Παραδείγματα (2 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα ( ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω ο υποχώρος W του R 5 που παράγεται από τα διανύσματα v=(,,-,,), v=(,,-,6,8), v=(,,,,6), v=(,,5,,8), v5=(,7,,,9). a) Να βρεθεί μία βάση του W b) Να επεκταθεί η προηγούμενη βάση ώστε να παράγει τον R 5 c) Να βρεθεί μία βάση του W, η οποία να αποτελείται αποκλειστικά από ένα υποσύνολο των δοθέντων διανυσμάτων a) Δημιουργούμε τον πίνακα ο οποίος αποτελείται από τα v,v,v,v,v5 ως γραμμές 6 8 A = 6 5 8 7 9 Η απαλοιφή Gauss δίνει τον πίνακα 5 5 U = O υποχώρος που παράγεται από τα v,v,v,v,v5 αποτελείται από όλους τους δυνατούς γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων αυτών. Το ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα δίνει και ο χώρος γραμμών του πίνακα Α δηλ ο RA ( ) Επειδή η απαλοιφή Gauss δεν επηρεάζει το χώρο γραμμών του πίνακα Α, o RA ( ) θα ισούται και με το χώρο γραμμών του U, επομένως μία βάση του U θα αποτελεί βάση και του RA ( ) και κατά συνέπεια και του W = span{ v, v, v, v, v5} Η βάση αυτή αποτελείται από όλες τις μη μηδενικές γραμμές του U Επομένως η ζητούμενη βάση είναι η B=, 5, / 5/ και ο W έχει διάσταση b) Απαιτούνται 5 διανύσματα για να κάνουν μία βάση του R 5, επομένως η επέκταση της βάσης B μπορεί να γίνει αν την συμπληρώσουμε με διανύσματα τέτοια ώστε το σύνολο

να είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Αυτό επιτυγχάνεται γενικώς συμπληρώνοντας την βάση με διανύσματα που παίρνουμε από την κανονική βάση του R 5 και στη συνέχεια ελέγχοντας αν το νέο σύνολο είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Αν δεν είναι, επιλέγουμε κάποια άλλα διανύσματα της κανονικής βάσης και επαναλαμβάνουμε τον έλεγχο. Στην περίπτωσή μας λόγω της μορφής του U είναι εύκολο να τον συμπληρώσουμε με διανύσματα της κανονικής βάσης φροντίζοντας να υπάρχει οδηγός σε κάθε στήλη (επομένως το σύνολο θα είναι γραμμικά ανεξάρτητο) Έχουμε λοιπόν: 5 5 U = Άρα η ζητούμενη βάση του R 5 είναι η B=, 5, /,, 5/ c) Η μεθοδολογία που ακολουθήσαμε στο ερώτημα (α) μας δίνει μία βάση του W, αλλά δεν αποτελείται αποκλειστικά από διανύσματα του συνόλου {v,v,v,v,v5} Θα πρέπει να ακολουθήσουμε άλλη μεθοδολογία: Δημιουργούμε τον πίνακα ο οποίος αποτελείται από τα v,v,v,v,v5 ως στήλες: 7 A = 5 6 8 6 8 9 Η απαλοιφή Gauss δίνει τον πίνακα U = O υποχώρος W = span{ v, v, v, v, v5} αποτελείται από όλους τους δυνατούς γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων αυτών. Το ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα δίνει και ο χώρος στηλών του πίνακα Α δηλ ο RA ( ) Ο χώρος στηλών του πίνακα U δεν είναι ίδιος με τον RA ( ), αλλά οι στήλες στις οποίες υπάρχει οδηγός στον πίνακα U αντιστοιχούν στις γραμμικά ανεξάρτητες στήλες του πίνακα A. Έτσι ως τη ζητούμενη βάση παίρνουμε τα διανύσματα που βρίσκονται στις στήλες, και 5 του πίνακα Α δηλ:

7,, = { v, v, v } 6 9 B= 5 Παράδειγμα Να βρείτε το ομογενές σύστημα του οποίου το σύνολο λύσεων W παράγεται από τα διανύσματα {(,,, ), (,,, ), (,,, 5) } Έστω v= ( yzw,,, ) W Δημιουργούμε ένα πίνακα γράφοντας τα δοσμένα διανύσματα ως γραμμές του και ως τελευταία γραμμή θέτουμε το διάνυσμα v : A = 5 y z w Εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss στον A : r rr r rr r rr A = 5 5 y z w y z w y z w r r r r r ( + y) r + y z + w + y z + w + y+ z 5 y+ w Γίνεται φανερό πως η απαλοιφή Gauss στις πρώτες γραμμές δημιουργεί μία με μηδενικά, επομένως η dimw = Για να ανήκει το διάνυσμα v στο W θα πρέπει η προσθήκη του να μην μεταβάλει τη διάσταση του χώρου γραμμών, επομένως θα πρέπει οι δύο τελευταίες γραμμές του τελικού πίνακα να είναι μηδενικές ή + y+ z = 5 y + w = Αυτό είναι το ζητούμενο ομογενές σύστημα.

Παράδειγμα Αν UVW,, υποχώροι κάποιου διανυσματικού χώρου, δείξτε ότι ( U V) + ( U W) U ( V + W) Έστω u ( U V) + ( U W) τότε αυτό γράφεται ως u u u u ( U W). Έχουμε λοιπόν u ( U V) u Uκαι u V u U W u Uκαι u W ( ) Επομένως u, u u = u+ u U () Επίσης u V και u = + με u ( U V) U. Επειδή όμως το U είναι υποχώρος συνεπάγεται πως W. Άρα u = u+ u V + W () Από () και () συνεπάγεται πως u U ( V + W) και Παράδειγμα Δίνεται ο πίνακας A = 6. Να υπολογισθούν οι θεμελιώδεις υποχώροι που σχετίζονται με τον πίνακα Α. Να βρεθεί η διάστασή του κάθε ενός και από μία βάση τους. Οι τέσσερις θεμελιώδεις υποχώροι είναι οι ακόλουθοι: Ο μηδενοχώρος N( A ) O χώρος στηλών RA ( ) O αριστερός μηδενοχώρος N( A ) O χώρος γραμμών RA ( ) Αρχικά γράφουμε τον πίνακα Α σε κλιμακωτή μορφή εφαρμόζοντας απαλοιφή Gauss: U = Παρατηρούμε ότι υπάρχει μόνον ένας οδηγός. Αυτό μας λέει ότι η βαθμίδα του πίνακα ισούται με. Επίσης μας δίνει και τη διάσταση του χώρου στηλών καθώς και τη διάσταση του χώρου γραμμών του Α: dim R( A) = dim R( A ) = rank( A) = o πλήθος των στηλών του πίνακα είναι n=, επομένως η διάσταση του μηδενοχώρου είναι: dim N( A) = n rank( A) = = Επίσης ο U δίνει άμεσα μία βάση του χώρου γραμμών RA ( ). Αυτή αποτελείται από όλες τις μη μηδενικές γραμμές του U.

Έτσι το σύνολο αποτελεί μία βάση του RA ( ) O μηδενοχώρος αποτελείται από το σύνολο λύσεων του ομογενούς συστήματος: A = O A = ή ισοδύναμα του U = Εκτελώντας τις πράξεις καταλήγουμε στην εξίσωση: = Υπάρχουν δύο ελεύθερες μεταβλητές (όσες και το dim N( A ) ) που αντιστοιχούν στις στήλες του πίνακα U οι οποίες δεν έχουν οδηγό, δηλ. είναι οι μεταβλητές, Εκφράζοντας τις ελεύθερες μεταβλητές με παραμέτρους παίρνουμε τη γενική λύση του ομογενούς συστήματος: s+ t = s, st, R t Επομένως ο μηδενοχώρος είναι το ακόλουθο σύνολο: / / N( A) = s+ t, s, t : st, R ή και N( A) = s t + : st, R Η βάση του μηδενοχώρου θα αποτελείται από διανύσματα (όσα το dim N( A ) ) Για να βρούμε μία βάση του μηδενοχώρου θέτουμε, στη γενική λύση του ομογενούς συστήματος, με τη σειρά κάθε παράμετρο ίση με τη μονάδα μηδενίζοντας τις υπόλοιπες παραμέτρους: s=, t= => (/,,) s=,t= => (/,,) / / Επομένως το σύνολο, αποτελεί μία βάση του μηδενοχώρου. Ο χώρος στηλών ισούται με το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των στηλών του πίνακα Α δηλ. cc c RA ( ) = span,, c c c : c, c, c R 6 = + + = 6 c c 6c + + 5

H διάστασή του όπως είδαμε ισούται με, άρα μία βάση του αποτελείται από ένα διάνυσμα. Το διάνυσμα αυτό είναι η στήλη του πίνακα Α, η οποία αντιστοιχεί στη στήλη του οδηγού στον πίνακα U. Επομένως μία βάση του RA ( ) είναι το σύνολο Ο χώρος γραμμών ισούται με το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των γραμμών του πίνακα Α δηλ. cc RA ( ) = span, c c c c = + = + : c, c R 6 6 c 6c + H διάσταση και μία βάση του έχουν ήδη δοθεί παραπάνω. Μένει να υπολογίσουμε τον αριστερό μηδενοχώρο, ο οποίος ισούται με τις λύσεις του ομογενούς συστήματος A= O A = H διάστασή του ισούται με το πλήθος στηλών () μείον τη βαθμίδα του πίνακα Α. Επομένως dim N( A ) = = Είναι A = 6 Γράφουμε τον πίνακα A σε κλιμακωτή μορφή εφαρμόζοντας απαλοιφή Gauss: U = Το ισοδύναμο σύστημα είναι το U = το οποίο δίνει: = Έχουμε μία ελεύθερη μεταβλητή (όπως φαίνεται από τη διάσταση dim N( A ) ) την Έτσι η γενική λύση του συστήματος είναι t, t R = t Επομένως N( A ) = ( t, t) : t R { } Θέτοντας t= παίρνουμε μία βάση του N( A ), η οποία είναι το σύνολο Συνοψίζοντας έχουμε: Βαθμίδα πίνακα Α rank( A ) = 6

Μηδενοχώρος N( A) R N( A) = s+ t, s, t : st, R dim N( A ) = / / Βάση:, Χώρος στηλών RA ( ) R cc c RA ( ) = : c, c, c R c c 6c + + dim RA= ( ) Βάση: Αριστερός μηδενοχώρος N( A ) = ( t, t) : t R dim N( A ) = Βάση: { } N( A ) R Xώρος γραμμών RA ( ) R cc RA ( ) = c c + : c, c R c 6c + dim RA ( ) = Βάση: Παρατήρηση: Ο πίνακας Α αποτελείται από m= γραμμές και n= στήλες Επομένως μπορούμε να επαληθεύσουμε τις ισότητες: dim RA ( ) + dim NA ( ) = n και dim RA ( ) + dim NA ( ) = m Επίσης μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι οι χώροι N( A ) και RA ( ) καθώς και οι χώροι N( A ) και RA ( ) είναι ορθογώνιοι. 7

6 π.χ. Έστω v = N( A) και u= RA ( ) τότε το εσωτερικό τους γινόμενο δίνει : 9 6 vu= [ ] = [ 6 + ( ) + ( 9) ] = [] 9 Το ίδιο ισχύει για κάθε v NA ( ), u RA ( ) 6 Αντίστοιχα έστω v= N( A ) και u= RA ( ) 8 δίνει : vu= [ 6 ] = [ 6 + ( 8) ] = [] 8 Το ίδιο ισχύει για κάθε v NA ( ), u RA ( ) τότε το εσωτερικό τους γινόμενο Παράδειγμα Να βρεθεί η διάσταση και μία βάση των υποχώρων RA ( ) και RA ( ) για τον πίνακα 5 6 9 8 A = 6 9 9 7 5 Φέρνουμε τον Α σε κλιμακωτή μορφή: 5 6 U = 5 Έχουμε οδηγούς, άρα rank( A) = dim R( A) = dim R( A ) = Μία βάση του RA ( ) προκύπτει από τις μη μηδενικές γραμμές του πίνακα U δηλαδή είναι το σύνολο:,, 5 6 5 Μία βάση του RA ( ) προκύπτει από τις στήλες του Α που αντιστοιχούν στις στήλες με οδηγό του U επομένως είναι το σύνολο: 8

5 9 8,, 9 9 5 Παράδειγμα 5 Έστω δύο υποχώροι του R : U = span{ u, u, u} και W = span{ w, w} όπου u = (,,,), u = (,,, ), u = (, 6,, 7) και w = (,,,), w = (,, 5,). Να δείξετε ότι U = W Πρέπει να δείξουμε ότι όλοι οι γραμμικοί συνδυασμοί των u,u,u δίνουν το ίδιο σύνολο με όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς των w,w ή ισοδύναμα αρκεί να δείξουμε ότι οι πίνακες που περιέχουν τα σύνολα διανυσμάτων ως γραμμές, έχουν τους ίδιους χώρους γραμμών. Οι δύο πίνακες είναι οι A = και B = 5 6 7 Θα δείξουμε ότι RA ( ) = RB ( ) Για να συμβαίνει αυτό αρκεί να φέρουμε και τους δύο πίνακες σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή και να συγκρίνουμε τις μη μηδενικές γραμμές τους. Αν αυτές ταυτίζονται τότε θα είναι ( RA) = RB ( ) Η ανηγμένη κλιμακωτή μορφή του Α είναι ο πίνακας: / 8/ και του Β είναι ο πίνακας: / 8/ Επομένως οι μη μηδενικές γραμμές τους ταυτίζονται. Άρα τελικά U = W Παράδειγμα 6 Δίνονται υποχώροι του R : U= {( abcd,,, ) : b+ c+ d= } και W= {( abcd,,, ) : a+ b =, c = d} Βρείτε μία βάση του: a)u b) W c) U W 9

a) O χώρος U μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι οι λύσεις του ομογενούς συστήματος (το οποίο αποτελείται από μία μόνον εξίσωση): α + b+ c+ d = Ο πίνακας συντελεστών είναι ο A = (είναι ήδη σε κλιμακωτή μορφή) [ ] Επομένως U = N( A) Έχουμε έναν οδηγό και τέσσερις στήλες, άρα dimn(a)=dimu=-= Ελεύθερες μεταβλητές: acd,, Η γενική λύση του συστήματος είναι η a s b t w =, stw,, R c t d w Εύρεση βάσης: s =, t =, w= u = (,,,) s =, t =, w= u = (,,, ) s =, t =, w= u = (,,,) Επομένως το σύνολο { u, u, u } αποτελεί μία βάση του U b) O χώρος W μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι οι λύσεις του ομογενούς συστήματος: a+ b= a+ b= c= d c d = Ο πίνακας συντελεστών είναι ο A = (είναι ήδη σε κλιμακωτή μορφή) Επομένως W = N( A) Έχουμε δύο οδηγούς και τέσσερις στήλες, άρα dimn(a)=dimw=-= Ελεύθερες μεταβλητές: bd, Η γενική λύση του συστήματος είναι η a s b s =, st, R c t d t Εύρεση βάσης: s =, t = w = (,,, ) s =, t = w = (,,,) Επομένως το σύνολο { w, w } αποτελεί μία βάση του W c) o σύνολο U W θα περιλαμβάνει τους περιορισμούς και των δύο υποχώρων. Έτσι το ομογενές σύστημα που δημιουργείται είναι το ακόλουθο:

a+ b= b + c + d = c d = Ο πίνακας συντελεστών είναι ο A = (είναι ήδη σε κλιμακωτή μορφή) Έχουμε τρεις οδηγούς και τέσσερις στήλες, άρα dim N( A) = dim( U W) = = Ελεύθερες μεταβλητές: d Η γενική λύση του συστήματος είναι η a t b t =, t R c t d t Εύρεση βάσης: t = v = (,,,) Επομένως το σύνολο { v } αποτελεί μία βάση του χώρου U W Παράδειγμα 7 Δίνονται υποχώροι του R : U span{ (,,, ),(,,,),(,,, ) } {(,,, ),(,,, ),(,,, ) } = και W = span Να υπολογισθούν τα ακόλουθα: a) H διάσταση και μία βάση του U + W b) H διάσταση και μία βάση του U c) H διάσταση και μία βάση του W και d) Η διάσταση και μία βάση της τομής U W a) Ο χώρος U + W γίνεται span και από τα έξι διανύσματα: U + W = span{ (,,, ),(,,,),(,,, ),(,,, ),(,,, ),(,,, ) } Αν τοποθετήσουμε τα διανύσματα αυτά σαν γραμμές ενός πίνακα A τότε ο χώρος U + W ταυτίζεται με τον χώρο των γραμμών του A : RA ( ) Για να βρούμε μία βάση του χώρου εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss: Gauss Έτσι οι μη μηδενικές γραμμές του αποτελέσματος δηλ. τα διανύσματα (,,,-), (,,,) και (,,-,-) αποτελούν μία βάση του U + W το πλήθος των διανυσμάτων της βάσης, και επομένως η διάσταση του χώρου, είναι. b) Εφαρμόζουμε την ίδια μέθοδο στα διανύσματα που παράγουν τον U

Gauss Επομένως η διάσταση του U είναι και μία βάση του αποτελούν τα διανύσματα (,,,-) και (,,,) c) Εφαρμόζουμε την ίδια μέθοδο στα διανύσματα που παράγουν τον W Gauss Επομένως η διάσταση του W είναι και μία βάση του αποτελούν τα διανύσματα (,,,-) και (,-,-,) d) Για τη διάσταση του U W γνωρίζουμε ότι ισχύει η σχέση: dim( U + W) = dimu + dimw dim( U W) Επομένως θα είναι: dim( U W) = dimu + dimw dim( U + W) = + = Για να βρούμε μία βάση του χώρου U W εργαζόμαστε ως εξής: Αρχικά βρίσκουμε τις εξισώσεις των ομογενών γραμμικών συστημάτων που έχουν λύσεις το U και το W. Στη συνέχεια ενώνουμε τις εξισώσεις και των δύο συστημάτων μαζί, σε ένα μεγάλο ομογενές σύστημα, το οποίο και επιλύουμε. Από εκεί προκύπτουν τα διανύσματα της βάσης του U W. Για το U έχουμε (όπως στο παράδειγμα ): Gauss y z w y y+ w Επομένως το ομογενές σύστημα που έχει λύσεις το σύνολο U είναι το y = y = y+ w= y+ w= Αντίστοιχα για το W έχουμε: Gauss y z w y+ z y+ w Επομένως το ομογενές σύστημα που έχει λύσεις το σύνολο U είναι το y+ z = y + w = Τοποθετώντας τις εξισώσεις και των δύο συστημάτων μαζί παίρνουμε το ομογενές σύστημα:

y = y+ w= y+ z = y+ w= Το επιλύουμε με απαλοιφή Gauss: Gauss Υπάρχει μία ελεύθερη μεταβλητή, η w και επομένως η διάσταση του χώρου U W επαληθεύεται ότι είναι. Το ισοδύναμο σύστημα στο οποίο καταλήγει η Gauss είναι το: y = =w y+ w= y =w z = z = t, t,, t, t R Επομένως το σύνολο λύσεων του συστήματος είναι το {( ) } Έτσι θέτοντας π.χ. t= παίρνουμε το διάνυσμα (,,,) το οποίο αποτελεί μία βάση του χώρου U W Παράδειγμα 8 Δίνεται ο πίνακας A =. Να υπολογισθούν οι θεμελιώδεις υποχώροι που 6 σχετίζονται με τον πίνακα Α. Να βρεθεί η διάστασή του κάθε ενός και από μία βάση τους. Έχουμε A m nμε m=, n= Οι τέσσερις θεμελιώδεις υποχώροι είναι οι ακόλουθοι: Ο μηδενοχώρος N( A ) O χώρος στηλών RA ( ) O αριστερός μηδενοχώρος N( A ) O χώρος γραμμών RA ( ) Θα δουλέψουμε με ενιαίο τρόπο χρησιμοποιώντας παντού την απαλοιφή Gauss πάνω στον πίνακα A (δηλ. χωρίς να χρειαστεί να δουλέψουμε με τον A ). Για το λόγο αυτό, ειδικά για τον αριστερό μηδενοχώρο θα χρειαστεί να υπολογίσουμε τον πίνακα E έτσι ώστε EA = U ως εξής: ( A I ) Gauss ( U E)

Έχουμε λοιπόν ( A I ) = 6 H πράξη r r r δίνει 6 Ο στοιχειώδης πίνακας του βήματος είναι ο E = Στη συνέχεια η πράξη r r r δίνει 5 5 Ο στοιχειώδης πίνακας του βήματος είναι ο E = Τέλος η πράξη r r 5 r φέρνει τον πίνακα σε κλιμακωτή μορφή: / 5/ Ο στοιχειώδης πίνακας του βήματος είναι ο E = 5/ Έτσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι U = και E = / 5/ Τον πίνακα E εναλλακτικά θα μπορούσαμε να τον υπολογίσουμε και ως E= EEE. (Μπορούμε να το επαληθεύσουμε αν κάνουμε τις πράξεις.) Παρατηρούμε ότι υπάρχουν δύο οδηγοί ή αντίστοιχα μη μηδενικές γραμμές στον πίνακα U. Έτσι έχουμε rank( A ) =. Μηδενοχώρος N( A )

O μηδενοχώρος αποτελείται από το σύνολο λύσεων του ομογενούς συστήματος: A = O A = ή ισοδύναμα του U + + + = = = Υπάρχουν δύο ελεύθερες μεταβλητές, που αντιστοιχούν στις στήλες του πίνακα U οι οποίες δεν έχουν οδηγό, δηλ. είναι οι μεταβλητές, Εκφράζοντας τις ελεύθερες μεταβλητές με παραμέτρους παίρνουμε τη γενική λύση του ομογενούς συστήματος: st s =, st, R t t Επομένως ο μηδενοχώρος είναι το ακόλουθο σύνολο: N( A) = st, s, tt, : st, R {( ) } n Αποτελεί υποχώρο του R δηλαδή του R. H διάσταση του χώρου είναι dim N( A) = n rank( A) = =, και είναι ίση με το πλήθος των ελεύθερων μεταβλητών του συστήματος. Επομένως μία βάση του χώρου θα αποτελείται από γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα. Για να βρούμε ένα τέτοιο ζευγάρι θέτουμε, στη γενική λύση του ομογενούς συστήματος, με τη σειρά κάθε παράμετρο ίση με τη μονάδα μηδενίζοντας τις υπόλοιπες παραμέτρους: s =, t = και στη συνέχεια s =, t = Έτσι μία βάση του μηδενοχώρου είναι η,. Χώρος γραμμών ( ) RA O χώρος γραμμών παράγεται από όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς των γραμμών του πίνακα A δηλ. 5

c+ c + c 6 6 c c 6c + + RA c c c c + c + c n Αποτελεί υποχώρο του R δηλαδή του R. H διάσταση του χώρου είναι ίση με τη βαθμίδα του πίνακα: dim R( A ) = rank( A) = ( ) = span,, = + + = : c+ c + c c, c, c Μία βάση του χώρου γραμμών RA ( ) αποτελείται από όλες τις μη μηδενικές γραμμές του U. Έτσι το σύνολο, αποτελεί μία βάση του RA ( ) R. Χώρος στηλών RA ( ) O χώρος στηλών παράγεται από όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς των στηλών του πίνακα A δηλ. RA ( ) = span,,, c c c c = + + + = 6 6 c+ c + c+ c c c c c = + + + : c, c, c, c R c+ 6c + c+ c m Αποτελεί υποχώρο του R δηλαδή του R. H διάσταση του χώρου είναι ίση με τη βαθμίδα του πίνακα (και ίση με τη διάσταση του χώρου γραμμών): dim R( A) = rank( A) = Μία βάση του χώρου στηλών RA ( ) αποτελείται από όλες τις στήλες του πίνακα A που αντιστοιχούν σε στήλες με οδηγό του πίνακα U. Άρα θα αποτελείται από τις στήλες και : Έτσι το σύνολο, αποτελεί μία βάση του RA ( ). Αριστερός Μηδενοχώρος N( A ) 6

O αριστερός μηδενοχώρος αποτελείται από το σύνολο λύσεων του ομογενούς συστήματος: A= O A = m Αποτελεί υποχώρο του R δηλαδή του R. Η διάστασή του είναι dim N( A ) = m rank( A) = = Μία βάση του αποτελείται από τις dim N( A ) τελευταίες γραμμές του πίνακα E / Έτσι το σύνολο 5/ O χώρος N( A ) γράφεται λοιπόν ως αποτελεί μία βάση του N( A ) / 5 N( A ) = span 5/ = t, t, t, t R Παρατήρηση: Στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήγαμε και αν δουλεύαμε με τον A και όχι με τον E, γιατί 6 5 A Gauss = + + = Επομένως το ομογενές σύστημα γίνεται: με ελεύθερη μεταβλητή την 5 = Με προς τα πίσω αντικατάσταση βρίσκουμε τη γενική λύση του συστήματος η οποία δίνεται ως 5 t, tt,, t R. Επομένως καταλήγουμε ξανά στο ότι 5 N( A) = t, tt,, t R Παράδειγμα 9 Δίνεται ο πίνακας RA ( ) και RA ( ) 5 A =. Να υπολογισθεί η διάσταση και μία βάση των 7

O πίνακας Α είναι ήδη σε άνω κλιμακωτή μορφή. Υπάρχουν οδηγοί (ή μη μηδενικές γραμμές) επομένως rank( A) = dim R( A) = dim R( A ) = Μία βάση του RA ( ) αποτελείται από τις στήλες με οδηγό: ( ) v =,,,, v = (,,,), v = (,,,). Μία βάση του RA ( ) αποτελείται από τις μη μηδενικές γραμμές: w = (,,5,,), w = (,,,, ), w = (,,,, ). Παράδειγμα 5 6 Δίνεται ο πίνακας A =. Να υπολογισθεί η διάσταση και μία βάση 5 5 6 8 8 6 του RA ( ) που να αποτελείται αποκλειστικά από γραμμές του A Εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss στον A : 5 5 6 5 5 r r+ r r5 r5r r rr A = 5 8 5 8 5 8 8 8 8 6 6 6 6 5 5 5 r r r r rr 8 Επομένως μία βάση του A αποτελείται από τις στήλες του A (γραμμές του A ) με οδηγό δηλ. v = (,,,,), v = (, 5,,, 6), v = (, 6,8,8, 6) Παράδειγμα Βρείτε τη διάσταση και μία βάση του χώρου των λύσεων του ομογενούς συστήματος: + y z+ r s = + y z + r + s = + y z + r + s = Ο χώρος των λύσεων του ομογενούς συστήματος είναι στην ουσία ο μηδενοχώρος N( A ) του πίνακα συντελεστών του A = Εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss: 8

r r r 6 6 Έτσι παίρνουμε το ισοδύναμο σύστημα: + y z+ r s = με ελεύθερες μεταβλητές τις yr, και s z r+ s = Με προς τα πίσω αντικατάσταση παίρνουμε ότι NA ( ) = yr sy,, rsrs,, : yrs,, R Επειδή υπάρχουν ελεύθερες μεταβλητές dim N( A ) = Για να βρούμε μία βάση του χώρου θέτουμε διαδοχικά: y =, r =, s = v =,,,, r rr r r r ( ) ( ) ( ) y =, r =, s = v =,,,, y =, r =, s = v =,,,, Επομένως τα διανύσματα v, v, v αποτελούν βάση του χώρου. Παράδειγμα Έστω ο υποχώρος W R που παράγεται από τα διανύσματα (,-,5,-), (,,,-), (,8,-,-5). a) Να βρεθεί η διάσταση του W και μια βάση του. b) Να συμπληρωθεί η βάση του W ώστε να παράγει τον R a) Τοποθετούμε τα διανύσματα ως γραμμές ενός πίνακα A. Τότε W= RA ( ). Eφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss: 5 5 5 r r r r rr r rr A = 7 9 7 9 8 5 8 5 8 5 7 9 Επομένως dimw = και μία βάση του αποτελείται από τις μη μηδενικές γραμμές του τελικού πίνακα δηλ. από τα διανύσματα v = (,,5, ), v = (, 7, 9, ) b) Χρειαζόμαστε άλλα διανύσματα ώστε το σύνολό των τεσσάρων να είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Δημιουργούμε τον άνω κλιμακωτό πίνακα: 5 7 9 Επομένως τα διανύσματα 9

v = (,,5, ), v = (, 7, 9, ), v = (,,, ), v = (,,,) αποτελούν βάση του R και άρα τον παράγουν. Παράδειγμα Εξετάστε ποιοι από τους παρακάτω πίνακες έχουν τον ίδιο χώρο γραμμών. 5 A=, B, C = = Πρέπει να φέρουμε όλους τους πίνακες σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή με απαλοιφή Gauss-Jordan και ύστερα να συγκρίνουμε τις μη μηδενικές τιμές τους. Έτσι έχουμε: 5 r r r 5 r rr A = r r r r r+ r B = r r r r r r r r+ r C = Επομένως οι πίνακες A και C έχουν τον ίδιο χώρο γραμμών. Παράδειγμα Εξετάστε αν οι παρακάτω πίνακες έχουν τον ίδιο χώρο στηλών. 5 A=, B = 9 7 7 Πρέπει να εξετάσουμε αν οι πίνακες A και B έχουν τον ίδιο χώρο γραμμών. r r r r r5 r r rr A = 5 9 5 9 r r+ r 7 7 7 r rr r r r r r+ r B = 7 7 r r r Επομένως οι πίνακες A και B έχουν τον ίδιο χώρο γραμμών και συνεπώς οι πίνακες A και B έχουν τον ίδιο χώρο στηλών.

Παράδειγμα 5 Να υπολογισθεί η μηδενικότητα του πίνακα Με απαλοιφή Gauss παίρνουμε 5 7 A = 5 6 9 7 5 5 7 6 5 A 5 6 5 6 9 7 9 7 5 5 6 5 r r+ r 6 5 r rr 6 5 6 5 9 7 6 5 5 5 6 5 r 6 5 rr 6 5 Επομένως έχουμε rank( A ) = και nullity( A) = dim N( A) = n rank( A) = 6 = (αφού υπάρχουν ελεύθερες μεταβλητές) r r+ r r r+ r = Παράδειγμα 6 Είναι δυνατόν να κατασκευαστούν δύο πίνακες A και B έτσι ώστε οι στήλες του γινομένου τους AB να είναι γραμμικά ανεξάρτητες; Αρχικά, βάσει του ορισμού της γραμμικής ανεξαρτησίας, θέτουμε τον γραμμικό συνδυασμό των στηλών του ( AB ), δηλ. το γινόμενο ( AB) για R, ίσο με το O : ( AB) = O () Το ερώτημα που τίθεται είναι αν η λύση του ομογενούς συστήματος είναι μόνον η μηδενική ή όχι. Γνωρίζουμε ότι η βαθμίδα του πίνακα B θα είναι το πολύ ίση με min(, ) =, επομένως στη λύση του ομογενούς συστήματος B = O η απαλοιφή Gauss στον B θα δώσει οδηγούς και μία ελεύθερη μεταβλητή. Δηλαδή το σύστημα έχει άπειρες λύσεις και άρα υπάρχει κάποιο O, έστω το ', για το οποίο B ' = O Θέτοντας το ' στο αριστερό μέλος της () παίρνουμε διαδοχικά: ( AB) ' = A ( B ' ) = A O = O

Έτσι υπάρχει τουλάχιστον ένα O για το οποίο ισχύει ( AB) = O, δηλαδή ο γραμμικός συνδυασμός των στηλών του πίνακα AB κάνει O. Επομένως οι στήλες του AB είναι γραμμικά εξαρτημένες και η απάντηση στο ερώτημα της άσκησης είναι αρνητική.