ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Σχεδιασμός και Ανάλυση Αλγορίθμων Τομογραφικής Ανακατασκευής σε Ιατρικές Εφαρμογές» Κοντάρας Νικόλαος ΑΕΜ: 5066 Επιβλέπων: Αθανάσιος Μυγδαλάς, Καθηγητής Θεσσαλονίκη, 2012
2
Ευχαριστίες Στο σημείο αυτό θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου στα άτομα των οποίων η συμβολή έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην ολοκλήρωση της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Ευχαριστώ θερμά τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Αθανάσιο Μυγδαλά, για τις πολύτιμες γνώσεις που μου μετέδωσε κατά τη διάρκεια της φοίτησης μου στη σχολή, αλλά προπαντός για την ευκαιρία που μου έδωσε να ασχοληθώ με το συγκεκριμένο θέμα στα πλαίσια μιας διπλωματικής εργασίας αλλά και για τη συνεργασία που είχαμε. Επίσης θέλω να ευχαριστήσω την οικογένεια και τους φίλους μου που βρίσκονται πάντα στο πλάι μου και με στηρίζουν. 3
4
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή... 8 1. Μέθοδοι αναλυτικής τομογραφικής ανακατασκευής... 10 1.1 Στοιχεία μετασχηματισμού Radon, Ορισμός και Ιδιότητες... 11 1.1.α Οπίσθια προβολή (Backprojection)... 12 1.1.β Ιδιότητες... 14 1.1.γ Ημιτονόγραμμα (Sinogram)... 15 1.2 Θεώρημα Τομής Fourier ή Θεώρημα Κεντρικής Τομής... 18 1.3 Αντιστροφή του μετασχηματισμού Radon... 21 1.4 Ανακατασκευή εικόνας με ακτινική σάρωση... 27 1.4.1 Μετατροπή αλγορίθμου παράλληλης σάρωσης σε ακτινική... 28 1.5 Θόρυβος... 31 2. Μέθοδοι επαναληπτικής τομογραφικής ανακατασκευής... 32 2.1 Επίλυση συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων... 33 2.2 Μέθοδος αλγεβρικής ανακατασκευής (ART)... 39 2.3 Αλγόριθμος καθοδικής κλίσης... 42 2.4 Αλγόριθμος Συζυγών Κλίσεων (Conjugate Gradient Algorithm)... 46 2.5 Αλγόριθμος ML-EM... 48 2.6 Αλγόριθμος OS-EM... 53 2.7 Θόρυβος... 55 2.7.1 Πρώιμη παύση αλγορίθμου... 55 2.7.2 Επιλογή Pixel... 56 2.7.3 Ακριβής μοντελοποίηση... 59 3. Τομογραφική ανακατασκευή σε ιατρικές εφαρμογές απεικόνισης... 61 3.1 Αξονική τομογραφία... 63 3.1.1 Λειτουργία... 64 3.1.2 Ανακατασκευή εικόνας... 70 3.2 Πυρηνική Ιατρική... 74 3.2.1 Τομογραφία εκπομπής ποζιτρονίου (PET)... 74 3.2.1.1 Λειτουργία... 75 3.2.1.2 Ανακατασκευή εικόνας... 78 5
3.2.2 Τομογραφία εκπομπής φωτονίων (SPECT)... 81 3.2.2.1 Λειτουργία... 83 3.2.2.2 Ανακατασκευή εικόνας... 84 4. Υλοποίηση αναλυτικών μεθόδων ανακατασκευής... 87 4.1 Ευθύς μετασχηματισμός Radon... 88 4.2 Καθαρό Backprojection... 92 4.3 Filtered Backprojection (FBP)... 94 4.3.1 Ανακατασκευή με χρήση θεωρήματος τομής Fourier... 95 4.3.2 Ανακατασκευή στο πεδίο εικόνας... 97 4.4 Ανακατασκευή με περιορισμένο εύρος γωνιών... 99 4.5 Ανακατασκευή με truncation... 102 4.6 Αντιμετώπιση θορύβου... 104 4.7 Αντιμετώπιση ανακατασκευής με περιορισμένο αριθμό προβολών... 108 4.7.1 Μαθηματικό υπόβαθρο... 109 4.7.2 Αποτελέσματα... 112 5. Υλοποίηση επαναληπτικών μεθόδων ανακατασκευής... 115 5.1 Εύρεση πίνακα βαρών Αλγόριθμος Siddon... 116 5.2 Αλγεβρική Τεχνική Ανακατασκευής (ART)... 124 5.2.1 ART με χαλάρωση... 125 5.2.2 Simultaneous ART... 127 5.2.3 Block-Iterative ART με κλιμάκωση... 128 5.2.4 Αποτελέσματα... 130 5.3 Ανακατασκευή με περιορισμένο εύρος γωνιών... 137 5.4 Ανακατασκευή με truncation... 139 5.5 Αντιμετώπιση θορύβου... 141 5.6 ΑRT με αναλυτική αρχικοποίηση... 144 5.6.1 Περιγραφή μεθόδου... 145 5.6.2 Αποτελέσματα... 146 5.7 ART + Inverse Radon περιορισμένων γωνιών... 150 5.7.1 Αποτελέσματα... 151 Βιβλιογραφία... 154 6
7
Εισαγωγή Ένας θεμελιώδης κλάδος στην επεξεργασία εικόνας αφορά το πρόβλημα της ανακατασκευής εικόνας (image reconstruction), δηλαδή τη διαδικασία όπου για κάποια δεδομένα 1, προσπαθούμε να ανακατασκευάσουμε μια καθαρή και σαφή εικόνα ή οποία θα μπορέσει να γίνει κατανοητή από έναν ανθρώπινο χειριστή ή να μετεπεξεργαστεί από άλλες μεθόδους ανάλυσης εικόνας. Το πρόβλημα της ανακατασκευής εικόνας ανήκει στην κατηγορία των αντίστροφων προβλημάτων (inverse problems). Στα αντίστροφα προβλήματα, η διαδικασία με την οποία παίρνουμε τα δεδομένα από τα φυσικά χαρακτηριστικά της παρατηρούμενης σκηνής αντιστοιχεί σε μετασχηματισμούς οι οποίοι είναι αρκετά κατανοητοί και μπορούν συνεπώς να μοντελοποιηθούν μαθηματικά. Το αντίστροφο τους όμως είναι είτε άγνωστο είτε μη υπολογίσιμο με άμεσες μεθόδους, ή ενδέχεται ο υπολογισμός τους να είναι πολύ ασταθής και ευαίσθητος σε μικρές μεταβολές των δεδομένων (στον θόρυβο), κάνοντας τη σκηνή πολύ δύσκολο να ανακατασκευαστεί. [1] Τομογραφία Ο όρος τομογραφία αναφέρεται στην απεικόνιση τμημάτων ή τομών, με χρήση οποιουδήποτε είδους διεισδυτικού κύματος. Η μέθοδος χρησιμοποιείται στην ακτινολογία, αρχαιολογία, βιολογία, γεωφυσική, ωκεανογραφία, την επιστήμη των υλικών, την αστροφυσική και άλλες επιστήμες. Στις περισσότερες περιπτώσεις βασίζεται σε μια μαθηματική διαδικασία που ονομάζεται τομογραφική ανακατασκευή, δηλαδή ανακατασκευή εικόνας από τομογραφία. 1 τα οποία μπορεί να είναι μια εικόνα με σφάλματα ή ένα οποιοδήποτε είδος σήματος, όπως π.χ. η έξοδος μιας συσκευής τομογραφίας ή μια δορυφορική εικόνα 8
Τομογραφική Ανακατασκευή Η τομογραφική ανακατασκευή θα είναι το κεντρικό θέμα αυτής της διπλωματικής εργασίας. Υπάρχουν δύο βασικές μεθοδολογίες για την επίλυση του προβλήματος της τομογραφικής ανακατασκευής: οι μέθοδοι αναλυτικής ανακατασκευής και οι επαναληπτικές μέθοδοι ανακατασκευής. Στο πρώτο και δεύτερο κεφάλαιο θα αναλύσουμε τις αρχές πάνω στις οποίες βασίζονται οι δύο μέθοδοι, καθώς και το μαθηματικό τους υπόβαθρο. Επίσης θα αναφέρουμε πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα των δύο μεθόδων, καθώς και πώς αντιμετωπίζει το θόρυβο η κάθε μεθοδολογία. Στο τρίτο κεφάλαιο θα δούμε κάποιες ιατρικές εφαρμογές (όπως αξονική τομογραφία, μαγνητική τομογραφία κ.τ.λ.) και πώς εφαρμόζεται η διαδικασία της τομογραφικής ανακατασκευής σε αυτές τις περιπτώσεις. Στο τέταρτο και πέμπτο κεφάλαιο θα δούμε κάποιες υλοποιήσεις και από τα δύο είδη μεθόδων ανακατασκευής, καθώς και πως μπορούμε να βελτιώσουμε τις ήδη υπάρχουσες. 9
ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΚΗΣ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ Παρόλο που οι μέθοδοι αναλυτικής ανακατασκευής εικόνας βασίζονται σε κάπως απλοποιημένα μοντέλα, παίζουν σημαντικό ρόλο ειδικά όταν ο χρόνος υπολογισμού είναι τόσο περιορισμένος ώστε μία προσεγγιστική λύση να είναι ικανοποιητική, ή όταν το μοντέλο τομογραφίας προσεγγίζει το ιδανικό αρκετά (όπως η αξονική τομογραφία). Υπάρχουν διάφοροι περιορισμοί στις μεθόδους αναλυτικής ανακατασκευής οι οποίοι επηρεάζουν αρνητικά την ικανότητα τους να ανασυγκροτήσουν την εικόνα. Οι αναλυτικές μέθοδοι γενικά αγνοούν το θόρυβο που εισάγουν οι μετρήσεις κατά τη διατύπωση του προβλήματος και μεταχειρίζονται το θόρυβο ως ένα παράπλευρο πρόβλημα με την εφαρμογή διαφόρων φίλτρων θορύβου μετά το πέρας τις διαδικασίας. Οι αναλυτικές διατυπώσεις του προβλήματος συνήθως υποθέτουν συνεχείς μετρήσεις και παρέχουν λύσεις υπό μορφή ολοκληρωμάτων. Ζητήματα δειγματοληψίας αντιμετωπίζονται διακριτοποιώντας αυτές τις λύσεις στο τέλος τις διαδικασίας. Οι αναλυτικές μέθοδοι απαιτούν ορισμένες βασικές γεωμετρίες (π.χ. παράλληλές ακτίνες και πλήρη δειγματοληψία σε ακτινικές και πολικές συντεταγμένες). Στατιστικές μέθοδοι για την ανακατασκευή της εικόνας μπορούν να αντιμετωπίσουν όλους αυτούς τους περιορισμούς. 10
1.1 - ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ RADON, ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Ο μετασχηματισμός Radon (από τον Αυστριακό μαθηματικό Johann Radon), που αποτελεί τη βάση των αναλυτικών μεθόδων ανακατασκευής, συσχετίζει μια δισδιάστατη συνάρτηση με το σύνολο των επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων της συνάρτησης αυτής. Συστήματα τομογραφίας με εκπομπή (όπως PET και SPECT) ή με μετάδοση (όπως η αξονική τομογραφία) λαμβάνουν μετρήσεις που μοιάζουν με θολά επικαμπύλια ολοκληρώματα, οπότε το παραπάνω μοντέλο μετασχηματισμού αποτελεί μια εξιδανίκευση τέτοιων συστημάτων. [14] Η εφαρμογή του μετασχηματισμού Radon σε μια εικόνα για ένα δεδομένο σύνολο γωνιών μπορεί να θεωρηθεί ως ο υπολογισμός της προβολής της εικόνας κατά μήκος αυτών των γωνιών. Η προκύπτουσα προβολή είναι το άθροισμα της φωτεινότητας των pixel σε κάθε κατεύθυνση, δηλαδή ένα επικαμπύλιο ολοκλήρωμα. Το αποτέλεσμα είναι μια νέα εικόνα R(ρ,θ). Αυτό μπορεί να γραφεί μαθηματικά ορίζοντας οπότε τώρα μπορούμε να γράψουμε το μετασχηματισμό Radon ως εξής: όπου δ η γνωστή μοναδιαία ώση. 11
Σχήμα 1: Σχηματική αναπαράσταση προβολής κατά την εκτέλεση του μετασχηματισμού Radon. [22] Υπάρχουν και άλλοι τρόποι να συμβολίσουμε το επικαμπύλιο αυτό ολοκλήρωμα, ο καθένας από τους οποίους μπορεί να χρειαστεί για διαφορετικούς σκοπούς. Στην πιο ιδεατή μορφή, το πρόβλημα της ανακατασκευής εικόνας είναι να ανακτήσουμε την από τις προβολές, δηλαδή να εφαρμόσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Radon. Για να το κάνουμε αυτό πρέπει με κάποιο τρόπο να επιστρέψουμε από το «πεδίο προβολής» (δηλ. τον μετασχηματισμό Radon) στο «πεδίο αντικειμένου» (δηλ. την εικόνα). 1.1.α ΟΠΙΣΘΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ (BACKPROJECTION) 12
Η διαδικασία της οπίσθιας προβολής είναι μια προσπάθεια αντιστροφής της διαδικασίας του μετασχηματισμού Radon. Το πρόβλημα εδώ είναι ότι για κάθε προβολή, δηλαδή ουσιαστικά μέτρησης της εξασθένισης κατά μήκος μίας ακτίνας, δεν έχουμε συγκεκριμένη πληροφορία για τις διακυμάνσεις της πυκνότητας, αλλά μόνο το μέσο όρο. Μια προσέγγιση με σκοπό να λάβουμε το αρχικό αντικείμενο έχοντας το μετασχηματισμό Radon του αντικειμένου είναι να πάρουμε όλες τις τιμές του ημιτονογράμματος και να προσπαθήσουμε να τις απλώσουμε πίσω στο πεδίο της εικόνας όπως φαίνεται στο Σχήμα 2. Το αποτέλεσμα που θα πάρουμε θα είναι η αρχική εικόνα, αλλά θολωμένη (blurred). Θα δούμε παρακάτω πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα αυτό με τις διάφορες μεθόδους αντιστροφής του μετασχηματισμού Radon. Σχήμα 2: Σχηματική αναπαράσταση οπίσθιας προβολής (backprojection). [22] 13
1.1.β - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Παρακάτω αναφέρουμε κάποιες από τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Radon. Η λίστα δεν είναι εξαντλητική, καθώς νέες ιδιότητες ανακαλύπτονται συνεχώς. Στα παρακάτω υποθέτουμε ότι. Γραμμικότητα Αν επίσης ό Μετατόπιση Περιστροφή Κυκλική συμμετρία Συμμετρία/Περιοδικότητα Μεγέθυνση 14
Αναστροφή Θεώρημα ολοκληρώματος προβολής Για βαθμωτή συνάρτηση : Διατήρηση όγκου 1.1.γ - ΗΜΙΤΟΝΟΓΡΑΜΜΑ (SINOGRAM) Το ημιτονόγραμμα είναι ένας τρόπος απεικόνισης των δεδομένων που προκύπτουν από την εφαρμογή του μετασχηματισμού Radon επί μιας συνάρτησης. Έχοντας τη συνάρτηση, θέτοντας την απόσταση r στον οριζόντιο άξονα και τη γωνία στον κατακόρυφο παίρνουμε μια εικόνα όπως η παρακάτω. Το όνομα του ημιτονογράμματος οφείλεται στο ότι αν απεικονίσουμε τη συνάρτηση προβολών μιας εικόνας που αποτελείται από μόνο ένα σημείο, θα πάρουμε τη γραφική παράσταση μιας ημιτονοειδούς συνάρτησης. 15
Σχήμα 4: Υπολογισμός επικαμπύλιου ολοκληρώματος της προβολής στις 19 μοίρες κατά το μετασχηματισμό Radon. Παρατηρούμε ότι η ενέργεια του ολοκληρώματος μοιράζεται σε ρ μεταξύ -5 και -45.[20] Σχήμα 5: Υπολογισμός επικαμπύλιου ολοκληρώματος της προβολής στις 64 μοίρες κατά το μετασχηματισμό Radon. Παρατηρούμε ότι η ενέργεια του ολοκληρώματος συγκεντρώνεται σε μια μόνο απόσταση, στο ρ=25.[20] 16
Σχήμα 6: Μετασχηματισμός Radon του παραπάνω σχήματος. Βλέπουμε την εγγενή ικανότητα του μετασχηματισμού Radon να εντοπίζει γραμμές. Σχήμα 3: Ημιτονόγραμμα ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας 20 με κέντρο Κ(40,0). Με λευκό συμβολίζεται το μηδέν.[22] 17
1.2 - ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΜΗΣ FOURIER Ή ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΟΜΗΣ Το θεώρημα τομής Fourier ή κεντρικής τομής είναι το θεμέλιο της τομογραφικής απεικόνισης. Το θεώρημα κεντρικής τομής σε 2 διαστάσεις δηλώνει ότι ο 1D μετασχηματισμός Fourier P(ω) της προβολής p(s) μιας δισδιάστατης συνάρτησης f(x,y) ισούται με μια τομή που διέρχεται από την αρχή των αξόνων του 2D μετασχηματισμού Fourier αυτής της συνάρτησης και είναι παράλληλη προς την προβολή αυτή. [22] Σχήμα 7: Σχηματική αναπαράσταση του Θεωρήματος Τομής Fourier.[27] Εάν προβάλλουμε το αντικείμενο μας σε εύρος τουλάχιστον 180 μοιρών, η αντίστοιχη κεντρική τομή του 2D μετασχηματισμού Fourier θα περιστραφεί ταυτόχρονα και θα καλύψει όλο το 2D Fourier χώρο. Με άλλα λόγια μπορούμε να 18
μετρήσουμε όλο το 2D μετασχηματισμό Fourier της εικόνας, οπότε τώρα μπορούμε να πάρουμε τον αντίστροφο 2D μετασχηματισμό Fourier για να πάρουμε την εικόνα f(x,y). Σχήμα 8: Ανακατασκευή εικόνας χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Τομής Fourier. [23] Για να εκφράσουμε το θεώρημα κεντρικής τομής και μαθηματικά, αν ο 1D μετασχηματισμός Fourier της, δηλαδή είναι και o 2D μετασχηματισμός Fourier της, δηλαδή τότε ισχύει Αυτό το θεώρημα μας δίνει τη διαβεβαίωση ότι οποιαδήποτε συνάρτηση που έχει μετασχηματισμό Fourier, έχει και ενα μετασχηματισμό Radon οποίος περιγράφει πλήρως την αρχική συνάρτηση εικόνα., δηλαδή στην περίπτωση μας μια 19
Εδώ βλέπουμε ότι αν απλώς συμπληρώσουμε τον 2D Fourier χώρο με τις διάφορες τομές του, η πυκνότητα μεγαλώνει όσο πλησιάζουμε την αρχή των αξόνων. Με λίγα λόγια οι χαμηλές συχνότητες υπερτερούν των υψηλών, οπότε η εικόνα μας θα είναι μια θολή έκδοση της αρχικής. Άρα φαίνεται αυτό που αναφέραμε προηγουμένως στην οπίσθια προβολή, ότι τελικά αυτό που θα λάβουμε με αυτή τη διαδικασία δε θα είναι η αρχική μας εικόνα. 20
1.3 - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ RADON Η οπίσθια προβολή, ή Backprojection, όπως είδαμε κάνει το μεγαλύτερο μέρος της διαδικασίας της τομογραφικής ανακατασκευής. Παίρνει τα δεδομένα προβολής σε διάφορες γωνίες και τα μετατρέπει στην αρχική εικόνα, αλλά με blurring. Αυτό το blurring όπως είπαμε δημιουργείται από την άνιση κατανομή χαμηλών και υψηλών συχνοτήτων. Αυτή η ανισότητα πυκνότητας συχνοτήτων είναι ανάλογη τις παράστασης Δηλαδή με λίγα είναι ανάλογη της απόστασης από την αρχή των αξόνων όπως προείπαμε. Οπότε, βλέπουμε πολύ απλά ότι ένας τρόπος να επαναφέρουμε την ισοκατανομή συχνοτήτων είναι να πολλαπλασιάσουμε τον ανασχηματισμένο 2D Fourier μετασχηματισμό με. Αν κατόπιν πάρουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό, θα έχουμε την πραγματική αρχική εικόνα f(x,y). Ένας άλλος τρόπος θα ήταν να πολλαπλασιάσουμε με ω την κάθε τομή του 2D Fourier ξεχωριστά και μετά αφού το κάνουμε αυτό σε όλες τις τομές, να ανακατασκευάσουμε όλο το πεδίο 2D Fourier και να πάρουμε ένα απλό Backprojection. Το αποτέλεσμα που θα πάρουμε θα είναι το ίδιο. Επειδή το φίλτρο του πρώτου τρόπου μοιάζει με κώνο, ονομάζεται και κωνικό φίλτρο, και το φίλτρο του δεύτερου τρόπου ονομάζεται φίλτρο ράμπας για τον ίδιο λόγο. 21
Σχήμα 9: Φίλτρο ράμπας ή κωνικό φίλτρο.[23] Παρακάτω παρουσιάζουμε μερικές μεθόδους με τις οποίες μπορούν να γίνουν οι παραπάνω διεργασίες[5][17][26]. Μέθοδος 1 (Filtered Backprojection) Στην πρώτη μέθοδο ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: (1) Βρίσκουμε τον 1D Fourier μετασχηματισμό όλων των p(r,θ), ως προς τη μεταβλητή r, για τα διάφορα θ. Από εδώ έχουμε τα P(ω,θ). (2) Πολλαπλασιάζουμε τα P(ω,θ) με το φίλτρο ράμπας ω, παίρνοντας τα Q(ω,θ). (3) Βρίσκουμε τους αντίστροφους 1D Fourier των Q(ω,θ) ως προς ω, παίρνοντας τα q(r,θ). Μέθοδος 2 22
Υπάρχουν κι άλλοι τρόποι να εφαρμόσουμε το φίλτρο ράμπας. Μπορούμε να μην χρησιμοποιήσουμε το μετασχηματισμό Fourier καθόλου. Ως γνωστόν, πολλαπλασιασμός στο πεδίο των συχνοτήτων αντιστοιχεί σε συνέλιξη στο χρόνο, και το αντίθετο. Έτσι, αν ονομάσουμε ως h(r) τον 1D IFT της συνάρτησης ω, έχουμε την παρακάτω διαδικασία. Μέθοδος 3 Ένας τρίτος τρόπος να εφαρμόσουμε το φίλτρο είναι να το χωρίσουμε σε δύο μέρη, ως εξής: Ο πολλαπλασιασμός με στο πεδίο Fourier αντιστοιχεί με το μετασχηματισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός του είναι. H συνέλιξη με είναι ο γνωστός μετασχηματισμός Hilbert. Έτσι έχουμε τη παρακάτω σχέση η οποία είναι συνδυασμός της παραγώγου και του μετασχηματισμού Hilbert. Μέθοδος 4 (Backprojection then Filtering) 23
Μπορούμε να αντιμεταθέσουμε τη διαδικασία φιλτραρίσματος και οπίσθιας προβολής. Στο τέλος της διαδικασίας οπίσθιας προβολής έχουμε τη θολή εικόνα b(x,y). Σε αυτήν πρέπει να εφαρμόσουμε το φίλτρο ράμπας (το οποίο σε 2 διαστάσεις ονομάζεται κωνικό). Έχουμε τα παρακάτω βήματα στον αλγόριθμο: (1) Υπολογισμός 2D FT της θολής εικόνας b(x,y), παίρνοντας την. (2) Πολλαπλασιασμός με το φίλτρο ράμπας, παίρνοντας την. (3) Υπολογισμός 2D IFT της, παίρνοντας το τελικό αποτέλεσμα f(x,y). Μέθοδος 5 Η τρίτη μέθοδος που αναφέραμε παραπάνω αποτελούταν από 3 διαδικασίες: την παράγωγο, το μετασχηματισμό Hilbert, και την οπίσθια προβολή. Μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά εφαρμογής, ως εξής: (1) Υπολογισμός παραγώγου των δεδομένων προβολής p(r,θ) ως προς r, παίρνοντας την. (2) Οπίσθια προβολή της σε εύρος 180 μοιρών. 24
(3) Εφαρμογή μετασχηματισμού Hilbert σειρά-σειρά, σε κατεύθυνση παράλληλα με τη γωνία σάρωσης στις 90 μοίρες. Συμπεράσματα Είναι φανερό ότι μπορούμε να αλλάζουμε τη σειρά εφαρμογής των συστατικών του αλγορίθμου, δημιουργώντας ακόμα περισσότερες μεθόδους ανακατασκευής. Κάθε μέθοδος έχει πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα. Επίσης παρατηρούμε ότι η διαδικασία της οπίσθιας προβολής (backprojection) είναι παρόν σε όλες τις μεθόδους, αλλά μπορούμε να ανακατασκευάσουμε την εικόνα και χωρίς τη χρήση της. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα τομής Fourier αναθέτοντας τα δεδομένα προβολής P(ω,θ) στο καρτεσιανό πεδίο συχνοτήτων. Αυτή είναι η εφαρμογή backprojection στο πεδίο Fourier. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται μέθοδος Άμεσης ανακατασκευής Fourier και έχει περιορισμένη χρησιμότητα γιατί μεγάλα σφάλματα παρεμβολής μπορούν να εισαχθούν κατά την αλλαγή συντεταγμένων από πολικές σε καρτεσιανές. Άμεση ανακατασκευή Fourier (Direct Fourier Reconstruction) H άμεση ανακατασκευή Fourier πηγάζει απ ευθείας από το θεώρημα τομής Fourier, και δε χρησιμοποιεί backprojection. Για να ανακατασκευάσουμε μια εικόνα f(x,y) από το μετασχηματισμό της Radon p(r,φ) χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο, ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: Για κάθε, παίρνουμε τον (μονοδιάστατο) μετασχηματισμό Fourier της p(r, ), και παίρνουμε τις αντίστοιχες P(v, ). 25
Παίρνουμε την πολική αναπαράσταση F(u,v) χρησιμοποιώντας τη σχέση από το θεώρημα Fourier-slice: του 2D FT του αντικειμενου Μετατρέπουμε τις πολικές σε καρτεσιανές συντεταγμένες F(u,v). Παίρνουμε τον αντίστροφο 2D FT της F(u,v) στην επιθυμητή εικόνα μας f(x,y). Στην πράξη αυτό εφαρμόζεται χρησιμοποιώντας μέθοδο Fast Fourier Transform (FFT), η οποία χρειάζεται καρτεσιανές συντεταγμένες. Αυτή η μέθοδος, η οποία προτάθηκε για πρώτη φορά το 1968 από τους D. De Rosier και A. Klug, ήταν η πρώτη εφαρμόσιμη μέθοδος ανακατασκευής εικόνων από τις προβολές της. Για δειγματοληπτημένα δεδομένα, η μετατροπή από πολικές σε καρτεσιανές συντεταγμένες που κάνουμε στο τρίτο βήμα, το οποίο μερικές φορές αποκαλούμε gridding, απαιτεί πολύ προσεκτική παρεμβολή (interpolation). Έχει γίνει πολλή έρευνα σε διαδικασίες interpolation για επιτυχή αποτελέσματα. Οι μέθοδοι NUFFT χρησιμοποιώντας καλούς πυρήνες παρεμβολής και είναι αρκετά αποτελεσματικές. Η μέθοδος Direct Fourier reconstruction θα δούλευε άψογα αν οι προβολές από τις οποίες έπρεπε να ανακατασκευάσουμε την εικόνα ήταν χωρίς θόρυβο και είχαν πλήρη συνέχεια (δηλαδή αν ήταν άπειρες στον αριθμό για δεδομένο διάστημα γωνιών φ). Πρακτικά μειονεκτήματα αυτής της μεθόδου είναι ότι απαιτεί 2D FT μετασχηματισμούς, και το gridding μπορεί να δημιουργήσει artifacts λόγω της παρεμβολής. Μια διαφορετική προσέγγιση χρησιμοποιεί τον μετασχηματισμό Hankel, παρ όλα αυτά η παρεμβολή (interpolation) δε μπορεί να αποφευχθεί. 26
1.4 - ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΙΚΟΝΑΣ ΜΕ ΑΚΤΙΝΙΚΗ ΣΑΡΩΣΗ Μέχρι στιγμής έχουμε αναφερθεί σε μεθόδους ανακατασκευής όταν η σάρωση γίνεται κατά μήκος παράλληλων γραμμών. Αν το σύστημα απόκτησης πληροφορίας παράγει προβολές που δεν είναι κατά μήκος παράλληλων γραμμών, πρέπει να μετατρέψουμε τους αλγορίθμους παράλληλης σάρωσης ανάλογα. Σχήμα 10: Σύγκριση γεωμετριών παράλληλης και ακτινικής σάρωσης.[17] Για την παράλληλη σάρωση, έχουμε το θεώρημα τομής Fourier για να παράγουμε τους διάφορους αλγορίθμους ανακατασκευής. Στην ακτινική σάρωση δεν υπάρχει αντίστοιχο θεώρημα, οπότε θα πρέπει να μετατρέψουμε την περίπτωση ακτινικής σάρωσης σε παράλληλη και να τροποποιήσουμε τους αλγορίθμους κατάλληλα. Στην παράλληλη σάρωση, αν υποθέσουμε ότι ο σαρωτής κινείται με σταθερή γραμμική ταχύτητα και στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, έχουμε αμετάβλητη Συνάρτηση Κατανομής Σημείου ή ΣΚΣ(Point Spread Function, PSF). Αυτό σημαίνει ότι αν η αρχική μας εικόνα είναι ένα σημείο, τότε δεν παίζει ρόλο η θέση του στην εικόνα η ανακατασκευή των προβολών της θα μας δίνουν πάντα το ίδιο αποτέλεσμα απλά σε διαφορετική θέση. Αποδεικνύεται στην ακτινική σάρωση ότι αν η τροχιά σάρωσης είναι 27
κύκλος, έχουμε επίσης αμετάβλητη Συνάρτηση Κατανομής Σημείου. Αυτή η παρατήρηση συνεπάγεται ότι αν κάνουμε προβολή και οπίσθια προβολή σε μια εικόνα, το αποτέλεσμα θα είναι η ίδια θολή έκδοση της αρχικής εικόνας, ανεξαρτήτως αν χρησιμοποιήσαμε παράλληλη ή ακτινική γεωμετρίας σάρωσης. Αν η αρχική μας εικόνα είναι η f(x,y) και αν η οπίσθια προβολή των δεδομένων προβολής είναι b(x,y), τότε η ΣΚΣ μπορεί να δειχθεί ότι είναι 1/r, όπου. Τότε οι f(x,y) και b(x,y) μπορούν να συνδεθούν με τη σχέση: Όπου ** υποδηλώνει την πράξη της συνέλιξης σε 2 διαστάσεις. Ο 2D μετασχηματισμός Fourier του είναι, και αν συμβολίσουμε τους μετασχηματισμούς Fourier των b(x,y) και f(x,y), με και αντίστοιχα, τότε έχουμε τη σχέση: Όπως και με την παράλληλη σάρωση, εάν εφαρμόσουμε το κωνικό φίλτρο στην εικόνα b(x,y), παίρνουμε την αρχική, όπως φαίνεται και παρακάτω: 1.4.1 ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗΣ ΣΑΡΩΣΗΣ ΣΕ ΑΚΤΙΝΙΚΗ 28
Αν θέλουμε να ανακατασκευάσουμε μια εικόνα ακτινικής σάρωσης με τη μέθοδο FBP, πρέπει να ακολουθήσουμε μια διαφορετική στρατηγική. Αρχικά το πρώτο που σκεφτόμαστε είναι να μετατρέψουμε τη συνάρτηση προβολής ακτινικής σάρωσης g(γ,β) σε παράλληλη p(s,θ). Για να γίνει αυτό πρέπει: Αν αντικαταστήσουμε τις 2 παραπάνω σχέσεις στην p(s,θ), έχουμε πράγματι Σχήμα 11: Μετατροπή παράλληλης σάρωσης σε ακτινική.[17] Αυτή η μέθοδος παρόλο που δίνει αποτελέσματα, δεν είναι προτιμητέα διότι απαιτεί παρεμβολή κατά τη μετατροπή συντεταγμένων και αυτό όπως είπαμε εισάγει σφάλματα. Αν αυτού μπορούμε να ακολουθήσουμε μια ελαφρώς διαφορετική μέθοδο. Ξεκινώντας από τον αλγόριθμο παράλληλης σάρωσης, αντικαθιστούμε το 29
διπλό ολοκλήρωμα που χρειάζεται να υπολογιστεί και έχει μεταβλητές s και θ, με τις παραπάνω σχέσεις που τα συνδέουν με τα γ και β. Μη ξεχνώντας να υπολογίσουμε τον Ιακωβιανό παράγοντα που χρειάζεται όταν κάνουμε αλλαγή συστήματος συντεταγμένων σε ολοκληρώματα, έχουμε το νέο μας αλγόριθμο. Επίσης έχουμε δύο διαφορετικών ειδών ακτινική σάρωση: την επίπεδη και την καμπυλωτή, που φαίνονται στο Σχήμα 12. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε δειγματοληψία ανά απόσταση Δs, ενώ στη δεύτερη ανά γωνία Δγ, και μπορούμε να πάμε από τη μια στην άλλη με κατάλληλες μετατροπές. Σχήμα 12: Διαφορετικές διατάξεις ακτινικής ανακατασκευής: Επίπεδη και Καμπυλωτή.[27] 30
1.5 - ΘΟΡΥΒΟΣ Σε έναν αναλυτικό αλγόριθμο ανακατασκευής, ο χειρισμός του θορύβου γίνεται με εφαρμογή ενός παραθύρου όταν τα δεδομένα προβολής φιλτράρονται. Το φίλτρο σε έναν αλγόριθμο ανακατασκευής εικόνας είναι πάντα υψιπερατό κατά το οποίο οι συνιστώσες υψηλών συχνοτήτων ενισχύονται περισσότερο από τις χαμηλές. Προκειμένου να καταστείλουμε το θόρυβο στις υψηλές συχνότητες, ένα φίλτρο παραθύρου εφαρμόζεται παράλληλα με το φίλτρο ράμπας. Κατά βάση, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται για να περιορίσουμε το εύρος ζώνης. Έτσι, οτιδήποτε περιέχει το σήμα μας από μία συχνότητα και πάνω αποκόπτεται. Σχήμα 13: Γραφική αναπαράσταση συνδυασμού ενός χαμηλοπερατού φίλτρου επάνω στο απαραίτητο υψιπερατό φίλτρο με σκοπό τη μείωση θορύβου υψηλών συχνοτήτων.[27] 31
ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΚΗΣ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ Οι επαναληπτικές μέθοδοι ανακατασκευής εικόνας είναι μια εναλλακτική λύση στις αναλυτικές μεθόδους ανακατασκευής που είδαμε προηγουμένως. Γενικά στην τομογραφία οι επαναληπτικές μέθοδοι προσφέρουν καλύτερης ποιότητας αποτελέσματα, αλλά με αυξημένες απαιτήσεις σε χρόνο και υπολογιστική ισχύ. Ενώ οι αναλυτικές μέθοδοι λύνουν το αντίστροφο πρόβλημα της ανακατασκευής εικόνας σε ουσιαστικά ένα μόνο βήμα, οι επαναληπτικές μέθοδοι λύνουν το πρόβλημα εφαρμόζοντας συνεχείς επαναλήψεις, οι οποίες είναι και η αιτία της αύξησης της πολυπλοκότητας τους όπως αναφέραμε προηγουμένως. Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί αλγόριθμοι, αλλά όλοι ξεκινούν υποθέτοντας μια εικόνα, υπολογίζουν τις προβολές από την εικόνα αυτή, συγκρίνουν τα αρχικά δεδομένα προβολών και συγκρίνοντας τις 2 προβολές ανανεώνουν την εικόνα ανάλογα. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται συνεχώς, μέχρι να βρεθεί ικανοποιητικό αποτέλεσμα. Οι επαναληπτικές μέθοδοι αποκτούν όλο και μεγαλύτερο ενδιαφέρον με τις βελτιώσεις της τεχνολογίας και συγκεκριμένα την ταχύτητα των υπολογιστών. Οι επαναληπτικές μέθοδοι χρησιμοποιούν συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων τα οποία επιλύονται ή ορίζουν αντικειμενικές συναρτήσεις τις οποίες προσπαθούν να ελαχιστοποιήσουν. Η αντικειμενική συνάρτηση μπορεί να δημιουργηθεί χρησιμοποιώντας μια συνάρτηση πιθανότητας, και μπορεί επίσης να περιλαμβάνει προγενέστερες γνώσεις σχετικά με την εικόνα. Η συνάρτηση πιθανότητας μοντελοποιεί την κατανομή θορύβου στις μετρήσεις των προβολών. 32
2.1 ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Αντί να χρησιμοποιήσουμε μια αναλυτική μέθοδο ανακατασκευής εικόνας, μπορούμε να πετύχουμε ανακατασκευή λύνοντας ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Προκειμένου να το κάνουμε αυτό, πρέπει πρώτα να διακριτοποιήσουμε την εικόνα σε pixel ή voxel (ογκομετρικά pixel). Εδώ, τα pixel της εικόνας συμβολίζονται σε μια μονοδιάσταστη ακολουθία, όπως επίσης και όλες οι προβολές. Για την απλοποιημένο παράδειγμα του παρακάτω σχήματος έχουμε το εξής σύστημα διαφορικών εξισώσεων: Σχήμα 14: Αναπαράσταση διαδικασίας διαχωρισμού σε pixel κατά την επαναληπτική ανακατασκευή.[27] 33
Το σύστημα αυτό μπορεί να γραφεί σε μορφή πινάκων ως εξής: Όπου,, και Α είναι ο πίνακας με τους συντελεστές του συστήματος. Το κάθε στοιχείο στον Α συμβολίζει το βάρος της συνεισφοράς του j-οστού pixel στην i-οστή προβολή. Στο παράδειγμα μας, οι συντελεστές αυτοί είναι ουστιαστικά τα μήκη της γραμμής που διαπερνάει το κάθε pixel ανάλογα με την προβολή. Αν ο αντίστροφος πίνακας ανακατασκευασμένη εικόνα δίνεται απο τη σχέση: υπάρχει, η Η χρήση των μηκών δεν είναι ο μόνος τρόπος για τον υπολογισμό των συντελεστών. Φυσικά φαινόμενα απεικόνισης (όπως εξασθένιση και συνάρτηση κατανομής σημείου) μπορούν επίσης να συμπεριληφθούν. Για ένα πρακτικό πρόβλημα απεικόνισης, κατά γενικό κανόνα ο πίνακας Α δεν είναι τετραγωνικός. Σε αυτή την περίπτωση ένας γενικευμένος αντίστροφος πίνακας μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Για παράδειγμα, μπορούμε να βρούμε μια λύση ελαχίστων τετραγώνων: 34
, άν το σύστημα είναι υποπροσδιορισμένο, άν το σύστημα είναι υπερπροσδιορισμένο Ένας γενικευμένος αντίστροφος πίνακας μπορεί να ληφθεί μέσω ελαχιστοποίησης τετραγώνων. Σε ένα υπερπροσδιορισμένο σύστημα (δηλαδή οι «γραμμές» προβολής είναι περισσότερες από τα pixel), έχουμε: και θέτουμε τις μερικές παραγώγους (δηλαδή το grad) ίσο με 0: Από την τελευταία σχέση παίρνουμε Αυτή η σχέση συμβολίζει ένα κανονικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων, διότι ο (ΑΧ- P) είναι ορθογώνιος (κανονικός) στις σειρές του Α:. Λύνοντας τις κανονικές εξισώσεις παίρνουμε αμέσως μια γενικευμένη λύση: Στην περίπτωση υποπροσδιορισμένου συστήματος (δηλαδή ο αριθμός των pixel είναι μεγαλύτερος από τις διαθέσιμες «γραμμές» προβολών), το σύστημα ΑΧ=Ρ θα έχει άπειρες λύσεις, αν υποθέσουμε ότι το σύστημα δεν είναι αδύνατο. Τότε μπορούμε να επιλέξουμε την λύση ελάχιστου μέτρου. Άρα, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο τελεστών 35
Lagrange για να ελαχιστοποιήσουμε το Φτιάχνουμε λοιπόν την συνάρτηση Lagrange σε σχέση με το σύστημα ΑΧ=Ρ. όπου Λ διαγώνιος πίνακας με στοιχεία τους τελεστές Lagrange και μ το πλήθος των γραμμών προβολής. Θέτοντας και πάλι grad=0 παίρνουμε της εξής δύο σχέσεις: Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη με A και λύνοντας ως προς Λ αντικαθιστώντας ταυτόχρονα ΑΧ=Ρ παίρνουμε: Λύνοντας την πρώτη σχέση τώρα ως προς Χ και αντικαθιστώντας τη σχέση που μόλις βρήκαμε έχουμε: Ακόμα και αν ο πίνακας Α είναι τετράγωνος, ο αντίστροφος του μπορεί να μην υπάρχει. Όταν ο Α δεν είναι μέγιστης τάξης, ο δεν υπάρχει, και δε μπορούμε να υπολογίσουμε ούτε τις παραστάσεις ή. Σχέδον σε όλες τις εφαρμογές, ο πίνακας Α δεν είναι ούτε μέγιστης τάξης ούτε τετράγωνος, και το 36
σύστημα δεν έχει λύση λόγω θορύβου. Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε Διάσπαση Ιδιάζουσων Τιμών (Single Value Decomposition, SVD), προκειμένου να βρούμε έναν ψευδό-αντίστροφο. Η τεχνική SVD είναι μια ισχυρή και ευσταθής τεχνική για να βρίσκουμε έναν γενικευμένο αντίστροφο ενός πίνακα και να διαγιγνώσκουμε την κατάσταση ενός συστήματος. Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα την SVD για να βρούμε μια λύση ελαχίστων τετραγώνων για το ΑΧ=Ρ. Υποθέτουμε ένα πίνακα Α με m γραμμές και n στήλες, που συμβολίζουμε με. Χρησιμοποιώντας την SVD, ο μπορεί να διασπαστεί σε Όπου, και με τις τιμές του τοποθετημένες σε φθίνουσα σειρά: Ένας γενικευμένος αντίστροφος (ή ψευδό-αντίστροφος) πίνακας ορίζεται ως Όπου, με. Η ανακατασκευασμένη εικόνα μας δίνεται απο τη σχέση: 37
Ο συντελεστής r ονομάζεται cut-off index, και ορίζεται από το χρήστη. Εάν επιλέξουμε ένα πολύ μικρό r, η ανακατασκευασμένη εικόνα θα αποτελείται από περιεχόμενο μόνο χαμηλών συχνοτήτων. Αντίθετα, ένα πολύ μεγάλο r θα έχει ως αποτέλεσμα περιεχόμενο υψηλών συχνοτήτων καθώς και θόρυβο στην εικόνα. Συνήθως, ο πίνακας Α είναι πολύ μεγάλος για να αποθηκευτεί στον υπολογιστή, οπότε τον δημιουργούμε ανά μια γραμμή κάθε φορά όταν αυτή η γραμμή χρησιμοποιείται για την επίλυση του συστήματος των διαφορικών. Επίσης, εδώ δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιαδήποτε μέθοδο επίλυσης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, μέθοδοι βασισμένοι σε διαγωνιοποίηση του πίνακα Α ή μετασχηματισμό του σε άνω τριγωνικό δεν είναι εφαρμόσιμες, όπως επίσης και μέθοδοι που τροποποιούν τον πίνακα Α. Μπορούμε να εφαρμόσουμε μόνο μεθόδους όπου χρησιμοποιούν τον πίνακα Α και τον ανάστροφο του. Η μέθοδος αναλυτικής ανακατασκευής μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύστημα ανοιχτού βρόχου, ενώ η επαναληπτική ανακατασκευή ως κλειστού βρόχου. Κάθε επανάληψη, συνήθως αποτελείται από μια εκτέλεση προβολής, σύγκριση μεταξύ των δεδομένων προβολής και των μετρούμενων δεδομένων, και μια οπίσθια προβολή. Η οπίσθια προβολή χαρτογραφεί τις διαφορές μεταξύ των πεδίων προβολής και εικόνας. Αυτές οι διαφορές χρησιμοποιούνται για να τροποποιήσουν την εκτίμηση της εικόνας σε κάθε επανάληψη. 38
2.2 - ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ (ART) Η κεντρική ιδέα της μεθόδου αλγεβρικής ανακατασκευής (Algebraic Reconstruction Technique, ART), ή αλλιώς γνωστή ως μέθοδος Kaczmarz, είναι να εφαρμόζουμε τις προϋποθέσεις τις κάθε εξίσωσης, μία κάθε φορά, πάνω στην εκτιμώμενη εικόνα. Αυτό φαίνεται στο Σχήμα 15, όπου τρεις εξισώσεις, και η τομή τους είναι η λύση (η εικόνα εδω αποτελείται απο 2 μόνο pixel). Σχήμα 15: Λύση συστήματος εξισώσεων ανακατασκευής εικόνας ART με 2 pixel και 3 εξισώσεις.[32] Στο παραπάνω σχήμα, θεωρείται η αρχική εκτίμηση της λύσης. Το πρώτο βήμα είναι να προβάλλουμε το κάθετα πάνω στο, παίρνοντας το. Μετά προβάλλουμε το στο παίρνοντας το και πάει λέγοντας. Τελικά κάποια στιγμή, όπως φαίνεται και στο σχήμα, ο αλγόριθμος συγκλίνει σε κάποια λύση του συστήματος εξισώσεων. Αν το σύστημα είναι αδύνατο, ο αλγόριθμος θα αναπηδά συνεχώς και δε θα συγκλίνει ποτέ. Μια επανάληψη του αλγορίθμου ορίζεται ως ένας κύκλος επανάληψης που διέρχεται από όλες τις εξισώσεις μία φορά. 39
Ο αλγόριθμος ART εκτελείται με δεδομένα μια προβολή κάθε φορά, και η εικόνα ανανεώνεται όταν όλα τα δεδομένα της προβολής χρησιμοποιηθούν. Ο αλγόριθμος ART εξετάζει το πρόβλημα της ανακατασκευής ανά σειρά (δηλαδή ανά εξίσωση) και μπορεί να παρασταθεί ως: Όπου είναι η i-οστή προβολή, η μέτρηση της προβολής απο τον i-οστό ανιχνευτή, είναι το άθροισμα των τετραγώνων των συντελεστών συνεισφοράς κατά μήκος της ακτίνας προβολής, και ο πολλαπλασιασμός με εφαρμόζει την οπίσθια προβολή. Μπορούμε να γράψουμε τον παραπάνω αλγόριθμο στην εξής μορφή: Η γεωμετρική ερμηνεία του αλγορίθμου ART μπορεί να εξηγηθεί εύκολα από το Σχήμα 15. Υπάρχουν πολλές παραλλαγές αυτής της τεχνικής ανακατασκευής. Ο αλγόριθμος Simultaneous ART ανανεώνει την εικόνα όχι σειρά-σειρά, αλλά ολόκληρη την εικόνα σε κάθε επανάληψη. Άλλες παραλλαγές ανανεώνουν την εικόνα ανά γωνία, ή χρησιμοποιούν ένα συντελεστή απόσβεσης για να σταθεροποιήσουν τον αλγόριθμο. Επίσης υπάρχει και ο αλγόριθμος MART, όπου η ανακατασκευή γίνεται με πολλαπλασιαστικό τρόπο και όχι προσθετικό. Ένα πλεονέκτημα του MART είναι ότι το αποτέλεσμα είναι πάντα μη αρνητικό εάν και η αρχική εκτίμηση της εικόνας ήταν μη αρνητική. 40
Σχήμα 16: Σύστημα ανακατασκευής εικόνας στο οποίο δεν υπάρχει λύση.[32] 41
2.3 - ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΚΑΘΟΔΙΚΗΣ ΚΛΙΣΗΣ Διπλωματική Εργασία Κοντάρας Νικόλαος 2012 Στη μέθοδο αυτή, αρχικά μια αντικειμενική συνάρτηση δημιουργείται βασισμένη στο σύστημα εξισώσεων ως εξής:. Η είναι δευτεροβάθμια συνάρτηση. Λόγω θορύβου, το σύστημα τον εξισώσεων συνήθως είναι αδύνατο. Έτσι η ελάχιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι συνήθως μη μηδενικός, θετικός αριθμός. Σχήμα 17: Μια αντικειμενική συνάρτηση που σχεδιάστηκε για ανακατασκευή με τον αλγόριθμο καθοδικής κλίσης.[27] Η μέθοδος του αλγορίθμου καθοδικής κλίσης (Gradient Descent Algorithm), είναι να χρησιμοποιεί την κλίση της αντικειμενικής συνάρτησης έτσι ώστε να εντοπίζει την ελάχιστη τιμή. Η κλίση σε μία διάσταση είναι η παράγωγος της συνάρτησης. Ως γνωστόν, θετική παράγωγος σημαίνει ανοδική κατεύθυνση, και αρνητική παράγωγος καθοδική. Οι αλγόριθμοι καθοδικής κλίσης παίρνουν την αντίθετη κατεύθυνση από αυτή που υποδεικνύει η παράγωγος (έτσι ώστε πάντα να κατεβαίνει) και χρησιμοποιούν ένα μικρό βήμα για να βρουν την ελάχιστη τιμή. Η γενική μορφή του αλγορίθμου είναι: 42
Όπου Δ είναι η κλίση της αντικειμενικής συνάρτησης στο και περιέχει τις προβολές και την οπίσθιες προβολές όλων των γωνιών. Ο αλγόριθμος συγκλίνει όταν ΑΧ=Ρ και ο Χ σταματάει να μεταβάλλεται. Αν το σύστημα είναι αδύνατο, ο αλγόριθμος συγκλίνει όταν. Αν το σύστημα είναι υποπροσδιορισμένο, το πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων δεν έχει μοναδική λύση και η μοιάζει με παραβολικό κύλινδρο όπως στο Σχήμα 18. Σχήμα 18: Αναπαράσταση υποπροσδιορισμένου συστήματος.[27] Βλέπουμε ότι η λύση εξαρτάται από την αρχική λύση. Αν η αρχική λύση είναι 0, τότε ο αλγόριθμος θα συγκλίνει στη λύση με το μικρότερο μέτρο. 43
Λόγω του θορύβου, σπάνια έχουμε ΑΧ=Ρ κατά τη σύγκλιση. Αντ αυτού, έχουμε μια πολύ θορυβώδη εικόνα, όταν το πλήθος των επαναλήψεων είναι μεγάλο. Στο Σχήμα 19 βλέπουμε μια εφαρμογή του επαναληπτικού αλγορίθμου. Στις αρχικές επαναλήψεις έχουμε κυρίως χαμηλές συχνότητες. Καθώς αυξάνονται οι επαναλήψεις εμφανίζονται υψηλές συχνότητες καθώς και θόρυβος. Σχήμα 19: Αύξηση θορύβου κατά την αύξηση του αριθμού των επαναλήψεων. Η κατεύθυνση της κλίσης είναι εύκολο να υπολογιστεί σε ένα πρακτικό πρόβλημα απεικόνισης χρησιμοποιώντας τη σχέση, αλλά η 44
χρήση της αντίθετης κατεύθυνσης αυτής δεν είναι πάντα βέλτιστη λύση για να βρούμε την εικόνα. Στο Σχήμα 20 φαίνεται μια τυπική αντικειμενική συνάρτηση, με ελλειψοειδή μορφή. Η κατεύθυνση της κλίσης είναι πάντα κάθετη στην εφαπτόμενη της εκάστοτε έλλειψης. Βλέπουμε ότι η σύγκλιση στη λύση δεν γίνεται με το γρηγορότερο τρόπο. Σχήμα 20: Αντικειμενική συνάρτηση με ελλειψοειδή μορφή. [22] 45
2.4 - ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΣΥΖΥΓΩΝ ΚΛΙΣΕΩΝ (Conjugate Gradient Algorithm) Μια βελτίωση στην κλασσική μέθοδο καθοδικής κλίσης είναι να χρησιμοποιήσουμε τις λεγόμενες συζυγείς κατευθύνσεις. Όταν το κάνουμε αυτό, στην ουσία μετατρέπουμε το σχήμα της αντικειμενικής συνάρτησης σε κύκλους, οπότε ο αλγόριθμος μας θα συγκλίνει βέλτιστα, όπως φαίνεται και στο επόμενο σχήμα. Ο αλγόριθμος CG λύνει το σύστημα εξισώσεων, Θέτοντας όπου και έχουμε, Ο πίνακας Μ είναι πραγματικός, συμμετρικός και θετικά ορισμένος. Τα βήματα υλοποίησης του αλγορίθμου δίνονται παρακάτω. Α) Θέτουμε τις αρχικές συνθήκες:, και. B) Για κάθε iteration n=1,2,3 κάνουμε τις εξής διαδικασίες: i) Θέτουμε το βήμα ίσο με: 46
ii) Ανανεώνουμε την εικόνα ως εξής: iii) Υπολογίζουμε το υπόλοιπο της εικόνας: iv) Υπολογίζουμε το συντελεστή κατεύθυνση αναζήτησης:, που χρησιμοποιούμε για να βρούμε τη v) Η νέα κατεύθυνση αναζήτησης για την επόμενη επανάληψη είναι: 47
2.5 - ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ML-EM Διπλωματική Εργασία Κοντάρας Νικόλαος 2012 Δεν είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσουμε μια αντικειμενική συνάρτηση ελαχίστων τετραγώνων. Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι να σχηματίσουμε μια αντικειμενική συνάρτηση. Αν χρησιμοποιήσουμε το μοντέλο θορύβου Poisson ή απλά χρησιμοποιήσουμε περιορισμό μη αρνητικότητας, θα πάρουμε μια ειδική αντικειμενική συνάρτηση. Ελαχιστοποιώντας αυτή την αντικειμενική συνάρτηση, ένας πολλαπλασιαστικός αλγόριθμος γνωστός σαν ML-EM (maximum-likelihood expectationmaximization) δημιουργείται και μπορεί να γραφεί συμβολικά ως εξής: ή Όπου 1 είναι ένα διάνυσμα με όλα του τα στοιχεία άσσους. Το μέγεθος του διανύσματος αυτού είναι ίσο με το διάνυσμα δεδομένων προβολής. Σε αυτό τον αλγόριθμο, η διαφορές μεταξύ των δεδομένων υπολογίζεται ως αναλογία και όχι ως απόλυτη τιμή. Η διαφορά που κάνει αυτό τον αλγόριθμο να ξεχωρίζει είναι η μηαρνητικότητα του. Αν η αρχική εικόνα δεν περιέχει αρνητικά pixel ή voxel, η τιμές της εικόνας δε γίνονται ποτέ αρνητικές. Η αντικειμενική συνάρτηση αυτού του αλγορίθμου μπορεί να είναι μια συνάρτηση πιθανότητας, η οποία είναι η συνδυασμένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας τυχαίων μεταβλητών Poisson. Ψάχνουμε για μία λύση που να μεγιστοποιεί αυτή τη συνάρτηση πιθανότητας. Όταν προσπαθούμε να μεγιστοποιήσουμε ή να ελαχιστοποιήσουμε μια συνάρτηση (είτε αντικειμενική είτε πιθανότητας), συνήθως παίρνουμε τις μερικές παραγώγους ως προς όλες τις άγνωστες μεταβλητές, τις θέτουμε ίσες με μηδέν, και λύνουμε το 48
σύστημα. Απ ότι φαίνεται όμως η συνάρτηση μας πιθανότητας Poisson είναι αρκετά περίπλοκη. Τέλος, παίρνουμε την εκτιμώμενη τιμή της συνάρτησης πιθανότητας, και κατόπιν βρίσκουμε το μέγιστο της συνάρτησης. Ο αλγόριθμος ML-EΜ λέγεται και αλγόριθμος Richardson-Lucy, επειδή αυτά τα δύο πρόσωπα ανέπτυξαν τον εν λόγω αλγόριθμο το 1972-1974 για εφαρμογές de-blurring εικόνας. Υπάρχουν πολλοί αλγόριθμοι που στηρίζονται σε Expectation-Maximization που χρησιμοποιούνται σε διαφορετικά πεδία έρευνας. Ο συγκεκριμένος ML-EM αλγόριθμος χρησιμοποιείται κυρίως σε ανακατασκευή εικόνας σε τομογραφίες με εκπομπή (όπως PET και SPECT). Έχουμε και αλγορίθμους ML-EΜ για τομογραφίες μετάδοσης (όπως αξονική τομογραφία) αλλά δεν είναι τόσο δημοφιλείς. Ο αλγόριθμος ML-EM (Maximum-Likelihood Expectation-Maximization) χρησιμοποιείται πολύ στην ανακατασκευή τομογραφίας εκπομπών και εκφράζεται ως: To τρίτο άθροισμα είναι η πράξη της προβολής όπως το του αλγορίθμου ART, ενώ τα άλλα δύο αθροίσματα εκτελούν backprojection. Αυτός ο αλγόριθμος συγκρίνει την μετρούμενη προβολή με την προβολή της τρέχουσας εκτίμησης ως αναλογία. Αυτή η αναλογία οπισθοπροβάλλεται στο πεδίο της εικόνας. Το άθροισμα είναι το backprojection της σταθεράς 1 στο πεδίο της εικόνας. Ο λόγος των δύο αυτών εικόνων μας δίνει το συντελεστή μεταβολής με το οποίο πολλαπλασιάζουμε την τρέχουσα εκτίμηση για να πάρουμε την επόμενη. Τα παρακάτω συνιστούν την παραγωγή του αλγορίθμου ML-EM. Αν p είναι μια τυχαία μεταβλητή με κατανομή Poisson, τότε η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι: 49
Όπου λ είναι η αναμενόμενη τιμή της τυχαίας μεταβλητής. Για ένα πρόβλημα απεικόνισης ΑΧ=Ρ, ο αριθμός των φωτονίων που εκπέμπονται από κάθε pixel είναι μια τυχαία μεταβλητή Poisson, και κάθε μέτρηση μπορεί να αντιμετωπιστεί σαν το άθροισμα όλων αυτών των μεταβλητών. Έτσι γράφουμε: Όπου μια τυχαία μεταβλητή Poisson και Μπορούμε να φτιάξουμε την συνάρτηση πιθανότητας σαν το γινόμενο πιθανοτήτων όλων των μεταβλητών Poisson : Παίρνοντας τον αλγόριθμο αυτής της συνάρτησης πιθανότητας έχουμε: To δεύτερο άθροισμα δεν περιέχει παραμέτρους προς εκτίμηση, άρα μπορεί να παραμεριστεί χωρίς να αλλάξει το πρόβλημα μέγιστης πιθανότητας σε άλλο. Για να βρούμε την λύση μέγιστης πιθανότητας των, θα μεγιστοποιήσουμε λοιπόν την παρακάτω αντικειμενική συνάρτηση: Αντικατάσταση της μεταβλητής 50
Η παραπάνω αντικειμενική συνάρτηση περιέχει τυχαίες μεταβλητές. Αντικαθιστούμε την κάθε μεταβλητή με την αναμενόμενη τιμή της χρησιμοποιώντας τη μέτρηση και την τρέχουσα εκτίμηση των παραμέτρων. Οπότε έχουμε: Τώρα η αντικειμενική συνάρτηση μας είναι: Μεγιστοποίηση Προκειμένου να μεγιστοποιήσουμε τη νέα αυτή αντικειμενική συνάρτηση, παίρνουμε τις παραγώγους ως προς τις παραμέτρους εκτίμησης και θα τις εξισώσουμε με το μηδέν. Έτσι έχουμε: Λύνοντας ως προς, έχουμε τον αλγόριθμο ML-EM: 51
Μπορούμε επίσης να γράψουμε τον αλγόριθμο ML-EM σε αθροιστική μορφή παρόμοια με έναν αλγόριθμο καθοδικής κλίσης: Το βήμα του αλγορίθμου και η διασπορά θορύβου αντίστοιχα είναι: 52
2.6 - ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΟS-EM Στη μέθοδο αλγεβρικής ανακατασκευής (ART), η εικόνα ανανεώνεται αφού μία ακτίνα προβολής ληφθεί υπ όψιν. Από την άλλη, έχουμε τον αλγόριθμο καθοδικής κλίσης και τον ML-EM, όπου η εικόνα ανανεώνεται μόνο όταν όλες οι ακτίνες προβολής ληφθούν υπ όψιν. Ένας τρόπος να επιταχύνουμε το ρυθμό σύγκλισης είναι να ανανεώνουμε την εικόνα συχνότερα. Σε ένα αλγόριθμο τύπου OS-EM (Ordered-Subset Expectation-Maximization), οι όψεις προβολής ομαδοποιούνται σε διαφορετικά σύνολα (υποσύνολα), τα υποσύνολα αυτά σαρώνονται με μια καθορισμένη σειρά, και η εικόνα ανανεώνεται ύστερα από τη σάρωση του κάθε υποσυνόλου. Ένας τρόπος ομαδοποίησης των προβολών φαίνεται παρακάτω, αλλά δεν είναι ο μοναδικός. Σχήμα 21: Ομαδοποίηση συνόλου δεδομένων σε υποσύνολα.[32] 53
Αυξάνοντας τον αριθμό των υποσυνόλων επιταχύνουμε περισσότερο το ρυθμό σύγκλισης του αλγορίθμου, αλλά μπορεί να αυξηθεί ο θόρυβος στην εικόνα. Χονδρικά, αν έχουμε Ν υποσύνολα, έχουμε Ν φορές γρηγορότερη σύγκλιση από έναν κοινό αλγόριθμο ML-EM. Μια επιτάχυνση περίπου 10 φορές είναι δυνατή χωρίς ιδιαίτερη αύξηση θορύβου. Ένας αλγόριθμος OS-EM λαμβάνεται κάνοντας μικρές μεταβολές σε έναν αλγόριθμο ΜΕ-ΕΜ, χρησιμοποιώντας ταξινομημένα υποσύνολα, όπου υποσύνολο προβολών: είναι το k-οστό 54
2.7 - ΘΟΡΥΒΟΣ Σήμερα, πολλοί προτιμούν τις επαναληπτικές μεθόδους ανακατασκευής από τις αναλυτικές, γιατί πολύ απλά οι επαναληπτικές μέθοδοι μπορούν να παράξουν εικόνες με λιγότερο θόρυβο και με την ίδια η καλύτερη ανάλυση. Θα διερευνήσουμε το πως οι δύο μέθοδοι χειρίζονται το θόρυβο. 2.7.1 - ΠΡΩΙΜΗ ΠΑΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να ελέγξουμε το θόρυβο σε έναν επαναληπτικό αλγόριθμο ανακατασκευής. Αρχικά θεωρούμε ένα βασικό μοντέλο διάδοσης του θορύβου ενός γραμμικού επαναληπτικού αλγορίθμου: Όπου είναι το μέτρο του θορύβου στην ανακατασκευασμένη εικόνα, ο θόρυβος στις προβολές, και η συνάρτηση μεταφοράς του αλγορίθμου η οποία εξαρτάται από τη συχνότητα ω και τον αριθμό επανάληψης n. Μπορούμε να συγκρίνουμε έναν επαναληπτικό αλγόριθμο ανακατασκευής με μια λύση ψευδό-αντίστροφου πίνακα SVD. Η περιέχει τις πληροφορίες των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα Α. Οι συνιστώσες συχνότητας βρίσκονται στις ιδιοτιμές. Καθώς ο αριθμός επανάληψης n αυξάνεται, περισσότερα ιδιοδιανύσματα εντάσσονται στην. Ο αριθμός επανάληψης κατά κάποιο τρόπο συνδέεται με τον δείκτη αποκοπής (cut-off) του στον ψευδό-αντίστροφο πίνακα SVD. Όταν ο αριθμός 55
επανάληψης είναι μεγάλος, η περιέχει συνιστώσες σε υψηλές συχνότητες. Σε μερικούς γραμμικούς αλγορίθμους, αυτή η σχέση μπορεί να γραφεί ως Όπου κ είναι ο λόγος μεταξύ της μεγαλύτερης ιδιοτιμής και τις ιδιοτιμής αποκοπής. Αυτή η έκφραση είναι λογική γιατί οι χειρότερες επιπτώσεις του θορύβου προέρχονται απο συχνότητες που αντιστοιχούν στην ελάχιστη ιδιοτιμή. Στην μέθοδο ψευδό-αντίστροφου πίνακα SVD, η ανακατασκευασμένη εικόνα είναι το άθροισμα πολλών όρων. Κάθε όρος είναι παράγωγο ενός ιδιοδιανύσματος και ο αντίστροφος τις αντίστοιχης ιδιοτιμής 1/σ. Το μεγαλύτερο μέρος προέρχεται από το, το οποίο αντιστοιχεί σε ιδιοτιμή με υψηλές συχνότητες. Βλέπουμε ότι καθώς ο αριθμός επανάληψης αυξάνεται, το φίλτρο παραθύρου μεγαλώνει, οπότε ένας τρόπος να ελέγξουμε το θόρυβο είναι να σταματίσουμε νωρίς. Αυτή είναι και η απλούστερη μέθοδο ελέγχου του θορύβου σε επαναληπτικούς αλγορίθμους. Ωστόσο, οι επαναληπτικοί αλγόριθμοι δεν έχουν σταθερό ρυθμό σύγκλισης. Αν σταματήσουμε νωρίς, δεν θα έχουμε ομοιόμορφη επίλυση της ανακατασκευής. Ένας τρόπος να το αποφύγουμε αυτό είναι να μη σταματήσουμε νωρίς, και να εφαρμόσουμε ένα φίλτρο στο τέλος για να μειώσουμε το θόρυβο. 2.7.2 - ΕΠΙΛΟΓΗ PIXEL Ένας δεύτερος τρόπος να ελέγξουμε το θόρυβο είναι να μειώσουμε τα σφάλματα στα δεδομένα. Αυτή η προσέγγιση κανονικοποίησης εφαρμόζεται αποκλειστικά στις επαναληπτικές μεθόδους ανακατασκευής. Τα σφάλματα μεταξύ των προβολών P και 56
του μοντέλου AX,, αποτελείται απο 2 μέρη: τα ντετερμινιστικά και τα τυχαία σφάλματα. Τα ντετερμινιστικά σφάλματα παράγονται από το μη ιδεατό μοντέλο του συστήματος ΑΧ. Κατ αρχήν, διακριτοποιώντας τη συνεχή εικόνα σε pixel μπορεί να προκαλέσει σφάλματα. Επίσης υπάρχει και ο παράγοντας του μεγέθους του κάθε pixel. Αν επιλέξουμε μικρότερο μέγεθος pixel έχουμε ένα πιο ακριβές μοντέλο αλλά αυξάνουμε το πλήθος των αγνώστων που πρέπει να βρούμε. Μεγαλύτερα pixel κάνουν την εικόνα λιγότερο ακριβή, αλλά οι λιγότεροι άγνωστοι που πρέπει να επιλυθούν κάνουν το σύστημα σταθερότερο. Το να χρησιμοποιήσουμε μη επικαλυπτόμενα και ομοιόμορφα pixel (ή voxel) για να μοντελοποιήσουμε μια εικόνα δεν είναι η καλύτερη προσέγγιση γιατί ένα μοντέλο εικόνας περιέχει ασυνέχειες και εισάγει πολλές τεχνητές συνιστώσες υψηλών συχνοτήτων στην εικόνα. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε επικαλυπτόμενα pixel, τα οποία λέγονται blobs, και έτσι να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα, λόγω του πιο ρεαλιστικού μοντέλου εικόνας. Ένα μειονέκτημα των blobs αν χρησιμοποιηθούν σαν voxel είναι η αυξημένη υπολογιστική ισχύς που απαιτείται. Μια εναλλακτική στρατηγική είναι να χρησιμοποιήσουμε τα παραδοσιακά μη επικαλυπτόμενα ομοιόμορφα voxel στην εικόνα, αλλά εφαρμόζοντας και ένα χαμηλοπερατό φίλτρο στην backprojected εικόνα. O πυρήνας του αλγορίθμου του χαμηλοπερατού φίλτρου επιλέγεται ως το 3D «προφίλ» των blobs. Με άλλα λόγια, η backprojected εικόνα συνελίσσεται τρισδιάστατα με το blob. 57
Σχήμα 22: Χρησιμοποιώντας επικαλυπτόμενα blobs για να αντικαταστήσουμε τα παραδοσιακά voxels μπορούμε να μοντελοποιήσουμε καλύτερα την εικόνα.[7] Για να κάνουμε το αντίστροφο πρόβλημα πιο σταθερό, μπορούμε να διαλέξουμε μέγεθος pixel μεγαλύτερο από το μέγεθος του κάθε ανιχνευτή. Στην πράξη, είναι καλό να διαλέξουμε μεγάλα μεγέθη συστοιχιών pixel με μικρό μέγεθος ανιχνευτή. Αυτό κάνει μεγάλη διαφορά στον έλεγχο του θορύβου σε έναν επαναληπτικό αλγόριθμο, ειδικά όταν η ανάλυση της εικόνας μοντελοποιείται στον προβολέα/οπισθοπροβολέα. 58
Σχήμα 23: Εδώ βλέπουμε τη διαφορά του να επιλέξουμε μέγεθος ανιχνευτή ίσο ή διπλάσιο με το μέγεθος των pixel. Παρατηρούμε ότι στη δεύτερη περίπτωση έχουμε πολύ καλύτερα αποτελέσματα.[45] 2.7.3 - ΑΚΡΙΒΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Αν μοντελοποιήσουμε τη συνάρτηση διασποράς σημείου, την εξασθένιση που εισάγεται από το σώμα του ασθενή, και την σκέδαση του πίνακα Α θα μειώσει σημαντικά τα ντετερμινιστικά σφάλματα μεταξύ των προβολών P και του μοντέλου ΑΧ. Αν δε μπορούμε να μοντελοποιήσουμε τη φυσική της εικόνας στον πίνακα Α, μπορούμε να θέσουμε βάρη κατά μήκος της γραμμής προβολής μέσα στο pixel που θα χρησιμοποιηθεί για να υπολογίσουμε τα στοιχεία στον πίνακα Α. Η ελευθερία να μοντελοποιήσουμε το σύστημα απεικόνισης με διάφορες γεωμετρίες και νόμους φυσικής είναι το κύριο πλεονέκτημα των επαναληπτικών αλγορίθμων ανακατασκευής. Μπορούμε να ελέγξουμε τα σφάλματα μεταξύ των δεδομένων προβολής και του μοντέλου μέχρι κάποιο βαθμό, ή τουλάχιστον το ντετερμινιστικό κομμάτι τους με ένα καλό σύστημα μοντελοποίησης. Μικρότερα σφάλματα στη μοντελοποίηση σημαίνει και 59
μικρότερα σφάλματα στην εικόνα. Έτσι, μπορούμε να αυξήσουμε τον αριθμό των επαναλήψεων προκειμένου να επιτύχουμε καλύτερη ανάλυση εικόνας διατηρώντας ή και μειώνοντας το θόρυβο. Σχήμα 24: Τεχνική μοντελοποίησης με βάση την απόσταση.[45] Σχήμα 25: Γραμμική μοντελοποίηση βαρών και μοντελοποίηση με βάρη ανά περιοχή.[45] 60
ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΕ ΙΑΤΡΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ Η ακτινοδιαγνωστική συμπεριλαμβάνει τις τεχνικές και διαδικασίες που χρησιμοποιούνται για να δημιουργήσουν εικόνες του ανθρώπινου σώματος (ή συγκεκριμένα μέρη και λειτουργίες του) για κλινικούς σκοπούς (ιατρικές διαδικασίες που επιδιώκουν να αποκαλύψουν, να διαγνώσουν ή να εξετάσουν νοσήματα) ή την ιατρική επιστήμη (συμπεριλαμβανομένης και της μελέτης της φυσιολογικής ανατομίας και φυσιολογίας). Αν και η απεικόνιση οργάνων και ιστών που έχουν αφαιρεθεί μπορεί να γίνει για ιατρικούς λόγους, αυτές οι διαδικασίες συνήθως δεν αναφέρονται ως ιατρικές απεικονίσεις, αλλά αποτελούν μέρος της παθολογίας. Σαν επιστήμη στην ευρύτερη έννοια της, είναι μέρος της βιολογικής απεικόνισης και ενσωματώνει την ακτινολογία, πυρηνική ιατρική, ενδοσκόπηση, ιατρική θερμογραφία, ερευνητικές ακτινολογικές επιστήμες, την ιατρική φωτογραφία και την μικροσκοπία. Κάποιες τεχνικές εγγραφής ιατρικών δεδομένων, που όμως δεν παράγουν εικόνες, όπως το ηλεκτροεγκεφαλογράφημα (EEG), η μαγνητοεγκεφαλογραφία (MEG) και το ηλεκτροκαρδιογράφημα (EKG), μπορούν να θεωρηθούν ως μορφές ιατρικής απεικόνισης, διότι παράγουν δεδομένα τα οποία μπορούν να αναπαρασταθούν ως χάρτες. Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε τι συμβαίνει κατά την τομογραφική ανακατασκευή σε πραγματικά ιατρικά συστήματα απεικόνισης. Αν η ακτινοβολία προέρχεται εκτός του σώματος του ασθενή, το σύστημα απεικόνισης λαμβάνει δεδομένα μετάδοσης (transmission data). Αν η πηγή της ακτινοβολίας βρίσκεται μέσα στο σώμα του ασθενή, 61
το σύστημα λαμβάνει δεδομένα εκπομπής (emission data). Για τις σαρώσεις μετάδοσης, τα δεδομένα που λαμβάνουμε προκειμένου να ανακατασκευάσουμε την εικόνα είναι μια κατανομή με συντελεστές απόσβεσης της ακτινοβολίας που διαπερνάει τον ασθενή σε κάθε σημείο, ενώ για τις σαρώσεις εκπομπής λαμβάνουμε μια κατανομή των ραδιοϊσοτόπων μέσα στο σώμα του ασθενή. Μερικές φορές, στις σαρώσεις εκπομπής, χρησιμοποιούμε και μια επιπρόσθετη σάρωση μετάδοσης προκειμένου να αντισταθμίσουμε τα φαινόμενα απόσβεσης των φωτονίων εκπομπής. Μερικές μέθοδοι αντιστάθμισης της απόσβεσης αναλύονται σε αυτό το κεφάλαιο. 62
3.1 - ΑΞΟΝΙΚΗ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ Διπλωματική Εργασία Κοντάρας Νικόλαος 2012 Στην αξονική τομογραφία έχουμε ανακατασκευή εικόνας μέσω μιας μαθηματικής διαδικασίας η οποία δημιουργεί εικόνες από δεδομένα προβολής ακτινών Χ που λαμβάνονται υπό πολλές διαφορετικές οπτικές γωνίες γύρω από τον ασθενή. Η ανακατασκευή της εικόνας έχει σημαντικές επιπτώσεις στην ποιότητα και συνεπώς και στη δόση της ακτινοβολίας. Για δεδομένη δόση ακτινοβολίας, είναι επιθυμητό να ανακατασκευάσουμε τις εικόνες με το χαμηλότερο δυνατό θόρυβο χωρίς να θυσιάσουμε την ακρίβεια της εικόνας ή την ανάλυση της. Ανακατασκευές που βελτιώνουν την ποιότητα της εικόνας μπορούν να μεταφραστούν σε μείωση της δόσης της ακτινοβολίας, επειδή εικόνες ικανοποιητικής ποιότητας μπορούν να ανακατασκευαστούν με χαμηλότερη δόση. Η αξονική τομογραφία λαμβάνεται με ένα μεγάλο όργανο, που καλείται αξονικός τομογράφος. Ο εξεταζόμενος τοποθετείται σε ύπτια θέση σε ένα κινούμενο κάθισμα το οποίο αργά διέρχεται μέσω μιας κυκλικής τρύπας του μηχανήματος. Αποφεύγεται να ακτινοβοληθούν οι οφθαλμοί, γι 'αυτό και το κεφάλι τοποθετείται με κλίση 15 μοίρες προς τα κάτω. Όση ώρα ο εξεταζόμενος βρίσκεται μέσα στην κυκλική περιοχή ακτινοβολείται με ακτίνες Χ ανά τακτά χρονικά διαστήματα. Με αυτήν τη μέθοδο λαμβάνονται κάθετες λεπτές τομές (μεταξύ 0,6-10 χιλιοστών) του ανθρώπινου σώματος, οι οποίες αποτυπώνονται σε φιλμ και εκτυπώνονται σε ειδικό χαρτί, με χρώμα μαύρο - άσπρο και διαφανές. Οι εικόνες αποθηκεύονται στον υπολογιστή και μπορούν να μεταφερθούν οπουδήποτε. Συνήθως αποθηκεύονται και σε CD που δίδεται στον ασθενή και έτσι μπορεί να γίνει διάγνωση σε οποιονδήποτε άλλον υπολογιστή με τη χρήση κατάλληλων προγραμμάτων. 63
Τα συμπαγή μόρια φαίνονται καλύτερα. Έτσι απεικονίζεται το εσωτερικό του σώματος και επιτρέπεται στον εξεταστή να αναζητήσει βλάβες μέσα στα όργανα ή να εντοπίσει ανωμαλίες σε σημεία που ήταν αδιανόητο να εντοπιστούν με την απλή ακτινογραφία. Σχήμα 26: Αξονική τομογραφία εγκεφάλου.[wikipedia] 3.1.1 - ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ Η αξονική τομογραφία χρησιμοποιεί μετρήσεις μετάδοσης ακτινοβολίας Χ για να υπολογίσει μια τομή μέσα στο σώμα του ασθενή. Η ακτινοβολία Χ έχουν πολύ υψηλή ενέργεια, και είναι ικανή να διεισδύσει στο σώμα του ασθενή. Ωστόσο, δεν διαπερνάει 64
το σώμα το 100% της ακτινοβολίας. Ένα ποσοστό της ακτινοβολίας διασκορπίζεται μέσα στο σώμα, χάνοντας μέρος της ενέργειας της. Κατά τη διάρκεια αυτής της διασποράς, ένα φωτόνιο ακτινών Χ αλληλεπιδρά με ένα ηλεκτρόνιο μέσα στον ασθενή, μεταφέρει μέρος της ενέργειας του σ αυτό, η οποία εκτοπίζει το ηλεκτρόνιο. Η ακτίνα Χ τότε αναπηδά προς μια νέα κατεύθυνση με μειωμένη ενέργεια. Αυτό ονομάζεται σκέδαση Compton και φαίνεται στο Σχήμα 27. Σχήμα 27: To φαινόμενο της σκέδασης Compton.[Wikipedia] Ένα άλλο μέρος της ακτινοβολίας χάνεται εντελώς μέσα στο σώμα, μετατρέποντας την ενέργεια της στους ιστούς του σώματος, για παράδειγμα, μέσω της φωτοηλεκτρικής μετατροπής. Το φωτοηλεκτρικό φαινόμενα είναι μια διαδικασία κατά την οποία η ενέργεια του φωτονίου ακτινών Χ απορροφάται εντελώς από ένα άτομο μέσα στον ασθενή. Η απορροφούμενη ενέργεια εκτινάσσει ένα ηλεκτρόνιο από το άτομο. Παρακάτω βλέπουμε μια σχηματική αναπαράσταση του φωτοηλεκτρικού φαινομένου. 65
Σχήμα 28: Αναπαράσταση φωτοηλεκτρικού φαινομένου[27] Η απόθεση ενέργειας μέσα στο ανθρώπινο σώμα μπορεί να προκαλέσει ζημιά στο DNA εάν η δόση της ακτινοβολίας είναι πολύ υψηλή. Ας υποθέσουμε ότι η ένταση της ακτινοβολίας πριν την είσοδο στο σώμα είναι, και η ένταση κατα την έξοδο. Αυτές οι 2 εντάσεις συνδέονται με τη σχέση: Όπου p είναι το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα των συντελεστών γραμμικής απόσβεσης κατά μήκος του μονοπατιού των ακτινών Χ. Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα αυτό το παίρνουμε από την παρακάτω σχέση, η οποία παρέχεται στον αλγόριθμο ανακατασκευής. Ο στόχος της αξονικής τομογραφίας είναι να κατασκευάσει μία εικόνα με τους διάφορους συντελεστές απόσβεσης μέσα στο σώμα. Ο συντελεστής απόσβεσης (που συμβολίζουμε με μ) είναι ιδιότητα του εκάστοτε υλικού, και είναι ο λογάριθμος της 66
αναλογίας μεταξύ των εντάσεων εισόδου και εξόδου ανά μονάδα μήκους. Τα οστά έχουμε υψηλότερες τιμές μ, ενώ οι μαλακοί ιστοί χαμηλότερες. Ο συντελεστής απόσβεσης ενός υλικού μεταβάλλεται ανάλογα με την ενέργεια της ακτινοβολίας που το διαπερνά, όταν η ενέργεια γίνεται μεγαλύτερη το συντελεστής μ μειώνεται. Ο αξονικός τομογράφος πρώτης γενιάς, ο οποίος πλέον δε χρησιμοποιείται, είχε ένα μικρό ανιχνευτή. Η πηγή των ακτινών Χ και ο ανιχνευτής εκτελούν 2 κινήσεις: παράλληλη μετατόπιση και περιστροφή. Η πηγή στέλνει λεπτές ακτίνες για να λάβει παράλληλες προβολές. Ο χρόνος σάρωσης ήταν αρκετά μεγάλος (περίπου 25 λεπτά). Σχήμα 29: Αξονικός τομογράφος πρώτης γενιάς. Η πηγή ακτινοβολίας Χ και ο ανιχνευτής μπορούν να κινηθούν παράλληλα και να περιστρέφονται.[27] Ο αξονικός τομογράφος δεύτερης γενιάς χρησιμοποιούσε στενή ακτινική γεωμετρία, αποτελούμενη από 12 ανιχνευτές. Όπως και στον αξονικό τομογράφο πρώτης γενιάς, είχαμε 2 ειδών κινήσεις: παράλληλη μετατόπιση και περιστροφή. Εξ αιτίας της ακτινικής σάρωσης, ο χρόνος της διαδικασίας μειώθηκε στο 1 λεπτό. 67
Σχήμα 30: Αξονικός τομογράφος δεύτερης γενιάς. Η πηγή των ακτινών Χ και ο ανιχνευτής κινούνται παράλληλα και περιστρέφονται, ενώ έχουμε στενή ακτινική γεωμετρία σάρωσης.[27] Ο αξονικός τομογράφος τρίτης γενιάς χρησιμοποιεί ακτινική γεωμετρία, αποτελούμενη από περίπου 1000 ανιχνευτές. Εδώ η παράλληλη μετατόπιση δεν είναι απαραίτητη, και ο χρόνος σάρωσης μειώθηκε περαιτέρω στο μισό δευτερόλεπτο. Ο τρίτης γενιάς αξονικός τομογράφος είναι πολύ δημοφιλής στην ιατρική απεικόνιση. Σχήμα 32: Αξονικός τομογράφος τρίτης γενιάς. Η πηγή ακτινοβολίας Χ και ο ανιχνευτής μόνο περιστρέφονται, δεν έχουμε παράλληλη μετατόπιση, ενώ έχουμε ευρεία ακτινική γεωμετρία σάρωσης.[27] 68
Ο αξονικός τομογράφος τέταρτης γενιάς έχει έναν σταθερό δακτυλιοειδή ανιχνευτή. Η πηγή ακτινοβολίας Χ περιστρέφεται γύρω από τον ασθενή. Η μέθοδος σάρωσης δημιουργεί μια πολύ γρήγορη ακτινική γεωμετρία. Ωστόσο, είναι αδύνατον να ευθυγραμμίσουμε τις ακτίνες Χ με τον ανιχνευτή, και έτσι αυτή η γεωμετρία υποφέρει από υψηλά ποσά σκέδασης. Σχήμα 33: Αξονικός τομογράφος τέταρτης γενιάς. Ο δακτυλιοειδής ανιχνευτής δεν κινείται, ενώ η πηγή περιστρέφεται γύρω από τον ασθενή.[27] Σύγχρονοι αξονικοί τομογράφοι εκτελούν ελικοειδείς σαρώσεις, οι οποίες υλοποιούνται με σάρωση παράλληλα στο κρεβάτι που κείται ο ασθενής, καθώς περιστρέφεται γύρω του η πηγή ακτινών Χ και οι ανιχνευτές. Ο σύγχρονος αξονικός τομογράφος έχει έναν 2D ανιχνευτή πολλαπλών σειρών, και λαμβάνει δεδομένα κωνικής προβολής. 69
Σχήμα 34: Σύγχρονος αξονικός τομογράφος. Χρησιμοποιεί ελικοειδείς κωνικές σαρώσεις με έναν 2D ανιχνευτή. Μερικά συστήματα έχουν πολλαπλές πηγές ακτινοβολίας και ανιχνευτές. Η τροχιά της ελικοειδούς σάρωσης υλοποιείται με παράλληλη κίνηση στο κρεβάτι καθώς η πηγή και ο ανιχνευτής περιστρέφονται.[27] 3.1.2 - ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΙΚΟΝΑΣ Όπως έχουμε δει, δύο μεγάλες κατηγορίες μέθοδοι επίλυσης του προβλήματος υπάρχουν, η αναλυτική ανακατασκευή και η επαναληπτική ανακατασκευή. Οι μέθοδοι που βασίζονται σε filtered backprojection (FBP) είναι ένας τύπος της αναλυτικής ανακατασκευής που σήμερα χρησιμοποιείται ευρέως στους αξονικού τομογράφους κλινικών, λόγω της υπολογιστικής απόδοσης τους και της αριθμητικής σταθερότητας τους. Πολλές μέθοδοι βασισμένες στο FBP έχουν αναπτυχθεί για τις διάφορες γεωμετρίες με τις οποίες οι αξονικοί τομογράφοι λαμβάνουν τα δεδομένα τους, από την αξονική τομογραφία παράλληλου άξονα των δεκαετιών του 1970 και 1980 μέχρι τη σημερινή πολυεπίπεδη ελικοειδή αξονική τομογραφία και την αξονική τομογραφία κωνικής ακτίνας με ανιχνευτές ευρέων περιοχών. Ο αλγόριθμος της ανακατασκευής είναι μια από τις σημαντικότερες παραμέτρους που επηρεάζουν την ποιότητα της εικόνας. Γενικά, υπάρχει μια αντίστροφη σχέση μεταξύ χωρικής ανάλυσης και θορύβου. 70
Η επιλογή του αλγορίθμου ανακατασκευής βασίζεται σε συγκεκριμένες κλινικές εφαρμογές. Παραδείγματος χάριν, «ομαλοί» αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται συνήθως στις εξετάσεις του εγκεφάλου ή εκτίμηση του όγκου του ήπατος με σκοπό τη μείωση του θορύβου και τη βελτίωση της ανιχνευσιμότητας χαμηλής αντίθεσης στην εικόνα. Η δόση της ακτινοβολίας που συνδέεται με αυτές τις εξετάσεις είναι συνήθως υψηλότερη από ότι για άλλες εξετάσεις, λόγω της εγγενούς χαμηλότερης αντίθεσης μεταξύ των ιστών. Από την άλλη πλευρά, πιο «απότομοι» αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται συνήθως στις εξετάσεις για την αξιολόγηση οστικών δομών, λόγω της κλινικής απαίτησης για υψηλότερες χωρικές αναλύσεις. Χαμηλότερη δόση ακτινοβολίας μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε αυτές τις εξετάσεις, λόγω της εγγενούς υψηλής αντίθεσης των οστικών δομών. Μια άλλη σημαντική παράμετρος στην ανακατασκευή της εικόνας είναι το πάχος της τομής, το οποίο ελέγχει τη χωρική ανάλυση κατά μήκος της εικόνας, η οποία επηρεάζει τις σχέσεις μεταξύ ανάλυσης, θορύβου και ακτινοβολίας. Έτσι πρέπει για κάθε κλινική εφαρμογή να επιλέγονται κατάλληλα το πάχος της τομής και ο πυρήνας ανακατασκευής, έτσι ώστε η δόση ακτινοβολίας να μπορεί να ελαχιστοποιηθεί συμβαδίζοντας πάντα με την ποιότητα εικόνας που απαιτείται για την εξέταση. Εκτός από τους συμβατικούς πυρήνες που εφαρμόζονται κατά τη διάρκεια της ανακατασκευής της εικόνας, χρησιμοποιούνται και διάφορες τεχνικές μείωσης του θορύβου, οι οποίες εφαρμόζονται πάνω στην εικόνα. Πολλές από τις μεθόδους αυτές περιλαμβάνουν μη γραμμικά de-noising φίλτρα, μερικά από τα οποία έχουν συγχωνευτεί με τους πυρήνες ανακατασκευής, προς ευκολία του χρήστη. Σε μερικές εφαρμογές, οι μέθοδοι αυτοί αποδίδουν αρκετά καλά στη μείωση του θορύβου της εικόνας, διατηρώντας παράλληλα υψηλή αντίθεση ανάλυσης. Εάν εφαρμοστούν πάρα πολύ επιθετικά όμως, τείνουν να αλλάξουν την υφή του θορύβου και να θυσιάσουν την ανιχνευσιμότητα χαμηλής αντίθεσης στην εικόνα. Ως εκ τούτου, η προσεκτική 71
αξιολόγηση των εν λόγω φίλτρων πρέπει να γίνεται πάντα πριν από κάθε ευρείας κλίμακας κλινική χρήση. Η μέθοδος της επαναληπτικής ανακατασκευής έχει έλθει πρόσφατα στο επίκεντρο του ενδιαφέροντος στην αξονική τομογραφία, διότι έχει πολλά πλεονεκτήματα σε σύγκριση με τις συμβατικές τεχνικές FBP (Filtered Backprojection). Σημαντικοί φυσικοί παράγοντες όπως το σημείο εστίασης, η γεωμετρία του ανιχνευτή, η στατιστική φωτονίων, το φάσμα των ακτινών Χ και η σκέδαση μπορούν να ενσωματωθούν με ακρίβεια στη διαδικασία της επαναληπτικής ανακατασκευής, έχοντας ως αποτέλεσμα χαμηλότερο θόρυβο στην εικόνα και υψηλότερη χωρική ανάλυση σε σύγκριση με τις τεχνικές FBP. Επιπλέον, η επαναληπτική ανακατασκευή μπορεί να μειώσει παράσιτα, όπως τα φαινόμενα της σκλήρυνσης της ακτίνας, του ανεμόμυλου, και τα μεταλλικά παράσιτα. Η υψηλή πολυπλοκότητα υπολογισμού ήταν πάντα η μεγαλύτερη πρόκληση για τη μέθοδο της επαναληπτικής ανακατασκευής αυτό έχει εμποδίσει τη χρήση της στους αξονικούς τομογράφους κλινικών. Ωστόσο ερευνώνται διάφορες software αλλά και hardware μέθοδοι με σκοπό την επιτάχυνση της διαδικασίας. Με την περαιτέρω πρόοδο στην υπολογιστική τεχνολογία, η επαναληπτική ανακατασκευή μπορεί να ενσωματωθεί στην καθημερινή κλινική πράξη στο μέλλον. Πλεονεκτήματα Πολύ καλή απεικόνιση δομών υψηλής πυκνότητας. Μειονεκτήματα Ο εξεταζόμενος ακτινοβολείται με μεγάλη ποσότητα ιονίζουσας ακτινοβολίας. 72
Ένα πολύ μικρό ποσοστό ανθρώπων εμφανίζει αλλεργία στην σκιαγραφική ουσία. Η εικόνα είναι σχετικά «άκαμπτη», αφού η μέγιστη κλίση λήψης που επιτυγχάνεται είναι 30 μοίρες. Δεν έχουμε καλή απεικόνιση των μαλακών ιστών. 73
3.2 - ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΙΑΤΡΙΚΗ Διπλωματική Εργασία Κοντάρας Νικόλαος 2012 Η πυρηνική ιατρική είναι η ιατρική ειδικότητα που αφορά την εφαρμογή ραδιενεργών ουσιών στη διάγνωση και θεραπεία διαφόρων νοσημάτων. Στις διαδικασίες πυρηνικής ιατρικής, ραδιενεργά ισότοπα (ή αλλιώς ραδιοϊσότοπα) συνδυάζονται με άλλα στοιχεία σχηματίζοντας χημικές ενώσεις, ή σε άλλες περιπτώσεις με ήδη υπάρχουσες φαρμακευτικές ενώσεις, με σκοπό το σχηματισμό ραδιοφαρμάκων. Τα ραδιοφάρμακα, όταν χορηγηθούν στον ασθενή, εντοπίζονται σε συγκεκριμένα όργανα ή κυτταρικούς υποδοχείς. Αυτή η ιδιότητα των ραδιοφαρμάκων δίνει στην πυρηνική ιατρική την ικανότητα να απεικονίζει την έκταση μιας νόσου στο σώμα του ασθενή, βασισμένη κυρίως στην κυτταρική λειτουργία και φυσιολογία, και όχι σε αλλαγές στην ανατομία των ιστών. Σε ορισμένες ασθένειες η μέθοδος αυτή μπορεί να εντοπίσει ιατρικά προβλήματα νωρίτερα από άλλες διαγνωστικές εξετάσεις. Στο μέλλον, η πυρηνική ιατρική μπορεί να δώσει νέα ώθηση στην μοριακή ιατρική. Καθώς η κατανόηση μας των βιολογικών διεργασιών στα κύτταρα του ζωντανού οργανισμού επεκτείνεται, ανιχνευτές μπορούν να αναπτυχθούν για να επιτρέπουν την απεικόνιση, το χαρακτηρισμό και την ποσοτικοποίηση των βιολογικών διαδικασιών σε κυτταρικό και υποκυτταρικό επίπεδο. 3.2.1 - ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ ΕΚΠΟΜΠΗΣ ΠΟΖΙΤΡΟΝΙΟΥ (PET) Η τομογραφία εκπομπής ποζιτρονίου είναι και αυτή μια τεχνική απεικόνισης πυρηνικής ιατρικής, η οποία παράγει μια 3D εικόνα ή μια εικόνα λειτουργικών διεργασιών του σώματος. Το σύστημα ανιχνεύει τα ζευγάρια των ακτινών γάμμα που εκπέμπονται έμμεσα από ένα ποζιτρόνιο που εκπέμπεται από το ραδιοϊσότοπο, το 74
οποίο εισάγεται στο σώμα σε ένα βιολογικά ενεργό μόριο. Κατόπιν, τρισδιάστατες εικόνες της συγκέντρωσης του ραδιοϊσοτόπου μέσα στο σώμα κατασκευάζονται με τη βοήθεια ανάλυσης σε υπολογιστή. Σε σύγχρονους σαρωτές, η τρισδιάστατη απεικόνιση συχνά επιτυγχάνεται με τη βοήθεια μιας αξονικής τομογραφίας που πραγματοποιείται ταυτόχρονα στον ασθενή. Εάν το βιολογικά ενεργό μόριο που επιλέγεται για τη διάγνωση είναι το FDG (Fludeoxyglucose), το οποίο είναι ένα ανάλογο της γλυκόζης, οι συγκεντρώσεις του δείχνουν την μεταβολική δραστηριότητα του ασθενή, όσον αφορά την περιφερειακή πρόσληψη γλυκόζης. Η χρήση αυτού του ραδιοϊσοτόπου είναι η πιο συχνή στην μέθοδο αυτή, καθώς μπορεί να διερευνήσει μεταστάσεις του καρκίνου, αλλά χρησιμοποιούνται και άλλες ουσίες για διαφορετικές διαγνωστικές εξετάσεις. Σχήμα 37: Παράδειγμα τομογραφίας PET.[Wikipedia] 3.2.1.1 - ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ 75
Για τη διεξαγωγή της σάρωσης, ένα βραχύβιο ραδιενεργό ισότοπο (ιχνηθέτης) εισέρχεται στη κυκλοφορία αίματος του ασθενή. Ο ιχνηθέτης είναι ενσωματωμένος με ένα βιολογικά ενεργό μόριο, όπως αναφέραμε προηγουμένως. Υπάρχει μια περίοδος αναμονής μέχρι η ουσία να συγκεντρωθεί στους ιστούς που μας ενδιαφέρει, όποτε μετά ο ασθενής τοποθετείται στον σαρωτή απεικόνισης. Ο χρόνος αναμονής για το FDG, που όπως είπαμε είναι η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη ουσία, είναι 1 ώρα περίπου. Κατά τη διάρκεια της σάρωσης καταγράφουμε τις συγκεντρώσεις της ουσίας στους διάφορους ιστούς καθώς ο ιχνηθέτης διασπάται. Σχήμα 38: Αρχή λειτουργίας τομογραφίας εκπομπής ποζιτρονίου (PET).[19] Καθώς ο ιχνηθέτης υφίσταται διάσπαση εκπομπής ποζιτρονίων (επίσης γνωστή ως θετική βήτα διάσπαση), εκπέμπει ένα ποζιτρόνιο, ένα σωματίδιο αντιύλης το οποίο έχει φορτίο ίσο και αντίθετο με του ηλεκτρονίου. Το εκπεμπόμενο ποζιτρόνιο διανύει στον ιστό μια μικρή απόσταση (συνήθως μικρότερη από 1mm, αλλά εξαρτάται από το ραδιοϊσότοπο), και καθώς κινείται χάνει κινητική ενέργεια, μέχρι να επιβραδυνθεί σε 76
σημείο που να μπορεί να αλληλεπιδράσει με ένα ηλεκτρόνιο. Ως γνωστόν, κατά τη σύγκρουση του ποζιτρονίου με το ηλεκτρόνιο εξαϋλώνονται και τα δύο σωματίδια, και παράγεται ένα ζεύγος φωτονίων ακτινοβολίας γάμμα, τα οποία κινούνται σε περίπου αντίθετες κατευθύνσεις. Τα φωτόνια ανιχνεύονται όταν φτάσουν κάποιον σπινθηριστή στη συσκευή σάρωσης, προκαλώντας μια έκρηξη φωτός που ανιχνεύεται από φωτοπολλαπλασιαστικούς σωλήνες ή φωτοδιόδους χιονοστιβάδας πυριτίου. Η τεχνική βασίζεται στην ταυτόχρονη ανίχνευση του ζεύγους φωτονίων. Φωτόνια που δεν ανιχνεύονται μαζί με κάποιο άλλο ταυτόχρονα (σε ένα χρονικό παράθυρο της τάξης των nanosecond, αγνοούνται. Σχήμα 39: Περιγραφή συστήματος τομογραφίας PET.[Wikipedia] 77
Μέθοδος εύρεσης του σημείου εξαΰλωσης ποζιτρονίου Το σημαντικότερο αποτέλεσμα της εξαΰλωσης είναι η δημιουργία δύο φωτονίων ακτινών γάμμα ενέργειας 511 kev τα οποία εκπέμπονται με γωνία σχεδόν 180 μοιρών μεταξύ τους. Ως εκ τούτου, είναι δυνατόν να εντοπιστεί η πηγή τους κατά μήκος της ευθείας γραμμής που ενώνει τις θέσεις όπου προσπίπτουν τα 2 φωτόνια (η γραμμή αυτή ονομάζεται και γραμμή απόκρισης). Στην πράξη, επειδή η γωνία μεταξύ των τροχιών δεν είναι ακριβώς 180 μοίρες, η γραμμή απόκρισης έχει πεπερασμένο πάχος. Εάν ο χρόνος ανάλυσης των ανιχνευτών είναι μικρότερος από 500 picosecond αντί για 10 nanosecond, είναι δυνατό να περιορίσουμε το γεγονός σε ένα τμήμα μια χορδής, του οποίου το μήκος καθορίζεται από το πόσο υψηλή χρονική ανάλυση έχει ο ανιχνευτής. Καθώς η χρονική ανάλυση βελτιώνεται, ο σηματοθορυβικός λόγος (SNR) της εικόνας βελτιώνεται, απαιτώντας λιγότερα γεγονότα εξαΰλωσης για να επιτευχθεί η ίδια ποιότητα εικόνας. Αυτή η τεχνολογία δεν είναι ακόμα κοινή, αλλά είναι διαθέσιμη σε ορισμένα νέα συστήματα. Σχήμα 40: Ανιχνευτές PET τομογράφου.[wikipedia] 3.2.1.2 - ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΙΚΟΝΑΣ 78
Τα ανεπεξέργαστα δεδομένα που συλλέγονται από το σαρωτή του Τομογράφου Εκπομπής Ποζιτρονίου είναι μια λίστα από «γεγονότα πρόσπτωσης» τα οποία αντιπροσωπεύουν σχεδόν ταυτόχρονες (μέσα σε ένα παράθυρο 6 με 12 nanosecond) προσπτώσεις ζευγών φωτονίων σε δύο ανιχνευτές του τομογράφου. Κάθε γεγονός πρόσπτωσης συνδέει με μια γραμμή τους δύο ανιχνευτές κατά μήκος της οποίας συνέβη το γεγονός. Σύγχρονα συστήματα με μεγαλύτερη χρονική ανάλυση (περίπου 3 nanosecond) μπορούν να υπολογίσουν με μεγαλύτερη ακρίβεια τη χρονική διαφορά μεταξύ της ανίχνευσης των δύο φωτονίων και έτσι να περιορίσουν το σημείο προέλευσης της σύγκρουσης σε ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους περίπου 10cm πάνω στη γραμμή απόκρισης. Τα γεγονότα πρόσπτωσης μπορούν να ομαδοποιηθούν σε εικόνες προβολής, που ονομάζονται ημιτονογράμματα. Τα ημιτονογράμματα είναι παρόμοια με αυτά που λαμβάνονται κατά την αξονική τομογραφία, και μπορούν να ανακατασκευαστούν με παρόμοιο τρόπο. Ωστόσο, τα στατιστικά δεδομένα εδώ είναι πολύ χειρότερα από τομογραφίες τύπο μετάδοσης (όπως η αξονική). Ένα σύνηθες σύνολο δεδομένων για μια εξέταση Τομογραφίας Εκπομπής Ποζιτρονίου περιέχει εκατομμύρια στοιχεία, ενώ σε μια αξονική τομογραφία μερικά δισεκατομμύρια. Ως εκ τούτου, τα δεδομένα υποφέρουν από διασπορά και τυχαία γεγονότα πολύ περισσότερο. Στην πράξη, απαιτείται σημαντική προεπεξεργασία των δεδομένων: διόρθωση τυχαίων προσπτώσεων, εκτίμηση και αφαίρεση των διασπαρμένων φωτονίων, διόρθωση του νεκρού χρόνου του ανιχνευτή (μετά την ανίχνευση ενός φωτονίου, ο ανιχνευτής πρέπει να «κρυώσει» πάλι) και διόρθωση ευαισθησίας του ανιχνευτή (τόσο την εγγενή ευαισθησία του ανιχνευτή όσο και μεταβολές στην ευαισθησία λόγω της γωνίας πρόσπτωσης). Μέθοδοι αναλυτικής ανακατασκευής, και συγκεκριμένα η μέθοδος Filtered Backprojection έχει χρησιμοποιηθεί συχνά για την ανακατασκευή των δεδομένων από τις προβολές. Ο αλγόριθμος αυτός έχει το πλεονέκτημα ότι είναι απλός και έχει 79
χαμηλές απαιτήσεις σε υπολογιστικούς πόρους. Ωστόσο ο ηλεκτρονικός θόρυβος που προκαλείται από διακοπτόμενους παλμούς (ή αλλιώς shot noise ή θόρυβος βολής) στα δεδομένα είναι εμφανής στις ανακατασκευασμένες εικόνες και περιοχές με υψηλή ποσότητα ιχνηθέτη τείνουν να σχηματίζουν ραβδώσεις κατά μήκος της εικόνας. Επίσης, η μέθοδος FBP χειρίζεται τα δεδομένα ντετερμινιστικά, δεν λαμβάνει υπ όψη την εγγενή τυχαιότητα των δεδομένων, και έτσι απαιτεί τις διάφορες διαδικασίες προεπεξεργασίας που αναφέρθηκαν παραπάνω. Μέθοδοι επαναληπτικής ανακατασκευής, είναι αυτές που προτιμώνται σήμερα για την ανακατασκευή των εικόνων τομογραφίας εκπομπής ποζιτρονίου. Αυτοί οι αλγόριθμοι υπολογίζουν μια εκτίμηση της πιθανής κατανομής των γεγονότων εξαΰλωσης που οδήγησαν στα δεδομένα που λάβαμε, βασισμένοι σε αρχές στατιστικής θεωρίας. Το πλεονέκτημα εδώ είναι λιγότερος θόρυβος και αντίσταση στις ραβδώσεις που εμφανίζονται με την FBP μέθοδο, και μειονέκτημα είναι η μεγαλύτερες απαιτήσεις σε υπολογιστική ισχύ. Διόρθωση εξασθένισης: Εξασθένιση συμβαίνει όταν τα φωτόνια που εκπέμπονται από το ραδιοϊσότοπο που βρίσκεται στο σώμα του ασθενή απορροφώνται από ιστούς μεταξύ της θέσης εκπομπής του φωτονίου και του ανιχνευτή. Καθώς διαφορετικές γραμμές απόκρισης έχουν διαφορετικά μήκη, οι αποστάσεις που πρέπει να διανύσουν τα φωτόνια διαφέρουν, οπότε έχουμε άνισες εξασθενίσεις. Το αποτέλεσμα είναι ότι δομές που βρίσκονται βαθύτερα στο σώμα ανακατασκευάζονται σαν να είχαν χαμηλότερη απορρόφηση ραδιοϊσοτόπου. Σύγχρονοι σαρωτές μπορούν να εκτιμήσουν την εξασθένιση χρησιμοποιώντας ενσωματωμένο αξονικό τομογράφο, ωστόσο παλαιότεροι τομογράφοι εκπομπής ποζιτρονίου παρείχαν μια πιο πρόχειρη μορφή «αξονικής τομογραφίας» χρησιμοποιώντας μια πηγή γάμμα ακτινοβολίας και τους ανιχνευτές του τομογράφου. Ενώ οι εικόνες με διόρθωση εξασθένισης είναι γενικά πιο πιστές αναπαραστάσεις, η διαδικασία της διόρθωσης είναι η ίδια ευπαθής σε σημαντικά είδωλα θορύβου 80
(artifacts). Έτσι, και οι δύο εικόνες (με και χωρίς διόρθωση εξασθένισης) ανακατασκευάζονται και διαβάζονται παράλληλα. Ανακατασκευή 2D/3D: Πρώιμοι τομογράφοι εκπομπής ποζιτρονίου είχαν μόνο ένα δακτύλιο ανιχνευτών, και έτσι η λήψη των δεδομένων και η επικείμενη ανακατασκευή εικόνας περιοριζόταν σε ένα μόνο εγκάρσιο επίπεδο. Πιο σύγχρονοι σαρωτές περιλαμβάνουν πλέον πολλούς δακτυλίους, ουσιαστικά σχηματίζοντας ένα κύλινδρο από ανιχνευτές. Υπάρχουν δύο προσεγγίσεις στην ανακατασκευή των δεδομένων στους τομογράφους με πολλούς δακτυλίους: 1) 2D ανακατασκευή: Αντιμετωπίζουμε τον κάθε δακτύλιο σαν ξεχωριστή συσκευή. Έτσι, μόνο προσπτώσεις μέσα σε ένα δακτύλιο ανιχνεύονται, και η εικόνα από τον κάθε δακτύλιο ανακατασκευάζεται ξεχωριστά. 2) 3D ανακατασκευή: Επιτρέπουμε ανιχνεύσεις μεταξύ διαφορετικών δακτυλίων, και ανακατασκευάζουμε όλα τα μας τα δεδομένα σε μια συνολική 3D ανακατασκευή. Οι τεχνικές 3D ανακατασκευής έχουν καλύτερη ευαισθησία (διότι μεγαλύτερος αριθμός εξαϋλώσεων μπορεί να ανιχνευτεί και επομένως να χρησιμοποιηθεί), οπότε έχουμε και λιγότερο θόρυβο, αλλά ταυτόχρονα είναι πιο ευπαθείς στις επιδράσεις λόγω διασποράς και τυχαίων προσπτώσεων, και επίσης είναι προφανές ότι απαιτούν μεγαλύτερη υπολογιστική ισχύ. Η έλευση των ανιχνευτών χρονικής ανάλυσης κάτω του 1 nanosecond (sub-nanosecond detectors) προσφέρει καλύτερη απόρριψη τυχαίων προσπτώσεων, ευνοώντας έτσι τις μεθόδους 3D ανακατασκευής. 3.2.2 - ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ ΕΚΠΟΜΠΗΣ ΦΩΤΟΝΙΩΝ (SPECT) 81
Η τομογραφία εκπομπής φωτονίων είναι παρόμοια με την τομογραφία PET, και είναι μια τεχνική απεικόνισης που χρησιμοποιεί ακτίνες γάμμα και παράγει πραγματικά 3D δεδομένα. Αυτά τα δεδομένα συνήθως παρουσιάζονται υπό μορφή τομών (φετών), αλλά μπορούμε να τις μεταχειριστούμε όπως αλλιώς θέλουμε ανάλογα με τις απαιτήσεις. Η μέθοδος αυτή απαιτεί επίσης τη χρήση ραδιοϊσοτόπου, το οποίο εισέρχεται ενδοφλεβίως στο σώμα του ασθενή. Ανά περίσταση, το ραδιοϊσότοπο αυτό είναι ένα απλό διαλυτό ιόν, όπως το ραδιοϊσότοπο του γαλλίου, το οποίο επίσης τυχαίνει να έχει χημικές ιδιότητες οι οποίες του επιτρέπουν να εμφανίζεται σε συγκεντρωμένες μορφές που εμφανίζουν ενδιαφέρον για την ανίχνευση ασθενειών. Ο κύριος σκοπός της μεθόδου αυτής είναι να χαρτογραφήσει τον τρόπο με τον οποίο το αίμα κυκλοφορεί μέσα από αρτηρίες και φλέβες στον εγκέφαλο. Δοκιμές έχουν δείξει ότι ίσως η SPECT είναι πιο ευαίσθητη από την μαγνητική ή αξονική τομογραφία διότι μπορεί να ανιχνεύσει μειωμένη ροή αίματος σε τραυματισμένες περιοχές. Η μεγαλύτερη διαφορά ως προς τη διαγνωστική ικανότητα της μεθόδου σε σχέση με την PET είναι ότι το ραδιοϊσότοπο στην SPECT παραμένει στην κυκλοφορία του αίματος, ενώ στην PET απορροφάται από περιβάλλοντες ιστούς και έτσι η διάγνωση στην SPECT περιορίζεται μόνο σε περιοχές όπου έχουμε ροή αίματος. H τομογραφία SPECT είναι επίσης φθηνότερη και ευκολότερα διαθέσιμη. 82
Σχήμα 35: Τομογραφίες εγκεφάλου SPECT.[Wikipedia] 3.2.2.1 ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ Η απεικόνιση στην μέθοδο αυτή γίνεται επίσης με τη χρήση κάμερας ακτινών γάμμα η οποία λαμβάνει πολλαπλές 2D εικόνες, από διάφορες γωνίες. Στη συνέχεια ακολουθείται από τη διαδικασία της τομογραφικής ανακατασκευής, δίνοντας μια 3D αναπαράσταση. Αυτά τα 3D δεδομένα μπορούμε να τα χειριστούμε αναλόγως ώστε να πάρουμε λεπτές τομές κατά μήκος οποιουδήποτε άξονα θέλουμε. Εδώ η διαφορά από την τομογραφία PET είναι ότι η ακτινοβολία γάμμα εκπέμπεται και μετράται κατ ευθείαν, ενώ στην PET έχουμε εκπομπή ποζιτρονίου που διασπάται σε 2 φωτόνια. Πιο συγκεκριμένα, η κάμερα ακτινών γάμμα περιστρέφεται γύρω από τον ασθενή. Λαμβάνονται προβολές σε διαστήματα συνήθως 3 μέχρι 6 μοιρών. Στις περισσότερες περιπτώσεις, εκτελείται σάρωση 360 μοιρών, για βέλτιστη απεικόνιση. Ο χρόνος που απαιτείται για τη λήψη της κάθε προβολής είναι 15 με 20 δευτερόλεπτα, οπότε ο συνολικός χρόνος ανέρχεται στα 15 με 20 λεπτά. Πολλαπλές κάμερες γάμμα μπορούν να μειώσουν τον απαιτούμενο χρόνο, καθώς μπορούν να γίνονται 2 ή περισσότερες λήψεις ταυτόχρονα. 83
3.2.2.2 - ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΙΚΟΝΑΣ Η γεωμετρία απεικόνισης για το SPECT καθορίζεται από τον κατευθυντήρα του τομογράφου, ο οποίος αποτελείται από διαφράγματα μολύβδου έτσι ώστε να επιτρέπει τις ακτίνες γάμμα που κινούνται μόνο προς μία κατεύθυνση και να αποκόπτει τις υπόλοιπες. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε γεωμετρία παράλληλη, ακτινική, κωνική ή pinhole. Συγκλίνουσες γεωμετρίες μεγενθύνουν το αντικείμενο έτσι ώστε μια εικόνα μεγαλύτερη από το αντικείμενο μπορεί να ληφθεί από τον ανιχνευτή. Σχήμα 36: Ο κατευθυντήρας στο SPECT μπορεί να είναι παράλληλος, συγκλίνων ή αποκλίνων, δημιουργώντας διαφορετικά σχηματικά αποτελέσματα.[27] 84
Πλεονεκτήματα Η πυρηνική ιατρική μπορεί να εκτιμήσει την ποιότητα της λειτουργίας ενός οργάνου. Η Τομογραφία Εκπομπής Ποζιτρονίου έχει πολύ καλές διαγνωστικές ικανότητες στον καρκίνο. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι μπορούμε να δούμε τον μεταβολισμό συγκεκριμένων περιοχών του σώματος, και οι καρκινικοί όγκοι συνήθως έχουν υψηλό. Μειονεκτήματα Σε όλες τις μεθόδους έχουμε φυσικά την έκθεση σε ακτινοβολία λόγω των ραδιοφαρμάκων που απαιτούνται για την εξέταση. Οι εικόνες από μεθόδους πυρηνικής ιατρικής δεν έχουν τη δυνατότητα να δείξουν ανατομικές λεπτομέρειες με μεγάλη ακρίβεια. Για αυτό το λόγο έχουμε αρχίσει να συνδυάζουμε μεθόδους, όπως η μέθοδος PET-CT. 85
Σχήμα 41: Στην πάνω σειρά έχουμε αξονική τομογραφία, στην μεσαία σειρά SPECT, και στην τελευταία συνδυασμό των δύο.[wikipedia] 86