ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΞΙΟΓΡΑΦΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΞΙΟΓΡΑΦΩΝ

A. Η Έννοια της Παρούσας και της Μελλοντικής Αξίας A1. Εισαγωγή στην έννοια της χρονικής αξίας του χρήµατος Η «πράξη» της αναγωγής σε παρούσα και µελλοντική αξία είναι για την επιστήµη των χρηµατοοικονοµικών ότι είναι οι τέσσερις βασικές πράξεις για την επιστήµη των µαθηµατικών. Για να γίνει πρακτικώς αντιληπτή η έννοια απαντήστε στην παρακάτω ερώτηση. «Θα προτιµούσατε να σας προσέφερε κάποιος 100 σήµερα ή 100 σε ένα έτος από σήµερα;»

Α2. Υπολογίζοντας την Παρούσα Αξία και την Μελλοντική Αξία Για τον υπολογισµό της παρούσας αξίας ενός ποσού είναι απαραίτητη η έννοια του συντελεστή αναγωγής ή προεξόφλησης (Discount Factor). Π.Α.(C) = C * Συντελεστή Προεξόφλησης όπου, Συντελεστής Προεξόφλησης = 1/1+r r, το επιτόκιο προεξόφλησης, δηλαδή το ελάχιστο επιτόκιο απόδοσης το οποίο για δεδοµένο επίπεδο ασφάλειας ζητούν οι επενδυτές προκειµένου να δεχθούν µία µελλοντική είσπραξη αντί µιας σηµερινής. Η αντίστροφη πράξη από αυτή της αναγωγής σε παρούσα αξία ονοµάζεται αναγωγή σε µελλοντική αξία. Εποµένως, η µελλοντική αξία ενός ποσού C σε t έτη από σήµερα υποθέτοντας ετήσια απόδοση ίση µε r ισούται µε, Μ.Α.(C) = C * (1+r) t

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΑΡΟΥΣΑΣ ΑΞΙΑΣ Ε ΟΜΕΝΑ: ΣΕΝΑΡΙΟ 1 ΑΓΟΡΑ ΚΑΙ ΜΕΤΑΠΩΛΗΣΗ ΟΙΚΟΠΕ ΟY:100.000 ΙΑΡΚΕΙΑ: 1 ETOΣ ΣΕΝΑΡΙΟ 2 ΕΠΕΝ ΥΣΗ ΣΕ ΚΡΑΤΙΚΑ ΟΜΟΛΟΓΑ ΕΤΗΣΙΑ ΑΠΟ ΟΣΗ r=4,5%. ΤΙ ΠΟΣΟ ΘΑ ΠΡΠΕΙ ΝΑ ΠΛΗΡΩΣΕΙ ΣΗΜΕΡΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΓΟΡΑ ΤΟΥ ΟΙΚΟΠΕ ΟΥ; 100000*1/1+0,045=95.693,8.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 1. Άρα λοιπόν, µε ετήσιο επιτόκιο 4,5%, η παρούσα αξία των 100.000 ισούται µε 95.693,8. ηλαδή, ο επενδυτής θα έπρεπε να πληρώσει σήµερα 95.693,8 για την αγορά ενός οικοπέδου το οποίο θα πουλούσε 100.000 σε 1 έτος από σήµερα 2. Το γεγονός αυτό αποτελεί απλά µια πρόβλεψη, και εποµένως η ροή δεν µπορεί να θεωρηθεί βέβαιη. Γενικώς, η επένδυση στο οικόπεδο µπορεί να θεωρηθεί υψηλότερου κίνδυνου σε σχέση µε εκείνη στα οµόλογα 3. Παράδειγµα: Ας υποθέσουµε ότι µία επένδυση στο Χ.Α. προσφέρει ετήσια απόδοση r=10%. Σε αυτή την περίπτωση η παρούσα αξία της επένδυσης θα ήταν ίση µε: 100000*1/1+0,010=90.9091. 4. H παρούσα αξία της επένδυσης σε αυτή την περίπτωση είναι χαµηλότερη από εκείνη στο προηγούµενο παράδειγµα. Ο επενδυτής θα έπρεπε να πληρώσει 90.909,1 για την αγορά ενός οικοπέδου το οποίο θα πουλούσε 100.000 σε 1 έτος από σήµερα, αντί 95.693,8, γιατί ο επενδυτικός κίνδυνος της δεύτερης περίπτωσης εκτιµάται υψηλότερος.

Α3. Αναγωγή σε Παρούσα και Μελλοντική Αξία και ανατοκισµός Α3.1. Απλός Ανατοκισµός Ας υποθέσουµε ότι ο επενδυτής έχει προς επένδυση σήµερα το ποσό C 0 ενώ η προσφερόµενη ετήσια απόδοση είναι r, τότε το ποσό C 1 που θα εισπράξει σε ένα έτος από σήµερα ισούται µε: C 1 = C 0 (1+r) Παράδειγµα: Έστω επενδυτής ο οποίος διαθέτει προς επένδυση ποσό 100.000, ενώ η εν λόγω επένδυση πρόκειται να του προσφέρει ετήσια απόδοση της τάξης του 5%. Ποιο είναι το ποσό που θα εισπράξει ο επενδυτής µε το πέρας ενός έτους; C 1 = C 0 (1+r) = 100.000(1+ 0,05) = 105.000

Α3.2. Σύνθετος Ανατοκισµός και Αναγωγή σε Μελλοντική Αξία Ας υποθέσουµε ότι ο επενδυτής έχει την δυνατότητα να επανεπενδύσει το ποσό αυτό µε το ίδιο επιτόκιο r για ένα επιπλέον έτος, τότε σε 2 έτη ο επενδυτής θα εισέπραττε: C 2 = C 1 (1+r) ή C 2 = C 0 (1+r) 2 Γενικότερα, εάν ο επενδυτής προχωρούσε στην επανεπένδυση του ποσού που θα εισέπραττε κάθε έτος µε επιτόκιο r, τότε το ποσό που θα εισέπραττε σε t έτη θα ήταν ίσο µε: C t = C 0 (1+r) t Η πράξη αυτή ονοµάζεται σύνθετος ανατοκισµός (compound interest), και πρέπει να σηµειωθεί ότι κάθε έτος, εκτός από το αρχικό κεφάλαιο, επενδύονται και οι ετήσιοι τόκοι που εισπράττονται. Ο όρος (1+r)t ονοµάζεται συντελεστής ανατοκισµού και χρησιµοποιείται για να µεταφέρουµε µια χρηµατική ροή από µια χρονική στιγµή σε µια µελλοντική χρονική στιγµή. Παράδειγµα: Έστω ότι ο επενδυτής του προηγούµενου παραδείγµατος έχει την δυνατότητα να επενδύσει το ποσό των 100.000 για 3 έτη. Τι ποσό θα εισπράξει µετά από 3 χρόνια µε ετήσιο ανατοκισµό; C 1 = C 0 (1+r) 3 = 100.000 *(1+ 0,05) 3 = 115.762,5

Α3.3. Σύνθετος Ανατοκισµός και Αναγωγή σε Παρούσα Αξία Εάν ένας επενδυτής επιθυµούσε να αναγάγει σε σηµερινή αξία ή παρούσα αξία (C 0 ) µία µελλοντική ροή C 1, τότε: C 0 = C 1 /(1+r) Γενικότερα, εάν η χρηµατική ροή πρόκειται να εισπραχθεί σε t έτη από σήµερα, τότε η παρούσα αξία του ποσού θα ήταν ίση µε: C 0 = C t /(1+r) t Ο όρος (1+r) -t ονοµάζεται συντελεστής αναγωγής και χρησιµοποιείται για να µεταφέρουµε µία χρηµατική ροή από µία µελλοντική χρονική στιγµή σε σηµερινή, δηλαδή σε παρούσα αξία. Παράδειγµα: Επενδυτής ο οποίος επιθυµεί να διαθέτει σε δύο έτη από σήµερα ποσό 150.000, µε ετήσια απόδοση ίση µε 8%. Τι ποσό θα πρέπει να επενδύσει έτσι ώστε να διαθέτει το ποσό αυτό σε 3 έτη από σήµερα; C 0 = C 1 / (1+r) 3 =150.000/(1+0,08) 3 =119.074,8

Α4. Χρηµατορροές και Παρούσα Αξία Χρηµατορροών Χρηµατορροές (Cash Flow) ονοµάζονται τα χρηµατικά ποσά που θα εισπραχθούν ή θα πληρωθούν σε διάφορες µελλοντικές χρονικές στιγµές. Για τον καλύτερο χειρισµό των χρηµατορροών είναι ιδιαιτέρως χρήσιµη η απεικόνιση τους στον άξονα του χρόνου. H παρούσα αξία µιας χρηµατορροής υποθέτοντας επιτόκιο αναγωγής r, ισούται µε το άθροισµα της παρούσας αξίας όλων των όρων της χρηµατοροής, Π.Α. = C 0 +C 1 /(1+r) 1 + C 2 /(1+r) 2 +.+C t /(1+r) t Ο τύπος αυτός ονοµάζεται Discounted Cash Flow, ενώ µπορεί να εκφραστεί και ως ένα απλό άθροισµα: ΠΑ=Σ C n /(1+r) n n=1.t

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω µια χρηµατορροή 5 ετών. Οι ετήσιες ροές εκτιµάται ότι είναι ίσες µε 100 χιλ., 230 χιλ., 80 χιλ., -120 χιλ. και 250 χιλ., εισπρακτέες ή πληρωτέες ανάλογα στο τέλος του 1 ου, 2 ου, 3 ου, 4 ου και 5 ου έτους αντίστοιχα. Ο επενδυτής εκτιµά ότι το ετήσιο κόστος ευκαιρίας ισούται µε 5%. Υπολογίστε την παρούσα αξία της χρηµατορροής. Π.Α. = 100/(1+0.05)+230/(1+0.05) 2 +80/(1+0.05) 3-120/(1+0.05) 4 +250/(1+0.05) 5 = 95,2 + 208,6+ 69,1 98,7 + 195,9 = 470,1 χιλ.

Α5. Τελική Αξία Χρηµατορροών Η τελική αξία µιας χρηµατορροής είναι η αξία της στο τέλος της διάρκειας της. Για τον υπολογισµό της τελικής αξίας µιας χρηµατορροής απλά απαιτείται η άθροιση των τελικών αξίων κάθε µιας από τις χρηµατικές ροές της χρηµατορροής. Παράδειγµα: Mία κατασκευαστική έχει αναλάβει την κατασκευή έργου διάρκειας 3 ετών, του οποίου το συνολικό κόστος ανέρχεται σε 1 εκατ.. Η εταιρία εκτιµά ότι το κόστος της επένδυσης θα καταβληθεί όπως περιγράφεται στον πιο κάτω άξονα χρόνου. Χρηµατορροές (σε χιλ. ) 0-500 -300-200 Περίοδοι 0 1 2 3 Εποµένως, Τ.Α. = -500(1+ 0,05)-300(1+0,05) 2-200(1+0,05) 3 = -1.087,3 χιλ. Το συνολικό κόστος της επένδυσης ανέρχεται σε 1.087,3 χιλ..

Β. Αξίες Ραντών Β1. Η Έννοια της Ράντας Μια ακολουθία εισροών ή εκροών που εισπράττονται ή πληρώνονται σε ίσες απέχουσες µεταξύ τους χρονικές στιγµές ονοµάζεται ράντα (Annuity). Η ράντα είναι µία χρηµατορροή διαφοροποιούµενη µόνο στο γεγονός ότι οι όροι της λήγουν σε ίσες απέχουσες χρονικές στιγµές. Κάθε χρηµατικό ποσό ονοµάζεται όρος της ράντας. Οι ράντες διακρίνονται σε: Μη σταθερές, Πρόσκαιρες, ιηνεκείς, Ζωής ή τυχαίες ράντες, Άµεσες, Αρξάµενες, Μελλοντικές, Ληξιπρόθεσµες,Προκαταβλητέες.

Β2. Αξία Πρόσκαιρης Ράντας Μία πρόσκαιρη ράντα µπορεί να είναι κυρίως σταθερή ή µη σταθερή, προκαταβλητέα ή ληξιπρόθεσµη. Η παρούσα αξία µιας ράντας υπολογίζεται ως εξής: ΠΑ=Σ C n /(1+r) n n=1.t Β2.1. Αξία Πρόσκαιρης Μη Σταθερής Ληξιπρόθεσµης Ράντας Όταν πρόκειται για µη σταθερή ληξιπρόθεσµη ράντα, τότε C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C t-1 C t H παρούσα αξία υπολογίζεται, εφαρµόζοντας απλά τον γενικότερο τύπο της παρούσας αξίας, δηλαδή προσθέτοντας την παρούσα αξία κάθε ενός από τους όρους της ράντας.

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω ενοικιαστής πληρώνει το σύνολο των ενοικίων στο τέλος κάθε έτους, ενώ το µηνιαίο ενοίκιο για το 1 ο, 2 ο και 3 ο έτος είναι 500, 600 και 650 αντίστοιχα. Υπολογίστε το ποσό το οποίο πρέπει να αποταµιεύσει σήµερα ο ενοικιαστής µε σκοπό να εξασφαλίσει το σύνολο των ενοικίων, εάν το ετήσιο επιτόκιο 4%. Χρηµατορροές 0 500*12 600*12 650*12 Περίοδοι 0 1 2 3 Π.Α.= 6.000/(1+0,04)+7.200/(1+0,04) 2 +7.800/(1+0,04) 3 =19.360,2 Εποµένως, ο ενοικιαστής θα έπρεπε να αποταµιεύσει σήµερα 19.360,2 για να εξασφαλίσει το σύνολο των ενοικίων για το σύνολο των 3 ετών.

Β2.2. Αξία Πρόσκαιρης Μη Σταθερής Προκαταβλητέας Ράντας Όταν πρόκειται για µη σταθερή προκαταβλητέα ράντα, τότε C 1 C 2 C 3 C 4 C t-1 C t H παρούσα αξία υπολογίζεται, εφαρµόζοντας απλά τον γενικότερο τύπο της παρούσας αξίας. Παράδειγµα: Eνοικιαστής πληρώνει το σύνολο των ενοικίων στην αρχή κάθε έτους, ενώ το µηνιαίο ενοίκιο για το 1 ο, 2 ο και 3 ο έτος είναι 500, 600 και 650 αντίστοιχα. Ti ποσό το οποίο πρέπει να αποταµιεύσει σήµερα ο ενοικιαστής µε σκοπό να εξασφαλίσει το σύνολο των ενοικίων µε ετήσιο επιτόκιο 4%. Π.Α. =6.000+7.200/(1+0,05) 2 +7.800/(1+0,05) 3 =20.134,6. Ο ενοικιαστής θα έπρεπε να αποταµιεύσει σήµερα 20.134,6 για να εξασφαλίσει το σύνολο των ενοικίων.

Β2.3. Αξία Πρόσκαιρης Σταθερής Ληξιπρόθεσµης Ράντας Όταν πρόκειται για σταθερή ληξιπρόθεσµη ράντα τότε, C 1 = C 2 = C 3 = C 4 = C 5 = = C t-1 =C t ΠΑ=ΣC/(1+r) n =C{[1-1(1+r) -t ]/r} n=1 t Παράδειγµα: Eνοικιαστής πληρώνει το σύνολο των ενοικίων στο τέλος κάθε έτους, ενώ το µηνιαίο ενοίκιο για το 1 ο, 2 ο και 3 ο έτος παραµένει αµετάβλητο στα 500. Ti ποσό το οποίο πρέπει να αποταµιεύσει σήµερα ο ενοικιαστής µε σκοπό να εξασφαλίσει το σύνολο των ενοικίων µε ετήσιο επιτόκιο 4%. ΠΑ=500{[1-(1+0,04)- 3 ]/0,04}=16.650,6 Εποµένως, ο ενοικιαστής θα έπρεπε να αποταµιεύσει σήµερα 16.650,6 για να εξασφαλίσει το σύνολο των ενοικίων για την περίοδο των 3 ετών.

Β2.4. Αξία Πρόσκαιρης Σταθερής Προκαταβλητέας Ράντας Εάν πρόκειται για σταθερή προκαταβλητέα ράντα τότε η παρούσα αξία της αποδεικνύεται ότι ισούται µε: ΠΑ=ΣC/(1+r) n =C{[1-1(1+r)- t ]/r}(1+r) Παράδειγµα: Eνοικιαστής πληρώνει το σύνολο των ενοικίων στην αρχή κάθε έτους, ενώ το µηνιαίο ενοίκιο για το 1 ο, 2 ο και 3 ο έτος παραµένει αµετάβλητο στα 500. Ti ποσό το οποίο πρέπει να αποταµιεύσει σήµερα ο ενοικιαστής µε σκοπό να εξασφαλίσει το σύνολο των ενοικίων µε ετήσιο επιτόκιο 4%. Χρηµατορροές 500*12 500*12 500*12 Περίοδοι 0 1 2 3 Π.Α.=500*12 + 500*12{[1-(1+0,04) -2 ]/0,04}=17.316,6 ή 500 12-3 1-(1+0,04) 0,04 (1+0,04)= 16.650,6(1+ 0,04)= 17.316,6 ευρώ

Β3. Παρούσα Αξία Ράντας µε Όρους Αυξανόµενους µε Σταθερό Ρυθµό Όταν πρόκειται για µια ράντα µε όρους αυξανόµενους µε σταθερό ρυθµό αναφερόµαστε σε µία ράντα της οποίας οι όροι της είναι όπως περιγράφονται στον παρακάτω άξονα του χρόνου: Χρηµατορροές 0 C 1 C 1 (1+µ) C 1 (1+µ) 2 C 1 (1+µ) 3 C 1 (1+µ) t-2 C 1 (1+µ) t-1 0 1 2 3 4. t-1 t ΠΑ=C 1 /(1+µ){[1-(1+ε) -t ]/r} όπου (1+r)/(1+µ) = 1+ε Ο παραπάνω τύπος δίνει εποµένως την παρούσα αξία µιας ληξιπρόθεσµης ράντας, της οποίας οι όροι αυξάνονται µε σταθερό ρυθµό µ (r>µ).

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω επενδυτής ο οποίος έχει συνάψει σύµβαση µε ασφαλιστική εταιρία να πληρώνει κάθε έτος ποσό 1.500 για τα επόµενα 20 έτη, ενώ το ποσό αυτό θα αυξάνει κάθε έτος µε σταθερό ρυθµό της τάξης του 2%. Εάν αποταµίευε αυτό το ποσό θα εισέπραττε ετήσιο επιτόκιο της τάξης του 4%. Υπολογίστε την παρούσα αξία της εν λόγω ράντας. Π.Α=[1500/1+0,02]{1-{1+0,02} -20 }/0.02=13.209,07 ε = [(1+r)/(1+µ)] -1 = 0,02

Β4. Παρούσα Αξία ιηνεκούς Ράντας Στις διηνεκείς ράντες το πλήθος των όρων τους τείνει στο άπειρο, δηλαδή lim (1+r) -t = 0 Σε αυτή την περίπτωση, η παρούσα αξία της ράντας ισούται µε Π.Α. = C/r εάν η ράντα είναι ληξιπρόθεσµη, ενώ Π.Α. = C+ C/r, εάν η ράντα είναι προκαταβλητέα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω επενδυτής ο οποίος έχει συνάψει σύµβαση µε ασφαλιστική εταιρία να πληρώνει στο τέλος κάθε έτος ποσό 1.500 για το υπόλοιπο της ζωής του, ενώ εάν αποταµίευε αυτό το ποσό θα εισέπραττε ετήσιο επιτόκιο της τάξης του 4%. Υπολογίστε την παρούσα αξία της εν λόγω ράντας. Πρόκειται για µία ληξιπρόθεσµη διηνεκής ράντα. Εποµένως η παρούσα αξία της θα ισούται µε, Π.Α. = 1500/0.04=37.500 Σηµειώστε ότι εάν ο ασφαλιζόµενος είχε προβεί σε σύµβαση σύµφωνα µε την οποία θα έπρεπε να πληρώνει το ποσό αυτό στην αρχή κάθε έτους τότε η παρούσα αξία αυτής της διηνεκούς προκαταβλητέας ράντας θα ήταν ίση µε: Π.Α. = 1.500 + 1500/0.04 =39.000

Β5. Παρούσα Αξία ιηνεκούς Ράντας µε Όρους Αυξανόµενους µε Σταθερό Ρυθµό Στη διηνεκή ράντα το πλήθος των όρων της τείνει στο άπειρο, δηλαδή lim(1+r) -t = 0, άρα και lim(1+ε) -t = 0. ΠΑ= C 1 / r-µ r >µ Παράδειγµα: Επενδυτής ο οποίος έχει συνάψει σύµβαση µε ασφαλιστική εταιρία να πληρώνει κάθε έτος ποσό 1.000 για το υπόλοιπο της ζωής του, ενώ το ποσό αυτό θα αυξάνει κάθε έτος µε σταθερό ρυθµό της τάξης του 1%. Εάν αποταµίευε αυτό το ποσό θα εισέπραττε ετήσιο επιτόκιο της τάξης του 4%. Υπολογίστε την παρούσα αξία της εν λόγω ράντας. Απάντηση: Πρόκειται για µία ληξιπρόθεσµη διηνεκείς ράντα της οποίας οι όροι αυξάνονται µε σταθερό ρυθµό µ. Εποµένως, η παρούσα αξία της ισούται µε ΠΑ=C/r-µ=1000/(0,04-0,01)=33.333

Β6. Τελική Αξία Ράντας Η τελική αξία (future value) µιας ράντας είναι η αξία της ράντας στο τέλος της διάρκειας της. ΤΑ = ΠΑ (1+r) t -t t 1-(1+r) (1+r) -1 TA = ΠΑ r (1+r) t ή ΤΑ = r ΠΑ Παράδειγµα: Eπιχείρηση εξετάζει την αντικατάσταση ενός µηχανήµατος σε 5 έτη από σήµερα. Για τον σκοπό αυτό θα δηµιουργεί αποθεµατικό ύψους 100.000 κάθε έτος,το επιτόκιο ανέρχεται σε 5%. Ποιο είναι το κεφάλαιο το οποίο θα έχει σχηµατισθεί στο τέλος της 5ετίας; Απάντηση: Για τον υπολογισµό του ποσού θα πρέπει να υπολογισθεί η τελική αξία της ράντας. Η τελική αξία δίνεται από τον τύπο, Τ.Α. = Π.Α.{[(1+r) t -1]/r}=100.000{[(1+0.05) 5-1]/0.05}=552.563

Β7. Εύρεση Όρου Ράντας Είναι σύνηθες στον κόσµο των χρηµατοοικονοµικών έχοντας ως γνωστά την παρούσα αξία ή την τελική αξία µιας ράντας να ζητείται ένας όρος της ράντας. Χαρακτηριστικό παράδειγµα τέτοιου προβλήµατος είναι ο υπολογισµός του ποσού που πρέπει να καταβάλει µια επιχείρηση για την αποπληρωµή ενός δανείου (ισχύει για σταθερές ράντες). C = ΠΑ {r/1-(1+r) -t } (γνωστή η ΠΑ της ράντας) C = ΤΑ {r/[(1+r) t 1]} (γνωστή η ΤΑ της ράντας) Παράδειγµα: H Tektron έχει συνάψει δάνειο ύψους 40 εκατ. µε επιτόκιο 7%. Η εξόφληση θα γίνει σε 10 τοκοχρεολυτικές δόσεις. Υπολογίστε το ύψος της τοκοχρεολυτικής δόσης. C = Π.Α. {r/1-(1+r) -t }=40{0,07/[1-(1+0,07-10 ]}=5,69 εκατ.χιλ

Γ. Εφαρµογές Χρονικής Αξίας Χρήµατος Γ1. Αποτίµηση Μετοχών Γ1.1. Η Έννοια της Μετοχής Προκειµένου να ιδρυθεί µια Ανώνυµη Εταιρία (Α.Ε.) συγκεντρώνει ένα κεφάλαιο, το οποίο διαιρείται σε µικρότερα ίσα µερίδια τα οποία ονοµάζονται µετοχές (Shares). Οι µετοχές εκδίδονται απλές (µία µετοχή) ή πολλαπλές (των πέντε, των δέκα κτλ). Πάνω σε κάθε µετοχή αναγράφεται το µετοχικό κεφάλαιο της εταιρίας, ο αριθµός των µετοχών στις οποίες διαιρείται το µετοχικό κεφάλαιο και η ονοµαστική αξία της µετοχής.

Κατηγοριοποίηση τιµών µετοχών: Ονοµαστική (nominal value) ονοµάζεται η αξία η οποία αναγράφεται επάνω στη µετοχή. Τιµή έκδοσης στο άρτιο (issue price at par value) είναι η τιµή που καταβάλλουν οι µέτοχοι για να αποκτήσουν µια µετοχή, της οποίας η τιµή είναι ίση µε την ονοµαστική της αξία. Τιµή έκδοσης υπέρ το άρτιο (issue price above par value) είναι η τιµή που καταβάλλουν οι µέτοχοι για να αποκτήσουν µια µετοχή, της οποίας η τιµή είναι υψηλότερη από την ονοµαστική της αξία. Τιµή έκδοσης υπό το άρτιο (issue price below par value) είναι η τιµή που καταβάλλουν οι µέτοχοι για να αποκτήσουν µια µετοχή, της οποίας η τιµή είναι χαµηλότερη από την ονοµαστική της αξία. Λογιστική τιµή ή εσωτερική αξία (book value or net asset value) είναι η αξία των ιδίων κεφαλαίων µιας εταρίας ανα µετοχή. Η λογιστική τιµή λοιπόν προκύπτει από την αφαίρεση των υποχρεώσεων της εταιρίας από το ενεργητικό της, το οποίο διαιρείται εν συνεχεία µε τον αριθµό των µετοχών της. Χρηµατιστηριακή τιµή (share price) είναι η τιµή µε την οποία διαπραγµατεύεται η εταιρία στο χρηµατιστήριο.

Γ1.2. Μερίσµατα (Dividends) Από τα καθαρά κέρδη µιας εταιρίας, η Γενική Συνέλευση ψηφίζει την διανοµή µέρους τους στους µετόχους. Το µέρισµα των ανωνύµων µετοχών πληρώνεται µε την προσκόµιση των µερισµαταποδείξεων στα γραφεία της εταιρίας ή σε κάποια τράπεζα. Στους κατόχους των ονοµαστικών µετοχών αποστέλλεται συνήθως τραπεζική επιταγή για την είσπραξη των µερισµάτων. Όσον αφορά στην φορολογία των µερισµάτων, και επειδή τα κέρδη φορολογούνται στις ίδιες τις εταιρίες, δεν επιβάλλεται κάποιος επιπλέον φόρος.

Γ1.3. Αποτίµηση Μετοχών Γ1.3.1. Αποτίµηση Μετοχών µε την Μέθοδο της Προεξόφλησης των Μερισµάτων Για τον υπολογισµό της αξίας µιας µετοχής θα πρέπει να προεξοφλήσουµε τα µελλοντικά µερίσµατα τα οποία θα εισπράξει ένας επενδυτής. Π.Α. (Μετοχής) = Π.Α. (Μελλοντικών Μερισµάτων) Θα µπορούσε βέβαια να ισχυριστεί κάποιος ότι η συνολική απόδοση ενός επενδυτή εκτός από τα µερίσµατα, εξαρτάται και από τα κεφαλαιακά κέρδη. Εποµένως, η συνολική απόδοση που απολαµβάνει για την χρονική περίοδο π.χ. ένα έτος ισούται µε: Αναµενόµενη Απόδοση Επένδυσης=r=(D 1 +P 1 -P 0 ) /P 0 Όπου D 1, το προβλεπόµενο µέρισµα της οικονοµικής χρήσης P 1, η τιµή σε ένα έτος από σήµερα P 0, η τιµή σήµερα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Η µετοχή της Tektron σήµερα διαπραγµατεύεται στα 2,30, ενώ οι αναλυτές εκτιµούν ότι η εταιρία αυτή πρόκειται να πληρώσει µέρισµα για την οικονοµική χρήση ίσο µε 0,10, ενώ η τιµή της σε ένα έτος από σήµερα, δεδοµένων των προσδοκιών, θα βρίσκεται στα 2,50. Η αναµενόµενη απόδοση για την µετοχή της Tektron είναι ίση µε r=(d 1 +P 1 -P 0 )/P 0 =(0,10+2,50-2,30)/2,30=0,13% Υποθέστε ότι η αναµενόµενη απόδοση στην µετοχή της Tektron είναι ίση µε 13%, το µέρισµα της επόµενης χρήσης ανέρχεται σε 0,10, ενώ η τιµή της σε ένα έτος εκτιµάται ότι θα βρίσκεται στα 2,50. Η αναµενόµενη τιµή για την µετοχή της Tektron είναι ίση µε P 0 =D 1 +P/1+r=(0,10+2,50)/(1+0,13)=2,30

ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η τιµή σε ένα έτος από σήµερα θα εξαρτάται από το µέρισµα που θα λάβει ο επενδυτής για την µεθεπόµενη χρήση. Εποµένως, η τιµή σε 1 έτος από σήµερα θα δίνεται από τον τύπο P 0 = ΣD n /(1+r) n +P n /(1+r) n εδοµένου ότι η Χρηµατοοικονοµική Επιστήµη υποθέτει ότι η ζωή των επιχειρήσεων τείνει στο άπειρο, τότε lim P n /(1+r) n =0 Eποµένως: P 0 = ΣD n /(1+r) n Παράδειγµα: Η εταιρία ΑΒΓ, η οποία εκτιµάται ότι θα είναι σε θέση να πληρώνει µέρισµα ανά µετοχή στο διηνεκές ίσο µε 2,00. Υπολογίστε την τιµή διαπραγµάτευσης της στο χρηµατιστήριο εάν υποθέσετε ότι οι µέτοχοι της επιθυµούν ετήσια απόδοση ίση µε 8%. Η τιµής της µετοχής ισούται µε την παρούσα αξία των µελλοντικών µερισµάτων Po=D/r=2,00/0,08=25,00

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Η εταιρία ΑΒΓ, εκτιµάται ότι θα είναι σε θέση να πληρώσει µέρισµα ανά µετοχή για τα επόµενα 3 έτη ίσο µε 2,00, 2,50 και 3,00 αντίστοιχα, ενώ από εκείνο το χρονικό σηµείο η εταιρία θα είναι σε θέση να διανέµει µέρισµα ανά µετοχή ίσο µε 3,30 στο διηνεκές. Υπολογίστε την τιµή διαπραγµάτευσης της στο χρηµατιστήριο εάν υποθέσετε ότι οι µέτοχοι της επιθυµούν ετήσια απόδοση ίση µε 8%. Εάν η µετοχή διαπραγµατεύεται αυτή την στιγµή στα 40,00, θα την προτείνατε προς αγορά; Μερίσµατα 2,00 2,50 3,00 3,30.. 3,30 Περίοδοι 0 1 2 3 4 t P 0 = 2/(1+0,08)+2,50 /(1+0,08) 2 +3,30 /(1+0,08) 3 + 3,30/(0,08){(1/(1+0,08) 3 }=39,1

ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η υπολογισθείσα τιµή, η οποία αποτελεί και την δίκαιη τιµή της µετοχής, είναι χαµηλότερη από την τιµή στην αγορά, εποµένως δεν θα πρέπει να αγοραστεί. Στον τελευταίο όρο της παραπάνω σχέσης υπολογίσαµε την παρούσα αξία των µερισµάτων που πρόκειται να πληρώσει η εταιρία από την χρονική στιγµή t=4 µέχρι το διηνεκές. Συχνά αποτιµώντας µια µετοχή, υποθέτουµε ότι τα µερίσµατα αυξάνονται µε σταθερό ρυθµό µ. Οπότε η τιµή της µετοχής: P 0 =D 1 /r-µ Gordon s model

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Υποθέστε την εταιρία ΑΒΓ η οποία εκτιµάται ότι είναι σε θέση να αυξάνει το µέρισµα ανά µετοχή, το οποίο πλήρωσε κατά την τελευταία χρήση και ήταν ίσο µε 2,00, µε σταθερό ρυθµό αύξησης ίσο µε 2%. Υπολογίστε την τιµή της µετοχής εάν υποθέσετε ότι οι µέτοχοι προσδοκούν απόδοση της τάξης του 10%. Απάντηση: Σύµφωνα µε το Υπόδειγµα Gordon, η τιµή της µετοχής θα ήταν ίση µε: P 0 =D 1 /r-µ =2,00(1+0,02)/(0,1-0,02)=25,50

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ H εταιρία ΑΒΓ η οποία εκτιµάται ότι είναι σε θέση να αυξάνει το µέρισµα ανά µετοχή, το οποίο πλήρωσε κατά την τελευταία χρήση και ήταν ίσο µε 2,00 µε σταθερό ρυθµό αύξησης ίσο µε 2%. Η τιµή της µετοχής σήµερα ισούται µε 30,00. Υπολογίστε την προσδοκώµενη απόδοση από τους µετόχους. Απάντηση: Η προσδοκώµενη απόδοση των επενδυτών ισούται µε: r= D 1 /P 0 +µ=2,00(1+0,02)/30+0,02=8,8%

Γ1.3.2. Αποτίµηση Μετοχών µε την Μέθοδο της Προεξόφλησης των Ελεύθερων Ταµειακών Ροών Μία άλλη µέθοδος µε την οποία µπορεί να προσεγγιστεί η αξία της µετοχής, είναι προεξοφλώντας τις µελλοντικές λειτουργικές ταµειακές ροές της εταιρίας (Operating Free Cash Flow). Η λειτουργική ταµειακή ροή ισούται µε τα «µετρητά» που αποµένουν στην εταιρία µετά την κάλυψη όλων των λειτουργικών ταµειακών αναγκών της εταιρίας. Οπότε, η τιµή της µετοχής ισούται: P 0 =Σ FCF n /(1+r) n Λειτουργική Ταµειακή Ροή = Έσοδα Έξοδα Επενδύσεις Tο επιτόκιο προεξόφλησης είναι το µεσοσταθµικό κόστος κεφαλαίου (Weighted Average Cost of Capital ή WACC). Mπορούν να εφαρµοστούν οι σχέσεις ράντων των οποίων οι όροι αυξάνονται µε σταθερό ρυθµό µ ή που τείνουν στο άπειρο.

Γ1.3.3. Αποτίµηση Μετοχών µε την χρήση των Κερδών ανά Μετοχή (EPS) Οι επενδυτές διαχωρίζουν τις µετοχές σε αυτές που παρουσιάζουν προοπτικές ανάπτυξης και σε εκείνες που είναι συντηρητικές και δεν παρουσιάζουν σηµαντικούς ρυθµούς ανάπτυξης. Υποθέστε την περίπτωση µιας εταιρίας που εκτιµάται ότι πρόκειται να παρουσιάσει µηδενικό ρυθµό ανάπτυξης. Σε αυτή την περίπτωση η αναµενόµενη απόδοση: r=d 1 /P 0. Εποµένως, η αναµενόµενη απόδοση είναι ίση µε την µερισµατική απόδοση της µετοχής, η οποία µε την σειρά της είναι ίση µε τον λόγο Κέρδη Ανά Μετοχή (EPS) προς Τιµή, (Ε/P) (Earnings-to-price ratio).

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Εάν το µέρισµα D 1 είναι ίσο µε 2 και η τιµή P 0 ισούται µε 40, τότε η αναµενόµενη απόδοση ισούται µε: r= D 1 /P 0 = EPS/r=2,00/40,00=5% Αντιστρόφως, η τιµή της µετοχής P 0 = D 1 /r=eps 1 /r=2,00/0,05=40 Ας υποθέσουµε ότι η προηγούµενη εταιρία διαθέτει επενδυτική ευκαιρία για την οποία απαιτούνται 40, ενώ θα εισπράξει, σε ένα έτος µετά την ολοκλήρωση της επένδυσης, κέρδη ύψους 2 για κάθε έτος της ζωής της. Η εταιρία δεν θα πληρώσει µέρισµα για την επόµενη χρήση, ενώ το µέρισµα µετά την δεύτερη χρήση θα είναι αυξηµένο στα 4. Υποθέτοντας ότι αυτή η νέα επένδυση έχει επενδυτικό κίνδυνο ίδιο µε αυτό της επιχείρησης, τότε η παρούσα αξία της την επόµενη χρήση θα είναι ίση µε ΠΑ=-40,00+2/0,05=0 Εποµένως λοιπόν, η επενδυτική αυτή ευκαιρία δεν θα προσέφερε τίποτα στην αξία της επιχείρησης. Η αναµενόµενη απόδοση είναι πάλι ίση µε 5%.

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ας επαναλάβουµε το ίδιο παράδειγµα, υποθέτοντας όµως αυτή την φορά ότι η εταιρία διαθέτει µία επενδυτική ευκαιρία για την οποία απαιτούνται 30. Υποθέτοντας ότι αυτή η νέα επένδυση έχει επενδυτικό κίνδυνο ίδιο µε αυτό της επιχείρησης, τότε η παρούσα αξία της την επόµενη χρήση θα είναι ίση µε ΠΑ=-30,00+2,00/0,05=10,00 Τότε η τιµή της µετοχής θα ήταν ίση µε το άθροισµα της παρούσας αξίας των Κερδών ανά Μετοχή και την παρούσα αξία των προοπτικών ανάπτυξης της (PVGO). P 0 =EPS 1 /r+pvgo= 2,00/0,05+10,00/1,05=49,52

Γ2. Αποτίµηση Οµολογιών και Οµολόγων Όταν εξετάζουµε οµόλογα ή οµολογίες, ο επενδυτής προσδοκά να λάβει το τόκο του προϊόντος σταθερού εισοδήµατος για τα έτη της ζωής του προϊόντος, ενώ κατά τη λήξη του προϊόντος θα λάβει εκτός από το κουπόνι και το αρχικό κεφάλαιο του. Εποµένως, P 0 =ΣC t /(1+r) n +Ο/(1+r) n Όπου, P 0, η τιµή του οµολόγου, C t, το κουπόνι που εισπράττει ο επενδυτής, Ο, η ονοµαστική αξία του οµολόγου r, η απόδοση που ζητά ο επενδυτής από επενδύσεις παρόµοιου κινδύνου

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Eπενδυτής αγοράζει οµόλογο ονοµαστικής αξίας 10.000 4 ετών. Επιπλέον, ο επενδυτής προσδοκά απόδοση 6%. Το κουπόνι του οµολόγου ισούται µε 500 (10.000 x 5%), ενώ το τελευταίο έτος της ζωής του οµολόγου, ο επενδυτής θα λάβει 10.500. Χρηµατορροές 0 500 500 500 10.500 Περίοδοι 0 1 2 3 4 P 0 =ΣC t /(1+r) n +Ο/(1+r) n =500/1.06+500/1.06 2 +500/1.06 3 +10.500/ 1.06 4 =9.653,5

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ο ίδιος επενδυτής αγοράζει οµόλογο ονοµαστικής αξίας 10.000 και διάρκειας 4 ετών. Το συγκεκριµένο οµόλογο είναι µικρότερου κινδύνου οπότε η απόδοση που προσδοκά είναι 4%. Η τιµή του οµολόγου σε αυτή την περίπτωση ισούται µε: P 0 =ΣC t /(1+r) n +Ο/(1+r) n =500/1,04+500/1,04 2 +500/1,04 3 +10.500/1.04 4 = 10.363

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η σχέση µεταξύ τιµής και απαιτούµενου επιτοκίου αποδόσεως είναι αντιστρόφως ανάλογη. Όταν το επιτόκιο το οποίο ζητά ο επενδυτής από µια επένδυση παρόµοιου κινδύνου, είναι ίσο µε το κουπόνι του οµολόγου, η τιµή του οµολόγου ισούται µε την ονοµαστική του αξία Όταν το επιτόκιο r είναι υψηλότερο από το επιτόκιο τοκοµεριδίου, τότε η τιµή του οµολόγου είναι χαµηλότερη από την ονοµαστική του αξία. Σε αυτή την περίπτωση λέµε ότι το οµόλογο διαπραγµατεύεται σε discount. Ενώ σε premium λέµε ότι διαπραγµατεύεται ένα οµόλογο, όταν η τιµή διαπραγµάτευσης βρίσκεται πάνω από την ονοµαστική του αξία.