Μια µικρή υπενθύµιση από τη θεωρία Galois Oι n-οστές ρίζες της µονάδας αποτελούν µια κυκλική οµάδα τάξεως n. Ένα στοιχείο z θα ονοµάζεται αρχική ρίζα της µονάδας αν είναι µια n-οστή ρίζα της µονάδας και παράγει την παραπάνω οµάδα k Το τυχαίο στοιχείο z της οµάδας θα παράγει και αυτό την οµάδα µόνο αν το k είναι σχετικά πρώτο µε την τάξη της οµάδας. 33
Υπάρχουν ακριβώς φ (n) αρχικές ρίζες της µονάδας Αν z, z, L, z 1 φ ( n) είναι όλες οι διακεκριµένες αρχικές ρίζες της µονάδας, τότε το πολυώνυµο (x) x z x z L x z θα ονοµάζεται ( )( Q = ) ( ) n n 1 φ ( n) -οστό κυκλοτοµικό πολυώνυµο. 34
Ορισµός ης σηµαντικής οµάδας r Το πολυώνυµο Q r (x) διαιρεί το πολυώνυµο x 1, r Επί του σώµατος F το πολυώνυµο x 1 αναλύεται από το p Q ( x) σε πρώτους παράγοντες τάξης ( p) r Ας είναι h(x) ένας τέτοιος παράγοντας. G Θα συµβολίζω µε την οµάδα P { ( ) } l ea Π x a e 0 modulo ( h(x),p) = a = 1 a o r 35
= Στο σώµα F F [ x] h( x) p, η οµάδα παράγεται από τα πολυώνυµα x + 1, x +, K, x + l και είναι υποοµάδα της πολλαπλασιαστικής οµάδας F G Λήµµα : Το πλήθος των θετικών ακέραιων ριζών της εξίσωσης x + x + K + x = v + k 1 k είναι. 1 v k 36
Φράγµατα για την τάξη της οµάδας G G + l t 1 Λήµµα : Η τάξη της είναι τουλάχιστον. Απόδειξη : f ( x), g( x) { } ea f ( x), g( x) e 0 a Ας είναι, δύο διαφορετικά πολυώνυµα l του = Π = ( x a) P µε βαθµό µικρότερο από την τάξη t της οµάδας G. a 1 Αν δεν ήταν διαφορετικά και στη θα έπρεπε για το m m τυχαίο m I να ισχύει f ( x) g ( x) G t 37
m F x ) m Από τη σχέση των I,G θα είχαµε στο, f ( x ) g( m m m και το πολυώνυµο R( x ) = f ( x ) g( x ) θα είχε ρίζα για κάθε m I m Οι m, r είναι σχετικά πρώτοι και άρα το µας δίνει µια r -οστή αρχική ρίζα της µονάδας. F Στο σώµα και από την επιλογή των f, g, το πολυώνυµο R δε µπορεί να έχει t διακριτές ρίζες (την τάξη δηλαδή του G ). Τελικά τα πολυώνυµα f, g µε βαθµό µικρότερο από την τάξη της οµάδας G, είναι διαφορετικά και στην οµάδα G x 38
Επειδή r και διακριτά στοιχεία σχέση τους στο σώµα = φ( ) log < log p > l r n r n r i, j l = φ( r) logn F p, διατηρούν τη Τα x + 1, x +, K, x + l είναι διακριτά πολυώνυµα., δύο Αν h( x) = x a τότε κάποιο από τα x + 1, x +, K, x + l είναι µηδενικό Τουλάχιστον τα l 1 από τα x + 1, x +, K, x + l που παραγουν την G δεν είναι τα µηδενικά πολυώνυµα στο F. 39
Οι συνδυασµοί δυνάµεων d, d, K, d 1 l 1 των x + 1, x +, K, x + l που µπορούµε να πάρουµε ώστε η δύναµη να είναι το πολύ t 1 είναι όσες και ακέραιες ρίζες της ανίσωσης d + d + K+ d l < t 1 1 1 Το πλήθος ριζών της εξίσωσης d + d + K+ d + d = t 1 1 l 1 l είναι l + t 1 1 t 1 = t + l t 1 Εκτός από το κάτω φράγµα για την τάξη της οµάδας, κάτω από ορσιµένες συνθήκες µπορούµε να πετύχουµε και άνω φράγµα G 40
Λήµµα : Αν το n δεν είναι δύναµη του p τότε η G έχει t n λιγότερα από στοιχεία. Απόδειξη : { } i j Θεωρούµε τo υποσύνολο του I = n p i, j 0, I' { } i j = n p 0 i, j t. n Αφού το δεν είναι δύναµη του p, συµπεραίνουµε οτι ( ) I ' = t + 1. Η τάξη του G είναι t, και άρα υπάρχουν τουλάχιστον δύο στοιχεία m, m, του I ' που θα είναι ισότιµα mod r 1 41
m1 m r m > x x mod( x 1) Ας είναι m 1 και τότε ισχύει οτι l f ( ) { } ea Αν (x) P = Π x a e 0 a= 1 a ενδοσκοπικό για το f (x) έχουµε οτι f x ( ) m m1 r ( ) = f x mod x m m f ( x) = f x mod x ( 1, p) r ( ) ( 1, p) 1 1 m 1 και αφού το είναι Επίσης το m είναι ενδοσκοπικό για το f (x), και έτσι η m1 m r τελευταία σχέση γίνεται : f ( x) = f ( x) mod( x 1, p). m1 m Τα f ( x), f (x) είναι ισότιµα στο σώµα και το ως στοιχείο του G πρέπει να διαιρεί το πολυώνυµο m1 m R( x) = x x (1) F f (x) 4
m1 m Το πολυώνυµο R( x) = x x έχει τουλάχιστον G διακριτές ρίζες στο σώµα F m1 m Το πολυώνυµο R( x) = x x έχει βαθµό t m I n m 1 ( ) t np < 1 (αφού κάθε διαιρέτης του n είναι το πολύ n ) Η επιλογή του f (x) ήταν αυθαίρετη και εποµένως t n G <. 43
Η ολοκλήρωση της απόδειξης Λήµµα : Αν ο αλγόριθµος επιστρέψει PRIME τότε ο αριθµός n της εισόδου είναι πρώτος. Απόδειξη : Υποθέτουµε οτι ο αλγόριθµος επιστρέφει PRIME στο 6 βήµα και ας είναι p ένας παράγοντας του n. Από προηγούµενο λήµµα έχουµε οτι αν G = t και t + l l = φ( r) logn, τότε G t 1. ο 44
Ισχύουν τα παρακάτω (1) - t > t log n () - l = φ( r) log n t log n * ( G υποοµάδα της Z r ). (3) - t log n 3 (4) - για x > 3 ισχύει x 1 x > x G 1 l 1+ t log n t log n t log n 1 3 log 4 t n t log n n t. 45
Από προηγούµενο λήµµα και αν ο δεν είναι δύναµη t n του p ισχύει οτι G < Το n είναι δύναµη του p δηλαδή υπάρχει k µε p k = n. Τότε k = 1 γιατί αλλιώς το 1 ο βήµα του, ο αλγόριθµου θα επέστρεφε COMPOSITE. Ώστε p = n δηλαδή ο είναι πρώτος. n n 46
Ανάλυση πολυπλοκότητας Πράξεις µεταξύ αριθµών µε ψηφία µπορούν να υλοποιηθούν σε χρόνο O ~ ( m). Επίσης πράξεις µεταξύ πολυωνύµων βαθµού d και συντελεστών m ψηφίων, µπορούν να υπλοποιηθούν σε χρόνο O ~ ( d m). m Θεώρηµα : Η χρονική ασυµπτωτική πολυπλοκότητα του αλγορίθµου είναι 10,5 O ~ (log n) 47
Απόδειξη Στο 1 ο βήµα ο αλγόριθµος απαιτεί O ~ (log 3 n) βήµατα Στο ο βήµα βρίσκουµε ένα, πάνω φραγµένο από O (log 5 n). Για κάθε ένα από τα υποψήφια θα πρέπει να? ελέγξουµε αν n k 1modr. Εξασφαλίζουµε ένα r ελέγχοντας αν n k 1mod r για κάθε k 4 log n, κάτι που απαιτεί O ~ (log n log r) βήµατα. Στο ο βήµα απαιτούνται O ~ (log 7 n) βήµατα. r r 48
Στο 3 ο βήµα απαιτείται ο υπολογισµός του µέγιστου κοινού διαιρέτη για r ζευγάρια αριθµών. Κάθε ένας από αυτούς απαιτεί χρόνο O (log n) Για το 4 ο βήµα η πολυπλοκότητα είναι O(log n) Στο 5 ο βήµα έχουµε να κάνουµε φ( r) logn ελέγχους µε πολυώνυµα βαθµού r και συντελεστές O(log n) ψηφίων Κάθε έλεγχος απαιτεί O (log n) πολλαπλασιασµούς και έτσι απαιτούνται στο 5 ο βήµα 3 3 O ~ ( r φ ( r) log n) = O ~ ( r 3 log 10,5 n) = O ~ (log n) πράξεις 49
Πρώτοι αριθµοί µε ιστορία αριθµοί Mersenne Ο µοναχός Marin Mersenne (1588-1648) στον πρόλογο του έργου του Cogitata Physica-Mathematica εικάζει οτι όλοι οι αριθµοί της µορφής n 1 που είναι πρώτοι µε n 57 είναι αυτοί για n =,3, 5,7,13,17,19,31,67, 17 και 57 Αν και η εικασία αποδεικνύεται λανθασµένη, δωρίζει το όνοµά του σε αυτούς τους αριθµούς. Οι Fermat(1640), Euler(1750), Lucas(1876), Pervouchine (1883), Powers(αρχές 1900) τροποποιούν τη λίστα στη σωστή =,3,5,7,13,17,19,31,61,89, 107 n και 17. 50
Γνωστοί αριθµοί Mersenne # Εκθέτης 1 3 4 5 6 7 p Πλήθος ψηφίων στο δεκαδικό έτος ερευνητής 1 ---- ---- 3 1 ---- ---- 5 ---- ---- 7 3 ---- ---- 13 4 1456 Ανώνυµος 17 6 1588 Cataldi 19 6 1588 Cataldi 51
8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 31 10 177 Euler 61 19 1883 Pervushin 89 7 1911 Powers 107 33 1914 Powers 17 39 1876 Lucas 51 157 195 Robinson 607 183 195 Robinson 179 386 195 Robinson 03 664 195 Robinson 81 687 195 Robinson 317 969 1957 Riesel 453 181 1961 Hurwitz 443 133 1961 Hurwitz 9689 917 1963 Gillies 9941 993 1963 Gillies 1113 3376 1963 Gillies 19937 600 1971 Tuckerman 5
5 1701 6533 1978 Noll & Nickel 6 309 6987 1979 Noll 7 44497 13395 1979 Nelson & Slowinski 8 8643 596 198 Slowinski 9 110503 3365 1988 Colquitt & Welsh 30 13049 39751 1983 Slowinski 31 16091 65050 1985 Slowinski 3 756839 783 199 Slowinski & Gage 33 859433 58716 1994 Slowinski & Gage 34 157787 37863 1996 Slowinski & Gage 35 139869 4091 1996 Armengaud, Woltman, et. al. (GIMPS) 36 9761 89593 1997 Spence, Woltman, et. al. (GIMPS) 37 301377 90956 1998 Clarkson, Woltman, et. al. (GIMPS, PrimeNet) 38 697593 098960 1999 Hajratwala, Woltman, 53
?? 13466917 4053946 001 et. al. (GIMPS, PrimeNet) Cameron, Woltman, et. al. (GIMPS, PrimeNet) εν είναι γνωστό αν πράγµατι ο τελευταίος αριθµός είναι ο 39 ος αριθµός Mersenne Τα τελευταία αποτελέσµατα βασίζονται στη διαδικτυακή εφαρµογή Great Internet Mersenne Prime Search του George Woltman 54
Ενδιαφέροντα θεωρήµατα Ένας άρτιος αριθµός είναι τέλειος ανν είναι της µορφής n 1 ( n 1) µε n 1 να είναι πρώτος Αν n 1 είναι πρώτος, τότε και ο είναι πρώτος Ας είναι p, q δύο πρώτοι. Αν ο q διαιρεί τον M = p p 1, τότε q = ±1mod8 και q = kp + 1 για κάποιο ακέραιο k. Εστω p πρώτος µε p = 3mod 4. Τότε p +1 είναι επίσης πρώτος ανν ο p + 1 διαιρεί τον M = p 1 p. n 55
Πρώτοι αριθµοί µε ιστορία Sophie Germain p Ορισµός : Ένας πρώτος λέγεται Sophie Germain πρώτος αν και ο p + 1 είναι πρώτος. Γύρω στα 185 η Sophie Germain αποδεικνύει την εικασία του Fermat για τους αριθµούς που αργότερα πήραν το όνοµά της n Οι Sophie Germain πρώτοι της µορφής p = k 1 αντιστοιχούν στις δυνάµεις των αριθµών Mersenne που δεν είναι πρώτοι 56
Μεγάλοι γνωστοί Sophie Germain πρώτοι # πρώτος 1 540041185. 11479-1 1891879. 98395-1 3 1138389. 81131-1 4 109433307. 6645-1 5 984798015. 66444-1 6 371408989585. 60000-1 7 37561665. 34090-1 8 83164873. 33539-1 πλήθος ψηφίων έτος ερευνητής 34547 003 TwinGen, PRP, 968 00 Angel, Augustin, 443 00 Angel, Augustin, 0013 001 Underbakke, 0011 001 Underbakke, 18075 000 Indlekofer, Jarai, 1070 003 Claude Abraham 10106 003 Schoenberger, 57
9 168851511. 3350-1 10018 003 Kremelberg, 10 9185549. 3316-1 10008 003 Rouse, Proth.exe 11 305686839. 3316-1 10008 00 Rouse, Proth.exe 1 670697. 3316-1 10007 00 Rouse, Proth.exe 13 18131. 817#-1 9853 000 Lifchitz, Larvala 14 18458709. 3611-1 985 1999 Charles F. Kerchner 15 415365. 3005-1 9053 1999 Scott, Proth.exe 16 60940331. 9439 +1 8870 00 saridis, Proth.exe 17 3345. 8601 +1 8615 003 Axelsson, Proth.exe 18 1848685. 718-1 8190 001 Rouse, Proth.exe 19 717075. 6000 +1 7835 001 NewPGen, Jobling 0 161193945. 553-1 7611 001 Narayanan, Proth.exe 58
Η εικασία Sophie Germain και ο αλγόριθµος AKS Όπως εκτιµήθηκε από τον Wrench η σταθερά των δίδυµων p( p ) πρώτων είναι c = Π p 3 ( p 1) = 0.6601618158K Η εικασία των Hardy-Littlewood ορίζει οτι το πλήθος των αριθµών Sophie Germain στο διάστηµα [ N, N + l] να είναι περίπου N + l N c log ( N + l) log N 59
Εικάζεται οτι το πλήθος των Sophie Germain πρώτων µικρότερων από N τείνει ασυµπτωτικά στο N dx c log x log x + 1. ( ) Εικασία για την πυκνότητα των Sophie-Germain πρώτων : Το πλήθος των Sophie Germain πρώτων p < x τείνει x ασυµπτωτικά στο c log x Η εκτίµηση για τη σταθερά των δίδυµων πρώτων δείχνει να δίνει αναπάντεχα καλά αποτελέσµατα 60
Πλήθος Sophie Germain πρώτων µικρότερων από N N 1,000 100,000 10,000,000 100,000,000 1,000,000,000 10,000,000,000 πραγµατικό Εκτίµηση 37 39 1171 1166 5603 5618 43140 4395 3308859 3307888 6569515 656884 61
Πρόταση : Αν ισχύει η εικασία για την πυκνότητα των Sophie Germain πρώτων, η πολυπλοκότητα του αλγορίθµου κατεβαίνει στο O ~ (log 6 n) Απόδειξη : Λόγω της εικασίας και για κατάλληλη σταθερά θα υπάρχουν τουλάχιστον log n Sophie Germain πρώτοι στο 8log n, c log log(log n) διάστηµα [ ( )] Κάθε ένα από τους πρώτους αυτούς θα είναι εκτός q 1 του διαστήµατος, q 6
Αν για έναν τέτοιο q ισχύει οτι o q ( n), τότε ένα άνω φράγµα για τον q είναι τάξης O (log n) Υπάρχει πρώτος r = O ~ (log n) µε o r ( n) 4 log n Στο ο και 5 ο βήµα µειώνεται το πλήθος των πράξεων Η πολυπλοκότητα του αλγορίθµου είναι πλέον O ~ (log 6 n) 63
Αναµενόµενη πολυπλοκότητα για τον AKS Έχουν γίνει σηµαντικές προσπάθειες για να αποδειχθεί η εικασία Sophie Germain P(n) Ο Goldfeld (1969) έδειξε οτι αν συµβολίσουµε µε το µέγιστο πρώτο διαιρέτη του n, τότε πρώτοι αριθµοί µε την 1 1 + c ιδιότητα P( q 1) > q µε c 1 έχουν πυκνότητα στους πρώτους µη µηδενική. Βελτίωση της πρότασης από τον Fouvry 64
Λήµµα : Υπάρχουν σταθερές c > 0 και n o N τέτοια που για κάθε x > no και για t 0, 6683 να ισχύει οτι το πλήθος των στοιχείων του συνόλου t { q q πρώτος µε q x και P ( q 1) > q } x είναι µεγαλύτερο ή ίσο από c ln x. q q t q x P ( q 1) > q } Το σύνολο { πρώτος µε και παρουσιάζει θετική πυκνότητα στους πρώτους 65
Θεώρηµα : Η αναµενόµενη πολυπλοκότητα του αλγορίθµου είναι 7,5 O ~ (log n) Απόδειξη : 3 Λόγω της πυκνότητα των πρώτων µε P ( q 1) > q µε µεγάλη πιθανότητα, στο ο βήµα του ο αλγόριθµος θα εντοπίζει ένα r = O(log 3 n). 7,5 Η πολυπλοκότητα του AKS πέφτει στο O ~ (log n). 66
Η εικασία του Artin και ο αλγόριθµος AKS Η εικασία πυκνότητας του Emil Artin : n 1 Αν και επιπλέον το δεν είναι τέλειο τεράγωνο, τότε το σύνολο όλων των πρώτων για τους οποίους ο n είναι αρχική ρίζα είναι άπειρο n Aν ο δεν είναι δύναµη κάποιου αριθµού µεγαλύτερου από τη µονάδα και επιπλέον αν για το αποτετραγωνισµένο µέρος του n ' ισχύει οτι n ' 1mod4 τότε η πυκνότητα του παραπάνω συνόλου είναι 1 C = 1 = 0,3739558136K Artin Π 1 ( 1) k = p p k k 67 n
εδοµένου n N που δεν είναι τέλειο τεράγωνο, το πλήθος των πρώτων p m για τους οποίους o ( n) = p p 1 τείνει ασυµπτωτικά στο m C Artin ( n) ln m, όπου C ( n) > 0, 35 Artin Με υπόθεση τη γενικευµένη εικασία του Riemann, η εικασία του Artin αποδείχθηκε από τον Hooley το 1967 Κανείς δεν έχει αποδείξει αυτό το κοµµάτι της εικασίας ακόµα και για σταθεροποιηµένο n. Πρόταση : Αν ισχύει η εικασία του Artin για πρώτους που είναι της τάξης του (log O n), τότε r = O(log n). Η πολυπλοκότητα του αλγορίθµου γίνεται O ~ (log 6 n) 68
Η εικασία των Kayal και Saxena Εικασία : r Αν ένας πρώτος δε διαιρεί το και αν n n r ( x 1) = ( x 1) mod( x 1, n) *, τότε n n πρώτος είτε = 1mod r n Η εικασία έχει ελεγχθεί από τους Neeraj Kayal και Nitin Saxena για r 100 και n 10 10 69
Πρόταση : Αν ισχύει η εικασία των Kayal και Saxena τότε η πολυπλοκότητα του αλγορίθµου µπορεί να γίνει O ~ (log 3 n) Απόδειξη : Επιλέγουµε ένα r που δε θα διαιρεί το n 1, Το γινόµενο των πρώτων που είναι µικρότεροι από είναι τουλάχιστον x e και άρα το r βρίσκεται στο x [,4log n] Η σχέση * είναι ελέγξηµη σε χρόνο O ~ ( r log n ) Η πολυπλοκότητα του αλγορίθµου γίνεται O ~ (log 3 n) 70
Η εξέλιξη του AKS Άυγουστος 00 : ηµοσίευση από τους Agrawl, Kayal και Saxena Πριν το τέλος του 00 και ανεξάρτητα οι Pomerance και Lenstra δηµοσιεύoυν ανεξάρτητα δικές τους σκέψεις στο The cyclotomic ring test of AKS και Primality testing with cyclotomic rings Νοέµβριος 00 : Ο Berrizbeitia δηµοσιεύει εργασία µε τίτλο Sharpening Primes in P for a large family of numbers 71
Μετά τους πρώτους µήνες του 003 και µε παρέµβαση του Lenstra διορθώνονται µικρά λάθη και απλοποιείται ο αλγόριθµος σε αυτόν που ήδη παρουσιάστηκε Αρχές του 003 : Ο Cheng Qi προτείνει πιστοποίηση πρώτων στο ECPP µε χρήση µιας επαναληπτικής διαδικασίας από το AKS. Νέα πολυπλοκότητα O ~ (log 4 n) Μάρτιος 003 : Οι Lenstra και Pomerence δηµοσιεύουν εργασία µε τίτλο Primality testing with Gaussian periods. Νέα πολυπλοκότητα για το AKS O ~ (log 6 n) Μάρτιος 003 : Ο Daniel Bernstein, τροποποιεί τον AKS σε ένα randomized αλγόριθµο τάξης O ~ (log 4 n) 7
Υλοποίηση του AKS Πολλές προσπάθειες υλοποίησης έχουν δηµοσιευτεί κυρίως σε Mapple, Mathematica και C++ Μαρτιος 003 : Οι Crandall και Παπαδόπουλος µε τη βοήθεια των Lenstra και Pomerence δηµοσιεύουν εργασία µε τίτλο On the implementation of AKS-class primality tests Η πειραµατική πολυπλοκότητα του AKS µετά την παρέµβαση του Lenstra σε υπολογιστή Apple G4 (1 GHz) είναι 6 T C log n µε C 1000clocks 73
Γνωστά και αναµενόµενα αποτελέσµατα Βελτιωµένος (Lenstra) AKS : Για την πιστοποίηση 30- ψήφιου αριθµού απαιτείται σχεδόν µία µέρα Αλγόριθµος Bernstein : Πιστοποίηση 300-ψήφιου αριθµού στον ίδιο χρόνο. Εκτιµάται οτι µε βελτίωση και πάλι σε µια µέρα ένας 700-ψήφιος αριθµός είναι µέσα στις δυνατότητες Οι 10 4 περίπου CPU υπολογισµοί που έχουν γίνει µέχρι σήµερα στην ανθρωπότητα θα έδιναν απάντηση για ένα 100.000 ψήφιο αριθµό 74
Ανοιχτά προβλήµατα για τους φιλόδοξους Υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθµοί; Υπάρχουν άπειροι το πλήθος αριθµοί Mersenne; Η εικασία του Goldbach. Κάθε άρτιος µεγαλύτερος του γράφεται σαν άθροισµα δύο πρώτων. Το πρόβληµα των περιττών του Goldbach: Κάθε περιττός µεγαλύτερος του 5 γράφεται ως άθροισµα τριών πρώτων. Κάθε άρτιος γράφεται ως διαφορά δυο πρώτων. Υπάρχουν άπειροι δίδυµοι πρώτοι; Υπάρχουν άπειροι πρώτοι της µορφής n + 1; Υπάρχει πάντα πρώτος µεταξύ των n και ( n + 1) ; Υπάρχουν άπειροι Fermat-πρώτοι 1 αριθµοί; 1 Πρώτοι αριθµοί της µορφής n + 1 75
76