ЕЛЕКТРОТЕХНИКA ПРИРУЧНИК ЗА ВЕЖБЕ НА РАЧУНАРУ ПРВО ИЗДАЊЕ

Мр Александра Гавриловић Ива Ђукић Дејан Тодоровић ЕЛЕКТРОТЕХНИКA ПРИРУЧНИК ЗА ВЕЖБЕ НА РАЧУНАРУ ПРВО ИЗДАЊЕ ВИСОКА ШКОЛА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ И РАЧУНАРСТВА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА БЕОГРАД, 0.

Рецензенти: Др Петар Бошњаковић Професор Високе школе електротехнике и рачунарства струковних студија Мр Соња Крстић Професор Високе школе електротехнике и рачунарства струковних студија Издавач Висока школа електротехнике и рачунарства струковних студија, Београд, Војводе Степе 83 За издавача Мр Драгољуб Мартиновић, директор Лектор Анђелка Ковачевић Обрада и припрема текста: Ива Ђукић Корице Владимир Церић Наставно веће Више електротехничке школе у Београду, на седници одржаној 30..005. године, одобрило је издавање и примену овог Приручника у настави. CIP Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 6.3.0 (075.8) (076) 004.4 ELECTONICS WOKBENCH (075.8) (076) ГАВРИЛОВИЋ, Александра, 950- Електротехника : приручник за вежбе на рачунару / Александра Гавриловић, Ива Ђукић, Дејан Тодоровић.-. изд.. Београд : Висока школа електротехнике и рачунарства струковних студија, 0 (Београд : МСТ Гајић). 3 стр. : илустр.; 9 cm Тираж 00. Библиографија: стр. 3. ISBN 978-86-798-40-9. Ђукић, Ива, 977 [аутор]. Тодоровић, Дејан, 97 - [аутор] а) Електрична кола - Вежбе б) Апликативни програм Electronics Workbench Вежбе COBISS.S-ID 940705

Приручник за вежбе на рачунару намењен је за извођење вежби из предмета Основи електротехнике на Вишој електротехничкој школи у Београду. Лабораторијске вежбе су реализоване у виду одговарајућих вежби на рачунару, тако да се у оквиру сваке вежбе врши симулација мерења на рачунару. Вежбе се изводе у програмском пакету Electronics Workbench (EWB) који служи за симулацију аналогних и дигиталних електричних кола. Приручник садржи девет вежби. Аутор првих седам вежби је мр Александра Гавриловић, аутор осме вежбе Ива Ђукић, а девете Дејан Тодоровић. Прва вежба садржи упутство за коришћење програмског пакета EWB. Све остале вежбе садрже теоријски увод који се односи на физичке величине и законе који се у оквиру сваке вежбе одређују или проверавају - прво се врши прорачун одговарајућих величина, а затим се симулацијом на рачунару одређују тражене величине. На крају Приручника дата су тест питања за сваку вежбу. Пре сваке вежбе студенти морају да положе улазни тест на рачунару који представља комбинацију питања која су дата у Приручнику. Надамо се да ће овакав начин рада олакшати студентима да савладају наставу из предмета Основи електротехнике. Захваљујемо колегама др Петру Бошњаковићу и мр Соњи Крстић, професорима Више електротехничке школе у Београду, на сугестијама које су допринеле квалитету Приручника. У Београду, 5. октобра 004. године Аутори

ВЕЖБЕ ИЗ ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ студент бр.индекса вежба број датум оцена са теста оцена са вежбе прегледао 3 4 5 6 7 8 9 датум одбране оцена са теста оцена са вежбе oцена са одбране УКУПНА ОЦЕНА оценио

С а д р ж а ј. Увод у Electronics Workbench (EWB). Омов закон 3. Кирхофови закони 9 4. Теорема суперпозиције 5 5. Тевененова теорема 3 6. Отпорник, кондензатор и калем у електричним колима са простопериодичним струјама 4 7. Импеданса редне везе отпорника, калема и кондензатора 5 8. Адмитанса паралелне везе отпорника, калема и кондензатора 59 9. Резонантна кола 69 Тест питања 8 Литература 3

. УВОД У ELECTONICS WOKBENCH (EWB) ЦИЉ ВЕЖБЕ Ø Стицање основних практичних знања у вези са применом програма Electronics Workbench (EWB) у Основама електротехнике.

.. ТЕОРИЈСКА ОСНОВА Electronics Workbench (EWB) је програмски пакет који ради у Windows окружењу а служи за симулацију рада аналогних и дигиталних електронских кола. Намењен је пројектантима електронских уређаја за симулацију рада електронских кола и склопова. На тај начин омогућено је уочавање евентуалних грешака и њихово исправљање пре израде, односно пре започињања процеса производње. Tиме се смањују трошкови, а време потребно за развој и освајање производње нових уређаја скраћује. Програм EWB 5 омогућава упознавање студената електротехнике са: начином повезивања мерних инструмената, поступцима одређивања вредности физичких величина (као што су напон и струја) у електричним колима и применом теорема и основних закона у електротехници при анализи електричних кола.... ПОКРЕТАЊЕ ПРОГРАМА Постоје два основна начина за покретање ( стартовање ) програма у Windows окружењу: притиском (click) на леви тастер миша када је показивач (cursor) постављен на икону у доњем десном углу екрана (линија послова, Task bar). (Start Programs Ewb5 Wewb3 ) или коришћењем пречице (shortcut), двоструким притиском (double click) на леви тастер миша када је показивач постављен на икону на радној површини (Desktop). Након покретања програма EWB 5 на екрану се појављује прозор приказан на слици... линија менија стандардна линија радна област линија наслова линија алатки Слика.. Изглед основног прозора

... ГЛАВНИ ПРОЗОР Главни прозор програма EWB садржи: линију наслова (Tittle bar) која представља поље у горњем делу екрана и садржи назив програма,, и дугмад за минимизирање (Minimize), максимизирање (Maximize) и затварање (Close Window) приказа, ; линију менија (Menu bar) са основним скуповима команди за рад са датотекама које програм EWB користи, стандардну линију (Standard bar) са основним командама (иконама) за рад са датотекама (фајловима), као у осталим Windows апликацијама, као и са иконама које се користе приликом цртања електричне шеме, линију алатки (Tool bar) са тастерима за избор елемената кола: извори напајања (Sources), основни елементи (Basic), диоде (Diodes), транзистори (Transistors), индикатори (Indicators) и инструменти (Instruments), радну област (circuit window) у којој се црта шема кола које се симулира. Слично као код већине програма који раде у Windows окружењу, када се показивач миша постави на одређену икону, појављује се текст који објашњава функцију те иконе...3. ЛИНИЈА МЕНИЈА Сваки мени је падајућа листа која садржи скуп одређених команди. Постављањем показивача миша на неки од менија он добија изглед тастера. Притиском левог тастера миша на тај тастер долази до измене приказа одговарајућег дела линије менија, отвара се падајућа листа са командама а одговарајући мени тада добија изглед притиснутог тастера. Активирање жељене падајуће листе може се остварити и коришћењем тастатуре рачунара: истовременим притиском на тастер ALT и слово које је подвучено у ознаци менија (на пример, истовременим притиском на ALT и F добија се падајући мени као на страни 4). 3

Команда File омогућава рад са датотекама. Одговарајућа падајућа листа садржи опције за отварање нове (New) или постојеће датотеке (Open...), меморисање (уписивање на диск) датотеке са текућим (Save) или новим (Save As...) називом, штампање (Print...) и затварање радног прозора (Exit). Напомена: Пре затварања радног прозора обавезно сачувајте електричну шему!..4. СТАНДАРДНА ЛИНИЈА Стандардна линија (Standard bar) садржи: иконе основних операција за рад са датотекама (New, Open, Save, Print) и иконе за рад са елементима (Cut, Copy, Paste, otate, Flip Horizontal, Flip Vertical ). Команда шеме. Напомена: (New - нова датотека) отвара прозор за цртање електричне Новој датотеци обавезно дајте име! На линији менија притисните на мени File, затим притисните на опцију Save As. Појављује се дијалог-прозор (dialog box) као на слици. Са тастатуре укуцајте име датотеке (фајла) у пољу file name (нпр. kolo ). Пошто смо дали име датотеци kolo, све остале измене у овој датотеци (тј. снимљеној електричној шеми), снимамо помоћу команде Save или једноставно притиском на истоимену икону. Датотеке снимљене у EWB-у имају екстензију.ewb. Командом (otate) врши се обртање означеног елемента (отпорник, кондензатор, калем и сл.) или мерног инструмента (амперметар, волтметар) за 90 у смеру казаљке на сату. Вишеструком ротацијом може се означени елемент (инструмент) поставити у одговарајући положај. 4 Напомена: Прво треба извршити ротацију елемената, а затим њихово повезивање у електричној шеми! Команда (Flip Horizontal) означено коло или елемент ротира по хоризонтали (пресликавање као у огледалу по хоризонтали).

Команда (Flip Vertical) означено коло или елемент ротира по вертикали (пресликавање као у огледалу по вертикали)...5. ЛИНИЈА АЛАТКИ Са линије алатки у вежбама из Основа електротехнике се користе:..5.. Извори напајања Уземљење маса (Ground) представља референтну тачку за све потенцијале у електричној шеми. Уколико изоставите уземљење у електричној шеми, након стартовања симулације мерења може се јавити грешка. Батерија (Battery) представља извор једносмерног напона (вредности се задају у јединицама које могу бити у опсегу од µv до kv). Струјни генератор (Current Source) представља извор једносмерне струје (вредности се задају у јединицама које могу бити у опсегу од µа до ka). Напонски генератор (Voltage Source) представља извор простопериодичног (наизменичног) напона (вредности се задају у јединицама које могу бити у опсегу од µv до kv)...5.. Основни (Basic) елементи Отпорник (esistor) представља пасивни елемент чији је карактеристични параметар отпoрност. Кондензатор (Capacitor) представља пасивни елемент чији је карактеристични параметар капацитивност C. Калем (Inductor) параметар индуктивност L. представља пасивни елемент чији је карактеристични..5.3. Индикатори 5

Индикатори су елементи којима се симулира мерење или остварује приказ стања у колу. Индикатори који се користе у вежбама из Основа електротехнике су инструмент за мерење напона (волтметар) и инструмент за мерење струје (амперметар). Волтметар (Voltmeter) омогућава одређивање вредности једносмерног или наизменичног напона између појединих тачака у колу. Да би одабрали жељени режим рада двапут притисните леви тастер миша (double click) када је његов показивач постављен на волтметар. Ако одаберете наизменични режим рада, волтметар ће показивати ефективну вредност напона. Волтметар је при том подешен да има врло велику унутрашњу отпорност ( МΩ) и практично не утиче на коло. Тамнији крај волтметра је негативан. Напомена: Волтметар се повезује паралелно у односу на тачке у електричном колу где мерите напон! Амперметар (Ammeter) служи за мерење једносмерне или наизменичне струје у колу. Да би одабрали жељени режим рада двапут притисните леви тастер миша (double click) када је његов показивач постављен на амперметар. Ако одаберете наизменични режим рада, амперметар ће показивати ефективну вредност струје. Амперметар је при том подешен да има веома малу унутрашњу отпорност ( mω) и заправо не утиче на коло. Тамнији крај амперметра је негативан. Напомена: Амперметар се повезује редно у грани електричног кола у којој мерите струју! Индикатор се помоћу иконе otate ( или: притиском на десни тастер миша када је његов показивач постављен на индикатор otate) доводи у одговарајући положај...5.4. Инструменти 6

Инструменти који се користе у вежбама из Основа електротехнике су: - двоканални осцилоскоп (Oscilloscope). Подешавање размере приказа врши се за сваки канaл посебно; - мултиметар (Multimeter), и то у функцији омметра...6. ПОСТАВЉАЊЕ ЕЛЕМЕНАТА Сви елементи и мерни инструменти постављају се у радну област превлачењем одговарајућег симбола са линије алатки са притиснутим левим тастером миша. Овај поступак превлачења назива се drag & drop. Може се превући онолико елемената колико је потребно...7. БРИСАЊЕ ЕЛЕМЕНТА Брисање елемената може се остварити на два начина. Први начин: притисните на леви тастер миша када је његов показивач постављен на изабрани елемент или мерни инструмент. Изабрани објекат постаје црвен. На тастатури притисните Delete. Други начин: - притиском на десни тастер миша када је његов показивач постављен на елемент или мерни инструмент који желите да обришете, отвориће се дијалог-прозор као на слици. У оба случаја јавља се упозорење да ће елемент бити обрисан. Доведите показивач миша на дугме Yes и притисните тастер...8. ПРОМЕНА КАРАКТЕРИСТИКА На следећој слици приказан је дијалог-прозор за промену карактеристика елемента. 7

Притиском на десни тастер миша када је његов показивач постављен на одговарајући елемент отвара се дијалог-прозор. Изглед дијалог-прозора када је укључена картица Label и када је укључена картица Value приказан је на слици. Напомена: За промену ознаке користи се картица Label, а за промену вредности изабраног елемента користи се картица Value... ПОСТУПАК ЦРТАЊА КОЛА Нацртати коло као на слици... Слика..... УНОШЕЊЕ ЕЛЕМЕНАТА Са линије алатки изабрати елементе које треба унети у радну област. Поступком drag & drop унети два отпорника. Основна вредност отпорности, (коју програм нуди у прозору за дефинисање карактеристика отпорника), је kω. На једном отпорнику, помоћу картице Value, вредност отпорности од kω променити на kω, а помоћу картице Label унети ознаку, како је приказано на слици...... ПОВЕЗИВАЊА ЕЛЕМЕНАТА На сликама..,..3 и..4 приказан је начин повезивања елемената. Поставите показивач миша на крај отпорника. Када се појави карактеристична (црна) тачка притисните леви тастер миша (слика..). Држећи притиснут леви тастер миша спојите крајеве отпорника и. (слика..3). Поставите извор електромоторне силе Е на радну површину и повежите на исти начин (слика..4). 8

Слика.. Слика..3 Слика..4 Поставите амперметар на радну површину и ротирајте амперметар у одговарајући положај. Затим индикатор превуците на грану поред отпорника. Амперметар ће се редно повезати у грани електричне шеме у коју га поставите. Уколико се кроз амперметар види грана на коју је постављен, то је знак да амперметар није повезан. То ћете проверити тако што ћете пробати да амперметар померите. Напомена: У случају да је било који елемент или мерни инструмент привидно спојен у електричној шеми јавиће се грешка при симулацији мерења. После повезивања елемената у електричној шеми команда за започињање симулације издаје се постављањем прекидача у положај..3. ЗАДАТАК Нацртати коло приказано на слици.3.. Слика.3. Након цртања шеме, пре него што се укључи симулација, треба подесити карактеристике волтметра и осцилоскопа. 9

Волтметар треба подесити тако да мери једносмерни напон. Поставити показивач миша на волтметар. Притиском на десни тастер миша отвориће се дијалог-прозор, како је приказано на слици.3.. Подесити параметре волтметра као на датој слици. Слика.3. Осцилоскоп подесити према слици.3.3. Слика.3.3 Притиском на дугме Expand добија се увећана слика екрана осцилоскопа, на којој се могу извршити сва потребна очитавања, као што је приказано на слици.3.4. Слика.3.4 0

. ОМОВ ЗАКОН Georg Simon Ohm 787-854 ЦИЉ ВЕЖБЕ Ø Симулацијом на рачунару студенти треба да се упознају са принципима мерења основних физичких величина у електротехници: електричне струје и електричног напона, што је примарни циљ ове вежбе. Такође, овом вежбом треба да се провери један од основних закона у електротехници - Омов закон.

.. ТЕОРИЈСКА ОСНОВА Омов закон је један од најраније откривених експерименталних закона у електротехници који се односи на стационарне електричне струје у проводницима. Експеримент показује да је код многих проводника, посебно код метала, када се температура одржава сталном, јачина електричне струје директно пропорционална напону: I = G U. Ова релација представља Омов закон. Величина G, која има улогу константе пропорционалности, у овом закону представља електричну проводност проводника. Реципрочна вредност електричне проводности представља електричну отпорност: =. G Помоћу електричне отпорности Омов закон се може изразити у облику у коме се најчешће даје. Јачина електричне струје у проводнику директно је пропорционална напону на његовим крајевима, а обрнуто пропорционална његовој отпорности: U I =. U I Еквивалентни облици Омовог закона су: U U = I и =. I Омов закон примењује се на ону врсту проводника код којих, при сталној температури, однос U/I, односно отпорност- не зависи од јачине електричне струје. Такви проводници називају се линеарни проводници. Јединица за електричну отпорност је Ω (ом). Отпорност од једног ома има онај проводник код кога јачина струје од једног ампера ствара потенцијалну разлику на његовим крaјевима од једног волта. Једница за електричну проводност је S (сименс), S = Ω. Када се температура проводника одржава сталном отпорност зависи од облика и димензија проводника, као и од врсте материјала од кога је направљен. За жичане проводнике од хомогеног материјала и константног попречног пресека, експериментално је одређена релација помоћу које се одређује отпорност: l = ρ, S где је l дужина проводника, S површина попречног пресека проводника, а ρ специфична електрична опорност која зависи од природе материјала од кога је направљен проводник и система јединица. Јединица специфичне електричне отпорности је Ωm. Реципрочна вредност специфичне електричне отпорности је специфична електрична проводност:

γ =, ρ чија је јединица S/m. Специфична електрична отпорност већине метала, по правилу, расте са температуром. За мањи опсег температура вредност ρ може се одредити из релације: ρ = ρ [ α 0 0 ( θ θ 0 ], где су ρ i ρ 0 вредности специфичне електричне отпорности на температурама θ и θ 0, респективно, а α 0 температурни коефицијент (специфичне) отпорности. Температура се даје у степенима целзијусовим. θ 0 је, најчешће, или собна температура или 0 0 C. У простом колу које се састоји из више генератора и више отпорника јачина струје у колу може се одредити из Омовог закона за просто коло. Јачина електричне струје у простом колу једнака је количнику из алгебарског збира електромоторних сила и укупне отпорности у колу: ± E I =. Електромоторне силе (емс) сабирају се према референтном смеру електричне струје. Ако се смер електромоторне силе поклапа са смером струје емс се узима са позитивним предзнаком, уколико је смер супротан емс се узима са негативним предзнаком. За коло приказано на слици јачина струје у колу је: I = ± E E E =. E I E Омов закон је директна последица закона о одржању енергије, односно снаге, у колу. Снага свих генератора мора бити једнака снази свих пријемника у колу. Снага генератора електромоторне силе Е у коме постоји стална електрична струја јачине I, када су усклађени референтни смерови за струју и емс, је: P g = EI. А I E B Када су реферeнтни смерови електромоторне силе и струје кроз генератор супротни (случај неусклађених референтних смерова) снага генератора I је негативна и тада се генератор понаша као пријемник са електромоторном силом Е: А B Pg = EI. E 3

Снагу претварања електричне енергије у топлоту одређује Џулов закон: U P = UI = I =. Напон између две тачке А и B у колу, који је такође последица закона о одржању енергије, одређује се из релације: U AB = B A ( I, E). Референтни смер према коме се алгебарски сабирају чланови I (напони на отпорницима) и електромоторне силе Е је од тачке А до тачке B. Уколико се смер струје поклапа са смером кретања по одсечку (од А до B) члан I се узима са знаком плус. Ако је смер струје супротан члан I се узима са негативним знаком. Када се смер електромоторне силе поклапа са смером кретања по одсечку та електромоторна сила се узима са знаком минус. Када је смер емс супротан од смера кретања по одсечку та емс се узима са позитивним знаком. Напон не зависи од путање по којој се одређује већ само од положаја тачака А и B. За коло приказано на слици напон између тачака A и B је: U U AB AB B = ( I, E ) = E A = I E I. 3 3 4 I E I ;.. ПРОВЕРА ОМОВОГ ЗАКОНА а) За просто коло приказано на слици.. рачунским путем одредити јачину струје у колу и напон на отпорнику. E g Бројне вредности: Е = V; g = 0, Ω; = 5,8 Ω. Слика... б) За коло приказано на слици.. рачунским путем одредити вредност јачине струје у колу, и напон између тачака А и B. 4

Бројне вредности: Слика.. Е = Е = Е 4 = V; Е 3 = 4 V; = 6 Ω; = 5,6 Ω; g = g = g3 = g4 = 0, Ω. в) Проверити теорему о одржању снаге за коло приказано на слици...... ПРОРАЧУН а) На основу Омовог закона за просто коло, према задатим бројним вредностима и усвојеним референтним смером струје, слика..3, јачина струје у колу је: E I g U Слика..3 I = E g = =. Напон на крајевима отпорника, пошто су усклађени референтни смерови за струју и напон, је: U = I = =. б) Јачина струје у колу, на основу Омовог закона за просто коло и усвојеним референтним смером струје, је: E E A ± E I = = = = g E g3 3 E 4 =. I B g Слика..4 g4 Напон U AB је: U = B AB ( I, E) = = A = =. в) Снага свих генератора у колу, у односу на усвојени референтни смер струје, је: P E = =. 5

Снага Џулових губитака свих отпорника у колу је: P = =. Проверити теорему о одржању снаге у колу: P E = = P =..3. АНАЛИЗА КОЛА ПРИМЕНОМ РАЧУНАРА а) Симулирати на рачунару коло као на слици.3.. Слика.3. Мењањем отпорности променљивог отпорника, према Омовом закону, мења се и јачина струје у колу: E I =. Изабрати вредности електромоторне силе Е = V и унутрашње отпорности g = Ω и мењањем вредности отпорности (0 Ω, 0 Ω, 30 Ω, 40 Ω, 50 Ω,...) променљивог отпорника измерити јачину струје у колу за сваку вредност отпорности. Упоредити измерене вредности са вредностима добијеним рачунским путем на основу горње релације. Добијене резултате средити табеларно. g (Ω) I(A) измерене вредности I(A) израчунате вредности б) Симулирати на рачунару коло као на слици.3.. Изабрати вредности параметара кола: Е = Е = Е 4 = V; Е 3 = 4 V; = 6 Ω; = 5,6 Ω; g = g = g3 = g4 = 0, Ω. 6

А B Слика.3. Амперметром измерити јачину струје у колу, а волтметром измерити напон између тачака А и В. Упоредити измерене вредности са вредностима добијеним рачунским путем. Резултате приказати табеларно. I(A) измерена вредност I(A) израчуната вредност U AB (V) измерена вредност U AB (V) израчуната вредност 7

3. КИРХОФОВИ ЗАКОНИ Gustav Kirchoff 84-887 ЦИЉ ВЕЖБЕ Ø Симулацијом на рачунару студенти треба да провере први и други Кирхофов закон који представљају основу за анализу електричних мрежа.

3.. ТЕОРИЈСКА ОСНОВА Први и други Кирхофов закон спадају у основне законе електротехнике на којима се заснивају методе за решавање електричних мрежа. Први Кирхофов закон представља једначину континуитета примењену на случај стационарног струјног поља. Једначина континуитета је, у суштини, математички исказ закона о одржању количине електрицитета. Први Кирхофов закон гласи: Алгебарски збир јачина струја у проводницима, који се сустичу у једном чвору електричне мреже, једнак је нули: n k= I = 0. k I I I 3 I 4 При томе се jaчине струја, чији су референтни смерови од чвора, узимају са позитивним предзнаком, а јачине струја, чији су референтни смерови ка чвору, узимају са негативним предзнаком. Други Кирхофов закон је директна последица конзервативног карактера стационарног електричног поља, односно закона о одржању енергије. Примењује се на произвољан затворен пут у електричној мрежи и гласи: 4 E 4 Алгебарски збир напона дуж било ког затвореног пута у електричној мрежи једнак је нули: ( j, j I j ) = 0 позатвореномпуту S E. 5 6 I 5 I 6 I 4 I I 3 3 E E У односу на произвољно изабран референтни смер обиласка по затвореном путу (контури) електромоторне силе (емс), чији се смер поклапа са смером кретања по затвореном путу, узимају се са позитивним предзнаком. Електромоторне силе, чији је смер супротан од смера кретања по затвореном путу, узимају се са негативним предзнаком. Члан I се узима са позитивним предзнаком ако се референтни смер струје поклапа са смером кретања по затвореном путу (у изразу за II Кирхофов закон је - I ). Ако је референтни смер струје супротан од смера кретања дуж контуре члан I се узима са негативним предзнаком (у изразу за II Кирхофов закон је I). На основу Омовог закона и првог Кирхофовог закона изведене су формуле за еквивалентну отпорност редне и паралелне везе отпорника. 0

=... e 3 n =... e 3 n 3.. ПРИМЕНА КИРХОФОВИХ ЗАКОНА За коло приказано на слици 3.. рачунским путем одредити вредности јачина струја у свим гранама, и напона између означених тачака (А, B, C, D и F). Бројне вредности: Е 3... ПРОРАЧУН F А 5 D 4 6 Слика 3.. B C 3 Е = V; = kω; = 4 kω; 3 =, kω 4 = kω; 5 = 6 = kω а) На основу задатих вредности отпорности, могу се израчунати еквивалентне отпорности између појединих тачака у посматраном колу (слика 3..). AB А AB B А B Е 3 Е AF 56 3 F FC C F 5 D 6 C Е А AF 4 FC Слика 3.. F

AB = = 56 = FC = AF = =, =, =, =. а) На основу израчунате вредности укупне еквивалентне отпорности посматраног кола може се одредити вредност јачине струје I (слика 3..3), а потом, користећи резултате претходног прорачуна, вредности напона између назначених тачака кола. На основу добијених вредности израчунавају се јачине струја у појединим гранама кола. I I А B I = U AB = =, =, U BC = =, Е F 5 I D 6 C 3 I 56 I 3 U CF= I = I = =, =, =, I 3 = =, I 56 = =, 4 I 4 = =. I 4 Слика 3..3 3... ПРОВЕРА а) Применити први Кирхофов закон за чворове B и C. Чвор B: Чвор C: б) Применити други Кирхофов закон за затворене путеве F-D-C-F и A-B-C-D-F-A. Пут F-D-C-F: Пут A-B-C-D-F-A:

3.3. АНАЛИЗА КОЛА ПРИМЕНОМ РАЧУНАРА а) Симулирати на рачунару коло као на слици 3.3. и измерити јачине струја у гранама кола. Е А I E А 5 D 6 А А А А I B I 3 I I 5 I 4 C А 3 амперметар I =, I =, I 3 =, I 4 =, I 5 =, 4 Слика 3.3. I =. б) Применити први Кирхофов закон за чворове B и C. Чвор B: Чвор C: в) Симулирати на рачунару коло као на слици 3.3. и измерити напоне између назначених тачака кола. V А B волтметар U AB =, Е V V 3 V U BC =, U CD =, F D 5 6 4 C U DF =, U CF =. V Слика 3.3. 3

г) Проверити други Кирхофов закон за затворене путеве F-D-C-F и A-B-C-D-F-A. Пут F-D-C-F: Пут A-B-C-D-F-A: 4

4. ТЕОРЕМА СУПЕРПОЗИЦИЈЕ a a a E = I S кратак спој I S E прекид b b b ЦИЉ ВЕЖБЕ Ø Циљ ове вежбе је да студенти симулацијом на рачунару провере теорему суперпозиције, која има велики практични значај као ефикасно помоћно средство при решавању проблема анализе и синтезе линеарних електричних мрежа.

4.. ТЕОРИЈСКА ОСНОВА Према теореми суперпозиције јачина струје у било којој грани линеарне електричне мреже једнака је алгебарском збиру јачина струја према истом референтном смеру које би у тој грани постојале када би сваки извор (генератор) деловао појединачно. Принцип суперпозиције је директна последица линеарне зависности јачине струје у гранама мреже од електромоторних сила напонских и струја струјних генератора у мрежи. Када у мрежи делује већи број напонских и идеалних струјних генератора стање у мрежи се може схватити као суперпозиција стања која постоје у мрежи када сваки генератор, или групе генератора, делујe појединачно. Искључивање напонских генератора врши се тако што се поништава дејство њихових електромоторних сила (прикључци извора напона се кратко спајају) а унутрашње отпорности остају. Искључивање идеалних струјних генератора врши се поништавањем њихових струја, односно прекидањем (одстрањивањем) грана у којима се они налазе. Применом теореме суперпозиције решавање електричне мреже своди се на решавање већег броја знатно упрошћених, или чак простих, кола. На слици 4.. приказана је мрежа у којој делује један напонски и један идеални струјни генератор. Применом теореме суперпозиције ова мрежа се своди на два кола, од којих прво представља струјни разделник, а друго просто коло. У првом стању делује само идеални струјни генератор. Напонски генератор је искључен тако што су кратко спојени крајеви електромоторне силе E, док је унутрашња отпорност остала. У другом стању делује само напонски генератор. Деловање струјног генератора поништено је тако што је он искључен из кола, па је та грана прекинута. a a a E = I S кратак спој I S E прекид b b b Слика 4.. Ова теорема се најчешће примењује када треба да се одреди јачина струје у једној грани мреже. Теорема суперпозиције се, на исти начин, може применити и за одређивање напона у колу. 4.. ПРИМЕНА ТЕОРЕМЕ СУПЕРПОЗИЦИЈЕ 6

Применом теореме суперпозиције за коло приказано на слици 4.. одредити јачину струје I. а) Одредити јачину струје Iʹ када у колу делује само напонски генератор Е. б) Одредити јачину струје Iʹ ʹ када у колу делује само напонски генератор Е. в) Одредити јачину струје Iʹ ʹ ʹ када у колу делује само струјни генератор I S. a Бројне вредности: E I 3 E E = 4 V, E = V, I s = 00 ma, I S = 600 Ω, = 400 Ω, b 3 = 300 Ω, = 500 Ω. Слика 4.. а) Када у колу делује само напонски генератор електромоторне силе (емс) E коло је приказано на слици 4...а. Напонски генератор емс E је искључен тако што је његова емс кратко спојена. Струјни генератор јачине струје I s је искључен тако што је извађен из кола. a a I I E 3 кратак спој I E прекид е b а) б) Слика 4.. Јачина струје Iʹ у грани са отпорником отпорности се, на основу Омовог закона, може одредити преко напона U abʹ. ʹ U ab I ʹ =. Напон U abʹ је напон на паралелној вези отпорника отпорности и. Када се ова веза отпорника замени отпорником еквивалентне отпорности: ʹ e = = =, добија се просто коло као на слици 4...б. Јачина струје у овом колу, по Омовом закону, је: b 7

ʹ E I = ʹ e па је напон E( ) = = =, ʹ ʹ ʹ E ab = I = = =. U e Заменом у изразу за јачину струје Iʹ добија се: I ʹ = E = =. б) Када у колу делује само напонски генератор електромоторне силе E коло је приказано на слици 4..3.а. Напонски генератор емс E је искључен тако што је његова емс кратко спојена. Струјни генератор јачине струје I s је искључен тако што је извађен из кола. Јачину струје Iʹ ʹ у грани са отпорником отпорности одредити на исти начин, свођењем на просто коло приказано на слици 4..3.б, као и јачину струје Iʹ у претходном колу. кратак спој I I a 3 I прекид E е a I E e '' = b а) б) Слика 4..3 =, b I '' = =, '' U ab = =. I '' = =. в) Када у колу делује само идеални струјни генератор коло је приказано на слици 4..4.а. Електромоторне силе E и E напонских генератора су кратко 8

спојене. И у овом колу се јачина струје Iʹ ʹ ʹ у грани са отпорником отпорности одређује преко напона на његовим крајевима: U ʹ ʹ ʹ ab I ʹ ʹ ʹ =. Напон U ʹ ʹ ʹ ab је напон на паралелној вези отпорника отпорности, и. Када се ова веза замени отпорником еквивалентне отпорности: = ʹ ʹ ʹ добија се просто коло приказано на слици 4..4.б. кратак спој I a кратак спој =, a I 3 3 I I S е I S b а) б) Слика 4..4 Како је јачина струје у овом колу одређена струјом идеалног струјног генератора I s, напон на отпорнику отпорности ʹ ʹ ʹ (односно напон на паралелној вези отпорника) је: I s Uʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ab = e I s = = =. Јачина струје I ʹ ʹ ʹ је : I s I ʹ ʹ ʹ = = =. 4.3. АНАЛИЗА КОЛА ПРИМЕНОМ РАЧУНАРА а) Симулирати на рачунару коло као на слици 4.3. и измерити јачину струје Iʹ у грани са отпорником отпорности. a b E I Iʹ =. А b Слика 4.3. б) Симулирати на рачунару коло као на слици 4.3. и измерити јачину струје Iʹ ʹ у грани са отпорником отпорности. 9

a I А E Iʹ ʹ =. b Слика 4.3.. в) Симулирати на рачунару коло као на слици 4.3.3 и измерити јачину струје Iʹ ʹ ʹ у грани са отпорником отпорности. a I Iʹ ʹ ʹ =. 3 А I S b Слика 4.3.3 г) Симулирати на рачунару коло као на слици 4.3.4 и измерити јачину струје I у грани са отпорником отпорности. a I E 3 E I =. А I S b Слика 4.3.4 30

5. ТЕВЕНЕНОВА ТЕОРЕМА a a I E E p Е T p T b b ЦИЉ ВЕЖБЕ Циљ ове вежбе је да студенти симулацијом на рачунару примене Тевененову теорему, која има велики практични значај као ефикасно помоћно средство при решавању проблема анализе и синтезе нелинеарних електричних мрежа.

5.. ТЕОРИЈСКА ОСНОВА Према Тевененовој теореми електрична мрежа се у односу на било која два краја, било које две тачке, понаша као еквивалентан напонски - Тевененов генератор. Електромоторна сила - Е Т овог генератора једнака је напону између посматраних тачака кад су те тачке, односно крајеви Тевененовог генератора, отворене (што представља напон празног хода Тевененовог генератора). Унутрашња отпорност - Т овог генератора једнака је еквивалентној отпорности између посматраних тачака, гледано са стране тих тачака, када су сви извори у колу искључени. Извори се искључују тако што се поништава дејство електромоторних сила напонских генератора (кратко се спајају) и струја струјних генератора (струјни извори се искључују), при чему њихове унутрашње отпорности остају у колу. Тевененова теорема се примењује када треба да се одреди јачина струје у једној грани мреже, код решавања електричних мрежа са једним нелинеарним елементом, код прилагођења пријемника по снази у електричној мрежи итд. Применом ове теореме паралелна веза два напонска генератора (слика 5..) може се заменити једним еквивалентним напонским генератором Тевененовим генератором (слика 5..). a a I E E p Е T p T b Слика 5... Слика 5... Коло за одређивање електромоторне силе Тевененовог генератора добија се из кола на слици 5.. када се грана са отпорником отпорности p извади из кола, што је приказано на слици 5..3. Електромоторна сила Е Т једнака је напону a између тачака а и b: E I T U ab E I. Пошто је јачина струје у колу са слике 5..3 E E E E I, тражена електромоторна сила Е Т је: b E E E E ET U ab E. Слика 5..3. Коло за одређивање унутрашње отпорности Тевененовог генератора Т добија се када се сви извори у колу приказаном на слици 5.. искључе и када се грана са отпорником отпорности p извади из кола (слика 5..4). b 3

a b Слика 5..4. Т Напонски генератори су искључени тако што су кратко спојени крајеви електромоторних сила Е и Е, а отпорности су остале. Унутрашња отпорност Тевененовог генератора Т једнака је еквивалентној отпорности између тачака а и b: T ab. Свака паралелна веза два напонска генератора може се заменити еквивалентним напонским генератором (Тевененовим генератором) чије су карактеристике: E T E E, T. Када се одреде параметри Тевененовог генаратора одређује се тражена јачина струје у грани са отпорником отпорности p из еквивалентног кола (слика 5..). Јачина струје према Омовом закону је: I E T T У колу које поред напонских генератора садржи и струјне генераторе, параметри Тевененовог генератора одређују се на исти начин. На слици 5..5 приказано је коло у коме применом Тевененове теореме треба одредити јачину струје у грани са отпорником отпорности p. a. a Е p Е T I p I S T b Слика 5..5. b Слика 5..6. Цело коло између тачака а и b замењено је реалним напонским Тевененовим генератором тако да је добијено просто коло приказано на слици 5..6. 33

Е a b I S Слика 5..7. Електромоторна сила Е Т једнака је напону између тачака а и b када је грана са отпорником отпорности p извађена из кола (слика 5..7). Како је дато коло просто и у њему делује идеални струјни генератор, јачина струје у колу једнака је јачини струје идеалног струјног генератора. Напон U je: ab ET U ab E I s. Отпорност Т Тевененовог генератора одређује се као еквивалентна отпорност између тачака a и b када су сви извори у колу искључени и када је грана са отпорником отпорности p извађена из кола, слика 5..8. a Напонски генератор је искључен тако што су кратко спојени крајеви електромоторне силе Е а унутрашња отпорност је остала. Да би се поништило дејство струјног генератора (да би струја била једнака нули) Т он се вади из кола. Унутрашња отпорност Тевененовог генератора Т једнака је еквивалентној отпорности између тачака а и b: b. T ab Слика 5..8. Отпорник отпорности не утиче на еквивалентну отпорност јер није везан у колу. Када се одреде параметри Тевененовог генаратора одређује се тражена јачина струје у грани са отпорником отпорности p из еквивалентног кола (слика 5..6). Јачина струје према Омовом закону је: ET E I S I. T p p 5.. ПРИМЕНА ТЕВЕНЕНОВЕ ТЕОРЕМЕ 5... ЗАДАТАК У мрежи која садржи само напонске генераторе, приказаној на слици 5.., применом Тевененове теореме, одредити јачину струје у грани са отпорником отпорности. a Бројне вредности: E = V, E = 4 V, E E = 600, = 400, = 40. b Слика 5.. Према Тевененовој теореми, цела мрежа између тачака а и b, може се заменити једним реалним напонским генератором. 34

а) Одређивање електромоторне силе - Е Т Тевененовог генератора Електромоторна сила Тевененовог генератора одређује се тако што се грана са отпорником отпорности ( грана у којој се одређује струја) извади из мреже и одреди напон U аb између тачака а и b. Коло за одређивање Е Т дато је на слици 5...а. Напон U аb, у овом простом колу, је: U b ab ( I, E) E I. a Јачина струје, према усвојеном референтном смеру као на слици 5...а, по Омовом закону је: E E I. Заменом у изразу за напон U аb добија се електромоторна сила Тевененовог генератора: E T U ab E E E E E. a a I E E Т a) b Слика 5.. б) Одређивање унутрашње отпорности - Т Тевененовог генератора Унутрашња отпорност Тевененовог генератора одређује се као еквивалентна отпорност између тачака а и b када се грана са отпорником отпорности извади из мреже, и када се сви извори у мрежи искључе. Електрична мрежа на слици 5.. садржи само напонске генераторе који се искључују тако што им се кратко спаја електромоторна сила. На слици 5...б је приказано коло за одређивање Т. Еквивалентна отпорност између тачака а и b (унутрашња отпорност Тевененовог генератора) је отпорност паралене везе отпорника отпорности и. T ab. Препорука: Поновити поступак одређивања карактеристика Тевененовог генератора када је промењен смер електромоторне силе једног од генератора. b б) 35

в) Еквивалентно коло Када су одређене карактеристике Тевененовог генератора цела мрежа између тачака а и b замењује се овим генератором и прикључује грана са отпорником отпорности, тако да се добије просто коло приказано на слици 5..3. a Јачина струје према Омовом закону и усвојеним референтним смером је: E Т Т b Слика 5..3 I ET I. T г) Симулација на рачунару a E E V Симулирати на рачунару коло приказано на слици 5..4 и измерити волтметром напон између тачака а и b. b Слика 5..4 a Симулирати на рачунару коло приказано на слици 5..5 и омметром измерити отпорност између тачака а и b. T = ab =. b Слика 5..5 I E Т Т a a b Слика 5..6 A Када су одређене карактеристике Тевененовог генератора симулирати еквивалентно коло приказано на слици 5..6. Амперметром измерити јачину струје у колу. I =. 36

Упоредите измерене вредности са рачунски добијеним и попуните табелу. Е Т (V) Т ( ) I(A) измерене вредности израчунате вредности Препорука: Симулирати коло када је промењен смер електромоторне силе једног од генератора и поновити цео поступак. 5... ЗАДАТАК У мрежи која поред напонских генератора садржи и идеални струјни генератор, приказаној на слици 5..7, применом Тевененове теореме, одредити јачину струје у грани са отпорником отпорности. c a Бројни подаци: E = V, E E = 4 V, E I S E 3 = 4 V E 3 I s = 60 ma, 4 3 = 300, 3 = 600, 4 = 500, = 40. b b Слика 5..7 а) Одређивање електромоторне силе - Е Т Тевененовог генератора Да би се одредила електромоторна сила - E T Тевененовог генератора грана са отпорником отпорности вади се из мреже и одређује напон између тачака a и b. Коло за одређивање E T је приказано на слици 5..8. I E c I S 4 b E a b Слика 5..8 I 3 E 3 3 E T E b T U ab ( I, E) E3 3I 3 a Да би се одредио напон U аb мора се одредити јачина струје I 3. Један од начина је непосредна примена Кирхофових закона ( Вежба број 3).. Применом првог Кирхофовог закона на чвор c може се изразити јачина струје I : I I s I 3 0 I I 3 I s.. Други Кирхофов закон примењен на контуру c-а-b-е -c је: 37

E E3 3I 3 I E 0. Заменом израза за јачину струје I у горњој једначини добија се јачина струје I 3. E E E 3 I 3 3 ( I 3 I s ) I 3 E E E 3 I 3 s. Електромоторна сила Тевененовог генератора је: E T U E I ab 3 3 3. б) Одређивање унутрaшње отпорности - Т Тевененовог генератора Унутрашња отпорност Тевененовог генератора одређује се као еквивалентна отпорност између тачака а и b када се грана са отпорником отпорности извади из мреже и када се сви извори у мрежи искључе. Напонски генератори се искључују тако што им се кратко спаја електромоторна сила. Струјни генератори се искључују тако што се ваде из кола. Отпорници редно везани за струјни генератор остају неповезани у пасивној мрежи, тако да не утичу на унутрашњу отпорност Тевененовог генератора. На слици 5..9 приказано је коло за одређивање Т. a 4 3 T Еквивалентна отпорност између тачака а и b (унутрашња отпорност Тевененовог генератора) је отпорност паралелне везе отпорника отпорности и 3 ( слика 5.9). b Слика 5..9 T ab 3 3. в) Еквивалентно коло Када су одређене карактеристике Тевененовог генератора цела мрежа између тачака а и b замењује се овим генератором и прикључује грана са отпорником отпорности, тако да се добије просто коло приказано на слици 5..0. 38

a I E Т Т Јачина струје према Омовом закону и усвојеним референтним смером је: ET I. T b Слика 5..0 г) Симулација на рачунару a E E I S 4 E 3 3 V Симулирати на рачунару коло приказано на слици 5.. и измерити волтметром напон између тачака а и b. U ab =. b Слика 5.. a 4 3 Симулирати на рачунару коло приказано на слици 5.. и омметром измерити отпорност између тачака а и b. T = ab =. b Слика 5.. E Т Т a a I A Када су одређене карактеристике Тевененовог генератора симулирати еквивалентно коло приказано на слици 5..3. Амперметром измерити јачину струје у колу. I =. b Слика 5..3 39

Упоредите измерене вредности са рачунски добијеним и попуните табелу. измерене вредности израчунате вредности Е Т (V) Т ( ) I(A) 40

6. ОТПОРНИК, КОНДЕНЗАТОР И КАЛЕМ У ЕЛЕКТРИЧНИМ КОЛИМА СА ПРОСТОПЕРИОДИЧНИМ СТРУЈАМА ЦИЉ ВЕЖБЕ Ø Циљ ове вежбе је да се студенти упознају са таласним облицима струја и напона у основним колима наизменичне струје.

6.. ОТПОРНИК У КОЛУ ПРОСТОПЕРИОДИЧНЕ СТРУЈЕ 6... ТЕОРИЈСКА ОСНОВА Посматра се идеални отпорник прикључен на простопериодичан напон. Идеални отпорник је отпорник који је окарактерисан само својом отпорношћу. Отпорник је линеаран, што значи да му отпорност, на сталној температури, не зависи од јачине струје и прикљученог напона. Отпорник је прикључен на простопериодичан напон, (слика 6..) тренутне вредности: u( t) = Um sin( ω t θ ) = U sin(π f t θ ), где је U m амплитуда (максимална вредност), U m U - ефективна вредност ( U = ), f фреквенција, ω = π f - кружна учестаност, а θ почетна фаза прикљученог напона. u(t) i(t) Слика 6.. Према Омовом закону, у сваком тренутку напон на крајевима отпорника, када су усклађени референтни смерови за напон и струју као на слици 6.., је сразмеран јачини струје: u(t) = i(t). Јачина струје се, такође, мења по простопериодичном закону, исте кружне учестаности ω, амплитуде I m и почетне фазе ψ: u( t) U m sin( ω t θ ) i( t) = = = I m sin( ω t ψ ). Максимална вредност (амплитуда) напона на крајевима отпорника је: U m = I m. Струја кроз отпорник и напон на његовим крајевима су у фази, односно разлика фаза ϕ између напона и струје у колу једнака је нули: ϕ = θ - ψ = 0. Дијаграм тренутних вредности јачине струје кроз отпорник и напона на његовим крајевима приказан је на слици 6.. а, док је одговарајући фазорски дијаграм приказан на слици 6.. б. u,i θ 0 u (t) π i (t) π ω t I U а) б) Слика 6.. 6... АНАЛИЗА ОТПОРНИЧКОГ РАЗДЕЛНИКА НАПОНА 4

u(t) i(t) u (t) Симулирати на рачунару коло приказано на слици 6..3 и снимити таласне облике напона и струје у колу при побуди простопериодичним сигналом амплитуде 0 V и учестаности 0 khz. = kω, = 9 kω. Резултате анализе приказати на графику 6... Слика 6..3 Израчунати вредност амплитуде напона на отпорнику. U m =. Напомена: u(t) i(t) = 9 k Ω = k Ω u (t) Када се снимају таласни облици струја и напона, пошто је напон на отпорнику сразмеран струји кроз њега, на осцилоскопу треба посматрати напон на улазу кола, односно извору напона u(t) (на једном каналу), и напон на излазу кола, односно отпорнику (на другом каналу), слика 6..4. Слика 6..4 График 6.. Отпорнички разделник Простопериодична побуда f =0 khz, T = ms x (ms/pod) улаз - канал (V/pod) излаз - канал (V/pod) 6.. КОНДЕНЗАТОР У КОЛУ ПРОСТОПЕРИОДИЧНЕ СТРУЈЕ 43

6... ТЕОРИЈСКА ОСНОВА Посматра се идеални кондензатор прикључен на простопериодичан напон. Идеални кондензатор је кондензатор који је окарактерисан само својом капацитивношћу C. Кондензатор је линеаран, што значи да његова капацитивност не зависи од оптерећености и напона. Када је кондензатор прикључен на простопериодичан напон, слика 6.., тренутне вредности: ( t) = U sin( ω t θ ), u m где је U m максимална вредност, ω кружна учестаност, а θ почетна фаза прикљученог напона, оптерећеност кондензатора је: Слика 6.. q = Cu. Јачина струје у колу, када су усклађени референтни смерови за напон и струју као на слици 6.., у сваком тренутку је: dq( t) du( t) π i( t) = = C = ω CU m cos( ωt θ ) = ωcu m sin( ωt θ ). dt dt Јачина струје у колу се такође мења по простопериодичном закону општег облика: i( t) = I m sin( ω t ψ ), где је I m максимална вредност, а ψ почетна фаза струје. Упоређујући ова два израза за струју може се закључити да струја кроз кондензатор предњачи напону на његовим крајевима за π /, тако да је разлика фаза, ϕ, између напона и струје у колу: Максимална вредност напона је: π ϕ = θ ψ =. U m I m =. ωc Однос максималних, односно ефективних, вредности напона и струје: представља реактансу кондензатора. U I m m = U I = = X ωc C u(t) i(t) C 44

Дијаграм тренутних вредности јачине струје кроз кондензатор и напона на њему приказан је на слици 6.. а, док је одговарајући фазорски дијаграм приказан на слици 6.. б. u C u,i i C θ ψ π π ω t а) б) Слика 6.. U C I C 6... АНАЛИЗА КОЛА СА КОНДЕНЗАТОРОМ u(t) C i(t) u C (t) У колу приказаном на слици 6..3 је ефективна вредност прикљученог простопериодичног напона U = 0 V, фреквенција f =,5 khz, отпорност отпорника = 0 Ω и капацитивност кондензатора C = 00 nf. Слика 6..3 а) Одредити рачунским путем реактансу кондензатора. б) Симулацијом посматраног кола и коришћењем амперметра и волтметра, измерити реактансу кондензатора. в) Снимити таласне облике напона на крајевима кондензатора и струје у колу и измерити њихову разлику фаза. Резултате анализе приказати на графику 6... У посматраном колу отпорник је везан на ред са кондензатором да би, посматрањем напона на његовим крајевима, могли да снимамо таласни облик струје (пошто су код отпорника напон и струја у фази). а) Израчунати реактансу кондензатора: X = = = ωc πf C C =. 45

i(t) А u (t) u(t) C V б) Симулирати коло као на слици 6..4. U = 0 V, f =,5 khz, = 0 Ω, C = 00 nf. Слика 6..4 Амперметром измерити ефективну вредност струје у колу, I, волтметром измерити ефективну вредност напона на кондензатору, U, па на основу забележених вредности одредити реактансу кондензатора. U m U X C = = = =. I I m u (t) i(t) u(t) C u C (t) в) Да би се посматрали таласни облици напона и струје прикључује се осцилоскоп. Симулирати коло као на слици 6..5. U = 0 V, f =,5 khz, = 0 Ω, C = 00 nf. Слика 6..5 Снимити таласне облике напона на крајевима кондензатора и струје у колу и одредити њихову разлику фаза. Осцилоскопом се снимају промене напона у зависности од времена. Осцилоскоп програмског пакета ЕWB садржи два маркера, који се могу произвољно поставити на временској оси осцилоскопа. Њихови тренутни положаји, као и временски интервал који ограничавају, могу се прочитати на увећаној слици осцилоскопа. Ови маркери се могу искористити за одређивање фазне разлике између два сигнала (у овом случају фазне разлику између синусоиде која представља напон и синусоиде која представља струју на посматраном елементу). Стога је потребно утврдити везу између прочитаног временског интервала (у секундама) и фазне разлике (у радијанима). Из израза за тренутну вредност простопериодичне величине (напона или струје) у тренуцима t и t: 46

u m ( t) = U sin( ω t θ ) u( t Δt) = U sin( ω ( t Δt) θ ) = U sin( ωt ωδt θ ) m види се да је промена фазе, ω Δt, сразмерна угаоној учестаности ω. Дакле, фазна разлика између две простопериодичне величине (исте учестаности), међусобно померене у времену за временски интевал t, добија се множењем тог временског интервала t и угаоне учестаности ω. Ако су посматране простопериодичне величине напон и струја, тада је фазна разликаизмеђу њих: θ ψ = ϕ = ωδt. Напомена: Према ознакама на слици 6..5 на каналу А осцилоскопа посматра се напон -u (t). Промена смера простопериодичне величине мења почетну фазу те величине за π радијана. m График 6.. Кондензатор у колу простопериодичне струје f =,5 khz, T = ms x (ms/pod) улаз - канал V/pod) излаз - канал (V/pod) ϕ C = ωδt = 6.3. КАЛЕМ У КОЛУ ПРОСТОПЕРИОДИЧНЕ СТРУЈЕ 6.3.. ТЕОРИЈСКА ОСНОВА Посматра се идеални индуктивни елемент (прост калем) прикључен на простопериодичан напон. Прост калем је калем који је окарактерисан само својом индуктивношћу L. Калем је линеаран, што значи да индуктивност калема не зависи од јачине струје ( не садржи феромагнетско језгро). u(t) i(t) L Слика 6.3. Када кроз индуктивни елемент постоји струја чија се јачина мења по простопериодичном закону, слика 6.3., тренутна вредност јачине струје дата је изразом: i( t) = I m sin( ω t ψ ), где је I m максимална вредност а ψ почетна фаза струје. 47

Напон на крајевима овог елемента, када су усклађени референтни смерови за напон и струју, као на слици 6.3., у сваком тренутку према Фарадејевом закону, је: di( t) π u( t) = L = Lω I m cos( ωt ψ ) = ωli m sin( ωt ψ ). d( t) Општи израз по коме се мења тренутна вредност овог напона је: u( t) = U m sin( ω t θ ), где је U m максимална вредност, а θ почетна фаза прикљученог напона. Michael Faraday 79-867 Упоређујући ова два израза за напон може се закључити да напон на крајевима индуктивног елемента предњачи струји кроз њега за π/ тако да је разлика фаза напона и струје: Максимална вредност напона је: π ϕ = θ ψ =. U = ω. m LI m Однос максималних, односно ефективних, вредности напона и струје представља реактансу X L индуктивног елемента: U m U = = ω L = X. L I m I Дијаграм тренутних вредности напона на индуктивном елементу и јачине струје кроз њега дат је на слици 6.3. а, док је њихов фазорски дијаграм дат на слици 6.3. б. u L u,i i L ψ θ π π ω t I L U L а) б) Слика 6.3. 48

6.3.. АНАЛИЗА КОЛА СА КАЛЕМОМ i(t) u(t) L u L (t) У колу приказаном на слици 6.3.3 је ефективна вредност прикљученог простопериодичног напона U = 0 V, фреквенција f =,5 khz, отпорност отпорника = 0 Ω и индуктивност калема L = 0 mh. Слика 6.3.3 а) Одредити рачунским путем реактансу калема. б) Симулацијом посматраног кола и коришћењем амперметра и волтметра, измерити реактансу калема. в) Снимити таласне облике напона на крајевима калема и струје у колу и измерити њихову разлику фаза. Резултате анализе приказати на графику 6.3.. У посматраном колу отпорник је везан на ред са калемом, да би посматрањем напона на његовим крајевима могли да снимамо таласни облик струје (пошто су код отпорника напон и струја у фази). а) Израчунати реактансу калема: X L = ω L = πfl = =. i(t) А u (t) u(t) L V Слика 6.3.4 б) Симулирати коло као на слици 6.3.4. Изабрати ефективну вредност прикљученог простопериодичног напона U = 0 V, фреквенцију f =,5 khz, отпорност отпорника = 0 Ω и индуктивност калема L = 0 mh. Амперметром измерити ефективну вредност струје у колу, волтметром измерити ефективну вредност напона на калему, па на основу забележених вредности одредити реактансу калема. U m U X L = = = =. I I m 49

u (t) i(t) u(t) L u L (t) в) Да би се посматрали таласни облици напона и стује прикључује се осцилоскоп. Симулирати коло као на слици 6.3.5. U = 0 V, f =,5 khz, = 0 Ω, L = 0 mh. Слика 6.3.5 Снимити таласне облике напона на крајевима калема и струје у колу и одредити њихову разлику фаза. Напомена: Према ознакама на слици 6.3.5 на каналу А осцилоскопа посматра се напон -u (t). Промена смера простопериодичне величине мења почетну фазу те величине за π радијана. График 6.3. Калем у колу простопериодичне струје f =,5 khz, Т = ms x (ms/pod) улаз - канал (V/pod) излаз - канал (V/pod) ϕ = ωδt = L 50

7. ИМПЕДАНСА РЕДНЕ ВЕЗЕ, ОТПОРНИКА, КАЛЕМА И КОНДЕНЗАТОРА ЦИЉ ВЕЖБЕ Ø Циљ вежбе је да се студенти упознају са појмом импедансе на примеру, L, C кола са редном везом елемената, прикљученог на извор простопериодичног напона. Такође, студенти треба да се упознају са разликом фаза између напона на крајевима ове везе и струје кроз коло, посматрањем ових величина на осцилоскопу.

7.. ТЕОРИЈСКА ОСНОВА Посматра се део кола простопериодичне струје које се састоји од идеалног отпорника, идеалног калема и идеалног кондензатора везаних на ред (сл. 6..). Сви елементи кола су линеарни. Између крајева ове везе одржава се простопериодични напон: u(t) = U m sin (ω t θ), где је U m амплитуда (максимална вредност), ω кружна учестаност, а θ почетна фаза прикљученог напона. L C i(t) u(t) Слика 7.. Тренутне вредности напона на појединим елементима (Вежба бр. 6) су: u ( t) = i( t), di( t) u L ( t) = L, dt u C ( t) = i( t) dt. C Напон на крајевима ове редне везе, у сваком тренутку, једнак је збиру напона на појединим елементима: u( t) = u ( t) u ( t) u ( t). L Заменом одговарајућих чланова долази се до основне интегрално- -диференцијалне једначине (једначине стања) из које се одређује непозната јачина струје у колу. di( t) U m sin( ωt θ ) = i( t) L dt i( t) dt. C Диференцирањем претходне једначине добија се нехомогена диференцијална једначина другог реда. Опште решење једначине одређује прелазни режим. Посебно (партикуларно) решење одређује стационарно стање које се проучава. У стационарном стању, пошто су сви елементи кола линеарни, и струја мора бити простопериодична функција времена, општег облика: i m ( t) = I sin( ω t ψ ). C 5

Проблем се, значи, своди на одређивање амплитуде I m и почетне фазе ψ струје. Заменом претпостављеног решења у једначину стања, уместо диференцијалноинтегралне једначине добија се тригонометријска релација: U m sin( ω t θ ) = I m sin( ωt ψ ) ω L I m cos( ωt ψ ), ωc која се на основу једноставне тригонометријске везе за сабирање синусне и косинусне функције: своди на: U m sin( ω t θ ) = msin x ncos x = m n sin( x arctg ω L I ωc m sin( ω t ψ n m ), ω L ωc arctg ). Две синусне функције су једнаке у сваком тренутку ако су им амплитуде и фазе једнаке. а) Изједначавањем амплитуда добија се: U = ω L. ωc m I m Однос амплитуда напона и струје, односно ефективних вредности ових величина, представља импедансу Z кола. За редну,l,c везу, на основу горњег израза импеданса је: U Z = I m m = U I = ω L. ωc Како је импеданса однос амплитуда напона и струје (има димензију отпорности), изражава се у омима и представља искључиво позитивну величину. Величина назива се активна отпорност или резистанса. Величина ω L представља разлику реактанси калема и кондензатора ωc и назива се реактивна отпорност или реактанса X редне,l,c везе: X = X L X C = ω L. ωc 53

Реактанса може бити позитивна (X >0), када је X L > X C и тада коло има претежно индуктивни карактер, и негативна (X < 0), када је X C > X L и тада коло има капацитивни карактер. Реактанса има димензију отпорности. Реактанса и импеданса могу се одредити из параметара кола. Непозната амплитуда струје, I m, може се одредити преко познате амплитуде прикљученог напона и израчунате импедансе: U I m = Z б) Упоређујући фазе синусних функција добија се: Одатле следи: ω L ωc ωt θ = ω t ψ arctg. ω L ωc θ = ψ arctg. Разлика фаза напона и струје, φ, на основу горњег израза, је: ω L ωc X L X C X ϕ = θ ψ = arctg = arctg = arctg. Када је коло претежно индуктивно (X > 0, X L > X C ), напон предњачи струји и разлика фаза напона и струје је позитивна (0 < φ π/). Када је коло претежно капацитивно (X < 0, X L < X C ), струја предњачи напону и разлика фаза напона и струје је негативна (- π/ φ < 0). Како су најчешће познати параметри кола (може се одредити разлика фаза напона и струје, φ), и почетна фаза напона, θ, почетна фаза струје одређена је релацијом: ω L ωc ψ = θ ϕ = θ arctg, чиме је потпуно одређена вредност јачине струје у сваком тренутку: U m i( t) = sin( ω t θ ϕ ). Z m. 54

7.. АНАЛИЗА,L,C КОЛА СА РЕДНОМ ВЕЗОМ ЕЛЕМЕНАТА Отпорник отпорности = 400 Ω, калем индуктивности L = 0 mh и кондензатор капацитивности C = 00 nf везани су на ред и прикључени на извор простопериодичног напона ефективне вредности U = 50 V и кружне учестаности ω = 0 4 s -. а) Одредити реактансу и импедансу ове редне везе. б) Одредити разлику фазa напона на крајевима везе и струје у колу. в) Одредити израз по коме се мења тренутна вредност струје у колу. а) Да би се одредила реактанса редне,l,c везе морају се одредити реактансе калема и кондензатора: X L = ω L = = X C = ωc, = =, Реактанса кола једнака је: X = X L X C Импеданса је: = =. Z = X = =. б) Разлика фаза напона, u(t), на крајевима везе и струје, i(t), у колу је: X ϕ = arctg = =, в) Ефективна вредност струје у колу једнака је: U I = Z = =. Претпоставићемо да је почетна фаза напона θ = 0. Тада је почетна фаза струје: ψ = θ ϕ = =. Тренутна вредност јачине струје у колу је: i ( t) =. 55

7.3. АНАЛИЗА,L,C КОЛА ПРИМЕНОМ РАЧУНАРА a ) Симулирати на рачунару коло као на слици 7.3.. Амперметром измерити ефективну вредност струје у колу. Волтметром измерити ефективну вредност напона и одредити импедансу кола. С обзиром да је кружна учестаност извора ω = 0 4 s -, фреквенција је: f = ω π =. I =, U =, Z =. Слика. 7.3. б) Симулирати на рачунару коло као на слици 7.3.. Снимити таласни облик прикљученог напона и таласни облик струје у колу. Када се снимају таласни облици напона и струје на осцилоскопу треба посматрати напон на улазу кола, односно извор напона u(t), на једном каналу и напон на отпорнику на другом каналу, пошто је напон на отпорнику сразмеран струји кроз њега. Резултате анализе приказати на графику 7.3.. Из снимљених таласних облика прочитати почетну фазу напона и струје. Одредити разлику фаза напона на крајевима везе и струје у колу. 56

Слика 7.3. График 7.3. LC колo ω = 0 4 s -, T = x (ms/pod) улаз - канал (V/pod) излаз - канал (V/pod) ms ϕ = ωδt = 57

8. АДМИТАНСА ПАРАЛЕЛНЕ ВЕЗЕ, ОТПОРНИКА, КАЛЕМА И КОНДЕНЗАТОРА ЦИЉ ВЕЖБЕ Ø Циљ вежбе је да се студенти упознају са појмом адмитансе на примеру, L, C кола са паралелном везом елемената, прикљученог на извор простопериодичног напона. Такође, студенти треба да се упознају са разликом фаза између струје кроз напојну грану и напона на крајевима ове везе, посматрањем ових величина на осцилоскопу. Након упознавања са параметрима редне и параметрима паралелне везе, L, C кола, студенти на крају вежбе анализирају опште релације које повезују ове параметре.

8.. ТЕОРИЈСКА ОСНОВА Посматра се део кола простопериодичне струје које се састоји од идеалног отпорника, идеалног калема и идеалног кондензатора везаних паралелно (сл. 8..). Између крајева ове мреже одржава се простопериодични напон: u(t) = U m sin (ω t θ), где је U m амплитуда (максимална вредност), ω кружна учестаност, а θ почетна фаза прикљученог напона. С обзиром да су сви елементи кола линеарни, у стационарном стању се тренутна вредност струје кроз напојну грану мења по простопериодичном закону: i(t) = I m sin (ω t ψ). i(t) i (t) i L (t) i C (t) u(t) G L C Слика 8.. Тренутне вредности струја које протичу кроз поједине елементе (Вежба бр. 6) су: i ( t) ( t) = G u, i L ( t) = u( t) dt, L du( t) i C ( t) = C. dt На основу првог Кирхофовог закона, који важи за тренутне вредности струја, струја која тече кроз напојну грану једнака је збиру струја које протичу кроз поједине елементе: i( t) = i ( t) i ( t) i ( t). L Заменом одговарајућих чланова долази се до основне интегралнодиференцијалне једначине (једначине стања) из које се одређује непозната јачина струје у колу. I m sin( ωt ψ ) = G u ( t) C du( t) C dt u( t) dt. L 60

Диференцирањем претходне једначине добија се нехомогена диференцијална једначина другог реда. Опште решење једначине одређује прелазни режим. Посебно (партикуларно) решење одређује стационарно стање, у коме су све струје и напони у колу простопериодични. Заменом израза за тренутну вредност напона у једначину добија се тригонометријска релација: I m sin( ω t ψ ) = G U m sin( ωt θ ) ωc U m cos( ωt θ ). ω L Примењујући, као у једначини код редне везе, тригонометријску везу за сабирање синусне и косинусне функције: msin x ncos x = m n sin( x arctg добија се: ωc ω L I m sin( ωt ψ ) = G ωc U m sin( ω t θ arctg ). ω L G Две синусне функције су једнаке у сваком тренутку ако су им амплитуде и фазе једнаке. а) Изједначавањем амплитуда добија се: I = G ω C. ω L m U m Однос амплитуда напона и струје, односно ефективних вредности ових величина, представља адмитансу кола Y. За паралелну,l,c везу, на основу горњег израза адмитанса је: I Y = U m m = I U = G ω C. ω L Како је адмитанса однос амплитуда струје и напона (има димензију проводности), изражава се у сименсима [S] и представља искључиво позитивну величину. Величина G назива се активна проводност или кондуктанса паралелне,l,c везе. Величина = ωc представља сусцептансу кондензатора, док је величина B C B L = сусцептанса калема. Разлика ових сусцептанси назива се реактивна ω L проводност или сусцептанса B паралелне,l,c везе: B = BC BL = ωc. ω L n m ), 6

Сусцептанса може бити позитивна (B > 0), када је ωc > и тада ωl коло има претежно капацитивни карактер, и негативна (B < 0), када је ωc < и тада коло има индуктивни карактер. ωl Сусцептанса има димензију проводности. Кондуктанса, сусцептанса и адмитанса могу се одредити из параметара кола. Непозната амплитуда струје, I m, може се одредити преко познате амплитуде прикљученог напона и израчунате адмитансе: I m = U Y. б) Упоређујући фазе синусних функција добија се: Одатле следи: ωc ω L ωt ψ = ω t θ arctg. G ωc ω L ψ = θ arctg. G Разлика фаза струје и напона обележава се са ν и једнака је: ωc ω L B ν = ψ θ = arctg = arctg. G G m Када је коло претежно капацитивно (B > 0, ωc > ), струја ωl предњачи напону и разлика фаза струје и напона је позитивна (0 < ν π/). Када је коло претежно индуктивно (B < 0, ωc < ), напон ωl предњачи струји и разлика фаза струје и напона је негативна (- π/ ν < 0). Како су најчешће познати параметри кола (може се одредити разлика фаза напона и струје, ν, и почетна фаза напона, θ ) почетна фаза струје, ψ, одређена је релацијом: ωc ω L ψ = θ ν = θ arctg, G чиме је потпуно одређена вредност јачине струје у сваком тренутку: i( t) = Y U m sin( ω t θ ν ). 6

8.. АНАЛИЗА,L,C КОЛА СА ПАРАЛЕЛНОМ ВЕЗОМ ЕЛЕМЕНАТА Отпорник отпорности = 800 Ω, калем индуктивности L = 80 mh и кондензатор капацитивности C = 50 nf везани су паралелно и прикључени на извор простопериодичног напона ефективне вредности U = 50 V и кружне учестаности ω = 0 4 s -. а) Одредити кондуктансу, сусцептансу и адмитансу ове паралелне везе. б) Одредити разлику фазa струје у напојној грани кола и напона на крајевима везе. в) Одредити израз по коме се мења тренутна вредност струје у колу. а) Кондуктанса паралелне, L, C везе једнака је реципрочној вредности отпорности отпорника у паралелној грани: G = = Да би се одредила сусцептанса редне, L, C везе морају се одредити сусцептансе калема и кондензатора: B C = ω C = =, B L = = =. ω L Сусцептанса кола једнака је: B = B C BL Адмитанса је: = =. Y = G B = =. б) Разлика фаза струје кроз напојну грану, i(t), и напона, u(t), на крајевима везе је: B ν = arctg = =. G в) Ефективна вредност струје напојне гране i(t) једнака је: I = Y U = =. Претпоставићемо да је почетна фаза напона θ = 0. Тада је почетна фаза струје: ψ = θ ν = =. Тренутна вредност јачине струје напојне гране i(t) једнака је: i ( t) = 8.3. АНАЛИЗА,L,C КОЛА ПРИМЕНОМ РАЧУНАРА 63

a ) Симулирати на рачунару коло као на слици 8.3.. Амперметром измерити ефективну вредност струје у колу. Волтметром измерити ефективну вредност напона и одредити адмитансу кола. С обзиром да је задата кружна учестаност извора ω = 0 4 s -, фреквенција је: f = ω π =. I =, U =, Y =. Слика. 8.3. б) Симулирати на рачунару коло као на слици 8.3.. Снимити таласни облик прикљученог напона u(t) и таласни облик струје i(t). Када се снимају таласни облици напона и струје на осцилоскопу треба на једном каналу посматрати напон на крајевима паралелне везе, а на другом каналу напон на додатном отпорнику pom = Ω, који је везан редно у коло, пошто је напон на отпорнику сразмеран струји кроз њега. (Изабрана је довољно мала вредност отпорника pom у односу на импедансу паралелне везе, тако да напон на отпорнику pom, који је сразмеран струји кроз њега, готово не утиче на амплитуду и фазу мереног напона.) Резултате анализе приказати на графику 8.3.. Из снимљених таласних облика прочитати почетну фазу напона и струје. Одредити разлику фаза напона на крајевима везе и струје у колу. 64

Слика 8.3. График 8.3. LC колo ω = 0 4 s -, T = x (ms/pod) улаз - канал (V/pod) излаз - канал (V/pod) ms ν = ωδt = 65

8.4. ВЕЗЕ ИЗМЕЂУ ПАРАМЕТАРА РЕДНЕ И ПАРАЛЕЛНЕ ВЕЗЕ У седмој вежби је изведен израз за импедансу редне везе: Z = X, и фазну разлику између напона на крајевима везе и струје кроз коло: X ϕ = θ ψ = arctg. На основу тригонометријских веза између тангенса, синуса и косинуса угла: добија се: cosϕ = и sinϕ = tg ϕ cos ϕ = и Z X sin ϕ =. Z tgϕ tg С обзиром да су отпорност и импеданса Z позитивне величине, закључује се да π π је cos ϕ увек позитиван, па је ϕ. везе: У теоријском делу ове вежбе је дефинисан израз за адмитансу паралелне Y = G B, и разлику фаза између струје кроз напојну грану и напона на крајевима везе: G ν = ψ θ = arctg. B Применом тригонометријских релација добија се: G cos ν = и Y B sin ν =. Y На основу претходних релација може се уочити веза између величина φ и ν: и извести релације: ϕ = ν, Y Y cosν G G = Z cosϕ = cos( ν ) = cosν = = =, Y Y Y Y Y G B X = Z sinϕ = sin Y Y Y Y Y sinν Y ( ν ) = sinν = = = ϕ B Y G B B Z Z cosϕ G = Y cosν = cos( ϕ ) = cosϕ = = =, Z Z Z Z Z X B = Y sinν = sin Z Z Z Z Z sinϕ Z X Z X X ( ϕ ) = sinϕ = = =., 66

Дакле, исти потрошач се може представити преко параметара редне или параметара паралелне везе. A i(t), X B A i(t) G, B B u(t) u(t) 8.5. OДРЕЂИВАЊЕ ЕКВИВАЛЕНТНИХ ПАРАМЕТАРА РЕДНЕ ВЕЗЕ За задате параметре паралелне везе (слика 8.3.) одредити еквивалентне параметре редне везе: G e = =, G B B X e = =, G B e = e e Z X =, ϕ e = ν =. Уочити да се добијају параметри редне, L, C везе, која је анализирана у седмој вежби. Упоредити резултате мерења за паралелно, L, C коло из осме вежбе и редно, L, C коло из седме вежбе. Уочити да се добијају исте ефективне вредности напона и струје између крајева паралелне и еквивалентне редне везе, као и исте разлике фаза напона и струје, чиме је доказана еквивалентност ове две везе. 8. вежба, паралелна веза 8. вежба, еквивалентни редни параметри U = I = G = B = Y = ν = e = X e = Z e = φ e = 7. вежба, редна веза U = I = = X = Z = φ = 67

9. РЕЗОНАНТНА КОЛА.0 0.8 I/I 0 0.6 0.4 0. 0.0 00 000 0000 f [Hz] ЦИЉ ВЕЖБЕ Ø Циљ вежбе је да се студенти упознају са појмом резонансе на примерима редног и паралелног LC кола. Кроз ову вежбу студенти се упознају са појмовима резонантне фреквенције, пропусног опсега и Q фактора (фактора доброте) резонантног кола.

9.. ТЕОРИЈСКА ОСНОВА Појам резонансе је широко распрострањен у природи и на њему су засновани многи процеси. Предмет ове вежбе су резонантне појаве у електричним колима, које налазе примену у електроници и телекомуникацијама. У оквиру вежбе студенти врше анализу кола простопериодичне струје, променљиве фреквенције, које се састоји од редне или паралелне везе идеалног отпорника, идеалног калема и идеалног кондензатора (сл.9..). Сви елементи кола су линеарни. Побуда у колу врши се струјним или напонским генератором константне амплитуде: u t = Um sin ωt, ( ) ( ) где је U m амплитуда (максимална вредност) и она је константна, ω кружна учестаност, која узима вредности од ω min до ω max. а) б) Слика 9... а) редно и б) паралелно резонантно коло На слици 9.. приказано је паралелно и редно LC резонантно коло. Импеданса редног LC кола одређена је изразом: Z = j ωl ωc Адмитанса паралелног кола одређена је изразом: Y = G j ωc ωl Резонанса кола наступа када је имагинарни део импедансе, односно адмитансе једнак нули, тј. ω C = 0 ωl Када је овај услов испуњен наступа резонанса у колу. Taдa je амплитуда струје редног LC кола, односно амплитуда напона паралелног LC кола максимална. 70

Кружна учестаност на којој наступа резонанса износи: ω = 0 LC Закључак је да је резонантно коло редна или паралелна веза елемената са фреквенцијски зависном импедансом (слика 9..), односно адмитансом (слика 9..3). 500 400 Z redne LC veze Z L Z C IZ [Ω]I 300 00 00 0 00 000 0000 f [Hz] Слика 9... Фреквенцијска зависност импедансе редне LC везе 0.0 0.08 Y paralelne LC veze Y L Y C IY [S]I 0.06 0.04 0.0 0.00 00 000 0000 f [Hz] Слика 9..3. Фреквенцијска зависност адмитансе паралелне LC везе На дијаграмима фреквенцијске зависности импедансе (слика 9..) и адмитансе (слика 9..3) види се да у делу фреквенција импеданса, тј. адмитанса има минималну вредност. Због ове особине оваква кола се називају кола са фреквенцијском селективношћу. 7

Карактеристика резонантног кола је фактор доброте или Q фактор. Фактор доброте се одређује изразом: ω 0L Q = = у случају редног резонантног кола, ω C 0 Q = ω 0C = у случају паралелног резонантног кола. ω L 0 Пошто су резонантна кола фреквенцијски селективна посматра се фреквенцијска зависност струје и напона у колу. Код редног резонантног кола на фреквенцији резонансе амплитуда струје у грани кола је максимална, док је код паралелног резонантног кола максимална амплитуда напона на фреквенцији резонансе. Из тог разлога, а ради комплетне анализе кола, у случају паралелног LC кола побудни генератор је струјни, док је код редног LC кола побудни генератор напонски. Код фреквенцијски селективних кола (резонантних кола и филтара) дефинише се и ширина пропусног опсега B као разлика кружних учестаности, при којима се амплитуда посматране величине (напона или струје) смањи на од вредности коју има на фреквенцији резонансе. ( f ) B = ω π. ω = f Ради једноставности анализе дијаграм струје, односно напона, приказан је у нормализованом облику у односу на вредност при резонанси, која је уједно и максимална вредност. Овим поступком добија се вредност на резонанси која је једнака јединици, а границе пропусног опсега одређују се за вредности нормализованих величина једнаких. 7

.0 0.8 0.6 I/I 0 0.4 B π 0. 0.0 00 f 000 f 0000 f [Hz] Слика 9..4. Зависност нормализоване вредности струје од фреквенције.0 U/U 0 0.8 0.6 0.4 В 0. 0.0 f f 00 000 0000 f [Hz] Слика 9..5. Зависност нормализоване вредности напона од фреквенције На сликама 9..4 и 9..5 означене су граничне фреквенције које одређују ширину пропусног опсега редног (слика 9..4) и паралелног (слика 9..5) резонантног кола. 73

Кружне учестаности на граници пропусног опсега одређују се изразом: ω, ω0 = ω0. Q Q Ширина пропусног опсега износи: ω0 B = ω ω =. Q Кола са великим Q фактором имају узак пропусни опсег и обрнуто. Паралелна резонантна кола примењују се у радио-пријемницима. Електрични сигнал индукован у антени доводи се на крајеве паралелног резонантног кола са великим Q фактором. На тај начин на крајевима овог фреквенцијски селективног кола бивају потиснуте све компоненте сигнала, осим дела у области резонантне учестаности, који се даље појачава и репродукује. Избор фреквенције резонансе се врши променљивим вредностима капацитивности или индуктивности резонантног кола. Редна резонантна кола примењују се у случајевима када је потребно неки нежељени сигнал одстранити. 9.. АНАЛИЗА РЕЗОНАНТНИХ КОЛА СА РЕДНОМ И ПАРАЛЕЛНОМ ВЕЗОМ ЕЛЕМЕНАТА 9... АНАЛИЗА РЕДНОГ LC КОЛА Отпорник отпорности = 400 Ω, калем индуктивности L = 0 mh и кондензатор капацитивности C = 00 nf везани су као на слици 9.. под а) и прикључени на извор простопериодичног напона ефективне вредности U = V, почетне фазе θ = 0, кружне учестаности у опсегу ω min = π 0 3 s - до ω max = π 0 4 s - а) Написати израз и израчунати фреквенцију резонансе ове редне везе. б) Написати комплексни израз за импедансу редне везе. в) Написати израз по коме се мења тренутна вредност струје у колу. г) Написати израз и израчунати фактор доброте овог резонантног кола. д) Написати израз и израчунати пропусни опсег овог кола. а) f 0 = =. б) Z = = j. 74

в) i (t) =. г) Q = =. д) ω, = =. ω =. ω =. B =. 9... АНАЛИЗА ПАРАЛЕЛНОГ LC КОЛА Отпорник отпорности = 00 Ω, калем индуктивности L = 3 mh и кондензатор капацитивности C = µf везани су као на слици 9.. под б) и прикључени на извор простопериодичне струје ефективне вредности I = A променљиве кружне учестаности у опсегу ω min = π 0 3 s - до ω max = π 0 4 s - а) Написати израз и израчунати фреквенцију резонансе ове паралелне везе. б) Написати израз за адмитансу. в) Написати израз по коме се мења тренутна вредност напона на отпорнику. г) Написати израз и израчунати фактор доброте овог резонантног кола. д) Написати израз и израчунати пропусни опсег овог кола. а) f 0 = =. б) Y = = j. в) i (t) =. г) Q = =. д) ω, = =. ω =. ω =. B =. 9.3. АНАЛИЗА РЕЗОНАНТНИХ LC КОЛА ПРИМЕНОМ РАЧУНАРА 75

9.3.. ПРОГРАМСКИ МОДУЛ ЗА ФРЕКВЕНЦИЈСКУ АНАЛИЗУ - AC frequency Овај програмски модул се користи за фреквенцијску анализу кола. На свом излазу у облику дијаграма даје амплитудску и фазну фреквенцијску зависност напона између изабраног чвора и нултог потенцијала. При том је чвор на потенцијалу уземљења са ознаком 0. За ову анализу потребно је подесити и струјне и напонске генераторе у колу. Ради једноставности, и да би се избегла накнадна нормализација ових величина, изабране су вредности које према Омовом закону одговарају вредностима отпорности у колу, чиме вредности напона на дијаграму, на резонанси, узимају јединичну вредност. Слика 9.3.. Покретање модула за фреквенцијску анализу Покретањем модула за фреквенцијску анализу (слика 9.3.) добија се дијаграм као на слици 9.3.. Слика 9.3.. Пример амплитудске (слика горе) и фазне (слика доле) фреквенцијске анализе напона изабраног чвора резонантног кола са очитавањем вредности на позицији курсора. 9.3.. EWB АНАЛИЗА РЕДНОГ РЕЗОНАНТНОГ КОЛА 76

Симулирати на рачунару коло као на слици 9.3.3. У програму EWB користити AC frequency анализу за чвор који се налази између отпорника од Ω и 99 Ω (на слици 9.3.3 је то чвор ) и са добијеног дијаграма одредити резонантну фреквенцију, граничне фреквенције, пропусни опсег и фактор доброте кола. Приликом ове анализе коришћена је чињеница да према Омовом закону на отпорности од Ω вредност измереног напона одговара струји кроз отпорник, па је на излазном дијаграму заправо нацртана вредност струје у колу [А]. Слика. 9.3.3. Параметре анализе подесити према слици 9.3.4. Слика 9.3.4. Параметри за фреквенцијску анализу редног резонантног кола На дијаграму фреквенцијске зависности напона, који одговара струји редне LC везе, у колу поставити маркере и одредити положаје резонансе и граничних фреквенција (фреквенција на којима вредности падају на, тј. 0,707 максималне вредности). Обратити пажњу и на фазну карактеристику кола и приметити да на фреквенцији резонансе фаза пролази кроз нулу (коло има π резистиван карактер), а на граничним фреквенцијама има вредности ±, па се и 4 на основу ових података може одредити положај тражених фреквенција. f =, 0 f =, 77

f =, B =, Q =. Добијене резултате упоредити са резултатима прорачунатим у тачки 9... 9.3.3. EWB АНАЛИЗА ПАРАЛЕЛНОГ РЕЗОНАНТНОГ КОЛА Симулирати на рачунару коло као на слици 9.3.5. Користити AC frequency анализу (чвор 4 на слици 9.3.5) и са дијаграма одредити вредности резонантне фреквенције, граничне фреквенције, пропусни опсег и фактор доброте кола. Слика 9.3.5. Параметре анализе подесити према слици 9.3.6. Слика 9.3.6. Параметри за фреквенцијску анализу паралелног резонантног кола На дијаграму фреквенцијске зависности напона у колу поставити маркере и одредити положаје резонансе и граничних фреквенција (фреквенција на којима вредности падају на максималне вредности).фазна карактеристика кола на фреквенцији резонансе пролази кроз нулу (резистиван карактер), а на граничним π фреквенцијама има вредности ±, па и на основу ових података одредити 4 положај тражених фреквенција. f =, 0 78