یک روش ترکیبی براي حل مساله مرتب سازي ترتیبی

یک روش ترکیبی براي حل مساله مرتب سازي ترتیبی باقر زارعی محمد رضا میبدي دانشکده مهندسی کامپیوتر دانشگاه آزاد اسلامی واحد شبستر ایران دانشکده برق مهندسی کامپیوتر و فناوري اطلاعات دانشگاه صنعتی امیر کبیر تهران ایران MMeyodi@aut.ac.ir Zarei_Bager@yahoo.com چکیده - یکی از مساي ل بسیار مهم در تي وري گراف ها مساله مرتب سازي ترتیبی می باشد.آتوماتاهاي یادگیر و الگوریتم هاي ژنتیکی هر دو از ابزارهاي جستجو می باشند که براي حل بسیاري از مساي ل NP-Complete بکار برده می شوند. در این مقاله یک الگوریتم ترکیبی براي حل مساله مرتب سازي ترتیبی پیشنهاد شده بطور همزمان براي جستجو در فضاي است. این الگوریتم از دو روش الگوریتم هاي ژنتیکی و آتوماتاهاي یادگیر حالت استفاده می نماید. نشان داده شده است که با استفاده همزمان از آتوماتاي یادگیر و الگوریتم ژنتیک در فرایند جستجو سرعت رسیدن به جواب افزایش چشمگیري پیدا می کند و همچنین از بدام افتادن الگوریتم در حداقل هاي محلی جلوگیري می نماید. نتایج آزمایش ها برتري الگوریتم ترکیبی را نسبت به الگوریتم ژنتیکی و آتوماتاهاي یادگیر نشان می دهد. کلمات کلیدي: مساله مرتب سازي ترتیبی آتوماتاي یادگیر الگوریتم ژنتیک - 1 مقدمه گراف ها ابزارهاي قدرتمندي هستند که به طور گسترده در کاربردهاي متعددي مورد استفاده قرار می گیرند. یکی از مساي ل بسیار مهم در تي وري گراف ها مساله مرتب سازي ترتیبی می باشد. بسیاري از کاربردهاي عمومی از جمله طراحی حلقه هاي شبکه هاي Sonet کابل هاي برق مسیر هواپیما ها مسیریابی وساي ط نقلیه و... ر ا می ت و ا ن با م سال ه مرتب سازي ترتیبی مدل کرد. مساله مرتب سازي ترتیبی نسخه اي از مساله فروشنده دوره گرد نامتقارن می باشد که یکسري محدودیت هاي اولویتی باید روي ري وس رعایت شود. مساله در Escudero (1988) معرفی شد. ف رض ک ن ید ک ه ی ک گ ر اف کامل د ا ریم که هر یال ( u, v) Î E هزینه نامنفی C( u, v) را دارد. هدف یاف ت ن س یکل ه م یل ت نی با حد اقل ه زی ن ه می با شد ب ط و ریک ه محدودیت هاي اولویتی در بین ري وس ارضاء شود. بعضی از مساي ل وجود دارند که با افزایش بعد آنها زمان حلشان به طور نمایی افزایش می یابد. این مساي ل مساي ل بهینه سازي ترکیبی هستند که زمان حل آنها به صورت تابعی غیر چند جمله اي است. مساله مرتب سازي ترتیبی یکی از آنها می باشد که حل مساله به معناي پیدا کردن بهترین تور د ر م قای س ه با تورهاي شناخته شده قبلی نمی باشد بلکه همچنین باید ثابت کرد که توري با هزینه کمتر از تور پیدا شده نیز وجود ندارد. آتوماتاهاي یادگیر و الگوریتم هاي ژنتیکی هر دو ابزار جستجوي عمومی می باشند که براي حل بسیاري از مساي ل NP-Complete بکار برده شده است. در این مقاله ی ک الگوریتم ترکیبی براي حل مساله مرتب سازي ترتیبی پیشنهاد شده است. این الگوریتم از دو روش الگوریتم هاي ژنتیکی و آتوماتاهاي یادگیر بطور همزمان براي جستجو در فضاي حالت استفاده می نماید. نشان داده شده است که با استفاده همزمان از آتوماتاي یادگیر و الگوریتم ژنتیک در فرایند جستجو سرعت رسیدن به جواب افزایش چشمگیري پیدا می کند و همچنین از بدام افتادن الگوریتم در حداقل 1

-4 هاي -2 محلی جلوگیري می نماید. الگوریتم هاي ژنتیک الگوریتم هاي ژنتیکی که برمبناي ایده تکامل در طبیعت عمل می نماید برروي جمعیتی جستجوي راه حل از راه حل هاي بالقوه به نهایی می پردازد. در هر نسل بهترین هاي آن نسل انتخاب می شوند و پس از زاد و ولد مجموعه جدیدي از فرزندان را تولید می کنند. در این فرایند افراد مناسبتر با احتمال بیشتري در نسل هاي بعدي باقی خواهند ماند. در آغاز 1 (جمعیت اولیه) به صو رت الگوریتم تعدادي از افراد تصادفی ساخته شده و تابع هدف براي تک تک آنها ارزیابی می شود. اگر شرط رسیدن به جواب برقرار نباشد ) به جواب بهینه نرسیده باشیم) نسل بعدي با انتخاب والدین براساس میزان برازندگی شان تولید می شود و فرزندان با احتمال ثابتی دچار جهش می شوند. سپس میزان برازندگی فرزندان جدید محاسبه شده و جمعیت جدید از جایگزینی فرزندان با والدین ایجاد می شود و این فرآیند خاتمه تکرار می شود. - 3 آتوماتاهاي یادگیر تا برقرار شدن شرط 2 بهینه از یادگیري در آتوماتاهاي یادگیر انتخاب یک اقدام میان یک مجموعه از اقدام هاي مجاز آتوماتا می باشد. این اقدام اقدام روي یک محیط تصادفی اعمال می شود و محیط به این آتوماتا بوسیله یک پاسخ تصادفی از مجموعه پاسخ هاي مجاز جواب می دهد. پاسخ محیط بصورت آماري به اقدام آتوماتا وابسته است. واژه محیط شامل اجتماع تمام شرایط خارجی و تاثیرات آنها روي عملکرد آتوماتا می باشد. براي یک گراف با اندازه n! n n! جایگشت مختلف از ري وس وجود دارد و در صورتیکه از آتوماتاهاي یادگیر براي حل کردن مساله مرتب سازي ترتیبی استفاده شود آتوماتا باید اقدام داشته باشد که تعداد زیاد اقدام ها سرعت همگرایی آتوماتا ر ا کاهش می دهد. به همین جهت آتوماتاي مهاجرت پیشنهاد شده است. 4 و ما 3 توسط اومن اشیاء الگوریتم جستجوي ترکیبی براي حل مساله مرتب سازي ترتیبی با ترکیب الگوریتم ژنتیک و آتوماتاي یادگیر و تلفیق مفاهیم ژن کروموزوم اقدام و عمق سابقه تاریخی تکامل راه حل مساله به کارا استخراج شده و در روند جستجو مورد استفاده قرار می گیرد. خاصیت مهم الگوریتم ترکیبی مقاومت آن در مقابل تغییرات سطحی جواب هاست به عبارتی دیگر تعادلی انعطاف پذیر بین کارایی الگوریتم ژنتیک و پایداري آتوماتاي یادگیر در الگوریتم ترکیبی وجود دارد. خود ترمیمی تولید مثل جریمه و پاداش (هدایت) از ویژگیهاي الگوریتم ترکیبی است. در ادامه پارامترهاي اصلی این الگوریتم توضیح داده شده است. ژن و کروموزوم: در الگوریتم پیشنهادي برخلاف الگوریتم هاي ژنتیک کلاسیک از کدگذاري دودویی براي کروموزوم ها استفاده نمی شود. هر کروموزوم توسط یک آتوماتاي یادگیر از نوع مهاجرت اشیاء 1 k نشان داده می شود. بطوریکه هر کدام از ژنهاي کروموزوم به یکی از اقدامهاي آتوماتا نسبت داده می شود و در یک عمق مشخصی از آن اقدام قرار می گیرد. در این آتوماتا } α,..., α = α} م ج م وع ه اقد ام ها ي م جا ز براي آتوماتاي یادگیر است. این آتوماتا k اقد ام د ا رد (تعداد اقدام هاي این آتوماتا با تعداد راس هاي گراف برابر است). u اگر راس اینصورت راس شهر می باشد. u از گراف در اقدام m قرار گرفته باشد در در ترتیب ملاقات کردن شهرها mامین,f1 f = { مجموعه وضعیت ها و N عمق f2,..., fkn } حافظه براي آتوماتا می باشد. مجموعه وضعیت هاي این آتوماتا به K زیر مجموعه } f, f,..., و { f1 2 N { f N+ 1, fn + 2,..., f2n }, f,..., f } و... و { f( K -1) N + 1 ( K -1) N + 2 KN افراز می شود و راس هاي گراف بر اساس این که در کدام وضعیت قرار داشته باشند دسته بندي می گردند. اگ ر گ ره از گراف در u { f( j-1) N + 1, f( j-1) N + 2,..., f jn مجموعه وضعیت هاي } قرار داشته باشد در اینصورت راس u در ترتیب ملاقات کردن شهرها jامین شهر می باشد. در مجموعه وضعیت هاي اقدام j ب ه و ضع ی ت f و ضع ی ت د ا خلی و ب ه ( j - 1 ) N + 1 1 Individuals 2 Action 3 Oject Migrating Automata 4 Oommen Ma 2

وضعیت f jn وضعیت مرزي گفته می شود. به عنوان مثال گراف کامل 1 را که شامل 6 راس می باشد در نظر بگیرید. a a é ê ê c ê 8 M = ê d ê e ê 2 ê f ë1 3 8 c 8 3 1 d 8 4 3 e 2 4 6 f 1ù ú ú 1 ú ú 3 ú 6 ú ú û 1- گراف کامل با 6 راس, < c, ا ز گ ر اف 1 ر ا د ر ن ظ ر f, d, جایگشت< e بگیرید. این جایگشت توسط یک آتوماتاي یادگیر با اتصالات مشابه آتوماتاي ستلین د ر 2 ن شا ن د اده شده ا س ت. این,a1 { (به تعداد a2, a3, a4, آتوماتا داراي 6 اقدام {a6 راسهاي گراف) و عمق می باشد. م ج م وع ه و ضع ی ت ها ي {1,6,11,16,21,26} وضعیت هاي وضعیت هاي داخلی و مجموعه {,1,1,2,2,3} وضعیت هاي مرزي آتوماتا هستند. در ابتدا هر یک از راسهاي گراف در وضعیت مرزي اقدام مربوطه قرار دارند. <, d, e, شوند 6 جایگشت تصادفی > c f, < c, f,, e, d, a> < e, f,, d, c> < d, e, f,, c, a > e, <, که محدودیت فوق d, f, c, a > و <, d, c, e, f > را ارضاء می کنند می باشد. جمعیت اولیه حاصل از گراف 1 د ر 3 ن شا ن د اده شده ا س ت. در ابتدا هرگره در وضعیت مرزي اقدام خود قرار دارد. تابع برازندگی : 6 در الگوریتم هاي ژنتیک تابع برازندگی شاخص زنده ماندن کروموزوم ها است. لذا برازندگی یک آتوماتا در مساله مرتب سازي ترتیبی به صورت عملگرها: زیر تعریف می شود. f ( LA ) = 1/ Lenght of Specified Tour y i LA i از آنجاییکه در الگوریتم ترکیبی هر کروموزوم به صورت یک آتوماتاي یادگیر نمایش داده می شود عملگرهاي جابجایی و جهش مشابه عملگرهاي سنتی ژنتیک نیستند. الف) عملگر انتخاب : براي انتخاب آتوماتاهاي یادگیر (کروموزوم ها) ب ر ا ي ع ملگ رها ي ج هش و ت رک ی ب می ت و ا ن ا ز یکی از روشهاي رتبه بندي سازوکار چرخ رولت و یا Tournament استفاده کرد. جمعیت اولیه: < c,, f, d, e 2- نمایش جایگشت > آتوماتاي یادگیر با اتصالات مشابه آتوماتاي ستلین با فرض اینکه تعداد اعضاي جمعیت با ایجاد n n به وسیله با شد ج م یع ت اولیه جایگشت تصادفی که محدودیت هاي اولویتی در بین ري وس را ارضاء می کنند تولید می شود. 6 Fitness Function Selection Operator به عنوان مثال ج مع ی ت اول ی ه ب ر ا ي گ ر اف 1 با فرض n=6 و این محدودیت که ري وس ملاقات a ق بل ا ز ر ا س d و 3

3- جمعیت اولیه براي گراف 1 Procedure Crossover (LA 1, LA 2) Begin Generate two random numers r1 and r2 etween 1 to n r1 = Random *n; r2 = Random *n; r1 = Min(r1, r2); r2 = Max(r1, r2) for i = r1 to r2 do if (J i(la 1) < J i(la 2)) then j = Action of LA 2 where LA 2.Oject (LA 2.Action(j)) = LA 1.Oject(LA 1.Action(i)); Swap(LA 2.Oject(LA 2.Action(i)),LA 2.Oject (LA 2.Action(j))); end if else j = Action of LA 1 where LA 1.Oject(LA 1.Action(j)) = LA 2.Oject(LA 2.Action(i)); Swap(LA 1.Oject(LA 1.Action(i)), LA 1.Oject(LA 1.Action(j))); end else End Procedure // J i(la k) = (Weight of Edge (i-1,i) in LA k + Weight of Edge (i,i+1) in LA k)/2 - (Length of Specified Tour By LA k/n); ب) عملگر ترکیب یا جابجایی : 8 براي انجام دادن این عملگر می توان از یکی از روشهاي Partially Mapped Crossover Cycle Crossover Ordered Crossover New و Crossover که براي کار با جایگشت ها مناسب هستند استفاده کرد. در اینجا فقط روش پیشنهادي یعنی روش New Crossover توضیح داده می شود. در این روش دو ک روم و زوم و الد ان ت خا ب شده و ب ه ص و ر ت ت صادفی دو ژ ن i و j د ر یکی ا ز دو ک روم و زوم و الد ان ت خا ب می ش وند. سپس همین دو ژن در کروموزوم والد دیگر نیز انتخاب می شوند. مجموعه ژنهاي با شماره هاي بین i و j را مجموعه جابجایی می نامیم. سپس ژن هاي هم شماره در دو مجموعه جابجایی با یکدیگر جابجا می شوند. با این عمل دو کروموزوم جدید حاصل می شوند که اصطلاحا فرزندان دو آت وماتا ي و الد خ و انده می ش وند. د ر 4 ش ب ه کد این عملگر نشان داده شده است. 4- شبه کد عملگر جابجاي Crossover) (New به عنوان مثال فرض کنید که آتوماتاهاي از LA و LA2 ج مع ی ت ت شک یل شده ق بل ب ه ع ن و ا ن و الد انتخاب شوند. با انتخاب تصادفی دو محل وa3 a2 مجموعه جابجایی {α2,α3 حا صل می ش ود و د ر ن های ت م طاب ق با } 8 Crossover Operator 4

جابجایی اقدام هاي متناظر در فاصله جابجایی دو کروموزوم جدید حاصل می شود. ج س ت ج و ي ت صادفی ا س ت و اگ ر با ن ر خ بالا اع ما ل ش ود باع ث کاهش در کارایی الگوریتم می شود. عملگر جریمه و پاداش با توجه به نوع آتوماتاي یادگیر متفاوت می باشد. ب ه ع ن و ا ن م ثا ل د ر آت وماتا ي با ات صالا ت م شاب ه آت وماتا ي ستلین اگر راس {16,1,18,19,2} یال ها ي و رود ي و خ رو جی ب ه ر ا س راس در مجموعه وضعیت هاي قرار داشته باشد و میانگین هزینه + ه زی ن ه یا ل خ رو جی ا ز ر ا س (هزینه یال ورودي به ت ق س یم ب ر 2) از مقدار آستانه ) م قد ا ر آ س تان ه ب ص و ر ت ت ط ب ی قی م ش خ ص می گ ردد و م قد ا ر آ ن د ر ه ر ل ح ظ ه ب ر اب ر ا س ت با ن س ب ت ه زی ن ه کل ت و ر ب ه تعداد راسها) کوچکتر باشد به این راس پاداش داده می شود و ب ه س م ت و ضع ی ت ها ي د ا خلی ت ر ای ن اقد ام ح رک ت می کند. اگر راس (16 د ر داخلی ترین وضعیت (وضعیت شماره ق ر ا ر د ا ش ت ه با شد و پاد ا ش بگ ی رد د ر ه ما ن و ضع ی ت باقی می ماند. نحوه حرکت چنین راسی در 6 نشان داده شده است. { a 2, a3} ì e «d Þ í Crossover Set î f «c - نحوه انجام عملگر جابجایی Crossover) (New پ) عملگر جهش : 9 ب ر ا ي ان جام د اد ن ای ن ع ملگ ر می ت و ا ن ا ز یکی از روشهاي Insertion Mutation Swap Mutation Inversion Mutation و Scramle Mutation که براي کار با جایگشت ها مناسب هستند استفاده کرد. ب ه ع ن و ا ن م ثا ل در روش Swap Mutation دو اقدام (ژن) از یک آتوماتا (کروموزم) ب ه ص و ر ت ت صادفی ان ت خا ب شده و جاب جا می شوند. 1 ت) عملگر جریمه و پاداش : از آنجایی ک ه ه ر ک روم و زوم ب ه صورت یک آتوماتاي یادگیر نشا ن د اده شده ا س ت د ر ه ر یک از آتوماتاها پس از بررسی میزان برازندگی یک ژن (راس یا اقدام) ک ه ب ه ص و ر ت ت صادفی ان ت خا ب می ش ود آ ن ژ ن پاداش یا جریمه می شود. د ر اث ر پاد ا ش د اد ن یا ج ری م ه ک رد ن ی ک ژ ن و ضع ی ت ژ ن د ر م ج م وع ه و ضع ی ت ها ي اقد ام مربوطه تغییر می کند. اگر ژنی در وضعیت مرزي یک اقدام ق ر ا ر د ا ش ت ه با شد ج ری م ه شد ن آ ن باع ث تغ ی ی ر اقد ام آ ن و د ر نتیجه باعث ایجاد جایگشت جدیدي می شود. نرخ این عملگر باید پایین باشد زیرا این عملگر یک عملگر وضعیت راس قبل از پاداش وضعیت راس 6- نحوه پاداش دادن به راس بعد از پاداش اگر میزان برازند گی ی ک ر ا س ا ز م قد ا ر آ س تان ه ب ز رگ ت ر با شد در اینصور ت تور برقرار شده مناسب نبوده و این راس جریمه می شود. در شبه کد عملگر جریمه اقدام u از آتوماتاي LA با ات صالا ت م شاب ه آت وماتا ي س تل ی ن نشان داده شده است. ن ح وه ح رک ت چ ن ی ن ر ا سی ب ر ا ي دو حال ت م خ تل ف در زیر آمده است. الف) راس در وضعیتی غیر از وضعیت مرزي قرار داشته باشد: جریمه نمودن این راس سبب کم اهمیت شدن این راس شده و راس به سمت وضعیت هاي مرزي حرکت می کند. ب) راس در وضعیت مرزي قرار داشته باشد: در این حالت راسی از گراف را پیدا می کنیم بطوریکه اگر در جایگشت مربوطه ج ا ي دو ر ا س ع وض ش وند ب ی ش ت ری ن کاهش د ر ه زی ن ه 9 Mutation Operator 1 Penalty and Reward

تور حاصل گردد. در اینصورت اگر راس پیدا شده در وضعیت م ر ز ي ق ر ا ر د ا ش ت ه با شد جا ي دو ر ا س ع وض می ش ود و د ر غیر اینصورت ابتدا راس مشخص شده به وضعیت مرزي اقدام خود منتقل و سپس جابجایی صورت می پذیرد. نحوه حرکت چنین راسی در 8 نشان داده شده است. Procedure Penalize( LA, u ) repeat for u = 1 to n do if (LA.State(U)) mod N <> then Inc(LA.State(U)); until at least one node appears in the oundary state esttourlenght = ; for U = 1 to n do Create permutation LA from LA y swapping u and U if Lenght(Specified Tour y LA ) <esttourlenght then esttourlenght = Lenght(Specified Tour y LA ); estnode = U; end if LA.State(estNode) = LA.Action(estNode)*N; LA.State(u) = LA.Action(u)*N; Swap(LA.State(u),LA.State(estNode)); End Procedure - شبه کد عملگر جریمه اقدام u از آتوماتاي LA با اتصالات مشابه آتوماتاي ستلین افزایش نیابد. در 9 شبه کد الگوریتم ترکیبی براي حل مساله مرتب سازي ترتیبی آورده شده است. Function SOP_Solver(G) : SOP_Tour Begin n = Size of Population; // n = V G Create the initial population LA 1 LA n; EvalFitness(); while( All (Length of Specified Tour By LA i > Constant-Value) ) do NewLA 1 = NewLA 2 = LA with minimum Value of Tour-Lenght; for i = 2 to n do Select LA1; Select LA2 ; if (Random > 1 - CrossoverRate) then Crossover ( LA1, LA2 ); if (Random > 1 - MutationRate) then Mutation ( LA1 ); Mutation ( LA2 ); NewLA i+1 = LA 1; NewLA i+2 = LA 2 ; i=i+2; for i = to n do LA i = NewLA i; u = Random *n; if ( J u( LA i) <threshold Threshold(LA i )) then Reward(LA i, u ); else Penalize(LA i, u ); EvalFitness(); end while ModificationProcess(); //for oserve precedence constraints End Function //Threshold(LA i) = Lenght( Specified Tour y LA i ) / V G ; //J u(la i) = (lenght of edge (u-1,u) in LA i + lenght of edge (u,u+1) in LA i) / 2; 9- شبه کد الگوریتم ترکیبی براي حل مساله مرتب سازي ترتیبی - نتایج آزمایش ها در این بخش نتایج آزمایشی الگوریتم هاي حل مساله مرتب سازي ترتیبی که براساس آتوماتاي یادگیر الگوریتم ژنتیک و الگوریتم ترکیبی پیاده سازي شده اند ن شا ن د اده شده است. این نتایج بهبود قاب ل ت و ج ه الگ و ری تم ت رک ی بی ر ا ن س ب ت به روشهاي مبتنی بر آتوماتاي یادگیر و الگوریتم ژنتیک نشان می دهد. در آزمایش هاي انجام گرفته اندازه گراف ها ) گ ر اف ها ا ز TSPLIB انتخاب شده اند) از 22 تا 28 راس و تعد اد تک ر ا رها ا ز تا تک ر ا ر د ر ن ظ ر گ رف ت ه شده است. در الگوریتم ت رک ی بی و آت وماتا ي یادگ ی ر ع م ق ها ي 4 1 1 و 1 آزمایش شده اند. در الگوریتم ترکیبی و وضعیت راس از جریمه قبل e انتقال راس وضعیت مرزي به جابجایی راسهاي e و 8- نحوه جریمه کردن راسی که در وضعیت مرزي قرار دارد با توجه به اینکه جایگ ش ت ها ي ت ول ید شده بعد ا ز اع ما ل عملگرهاي ژنتیکی (ترکیب جهش پاداش و جریمه) ممکن است محدودیت هاي اولویتی در بین ري وس را ارضاء نکنند بنابراین این جایگشت ها باید بررس ی شده و د ر ص و ر ت ل زوم اصلاح شوند. بدلیل اینکه اصلاح جایگشت هاي تولید شده براي ارضاء محدودیت هاي اولویتی بعد از هر عملگر ژنتیکی هزینه بر می باشد بنابراین ف طق در انتهاي الگوریتم ترکیبی تور بدست آمده براي ارضاء محدودیت هاي اولویتی اصلاح می شود. فرآیند اصلاح زمان چند جمله اي دارد و باید ط و ر ي اع ما ل ش ود ک ه ط و ل (هزینه) تور تا حد ممکن الگوریتم ژنتیکی روش Swap Mutation با نرخ %2 و روش رتبه بندي براي انتخاب کروموزمها استفاده شده است و همچنین سای ز ج مع ی ت ب ر اب ر با تعد اد ن ودها ي گ ر اف در نظر گرفته شده است. 6

Oommen Crossover Type: NX, Crossover Rate:3 Krylov Krinsky Tsetline 2 1 69 68 6 در هاي 1 الی مقایسه الگوریتم ترکیبی با سایر الگوریتم هاي حل مساله مرتب سازي ترتیبی بطور خلاصه آورده شده است. ه مان ط و ر ک ه ا ز ن تای ج معل وم ا س ت الگ و ری تم ترکیبی مبتنی بر آتوماتاي کرایلو با روش ترکیب New Crossover و نرخ ترکیب بهتر از بقیه الگوریتم ها و سای ر رو ش ها و ن ر خ ها ي ت رک ی ب هم ا ز ل حا ظ زما ن ا ج ر ا و هم از لحاظ طول تور بدست آمده عمل می کند. MST Greedy NN GA Oommen GA+LA Oommen LA Krylov GA+LA Krylov LA Krinsky GA+LA Krinsky LA Tsetlin GA+LA Tsetline LA 66 64 62 6 8 6 4 2 1- میانگین طول (هزینه) تور بدست آمده از الگوریتمهاي مختلف Oommen Crossover Type: PMX, Crossover Rate:3 Krylov Krinsky Tsetline 2 1 69 68 6 2- میانگین طول (هزینه) تور بدست آمده از الگوریتم ترکیبی با روش ترکیب Partially Mapped Crossover و نرخ ترکیب 3 4- میانگین طول (هزینه) تور بدست آمده از الگوریتم ترکیبی با روش ترکیب New Crossover و نرخ ترکیب 3 Crossover Type: NX, Crossover Rate: 3 2 1 69 68 6 66 Oommen Krylov Krinsky Tsetline 694 692 69 688 686 684 682 68 68 - میانگین طول (هزینه) تور بدست آمده از الگوریتم ترکیبی با روش ترکیب New Crossover و نرخ ترکیب NX NX 3 PMX PMX 3 6- میانگین طول (هزینه) تور بدست آمده توسط الگوریتم ترکیبی مبتنی بر آتوماتاي کرایلو با اعمال روشها و نرخ هاي ترکیب 12. 12 11. 11 1. Milli Sec. مختلف Oommen Crossover Type: PMX, Crossover Rate: Krylov Krinsky Tsetline 1 69 69 68 68 6 6 Oommen Krylov Krinsky Tsetline 1 9. 3- میانگین طول (هزینه) تور بدست آمده از الگوریتم ترکیبی با روش ترکیب Partially Mapped Crossover و نرخ ترکیب - میانگین زمان لازم براي الگوریتم ترکیبی مبتنی بر آتوماتاهاي ستلین کرینسکی کرایلو و اومن

یک" 3th Annual International Computer Society of Iran Computer Conference CSICC-98, 1999, Tehran, Iran, 41-428. [1] M. R. Meyodi, and H. Beigy, New Class of Learning Automata Based Scheme for Adaptation of Backpropagation Algorithm Parameters, Proceedings of EUFIT-98, -1 Sep. 1998, Achen, Germany, 339-344. [11] Sanjeev Aror Nearly Linear Time Approximation Schemes for Euclidean TSP and other Geometric Prolems, January 199, (added to TSPBIB on May 2, 199). [12] P. Merz, and B. Freisleen, Genetic Local Search for the TSP: New Results, in Proceedings of the 199 IEEE. [13] E. Cantu-Paz, A Survey of Parallel Gentic Algorithms, IlliGAL Reprot No. 93, May 199. [14] L.F. Escudero, and M.T. Ortuno, On Due-Date Based Valid Cuts for the Sequential Ordering Prolem, Vol., No. 1, 199, 19-16. [1] B. Freisleen, and P. Merz, A Genetic Local Search Algorithm for Solving Symmetric and Asymmetric Traveling Salesman Prolems, appeared in Proceedings of the 1996 IEEE International Conference on Evolutionary Computation, 1996, Nagoy Japan, 616-621. [16] B. Freisleen, and P. Merz, New Genetic Local Search Operators for the Traveling Salesman Prolem, in Proceedings of the 4th Conference on Parallel Prolem Solving from Nature - PPSN IV, (H.-M. Voigt, W. Eeling, I. Rechenerg, H.-P. Schwefel, eds.), Vol. 1141 of Lecture Notes in Computer Science, 1996, 89-899. [1] M. Jünger, G. Reinelt, and G. Rinaldi, The Traveling Salemsan Prolem, in Handooks in Operations Research and Management Science, Vol. (M.O. Ball, T. Magnanti, C.L. Monm and G. Nemhauser, eds), Elsevier Science B.V., 199, 22-33. [18] P. Moscato, and M.G. Norman, An Analysis of the Performance of Traveling Salesman Heuristics on Infinite- Size Fractal Instances in the Euclidean Plane, Oct. 1994. [19] M. Grötschel, and O. Holland, Solution of Large-Scale Symmetric Traveling Salesman Prolems, Mathematical Programming 1, 1991, 141-22. [2] M. Paderg, and G. Rinaldi, A Branch-and-Cut Algorithm for the Resolution of Large-Scale Symmetric Traveling Salesman Prolems, SIAM Review 33, 1991, 6-1. [21] B. J. Oommen, R. S. Valiveti, and J. R. Zgierski, An Adaptive Learning Solution to the Keyoard Optimization Prolem, IEEE Transaction On Systems. Man. And Cyernetics, Vol. 21, No. 6, 1991, 168-1618. [22] D. E. Golderg, Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning, Reading, MA, Addition-Wesley, 1989. [23] K. S. Narendr and M. A. L. Thathachar, Learning Automata: An Introduction, Prentice-hall, Englewood cliffs, 1989. [24] B. J. Oommen, and D. C. Y. M Deterministic Learning Automata Solution to the Keyoard Optimization Prolem, IEEE Transaction on Computers, Vol. 3, No. 1, 1988, 2-3. [2] A. A. Hashim, S. Amir, and P. Mars, Application of Learning Automata to Data Compression, in Adaptive and Learning Systems, K. S. Narendr Editor, New York, Plenum Press, 1986, 229-234. [26] P. Mars, K. S. Narendr and M. Chrystall, Learning Automata Control of Computer Communication Networks, Proceedings of Third Yale Workshop on Application of Adaptive Systems Theory, 1983, Yale University. [2] M. R. Meyodi, and S. Lakshmivarhan, A Learning Approach to Priority Assignment in a Two Class M/M/1 Queuing System with Unknown Parameters, Proceedings of Third Yale Workshop on Applications of Adaptive System Theory, 1983, Yale University, 16-19. [28] F. Busetti, Genetic Algorithm Overview. [29] http://www.tsp.gatech.edu. - 6 نتیجه گیري و پیشنهادها گراف ها بویژه گراف هاي برچسب دار ابزار هاي قدرتمند و پراستفاده اي هستند که به طور گسترده در کاربردهاي کامپیوتر مورد استفاده قرار می گیرند. یکی از مساي ل بسیار مهم در تي وري گراف ها پیدا کردن تور مرتب سازي ترتیبی می باشد. محققان بیش از دو دهه بر روي این مساله کار کرده اند ولی با توجه به این حقیقت که هنوز الگوریتمی از درجه چند جمله اي براي حل این مساله وجود ندارد پژوهش ها در این زمینه همچنان ادامه دارد. با استفاده از روشهاي جستجوي مناسب و ترکیب آنها می توان الگوریتم هاي بهینه براي این مساله پیدا نمود. همچنین با خوشه بندي گره هاي گراف و اجراي الگوریتم ترکیبی بر روي هر خوشه ب ط و ر م س ت قل می توان به نتایج بهتري رسید و همچنین استفاده از الگوریتم ژنتیک چند جمعیته می تواند نتایج را بهبود دهد. مراجع میبدي محمد رضا و بیگی حمید. "حل مساله تناظر گراف توسط آتوماتاهاي یادگیر". دانشکده مهندسی کامپیوتر. دانشگاه صنعتی امیرکبیر. تهران. ایران. 139. میبدي محمد رضا و رضاپور میرصالح مهدي. براي حل مساله تناظر گراف". روش ترکیبی دانشکده مهندسی (GA+LA) کامپیوتر. دانشگاه صنعتی امیرکبیر. تهران. ایران. 1382. [1] [2] [3] Bager Zarei, M. R. Meyodi, and Mortaza Aaszadeh, A Hyrid Method for Solving Traveling Salesman Prolem, Proceedings of the 6th IEEE/ACIS International Conference on Computer and Information Science (ICIS 2), IEEE Computer Society, 11-13 July 2, Melourne, Australi 394-399. [4] D. S. Johnson, and L. A. McGeoch, Experimental Analysis of Heuristics for the STSP, in the Traveling Salesman Prolem and its Variations, G. Gutin and A. Punnen, Editors, Kluwer Academic Pulishers, 22, Boston, 369-443. [] D. S. Johnson, G. Gutin, L. A. McGeoch, A. Yeo, W. Zhang, and A. Zverovich, Experimental Analysis of Heuristics for the ATSP, in the Traveling Salesman Prolem and its Variations, G. Gutin and A. Punnen, Editors, Kluwer Academic Pulishers, 22, Boston, 44-48. [6] D. S. Johnson, A Theoretician's Guide to the Experimental Analysis of Algorithms, to appear in Proceedings of the th and 6th DIMACS Implementation Challenges, M. Goldwasser, D. S. Johnson, and C. C. McGeoch, Editors, American Mathematical Society, Providence, 22. [] J. Cirasell D.S. Johnson, L.A. McGeoch, and W. Zhang, The Asymmetric Traveling Salesman Prolem: Algorithms, Instance Generators, and Tests, in Algorithm Engineering and Experimentation, Third International Workshop, ALENEX 21, Lecture Notes in Computer Science, Vol. 213, Springer, 21, Berlin, 32-9. [8] K. Bryant, Genetic Algorithms and the Traveling Salesman Prolem, Thesis, 2, Harvey Mudd College, Dept. of Mathematics. [9] H. Beigy, and M. R. Meyodi, Optimization of Topology of Neural Networks Using Learning Automata, Proceedings of 8