Αλγεβρα ΙΙ, Εαρινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Φροντιστήριο 1. 1. Δίνεται η ομάδα G = Z 4 Z 8, το στοιχείο a = (1, 2) της G, και η υποομάδα H =< a > της G. Εστω G 1 = G/H. Α. Πόσα στοιχεία έχει η G; η H; η G 1 ; Β. Είναι η G κυκλική; η H; η G 1 ; Γ. Τι τάξη έχει η κλάση του b στην G 1 αν b = (3, 3); αν b = (1, 6); αν b = (1, 4); αν b = (3, 6); 2. Δίνεται μια ομάδα G τάξης 60 και μια κανονική υποομάδα H της G. Αν η τάξη της H είναι 10, να δείξετε ότι a 6 H για κάθε a G. 3. Δίνεται η ομάδα G = Z Z, το στοιχείο a = (1, 2) της G, και η υποομάδα H =< a > της G. Να δείξετε ότι G/H = Z. Υπόδειξη: f(x, y) = y 2x. 4. Δίνεται η ομάδα G = Z Z, το στοιχείο a = (2, 4) της G, και η υποομάδα H =< a > της G. Να δείξετε ότι G/H = Z Z 2. Υπόδειξη: f(x, y) = (y 2x, x mod 2). 5. Δίνεται η εξής ομάδα G τάξης 8: G = {±1, ±i, ±j, ±k}. Η πράξη a b στην G γίνεται με τον «προφανή» τρόπο αν a ή b είναι ±1 (παραδείγματα: ( 1) i = i, ( j) ( 1) = j, ( 1) ( 1) = 1, 1 k = k). Οι πράξεις i j = k, j k = i, k i = j γίνονται «όπως το εξωτερικό γινόμενο». Ομως i 2 = j 2 = k 2 = 1 (εν αντιθέσει με τα αντίστοιχα εξωτερικά γινόμενα, που είναι μηδέν). Η πράξη της G είναι τώρα μοναδικά καθορισμένη (για παράδειγμα, ( k) i = ( 1) (k i) = j, άρα j i = k (αφού j i i = j ( 1) = j, και εφαρμόζω το (δεξιό) Νόμο της Διαγραφής στο (ji)i = ( k)i)). Βρείτε την τάξη του a για κάθε a G. Μετά απαντήστε: Είναι η G αβελιανή; κυκλική; Δεδομένης υποομάδας H της G, είναι η H κυκλική; κανονική; Για κάθε πιθανή ομάδα-πηλίκο G/H, είναι η G/H κυκλική; αβελιανή; 6. Δίνεται η ομάδα G = R, και η υποομάδα H = Z της G. Δίνεται και η υποομάδα G 2 = {z C : z = 1} της C Να δείξετε ότι G/H = G 2. Υπόδειξη: f(x) = cos(2πx) + i sin(2πx). Φροντιστήριο 2. Σε όλες τις παρακάτω ασκήσεις, κρατάμε σταθερό ένα δακτύλιο R. Ο δακτύλιος S (αν υπάρχει στην άσκηση) θα είναι πάντα ο S = R[x]. 1. Σας θυμίζω τις παρακάτω ιδιότητες 1 5 που ίσως έχει ένα υποσύνολο I του R: 1. Το I μπορεί να είναι κλειστό ως προς το 0. 2. Το I μπορεί να είναι κλειστό ως προς τα προσθετικά αντίστροφα (κλειστό ως προς το ). 3. Το I μπορεί να είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση (κλειστό ως προς το +). 4. Το I μπορεί να είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό (κλειστό ως προς το ). 5. Το I μπορεί να είναι κλειστό ως προς τα πολλαπλάσια (να «απορροφά γινόμενα»). Εστω ότι ο R είναι ο δακτύλιος όλων των συναρτήσεων f : R R (με πράξεις τις γνωστές πράξεις συναρτήσεων). Για j = 1, 2, 3, 4, 5 δίνονται υποσύνολα I j του R: I 1 = {f R : f(1) = 2}. I 2 = {f R : f(1) = 2f(2)}. I 3 = {f R : f(1) = 2f(2) ή f(1) = 3f(2)}. I 4 = {f R : f(1) = f(2)}. I 5 = {f R : f(1) = 0}. Α. Ποιό είναι το 0 του R; Γιατί; Ποιό είναι το 1 του R; Γιατί;
Β. Για j = 1, 2, 3, 4, 5 και για k = 1, 2, 3, 4, 5 να απαντήσετε: Αν I = I j, έχει το I την ιδιότητα k; Γ. Για j = 1, 2, 3, 4, 5 να απαντήσετε: Αν I = I j, είναι το I (προσθετική!) υποομαδα του R; υποδακτύλιος του R; ιδεώδες του R; 2. Για j {0, 1,...}, έστω S j = {f S : f = 0 ή deg f j}. Α. Αν R = Z 2, βρείτε όλα τα στοιχεία των S 0, S 1, S 2. Β. Να επαναλάβετε με R = Z 3. Γ. Πόσα στοιχεία έχει το S j αν R = Z 2 ; αν R = Z 3 ; αν το R έχει ακριβώς n στοιχεία; 3. Αν R = Z 4 : Είναι το S ΑΠ; (Υπόδειξη: a = b = 2x.) Ισχύει ότι deg(ab) = deg a + deg b; (Υπόδειξη: a = b = 1 + 2x.) Ισχύει ότι S = R ;(Υπόδειξη: a = b = 1 + 2x.) 4. Σε αυτή την άσκηση θα «κατασκευάσουμε το C» (το C «είναι» ο δακτύλιος R 1 ): Εστω R = R[x], a = x 2 + 1, I = (a), R 1 = R/I. Εστω j η κλάση του x στο R 1. Α. ΝΔΟ j 2 = 1. Β. Να γράψετε το τυχαίο z του R 1 ως z = u + jv με u, v R. (Υπόδειξη: Αν z = b, b R, b = b 0 + b 1 x + + b n x n, έστω b(j) := b 0 + + b n j n. ΝΔΟ z = b(j). Μετά να υπολογίσετε τις δυνάμεις του j.) Γ. Να δείξετε ότι, δεδομένου του z R 1, το u και το v είναι μοναδικά (είναι το «πραγματικό» και το «φανταστικό» μέρος του «μιγαδικού αριθμού» z. (Υπόδειξη: Να κάνετε την Ευκλείδεια Διαίρεση b = aq + r, έστω r = u + vx.) Φροντιστήριο 3. 1. Δίνονται δακτύλιοι R 1 και R 2. Σας θυμίζω τις παρακάτω ιδιότητες 1 3 που ίσως έχει μια συνάρτηση f : R 1 R 2 : 1. Η f μπορεί να διατηρεί το +. 2. Η f μπορεί να διατηρεί το. 3. Η f μπορεί να διατηρεί το 1 (βλ. και επόμενη άσκηση). Εστω ότι R 1 = R 2 = R. Για j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 δίνονται f j : R 1 R 2 : f 1 (a) = a + 1. f 2 (a) = 2a 1. f 3 (a) = 2a. f 4 (a) = a 2. f 5 (a) = a. f 6 (a) = 0. Α. Για j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 και για k = 1, 2, 3 να απαντήσετε: Αν f = f j, έχει η f την ιδιότητα k; Β. Για j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 να απαντήσετε: Αν f = f j, είναι η f ομομορφισμός (προσθετικών!) ομάδων; δακτυλίων; 2. Στην άσκηση αυτή θα αναστείλουμε (προσωρινά) τη συμφωνία μας ότι όλα τα μοναδιαία στοιχεία τα συμβολίζουμε με 1. Δίνονται δακτύλιοι R 1 και R 2 και μια συνάρτηση f : R 1 R 2,. Για j = 1, 2 το μοναδιαίο στοιχείο του R j θα το συμβολίζουμε με u j. Θα λέμε «η f διατηρεί το μοναδιαίο στοιχείο» και θα εννοούμε f(u 1 ) = u 2. (Στην περίπτωση που απλοποιούμε το συμβολισμό συμβολίζοντας και το u 1 και το u 2 με 1, θα απλοποιούμε και την ορολογία, λέγοντας «η f διατηρεί το 1».) Α. ΝΔΟ αν η f είναι ομομορφισμός δακτυλίων, τότε διατηρεί το μοναδιαίο στοιχείο υπό την προϋπόθεση ότι είναι επί. Β. ΝΔΟ αν η f είναι ομομορφισμός δακτυλίων, τότε διατηρεί το μοναδιαίο στοιχείο υπό την προϋπόθεση ότι το R 2 είναι ΑΠ και f 0. Γ. Εστω R 2 = Z 6, R 1 = {0, 3}, f(a) = a. (Παρατηρήστε ότι ούτε το R 2 είναι ΑΠ, ούτε η συγκεκριμένη
f : R 1 R 2 είναι επί.) ΝΔΟ η f μπορεί να θεωρηθεί ως ομομορφισμός δακτυλίων (πιο απλά: το R 1 μπορεί να εξοπλισθεί με κατάλληλη πρόσθεση και πολλαπλασιασμό ούτως ώστε να γίνει δακτύλιος και η f να γίνει ομομορφισμός δακτυλίων). Διατηρεί η f το μοναδιαίο στοιχείο; 3. Επιστρέφουμε στη συμφωνία μας ότι όλα τα μοναδιαία στοιχεία τα συμβολίζουμε με 1. Εστω R = Z[x], a = x 2 + 1 R, I = (a), και R 1 = R/I. Να βρείτε t R 1 τέτοιο ώστε t 2 +1+1+1+1 = 0 στον R 1. 4. Εστω R = Z[x], a = x 2 1 R, I = (a), και R 1 = R/I. ΝΔΟ το R 1 δεν είναι ΑΠ. Φροντιστήριο 4. 1. Θεωρούμε την εξής ιδιότητα που ίσως έχει ο δακτύλιος R: Υπάρχει κάποιος μδδ στον R. ΝΔΟ αυτή η ιδιότητα είναι δομική ιδιότητα του δακτυλίου R. 2. Να επαναλάβετε την άσκηση 1, αλλάζοντας όμως την ιδιότητα ως εξής: Υπάρχουν ακριβώς 11 μδδ στον R. 3. Να επαναλάβετε την άσκηση 1, αλλάζοντας όμως την ιδιότητα ως εξής: Υπάρχουν τουλάχιστον 11 μδδ στον R. 4. Να επαναλάβετε την άσκηση 1, αλλάζοντας όμως την ιδιότητα ως εξής: Υπάρχουν το πολύ 11 μδδ στον R. 5. Εστω R = R[x], a = x 2 R, I = (a), και R 1 = R/I. Να βρείτε j R 1 τέτοιο ώστε j 0 αλλά j 2 = 0 στον R 1. 6. Σε αυτή την άσκηση, το R 1 συμβολίζει τον ίδιο δακτύλιο όπως την προηγούμενη άσκηση. Εστω R 2 = R R. Α. Είναι τα R 1 και R 2 ισόμορφα ως ομάδες; Β. Είναι τα R 1 και R 2 ισόμορφα ως δακτύλιοι; Φροντιστήριο 5. 1. Εστω R = R[x], a = x 2 + 1, I = (a), R 1 = R/I, R 2 = C. ΝΔΟ R 1 = R2. (Δείτε και την Άσκηση 4 του Φροντιστηρίου 2.) 2. Εστω R = Z. Α. Βρείτε όλα τα ιδεώδη του R. Β. Βρείτε όλα τα πρώτα ιδεώδη του R. Γ. Βρείτε όλα τα μεγιστοτικά ιδεώδη του R. 3. Να επαναλάβετε την άσκηση 2, αλλάζοντας όμως το R σε Z 6. 4. Εστω R = Z[x] και I = (x). ΝΔΟ το I είναι πρώτο, αλλά όχι μεγιστοτικό, ιδεώδες του R. Φροντιστήριο 6. 1. Αποδείξτε τη μοναδικότητα του πρώτου σώματος, για σταθερό R: Δεδομένου σώματος R (στη θετική χαρακτηριστική, αρκεί το R να είναι ΑΠ), είδαμε ότι περιέχει ένα πρώτο υπόσωμα R 0, το οποίο θα δείξετε ότι είναι μοναδικό, ως εξής: Εστω R 0 πρώτο υπόσωμα του R. Δείξτε ότι η g : R 0 R με g(a) = a είναι ομομορφισμός δακτυλίων. Εστω 1 το μοναδιαίο στοιχείο του R 0. Δείξτε ότι 1 = 1 (υπόδειξη: φροντιστήριο 3, η f της άσκησης 2 είναι η παραπάνω g). Δείξτε ότι το R 0 είναι το μικρότερο υπόσωμα του R που περιέχει το 1.
Θυμηθείτε «πρώτο σώμα» σημαίνει «δεν έχει γνήσια υποσώματα». 2. Εστω R δακτύλιος και a R. Να αποδείξετε ότι το a είναι μονάδα στο R αν και μόνο αν διαιρεί το 1 στο R. 3. Εστω R δακτύλιος και a R. Να αποδείξετε ότι το a είναι μονάδα στο R αν και μόνο αν διαιρεί όλα τα στοιχεία του R. 4. Εστω R δακτύλιος και a R. Να αποδείξετε ότι το a είναι μονάδα στο R αν και μόνο αν διαιρεί κάποια μονάδα του R. 5. Εστω R = R[x] και a = x 2 + 1. Να βρείτε όλους τους διαιρέτες του a στο R. 6. Να επαναλάβετε την άσκηση 5 αλλάζοντας όμως το R σε C[x]. 7. Θυμηθείτε τη σχέση «συνεταιρικά» στο R. Εστω R = Z 6. Να βρείτε τη διαμέριση του R σε κλάσεις ισοδυναμίας αυτής της σχέσης. 8. Να επαναλάβετε την άσκηση 7 αλλάζοντας όμως το R σε Z 8. 9. Να επαναλάβετε την άσκηση 7 αλλάζοντας όμως το R σε Z 12. Φροντιστήριο 7. 1. Εστω R = Z 6. Για κάθε a R να απαντήσετε: Είναι το a πρώτο στοιχείο του R; 2. Αν το R είναι ΑΠ και το a πρώτο (στο R) τότε είναι ανάγωγο, άρα δεν γράφεται ως γινόμενο μη-μονάδων. Ισχύει αυτό αν το R δεν είναι ΑΠ; 3. Εστω S 0 := Z 2, S := S 0 [x], και, για j {1, 2,...}, έστω S j = {f S : f = 0 ή deg f j}. Για κάθε a S 2 να απαντήσετε: Είναι το a ανάγωγο στοιχείο του S; 4. Με το ίδιο S όπως στην προηγούμενη άσκηση, έστω a := x 2 + x + 1 S, I := (a), και R := S/I. Α. ΝΔΟ το R είναι σώμα. Β. Να κατασκευάσετε πίνακες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού του R. Γ. Με το ίδιο R όπως στην προηγούμενη άσκηση, ΝΔΟ οποιοδήποτε σώμα με (ακριβώς) τέσσερα στοιχεία είναι ισόμορφο με το R. 5. Κατασκευάστε ένα σώμα με εννέα στοιχεία. Υπόδειξη: S 0 = Z 3, a = x 2 + 1. Πληροφοριακά: Πόσα (έως ισομορφισμού) είναι τα σώματα με q στοιχεία; Η απάντηση είναι: κανένα, εκτός αν q = p n με p πρώτο, στην οποία περίπτωση η απάντηση είναι ένα, που συμβολίζεται συχνά με F q. Στην προηγούμενη άσκηση είδαμε το F 4 και εδώ το F 9. (Το F p το ξέρουμε καλά, είναι το Z p.) 6. Δίνεται ένας δακτύλιος R και b R. Θεωρούμε τα a R τέτοια ώστε η εξίσωση at = b έχει λύση. (Εννοείται αυτή είναι εξίσωση στο R, ο άγνωστος είναι το t, και η λύση πρέπει να είναι στο R). Πόσα είναι αυτά τα a, αν: Α. R = Z 2 [x], b = x 2 ; Β. R = Z 3 [x], b = x 2 ; Γ. R = Z 2 [x], b = x 2 + x + 1; Δ. R = Z 3 [x], b = x 2 + x;
Φροντιστήριο 8. 1. (Fraleigh, σελ. 341, ασκ. 2) Αν R = Z 7 [x], a = x 6 + 3x 5 + 4x 2 3x + 2, και b = 3x 2 + 2x 3, να κάνετε την ΕΔ (Ευκλείδεια Διαίρεση) του a δια b στο R. 2. (Fraleigh, σελ. 327, ασκ. 14) Αν R = Z 5 και a = x 5 + 3x 3 + x 2 + 2x R[x], βρείτε όλες τις ρίζες του a στο R. 3. (Fraleigh, σελ. 341, ασκ. 5) Αν R = Z 5 [x] και a = x 4 +4 R, βρείτε την ΠΑΠ (παραγοντοποίηση σε ανάγωγους παράγοντες) του a στο R. 4. (Fraleigh, σελ. 341, ασκ. 6) Αν R = Z 7 [x] και a = x 3 + 2x 2 + 2x + 1 R, βρείτε την ΠΑΠ του a στο R. 5. (Fraleigh, σελ. 341, ασκ. 7) Αν R = Z 11 [x] και a = 2x 3 + 3x 2 7x 5 R, βρείτε την ΠΑΠ του a στο R. 6. Εστω p πρώτος διάφορος του 2, n = (p 1)/2, και G = Z p. Α. Ορίζω f : G G με f(s) = s n. ΝΔΟ η f είναι ομομορφισμός. Β. ΝΔΟ η f παίρνει τιμές στην υποομάδα {±1} της G. Υπόδειξη: Μικρό Θεώρημα του Fermat. Ρίζες του t 2 1 σε μια ΑΠ. Γ. Εστω t G. ΝΔΟ αν s Z p με s 2 = t στο Z p τότε f(t) = 1. Υπόδειξη: Μικρό Θεώρημα του Fermat. Δ. Εστω g : G G ο ομομορφισμός g(s) = s 2. Εφαρμόστε το ΘΙ για ΝΔΟ #Im g = n. Υπόδειξη: ΝΔΟ ker g = {±1}. Ε. Εστω t G. ΝΔΟ s Z p με s 2 = t στο Z p αν και μόνο αν f(t) = 1. Υπόδειξη: a = bc αν a = x 2n 1, b = x n 1, και c = x n + 1. Πόσες ρίζες έχουν στο Z p ; ( Πληροφοριακά: Η f είναι ουσιαστικά το λεγόμενο σύμβολο του Legendre (το f(t) είναι ουσιαστικά το Αυτό που αποδείξατε στο μέρος Ε είναι το λεγόμενο Κριτήριο του Euler. t p ) ). 7. (Fraleigh, σελ. 394, ασκ. 20) Αν R είναι ΠΜΑ, ΝΔΟ τα πρώτα και τα ανάγωγα στοιχεία του R ταυτίζονται. 1. Είναι το a ανάγωγο στο R[x] αν Α. a = x 2 + x + 1, R = C; Β. a = x 3 + x 2 + x + 1, R = R; Γ. a = x 2 + x 1, R = R; Δ. a = x 2 + x + 1, R = R; Ε. a = x 2 + x + 1, R = Z 2 ; Ζ. a = x 2 + x + 1, R = Z; Η. a = x 2 + x + 1, R = Q; Φροντιστήριο 9. 2. ΝΔΟ το a = x 3 2 είναι ανάγωγο στο Q[x] θεωρώντας το στο Z p [x] για p {2, 3, 5,...}. 3. Λύστε την προηγούμενη άσκηση με Eisenstein. 4. Βρείτε την ΠΑΠ του a = x 4 + 1 στο R[x]. Υπόδειξη: a = (x 2 + 1) 2 2x 2. 5. Βρείτε την ΠΑΠ του a = x 4 + 1 στο Q[x] και στο Z[x]. Υπόδειξη: ΜΠΑΠ (μοναδικότητα ΠΑΠ) στο R[x]. 6. Λύστε την προηγούμενη άσκηση με Eisenstein.
Υπόδειξη: Οι παραγοντοποιήσεις των a(x) και a(x + 1) έχουν «την προφανή» αντιστοίχιση. 7. Βρείτε την ΠΑΠ του a = x 4 + 1 στο C[x]. Υπόδειξη: x 8 1 = (x 4 1)(x 4 + 1). Θυμηθείτε τις υποομάδες U n του C. 8. Εστω m, n περιττοί ακέραιοι. ΝΔΟ το a = x 5 + mx 3 + n είναι ανάγωγο στο Q[x]. Υπόδειξη: Δείτε την άσκηση 3 του φροντιστηρίου 7. Κάντε ΕΔ a δια b = x 2 + x + 1 στο Z 2 [x]. 9. Βρείτε την ΠΑΠ του a = x 8 1 στο R[x]. Υπόδειξη: Άσκηση 7. Παρατηρήστε τον δεύτερο τρόπο λύσης της άσκησης 4.