Σωτήρης E. Λουρίδας Συνηθeiσ Διαφορικεσ Εξισωσεισ
Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν. 11/1993, όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Απαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής αδείας του εκδότη κατά οποιονδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτρονικό, μηχανικό ή άλλο) αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Εκδόσεις Πατάκη Εκπαίδευση Σωτήρης Ε. Λουρίδας, Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις Διορθώσεις: Μάγδα Τικοπούλου Υπεύθυνος έκδοσης: Νίκος Κύρος DTP: Γιώργος Χατζησπύρος Φιλμ μοντάζ: Γιώργος Κεραμάς Copright Σ. Πατάκης Α.Ε.Ε.Δ.Ε. (Εκδόσεις Πατάκη) και Σωτήρης E. Λουρίδας, 018 Πρώτη έκδοση από τις Εκδόσεις Πατάκη, Αθήνα, Μάιος 018 Κ.Ε.Τ. Β40 Κ.Ε.Π. 0/18 ISBN 978-960-16-7696-8 ΠΑΝΑΓΗ ΤΣΑΛΔΑΡΗ (ΠΡΩΗΝ ΠΕΙΡΑΙΩΣ) 38, 104 37 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: 10.36.50.000, 10.5.05.600, 801.100.665, ΦΑΞ: 10.36.50.069 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ: ΕΜΜ. ΜΠΕΝΑΚΗ 16, 106 78 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: 10.38.31.078 YΠOKΑΤΑΣΤΗMA BOPEIAΣ EΛΛAΔAΣ: KOPYTΣAΣ (TEPMA ΠONTOY ΠEPIOXH B KTEO), 570 09 KAΛOXΩPI ΘEΣΣAΛONIKHΣ, Τ.Θ. 113, ΤΗΛ.: 310.70.63.54, 310.70.67.15, ΦΑΞ: 310.70.63.55 Web site: http://www.patakis.gr e-mail: info@patakis.gr, sales@patakis.gr
Περιεχομενα 1. Εισαγωγή... 7. Σχηματισμός διαφορικής εξίσωσης οικογένειας επίπεδων καμπύλων... 11 3. Κατηγορίες λύσεων διαφορικής εξίσωσης... 17 4. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης... 0 5. Τελεστές παραγώγισης ή διαφορικοί τελεστές... 10 6. Διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης... 111 7. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης... 154 8. Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με σειρές................................ 03 9. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων... 11 10. Διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους πρώτης τάξης. Εξισώσεις Pfaff... 31 11. Διάφορα θέματα... 44 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.... 63 3
Στην οικογένειά μου, την Αθανασία, τον Στάθη και την Κωνσταντίνα
Προλογοσ Τα βιβλία Ολοκληρώματα Ι, Ολοκληρώματα ΙΙ και Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις γράφτηκαν κύρια για τους φοιτητές των ΑΕΙ και ΤΕΙ. Για τα Μαθηματικά η γνώση της θεωρίας είναι βασική προϋπόθεση. Η εμπέδωση της θεωρίας και η κατανόηση της δομικής συμπεριφοράς της είναι αποτέλεσμα της λύσης αντίστοιχων προβλημάτων με τη δυνατότητα επιλογής της κατάλληλης μεθόδου επίλυσης. Όπως έχουμε αναφέρει στην επιστημονική μας εργασία στο 0ό Μαθηματικό Συνέδριο της ΕΜΕ στην Ημαθία το 003, είναι κορυφαία η κάθε στιγμή που επιτυγχάνεται η λύση ενός μαθηματικού προβλήματος. Είναι η στιγμή που πείθει για τη διαίσθηση, για την ορθότητα των λογικών συνδυασμών και για τη σωστή επιλογή της μεθόδου. Εξάλλου ο Lebesgue έλεγε: Αν θέλεις να κατανοήσεις τα Μαθηματικά, αρκεί να παρακολουθείς τις κινήσεις ενός μαθηματικού όταν επιλύει μαθηματικά προβλήματα. Ως εκ τούτου η επιτυχία των φοιτητών μας στις εξετάσεις τους στα Μαθηματικά εξαρτάται κατά μεγάλο μέρος από την προπόνησή τους μέσα από τη λύση κατάλληλων ασκήσεων και προβλημάτων. Οι διαφορικές εξισώσεις είναι από τους σημαντικότερους και καθοριστικότερους τομείς των Μαθηματικών. Αποτελούν γνωστικό αντικείμενο που ήρθε στην επιφάνεια από τότε που ο Newton και ο Leibniz εφεύραν τον μαθηματικό λογισμό. Είναι βασική μαθηματική θεωρία με πολλές εφαρμογές στη Φυσική, τη Βιολογία, τα Οικονομικά, την Τεχνολογία κτλ. Προσπαθήσαμε λοιπόν να συγγράψουμε ένα βιβλίο που να αναφέρεται στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις και να αποτελεί προπονητικό μηχανισμό μέσα από θεματικές ενότητες που αναπτύσσονται με τρόπο απλό και κατανοητό. Θεωρούμε ότι το βιβλίο αυτό μπορεί να χρησιμεύσει ουσιαστικά στον καθηγητή των Μαθηματικών αλλά και σε κάθε ασχολούμενο με τη μεθοδολογία και την επίλυση μαθηματικών ασκήσεων και προβλημάτων. Στο σημείο αυτό θα ήθελα προσωπικά να αναφερθώ ειδικά στον καθηγητή πανεπιστημίου κ. Γιώργο Δάσιο, εγνωσμένης διεθνώς μαθηματικής αξίας, που έχει προσφέρει και στο γνωστικό αντικείμενο των διαφορικών εξισώσεων. Επίσης θα ήθελα να αναφερθώ στον καθηγητή της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης κ. Γιώργο Ποδάρα, που για εμένα αποτελεί απλησίαστο παράδειγμα γνώσης και ευστροφίας. Θα ήταν βασική παράλειψη να μην αναφερθούμε στο υψηλό επίπεδο διδασκαλίας των διαφορικών εξισώσεων από τα ΑΕΙ και τα ΤΕΙ της Ελλάδας. Σωτήρης Ε. Λουρίδας 5
1. Eισαγωγή 1.1. Γνωρίζουμε το πρόβλημα, να δίνεται μία συνάρτηση f και να μας ζητούν τον προσδιορισμό της παραγώγου f της συνάρτησης f ( ). Γνωρίζουμε επίσης το αντίστροφο πρόβλημα, δηλαδή να δίνεται η παρά- f και να μας ζητούν τον προσδιορισμό γωγος της f f μιας συνάρτησης. Αυτό ζητείται κάτω από το σύμβολο και μετά από αυτό ακολουθεί το διαφορικό της ζητούμενης συνάρτησης, που σε πολλές περιπτώσεις πρέπει με τύπους και ιδιότητες να αποκρυπτογραφηθεί, ώστε να οδηγηθούμε στον υπολογισμό. Σε αυτή την περίπτωση η f ονομάζεται αρχική ή παράγουσα ή αόριστο ολοκλήρωμα. Παρατήρηση Ως γνωστόν, ισχύει ο τύπος f ( t) dt = F ( t) = F F ( α ), αν α α F είναι μία παράγουσα της f. Εδώ, στη μελέτη των διαφορικών εξισώσεων, θα δούμε την ίδια ισότητα, κάτω όμως από τον συμβατικό συμβολισμό f d = F = F F ( α ), αν α α F είναι μία παράγουσα της f. 1.. Επισημαίνουμε υπενθυμίζοντας ότι σε μία συνάρτηση f ( ) αντιστοιχίζεται μόνο μία παράγωγος, ενώ σε μία παράγωγο f ( ) αντιστοιχίζονται άπειρες αρχικές συναρτήσεις, που όμως διαφέρουν μεταξύ τους κατά σταθερά. Υπενθυμίζουμε επίσης ότι d f = f d = f + c. Τα ολοκληρώματα αποτελούν βασικότατο προαπαιτούμενο για τη μελέτη των διαφορικών εξισώσεων και ως εκ τούτου η γνώση τους κρίνεται απαραίτητη. 7
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 1.3. Η έννοια της εξίσωσης στα Μαθηματικά είναι γνωστή. Επί του πρακτέου είναι μία ισότητα με βάση την οποία ζητάμε τον προσδιορισμό μεγέθους που υπάρχει σε αυτή, όταν γνωρίζουμε ότι το μέγεθος αυτό αναφέρεται σε συγκεκριμένο σύνολο. Αν λοιπόν, με την υπόθεση ότι η εξίσωση έχει λύση, καταλήξουμε σε μέγεθος που την επαληθεύει, τότε αυτό αποτελεί λύση της. 1.4. Γνωρίζουμε επίσης ότι, αν έχουμε συνάρτηση f (, ) με τις μεταβλητές, να εκφράζονται με βάση τις μεταβλητές uvu,, I1, v I, και υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι των, ως προς τις uv,, τότε παίρνουμε την D(, ) ιακωβιανή ορίζουσα J = = u v. Duv (, ) u v Έτσι, ισχύει ο τύπος dd = J dudv, αν J 0, για κάθε στοιχείο u του ανοικτού διαστήματος I 1 και για κάθε στοιχείο v του ανοικτού διαστήματος I. Στην ειδική περίπτωση έκφρασης των, μέσω των πολικών συντεταγμένων r, θ ( = rcos θ, = rsin θ) + = r, = tan, διαμορφώνεται με βάση την ιακωβιανή ορίζουσα J = r ο τύπος dd = r drd θ (Σωτήρης Ε. Λουρίδας, Ολοκληρώματα ΙΙ, Εκδόσεις Πατάκη). 1.5. Ως διαφορική εξίσωση εννοούμε κάθε εξίσωση που περιέχει παραγώγους. d 3 d d Για παράδειγμα = + 3+ 1ή + + 1= 0ή + = d 1 d d 3 5 d ή d = d ή = + 1ή u + u = g(, ) κτλ. d 1.5.1. Λύση ή ολοκλήρωμα μιας διαφορικής εξίσωσης είναι κάθε συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα που την επαληθεύει. 1.5.. Επίλυση ή ολοκλήρωση μιας διαφορικής εξίσωσης είναι η εύρεση όλων των λύσεών της. 8
1. Eισαγωγή 1.5.3. Ολοκληρωτικές καμπύλες ή γραμμές μιας διαφορικής εξίσωσης είναι οι γραφικές παραστάσεις των λύσεών της ή, διαφορετικά, οι γραμμές που έχουν ως εξισώσεις τις εξισώσεις που ορίζουν τις λύσεις της διαφορικής εξίσωσης. Οι διαφορικές εξισώσεις κατανέμονται σε δύο κατηγορίες: α. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Είναι οι διαφορικές εξισώσεις που η ζητούμενη συνάρτηση είναι συνάρτηση μίας μεταβλητής. Η γενική μορφή μίας τέτοιας διαφορικής εξίσωσης είναι ( n) ( ) = F,,,,..., 0. β. Διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους (ή πιο απλά μερικές διαφορικές εξισώσεις). Είναι οι διαφορικές εξισώσεις που η ζητούμενη συνάρτηση είναι συνάρτηση περισσότερων της μίας μεταβλητών, οπότε οι παράγωγοι είναι μερικές παράγωγοι. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η εξίσωση του Laplace: V V V + + = 0, V= V( z,, ) ή η εξίσωση u + uu = 0 κτλ. z 1.5.4. Τάξη μιας διαφορικής εξίσωσης είναι η μεγαλύτερη από τις τάξεις των παραγώγων της ζητούμενης συνάρτησης (μετά την εκτέλεση των αναγωγών) που υπάρχει στη διαφορική αυτή εξίσωση. 1.5.5. Βαθμός μιας διαφορικής εξίσωσης είναι η μεγαλύτερη από τις δυνάμεις που είναι υψούμενη η παράγωγος της μεγαλύτερης τάξης, αν προηγουμένως, μετά τη «μεταφορά» όλων των όρων στο αριστερό μέλος (οπότε το δεξί μέλος είναι το μηδέν) και την εκτέλεση των αναγωγών, προκύ- n πτει πολυώνυμο P,,,..., ως προς τις μεταβλητές, δηλαδή της συνάρτησης και των παραγώγων της. Εδώ θα πρέπει να επισημάνουμε ότι ο βαθμός μιας διαφορικής εξίσωσης πιθανόν να μην υπάρχει, π.χ. ο βαθμός της + cos + = 0 δεν ορίζεται, αφού το cos δεν αντιπροσωπεύεται από πολυωνυμική έκφραση (αναπτύσσεται, κατά τα γνωστά, ως σειρά). Επίσης θα πρέπει να επισημάνουμε ότι η τάξη μιας διαφορικής εξίσωσης δεν επηρεάζεται από τον βαθμό της. 9
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις Παράδειγμα 1 Η διαφορική εξίσωση Παράδειγμα + = είναι τρίτης τάξης και πρώτου βαθμού. Η διαφορική εξίσωση + + = 0 είναι τρίτης τάξης και δεύτερου βαθμού, καθότι, για να τη διαμορφώσουμε σε πολυωνυμική μορφή, παίρνουμε =, οπότε προκύπτει = + + + + = 0. 1.5.6. Γραμμική διαφορική εξίσωση ονομάζεται η διαφορική εξίσωση που είναι πρώτου βαθμού ως προς τη συνάρτηση και τις παραγώγους της. 1.5.7. Μία γραμμική διαφορική εξίσωση n τάξης έχει τη μορφή p p... p p g, με τις συναρ- ( n) ( n ) 1 n + n 1 + + 1 + 0 = τήσεις 0, 1,..., n 1, n p p p p να είναι οι συντελεστές της γραμμικής αυτής διαφορικής εξίσωσης. Μία γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης είναι της μορφής + p = q. Παρατήρηση Ενώ κάθε γραμμική διαφορική εξίσωση είναι διαφορική εξίσωση πρώτου βαθμού, αυτό δε σημαίνει ότι κάθε διαφορική εξίσωση πρώτου βαθμού είναι και γραμμική. Δηλαδή υπάρχουν διαφορικές εξισώσεις, όπως η = c + 3, με c σταθερά, που είναι πρώτου βαθμού, αλλά δεν είναι γραμμικές. 10
. Σχηματισμός διαφορικής εξίσωσης οικογένειας επίπεδων καμπύλων σε καρτεσιανές συντεταγμένες, τότε η εξί- Αν έχουμε μία συνάρτηση = σωση (,, 1,,..., n ) = 0 ( 1 ), h c c c όταν c 1, c,..., c n τυχούσες σταθερές, παριστάνει μία επίπεδη καμπύλη. Κάθε μεταβολή τουλάχιστον μίας από τις σταθερές c1, c,..., c n δημιουργεί επίσης μία επίπεδη καμπύλη. Έτσι, δημιουργείται μία οικογένεια επίπεδων καμπύλων. Από αυτές μπορεί να διαμορφωθεί μία διαφορική εξίσωση της οποίας οι καμπύλες αυτές να είναι λύσεις. Προς τούτο, και επειδή η παράγωγος σταθεράς είναι μηδέν, θα πρέπει με παραγώγιση ή διαδοχικές παραγωγίσεις ως προς να απαλείψουμε τις σταθερές c1, c,..., c n. Αν έχουμε εξίσωση της μορφής = h c,, 0, δηλαδή όταν έχουμε μία παράμετρο, τη c (μονοπαραμετρική οικογένεια καμπύλων), τότε παραγωγίζουμε τη ( ) ως προς και παίρνουμε, κατά τα γνωστά ή (,, ) + (,, ) = 0 h,, c d + h,, c d = 0 h c h c (παραγώγιση πεπλεγμένης συνάρτησης), άρα τε- λικά εξίσωση της μορφής = h1,,, c 0 3. Αν απαλείψουμε τώρα από τις σχέσεις (, ) ( 3τη ) σταθερά c, τότε παίρνουμε τη διαφορική εξίσωση που αντιστοιχίζεται στην οικογένεια των καμπύλων h( c,, ) = 0, δηλαδή των καμπύλων που είναι λύσεις της. Γενικότερα όταν έχουμε μία n-παραμετρική οικογένεια καρτεσιανών καμπύλων, δηλαδή καμπύλων που παράγονται από εξίσωση της μορφής h( c,, 1, c,..., c n ) = 0 ( 4 ), που περιέχει τη συνάρτηση και n αυθαίρετες σταθερές, για να προσδιορίσουμε τη διαφορική εξίσωση που τα στοιχεία της οικογένειας αυτής είναι λύσεις της, εκτελούμε n παραγωγίσεις της h1(,,, c1, c,..., cn ) = 0 h(,,,, c1, c,..., cn ) = 0 ( 4, ) οπότε διαδοχικά παίρνουμε:. ( n) hn(,,,,,...,,..., c1, c,..., cn) = 0 11
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις Εδώ διαμορφώνουμε το σύστημα των ( n +1) εξισώσεων hc (,, 1, c,..., cn ) = 0 h1(,,, c1, c,..., cn ) = 0 : h(,,,, c1, c,..., cn ) = 0. ( n) hn(,,,,,...,,..., c1, c,..., cn) = 0 Τέλος απαλείφουμε με βάση το σύστημα τις σταθερές c 1, c,..., c n και έχουμε ( n) τη διαμόρφωση της διαφορικής εξίσωσης F,,,,..., 0, της οποίας οι καμπύλες της οικογένειας = 1 = h c,,, c,..., c 0 είναι λύσεις. n Παρατήρηση Κατά την παραγώγιση ή τις παραγωγίσεις ως προς θα πρέπει να λάβουμε υπόψη ότι, αν =, το είναι εξαρτημένη μεταβλητή. Για παράδειγμα n n κατά την παραγώγιση ως προς έχουμε = n 1, ενώ, αν =, παίρ- n n νουμε = n 1..1. Περιβάλλουσα καμπύλη K μιας οικογένειας καμπύλων C είναι μία καμπύλη που το κάθε σημείο της είναι σημείο επαφής με καμπύλη της C, και αντίστροφα κάθε καμπύλη της οικογένειας C εφάπτεται στην K. Στο σχήμα που ακολουθεί οι ευθείες ε1, ε είναι περιβάλλουσες της οικογένειας των ίσων κύκλων που τα κέντρα τους βρίσκονται σε συγκεκριμένη ευθεία ε. Σχ. 1 Βασική πρόταση Η τυχούσα καμπύλη που δέχεται σε κάθε σημείο της εφαπτομένη καμπύλη από οικογένεια καμπύλων είναι περιβάλλουσα της οικογένειας αυτής. 1
. Σχηματισμός διαφορικής εξίσωσης οικογένειας επίπεδων καμπύλων.. Ανώμαλο σημείο μιας μονοπαραμετρικής οικογένειας καμπύλων hc (,, ) = 0είναι το σημείο ( 0, 0) h 0, 0 και Βασική πρόταση = 0. ( 0 0) h, για το οποίο έχουμε = 0 Έστω μία μονοπαραμετρική οικογένεια καμπύλων hc (,, ) = 0, με c σταθερά. Κάθε συνάρτηση = που διαμορφώνεται από την απαλοιφή της hc (,, ) = 0 c από το σύστημα hc (,, ) είναι περιβάλλουσα της οικογένειας ή = 0 c είναι ο γεωμετρικός τόπος των ανώμαλων σημείων της. Ασκήσεις 1. Βρείτε τη διαφορική εξίσωση της οικογένειας των καμπύλων = + c 1. Λύση Παραγωγίζουμε ως προς και παίρνουμε = + βάση το σύστημα των ( 1, ) ( ) τη σταθερά c και έχουμε 4 c. Απαλείφουμε με = + 4 + = 0 3, και έτσι προσδιορίσαμε τη διαφορική εξίσωση ( 3 ) της οικογένειας των καμπύλων ( 1.Στο ) Σχ. που ακολουθεί βλέπουμε μερικές καμπύλες της οικογένειας αυτής. Σχ. 13
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Βρείτε τη διαφορική εξίσωση της οικογένειας των κύκλων που βρίσκονται σε ένα επίπεδο. Λύση Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση ενός κύκλου έχει τη γενική μορφή + + α + b + c = 0 1. Εδώ έχουμε τρεις σταθερές, τις α, bc,, που πρέπει να απαλείψουμε εκτελώντας τρεις διαδοχικές παραγωγίσεις ως προς. + + α + b = 0 Έτσι, διαδοχικά προκύπτουν οι εξισώσεις ( ) + + b + 1= 0 ( 3, ) 3 + + b = 0 ( 4) που μαζί με την ( 1 ) αποτελούν σύστημα, από το οποίο θα προκύψει η διαφορική εξίσωση που δε θα περιέχει σταθερές. Εδώ παρατηρούμε ότι οι ( 3, ) ( 4 ) περιέχουν μόνο τη σταθερά b και επομένως προσφέρονται για την απαλοιφή της. Προς τούτο θα εργαστούμε αλγεβρικά. Παρατηρούμε ότι 3 b = 1 4 b = 3. Διαιρούμε κατά μέλη για να απλοποιηθεί η σταθερά b και καταλήγουμε στη διαφορική εξίσωση + 1 3 ( ) = 0. 3. Βρείτε τη διαφορική εξίσωση των γραμμών = α + b Λύση Παραγωγίζουμε δύο φορές την ( 1 ) ως προς και παίρνουμε = α cos b sin ( ) και = α sin cos ( 3 ). sin cos 1. b Διαμορφώνουμε έτσι το σύστημα ως προς τις σταθερές α, b: ( sin ) α + ( cos b ) = : ( cos ) α + ( sin b ) =, το οποίο θα πρέπει να είναι συμβιβαστό. ( ) α + ( ) = sin cos b Σκεφτόμαστε αλγεβρικά και χρησιμοποιούμε ότι η συνθήκη είναι η 14
. Σχηματισμός διαφορικής εξίσωσης οικογένειας επίπεδων καμπύλων sin cos cos sin = 0, από όπου τελικά από την ανάπτυξη της ορίζουσας sin cos προκύπτει η διαφορική εξίσωση + = 0. 4. Βρείτε διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης, ώστε η συνάρτηση Λύση t ( 1) = e e dt να είναι λύση της. 0 Επειδή θέλουμε διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης, παραγωγίζουμε την t t = e e dt + e e dt ή 0 0 προς και παίρνουμε t = + e e dt e e ή = 0 1 0. 1 ως 5. Αν γνωρίζουμε από τη Μηχανική ότι η παραβολική τροχιά βλήματος που ρίχνεται υπό κλίση λ, με αρχική ταχύτητα υ 0 και με κίνηση του βλήματος σε σταθερό κατακόρυφο επίπεδο, δίνεται από τον τύπο ( 1 + λ ) g = λ ( 1, ) να εξετάσετε την ύπαρξη περιβάλλουσας των υ0 τροχιών (1). Στη συνέχεια να βρείτε τη διαφορική εξίσωση των τροχιών αυτών. Θεωρούμε ως g την επιτάχυνση της βαρύτητας και ότι η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα. Λύση λ λ Παραγωγίζουμε την ( 1 ) ως προς λ και παίρνουμε 0 = g g 1 = 0. υ0 υ0 Από την τελευταία έχουμε = 0 = 0ή 0 και λ = υ 0. Για να απαλείψου- g 15
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις με το λ με σκοπό να βρούμε περιβάλλουσα, αντικαθιστούμε την τιμή αυτή του λ στην 1 και παίρνουμε την παραβολή = υ 0 g g υ υ0 g των τροχιών είναι το σημείο O και η παραβολή = g υ τώρα την ( 1 ) ως προς και έχουμε Από τις ( 1, ) ( ) προκύπτει ( 1+ λ ) 0 g = λ υ 0. Τελικά η περιβάλλουσα. 0. Παραγωγίζουμε λ =, 0, οπότε αντικαθιστώντας π.χ. στην ( 1 ) παίρνουμε τη διαφορική εξίσωση των τροχιών, που τελικά είναι η εξί- σωση ( υ ) g + g + g υ + 4g = 0. 0 0 16
3. Κατηγορίες λύσεων διαφορικής εξίσωσης 3.1. Γενική λύση ή γενικό ολοκλήρωμα μιας δεδομένης διαφορικής εξίσωσης ( n) = F,,,,..., 0 n τάξης, όταν υπάρχουν οι προϋποθέσεις, καλείται κάθε συνάρτηση = εξαρτώμενη από n σταθερές, που, αν τις απαλείψουμε με παραγώγιση ή διαδοχικές παραγωγίσεις, όπως ήδη έχουμε δει, προκύπτει η δεδομένη διαφορική εξίσωση. Επισημαίνουμε ότι = ( n για την τυχαία λύση = η ) F,,,,..., 0 εί- ναι ταυτότητα ως προς. Για παράδειγμα η διαφορική εξίσωση = έχει ως γενική λύση ή γενικό ολοκλήρωμα την = α e + be, με α, b αυθαίρετες σταθερές, αφού = αe be = αe + be =. 3.. Μερική λύση ή μερικό ολοκλήρωμα μιας δεδομένης διαφορικής εξίσωσης καλείται κάθε συνάρτηση που προκύπτει από τη γενική λύση, αν στις αυθαίρετες σταθερές δοθούν συγκεκριμένες τιμές. 3.3. Ιδιάζουσα λύση μίας δεδομένης διαφορικής εξίσωσης είναι κάθε λύση που δεν μπορεί να προκύψει από τη γενική λύση της, άρα δεν είναι μερική λύση. Για παράδειγμα η = είναι μία λύση της διαφορικής εξίσωσης 8 ( ) + = ( 1, ) αφού την επαληθεύει. Όμως η γενική λύση της ( 1 ) είναι η = α + α (, ) με α αυθαίρετη σταθερά, χωρίς να υπάρχει τιμή της σταθεράς α που από τη ( ) να προκύπτει η =. Άρα η = 8 8 είναι μία ιδιάζουσα λύση της ( 1. ) Αν υποθέσουμε ότι η οικογένεια των ολοκληρωτικών γραμμών διαφορικής εξίσωσης = F,, 0 έχει περιβάλλουσα, τότε αυτή είναι ολοκληρωτική γραμμή της. Αν αυτή η περι- 17
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις βάλλουσα υπάρχει, τότε έχει ως εξισώσεις τις F =,, p : 0. F p (,, p) = 0 Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα, δηλαδή μπορεί μία ολοκληρωτική γραμμή να παριστάνεται από τις F =,, p : 0, χωρίς να είναι περιβάλλου- F p (,, p) = 0 σα της = F,, 0. Θα γνωρίζουμε όμως ότι, αν υπάρχουν συναρτήσεις = που ικανοποιούν τις F =,, p : 0 και ταυτόχρονα F p (,, p) = 0 ικανοποιούν και την = της F( ) =,, 0. F,, 0, τότε αυτές είναι ιδιάζουσες λύσεις Βασική πρόταση ( n) Αν μία συνήθης διαφορική εξίσωση F,,,,..., 0 έχει ιδιάζουσα = λύση, τότε αυτή είναι περιβάλλουσα ορισμένων ή όλων των γραμμών της οικογένειας των καμπύλων που προκύπτει από τη γενική λύση ή είναι ο γεωμετρικός τόπος των ανώμαλων σημείων της οικογένειας αυτής. Παρατήρηση = n Λύση της διαφορικής εξίσωσης F,,,,..., 0 μπορεί να είναι και συνάρτηση = ( ), ώστε η προς. 1 F,,,... = 0 να είναι ταυτότητα ως p, 0, Επίσης λύση μπορεί να παρέχεται από εξίσωση της μορφής = αν = και αντίστροφα. 3.4. Γενικά, η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης μπορεί να είναι σε αναλυτική μορφή, από όπου δηλαδή να μπορούμε να έχουμε επίλυση ως προς 18
3. Κατηγορίες λύσεων διαφορικής εξίσωσης ( = ( )) ή ως προς =, ή μπορεί να είναι σε πεπλεγμένη μορφή, που σημαίνει μορφή που δεν παρέχει επίλυση ως προς = ( ) και επίλυση ως προς ( ) =. Παρατήρηση Σε πολλές περιπτώσεις για τον υπολογισμό της γενικής λύσης ή του γενικού ολοκληρώματος υπολογίζουμε επιμέρους ολοκληρώματα χωρίς την πρόσθεση της αντίστοιχης σταθεράς. Αυτό γίνεται επειδή τελικά αυτή είναι «ενσωματωμένη» στη σταθερά της γενικής λύσης. 19
4. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης 4.1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Είναι τελικά της μορφής g d = f d ή της ισοδύναμης μορφής f =. g Παρατηρούμε ότι η γενική λύση της, που προέρχεται από την ολοκλήρωση και των δύο μελών της g d = f d, δηλαδή = +, μορφής G = F + c ( 1, ) αν g d = G + c 1, το γράμμα c της 1 κατανοητό ότι, αν θέσουμε h = f ( ), τότε η = μορφή h d + g d =0. g d f d k θα είναι της f d = F + c, με ( c = c c + k). Είναι g d f d παίρνει τη Ασκήσεις 1. Επιλύστε τη διαφορική εξίσωση 1 + 1 + = 0. Λύση Παρατηρούμε ότι η διαφορική αυτή εξίσωση παίρνει τη μορφή ( 1+ ) = ( 1+ ) d ή τη μορφή d = d 1+ 1+ d. Για τη γενική της λύση αρχικά ολοκληρώνουμε d = + + d k. Εδώ υπολογίζουμε 1 1+ 1 ( ) 1 1 d = d = n( 1 + ) + c1, = = ( + ) + 1+ 1+ d... n 1 c. 1+ 1 1 n 1+ = n 1+ + k ή Επομένως έχουμε 0
4. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης 1 1 1 ( 1+ ) = ( 1 + ) + k n n ne, για να έχουμε παντού n, ώστε να απλο- 1+ ποιήσουμε τη διαδικασία, ή n 1+ = ne k 1+ ή 1+ Η τελευταία σχέση είναι που μας δίνει τη γενική λύση. = e k 1+ ή 1+ = c.. Επιλύστε τη διαφορική εξίσωση + b = b 3, με b σταθερά και > b. Λύση d d Η διαφορική αυτή εξίσωση γίνεται = b( b ) ή d ( ) = d, δηλαδή είναι χωριζόμενων μεταβλητών. Το ολοκλήρωμα του πρώτου μέλους υπολο- b b 1 1 1 1 1 γίζεται αν παρατηρήσουμε ότι = = b ( b)( + b) b b + b 1 1 1 1 b d = n( b) n( + b) + k1 = n + k 1, αφού b( b ) b b b + b από υπόθεση ισχύουν οι σχέσεις b >0 και + b>0. Το ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους είναι d = + k. Άρα παίρνουμε 1 b b ( ) b c b b ( c) n = + c n = ne = e. b + b + b + b b ( c) b ( c) b ( c) 1+ e e + e Αν τώρα λύσουμε ως προς, έχουμε = b = b, b ( c) b ( c) b ( c) 1 e e e που είναι μία μορφή της γενικής λύσης. Παρατήρηση Αν δε δινόταν ο περιορισμός > b, τότε θα έπρεπε να διακρίνουμε περιπτώσεις. Αν = b, τότε = 0, τιμές που επαληθεύουν τη διαφορική εξίσωση. Το ίδιο συμβαίνει αν = b, οπότε = 0. Aν < b ή > b, τότε η γενική λύση b ( c) b ( c) e + e είναι η = b, αποτέλεσμα της διαδικασίας που ήδη είδαμε. Αν e b ( c) b ( c) e 1
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις b < < b, εργαζόμαστε ομοίως αλγεβρικά και έτσι ως γενική λύση έχουμε ( ) ( ) e e την = b e + e b c b c ( ) ( ). b c b c 3. Επιλύστε τη διαφορική εξίσωση n + = 0, αν > 0, και βρείτε τη Λύση μερική της λύση στο σημείο 1, e. Υπάρχουν ιδιάζουσες λύσεις; Η εξίσωση γράφεται ως ( n) d + d = 0, > 0. Αυτή οδηγεί σε εξίσωση e k χωριζόμενων μεταβλητών. Αν n 0, δηλαδή 0 και 1, τότε παίρνουμε = = d ( n) = n + k, οπότε καταλή- d d d d 1 n n n γουμε στην n n = n, > 0, ή n =. Επομένως ως γενική λύση έχουμε = e c, 0< < 1 ή c = e >, 1. Για = 1 και = e παίρνουμε e = e c c =, οπότε = e, που είναι η ζητούμενη μερική λύση της. Αν λάβουμε εδώ υπόψη την Παρατήρηση της σελίδας 18, διαπιστώνουμε εύκολα ότι οι = 0 και = 1 την επαληθεύουν. είναι ιδιάζουσες λύσεις της + = > e k n d d 0, 0, αφού 4. Επιλύστε τη διαφορική εξίσωση = sin. Λύση Από τη δοθείσα εξίσωση παίρνουμε = Arcsin d = Arcsin d. Από εδώ προκύπτει d = Arcsin d + c = Arcsin d + c d = Arcsin + c = Arcsin + 1 + c. 1
4. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης 5. Επιλύστε τη διαφορική εξίσωση ( + ) = ( ) 1 d 1 d. Λύση Αν 1, 1 και 1, για τη γενική λύση παίρνουμε d d d d k = = + = + + + k n 1 n 1 ne 1 1 1 + 1 ( 1)( + 1) = 0= 1 ( 1)( + 1 ) =± 1 =, =± 1 k n e n c c. k k e e Εδώ παρατηρούμε ότι οι τιμές = 1, =+ 1, = 1 επαληθεύουν τη διαφορική εξίσωση, συνεπώς είναι ιδιάζουσες λύσεις, αφού είναι λύσεις που δεν παρέχονται από τη γενική λύση. Παρατήρηση Όπως είδαμε, ιδιάζουσες λύσεις μπορεί να παρέχονται και με βάση τους περιορισμούς που τίθενται προκειμένου να εισέλθουμε στη διαδικασία επίλυσης της διαφορικής εξίσωσης. Αυτό δε θα πρέπει να το παραβλέπουμε. 4.. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ P, d + Q, d = 0 ΠΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΕΛΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΕΛΕΙΟ Ή ΟΛΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ (ΠΛΗΡΕΙΣ Ή ΑΚΡΙΒΕΙΣ) Έστω ότι οι παραστάσεις P (, ) και Q (, ) είναι ορισμένες και συνεχείς σε έναν απλά συνεκτικό τόπο D του επιπέδου, στον οποίο υπάρχουν και είναι συνεχείς οι P Q,. Τότε μία διαφορική εξίσωση P( ), d + Q, d = 0 θα είναι πλήρης, αν η παράσταση P(, ) d + (, ) K(., ) Ως γνωστόν, η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε η P(, ) d + (, ) να είναι τέλειο διαφορικό συνάρτησης K(, ) είναι P = Q Q d είναι τέλειο διαφορικό συνάρτησης Q d. Οι συναρτήσεις P, d + Q, d δίνονται K(, ) που έχουν τέλειο (ολικό) διαφορικό την από τον τύπο ( 0 ) K, = P, d + Q, d + c, με 0, 0 αυθαίρετες σταθερές, που όμως (, ) D. 0 0 0 0 3
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις P d Q d είναι πλήρης, η γενι- Όταν λοιπόν η διαφορική εξίσωση (, ) + (, ) = 0 κή λύση της θα παρέχεται από την K(, ) = 0. Για τις (, ) K K = P, = Q. K ισχύει Ακολουθεί ένας πίνακας με πλήρεις διαφορικές εξισώσεις και τις αντίστοιχες γενικές λύσεις τους, που αναγνωρίζονται εύκολα. ΠΙΝΑΚΑΣ Διαφορική εξίσωση 1. d + d =0 = c Γενική λύση. d + d = 0 = c 3. d + d = 0 = 4. d + d = 0 = c 3 3 5. 3 d + 3 d = 0 3 3 = c 6. cos d + sin d = 0 sin = c 7. sin d + cos d = 0 sin = c 8. e d + e d =0 e = c 9. d + d =0 + = c d d 10. + =0 n = c c 11. 1. d d = 0 d d = 0 = c = c 13. d + d + = 0 + = c 4
4. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Σχόλιο: Αν σε μία πλήρη διαφορική εξίσωση αναδιατάξουμε κατάλληλα τους όρους της, υπάρχει το ενδεχόμενο δημιουργίας ομάδων όρων που θα αποτελούνται από διαφορικά γνωστών συναρτήσεων, οπότε η γενική λύση προκύπτει πιο άμεσα. Παράδειγμα + 1 Επιλύστε τη διαφορική εξίσωση d = d. Λύση Εύκολα μπορούμε με τη γνωστή μέθοδο να διαπιστώσουμε ότι η διαφορική αυτή εξίσωση είναι πλήρης. Μπορούμε να τη γράψουμε και ως d d d d + + = 0, 0, ή d + d n + d = 0, 0, από όπου έχουμε τη γενική λύση + n + = c, 0. Ασκήσεις 1. Επιλύστε τη διαφορική εξίσωση Λύση H εξίσωση γράφεται + 3 = 3 4. 3 + 4 d + + 3 d = 0. Είναι της μορφής P(, ) d + Q(, ) d = 0, με P, = 3 + 4, Q, = + 3. Παρατηρούμε ότι P = Q 4, = 4, άρα P Q =, που σημαίνει ότι είναι πλή- ρης, άρα η γενική της λύση είναι 3 + 4 d + 0 + 3 d + c = 0ή 0 0 3 3 3 + 4 + 3 + c = 0ή 3 + + 3 + c = 0. 3 3 5
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Επιλύστε τη διαφορική εξίσωση sin + sin d cos cos d = 0. Λύση Παρατηρούμε ότι το πρώτο μέλος είναι τέλειο διαφορικό, αφού έχουμε ( + ) = + ( + ) = + sin sin cos sin, cos cos sin cos, οπότε παίρνουμε ( + ) = ( + ) sin sin cos cos. Επομένως η γενική λύση της είναι sin + sin d + cos 0 + 0cos d + c = 0 ή 0 0 [ ] 0 sin + cos + c = 0 ή sin cos + + c = 0 ή sin cos + c = 0. 3. Επιλύστε τη διαφορική εξίσωση d = d. + + Λύση Η διαφορική εξίσωση γράφεται d d = 0 ( 1. ) + + Παρατηρούμε ότι P, P = = +, + (, Q Q) = = +, οπότε ισχύει P Q = +, άρα το πρώτο μέλος της ( 1 ) είναι τέλειο (ολικό) διαφορικό της 0 K (, ) = d + + + d c, 0 0 + 0 0 K d c ή +, ή (, ) = + 1 K (, ) = d + c = d + c = Arc tan + c ή 0 0 0 + 1 + 1 0 6