1 4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Κώνος : ν φανταστούµε ότι το ορθογώνιο τρίγωνο στρέφεται γύρω από την κάθετη πλευρά του κατά µία πλήρη περιστροφή, προκύπτει το στερεό το οποίο λέγεται κώνος. 2. Στοιχεία του κώνου : Ο κυκλικός δίσκος της επιφάνειας του κώνου λέγεται βάση. Η υπόλοιπη επιφάνεια λέγεται παράπλευρη επιφάνεια Η ακτίνα της βάσης λέγεται ακτίνα του κώνου Η κάθετη πλευρά λέγεται ύψος του κώνου Η υποτείνουσα λέγεται γενέτειρα του κώνου 3. Εµβαδόν παράπλευρης επιφάνειας του κώνου Ε παράπλευρης = π ρ λ, όπου ρ = η ακτίνα της βάσης, λ η γενέτειρα και π = 3,14 4. Εµβαδόν ολικής επιφάνειας κώνου Ε ολικό = Ε παράπλευρης + Ε βάσης = π ρ λ + πρ 2 5. Όγκος κώνου : Όγκος = 1 3 (εµβαδόν βάσης) (ύψος) = 1 3 πρ2 υ, όπου ρ = η ακτίνα της βάσης και υ το ύψος ΣΧΟΛΙΟ Σχέση ύψους υ, γενέτειρας λ και ακτίνας ρ : λ 2 = υ 2 + ρ 2
2 ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες ια την γενέτειρα λ το ύψος υ και την ακτίνα ρ ενός κώνου ισχύει ρ 2 = λ 2 υ 2 Η ακτίνα ενός κώνου είναι πάντα µεγαλύτερη από το ύψος του γ) Το ύψος ενός κώνου είναι πάντα µικρότερο από την γενέτειρα δ) Ο όγκος του κώνου δίνεται από τον τύπο V = (εµβαδόν βάσης) (ύψος) ε) ν διπλασιάσουµε την ακτίνα του κώνου και το ύψος µείνει σταθερό τότε διπλασιάζεται ο όγκος του στ) ν τριπλασιάσουµε το ύψος του κώνου και η ακτίνα µείνει σταθερή τότε τριπλασιάζεται ο όγκος του κώνου ια την γενέτειρα λ, το ύψος υ και την ακτίνα ρ ισχύει λ 2 = ρ 2 + υ 2 δηλαδή ρ 2 = λ 2 υ 2 Άρα η πρόταση είναι σωστή Λάθος, η ακτίνα και το ύψος είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους γ) Σωστό, αφού το ύψος είναι κάθετη πλευρά και η γενέτειρα υποτείνουσα σε ορθογώνιο τρίγωνο. δ) Λάθος αφού ο όγκος δίνεται από τον τύπο V = 1 (εµβαδόν βάσης) (ύψος) 3 ε) ν η ακτίνα είναι ρ και το ύψος υ τότε ο όγκος είναι V = 1 3 πρ2 υ. ιπλασιάζοντας την ακτίνα ο όγκος γίνεται V = 1 3 π(2ρ)2 υ = 4 1 3 πρ2 υ = 4V, δηλαδή ο όγκος τετραπλασιάζεται. Οπότε η πρόταση είναι λάθος. στ) Τριπλασιάζοντας το ύψος ο όγκος γίνεται V = 1 3 πρ2 (3υ) = 3 1 3 πρ2 υ = 3V. Άρα η πρόταση είναι σωστή. 2. Σε έναν κώνο το εµβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας είναι 226,08 cm 2 και η γενέτειρα 9cm. Να βρείτε την ολική επιφάνεια και τον όγκο του κώνου. Ο τύπος : Ε παράπλευρης = π ρ λ δίνει 226,08 = 3,14ρ 9 απ όπου ρ = 8 Ε ολικό = Ε παράπλευρης + Ε βάσης = 226,08 + 3,14 8 2 = 427,04 cm 2
3 3. Το εµβαδόν της βάσης σε έναν κώνο είναι 50,24cm 2 και η γενέτειρα 5cm. Να βρείτε την ολική επιφάνεια και τον όγκο του κώνου. Ε βάσης = πρ 2 άρα 50,24 = 3,14ρ 2 οπότε ρ 2 = 16 άρα ρ = 4 Σχόλιο Ε παράπλευρης = 3,14 4 5 = 62,8 cm 2 Εποµένως Ε ολικό = 62,8 + 50,24 = 113,04cm 2 φού λ 2 = ρ 2 + υ 2 έχουµε ότι υ 2 = λ 2 ρ 2 = 5 2 4 2 = 9, οπότε υ = 3 1 Όγκος = 50,24cm3 3 50,24 3= 4. Ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο µε κάθετες πλευρές 3 2 cm η κάθε µία στρέφεται κατά µία πλήρη περιστροφή γύρω από το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Να βρείτε Το ύψος του στερεού το οποίο παράγεται Την ολική του επιφάνεια γ) Τον όγκο του στερεού Το ορθογώνιο τρίγωνο περιστρεφόµενο γύρω από το ύψος θα γράψει κώνο µε ύψος, ακτίνα και γενέτειρα. Ισχύει 2 = 2 + 2 = ( ) 2 3 2 + ( ) 2 3 2 = 36 Άρα = 6 Επειδή το αρχικό τρίγωνο είναι ισοσκελές, είναι = 45 ο, εποµένως είναι ισοσκελές και το ορθογώνιο τρίγωνο. Άρα = = = 3cm. 2 Συνεπώς το ύψος του κώνου είναι υ = 3 Ε ολικό = πρλ + πρ 2 = 3,14 3 3 2 + 3,14 3 2 68,11 cm 2 γ) Όγκος = 1 3 3,14 32 3 = 28,26cm 3
4 5. Το σιλό του διπλανού σχήµατος είναι φτιαγµένο από λαµαρίνα κόστους 30 / m 2 και είναι ανοικτό από πάνω. Η ακτίνα του κυλινδρικού τµήµατος είναι 4 m, το ύψος του σιλό είναι 10 m και η γενέτειρα του κωνικού τµήµατος είναι 5 m. Να βρείτε το κόστος κατασκευής του. Το σιλό είναι γεµάτο µε στάρι που θα το αδειάσουµε στην καρότσα ενός φορτηγού, η οποία έχει διαστάσεις 5m, 3m και 1,30m. Να εξετάσετε αν το στάρι θα χωρέσει στο φορτηγό. Το ύψος του κωνικού τµήµατος δίνεται από τον τύπο υ 2 = λ 2 ρ 2 Οπότε υ 2 = 5 2 4 2 = 25 16 = 9 άρα υ = 3 Το ύψος του κυλινδρικού τµήµατος είναι 10 3 = 7 m Η λαµαρίνα που χρησιµοποιήθηκε για την κατασκευή του σιλό είναι ίση µε το άθροισµα των εµβαδών των παραπλεύρων επιφανειών του κυλινδρικού και του κωνικού µέρους. Όµως Ε παράπλευρης κυλίνδρου = 2πρυ =2 3,14 4 7 = 175,84 m 2 και Ε παράπλευρης κώνου = π ρ λ =3,14 4 5= 62,8 m 2 Εποµένως η λαµαρίνα που χρησιµοποιήθηκε έχει εµβαδόν 175,84 + 62,8 = 238,64m 2 Το κόστος κατασκευής του σιλό είναι 238,64 30 = 7159,2 Το σιτάρι που είναι στο σιλό έχει όγκο ίσο µε το άθροισµα των όγκων του κυλινδρικού και του κωνικού µέρους V κυλίνδρου = πρ 2 υ = 3,14 4 2 7 = 351,68 m 3 και V κώνου = 1 3 3,14 42 3 = 50,24m 3 Συνολικός όγκος του σιλό = 351,68 + 50,24 = 401,92 m 3 Ο όγκος της καρότσας του φορτηγού είναι V φορ = 5 3 1,30 = 19,5 m 3 Οπότε το σιτάρι δεν χωράει στο φορτηγό. 6. Ένα κωνικό δοχείο έχει όγκο 2,826 m 3 και ύψος 3dm. Πόση λαµαρίνα χρειάζεται για την κατασκευή του ; 3dm = 0,3 m Ο τύπος: Όγκος = 1 3 πρ2 υ δίνει 2,826 = 1 3 3,14ρ2 0,3 απ όπου ρ 2 = 9 άρα ρ = 3 m λ 2 = υ 2 + ρ 2 = 0,3 2 + 3 2 = 9,09 άρα λ = 9,09 3,01 m περίπου. Ε ολικό = πρλ + πρ 2 = 3,14 3 3,01 + 3,14 3 2 = 56,6142 m 2 Εποµένως για την κατασκευή του δοχείου απαιτούνται 56,6142 m 2 λαµαρίνας
5 7. Ένα τετράγωνο πλευράς 5cm περιστρέφεται γύρω από µία διαγώνιο του κατά γωνία 180 ο. Να βρείτε την επιφάνεια και τον όγκο του στερεού που θα παραχθεί. Κατά την περιστροφή του τετραγώνου θα προκύψει το στερεό του δεύτερου σχήµατος, το οποίο αποτελείται από δύο κώνους µε κοινή βάση, ύψος και ακτίνα ίσα µε το µισό της διαγωνίου και γενέτειρα την πλευρά του τετραγώνου. Πυθαγόρειο στο : 2 = 2 + 2 = = 5 2 + 5 2 = 50 άρα = 50 7,07 Οπότε το ύψος και η ακτίνα του κάθε κώνου είναι 7,07: 2 = 3,535 Η επιφάνεια του στερεού ισούται µε το διπλάσιο της παράπλευρης επιφάνειας του ενός κώνου και ο όγκος µε το διπλάσιο του όγκου του. Κ Οπότε Ε = 2πρλ= 2 3,14 3,535 5= 110,999 και V = 2 1 = 26,16 8. Η σηµαδούρα του διπλανού σχήµατος είναι φτιαγµένη από πλαστικό που ζυγίζει 3 kg/m 2. Tο ύψος του κυλινδρικού τµήµατος είναι 1,20m και η ακτίνα του 0,80m, ενώ το ύψος του κωνικού τµήµατος είναι 1m και η ακτίνα της βάσης του 0,30m. Η σηµαδούρα είναι κούφια στο εσωτερικό της. Να βρείτε πόσο ζυγίζει η σηµαδούρα τον όγκο της. Επιφάνεια της σηµαδούρας = κάτω βάση του κυλίνδρου + παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου + πάνω βάση του κυλίνδρου βάση του κώνου + παράπλευρη επιφάνεια του κώνου. ηλαδή Ε = πρ 2 κ + 2πρ κ υ κ + πρ 2 κ πρ 2 κων + πρ κων λ ια τη γενέτειρα λ του κώνου ισχύει λ 2 = υ 2 2 + ρ κων = 1 2 + 0,3 2 = 1,09 άρα λ = 1,09 1,04 Τότε Ε = 3,14 0,8 2 + 2 3,14 0,8 1,2 + 3,14 0,8 2 3,14 0,3 2 + 3,14 0,30 1,04 = = 10,75m 2 περίπου Το βάρος της σηµαδούρας είναι 10,75 3 =32,25kg. Ο όγκος της σηµαδούρας είναι ίσος µε το άθροισµα των όγκων του κυλίνδρου και του κώνου. Οπότε V = πρ 2 κ υ κ + 1 3 π ρ 2 κωνυ κων = 3,14 0,8 2 1,2 + 1 3 3,14 0,32 1= 2,5 m 3 περίπου