Дефиниција одређеног интеграла Дефинисати: поделу одсечка одговарајућу броју e потподелу дијаметар поделе Дефинисати одређени интеграл Формулисати и доказати теорему о вези непрекидности и интеграбилности Функције Дефиниција За дату функцију f( поделу одсечка [ ] π[ ] π[ 0 ξ ξ - ξ ] ћемо назвати одговарајућом броју ε (ε произвољни мали позитиван број ако за сваки пар и тачака које припадају истом одсечку [ i- i ] важи неједнакост f ( f ( < ε Дефиниција Подела π [ ] π [ 0 ξ ξ p- ξ p p ] се назива потподелом поделе π[ ] π[ 0 ξ ξ - ξ ] ако свака од тачака 0 припада скупу тачака { 0 p } тј скуп { 0 p } се добија кад се скупу { 0 } додају неке деоне тачке; при томе су тачке ξ и ξ одабране произвољно Очигледно ако подела π одговара броју ε онда истом броју ε одговара и свака потпедела π поделе π Дефиниција Број d(π m { } назива се дијаметар поделе π Дефиниција Ако за било какву поделу одсечка [ ] на одсечке [ i- i ] i у којој m [ i- i ] m i 0 ( и за произвољно изабране тачке ξ i на одсечцима [ i- i ] интегрална сума S тежи једној одређеној вредности S
тада се та гранична вредност назива одређени интеграл функције f( на одсечку [ ] и означава f ( d Теорема Ако је функција f( непрекидна на одсечку [ ] тада је она на том интервалу и R интеграбилна Особине одређеног интеграла Дефинисати одређени интеграл Навести особине одређеног интеграла Доказати једну од наведених особина Дефиниција Ако за било какву поделу одсечка [ ] на одсечке [ i- i ] i у којој m [ i- i ] m i 0 ( и за произвољно изабране тачке ξ i на одсечцима [ i- i ] интегрална сума S тежи једној одређеној вредности S тада се та гранична вредност назива одређени интеграл функције f( на одсечку [ ] и означава f ( d f ( d 0 јер је криволинијски трапез одсечак 0 f( f( чија је површина 0 3 c f ( d c f ( d ( d f f ( d c cost
4 [ ( + f ( + + fm( ] d f ( d + f( d + f + fm( d 5 Ако интегранд f( у интервалу [ ] не мења знак тада f ( d има исти знак као и f( 6 Ако f( g( за свако [ ] онда 7 Оцена одређеног интеграла Ако је m mi f( и M m f( где је f( интеграбилна функција на одсечку [ ] тада је m( f ( d M( f ( d g( d Доказ Из m f( M следи При томе m d f ( d M d m d lim m i lim m i m( i i и слично M d M( 8 Теорема (о средњој вредности Ако је функција f( непрекидна на одсечку [ ] тада постоји тачка ξ < ξ < за коју је
f ( d f ( ξ ( 9 Теорема (о подели интервала интеграције За произвољне три тачке c важи једнакост c ( d f ( d + f f ( d три интеграла постоје c под претпоставком да сва 3 Теорема о средњој вредности интеграла функције једне променљиве Дефинисати одређени интеграл Формулисати теореме о процени вредности и о средњој вредности интеграла Коришћењем теореме о процени вредности интеграла доказати теорему о средњој вредности интеграла Дефиниција Ако за било какву поделу одсечка [ ] на одсечке [ i- i ] i у којој m [ i- i ] m i 0 ( и за произвољно изабране тачке ξ i на одсечцима [ i- i ] интегрална сума S тежи једној одређеној вредности S тада се та гранична вредност назива одређени интеграл функције f( на одсечку [ ] и означава f ( d Оцена одређеног интеграла Ако је m mi f( и M m f( где је f( интеграбилна функција на одсечку [ ] тада је m( f ( d M(
Теорема (о средњој вредности Ако је функција f( непрекидна на одсечку [ ] тада постоји тачка ξ < ξ < за коју је f ( d f ( ξ ( Доказ Ако је m mi f( и M m f( [ ] тада на основу Теореме о средњој вредности следи m f d ( M тј f ( d µ m µ M Како је f( непрекидна на одсечку [ ] према Коши- Болцановој теореми узима све вредности између m и M тј за неко ξ < ξ < важи f(ξ µ па f ( d f ( ξ тј f ( d f ( ξ ( 4 Теорема о подели интервала интеграције Дефинисати одређени интеграл Формулисати теорему о подели интервала интеграције Доказати теорему за < c < Доказати теорему за < < c Дефиниција Ако за било какву поделу одсечка [ ] на одсечке [ i- i ] i у којој m [ i- i ] m i 0 ( и за произвољно изабране тачке ξ i на одсечцима [ i- i ] интегрална сума S тежи једној одређеној вредности S тада се та гранична вредност назива одређени интеграл функције f( на одсечку [ ] и означава f ( d
Теорема (о подели интервала интеграције За произвољне три тачке c важи једнакост c ( d f ( d + f f ( d три интеграла постоје c под претпоставком да сва Доказ Нека је < c < Саставимо интегралну суму за функцију f( на [ ] тако да је c увек једна од подеоних тачака Тада важи i m i f ( ξ f ( ξ + f ( ξ i i i i i m+ i i m c Кад се пређе на граничну вредност кад m i 0 добија се тражена једнакост за случај < c < Нека је < < c На основу већ доказаног c ( d f ( d + f f ( d c f ( d f ( d f ( d ( d f f ( d c ( d f ( d + f f ( d c c тј Према 3 важи па се и у овом случају добија c
5 Основна теорема диференцијалног и интегралног рачуна Дефинисати примитивну функцију Формулисати основну теорему диференцијалног и интегралног рачуна Доказати основну теорему диференцијалног и интегралног рачуна Дефиниција Примитивна (првобитна функција дате функције f( назива се функција F( за коју је F ( f( ОСНОВНА ТЕОРЕМА ДИФЕРЕНЦИЈАЛНОГ РАЧУНА: Теорема Неодређени интеграл Φ( f ( t dt непрекидне функције f( задовољава релацију Φ ( f( односно ( f ( d f ( што значи да диференцирање неодређеног интеграла непрекидне функције даје опет ту исту функцију Доказ Према теореми о подели интервала интеграције + + Φ( + f ( t dt f ( t dt + f ( t dt
па је прираштај Φ функције Φ( једнак + Φ Φ( + Φ( f ( t dt + f ( t dt f ( t dt тј Φ + f ( t dt Применом теореме о средњој вредности интеграла Φ f ( ξ ( + f ( ξ одакле следи ξ је између и + Φ f ( ξ f ( ξ тј Φ ( lim 0 Φ lim 0 f ( ξ Како је ξ између и + то када 0 ξ па је због непрекидности функције f( што значи да је Φ ( f( lim f ( ξ 0 lim ξ f ( ξ f ( Према теореми важе једнакости d f ( t dt d f ( и d f ( t dt f ( d 6 Њутн-Лајбницова формула Дефинисати појмове неодређеног интеграла и примитивне функције Формулисати Њутн-Лајбницову теорему (написати Њутн-Лајбницову формулу Доказати Њутн-Лајбницову теорему
Дефиниција Интеграл Φ( f ( t dt се назива неодређени интеграл функције f(; неодређен се зове зато што му нису обе границе одређене (фиксиране Уместо доње границе смо могли узети и неку другу константу α добили би смо неодређени интеграл F ( α f ( t dt Тада за < < α како је добијамо α f ( t dt C cost Φ( F( + C f ( t dt f ( t dt + α α f ( t dt тј што значи да се различити неодређени интеграли исте функције разликују само за адитивну константу Дефиниција Примитивна (првобитна функција дате функције f( назива се функција F( за коју је F ( f(
Теорема (Њутн Лајбницова формула Вредност f ( d одређеног интеграла једнака је разлици вредности произвољне примитивне функције F( интегранда f( узета у горњој и доњој граници датог интеграла: f ( d F ( F ( F ( f( Доказ Нека је F( примитивн функциј интегранда f( Како је и f ( t dt такође примитивна функција важи f ( t dt F ( + C за неку константу C и за свако Та једнакост важи и за тј f ( t dt F ( + C одакле 0 f ( t dt F ( F ( F( + C C F( То значи да је а за добија се Њутн Лајбницова формула f ( t dt F ( F ( тј f ( d F ( F ( 7 Смена променљиве у одређеном интегралу Дефинисати појмове неодређеног интеграла и примитивне функције
Формулисати Њутн-Лајбницову теорему (написати Њутн-Лајбницову формулу Извести формулу за смену променљиве у одређеном интегралу Дефиниција Интеграл Φ( f ( t dt се назива неодређени интеграл функције f(; неодређен се зове зато што му нису обе границе одређене (фиксиране Уместо доње границе смо могли узети и неку другу константу α добили би смо неодређени интеграл F ( α f ( t dt Тада за < < α како је добијамо α f ( t dt C cost Φ( F( + C f ( t dt f ( t dt + α α f ( t dt тј што значи да се различити неодређени интеграли исте функције разликују само за адитивну константу Дефиниција Примитивна (првобитна функција дате функције f( назива се функција F( за коју је F ( f(
Теорема (Њутн Лајбницова формула Вредност f ( d одређеног интеграла једнака је разлици вредности произвољне примитивне функције F( интегранда f( узета у горњој и доњој граници датог интеграла: f ( d F ( F ( F ( f( Aкo је F( примитивн функциј интегранда важе једнакости f( тада f ( d F ( + C и t f[ ϕ( t] ϕ ( t dt F[ ϕ( t] + C α одакле следи тврђење јер је β α f[ ϕ( t] ϕ ( t dt F[ ϕ( t] α f ( d F ( F ( F ( β F[ ϕ( β ] F[ ϕ(α] F ( F ( 8 Уопштени интеграли са бесконачним интервалом интеграције Дефиниција Ако постоји коначна гранична вредност lim f ( d тада се она назива уопштеним или
несвојственим интегралом функције f( на интервалу и означава са ( d lim f f ( d У том случају кажемо да интеграл постоји или конвергира Ако интеграл нема коначну граничну вредност кад тада се каже да не постоји или да дивергира Теорема Ако за свако 0 f( g( и ако + g ( d конвергира тада ће конвергирати и је + f ( d и при томе + + f ( d g( d Теорема Ако за свако 0 f( g( и ако + f ( d дивергира дивергираће и + g ( d
Теорема 3 Ако d d lim > 0 d lim + f ( d + ( конвергира конвергираће и f ( d За > ( lim d d lim lim За 0 < < тј дивергира Ако је d lim дивергира ( + d lim па је у овом случају па је интеграл ( l lim l 9 Уопштени интеграли са неограниченим интеграндом па d + d
Дефинисати уопштени интеграл са неограниченим интеграндом Конвергенција и дивергенција уопштеног интеграла Дефиниција Ако је функција f( непрекидна на интервалу < а f( кад < и ако постоји коначна гранична вредност (ε > 0 тада се та гранична вредност назива уопштени (несвојствени интеграл функције f( на одсечку [ ] и означава са ε 0 lim ε 0 ε ε f ( d f ( d lim f ( d Тада кажемо да уопштени интеграл постоји тј конвергира У супротном ако интеграл нема коначну граничну вредност он не постоји односно дивергира 0 d > 0 ε 0 0 ε За 0 < < интеграл конвергира ( ε d d lim lim ε 0 Може се закључити да за интеграл дивергира 0 d 0 Интеграција простих рационалних функција
d l + C + d ( d + C ( ( + ( ( + C Метода парцијалне интеграције Метода парцијалне интеграције Доказ Нека су u( и v( диференцијабилне функције тада је d(uv u dv + v du тј u dv d(uv v du Интеграцијом леве и десне стране последњег израза добија се формула парцијалне интеграције udv d( uv vdu udv uv vdu Интеграција функција облика R(si cos R - рационална функција Општи случај смене при рачунању интеграла за функције R(si cos где је R рационална функција Навести смене које се користе у специјалним случајевима интеграције функција облика R(si cos R је рационална функција Теорема Интеграл R(si cos рационалне функције сменом трансформише се у интеграл t tg Доказ Коришћењем тригонометријских формула si si cos tg cos tg + tg тј t si + t
(јер је + tg + si cos cos + si cos cos tg cos cos si t + tg + tg cos + t тј d dt rctg t + t Због важи t t R(si cos d R dt + t + t + t Дакле интегранд је рационална функција од t Интеграли специјални случајеви функција могу једноставније решити другим сменама: R(si cos се R(si cos d Интеграл облика се најједноставније решава сменом si t cos d dt која дати R ( t dt интеграл своди на R(cos si d Слично интеграл се може решавати сменом cos t si d dt чиме се своди на R ( t dt R (tg d 3 За интеграл облика погодна је смена tg t dt R( t + t којом се своди на 4 Смена tg t се користи и у случајевима кад се функције si и cos појављују са парним степенима у R(si cos интегранду
3 Метода смене у неодређеном интегралу Метода смене у неодређеном интегралу Доказ R( α + β Интеграција ирационалних функција облика и m r s R( d f ( d Ако се при одређивању интеграла не може лако наћи примитивна функција а знамо да постоји може се применити метода смене ϕ(t где ϕ(t мора бити непрекидна и диференцијабилна функција за коју је ϕ (t 0 и која има своју инверзну функцију У том случају ће бити dϕ (tdt па ( d f[ ϕ( t] ϕ f ( t dt Доказ Тада је извод леве стране: ( f ( d f ( Извод десне стране: због t ϕ ( dt d ϕ ( t је d dt ( f[ ϕ( t] ϕ ( t dt ( f[ ϕ( t] ϕ ( t dt f[ ϕ( t] ϕ ( t f [ ϕ( t] f ( dt d ϕ ( t Интеграција ирационалних функција облика
( α + β R своди се сменама рационалних функција t α + β на интеграле m r s R( d Нека је у интегралу најмањи заједнички именилац разломака m/ r/s тада се сменом t интегранд трансформише у рационалну функцију 4 Метода смене у неодређеном интегралу Метода смене у неодређеном интегралу Доказ Интеграција ирационалних функција облика R + α + β f ( d Ако се при одређивању интеграла не може лако наћи примитивна функција а знамо да постоји може се применити метода смене ϕ(t где ϕ(t мора бити непрекидна и диференцијабилна функција за коју је ϕ (t 0 и која има своју инверзну функцију У том случају ће бити dϕ (tdt па ( d f[ ϕ( t] ϕ f ( t dt Доказ Тада је извод леве стране: ( f ( d f (
t ϕ ( Извод десне стране: због dt d ϕ ( t је d dt ( f[ ϕ( t] ϕ ( t dt ( f[ ϕ( t] ϕ ( t dt f[ ϕ( t] ϕ ( t f [ ϕ( t] f ( dt d ϕ ( t Интеграција ирационалних функција облика R + α + β своди се сменама функција t + α + β на интеграле рационалних 6 Израчунавање дужине лука криве Написати формулу за израчунавање дужине лука криве f ( Доказ извођење формуле Написати формулу за рачунање лука криве задате параметарски За део s лука криве f( између тачака M( и M (+ + важи ( + ( s ( + ( d + ( d где је ( + ( дужина одсечка MM
Ако је f( непрекидно диференцијабилна функција онда се може показати уз претпоставку да је >0 да је + s d + + ε јер је за диференцијабилне функције d o( Преласком на граничне вредности добија се lim 0 + lim 0 s lim 0 d + ε o( значи ds d d + d тј ds d + d d Према томе ако се формирају одговарајуће интегралне суме добија се да је дужина лука криве f( над одсечком [ ] једнака вредности одређеног интеграла Ако је једначина криве дата у параметарском облику ϕ ( t ψ ( t α t β тада се дужина лука дате криве рачуна помоћу интеграла β β ψ ( t s + ϕ ( t dt ϕ α ( t тј ( ϕ t + ( ψ ( t s ( dt α
7 Израчунавање запремине ротационог тела Написати формулу за израчунавање запремине тела V добијеног ротацијом око O осе Извођење формуле за запремину V ротационог тела Написати формулу за израчунавање запремине тела V добијеног ротацијом око O осе Ако је тело образовано ротацијом око осе O криволинијског трапеза ограниченог кривом f( осом O и правама онда је попречни пресек круг чија је површина [ f ( ] π P π па ће његова запремина бити [ f ( ] d π V π d Ако је неко (тродимензионо тело за које нам је позната површина сваког пресека са равнима ортогоналним на осу O тада ће та површина зависити од положаја пресечне равни тј од P P( Ако поставимо равни 0 где је 0 < < < < тада смо тело разложили на слојеве који представљају тзв елементарне цилиндре чија је запремина
где је површина попречног пресека P(ξ основа цилиндра а његова висина Запремина свих ових цилиндара ће бити а гранична вредност интегралне суме кад тј кад m 0 уколико постоји представља запремину датог тела 8 Израчунавање површине ротационе површи Написати формулу за израчунавање површине површи P добијене ротацијом око O осе Извођење формуле за површину P ротационе површи Написати формулу за израчунавање површине површи P добијене ротацијом око O осе Нека је дата површ образована ротацијом криве f( око осе O и нека је f( непрекидна и диференцијална функција у свим тачкама одсечка [ ] Свака тетива лука s при ротацији образује конусну површ чија је површина где је Према Лагранжевој теореми f ( f ( f ( ξ ξ + s + ( f ( ξ P π + ( f ( ξ па је а укупна површина ротационе површи израчуната на овај начин је P π ( f ( + + ( f ( f ( ξ Преласком на граничну вредност добија се
тј P lim π m 0 ( ( f ( ξ + ( f ( ξ ( f ( P π f ( + d 9 Дефиниција и особине двојног интеграла Дефиниција двојног интеграла Геометријско тумачење Навести особине двојног интеграла Доказати једну од особина двојног интеграла Дефиниција Нека је f( (непрекидна функција у затвореној просто повезаној области и нека је на произвољан начин подељена на елементарне области σ σ σ Ако постоји гранична вредност интегралне суме V када највећи пречник елементарних области тежи ка нули (ознака d( σ тада се та гранична вредност назива двојним интегралом функције f( на области и означава lim m d ( σ 0 ( f ( P σ f ( P dσ ОСНОВНА СВОЈСТВА ДВОЈНОГ ИНТЕГРАЛА Ако је функција f ( f ( f m ( непрекидна у затвореној просто повезаној области f P + + f ( P dσ f ( P dσ + f ( P dσ [ ( m ] + m где је f i (P f i ( Ако је функција f(p непрекидна у области тј тада је c f ( P dσ c f ( P dσ ( c cost
3 Ако непрекидна функција f(p у области не мења знак f ( P dσ тада је σ Доказ: Нека је f(p 0 Тада је Како је функција f(p непрекидна и граничне вредности ових сума су ненегативни 4 Ако је где подобласти и немају заједночких тачака тада је f ( P dσ f ( P dσ f ( P dσ + 5 Теорема (о процени вредности двојног интеграла Ако су m и M најмања односно највећа вредност функције f(p у области а S( површина области тада је ms ( f ( P dσ MS( 6 Теорема (о средњој вредности двојног интеграла Ако је f(p f( непрекидна функција у затвореној области равни O тада постоји унутрашња тачка P P ( ξ η области таква да је f ( P dσ f ( P S( f ( ξ η dσ f ( P 0 0 Дефиниција и особине тројног интеграла Дефиниција тројног интеграла Дефиниција димензионог интеграла Навести особине тројног интеграла Доказати једну од особина тројног интеграла Дефиниција Нека је f( z (непрекидна функција у затвореној просто повезаној области која је на произвољан начин подељена на елементарне области ω Изаберимо произвољне тачке P ω и означимо одговарајуће вредности дате функције са f(p
Ако постоји гранична вредност суме f ( ω P када највећи пречник елементарних области ω такође тежи нули (тј тада се та гранична вредност назива тројни интеграл функције f( z по области и означава се lim m d ( ω 0 ( f ( P ω f ( P dω -димензиони интеграл J f ( P dw W (када је W просто повезана затворена -димензиона област Ако је функција f ( z f ( z f m ( z непрекидна у тродимензионој области тада је [ f ( P + + f m ( P ] dω f ( P dω + + f m ( P dω где је f i (P f i ( z i m Ако је функција f(p непрекидна у области тј тада је c f ( P dω c f ( P dσω ( c cost 3 Ако непрекидна функција f(p у области не мења знак тада је истог знака као и f(p ω Доказ: Нека је f(p 0 Тада је Како је функција f(p непрекидна и граничне вредности ових сума су ненегативни f ( P 0
4 Ако је где подобласти и немају заједночких тачака тада је f ( P dω f ( P dω + f ( P dω 5 Теорема (о процени вредности тројног m mi f ( P M m f ( P P P интеграла Ако је и а V( запремина тродимензионе области тада је mv ( f ( P dω MV( 6 Теорема (о средњој вредности тројног интеграла Ако је f(p f( z непрекидна функција у затвореној тродимензионој области тада постоји унутрашња тачка да је P P ( ξ η ζ f ( P dω f ( P V( f ( ξ η ζ dω области таква Свођење двојног на двоструки интеграл Дефиниција двојног интеграла Свођење двојног на двоструки интеграл за правоугаону област Свођење двојног на двоструки интеграл за произвољну просто повезану област Дефиниција Нека је f( (непрекидна функција у затвореној просто повезаној области и нека је на произвољан начин подељена на елементарне области σ σ σ Ако постоји гранична вредност интегралне суме V када највећи пречник елементарних области тежи ка нули (ознака d( σ тада се та гранична вредност назива двојним интегралом функције f( на области и означава
{ } ( : c d Нека је област правоугаоник покривен правоугаоном праволинијском мрежом cost тако да је површина елемента те области σ одакле је при преласку на граничну вредност dσ dd Како двојни интеграл геометријски представља запремину цилиндричног тела чије су основе област у равни O и површ z f( интеграција се састоји у томе да тачка P( прође кроз све тачке области То се може урадити тако да се привремено сматра да је cost тако да интегранд f( зависи само од па је d c f ( d F ( површина криволинијског трапеза P P M M при чему је параметар а P( пролази кроз све тачке одсечка P P Ако пустимо да одсечак P P пролази транслаторно кроз све тачке области криволинијски трапез ће проћи кроз све тачке посматраног цилиндричног тела па V F ( d d V f ( d d c ( dd d f f ( d тј дакле где је на десној страни израза тзв двоструки интеграл односно на два обична интеграла функције једне променљиве У интегралу по правоугаоној области може се изменити поредак интеграције (фиксирањем променљиве при чему границе интеграције остају неизмењене: f ( d d d d f ( d c Свођење тројног на троструки интеграл d c d c
Дефиниција тројног интеграла Дефиниција димензионог интеграла Свођење тројног интеграла на троструки Дефиниција Нека је f( z (непрекидна функција у затвореној просто повезаној области која је на произвољан начин подељена на елементарне области ω Изаберимо произвољне тачке P ω и означимо одговарајуће вредности дате функције са f(p Ако постоји гранична вредност суме f ( ω P када највећи пречник елементарних области ω такође тежи нули (тј тада се та гранична вредност назива тројни интеграл функције f( z по области и означава се lim m d ( ω 0 ( -димензиони интеграл f ( P ω f ( P dω (када је W просто повезана затворена -димензиона област Тродимензиону простоповезану област у простору Oz делимо на елементарне области низом равни паралелних координатним равнима тако да им је запремина ω z а при преласку на граничну вредност dω dddz Претпоставимо да је затворена тродимензиона област чију границу (S праве паралелне координатним осама секу највише у двема тачкама Процес интеграције се састоји у томе да тачка M( z прође кроз све тачке области Прво ћемо око области описати цилиндрични омотач са генератрисама ортогоналним на једну координатну раван на пр O Он исеца у тој равни област чија је контура (L пројекција
додирне криве (L цилиндричног омотача и тела Крива (L дели површ (S на доњи и горњи део на којима је променљива z једнозначна непрекидна функција независних променљивих и : z z ( z z ( ( тј { } ( ( ( : ( z z z z Ако прво сматрамо да су и константне најпре се врши интеграција функције f( z дуж одсечка M M променљиве дужине чији се грајеви налазе на доњем односно горњем делу површи (S Тако се добија ( ( ( ( z z dz z f F Кад тачка P( 0 (пројекција тачке M( z прође кроз све тачке области одсечак M M ће проћи кроз све тачке тела Зато је z z dz z f dd dd F dddz z f ( ( ( ( ( Ако је { } ( ( : ( ϕ ϕ онда је z z dz z f d d dddz z f ( ( ( ( ( ( ϕ ϕ где је на десној страни тзв троструки интеграл
3 Смена променљивих у двојном интегралу Поларне координате Општи случај смене у двојном интегралу Специјални случај смене у двојном интегралу: поларне координате ОПШТИ СЛУЧАЈ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ ПРОМЕНЉИВИХ У ДВОЈНОМ ИНТЕГРАЛУ Ако уместо Декартових координата уведемо нове променљиве u v које су са и везане датим релацијама (u v (u v где су (u v и (u v непрекидне и диференцијалне функције у некој области * променљивих u и v тада дату област у равни покривамо криволинијском мрежом која не мора бити ортогонална а кроз сваку тачку области пролази само по једна линија од сваке породице кривих u cost v cost (при чему се допушта коначно много иузетака Диференцирањем горњих једнакости добија се d du + dv u v d u du + vdv тј d u d u v du v dv У квадратној матрици су функције од u и v а одговара јој функционална детерминанта која се зове Јакобијан ( J ( u v u u v v При томе J је коефицијент деформације при пресликавању ( ( u v где се пресликава у * Дакле dd J dudv па је уз претпоставку да је J 0
f ( dd * f ( ( u v ( u v J dudv ТРАНСФОРМАЦИЈА ДЕКАРТОВИХ У ПОЛАРНЕ КООРДИНАТЕ У двојном интегралу f ( dd Декартове координате тачке P замењујемо поларним ρ ϕ помоћу следећих веза Одатле добијамо да је ρ cosϕ ρ siϕ d d d cosϕ dρ ρ si ϕ dϕ d si ϕ dρ + ρ cosϕ dϕ тј cos ϕ ρ si ϕ dρ si ϕ ρ cos ϕ dϕ па је J cosϕ si ϕ ρ si ϕ ρ cosϕ ρ ( cos ϕ + si ϕ ρ а елемент површине је d σ dd ρ dρ dϕ На основу тога је f ( dd f ( ρ cos ϕ ρ si ϕ ρ dρ dϕ * * f * ( ρ ϕ ρ dρ dϕ 4 Смена променљивих у тројном интегралу Цилиндричне координате
Општи случај смене у тројном интегралу Специјални случај смене у тројном интегралу: цилиндричне координате ОПШТИ СЛУЧАЈ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ ПРОМЕНЉИВИХ У ТРОЈНОМ ИНТЕГРАЛУ Ако уместо Декартових координата z уведемо нове променљиве uvw преко релација (u v w (u v w z z (u v w где су (u v w (u v w z z (u v w непрекидне и диференцијалне функције по u v w у области {(u v w} тада је d du + dv + dw u d du + dv + dw u v v dz zudu + zvdv + zwdw тј w w d u d u dz zu z v v v w du w dv z dw w Квадратна матрица је матрица трансформације променљивих а њена детерминанта је функционална и зове се Јакобијан Коефицијент деформације тродимензионе области је J па је је J 0 dω dddz J dudvdw а уз претпоставку да где је f ( z dddz * f ( u v w f * * f ( u v w J dudvdw [ ( u v w ( u v w z( u v w ] ТРОЈНИ ИНТЕГРАЛ У ЦИЛИНДАРСКИМ КООРДИНАТАМА
Нека је дата раван α и у њој тачка O и полуоса OL Положај произвољне тачке M у тродимензионом простору чија је пројекција на дату раван тачка P је једнозначно одређен растојањем ρ OP углом ϕ (OL OP и одсечком z PM При томе је 0 ρ 0 ϕ π < z < Ово су цилиндарске координате тачке M Кроз сваку тачку простора осим координатног почетка пролазе по три координатне површи: ρ cost (кружни цилиндри са изводницом нормалном на дату раван α ϕ cost (полуравни нормалне на дату раван α које садрже полуправу са почетком у тачки O z cost (равни паралелне датој равни α Поставимо Декартов координатни систем Oz тако да се раван O поклапа са равни α а O са полуосом OL Тада је ρ cosϕ ρ siϕ z z односно ρ + ϕ rctg z z Ако у тројном интегралу заменимо Декартове координате цилиндарским онда је : d cos ϕ d si ϕ dz 0 ρ si ϕ ρ cos ϕ 0 0 dρ 0 dϕ dz одакле Из тога следи dω dddz ρ dρ dϕ dz а за тројни интеграл се добија
f ( z dddz f ( ρ cos ϕ ρ si ϕ z ρ dρ dϕ dz * При томе иста област изражена преко променљивих z је означена са а изражена преко ρ ϕ z са * 5 Смена променљивих у тројном интегралу Сферне координате Општи случај смене у тројном интегралу Специјални случај смене у тројном интегралу: сферне координате ОПШТИ СЛУЧАЈ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ ПРОМЕНЉИВИХ У ТРОЈНОМ ИНТЕГРАЛУ Ако уместо Декартових координата z уведемо нове променљиве uvw преко релација (u v w (u v w z z (u v w где су (u v w (u v w z z (u v w непрекидне и диференцијалне функције по u v w у области {(u v w} тада је d du + dv + dw u d du + dv + dw u v v dz zudu + zvdv + zwdw тј w w d u d u dz zu z v v v w du w dv z dw w Квадратна матрица је матрица трансформације променљивих а њена детерминанта је функционална и зове се Јакобијан Коефицијент деформације тродимензионе области је J па је је J 0 dω dddz J dudvdw а уз претпоставку да
где је f ( z dddz * f ( u v w f * * f ( u v w J dudvdw [ ( u v w ( u v w z( u v w ] ТРОЈНИ ИНТЕГРАЛ У СФЕРНИМ КООРДИНАТАМА Нека је дата раван α и у њој тачка O и полуоса OL Положај произвољне тачке M у тродимензионом простору чија је пројекција на дату раван тачка P је једнозначно одређен растојањем ρ OM углом ϕ (OL OP и углом θ (OP OM при чему је 0 ρ 0 ϕ π π/ θ π/ Кроз сваку тачку M O пролазе по три координатне површи: ρ cost (концентричне сфере са центром у O ϕ cost (полуравни кроз тачку O нормалне на дату раван α θ cost (конуси с теменом O То су сферне координате тачке M које су са Декартовим повезане релацијама ρ cosθ cosϕ ρ cosθ siϕ z ρ siθ тј ρ + + z ϕ rctg θ rcsi z + + z Елемент запремине dω се добија на основу ових веза тако да је
d cosθ cosϕ d cosθ si ϕ dz si θ ρ cosθ si ϕ ρ cosθ cosϕ 0 ρ si θ cosϕ dρ ρ si θ si ϕ dϕ ρ cosθ dθ тј а z ( ρ ϕ θ cosθ cosϕ cosθ si ϕ ρ cosθ si ϕ ρ cosθ cosϕ ρ si θ cosϕ ( ρ si θ si ϕ ρ cosθ si θ 0 ρ cosθ dω dddz ρ cosθ dρ dϕ dθ Одавде се при трансформацији Декартових координата у сферне код тројног интеграла добија f ( z dddz * * f ( ρ ϕ θ ρ cosθ dρ dϕ dθ * f ( ρ ϕ θ f ( ρ cosθ cosϕ ρ cosθ si ϕ ρ si θ где је а и * су ознаке за област интеграције изражену преко координата z односно ρ ϕ θ 6 Примене двојних и тројних интеграла Навести могуће примене двојног интеграла Навести могуће примене тројног интеграла Извести формулу за израчунавање површине криве површи Запремина цилиндричног тела којем је једна основа у равни O а друга основа површ z f( ( (при чему f( не мења знак у области а генератрисе омотача су паралелне оси Oz дата је двојним интегралом V f ( dσ где је dσ елемент површине области интеграције
S( Површина области интеграције је 3 Запремина тела се изражава тројним интегралом V ( dw dσ где је dw елемент запремине тела 4 Ако се области и састоје од материјалних тачака и ако је у тим областима дефинисана густина δ( односно δ( z као непрекидна функција координата тачке тада је маса области а маса области M( δ ( dδ M ( δ ( z dw 5 Површина ограниченог дела површи S lim m d ( σ 0 + p + q σ тј S + p + q dd p z q z ( 7 Појам бесконачног бројног реда Конвергенција реда Дефинисати низ парцијалних сума Дефинисати бројни ред и конвергенцију реда
Доказати да је неопходни услов за конвергенцију реда да општи члан тежи нули кад Дефиниција Низом делимичних сума реда назива се низ {s } чији је општи члан 3 ; s је (делимична парцијална сума тог реда s + + 3 + Дефиниција Израз облика или називамо бесконачним бројним редом; 3 су чланови бесконачног реда; је општи члан тог реда Дефиниција Бесконачни ред назива се конвергентним (дивергентним ако конвергира (дивергира низ његових делимичних сума {s } Сума конвергентног реда је број s lim s lim Ако је ред конвергентан и има суму s тада се пише s
Теорема Ако је ред 0 општи члан кад конвергентан тада његов Доказ Ако ред конвергира конвергира и његов низ делимичних сума lim s s па је lim lim ( s s s s 0 8 Редови са ненегативним члановима Критеријуми упоређивања Услов за конвергенцију реда са ненегативним члановима изражен преко низа делимичних сума Навести критеријуме упоређивање прве и друге врсте Доказати да је неопходни услов за конвергенцију реда да општи члан тежи нули кад Теорема Ред са позитивним члановима може само конвергирати или дивергирати према + Такав ред је конвергентан тада и само тада ако су његове делимичне суме ограничене КРИТЕРИЈУМИ УПОРЕЂИВАЊА Теорема (Критеријум упоређивања прве врсте Нека је c 0 d 0 ред конвергентан а ред дивергентан и нека су оба редови са позитивним члановима Ако чланови
неког датог реда задовољавају услов 0 са позитивним члановима c за све > m (m N тада је ред 0 конвергентан Ако d за све > m (m N тада је ред 0 дивергентан Теорема (Критеријум упоређивања друге врсте Нека је c 0 d 0 ред конвергентан а ред дивергентан и нека су оба редови са позитивним члановима Ако за чланове реда 0 с позитивним члановима за m (m N важи + c+ c m (m N тада је ред + d+ d 0 тада је ред конвергентан; ако је за 0 дивергентан
Теорема Ако је ред 0 општи члан кад конвергентан тада његов Доказ Ако ред конвергира конвергира и његов низ делимичних сума lim s s па је lim lim ( s s s s 0 9 Алтернативни редови Лајбницов критеријум конвергенције реда Дефинисати алтернативни ред и формулисати Лајбницов критеријум конвергенције Доказати Лајбницов критеријум конвергенције Дефинисати апсолутну и условну конвергенцију Дефиниција Алтернативним редовима се називају редови облика 0 ( > 0 N где је { } монотоно опадајући низ позитивних бројева Алтернативни ред 0 + 3 + у којем чланови > 0 монотоно опадају ( > + 0 и теже нули назива се Лајбницовим редом
Теорема (Лајбницов критеријум Лајбницов ред конвергира и његова сума s < 0 Доказ За Лајбницов ред делимична сума са непарним индексом + је једнака s што значи да је је s + 0 ( ( 3 4 ( + s + < 0 N С друге стране + + ( 0 + ( 3 + + ( из чега следи да монотоно неопада Зато постоји гранична вредност за коју важи 0 < lim s+ s < 0 За парне чланове низа делимичних сума важи lim s lim ( s+ + s чиме је доказан Лајбницов критеријум конвергенције Дефиниција За конвергентан ред кажемо да је апсолутно конвергентан ако конвергира и ред У
супротном када ред дивергира за конвергентан ред кажемо да условно конвергира 30 Интегрални критеријум конвергенције бројног реда Формулисати интегрални критеријум конвергенције бројног ред Доказати интегрални критеријум конвергенције бројног ред Теорема Ако је дати ред са позитивним монотоно опадајућим члановима а f( за непрекидна позитивна монотоно опадајућа функција таква да је f( тада ред конвергира ако и само ако несвојствени интеграл + f ( d постоји (конвергира Ако интеграл дивергентан + f ( d не постоји тада је ред
Доказ Како је f( опадајућа функција важи f ( + f (3 + + f ( f ( d f ( + f ( + + f ( Ако интеграл + f ( d постоји означимо га са J Тада је f ( d J f ( па ред има ограничне делимичне суме и према томе конвергира из чега следи конвергенција реда Обрнуто ако је ред конвергентан и има суму s тада је f ( d s па конвергира интеграл + f ( d