MAZĀ MATEMĀTIKAS UNIVERSITĀTE

Σχετικά έγγραφα
Compress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013

Logatherm WPS 10K A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013

Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Uzdevumu risinājumu paraugi. 4. nodarbība

Rīgas Tehniskā universitāte Enerģētikas un elektrotehnikas fakultāte Vides aizsardzības un siltuma sistēmu institūts

Tēraudbetona konstrukcijas

ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr. 2009/0196/1DP/

FIZIKĀLO FAKTORU KOPUMS, KAS VEIDO ORGANISMA SILTUMAREAKCIJU AR APKĀRTĒJO VIDI UN NOSAKA ORGANISMA SILTUMSTĀVOKLI

Rekurentās virknes. Aritmētiskā progresija. Pieņemsim, ka q ir fiksēts skaitlis, turklāt q 0. Virkni (b n ) n 1, kas visiem n 1 apmierina vienādību

10. klase 1. uzdevuma risinājums A. Dēļa garums l 4,5 m. sin = h/l = 2,25/4,5 = 0,5 = (2 punkti) W k. s = 2,25 m.

Labojums MOVITRAC LTE-B * _1114*

3.2. Līdzstrāva Strāvas stiprums un blīvums

MK noteikumi Nr.273 "Mērvienību noteikumi" ("LV", 49 (4241), ) [spēkā ar ]

GRAFOANALITISKO DARBU UZDEVUMI ELEKTROTEHNIKĀ UN ELEKTRONIKĀ VISPĀRĪGI NORĀDĪJUMI

1. uzdevums. 2. uzdevums

Atrisinājumi Latvijas 64. matemātikas olimpiāde 3. posms x 1. risinājums. Pārveidojam doto izteiksmi, atdalot pilno kvadrātu:

Īsi atrisinājumi Jā, piemēram, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 4. Piezīme. Uzdevumam ir arī vairāki citi atrisinājumi Skat., piemēram, 1. zīm.

FIZ 2.un 3.daļas standartizācija 2012.gads

Mehānikas fizikālie pamati

Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa. 8. klases uzdevumu atrisinājumi

Sērijas apraksts: Wilo-Stratos PICO-Z

Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale

ELEKTROTEHNIKA UN ELEKTRĪBAS IZMANTOŠANA

Fizikas valsts 66. olimpiāde Otrā posma uzdevumi 12. klasei

Ķīmisko vielu koncentrācijas mērījumi darba vides gaisā un to nozīme ķīmisko vielu riska pārvaldībā

Latvijas Skolēnu 62. fizikas olimpiādes III posms

Uponor PE-Xa. Ātrs, elastīgs, uzticams

Temperatūras izmaiħas atkarībā no augstuma, atmosfēras stabilitātes un piesārħojuma

1. Testa nosaukums IMUnOGLOBULĪnS G (IgG) 2. Angļu val. Immunoglobulin G

ATTĒLOJUMI UN FUNKCIJAS. Kopas parasti tiek uzskatītas par fiksētiem, statiskiem objektiem.

Lielais dānis Nilss Bors

Elektromagnētiskās svārstības un viļņi

Bezpilota lidaparātu izmantošana kartogrāfijā Latvijas Universitātes 75. zinātniskā konference

Laboratorijas darbs disciplīnā Elektriskās sistēmas. 3-FAŽU ĪSSLĒGUMU APRĒĶINAŠANA IZMANTOJOT DATORPROGRAMMU PowerWorld version 14

FIZIKAS MEDICĪNISKIE ASPEKTI 2. temats BIOREOLOĂIJAS PAMATI

Laboratorijas darbu apraksts (I semestris)

Datu lapa: Wilo-Yonos PICO 25/1-6

Datu lapa: Wilo-Yonos PICO 25/1-4

Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.

Neelektrisku lielumu elektriskā mērīšana un sensori

ATTIECĪBAS. Attiecības - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt sakārtotai vienas vai vairāku kopu elementu virknei (var lietot arī terminu attieksme).

Gaismas difrakcija šaurā spraugā B C

1. MAIŅSTRĀVA. Fiz12_01.indd 5 07/08/ :13:03

Donāts Erts LU Ķīmiskās fizikas institūts

Taisnzobu cilindrisko zobratu pārvada sintēze

Fizikas 63. valsts olimpiādes. III posms

Jauna tehnoloģija magnētiskā lauka un tā gradienta mērīšanai izmantojot nanostrukturētu atomārās gāzes vidi

Agnis Andžāns, Julita Kluša /95. m.g. matemātikas olimpiāžu uzdevumi ar atrisinājumiem

MAZĀ UNIVERSITĀTE. 5. nodarbība, gada 31. marts. Mazā matemātikas universitāte

INDRĀNU IELA 1 KOKNESE

Kā radās Saules sistēma?

Bioloģisko materiālu un audu mehāniskās īpašības. PhD J. Lanka

2. ELEKTROMAGNĒTISKIE

LATVIJAS REPUBLIKAS 45. OLIMPIĀDE

Meža statistiskā inventarizācija Latvijā: metode, provizoriskie rezultāti

Mērīšana ar osciloskopu.

Ēkas energoefektivitātes aprēķina metode

MĀCĪBU PRIEKŠMETA MĒRĶIS

Kodolenerģijas izmantošana ūdeņraža iegūšanai

PREDIKĀTU LOĢIKA. Izteikumu sauc par predikātu, ja tas ir izteikums, kas ir atkarīgs no mainīgiem lielumiem.

ĒKU ENERGOEFEKTIVITĀTE.

Assessment of otoacoustic emission probe fit at the workfloor

Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte Matemātiskās analīzes katedra. Inese Bula

Rīgas Tehniskā universitāte Materiālu un Konstrukciju institūts. Uzdevums: 3D- sijas elements Beam 189. Programma: ANSYS 9

6.4. Gaismas dispersija un absorbcija Normālā un anomālā gaismas dispersija. v = f(λ). (6.4.1) n = f(λ). (6.4.2)

FIZIKĀLĀ UN ĶĪMISKĀ KINĒTIKA. (I) Formālāķīmiskā kinētika. B. Zapols, J. Kotomins, V. Kuzovkovs /G. Zvejnieks/

Inta Bombiza. Mācību materiāls Ķīmijas tehnoloģijas aparāti un procesi

DEKLARĀCIJA PAR VEIKSTSPĒJU

Παρασκευή 1 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 1. Λύση. Παρατήρηση. Ασκηση 2. Λύση.

Elektronikas pamati 1. daļa

ATRISINĀJUMI LATVIJAS REPUBLIKAS 32. OLIMPIĀDE

MULTILINGUAL GLOSSARY OF VISUAL ARTS

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.

Jauni veidi, kā balansēt divu cauruļu sistēmu

5. un 6.lekcija. diferenciālvienādojumiem Emdena - Faulera tipa vienādojumi. ir atkarīgas tikai no to attāluma r līdz lodes centram.

fizikā Mācību satura un valodas apguve Mācību līdzeklis skolēnam Ata Krūmiņa Raisa Stunžāne

LATVIJAS RAJONU 33. OLIMPIĀDE. 4. klase

Lielumus, kurus nosaka tikai tā skaitliskā vērtība, sauc par skalāriem lielumiem.

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ

6. LATVIJAS UNIVERSITĀTES ĶĪMIJAS FAKULTĀTES JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 2.KĀRTAS UZDEVUMU ATBILDES 8.-9.klases uzdevumi

12. klase. Fizikas 64. valsts olimpiādes III posms gada 10. aprīlī

Salaspils kodolreaktora gada vides monitoringa rezultātu pārskats

Andrejs Rauhvargers VISPĀRĪGĀ ĶĪMIJA. Eksperimentāla mācību grāmata. Atļāvusi lietot Latvijas Republikas Izglītības un zinātnes ministrija

Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte. Inese Bula MIKROEKONOMIKA (MATEMĀTISKIE PAMATI)

Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 7. klasei

Laboratorijas darbu apraksts (II semestris)

TIEŠĀ UN NETIEŠĀ GRADIENTA ANALĪZE

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â

Spektrālaparā un spektrālie mērījumi Lekciju konspekts. Linards Kalvāns LU FMF gada 7. janvārī

juridiskām personām Klientu serviss Elektroenerģijas tarifi TARIFI Informatīvais bezmaksas tālrunis:

Αγγειοχειρουργικά ράμματα από 100% e-ptfe, πλήρως βιοσυμβατά, μονόκλωνα μη απορροφήσιμα.

Atlases kontroldarbs uz Baltijas valstu ķīmijas olimpiādi 2013.gada 07.aprīlī

Būvfizikas speckurss. LBN Ēku norobežojošo konstrukciju siltumtehnika izpēte. Ūdens tvaika difūzijas pretestība

InfoPost. HUPshrink. hermētiski noslēgt, izolēt, aizsargāt

4. APGAISMOJUMS UN ATTĒLI

LATVIJAS 48. NACIONĀLĀ ĶĪMIJAS OLIMPIĀDE (2007)

Latvijas 53. Nacionālā ķīmijas olimpiāde

6. Pasaules uzbūve. Jēdzieni, kurus apgūsi

BŪVJU TEORIJAS PAMATI

Uzlabotas litija tehnoloģijas izstrāde plazmas attīrīšanas iekārtu (divertoru) aktīvo virsmu aizsardzībai

2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZE

Transcript:

MAZĀ MATEMĀTIKAS UNIVERSITĀTE 4. nodarbība, 2012. gada 3. marts

4. nodarbība, 2012. gada 3. marts Matemātiskā modelēšana LU FMF pētniece, doktorante Sanda Blomkalna LU FMF vadošais pētnieks Uldis Strautiņš

Tehnomatemātika 4. nodarbība, 2012. gada 3. marts Uldis Strautiņš

Kāda ir matemātikas loma dabaszinātnēs un tehnikā?

Galileo Galilejs: Dabas grāmata ir uzrakstīta matemātikas valodā.

Kārlis Frīdrihs Gauss: Matemātika ir zinātņu karaliene.

Helmuts Noincerts: Matemātika ir tehnoloģija.

Tehnomatemātika

Tehnomatemātika.1. Pasūtītājs formulē uzdevumu.2. Līguma slēgšana.3. Tēmas apgūšana, plānošana.4. Modelēšana.5. Programmēšana.6. Simulācijas.7. Rezultātu interpretācija.8. Prezentācija, pārdošana.9. Projekta turpināšana?.10. Zinātniska publikācija?

Modelēšana vienmēr sākas ar jautājumu Vai zirgs svētdien ir gatavs piedalīties sacensībās?

Sfērisks zirgs Modelis Sfērisks zirgs vakuumā Pieņēmumi. Diametrs 1m, masa 1 kg, lādiņš 1C, jauda 745,7 W Homogēns Pārvietojas vakuumā, pretestības spēku nav Absolūti elastīgs Kustas taisnā virzienā, bez paātrinājuma Ķermenis absolūti melns Elpo ideālu gāzi Zviedz vienā, stingri noteiktā frekvencē...

Sfērisks zirgs vakuumā Secinājumi būs tikai tik labi, kāds būs jūsu modelis. Šajā gadījumā sfēriskais zirgs vakuumā var sasniegt vēlamo ātrumu dažādos veidos. Elektriski uzlādēto zirgu ievietojiet piemērotā elektriskajā laukā Uzlieciet uz ratiņiem un laidiet lejā pa slīpu plakni Izmainiet atskaites sistēmu... Modeļa priekšrocības: Precīzi definēts Vienkārši vienādojumi Var iegūt precīzus atrisinājumus Ja pieņēmumi izpildās - ideāls Trūkumi: Dabā un tehnikā pieņēmumi neizpildās Tāpēc secinājumi nav pielietojami praksē Klients (industrija) nemaksā

Reāls zirgs Zirgs ir tik sarežģīts, ka tīra modelēšana ir bezcerīga. Tāpēc jāstrādā ar eksperimentāli iegūtiem datiem Mērījumi Biometrisks modelis Datu apstrāde un interpretācija (slodzes sadalījums pa kājām rikšu gaitā)

Elektriskā tējkanna Mainīgie: U(t) - elektriskais spriegums T(t) - ūdens temperatūra S(t) - sildelementa temperatūra Tiešā problēma: dots spriegums U(t), aprēķināt ūdens temperatūru T(t) Inversā problēma: Dota ūdens temperatūra T(t), aprēķināt tējkannas parametrus

Elektriskā tējkanna Fakti no fizikas: Sildelementa temperatūras izmaiņa ir proporcionāla jaudai, kas izdalās sildelementā, mīnus siltuma daudzumam, ko sildelements atdod ūdenim: [S(t + 1) S(t)] [P(t) Q(t)] Jauda, kas izdalās sildelementā, ir proporcionāla sprieguma kvadrātam: P(t) U(t) 2 Siltuma daudzums, ko sildelements atdod ūdenim, ir proporcionāls temperatūru starpībai: Q(t) [S(t) T(t)] Ūdens temperatūras pieaugums ir proporcionāls saņemtajam siltuma daudzumam: [T(t + 1) T(t)] Q(t)

Elektriskā tējkanna Modelis: S(t + 1) S(t) = au(t) 2 b[s(t) T(t)], T(t + 1) T(t) = c[s(t) T(t)] Ja zināmi parametri a, b, c, pievadītais spriegums kā funkcija no laika U(t), kā arī sildelementa un ūdens temperatūras sākuma momentā S(0), T(0), tad varam aprēķināt S(t), T(t) katram naturālam t. Inversā problēma. Ko darīt, ja ūdens temperatūra ir zināma, bet jānosaka nezināmās parametru a, b, c un sildelementa temperatūras S(t) vērtības? Šī problēma prasa plašākas matemātikas zināšanas (parametru identifikācija, mazāko kvadrātu metode)

Lasīt elektrokardiogrammu Pieredzējušam ārstam-kardiologam elektrokardiogramma (EKG) var pateikt par pacienta sirdi ļoti daudz. Diemžēl ārsts - speciālists nav pieejams vienmēr. Vai ir iespējams analizēt EKG reālā laikā automātiski un briesmu gadījumā sacelt trauksmi?

Lasīt elektrokardiogrammu RR intervāls - ilgums starp diviem sirdspukstiem. To var mērīt un apzīmēt ar b t, t = 1, 2, 3, 4,..., N Konstruējam punktus: P 1 = (b 1, b 2, b 3 ), P 2 = (b 2, b 3, b 4 ),... P N 2 = (b N 2, b N 1, b N ).

Lasīt elektrokardiogrammu Tagad attēlosim punktus P 1,..., P N 2 trīs dimensiju telpā. Šādu punktu mākoni sauc par Lorenca grafiku. Pa kreisi: vesela cilvēka EKG Lorenca grafiks Pa labi: EKG Lorenca grafiks pacientam ar noteiktu sirds saslimšanu Īsi pirms infarkta pacienta sirdsdarbība kļūst ļoti regulāra: b 1 b 2... Punktu mākonis saspiežas gandrīz vienā punktā. Trauksme, steidzami nepieciešama palīdzība! Šeit tehnomatemātikas pienesums: klasificēt Lorenca grafikus, izstrādāt automātiskas atpazīšanas algoritmus.

Drošība pret plūdiem Kādiem dabas untumiem ir gatava pilsētas kanalizācijas sistēma? Te ir iespējama tikai virtuāla simulācija. Dati: topogrāfija, kanalizācijas sistēma, upes, ūdenskrātuves, cilvēku uzvedība (futbola spēles utt)... Pa kreisi Bonnas modelis (Reina), pa labi Švecingenes kanalizācijas sistēmas modelis

Atombumbas testi Enerģija, kas izdalās sprādzienā: valsts noslēpums

Atombumbas testi Lielbritānijas valdība Dž. I. Teiloram uzdeva noskaidrot jaudu, kas izdalījās Trinity eksperimentā. Sprādziena enerģija izdalās ļoti nelielā tilpumā, tāpēc triecienvilnis atmosfērā ir gandrīz sfēriskas formas. Lai noskaidrotu, kā triecienviļņa rādiuss ir atkarīgs no citiem parametriem, Teilors izmantoja dimensiju analīzi. Sers Džefrijs Ingrems Teilors

Dimensiju analīze Visa māksla ir saprast, kādi parametri sakarībā ieiet! Enerģija E ar mērvienību [E] = kg m 2 /s 2 Gaisa blīvums ρ ar mērvienību [ρ] = kg/m 3 Laiks t ar mērvienību [t] = s Triecienviļņa pozīcija R(t) ar mērvienību [R] = m Hipotēze: R(t) = ce x ρ y t z Mērvienībām ir jāsakrīt: m = (kg m 2 /s 2 ) x (kg/m 3 ) y s z. 1 = 2x-3y (pie m) 0 = x + y (pie kg) 0 = -2x +z (pie s) Atrisinājums x = 1/5, y = 1/5, z = 2/5 Tātad, formula ir R(t) = ce 1/5 ρ 1/5 t 2/5

Sprādziena video Novērtējot konstanti c pēc citiem sprādzieniem ar daudz mazākām enerģijām c 1 un izmantojot 1947. gadā publicēta video kadrus, Teiloram izdevās novērtēt sprādzienā izdalīto enerģiju ar labu precizitāti (±30%)

Dimensiju analīze Ar dimensiju analīzes palīdzību zinātnes vēsturē ir atklātas vairākas nozīmīgas sakarības. Slavenākā ir Kolmogorova 5/3 likums, kas parāda, kā turbulentās plūsmās enerģija sadalās pa dažāda izmēra virpuļiem. Tomēr pareizas mērvienības iegūšana vēl negarantē, ka formula ir pareiza!!!

Skaitļi - bezdimensionāli lielumi Bekingema teorēma apgalvo: Ja sistēmu apraksta N fizikāli lielumi, kuriem ir K neatkarīgas mērvienības, tad, kombinējot fizikālos lielumus, var iegūt skaitā N K bezdimensionālus lielumus - skaitļus. Bezdimensionālu lielumu mērvienība ir 1. Līdzības teorija pēta, kādiem skaitļiem ir jāsakrīt, lai divas (dažāda izmēra) sistēmas uzvestos līdzīgi. Piemēram, divi kuģi ar vienādu Frūdes skaitli, divas plūsmas ap cilindru ar vienādu Reinoldsa skaitli

Paldies par uzmanību! Jaunā Fraunhofer ITWM institūta ēka tehnomatemātikas dzimtajā pilsētā Kaizerslauternā