, u ktorej jedotková stredá ch m 0j (j,, z) ml mmálu hodotu. Npr. pod or. 9. smerík σ premetu rádus vektor regresej rov uprveej do úsekového tvru vpoítme z koefcetov 67
9 c + c + z c, (9.4) z rovce c σ 90 ϕ rctg. (9.43) c Sklo ω rádus vektor dskotut vpoítme z rovce ω 80 ω z 80 rccos. (9.44) + + Zmeko odmoc v meovtel je vžd opé ko u regresého koefcet vrovávcej rov. c Pr promác dskotut (rov) v smere os X Z vpoítme uhol ϕ ω z rovíc: - v smere os X c ϕ rctg, c ω z rccos, (9.45) v smere os Z, c z z ϕ rctg, c z ω z rccos. (9.46) + + z z Uvedeý postup výpotu sklou regresej rov smerík rádus vektor môžeme plkov j uree ákloov vsokých stveých ojektov z výsledkov velých merí. Vted použjeme mesto súrdce v smere os Z rozdel výšok pozorových odov medz dvom etpovým merm. 9.4 Apromác odového rdu fukcou trgoometrckej rd (hrmocká lýz) V prírode techckých zrdech preehjú ektoré jv tk, že s urtým rgumetom vplvu ko je pr. s, teplot, uhol, vlová džk, t. plulo rstá vekos merého rgumetu. Po doshutí mm odový rd klesá mmum opä s vrc k pôvodej hodote. Po prvej peróde P s preeh jvu opkuje v sledujúcch peródch ( ) f ( + P) f ( + )... f P (9.47) Preto stí všetr preeh jvu v jedej peróde. Jej rozsh v v 0 P uprvíme susttúcou 68
10 π t. (9.48) P Npr. rozsh π u roého preehu stredej hodot teplot ude do jedého mesc rová 30 peród. Jedoduchý jv, ktorý ple z jedej prí (pr. chu z ecetrct ldád), je možé vjdr krvkou susod (or. 9.3) L ( A z) + s (9.49) Máme odmerých hodôt pr hodotách spojtej premeej rgumetu A., z sú hdé tr koštt vrovávcej fukce, kde je pordc susod, je mpltúd, z je posu potku susod oprot potku rgumetu A. Ak poet odmerých hodôt > 3 plkujeme vrove odového rdu s vrovím MNŠ. Zostvíme rovcu opráv L ( A z) + v + s (9.50) Or. 9.3 Vrove odového rdu susodou Fukc (9.50) je prílš zložtá to, sme pomocou troch vhode rozložeých odov odovom rde, url prlžé hodot koštát. Vhodé je postupov tk, že s grfck zázoríme preeh odového rdu. Hodot 0, 0 z 0 odítme z grfu. Metódou vrov sprostredkujúcch merí uríme oprv d, d dz, 0 + d, 0 + d, z z 0 + dz. (9.5) Fukcu (9.50) rozveme do lorovho rdu s lem rozvoj s( A z0 ), L L, ( A ) s z 0, L z ( A z ) 0 0 cos. (9.5) 0, Pretvoreé rovce opráv udú m tvr v ( A z 0 ) d 0 cos( A z 0 ) dz + d + s 0, (9.53) 69
11 v d + d + dz. (9.54) Oprv d, d dz k prlžým hodotám 0, 0 z 0 uríme zámm postupom vrov MNŠ. Vpoítým hodotm (9.5) spresíme odíté hodot z grfu zopkujeme vrove. Vždovú presos ure koštát môžeme lmtov porovím dvoch po see vkoých výpotov. Sprvdl ám stí jedo opkové vrove. Jedotkovú stredú chu m 0 ezámch koštát, z vpoítme z rovíc m 0 v v 3, m m0 Q, m m0 Q, mz m0 Qzz. (9.55) 9.5 Alýz koreláce Mjme rd merí dvojíc premeých,. Výsledk merí môžu ukáz, že jedej hodote vel ude zodpoved vc hodôt j (j,,..., ) opk jedej hodote ude odpoved vc hodôt k (k,,..., m). S mecou hodotou s meí stredá hodot druhej premeej. kúto závslos medz dvom premeým ozujeme pojmom korelá závslos tký efuký vzh má ázov stochstcký (áhodý) leo šttstcký vzh dvoch velí. Ak veseme grfck odmeré hodot, edosteme odový rd, le plošý útvr korelé pole. Príou vzku korelého po je estec pôsoe áhodých fktorov premeú rgumet. Úlohou korelého potu je ur vzájomý vzh medz premeou rgumetom, ktorý vjdrujeme koefcetom koreláce. V korelom pol dosteme dve vrovávce prmk pod defíce vrov MNŠ ( P) m. ( P) m. (9.56) Fuké rovce rovce rezduí udú pre prvú fukcu (9.56). + ε A + ε A + (9.57) ε 0. Normále rovce s použtím váhových koefcetov p mjú tvr (rovce ) paˆ + ˆ p p 0, (9.58) paˆ + p p 0. Z rovíc vpoítme regresé koefcet Â, (pr. elmou metódou, pomocou determtu (9.), leo mtcovým rešeím) stredé ch vrových regresých 70
12 koefcetov m A m 0 QAA, m m 0 Q chádzjú dgoále verzej mtce ormálch rovíc, ke váhové koefcet Q AA Q s m 0 P. Ak vdelíme prvú rovcu (9.58) hodotou p druhú rovcu hodotou p dosteme p p Aˆ + 0, (9.59) p p A + p p p p 0. Doshl sme, že vrovác prmk prechádz žskom odov tzv. žskom žkých odov U so súrdcm p, p p, p p U, p p U. (9.60) p Ak sú žská U od se dosttoe vzdleé, vpoítme ch smerce prmk U tgα ˆ. (9.6) U Zjedodušee rovíc (9.58) docelme redukcou súrdíc žsko p p,,,, vted ude p p 0. p p Rovc prmk (9.57) po redukc žsko má posuutý potok do žsk, vted regresý koefcet A ˆ 0 ˆ + ε, ε ˆ. (9.6) Regresý koefcet vpoítme z druhej rovce (9.59), ke do ej dosdíme redukové súrdce žsko ˆ p p tgα. (9.63) p p Regresá prmk pre druhú podmeku (9.56) ude tgα. (9.64) Z rovce (9.64) cot gα. (9.65) Regresé koefcet v smere osí Y X sú ˆ p, p p. (9.66) p 7
13 Ke všetk dvojce (, ) odpovedl leáremu fukému vzhu (ležl prmke), odve regresé prmk splul do jedej prmk. Vted odve smerce prmok ol rovké sú velí ol rový : tg α tg α tg α cot gα. (9.67) Je to le teoretcký predpokld, ktorý v merskej pr prktck kd este, pretože úkom merských chý súse este predpokld, 0 0. Preto ude pomer r tgα tgα mer tesost áhodého vzhu velí, r s zýv koefcet koreláce. (9.68) Koefcet koreláce r je odmoc z podelu smeríc ooch regresých prmok leo geometrcký premer ooch koefcetov regrese. Koefcet koreláce r vpoítme z rovíc (9.66) vzhu (9.68) r p p p. (9.69) p p p p Koefcet koreláce pr rovkých váhch (p ) ude r. (9.70) + Koefcet koreláce pre leáru korelácu je vhodé poít zo vzhu r. (9.7) kde Dôkz vzhu (9.7) zíme pre rgumet. Rovce opráv sú ε A +. (9.7) V mtcovom tvre (, ) D(,) d (, ) (,) (9.73) A D (,), d (,), (,) Zostvíme fukcu MNŠ uprvíme:. (d D - ) (D d - ) d D Dd - d D - Dd +. (9.74) Nájdeme etrém fukce dervácou porovím s ulou ( ) d D Dd D 0. (9.75) 7
14 Regresé koefcet A ˆ, ˆvpoítme z rovce d (D D) - D. (9.76) V rovc (9.74) vtkeme d dosteme d (D D d - D ) + - Dd. (9.77) Výrz v zátvorke je rovc (9.75), ktorá je rová ule. Zostávjúce le v rovc (9.77) mjú výzm,...,, Dd... Aˆ Aˆ Aˆ +. Ke súrdce zredukujeme žsko, vted A ˆ 0 pod rovce (9.63) je. Súet štvorcov opráv vpoítme z rovce (9.77) ( ), kde. (9.78) Or Stupe koreláce Súet štvorcov opráv dosdíme do rovce (9.7) uprvíme 73
15 r + +. (9.79) Dokázl sme tk rovos vzhov (9.69) (9.7) výpoet koefcet koreláce r. Koefcet koreláce doúd hodot z tervlu 0, ±. V rozshu tervlu koreláce hodotíme korelé vzh sledove (or. 9.4).. r 0, medz premeým, e je leár vzh (korelác). 0 hodot v odkovom grfe (9.4) sú smetrcké k osám redukových súrdíc,. Odve regresé prmk sú se kolmé stotožujú s s osm X Y.. r, stochstcký vzh medz premeým, prechádz leár fuký vzh odve regresé prmk splú do jedej prmk (or. 9.4d) < r <. Ak s rozptlový orzec vzhu, sústreuje do I. III. Kvdrtu, sú je kldý koefcet regrese doúd hodot v tervle 0 < r <. A opk, k je rozptlový orzec v II. IV. kvdrte sú, je záporý koefcet koreláce ude m záporé hodot v tervle 0 > r > -. Vrc koefcet koreláce Kždá šttstcká chrkterstk, ted j koefcet koreláce má tú vlstos, že so zmešujúcm s potom združeých dvojíc (, ) s zmešuje j spohlvos vpoítých regresých koefcetov Aˆ, ˆ. S výpotom koefcet koreláce r s zoeráme j otázkou kú vekú hodotu výerového koefcet koreláce povžujeme z postujúcu rozhodute, že dve premeé sú v stochstckom (áhodom) vzhu opk, že sú v korelom vzhu. K uvedeým prolémom potreujeme poz rozdelee emprckého koefcet koreláce pr jeho teoretckej hodote ρ v zákldom súore združeých dvojíc (, ). Vrce koefcet koreláce vjdrujeme vzhom ( ρ ) σ r, (9.80) kde vjdruje fuký vzh, ke odve regresé prmk splú do jedej prmk, ρ E(r), je poet dvojíc (, ). N testove spohlvost ure koefcet koreláce používme krtckú hodotu koefcet koreláce r α vo výere zo zákldého súoru pr hpotéze, že koefcet koreláce (ρ) v zákldom súore je ρ 0. Krtcké hodot r α sú uvedeé v t. IX. posúdee, že výerový koefcet r vo výere zo zákldého súoru s ρ 0 prekroí svojou solútou hodotou údj r α s prvdepodoosou α, o zpsujeme { r > r α } α P pr E(r) ρ 0. 74
16 N prktcké vužte je vhodé testove relým vzhm r < t σ (9.8) α r je epreukázá korelác. t α je krtcká hodot, ktorú ájdeme v tuke Studetovho rozdele s - stupm voost hlde výzmost α. t α σ r < r < 0,40 mlá korelác (vem voý vzh), (9.8) 0,40 < r < 0,85 dorá korelác (preukázá korelác), (9.83) 40,85 < r < výzmá korelác. (9.84) 9.6 Neleár korelác Ke s od korelom grfe zoskupujú okolo krvk použjeme jvhodejšu eleáru fukcu f(). Koefcet koreláce vpoítme pod vzhu (9.6) I ( ). (9.85) Regresý koefcet r hodotí le leár vzh. Jeho hodotu urujeme j v prípde eleárej fukce. Koefcet I s zýv tež j de koreláce. 75
ε vyjadruje pravdepodobnos, že ε x. Funkcia f(x) je tiež oznaená ako hustota
7 VARIANNO KOVARIANNÁ MAICA Rozdelee áhodej vel (premeej) (môže ju predstvov ch oprv v vektor merých velí ) je vjdreé dstruou ukcou F() prvdepodoos výsktu áhodej premeej je vjdreá rekveou ukcou () Vzájomý
10 Určitý integrál, jeho výpočet a aplikácie
Híc, P. Pokorý, M.: Mtemtk pre formtkov prírodé vedy Určtý tegrál, jeho výpočet plkáce. Motvác k určtému tegrálu Úvodom s udeme zoerť jedou úlohou z geometre, rešee ktorej vede k zvedeu pojmu určtý tegrál.
Regresná analýza x, x,..., x
Regresá aalýza Základé pojmy Regresá aalýza skúma fukčý vzťah (priebeh závislosti), podľa ktorého sa meí závisle premeá Y pri zmeách ezávislých veličí x, x,..., x k. x = ( x, x,..., x ) i i i i T Y = (Y,
Limity okolo nás. T (konečná) = 0, U (konečná) = mgr, max. max
Obsh Obsh Úvod 6 Limit okolo ás 7 Limit fukcie Limit rcioálch fukcií Limit ircioálch fukcií 8 5 Limit goiometrických cklometrických fukcií 5 6 Limit epoeciálch logritmických fukcií 7 Limit hperbolických
3 Lineárny regresný model
3 Leár regresý model 49 3 Leár regresý model Ekoometrcký model sa zostavuje sústavou rovíc. Východskovým údajm pre zostavee modelov sú údajové súor, ktoré sa získavajú z údajov štatstckých úradov a podkových
1 lim. Analýza výstupných dát simulácie Odhad neznámej strednej hodnoty
V. Solá, KIVT FEI STU Bratslava 6 : Aalýza výstupých dát smuláce Odhad ezámej stredej hodot Cetrála lmtá veta CLV: Nech,,... sú IID áhodé premeé so stredou hodotou µ a koeou dsperzou σ. Potom x R platí:
Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2.
Vele u ehc Rd, g eegj D. do. Sl. Veo 3. Tezo II. ed 4. Tezo IV. ed. Sl: 3 0 pod je jedc (ezo ulog ed). Veo: 3 3 pod je jedc (ezo pog ed) 3. Tezo dugog ed 3 9 pod je jedc 4. Tezoeog ed 3 4 8 pod je jedc
ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE
ŽILINSKÁ UNIVERZIA V ŽILINE SAVEBNÁ AKULA Ktedr geodéze VYROVNÁVACÍ POE II Uebý tet re študetov bláreho štúd odboru geodéz rtogrf WWW Prof. Ig. Ldlv Btterer CSc. 3 OBSAH.........................................................................
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Metódy spracovania experimentálnych výsledkov Autor pôvodného textu: Peter Ballo
Spracovae výsledkov Metódy spracovaa epermetálych výsledkov Autor pôvodého tetu: Peter Ballo Každé merae je zaťažeé chybam, ktoré sú zapríčeé edokoalosťou ašch pozorovacích schopostí, epresosťou prístrojov,
6. Mocniny a odmocniny
6 Moci odoci Číslo zýve oceec (leo zákld oci), s zýv ociteľ (leo epoet) Číslo s zýv -tá oci čísl Moci s piodzeý epoeto pe ľuovoľé eále číslo pe kždé piodzeé číslo je v ožie eálch čísel defiová -tá oci
1 Koeficient kovariancie
Koreláciou rozumieme vzájomý lieáry vz tah závislos t) dvoch áhodých premeých X a Y 1. Teto vz tah môˇze by t priamy tj. s rastúcimi hodotami jedej premeej rastú hodoty druhej premeej a aopak alebo epriamy
ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
2.1 Úvod. i=1, 2, n (2-1)
Katola Leára reresa Leára reresa. Úvod Termí reresa sa ojavl v matematckej štatstke v dosť kurózej hstorckej súvslost. Pr sledovaí koreláce medz výškou sov a otcov sa zstlo, že sova veľm vsokých otcov
C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Obvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B
. písoá pác z tetik Skpi A. Zjedodšte výz : ) z 8 ) c). Doplňte, pltil ovosť : ) ). Vpočítjte : ) ) c). Vpočítjte : ) ( ) ) v v v c). Upvte výz ovete spávosť výsledk pe : 6. Zostojte tojholík ABC, k c
Gapso t e q u t e n t a g ebra P open parenthesis N closing parenthesis fin i s a.. pheno mno nd iscovere \ centerline
G q v v G q v H 4 q 4 q v v ˆ ˆ H 4 ] 4 ˆ ] W q K j q G q K v v W v v H 4 z ] q 4 K ˆ 8 q ˆ j ˆ O C W K j ˆ [ K v ˆ [ [; 8 ] q ˆ K O C v ˆ ˆ z q [ R ; ˆ 8 ] R [ q v O C ˆ ˆ v - - ˆ - ˆ - v - q - - v -
M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
ο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο
18 ρ * -sf. NO 1 D... 1: - ( ΰ ΐ - ι- *- 2 - UN _ ί=. r t ' \0 y «. _,2. "* co Ι». =; F S " 5 D 0 g H ', ( co* 5. «ΰ ' δ". o θ * * "ΰ 2 Ι o * "- 1 W co o -o1= to»g ι. *ΰ * Ε fc ΰ Ι.. L j to. Ι Q_ " 'T
Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.
! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$
2742/ 207/ /07.10.1999 «&»
2742/ 207/ /07.10.1999 «&» 1,,,. 2 1. :.,,,..,..,,. 2., :.,....,, ,,..,,..,,,,,..,,,,,..,,,,,,..,,......,,. 3., 1. ' 3 1.., : 1. T,, 2., 3. 2 4. 5. 6. 7. 8. 9..,,,,,,,,, 1 14. 2190/1994 ( 28 ),,..,, 4.,,,,
Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
1 Kinematika hmotného bodu
Kinemik hmnéh bdu - kinemik berá určením plôh bd ich mien če (kinemik phb ele piuje, neberá príčinmi phbu) - pri ereickm šúdiu mechnickéh phbu (prce, pri krm mení plh jednéh ele hľdm n iné ele) ád pjem
P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ
P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s
Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE STAVEBNÁ FAKULTA. Katedra geodézie GEODÉZIA III GEODETICKÉ BODOVÉ POLIA
ŽILINSKÁ UNIVERZI V ŽILINE SVEBNÁ FKUL Katedra eodéze GEODÉZI III GEODEICKÉ BODOVÉ POLI Učebý tet pre študeto bakalárkeho štúda odboru eodéza dae http://futck/kd/ Prof I Ladla Btterer PhD 5 OBSH Predhoor
r t t r t t à ré ér t é r t st é é t r s s2stè s t rs ts t s
r t r r é té tr q tr t q t t q t r t t rrêté stér ût Prés té r ré ér ès r é r r st P t ré r t érô t 2r ré ré s r t r tr q t s s r t t s t r tr q tr t q t t q t r t t r t t r t t à ré ér t é r t st é é
VYHODNOCOVANIE CHYBY MERANIA
YHODNOCOANIE CHYBY MERANIA doc RNDr Drahoslav ajda, CSc Ceľom meraa je pozať skutočú hodotu fyzkálej velčy Avšak pr meraí akejkoľvek fyzkálej velčy sa dopúšťame epresost, takže výsledok meraa sa líš od
Všeobecná teória stability
Všeobecná teór stblty Defníc stblty podľ Ljpunov V teór nelneárnych sústv s dnes tkmer vždy použív defníc stblty podľ Ljpunov. Estuje zásdný rozdel medz stbltou lneárnej sústvy medz stbltou podľ Ljpunov,
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage
Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage José Marconi Rodrigues To cite this version: José Marconi Rodrigues. Transfert sécurisé d Images par combinaison
Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.
Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Diego Torres Machado To cite this version: Diego Torres Machado. Radio
rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â
rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã
Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
4. GaK - Cvičenia z predmetu Pravdepodobnosť a matematicka štatistika Súhrn
. GaK - Cvčea z predmetu Pravdepodoboť a matematcka štattka Súhr Pravdepodobot. Na klade je ty druh vyrobku. Z celkoveho moztva ma 7% predpau hmotot a 8% predpay rozmer. Takto je zame, ze 6% z celkoveho
Matematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Ekvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
cunctis laudibus honoranda omni calamitate cunctos cunctis laudibus honoranda omni calamitate cunctos
168 ω (omega) solo solo 1 O ab cunctis laudibus honoranda omni calamitate cunctos l M ter bera solo O ab cunctis laudibus honoranda omni calamitate cunctos l M ter bera solo solo 2 O ab cunctis laudibus
Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
HONDA. Έτος κατασκευής
Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V
Assessment of otoacoustic emission probe fit at the workfloor
Assessment of otoacoustic emission probe fit at the workfloor t s st tt r st s s r r t rs t2 t P t rs str t t r 1 t s ér r tr st tr r2 t r r t s t t t r t s r ss r rr t 2 s r r 1 s r r t s s s r t s t
Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.
Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
M p f(p, q) = (p + q) O(1)
l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM
KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =
Solving an Air Conditioning System Problem in an Embodiment Design Context Using Constraint Satisfaction Techniques
Solving an Air Conditioning System Problem in an Embodiment Design Context Using Constraint Satisfaction Techniques Raphael Chenouard, Patrick Sébastian, Laurent Granvilliers To cite this version: Raphael
MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore
MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni
Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke
Kioco gibje meijle oke Kiemik meijle oke. dio ) Zje kiocog gibj b) Bi i ubje Položj meijle oke u skom euku eme možemo defiii slijedee ie:. Vekoski i defiij gibj (). Piodi i defiij gibj s s (). Vekoski
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE. Matematici vo vetách a definíciách
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE Mrek Vrg Luci Záhumeská Mtemtici vo vetách defiíciách NITRA 008 UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED KATEDRA MATEMATIKY Mrek Vrg Luci
Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté
Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Alexis Nuttin To cite this version: Alexis Nuttin. Physique des réacteurs
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
3/5/016 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Παραδείγματα Κεραιών Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Δίπολο Hetz L d
( )( ) ( )( ) 2. Chapter 3 Exercise Solutions EX3.1. Transistor biased in the saturation region
Chapter 3 Exercise Solutios EX3. TN, 3, S 4.5 S 4.5 > S ( sat TN 3 Trasistor biased i the saturatio regio TN 0.8 3 0. / K K K ma (a, S 4.5 Saturatio regio: 0. 0. ma (b 3, S Nosaturatio regio: ( 0. ( 3
0,8A. 1,2a. 1,4a. 1,6a F 2 5 2A. 1,6a 1,2A
Sttik určité konštrukie Znie č. : JEDNODUCHÝ ŤH TLK rík : Učte prieeh normáovýh sí, normáovýh npätí posunutí priereov. rieeh uveenýh veičín náornite grfik. Shém poľ. čís kóu 0,8 0,8, 0,5,,6, 0,8, 0,6,8
APLIKOVANÁ ŠTATISTIKA V POČÍTAČOVOM PROSTREDÍ MATLABU
Moderé vzdelávae pre vedomostú spoločosť/ Projekt je spolufacovaý zo zdrojov EÚ APLIKOVANÁ ŠTATISTIKA V POČÍTAČOVOM PROSTREDÍ MATLABU Fakulta elektrotechky a formatky Eva Ostertagová Táto publkáca vzkla
PROGNÓZOVANIE NA KOMODITNEJ BURZE
ROGNÓZOVANIE NA KOMODITNEJ BURZE Mtej VARGA Eoomicá fult Techicej uiverzit v Košicich, B Němcovej 3, 4 Košice, tedr FBI vrg_mtej@hoocom Abstrt redpovedie cie omodít predstvuje v súčsosti veľmi tuálu problemtiu
Edexcel FP3. Hyperbolic Functions. PhysicsAndMathsTutor.com
Eecel FP Hpeolic Fuctios PhsicsAMthsTuto.com . Solve the equtio Leve lk 7sech th 5 Give ou swes i the fom l whee is tiol ume. 5 7 Sih 5 Cosh cosh c 7 Sih 5cosh's 7 Ece e I E e e 4 e te 5e 55 O 5e 55 te
m i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ
f a o gy s m a l nalg d co h n to h e y o m ia lalg e br coh the oogy lagebr
- - - * k ˆ v ˆ k ˆ ˆ E x ˆ ˆ [ v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E x ˆ ˆ ˆ ˆ v ˆ Ex U U ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v ˆ M v ˆ v M v ˆ ˆ I U ˆ I 9 70 k k ˆ ˆ - I I 9ˆ 70 ˆ [ ˆ - v - - v k k k ˆ - ˆ k ˆ k [ ˆ ˆ D M ˆ k k 0 D M k [ 0 M v M ˆ
%78 (!*+$&%,+$&*+$&%,-. /0$12*343556
! %78 ( 9 :: "#$% $&'"(" )!*$&%,$&*$&%,-. /$*343556 $ $& %$&.;$& $(# $"*("$# $ "$?, !* $&,#$"&::> $&( &$#, #$&# $"#&"& @($&%%>A!" #$ % µ & ' (#$ )! ) * ' "!)!,-./.' ) " $ &
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
!""#$%!& '% ("#% )'*+, &,!" &, ' %!'"!" &"#"-(5-1-,!&
!""#$%!& '% ("#% )'*+, "!,'--"!!./%&-'012'& "-')'3"4',"'""-,, &,!" &, 3. - 5 1 ' %!'"!" &"#"-(5-1-,!&,'--1'#". -'!! "--''!,. 3,"'%'%,,-" '4!, 5 #" "!, '%& " 3--& " 4'%! "#!6,%3 "#!3 ",%3 2,-! "#13 '& "#%-,&"#-"-,"-!3&-',,3"
1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
ibemo Kazakhstan Republic of Kazakhstan, West Kazakhstan Oblast, Aksai, Pramzone, BKKS office complex Phone: ; Fax:
Ó³ Ÿ , º 1(130).. 7Ä ±μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê
Ó³ Ÿ. 006.. 3, º 1(130).. 7Ä16 Š 530.145 ˆ ƒ ˆ ˆŒ ˆŸ Š ƒ.. ±μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê É μ ² Ö Ó μ μ Ö μ μ²õ μ É μ ÌÉ ±ÊÎ É ² ³ É μ - Î ±μ μ ÊÌ ±μ Ëμ ³ μ- ±² μ ÒÌ ³μ ²ÖÌ Ê ±. ³ É ÔÉμ μ μ μ Ö, Ö ²ÖÖ Ó ±μ³
def def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a
Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă
ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΣΤΕΛΕΧΩΣΗ
ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΣΤΕΛΕΧΩΣΗ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΤΕΣΤ ΙΚΑΝΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΘΕΣΕΙΣ ΩΡΟΜΙΣΘΙΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΒΟΗΘΟΙ ΤΗΛΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ (ΑΡ. ΠΡΟΚΗΡΥΞΗΣ: 2/2017) (ΛΕΥΚΩΣΙΑ
VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
.. ntsets ofa.. d ffeom.. orp ism.. na s.. m ooth.. man iod period I n open square. n t s e t s ofa \quad d ffeom \quad orp ism \quad na s \quad m o
G G - - -- - W - - - R S - q k RS ˆ W q q k M G W R S L [ RS - q k M S 4 R q k S [ RS [ M L ˆ L [M O S 4] L ˆ ˆ L ˆ [ M ˆ S 4 ] ˆ - O - ˆ q k ˆ RS q k q k M - j [ RS ] [ M - j - L ˆ ˆ ˆ O ˆ [ RS ] [ M
Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale
POLITECNICO DI TORINO Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale Relatore Ing. Stefania Scarsoglio Studente Marco Enea Anno accademico 2015 2016
Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( )
Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada (1969-2008) Julien Boelaert, François Gardes To cite this version: Julien Boelaert, François Gardes. Consommation marchande et contraintes
Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
P r s r r t. tr t. r P
P r s r r t tr t r P r t s rés t t rs s r s r r t é ér s r q s t r r r r t str t q q s r s P rs t s r st r q r P P r s r r t t s rés t t r t s rés t t é ér s r q s t r r r r t r st r q rs s r s r r t str
A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3
16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F
Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves
Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves Philippe Helluy, Thomas Strub To cite this version: Philippe Helluy, Thomas Strub. Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves. ESAIM:
Vers un assistant à la preuve en langue naturelle
Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Thévenon Patrick To cite this version: Thévenon Patrick. Vers un assistant à la preuve en langue naturelle. Autre [cs.oh]. Université de Savoie, 2006.
a) Kosi hitac Krivolinijsko gibanje materijalne toke Sastavljeno gibanje Specijalni sluajevi kosog hica: b) Horizontalni hitac c) Vertikalni hitac
) Kosi hic Kriolinijsko ibnje merijlne oke Ssljeno ibnje 5. dio 3 4 Specijlni slujei koso hic: b) orizonlni hic c) Veriklni hic b) orizonlni hic c) Veriklni hic 5 6 7 ) Kosi hic 8 Kosi hic (bez opor zrk)
Network Neutrality Debate and ISP Inter-Relations: Traffi c Exchange, Revenue Sharing, and Disconnection Threat
Network Neutrality Debate and ISP Inter-Relations: Traffi c Exchange, Revenue Sharing, and Disconnection Threat Pierre Coucheney, Patrick Maillé, runo Tuffin To cite this version: Pierre Coucheney, Patrick
Matematická štatistika
Matematcká štatstka Trochu hstóre: Starovek sčítae ľudu a majetku (vojeské a daňové účely) Egypt, Čía, Mezopotáma Stredovek vzk a kosoldáca ových štátov zsťovae geografckých údajov, hospodársky a poltcký
5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο.
728!. -θ-cr " -;. '. UW -,2 =*- Os Os rsi Tf co co Os r4 Ι. C Ι m. Ι? U Ι. Ι os ν ) ϋ. Q- o,2 l g f 2-2 CT= ν**? 1? «δ - * * 5 Ι -ΐ j s a* " 'g cn" w *" " 1 cog 'S=o " 1= 2 5 ν s/ O / 0Q Ε!θ Ρ h o."o.
22 Špeciálne substitúcie, postupy a vzorce používané pri výpočte
Špeciálne substitúcie, postupy vzorce používné pri výpočte niektorých ďlších typov neurčitých integrálov. Pomocou vhodnej substitúcie tvru t = n + b (potom = tn b, = n tn dt) vypočítjte neurčitý integrál
Testy dobrej zhody. H 0 : f(x) = g(x) ; H 1 : f(x) g(x)
TESTY DOBREJ ZHODY Testy dobrej zhody = testy hypotéz zhody rozdelení (= testy dobrej zhody / ft testy / Goodness of Ft Tests) Overujeme, č emprcké rozdelene je štatstcky zhodné s nektorým z teoretckých
DESKRIPTÍVNA GEOMETRIA
EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy
4. Zapiši Eulerjeve dinamične enačbe za prosto osnosimetrično vrtavko. ω 2
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori 1/12 Newtonovamehanika 1. Določiravninogibanjatočkevpoljucentralnesile. Ravninagibanjagreskozicentersileinimanormalovsmerivrtilne količine 2. Zapišiperiodogibanjapremočrtnegagibanjapodvplivompotenciala