Κέντρο Μάζας - Παράδειγμα

Κέντρο Μάζας - Παράδειγμα ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 1 Ο Ρωμαίο (m R =77kg) διασκεδάζει την Ιουλιέτα (m I =55kg) παίζοντας την κιθάρα του καθισμένος στην πρύμνη της βάρκας τους (μήκους.7 m) που είναι ακίνητη στα ήσυχα νερά της λίμνης. H Ιουλιέτα κάθεται στην πλώρη της βάρκας. Στο τέλος της καντάδας η Ιουλιέτα σηκώνεται και προσεκτικά πηγαίνει στο πρύμνη για να του δώσει ένα φιλί Λύση Αν η κατεύθυνση της πλώρης της βάρκας ήταν προς τη στεριά πόσο μετακινήθηκε η βάρκα τους (μάζας 80 kg) προς τη στεριά? Έστω x η απόσταση του ΚΜ της βάρκας από τη στεριά, l το μήκος της βάρκας και x η απόσταση που κινήθηκε η βάρκα. Το ΚΜ παραμένει σταθερό (ΓΙΑΤΙ?). Κατά την καντάδα: x CM = xm + (x " l )M I + (x + l )M R M + M R + M I P CM = MV CM = 0 Μετά την καντάδα: x CM = (x " x )M + (x + l " x )M + (x + l " x )M # R I M # + M R + M I Αλλά x CM = xcm οπότε εξισώνοντας τις σχέσεις παίρνουμε x = 0.70m

Κέντρο μάζας - Παράδειγμα ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 Έστω απομονωμένο σύστημα μαζών m 1 και m αρχικά σε ηρεμία (π.χ. μάζες στις άκρες ενός ελατηρίου, ένα σώμα που διασπάται σε άλλα). Όταν τα σώματα φεύγουν μακριά το ένα από το άλλο με ταχύτητες υ 1 και υ κάποια ποσότητα ενέργειας μοιράζεται μεταξύ τους: 1 Q = E "# + E "# = 1 m 1$ 1 + 1 m $ (1) Aφού το σύστημα είναι απομονωμένο, η ολική ορμή διατηρείται P i = P f 0 = m 1 " 1 + m " m " = #m 1 " 1 Υψώνουμε στο τετράγωνο και διαιρούμε με το m = m 1 1 " 1 m = 1 m 1 1 1 m E "#$ = m 1 E "#$ Αντικαθιστώντας στην (1) βρίσκουμε: E 1 "#$ = m E "#$ m 1 Q = m 1 1 1 1 E "# + E "# $ m Q = ( m 1 + m )E "# m 1 E "# = m ( ) Q m 1 + m και ανάλογα E "# = m 1 ( ) Q m 1 + m Όταν υπάρχουν μόνο σωματίδια η υπάρχουσα ενέργεια μοιράζεται πάντοτε με τον ίδιο τρόπο. To ελαφρύτερο σωματίδιο παίρνει το μεγαλύτερο μέρος της ενέργειας

Διατήρηση Ορμής - Κρούσεις - Παράδειγμα ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 3 Υποθέστε ότι κρατάτε μια μικρή μπάλα μάζας m ακριβώς πάνω σε μια άλλη μπάλα μάζας m 1 (όπου m 1 >>m ). Οι μπάλες είναι σε επαφή και βρίσκονται σε ύψος h=1m πάνω από το δάπεδο. Αφήστε τις δυο μπάλες ταυτόχρονα να πέσουν στο πάτωμα. Βρείτε το ύψος στο οποίο θα αναπηδήσει η μικρή μπάλα; Υποθέστε ότι όλες οι κρούσεις είναι τελείως ελαστικές και ακόμα ότι πρώτα χτυπά η μεγάλη μπάλα και αναπηδώντας συναντά τη μικρή που έρχεται ακριβώς πίσω της. h=1m m m 1 Λύση Από διατήρηση της ενέργειας για την μεγάλη μπάλα έχουμε: i f 1 E1 = E " m1gh + 0 = m1# 1 + 0 " # 1 = gh (θετική φορά προς τα πάνω) Η μπάλα συγκρούεται με το έδαφος και αναπηδά με V1 = " 1 Η μάζα m 1 αναπηδά και συγκρούεται με την μικρή που έχει ταχύτητα = gh Η μπάλα m 1 κινείται με αντίθετη ταχύτητα από την m. Η σχετική ταχύτητα της m ως προς την m 1 θα είναι: "# = $ + V 1 = $ + ($ ) = $ Αφού m 1 >>m, μετά τη κρούση (m 1 με m ) η m έχει V " " = #$ ως προς τη m1 H m 1 όμως έχει ταχύτητα V 1 ως προς το έδαφος και άρα η ταχύτητα της m ως προς το έδαφος είναι: V " = V #$ + V 1 % V " = 3& 1 m (V " ) + 0 = m g h # $ h # = (V " ) Διατήρηση της ενέργειας: g $ h # = (3 gh ) g $ h # = 9h = 9m

Διαφορετικά ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 4 Από τις εξισώσεις των ταχυτήτων για ελαστική κρούση σε 1-Δ # m v 1 = 1 " m & # m 1 % ( + & % ( $ m 1 + m ' $ m 1 + m ' # m & # v = 1 m 1 % ( + " m & % 1 ( $ m 1 + m ' $ m 1 + m ' Οι εξισώσεις αυτές αναφέρονται στην κρούση της μπάλας m 1 με την m. Πριν την κρούση η ταχύτητα της m 1 είναι υ 1 =V 1 και της m είναι υ =-V 1 Αντικαθιστώντας στην η εξίσωση βρίσκουμε ότι μετά την κρούση η μπάλα έχει ταχύτητα (m 1 >>m ): " m v = 1 % " m 1 $ ' + ( m 1 % $ ' " # m 1 + m & # m 1 + m & 1 #" $ v = " 1 # (#" 1 ) = 3" 1 ~0 ~0 Αν είχαμε 3 μπάλες με μάζες η μια μικρότερη της άλλης (basketball, tennis, ping-pong) q Το πρόβλημα είναι ίδιο, χρειάζεται να εξετάσουμε τις σχετικές ταχύτητες της με την 1, της 3 με τη και τέλος της 3 με το έδαφος. ü Βρήκαμε πριν ότι η μπάλα κινείται με ταχύτητα 3υ 1 ως προς το έδαφος. ü Η μπάλα 3 πριν τη κρούση με την έχει ταχύτητα υ 3 = υ 1 ως προς το έδαφος και επομένως ταχύτητα υ σχ 3 = 4υ 1 ως προς τη μπάλα. ü Μετά την κρούση θα κινείται με ταχύτητα V σχ 3 = - 4υ 1 ως προς τη μπάλα. Ø Η μπάλα όμως έχει ταχύτητα 3υ 1 ως προς το έδαφος και επομένως η μπάλα 3 θα έχει ταχύτητα V 3 =3υ 1 ( -4υ 1 ) =7υ 1 ως προς το έδαφος Ø Αντικαθιστώντας στην εξίσωση διατήρησης ενέργειας: "# ) h = (V 3 g = (7$ 1 ) g = 49(gh) g % h = 49h

Παράδειγµα ορµής και αλυσίδας - ζυγαριάς ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 5 x Αλυσίδα µήκους L και µάζας Μ αφήνεται από ηρεµία να πέσει σε µια ζυγαριά. Να βρεθεί η ένδειξη της ζυγαριάς (η δύναµη που ασκεί η ζυγαριά στην αλυσίδα) καθώς η αλυσίδα πέφτει. Αρχικά το κατώτερο άκρο της αλυσίδας µόλις ακουµπά την ζυγαριά dm = dx Λύση Έστω η αλυσίδα έχει πέσει κατά µια απόσταση x. Πάνω στη ζυγαριά υπάρχει µάζα m = x και η ένδειξη της ζυγαριάς προέρχεται από το βάρος της µάζας αυτής F g = ( x)g Στη δύναµη αυτή θα πρέπει να προσθέσουµε τη δύναµη που αναπτύσετε στη ζυγαριά για να σταµατήσει κάθε τµήµα της αλυσίδας, µάζας dm που πέφτει πάνω της: Αλλά dx = dt = "dt dm = "# x dt η ταχύτητα έχει αρνητική φορά F p = dp dt = 0 " dm x dt F p = "# x ( ) = " x #" x dt dt Η µάζα dm που έχει πέσει κατά ύψος x έχει ταχύτητα: 1 dm x x = dm x gx " x = gx Η συνολική ένδειξη της ζυγαριάς θα είναι: F tot = F g + F p F tot = " xg + " xg F tot = 3" xg παρατηρούµε ακόµα ότι: F p = F g

ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 6 Σύστηµα αναφοράς κέντρου µάζας Έστω σώµατα µάζας m 1 και m κινούµενα µε ταχύτητες υ 1 και υ Η ταχύτητα του ΚΜ δίνεται από τη σχέση: cm = m 1 1 + m m 1 + m Σε ένα σύστηµα το οποίο συνδέεται µε το ΚΜ οι ταχύτητες των µαζών είναι: u 1 = 1 " cm u = " cm Στο σύστηµα αυτό η ταχύτητα του ΚΜ είναι: u cm = 0 Από τη στιγµή που η ταχύτητα του ΚΜ είναι 0 τότε: P cm = 0 P 1 KM = " P KM

ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 7 Παράδειγµα Ένα κιβώτιο µάζας m 1 = 4kg κινείται µε ταχύτητα υ 1 =6m/s και συγκρούεται ελαστικά µε κιβώτιο µάζας m =kg που κινείται µε ταχύτητα υ =3m/s. Τα σώµατα κινούνται προς τα δεξιά. Να βρεθούν οι ταχύτητές τους µετά την κρούση µετατρέποντας τις ταχύτητές τους στο σύστηµα του ΚΜ Βρίσκουµε πρώτα τη ταχύτητα του ΚΜ: cm = m 1 1 + m = 4 6 + 3 = 5m / s m 1 + m + 4 Μετασχηµατίζουµε τις αρχικές ταχύτητες των σωµάτων ως προς ΚΜ: u cm 1i = 1i " cm = 6 " 5 = 1m s και u cm i = i " cm = 3" 5 = " m s Μετά τη κρούση τα σώµατα έχουν ταχύτητες: u cm 1 f = 1m s και u cm f = m s Μετασχηµατίζουµε τις τελικές ταχύτητες στο αρχικό σύστηµα αναφοράς: 1 f = u cm 1 f + cm = "1+ 5 = 4 m s και f = u cm f + cm = + 5 = 7 m s

Περιστροφή στερεού σώµατος - Εισαγωγικά Θεωρήστε µιά χάντρα η οποία κινείται σε µια κυκλική περιφέρεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 8 Διαγράφει µια γωνιακή µετατόπιση θ σε χρόνο t. Η χάντρα διαγράφει την απόσταση S S t = r t = "r Μέση γωνιακή ταχύτητα Μέση εφαπτοµενική ταχύτητα " # t $ v = r Μπορούµε ακόµα να πούµε ότι = "# "t $ lim "# "t %0 "t = d# dt Εποµένως ορίζουµε την στιγµιαία γωνιακή ταχύτητα = d" dt Και εποµένως στιγµιαία εφαπτοµενική ταχύτητα v = r για r = σταθ

ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 9 Περιστροφή στερεού σώµατος - Εισαγωγικά q Παίρνοντας την προηγούµενη σχέση, v = r γράφουµε: ds dt = r d d S dt dt = r d " dt dv dt = r # d" & $ % dt ' ( a "# = r$ Eφαπτομενική επιτάχυνση Γωνιακή επιτάχυνση Ξέρουµε ότι σε σώµα που κινείται σε κυκλική τροχιά ενεργεί η κεντροµόλος επιτάχυνση η οποία έχει φορά ΠΑΝΤΑ προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και ευθύνεται για την αλλαγή της διεύθυνσης της ταχύτητας: a r = v r = (r) r " a r = r

ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 10 Περιστροφή στερεού σώµατος - Εισαγωγικά q Η ολική γραµµική επιτάχυνση ενός σώµατος που εκτελεί περιστροφική κίνηση είναι: a = a " + a r # a = a " + a r = r $ + % 4 r # a = r $ + % 4 q Συνοψίζοντας, στη περιστροφική κίνηση έχουµε εξισώσεις κίνησης για σταθερή γωνιακή επιτάχυνση και σταθερή εφαπτοµενική επιτάχυνση: v = v 0 + a " t v = v 0 + a " l r = 0 r + r"t # = 0 + "t $ = $ 0 + 0 t + 1 "t = 0 + "($ % $ 0 )

ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 11 Περιστροφή στερεού σώµατος - Εισαγωγικά q Υπάρχει εποµένως µια πλήρης αντιστοιχία µεταξύ των εξισώσεων της ευθύγραµµης κίνησης µε σταθερή γραµµική επιτάχυνση και της περιστροφικής µε σταθερή γωνιακή επιτάχυνση Ευθύγραµµη κίνηση µε σταθερή γραµµική επιτάχυνση α = σταθ. v = v 0 + αt x = x 0 + v 0 t + ½ αt v = v 0 + α(x-x 0 ) Περιστροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα µε σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α = σταθ ω = ω 0 + α t θ = θ 0 + ω 0 t + ½ α t ω = ω 0 + α (θ-θ 0 ) x - x 0 = ½ (v+v 0 )t θ - θ 0 = ½ (ω+ω 0 )t

ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 1 Περιστροφική κίνηση στερεών - Εισαγωγικά q Η απόδειξη των εξισώσεων κίνησης για την στροφική κίνηση είναι απλή: = d" dt "dt = d# "# dt = # d$ "t = # $ # 0 q Aν ολοκληρώσουµε και πάλι την τελευταία σχέση = d" dt # d" = dt # d" = # $dt = ($ 0 + %t)dt # " 0 = # 0 t + 1 $t

ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 13 Περιστροφική κίνηση στερεών - Εισαγωγικά q Το µέγεθος ω είναι διανυσµατικό όταν η γωνία θ µετριέται σε ακτίνια. Η διεύθυνσή του είναι παράλληλη προς τον άξονα περιστροφής και η φορά του ορίζεται σύµφωνα µε τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία ή χεριού: Ο δείκτης του χεριού ακολουθεί την φορά του θ ο αντίχειρας δείχνει τη φορά του ω q Όταν εξετάσαµε τη κυκλική κίνηση είδαµε ότι η διεύθυνση του ω ορίζεται από την διανυσµατική εξίσωση v = " r q H γωνιακή επιτάχυνση α έχει την ίδια διεύθυνση µε αυτή του ω Αν η φορά της είναι ίδια µε της ω, η περιστροφή αυξάνει ενώ στην αντίθετη περίπτωση επιβραδύνεται.

Περιστροφική κίνηση στερεού - Εισαγωγικά q Στην περίπτωση περιστροφής γύρω από σταθερό άξονα επειδή η γωνία θ που σαρώνεται είναι ίδια για όλα τα σηµεία, έπεται ότι: Ø Όλα τα σηµεία του στερεού περιστρέφονται µε την ίδια γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση Ø Η γραµµική τους ταχύτητα δεν είναι ίδια αφού βρίσκονται σε διαφορετικές αποστάσεις από τον άξονα περιστροφής. ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 14 Σώμα επιταχύνεται α παρ/λη προς ω Σώμα επιβραδύνεται α αντι-παρ/λη προς ω

ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 15 Παράδειγµα Γωνιακή ταχύτητα CD player: Η µουσική είναι γραµµένη σε αύλακα κατά µήκος µιας σπειροειδούς διαδροµής 5.4km. To laser παρακολουθεί την αύλακα µε σταθερή γραµµική ταχύτητα v = 1.m/s. H τροχιά ξεκινά σε ακτίνα r =.3cm και τελειώνει σε ακτίνα r = 5.9cm. Ποια είναι η αρχική και τελική γωνιακή ταχύτητα? Ø Για να κρατήσουµε την γραµµική ταχύτητα σταθερή σηµαίνει ότι η γωνιακή ταχύτητα ω µεταβάλλεται παλιοµοδίτικο i = v r i = 5.rad /s f = v r f = 0.3rad /s

ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 16 Παράδειγµα Γωνιακή επιτάχυνση q Αγωνιστικό αυτοκίνητο κάνει µια στροφή ακτίνας 50m µε γωνιακή ταχύτητα ω = 0.6rad/s και γωνιακή επιτάχυνση α = 0.0rad/s. Ποιες οι τιµές της γραµµικής ταχύτητα v, α r, α εφ, και ολικής γραµµικής επιτάχυνσης α? α r α α εφ ω α v = r = 30m / s a r = v r a = a r + a " = 18m / s a " = r# = 10m / s = 1m / s tan = a r a"# $ = tan%1 a r a "# = 61 0

ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 17 Παράδειγμα Ρίψη δίσκου Ένας δισκοβόλος στρέφεται µε γωνιακή επιτάχυνση α =50rad/s, κινώντας το δίσκο σε κύκλο ακτίνας 0.80cm. Θεωρούµε το χέρι του σα στερεό σώµα κι έτσι η ακτίνα είναι σταθερή. Ποια η εφαπτοµενική και ακτινική επιτάχυνση του δίσκου και ποιο το µέγεθος της επιτάχυνσης τη στιγµή που η γωνιακή ταχύτητα είναι 10 rad/s. Από τη στιγµή που ο δίσκος κινείται σε κυκλική τροχιά η εφαπτοµενική επιτάχυνση θα είναι a " = r# = (50rad / s )(0.8rad) = 40m / s a r = r = (10rad / s) (0.8rad) = 80m / s = a r + a "# = 89m / s

ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 18 Παράδειγµα Προπέλα αεροπλάνου Λύση Μετατρέπουμε πρώτα τα rpm σε rad/s. " = 400rpm = 400 rev % " ( % " # $ min & ' # $ 1 rev & ' 1min % # $ 60s & ' = 51rad / s Σχεδιασμός της προπέλας ενός αεροπλάνου: Θέλετε να κινείται με 400rpm. H ταχύτητα του αεροπλάνου προς τα εμπρός πρέπει να είναι 75m/s, ενώ η ταχύτητα των άκρων της προπέλας δεν πρέπει να ξεπερνούν τα 70m/s Ποια η μέγιστη ακτίνα που θα πρέπει να έχει η προπέλα? (β) με αυτή την ακτίνα ποια είναι η επιτάχυνση των άκρων της προπέλας? v Α H εφαπτομενική ταχύτητα των άκρων της προπέλας, v P, είναι κάθετη στην εμπρόσθια ταχύτητα του αεροπλάνου, v A v " = v p + v A # v " = $ r + v A # r = v v π " % v A = 70 % 75 = 1.03m $ 51 v ολ =70m/s Η γωνιακή ταχύτητα της προπέλας είναι σταθερή, επομένως υπάρχει μόνο κεντρομόλος επιτάχυνση: a r = r = 6.5 "10 4 m /s # F = 6.5 "10 4 N

ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 19 Παράδειγµα Δίσκοι ταχυτήτων ποδηλάτου Πως σχετίζονται τα «δόντια» των δίσκων των ταχυτήτων του ποδηλάτου με τις γωνιακές ταχύτητες των δίσκων Επομένως: = " # r # = " $ r $ " # " $ = r $ r # Η αλυσίδα δεν γλιστρά και δεν επιμηκύνεται πάνω στους δίσκους και επομένως έχει την ίδια εφαπτομενική ταχύτητα (1) Τα δόντια είναι ισοκατανεµηµένα στην περιφέρεια των δίσκων έτσι ώστε η αλυσίδα να κουµπώνει το ίδιο σε κάθε δίσκο: r N = r " N " r " N " = r # N # r # r " = N # N " () Από (1) και () έχουµε: " # " $ = N $ N # Εποµένως για συγκεκριµένη γωνιακή ταχύτητα µε την οποία κάνουµε pedal, ω ε, ο πίσω δίσκος έχει τη µέγιστη γωνιακή ταχύτητα όταν ο λόγος Ν ε /Ν π είναι µέγιστος, δηλαδή όταν χρησιµοποιούµε µπροστά το δίσκο µε το µεγαλύτερο αριθµό «δοντιών» και πίσω το δίσκο µε το µικρότερο αριθµό «δοντιών»

ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 0 Ενέργεια στην περιστροφική κίνηση q Ένα περιστρεφόµενο στερεό αποτελεί µια µάζα σε κίνηση. Εποµένως υπάρχει κινητική ενέργεια. v i θ i r i m i Θεωρείστε ένα στερεό σώµα περιστρεφόµενο γύρω από σταθερό άξονα. K i = 1 m iv i Αθροίζοντας ως προς όλα τα σωµάτια που απαρτίζουν το στερεό θα έχουµε: 1 K i = m 1 iv i = m ir i " όλα έχουν το ίδιο ω i i i Η παραπάνω σχέση γράφεται: K i = 1 i " # $ i % m i r i & ' ( ) K tot = 1 *( Ορίζουµε σα ροπή αδράνειας: I = m i r i i Ανάλογο του K = 1 mv Ø Η ροπή αδράνειας, I, είναι το περιστροφικό ανάλογο της µάζας m. Δηλαδή, είναι πολύ πιο δύσκολο να προκαλέσεις περιστροφή σ ένα σώµα όταν η ροπή αδράνειας γίνεται µεγαλύτερη