TEORIA RELATIVITÃÞII RESTRÂNSE

CAPITOLUL TEORIA RELATIVITÃÞII RESTRÂNSE Albert Einstein (879-955) a obþinut în anul 9 premiul Nobel pentru seriiile aduse fiziii teoretie. În anul 905, el a publiat epliaþia legilor eperimentale ale efetului fotoeletri (desoperit în 887 de H. Hertz) ºi teoria relatiitãþii restrânse. În lurarea Asupra eletrodinamiii orpurilor în miºare, Einstein afirmã ã: Eperienþele întreprinse pentru a demonstra miºarea Pãmântului în raport u «mediul eter» în are se propagã lumina ºi ale ãror rezultate au fost negatie fa sã se nasã presupunerea ã nu numai în meaniã nii o proprietate a fenomenelor nu orespunde noþiunii de miºare absolutã, i ºi în eletrodinamiã. În toate sistemele inerþiale, pentru are euaþiile meaniii rãmân alabile, legile eletrodinamiii ºi optiii pãstreazã aeeaºi formã, eea e s-a demonstrat. Noi rem sã ridiãm aeastã presupunere la rangul de postulat. În teoria relatiitãþii restrânse, are se referã la fenomenele meanie ºi eletromagnetie din sistemele de referinþã inerþiale, spaþiul ºi timpul sunt douã entitãþi e nu pot fi separate. Teoria relatiitãþii einsteiniene este alabilã pentru orpurile ºi sistemele inerþiale relatiiste (are au iteze relatie de deplasare omparabile u iteza a luminii în id) sau nerelatiiste. Desoperirea radioatiitãþii pusese în eidenþã ã ºi în ea mai miã partiulã de substanþã eistã energie. Celebra euaþie a lui Einstein E = m susþine ã o antitate infimã de masã de substanþã orespunde unei enorme antitãþi de energie. Teoria relatiitãþii restrânse a fost onfirmatã în numeroase proese fizie. dupã Roger Penrose, Mintea ºi legile fiziii

8 Capitolul.. BAZELE TEORIEI RELATIVITÃÞII RESTRÂNSE... Relatiitatea lasiã Daã priim miºarea unui tren, atuni o raportãm la suprafaþa Pãmântului, pe are o admitem în repaos. Când trenul se opreºte la o staþie, el se aflã în repaos în raport u gara sau în raport u Pãmântul. Dar fiindã Pãmântul însuºi se înârteºte împrejurul aei sale ºi înainteazã totodatã în alea lui împrejurul Soarelui, repaosul trenului nu este un repaos real sau absolut, i numai un repaos relati la Pãmânt. M. Eminesu r ur r r = r' + t Viteza u r, de deplasare a puntului material P faþã de sistemul de referinþã inerþial S u aele yz, reprezintã suma r etorialã a itezei u de deplasare a puntului material P faþã de sistemul de referinþã inerþial S u aele y z ºi a itezei r de deplasare relatiã (de transport) a sistemului S faþã de sistemul S: r uur u = u' + r. Relatiitatea lasiã se referã la fenomene meanie raportate la sisteme de referinþã inerþiale, are se miºã uniform. Sistemele de referinþã neinerþiale se miºã aelerat. Poziþia unui punt material, iteza ºi traietoria aestuia sunt relatie, deoaree depind de sistemul de referinþã (referenþialul) ales. Noi nu simþim ã ne miºãm în spaþiu u iteza Pãmântului, p 30 km/s. Daã un sistem de referinþã inerþial S se deplaseazã, faþã de sistemul de referinþã inerþial S, u iteza pe direþia aei O ºi onsiderãm ã originile O ºi O ale elor douã sisteme oinid la momentul t = t = 0, atuni între oordonatele unui punt raportat la aeste sisteme de referinþã inerþiale, a în figura, sunt alabile transformãrile lui Galilei: = + t; y = y ; z = z ; t = t ºi, respeti, = t; y = y; z = z; t = t. Din transformãrile lui Galilei obþinem legea ompunerii itezelor pentru miºãrile din meania newtonianã (lasiã): u = u + ; u y = u y ; u z = u z, unde u d = ºi dt u d = ºi analog elelalte. d t În onformitate u prinipiul relatiitãþii din meania lasiã, toate sistemele de referinþã inerþiale sunt ehialente în raport u legile meaniii. Propagarea luminii se fae din aproape în aproape, u itezã finitã, analog u propagarea unei unde elastie. Undele elastie nu se propagã în id, neaând suport material, dar lumina se propagã u iteza, mai mare deât în alte medii. Fiziienii de la sfârºitul seolului al XIX-lea au onsiderat, prin analogie u mediul elasti prin are se propagã undele elastie, un mediu ipoteti, numit eter, are eistã peste tot în spaþiu ºi prin are se propagã undele eletromagnetie.

Daã iteza luminii are o aloare faþã de mediul eter, onsiderat a sistem de referinþã absolut, atuni faþã de Pãmânt, are se deplaseazã u iteza p = 30 km/s în raport u eterul, iteza luminii se obþine u legea de ompunere a itezelor? Eperimentele onepute pe aeastã ipotezã au aut un rezultat negati, dei eterul nu eistã. Teoria relatiitãþii restrânse 9 Eperimentul fiziianului franez Fizeau a infirmat ipoteza eterului uniersal antrenat de un mediu opti în miºare, fãutã de Hertz. Un fasiul de luminã proenit de la sursa S este diizat de oglinda semitransparentã O : o parte din fasiul () se propagã în sens opus itezei de urgere a lihidului din tub, ealaltã parte din fasiul () se propagã în sensul itezei de urgere a lihidului, pânã ând întâlnes din nou oglinda semitransparentã, pe are se refletã ºi, respeti, o traerseazã, iar apoi interferã (fig. ). Undele sunt oerente deoaree proin de la aeeaºi sursã. Viteza de propagare a luminii în raport u lihidul este = /n. Daã eterul din lihidul u indiele de refraþie n este total antrenat de lihid, atuni între undele luminoase are se propagã în sensul urgerii lihidului ºi ele are se propagã în sens ontrar apare o diferenþã de timp ºi nu soses în fazã în âmpul franjelor de interferenþã: l l 4l 4 l t = =, + deoaree <<. n Rezultã diferenþa de fazã orespunzãtoare: t 4ln 4ln ϕ= π π = π, T T λ unde l = T. Pe figura de interferenþã, s-a onstatat ã franjele nu s-au deplasat faþã de situaþia ând lihidul nu mai urge.,, Prin intermediul eperimentului omul de ºtiinþã reeazã informaþie ºi apoi interpreteazã în onformitate u ideile sale tot e reepþioneazã. Cunoaºterea este un proes la are partiipã imaginaþia omeneasã ºi lumea eterioarã. Ernest Hutten, Ideile fundamentale în fiziã Obs Ipoteza eterului ºi regula lasiã de ompunere a itezelor în azul luminii nu au fost onfirmate, deoaree Fizeau nu a obserat deplasarea preãzutã teoreti. Ipoteza eterului ºi regula lasiã de ompunere a itezelor în azul luminii nu au fost onfirmate, deoaree Fizeau nu a obserat deplasarea preãzutã teoreti.

0 În relatiitatea lasiã, interalul de timp dintre douã eenimente ºi simultaneitatea a douã eenimente are se desfãºoarã în douã punte diferite nu depinde de referenþialul ales, deoaree P t = t ; = +t t = t. Albert Mihelson premiul Nobel (907) pentru instrumentele sale optie de preizie ºi pentru eretãrile metrologie efetuate u ajutorul lor. * Fig. dupã Hans Ohanian, Physis, Union College and Rensselaer Polytehni Institute, New York, 985. Capitolul În figura, alorile noilor sau ehilor oordonate, ale unui eeniment, sunt date de transformãrile Galilei: t = t ; = + t ºi pot fi itite prin desenarea unor ae are interseteazã sistemul de oordonate. Ipoteza lui Lorentz admitea eistenþa eterului imobil a sistem de referinþã absolut, dei suport al undelor eletromagnetie. Aeastã ipotezã fost infirmatã printr-un eperiment efetuat de Albert Mihelson (88). Presupunând ã Pãmântul se miºã în jurul Soarelui printr-un oean de eter imobil, faþã de are lumina se propagã u iteza 3 0 8 m/s, atuni iteza luminii faþã de un obserator terestru este obþinutã u legea ompunerii itezelor?... Eperimentul lui Mihelson În interferometrul Mihelson, un fasiul monoromati de luminã proenit de la sursa S tree printr-o fantã îngustã ºi ajunge la o lamã u feþe plane ºi paralele (fig. ). Aeastã lamã are o faþã semitransparentã ºi diizeazã fasiulul de luminã: o parte din aesta strãbate lama, se refletã pe oglinda planã O, ajunge pe lamã ºi se refletã ãtre ohiul obseratorului; ealaltã parte a fasiulului se refletã pe lamã, ajunge pe oglinda planã O, se refletã înapoi ºi strãbate lama ãtre ohiul obseratorului. Braþele interferometrului între lamã ºi oglinzile O ºi, respeti, O sunt riguros egale, de lungime L. În alea unui fasiul se introdue o lamã ompensatoare a drumului opti, perfet transparentã ºi u aeeaºi grosime a lama semitransparentã, pentru a fieare fasiul sã strãbatã de trei ori grosimea unei lame. Interferometrul a fost montat pe un blo rigid din piatrã are se putea roti într-o adã u merur. Cele douã fasiule de luminã sunt oerente ºi interferã. Franjele pot fi analizate de obserator printr-o lunetã. Eperimental nu s-a obserat deplasarea prognozatã, u legea ompunerii itezelor, a franjelor de interferenþã.

Teoria relatiitãþii restrânse Analiza ºi impliaþiile eperimentului În eperimentul lui Mihelson, reluat de Morley, un braþ al interferometrului oinide u direþia de deplasare a Pãmântului în raport u eterul imobil. Datoritã miºãrii relatie a Pãmântului u iteza relatiã p 30 km/s faþã de eter, pe Pãmânt ar trebui sã aparã un ânt de eter u aeeaºi itezã, dar orientatã în sens opus miºãrii de reoluþie. Din legea ompunerii itezelor: r r r luminã eter = u luminã Pãmânt + Pãmânt eter = r r = u luminã Pãmânt eter Pãmânt u r = r + r. luminã Pãmânt luminã eter eter Pãmânt Cele douã trenuri de unde se propagã dus-întors de-a lungul braþelor interferometrului în interale de timp diferite t ºi t, dei nu soses în fazã în âmpul franjelor de interferenþã (fig. ). Daã se roteºte interferometrul u 90, atuni diferenþa de fazã între ele douã trenuri de unde trebuie sã se shimbe, dei ºi franjele din figura de interferenþã ar fi logi sã se shimbe. Notãm raportul itezelor β=. Deoaree << ºi β <<, om folosi aproimãrile: S O O Lamă semitransparentă Eperimentul efetuat de Mihelson în 88 a fost repetat de Mihelson ºi Morley în 887 ºi de Morley ºi Miller în 904. Rezultatul negati a dus la onluzia ã prinipiile generale ale meaniii newtoniene au arater limitat. A apãrut neesitatea elaborãrii unei noi teorii apabile sã eplie faptele eperimentale aumulate. Noua teorie a relatiitãþii restrânse, în aord u eperimentele, a onins fiziienii seolului XX ã iteza de propagare a luminii în id nu depinde de iteza sursei de luminã sau a obseratorului. Renunþarea la onepþiile lasie nu a fost uºoarã, deoaree trebuia oneputã o teorie are sã înglobeze, a pe un az partiular, teoria lasiã. +β ºi + β β. Interalele de timp t ºi t se aluleazã analog azului bãrilor are pleaã simultan longitudinal ºi, respeti, transersal u o itezã faþã de apa are urge u iteza ºi parurg aeeaºi distanþã L faþã de puntul de pleare: t L L L = + = => +, longitudinal P Realizeazã pe parursul anului ºolar portofoliul u tema: Contribuþia laureaþilor premiului Nobel la dezoltarea fiziii moderne. Portofoliul a uprinde lurãrile indiate P în manual u sigla. Poþi ompleta portofoliul ºi u alte lurãri: fiºe de obseraþii sau doumentare, uriozitãþi et. Consultã dierse surse bibliografie: ãrþi, reiste de speialitate, enilopedii, reþeaua Internet et.

Capitolul t L L = + ;, longitudinal t L L L = = +., transersal Rezultã ã, în funþie de direþia de propagare a luminii, iteza luminii faþã de eter, notatã u r, se ompune u iteza eterului faþã de Pãmânt, notatã u r (fig. ). Daã douã trenuri de unde pleaã simultan de pe lamã, atuni or reeni u o întârziere Obs Transformãrile Galilei sunt alabile la iteze mii, în raport u iteza luminii. Interaþiunile nu se pot propaga u iteze mai mari deât iteza luminii în id. Presupusul eter nu joaã nii un rol, dei aest onept trebuia abandonat. Prin negarea eistenþei eterului, âmpul eletromagneti deine o entitate independentã de orie substanþã. Din momentul în are fasiulul de luminã atinge primul element opti al sistemului, prin ael sistem nu se mai propagã fasiulul iniþial, i unul refletat sau refratat, emis de elementul opti respeti, onform prinipiului Huygens-Fresnel. Aestea se propagã u iteze are depind de indiele de refraþie al mediului respeti ºi nu de iteza de miºare a aestora. L L, longitudinal, transersal. t = t t = = β Prin rotirea plãii de marmurã u 90, interalul de timp îºi shimbã semnul ºi ar fi trebuit sã aparã o diferenþã de L timp dublã ttotal = t = β, ãreia ar fi trebuit sã-i orespundã o deplasare a franjelor de interferenþã u un t numãr N de interfranje: N = total 0. λ C Eperimental nu s-a obserat deplasarea semnifiatiã a franjelor de interferenþã ând braþele sunt rotite u 90 nii în 88 ºi nii ulterior. Aest rezultat negati din istoria fiziii a dus la onluzia ã ipotezele sunt greºite. Din insuesul eperimentului Mihelson, Einstein a tras onluzia ã lumina are aeeaºi itezã de propagare pe oriare direþie din interferometru, indiferent de orientarea braþelor aestuia, dei nu apare diferenþã de drum sau diferenþã de timp ºi nii deplasare a franjelor ând braþele sunt rotite u 90.

Teoria relatiitãþii restrânse 3.. POSTULATELE TEORIEI RELATIVITÃÞII RESTRÂNSE. TRANSFORMÃRILE LORENTZ. CONSECINÞE Postulatele teoriei relatiitãþii restrânse Conluziile analizei faptelor eperimentale au fost sintetizate în anul 905 de Einstein în ele douã postulate ale teoriei relatiitãþii restrânse:. Fenomenele fizie se desfãºoarã identi în toate sistemele de referinþã inerþiale, daã sunt identie ondiþiile iniþiale, adiã legile fiziii sunt aeleaºi faþã de oriare sistem de referinþã inerþial.. Viteza de propagare a luminii în id are aeeaºi aloare în toate direþiile din toate sistemele de referinþã inerþiale, adiã nu depinde de miºarea sursei de luminã sau a obseratorului ( =,99794. 0 8 m/s). Primul postulat generalizeazã prinipiul relatiitãþii din meaniã. Aest postulat ondue la ehialenþa sistemelor de referinþã inerþiale în raport u toate fenomenele fizie (nii un eperiment efetuat într-un sistem de referinþã inerþial nu permite punerea în eidenþã a miºãrii retilinii uniforme a aestui sistem faþã de alt sistem de referinþã inerþial). Ehialenþa sistemelor de referinþã inerþiale o regãsim formulatã ºi în postularea onstanþei itezei luminii, deoaree al doilea postulat reprezintã onluzia eperimentalã ã iteza luminii în id este iteza maimã de propagare a oriãrei interaþiuni fizie. Transformãrile Lorentz Treerea de la un sistem de referinþã inerþial la un alt sistem de referinþã inerþial se obþine u transformãrile Lorentz, are sunt alabile ºi la iteze apropiate de iteza luminii. Transformãrile Lorentz sunt relaþii matematie u ajutorul ãrora treem de la oordonatele unui eeniment obserat din sistemul inerþial S, în puntul de oordonate, y, z la momentul t, la oordonatele aeluiaºi eeniment obserat din sistemul inerþial S, are se deplaseazã u iteza onstantã în raport u sistemul S de-a lungul aei O, în puntul de oordonate, y, z la momentul t. Aeste transformãri stabilite de Lorentz, a o generalizare a transformãrilor Galilei, înainte de elaborarea teoriei relatiitãþii restrânse pot fi obþinute folosind postulatele lui Einstein. Albert Einstein premiul Nobel (9),,pentru seriiile aduse fiziii teoretie ºi mai u seamã pentru epliarea efetului fotoeletri. Teoria relatiitãþii a reoluþionat fizia. Obs P Postulatele teoriei relatiitãþii restrânse susþin eliminarea eterului uniersal ºi a noþiunilor: sistem de referinþã absolut, timp absolut, propagare instantanee a interaþiunilor (itezã infinitã), admise în meania lasiã. Teoria relatiitãþii restrânse se referã la fenomene meanie ºi eletromagnetie are se analizeazã în raport u sisteme de referinþã inerþiale (SRI). Toate sistemele de referinþã inerþiale sunt ehialente, în raport u legile fiziii (în ondiþii identie un fenomen fizi se desfãºoarã la fel în SRI diferite). Sistemele de referinþã neinerþiale (are se miºã aelerat) ºi fenomenele graitaþionale sunt studiate de teoria relatiitãþii generalizate, elaboratã ulterior de Einstein. Coordonatele spaþio-temporale, din ele douã sisteme inerþiale, ale aeluiaºi eeniment depind reipro unele de altele. Daã <<, din transformãrile Lorentz se obþin transformãrile Galilei.

4 z O y O' =t '=t ( t ) =( t) - este inariant. O razã de luminã emisã la momentul de timp t = t = 0, din originea omunã = = 0, a ajuns în puntul = t din sistemul, t la momentul t = T, iar în sistemul, t, în puntul T T ' = = T la momentul de timp T T t' = = T. Viteza luminii în sistemul (, t ) este ' =. t ' Mãrimile ; ; y; z; t sunt mãsurate de obseratorul din sistemul de referinþã inerþial S, legat de Pãmânt, iar mãrimile ; ; y ; t sunt mãsurate de obseratorul din sistemul inerþial S (fig. ). z' y' 006 007 Capitolul Considerãm ã originile O ºi O ale sistemelor S ºi S u aele paralele oinid la momentul iniþial t = t = 0 ºi relaþiile de transformare sunt liniare: = k ( + t ) ºi = k ( t), iar y = y ºi z = z. Putem gãsi fatorul k daã în momentul iniþial onsiderãm un semnal luminos, emis de o sursã puntiformã din originea aelor (fig. ). Aesta se propagã u aeeaºi itezã ( = ) ºi frontul de undã sferi u entrul în O ajunge pe aa O în puntul u absisa = R = t pentru obseratorul S ºi, respeti, el u entrul în O ajunge pe aa O în puntul u absisa = R = t faþã de obseratorul S. Daã în relaþiile de transformare înlouim t = ºi t =, obþinem = k + ºi, respeti, = k. Înmulþim aeste relaþii membru u membru: = k. Rezultã k = =, unde β=. Obþinem transformãrile Lorentz ale oordonatelor spaþiale: + t = ; y = y ; z = z ºi, respeti, t = ; y = y; z = z sunt aeleaºi oordonate spaþiale pentru ambii obseratori. Din relaþiile t = ºi t = obþinem transformãrile Lorentz ale oordonatelor temporale: t + + t t = = ºi, respeti, t t t = =. Transformãrile Lorentz inerse le obþii prin shimbarea semnului itezei de translaþie relatie a sistemelor ( u ) ºi înlouirea u ºi, respeti, t u t.

Teoria relatiitãþii restrânse 5 Conseinþele transformãrilor Lorentz. *Dilatarea interalelor de timp (leturã) Considerãm t 0 = t t interalul de timp propriu sau durata statiã, a unui proes, ronometratã de un obserator are este în repaus într-un punt ( = ) din aelaºi sistem S în are este loalizat proesul. Considerãm durata inematiã t = t t a aeluiaºi proes (dintre douã semnale luminoase, de eemplu) ronometratã de un obserator în miºare relatiã, u iteza relatiistã r paralelã u aa O, faþã de sistemul în are se onsiderã ã are lo proesul. Din transformãrile Lorentz rezultã: adiã t = t' t t + t' = = t 0 β t t, durata inematiã este mai mare deât durata statiã, dei t > t 0 (fig. ), deoaree <.. Durata unui eeniment este relatiã deoaree depinde de sistemul de referinþã din are se mãsoarã. Simultaneitatea eenimentelor este ºi ea relatiã. Considerãm douã eenimente simultane în sistemul S (se produ la momentul t = t ), dar în louri diferite ( ). Momentele de timp orespunzãtoare pentru obseratorul din sistemul S se obþin u relaþiile Lorentz: t t = ºi t t =. Rezultã ã t t, deoaree, dei douã eenimente simultane în louri diferite ale unui sistem inerþial apar onseutie în alt sistem de referinþã inerþial S: ( ) t = t t = 0. Apar simultane ºi în sistemul S numai eenimentele simultane are s-au produs în aelaºi lo ( = ) din S (fig. )., Daã = 0,8 (m/s); = 0 (m) ºi t 0 = s obþinem dupã înlouiri: t =,66 s. Traietoria unui semnal luminos emis din originea O a aelor retangulare, t (pentru sistemul de referinþã al Pãmântului) ºi, respeti, a aelor înlinate, t (pentru sistemul de referinþã are se deplaseazã u o itezã relatiistã) poate fi onsideratã aã de simetrie. Coordonatele unui eeniment pot fi itite uºor în aeste diagrame Minkowski, daã se onsiderã unitatea de lungime egalã u (distanþa parursã de luminã în id în timp de o seundã, numitã seunda-luminã). C Durata inematiã a unui proes mãsuratã de un obserator în miºare faþã de sistemul propriu este mai mare deât durata statiã a aeluiaºi fenomen mãsuratã de un obserator aflat în sistemul propriu. * Figurile ºi dupã webphysis.daidson.edu/ Applets/minkowsky4/default.html

6 Capitolul Eperimentele irtuale înearã sã stabileasã legãtura realitãþii u lumea astã a impresiilor noastre. Aºadar, aeste onstruþii ale minþii noastre sunt justifiate în mãsura ºi în sensul în are teoriile noastre reuºes sã realizeze aeastã legãturã. A. Einstein, L. Infeld, Eoluþia fiziii A. Considerãm un eperiment irtual: un blitz al unui obserator aºezat în mijloul unui agon, are se miºã u iteza, emite un semnal luminos are se propagã u iteza în ambele sensuri, dei fronturile de undã ajung simultan la ei doi pereþi opuºi (fig. ). Pentru un obserator de pe Pãmânt, lumina se propagã în ele douã sensuri u aeeaºi itezã, dar în interalul de timp în are un perete se depãrteazã, elãlalt se apropie de semnalul luminos ºi ele douã fronturi de undã nu ajung simultan la ei doi pereþi. Rezultã ã eenimentul luminos se desfãºoarã mai rapid faþã de sistemul propriu deât faþã de alt sistem are se translateazã faþã de aesta u o itezã relatiistã. Durata inematiã a unui proes apare mai mare oriãrui obserator mobil din eterior deât durata statiã mãsuratã de obseratorul fi, din propriul sistem, pentru are proesul se produe în aelaºi lo. Pentru fieare obserator putem onsidera real timpul mãsurat în propriul sistem de referinþã. Cronometrarea se poate fae u orie fenomen periodi e permite mãsurarea duratelor. Einstein ºi-a imaginat ã îndepãrtându-se faþã de un turn u eas, u iteza luminii, easul din turn pãrea ã s-a oprit. A. Considerãm un alt eperiment irtual (fig. ), în are semnalul luminos produs de un blitz în puntul B din sistemul S se propagã pânã la o oglindã ºi înapoi în interalul de timp propriu: Viteza luminii în id are aeeaºi aloare în toate direþiile ºi în toate sistemele de referinþã inerþiale, fiind independentã de miºarea sursei de luminã sau a obseratorului. d t0 = t = t t =. Pentru obseratorul din sistemul S, aest semnal luminos parurge lungimea L pânã la oglindã ºi înapoi în interalul de timp: L t =, iteza luminii fiind aeeaºi,. Sriem teorema lui Pitagora în triunghiul B RB : t = d + ( t) = ( t ) + ( t) t.

Teoria relatiitãþii restrânse 7 Obþinem: t0 dar t0 = t ; t =, sau t > t 0,undeβ=. ( t) = ( t ) Ajustând distanþa dintre blitz ºi oglindã, aest sistem se poate sinroniza u un eas eletroni. Din puntul de edere al obseratorului de pe Pãmânt, easul u pulsuri luminoase dintr-o naetã relatiistã ronometreazã mai înet, adiã timpul se dilatã. Obserãm ã în azul în are blitzul ºi oglinda ar fi în sistemul S, atuni interalul de timp propriu ar deeni d t0 = t = t t =. Pentru obseratorul din S, interalul de timp în are L semnalul se propagã pânã la oglindã ºi înapoi este: t =. Din teorema lui Pitagora obþinem analog: t t = d + ºi t t0 t = =, dei t > t 0. Obseratorul din raheta relatiistã a onsidera ã easul u pulsuri luminoase de pe Pãmânt ronometreazã mai înet. 3. *Contraþia lungimilor Considerãm o riglã în repaus de-a lungul aei O. Obseratorul din sistemul S a mãsura lungimea proprie (de repaus): l 0 = (fig. ). Pentru obseratorul din sistemul S, oordonatele apetelor riglei, mãsurate simultan (t = t ), or fi ºi respeti, iar lungimea deine l =. Din transformãrile Lorentz rezultã: t + t = = l sau l 0 =. Deoaree <, rezultã ã pentru obseratorul faþã de are rigla se miºã u iteza, lungimea riglei este miºoratã (l < l 0 ). C Rigla are lungimea mai mare în sistemul faþã de are se aflã în repaus, numit sistem propriu, iar aeastã lungime se numeºte ºi lungime proprie sau de repaus. În azul în are rigla este aºezatã perpendiular pe direþia de miºare, atuni l = l 0, deoaree y = y ºi z = z. Contraþia are lo numai dupã direþia de miºare, dei un orp u olumul V 0 în sistemul propriu a aea un olum V = V0 în sistemul faþã de are orpul se miºã u iteza.

8 Analizeazã ºi omenteazã urmãtorul fragment din Sãrmanul Dionis, în are înþeleptul Ruben îl îndeamnã pe erou sã ãlãtoreasã departe: Vei trãi un seol ºi þi se a pãrea o zi Eu sigur oi fi mort ând ei reeni tu, ãi orele ieþii tale or fi ºir de ani întregi pentru Pãmânt. Relatiitatea a fost intuitã de poetul Mihai Eminesu? Capitolul Daã se onsiderã rigla în repaus în sistemul S de-a lungul aei O, atuni lungimea proprie riglei (mãsuratã de un obserator aflat în repaus faþã de aeasta) este: l 0 =. Pentru un obserator din sistemul mobil S, lungimea inematiã a riglei între etremitãþile înregistrate simultan (t = t ) deine l =. + t t Deoaree = =, rezultã l = l 0, adiã lungimea inematiã, mãsuratã din alt sistem de referinþã inerþial, este mai miã pe direþia de miºare deât lungimea proprie, mãsuratã în sistemul de referinþã propriu al orpului onsiderat. Considerãm a apliaþie un eperiment irtual în are obseratorul din sistemul mobil S ronometreazã interalul de timp propriu neesar propagãrii unui semnal luminos emis de o sursã fiatã la apãtul unei rigle, în repaus pe aa O, pânã la oglinda fiatã la elãlalt apãt la distanþa l 0 ºi înapoi: l0 t0 =, unde l 0 = este lungimea proprie mãsuratã din sistemul propriu (fig. ). Aeastã riglã, are se deplaseazã u iteza a sistemului S prin dreptul obseratorului din sistemul S de pe sol, are lungimea l. În interalul de timp t, semnalul luminos parurge distanþa d = l + t = t, iar oglinda parurge distanþa l t, dei t =. Semnalul luminos refletat de oglindã se întoare de la oglindã la sursã în interalul de timp t în are oglinda ºi sursa au înaintat pe distanþa t, dei d = l t = t, l de unde t =. Obþinem timpul total: + l t = t+ t =. t0 = t l0 l. Înlouim ºi obþinem: = sau = β. l l 0 ( )

Teoria relatiitãþii restrânse 9 O onfirmare a onseinþelor transformãrilor Lorentz a fost obþinutã la dezintegrarea spontanã a mezonilor din radiaþia osmiã. Timpul propriu de iaþã al mezonilor (la iteze mii) este t 0 =, µs. Mezonii produºi la altitudini mari se deplaseazã u iteza = 0,998 faþã de Pãmânt, dei în sistemul referinþã, legat de mezonii produºi, aeºtia ar parurge distanþa: l = t 0 658,7 m. Cât este altitudinea la are sunt produºi mezonii? Rezolare Timpul de iaþã al mezonilor, pentru un obserator terestru, t0 6 este t = 34,8 0 s ºi distanþa parursã de mezoni faþã de obseratorul terestru este: l 0 = t 040 m. Altitudinea la are sunt produºi mezonii, mãsuratã în sistemul obseratorului din laboratorul terestru, erifiã relaþia: l l0 = 0 40 m. C Reþinem ã lungimea proprie, mãsuratã în sistemul de referinþã terestru de obseratorul fi, are ea mai mare aloare l 0, iar lungimea inematiã l, mãsuratã din alt sistem de referinþã inerþial, este mai miã pe direþia de miºare: = β (fig. ). l l 0 Contraþia lungimilor de-a lungul direþiei de miºare aratã ã nii un sistem inerþial nu este priilegiat, deoaree nu se poate pune în eidenþã are sistem este în miºare ºi are este în repaus. Distanþa dintre douã punte apare mai miã obseratorului din sistemul are se miºã relati u o itezã relatiistã faþã de ele. Poþi aepta o modelare intuitiã a lungimilor aparente ale orpurilor (fig. a) are depind de iteza relatiã faþã de obserator daã urmãreºti distanþa dintre stâlpii plasaþi ehidistant pe sol sau lungimile agoanelor unui tren dintr-un sistem în repaus ºi apoi în miºare (fig. b)? Durata inematiã t a unui proes apare mai mare oriãrui obserator mobil din eterior deât durata statiã t 0 mãsuratã de obseratorul fi, din propriul sistem, pentru are proesul se produe în aelaºi lo. La t = t ; l = ; l < l 0. La t = t ; l = ; l < l 0. În = t 0 = t t ; t > t 0. a b

0 Capitolul.3. ELEMENTE DE CINEMATICà ªI DINAMICà RELATIVISTÃ.3.. Compunerea relatiistã a itezelor (*F ) Ce înþelegem prin douã eenimente simultane într-un sistem de oordonate? Intuiti, fieare dintre noi are impresia ã înþelege aeastã afirmaþie. Dar sã înerãm sã fim preauþi, sã înerãm sã dãm definiþii riguroase, ãi ºtim ât de primejdios este sã supraestimãm intuiþia noastrã. A. Einstein l Considerãm un punt material are se miºã uniform retiliniu de-a lungul aei O u iteza relatiã u faþã de obseratorul din sistemul mobil S (fig. ). Originea O a aei O se translateazã u iteza faþã de aa O din sistemul S (un laborator terestru). Treerea de la legea miºãrii uniforme = u t faþã de aa O din sistemul inerþial S la legea miºãrii uniforme = u t faþã de aa O din sistemul inerþial S se obþine u ajutorul transformãrilor Lorentz: t t = ºi t =, unde β=. Înlouim în t t epresia = u t ºi obþinem = u sau u + = ( + u ) t. Deoaree u =, rezultã ã iteza t relatiã a puntului onsiderat faþã de aa O are epresia: u + u b 4a = u + u u =. u u u + = u. + Puteam obþine aeastã epresie pentru u sau epresia pentru u folosind definiþiile omponentelor itezelor: d d u = ºi u =. Deriãm relaþiile Lorentz ºi obþinem: dt d t u d u d t = ºi = dt dt Rezultã epresiile matematie pentru ompunerea relatiistã a itezelor:.

Teoria relatiitãþii restrânse u d dt u = = dt d t u, u dei u =. u Daã <<, obþinem formula de ompunere a itezelor din meania lasiã: u = u +. Daã în sistemul S este emis un semnal luminos de-a lungul aei O u iteza u = ºi sistemul S se translateazã faþã de sistemul S u iteza sau hiar u iteza =, atuni obþii u epresia relatiistã a ompunerii itezelor ã semnalul luminos se propagã u iteza u = ºi de-a lungul aei O, (fig. ): + u = =. + l Considerãm un punt material are se miºã retiliniu uniform de-a lungul aei O y u iteza relatiã u y. Euaþia miºãrii în sistemul S este: y = u y t. Cu ajutorul transformãrilor Lorentz, y = y ºi t = obþinem euaþia miºãrii în sistemul S: t ut y t y = uy =. t, În aest az, raportul = reprezintã hiar iteza de t translaþie a originii O faþã de originea O. Rezultã: unde: u y ut y y = = uyt, uy = = u y. C Relaþia pentru ompunerea relatiistã a itezelor satisfae prinipiul onstanþei itezei luminii în id, deoaree înlouind u = se obþine u =. Într-un film S.F., astronauþii are se or deplasa u iteze relatiiste ºi pãmântenii se or edea reipro îmbãtrânind mai înet, se or edea lipind din ohi sau miºându-se u înetinitorul, deoaree durata oriãrui proes este mai miã pentru obseratorul din sistemul în are are lo ºi apare dilatatã pentru orie obserator faþã de are se deplaseazã u o itezã de translaþie relatiistã (omparabilã u iteza luminii). Dar pânã or atinge aeste iteze, se or miºa aelerat ºi sistemul deine neinerþial (trebuie folositã teoria relatiitãþii generalizate), iar biologi, um a reaþiona ºi îmbãtrâni organismul lor? Einstein afirmã în teoria relatiitãþii generalizate, are uprinde ºi fenomenele graitaþionale (miºarea unui orp într-un sistem de referinþã aelerat este ehialentã u miºarea lui într-un âmp graitaþional), ã doi obseratori din douã sisteme onstatã ã timpul urge mai înet în sistemul aelerat S deât în sistemul inerþial S.

Capitolul.3.. Prinipiul fundamental al dinamiii (*F ) Un eletron poate fi aelerat de forþele eletrie dintr-un âmp eletri. Variaþia energiei inetie E este egalã u lurul meani efetuat de forþele eletrie: 0 m e m e = eu, unde m e = 9, 0 3 kg, U tensiunea eletriã ºi 0 << (iteza iniþialã 0 a eletronilor este neglijabilã pe lângã ea finalã în urma aelerãrii). Daã tensiunea eletriã are alori mai mari deât U =,6 0 5 V, atuni iteza a eletronilor, alulatã u relaþia de mai sus, ar aea alori mai mari deât iteza luminii în id, = 3 0 8 m/s. O forþã eletriã a ãrei mãrime este onstantã nu produe o aeleraþie onstantã daã masa eletronului în miºare reºte la iteze relati mari, omparabile u iteza luminii: d( m ) dp dm d dm F = = = + m = + ma. dt dt dt dt dt * O partiulã u masa de repaus m0 0 înepe sã se miºte sub aþiunea unei forþe onstante F. Cât deine iteza relatiistã dupã un interal de timp t foarte mare? Rezolare d( m ) F = m = Ft dt ( 0 = 0 la t0 = 0); m0 = Ft m = Ft( ); 0 Ft = = F t + m 0 Ft / / = ; Ft / / + m0 / F t lim =. t Daã d m = 0, ând m = onstant, atuni iteza eletronilor ar depãºi iteza luminii (în ontradiþie u postulatul al dt doilea al teoriei relatiitãþii). În dinamia relatiistã, prinipiul al doilea al dinamiii are urmãtoarea formã inariantã în raport u transformãrile Lorentz: dp F = = dt d( m ) dt (fig. ), unde: m0 m =, m masa de miºare ºi m 0 masa de repaus a partiulei onsiderate. Obseri ã la iteze nerelatiiste <<, masa de miºare este prati egalã u masa de repaus m 0, (fig. ). La iteze omparabile u iteza luminii în id =,99795 0 8 m/s, masa orpului reºte u iteza.

Teoria relatiitãþii restrânse 3 Folosim aproimaþia: formula masei relatiiste: +, unde <<, pentru m m 0 = m0 + Înmulþim u ºi obþinem relaþia:. m0 m m0 +, unde m 0 = E 0 energia totalã de repaus; m0 = E energia inetiã; m = E energia totalã orespunzãtoare masei de miºare a partiulei onsiderate. r r m0 Impusul total relatiist p = se onserã în toate ionirile..3.3. Relaþia masã-energie Formula E = m eprimã interdependenþa dintre energia unui orp ºi masa aestuia. Energia inetiã a unei partiule reprezintã diferenþa dintre energia totalã E ºi energia de repaus E 0 (fig. ). Folosim aproimarea: Obþinem: +, ând < ºi <<. E = E E = 0 m m0 = m 0 / m0 m 0 + =. = * Care este epresia energiei inetie a eletronilor u masa de repaus m 0 ºi impulsurile p? Rezolare Din epresia masei relatiiste m0 m = / obþinem relaþia: m ( / ) = m 0 sau m m = m 0 ; unde p = m. m = m 0 + p. Înmulþim ultima epresie u ºi obþinem relaþia: m 4 = m 0 4 + p sau relaþia: E = E 0 + p. Folosim relaþia E = E 0 + E ºi om obþine: p = E E 0 =E 0 + E + E 0 E E 0 ; p = E + E 0 E ; adiã E + E 0 E p = 0 u soluþia 0 0 E = E + E + p = 4 0 0. = m + p m

4 * Problemã rezolatã pentru performeri ºi urioºi Sã demonstrãm ã masa unei partiule relatiiste reºte u iteza ând reºterea energiei aestei partiule este de = dm. Rezolare ªtim ã ariaþia energiei este numeri egalã u lurul meani, de = L. Lurul meani elementar efetuat de o forþã F la deplasarea pe o miã distanþã d, paralelã u direþia forþei: dp d L = F d = d = dp = dt dt = dp = d( m) = md + m + dm= d( ) + d m. Rezultã: m dm= d( ) + dm, de unde obþinem ( ) d m m = d ( ). Notãm = y, separãm ariabilele ºi integrãm epresia: m y m= y, m y m0 y0 d d unde y 0 = 0 = 0 ând masa de repaus are aloarea m 0 pentru 0 = 0 ºi y = ând masa de miºare are aloarea m m 0. Obþinem: m m0 y ( ) 0 ln m = ln y ºi m ln m 0 = ln, m adiã: = = m0 m0 Rezultã: m =.. Capitolul þ Legile fiziii sunt aeleaºi faþã de oriare sistem de referinþã inerþial. þ Viteza de propagare a luminii în id are aeeaºi aloare în toate direþiile, din toate sistemele de referinþã inerþiale. þ Compunerea relatiistã a itezelor: u u + = u + sau u u = u þ Durata inematiã t este mai mare deât durata statiã t 0, t0 adiã: t =. þ Lungimea proprie l 0 este mai mare deât lungimea inematiã l, adiã: l = l 0. m þ Masa relatiistã: 0 m =, unde m 0 masa de repaus. þ Relaþia relatiistã între masa ºi energia totalã a unei partiule libere (în miºare sau în repaus): E = m sau E 0 = m 0 ºi E = m; þ Relaþia relatiistã energie-impuls: E = p + E 0. þ La iteze relatiiste, energia inetiã a unei partiule materiale reprezintã o parte din energia primitã ând este aeleratã pânã la o itezã de ordinul 0 8 m/s, iar restul din energia primitã este stoatã prin reºterea masei. þ Niio partiulã nu atinge iteza luminii =, deoaree aeasta ar trebui sã ajungã la o energie infinitã E =. 0 m / þ În teoria lui Einstein, lumina este onsideratã a fiind formatã din partiule (denumite ulterior fotoni), u masã de miºare m f, energia E f = m f ºi impulsul p f = m f..

Teoria relatiitãþii restrânse 5.4. PROBLEME ªI TESTE PROPUSE.4.. Probleme u grad sãzut de difiultate. Viteza u ur a unei ºalupe are traerseazã un râu, daã uur se deplaseazã u iteza relatiã u' faþã de apã are urge u iteza r (fig. ), se eprimã nerelatiist prin relaþia lasiã: ur uur r ur uur r ur uur r ur uur r a) u = u' + ; b) u= u' ; ) u = u' ; d) u = u'/. u. O partiulã elementarã are se deplaseazã u iteza = 0,8 are timpul de iaþã t 0 = 0 8 s în sistemul propriu de referinþã. Timpul de iaþã în raport u laboratorul (sistem de referinþã în repaus relati) este: a) t = 9 0 8 s; b) t =,66 0 8 s; ) t = 9,5 0 7 s; d) t =,66 0 7 s. 3. O partiulã are se deplaseazã u iteza = 0,99 are timpul de iaþã t 0 =,5 0 8 s în sistemul propriu de referinþã. Daã nu ar fi efetul de dilatare relatiistã a timpului, distanþa parursã de partiulã ar fi l 0 = t 0 7,4 m. În sistemul de referinþã al laboratorului, faþã de are sistemul propriu al partiulei se deplaseazã u iteza, distanþa parursã deine: a) l 5,4 m; b) l 35,5 m; ) l 53 m; d) l 79 m. 4. O partiulã are diametrul mediu d 0 = 0 0 m. Daã partiula este aeleratã la iteza = 0,87, dimensiunea partiulei pe direþia de miºare (fig. ), deine: a) d 0,5d 0 ; b) d 0,7d 0 ; ) d 0,9d 0 ; d) d 0,3d 0. 5. O partiulã are diametrul mediu propriu d 0 = 5 0 0 m. Când se deplaseazã faþã de sistemul de referinþã al laboratorului u iteza =,4 0 8 m/s, dimensiunea partiulei pe direþia de miºare faþã de aest sistem, deine: a) d = 3 0 0 m; b) d = 3 0 9 m; ) d = 3 0 8 m; d) d = 3 0 7 m. 6. Mãrimea lungimilor de-a lungul direþiei de miºare ºi durata eenimentelor este relatiã (fig. ), deoaree depinde de: a) sistemul de unitãþi; b) sistemul de referinþã din are se mãsoarã; ) alitatea instrumentelor de mãsurã; d) de obserator. Daã =,9 (m); t =,9 (s) ºi = 0,5 (m/s) obþinem dupã înlouiri: = 5 (m); t = 5 (s). Pentru fig. ezi Webphysis. daidson.edu/applets/minkowski4/ default.html

6 Capitolul.4.. Probleme u grad mediu de difiultate 7. Daã masa de miºare a unei partiule aelerate este de douã ori mai mare deât masa de repaus, atuni iteza ei este: a) = 0,65; b) = 0,76; ) = 0,87; d) = 0,98. 8. Viteza maimã pe are au atins-o eletronii (într-un aelerator) are aloarea = 0,999. Energia inetiã E = m 0 / orespunzãtoare (fig. ) are aloarea: a) E = 0 9 J; b) E = 3, 0 9 J; ) E = 0 8 J; d) E = 0 0 J. 9. Daã energia inetiã a eletronilor în miºare este de douã ori mai mare deât energia de repaus E 0 = m 0 a aestora, atuni iteza lor reprezintã: a) = 0,6; b) = 0,7; ) = 0,83; d) = 0,94. 0. Relaþia relatiistã: E = E 0 + p permite realizarea unui triunghi relatiist (fig. ). Se obþine din relaþiile: m = m 0 / ; m ( / ) = m 0 ; m m = m 0 ; m = m 0 + p, unde p = m ºi =. Folosind relaþia E = E 0 + p ºi relaþia E = E 0 + E, ei obþine relaþia oretã: a) ) p p ( + ) E E E 0 = ; b) ( + ) E E E0 = ; d) p p ( ) E E E0 = ; E + E0 =. +. Energia inetiã a unei partiule u masa de repaus m 0 ºi iteza = 0,8 este: a) E = 0,5m 0 ; b) E = 0,66m 0 ; ) E = 0,7m 0 ; d) E = 0,8m 0. Catod f f V + Anod + +++++++. Energia inetiã a unei partiule relatiiste este egalã u energia de repaus ând iteza partiulei are aloarea: a) 0,55; b) 0,66; ) 0,87; d) 0,99. 3. Eletronii onsideraþi în repaus sunt aeleraþi între atodul ºi anodul unui tun eletroni (fig. ) la tensiunea U = 4 0 4 V. Viteza relatiistã are aloarea: a) 0,85; b) 0,67; ) 0,55; d) 0,99.

4. Un sistem de partiule elementare edeazã în eterior o antitate de ãldurã Q = 9 0 9 J, în urma unei reaþii nuleare. Masa sistemului s-a modifiat u: a) m = 0, mg; b) m = mg; ) m = 0, g; d) m = g. 5. O partiulã u energia de repaus E 0 = 0 3 J este aeleratã la iteza = 0,9. Lurul meani efetuat de forþele de aelerare este: a) L = 0 4 J; b) L =,3 0 3 J; ) L = 0 J; d) L =,3 J. 6. Viteza de deplasare a dreptei de interseþie a unui front de undã luminoasã planã are interseteazã sub unghiul diedru a o suprafaþã planã (fig. ), aflatã în aer (n aer ), este: a) = ; b) = ; ) = ; d) = sinα. osα sinα 7. Un fasiul de eletroni monoenergetii de energie inetiã E = 40 0 5 J se deplaseazã u iteza: a) = 3 0 8 m/s; b) =,98 0 8 m/s; ) =,96 0 8 m/s; d) =, 0 8 m/s. Teoria relatiitãþii restrânse 7.4.3. Test pentru autoealuare. Douã eenimente nesimultane, într-un sistem de referinþã (fig. ), sunt: a) nesimultane în alt sistem de referinþã inerþial are se miºã în aelaºi sens; b) nesimultane în alt sistem de referinþã inerþial are se miºã în sens ontrar; ) simultane în alt sistem de referinþã inerþial.. Eistã o modalitate a o persoanã dintr-un ehiul u pereþi netransparenþi sã deosebeasã starea de miºare uniformã de starea de repaus relati faþã de pãmânt (fig. )? 3. Oamenii harnii se miºã tot timpul ºi li se pare ã timpul tree prea repede pentru a termina e ºi-au propus, iar ei omozi se plitises ºi nu ºtiu e sã mai faã. Pentru ei omozi se dilatã timpul, onform unei formule din teoria relatiitãþii, în aest az? 4. Saantul Langein a epus, în anul 9, la Congresul de filosofie de la Bologna, printr-un eperiment mental speulati, numit paradoul gemenilor, dilatarea timpului: Cel are se reîntoare pe Pãmânt dupã doi ani dintr-o ãlãtorie în osmos îl a gãsi îmbãtrânit u 00 de ani pe elãlalt, daã iteza u are a ãlãtorit a fost mai miã u /0.000 din iteza luminii. a; b; 3; 4a; 5a; 6b; 7; 8b; 9d; 0a; b; ; 3a; 4a; 5b; 6b; 7d.

8 Capitolul Notãm T 0 = ani de iaþã pe rahetã, T = 00 de ani de iaþã pe Pãmânt (fig. ). Înlouieºte în relaþia pentru dilatarea timpului: T 0 = ( / ) / T ºi ei desoperi aloarea itezei de deplasare = 99.985 km/s. Daã sunt puºi faþã în faþã printr-un sistem ideo-t ºi fieare mãsoarã timpul sãu, atuni fieare obserã ã elãlalt îmbãtrâneºte mai înet, iar daã reine pe Pãmânt a fi afetat de aeleraþiile ºi deeleraþiile are fa sã înetineasã easorniul sãu, onform teoriei relatiitãþii generalizate. Metabolismul ºi ritmurile biologie sunt afetate la aeleraþii mari? 5. Într-un eperiment mental desris dealbert Mihelson (fig. ), lumina emisã de un blitz aflat într-o etremitate a unei utii idate de masã M transmite peretelui opus impulsul fotonilor p = E/ dupã timpul de propagare t = L/. Din onserarea impulsului obþinem iteza sistemului dupã impat: = E/M. Din onserarea entrului de masã obþinem relaþia: m f L = M, unde = t ºi m f masa fotonilor. Dupã înlouiri ei obþine relaþia are eprimã energia fotonilor: a) E= m ; b) f E = f ; m ) E= m f ; d) p E = m. f Rãspunsuri la testul pentru autoealuare: ; nu; 3 nu; 4 da; 5a; 6a; 7a. 6. Din relaþia E = m obþinem: E = m 4 = m ( + ). m0 Foloseºte relaþiile p = m ºi m = relatiistã dintre energia totalã E ºi impulsul p: a) E = p + m 0 4 ; b) E = p + m 0 ; ) E = p + m 0 ; d) E = p m 0 4. ºi ei obþine relaþia 7. Un eletron u masa de repaus m 0 = 9, 0 3 kg este aelerat în tunul eletroni din tubul teleizorului ºi atinge eranul u iteza = 0 8 m/s. Înainte de impatul u eranul, masa eletronului în miºare are aloarea: a) m = 9,6 0 3 kg; b) m = 0, 0 3 kg; ) m =,4 0 3 kg; d) m = 5,3 0 3 kg.